Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  ROZWIĄ ZYWANIE  PROBLEMÓW  DYNAMIKI  PŁYT  PROSTOKĄ TNYCH  NA  PODSTAWIE  ZMODYFIKOWANEJ  M E T O D Y  SIŁ  NOWACKIEGO  W A C Ł A W  M I E R Z E J E W S K I  (WARSZAWA)  1.  W s t ę p  Ś cisłe,  zamknię te  rozwią zania  dynamiki  płyt  prostoką tnych  dotyczą  p r z y p a d k ó w  pod­ parcia  swobodnego  na  dwu  przeciwległych  brzegach.  Istnieje  bardzo  obszerna  l i ­ teratura  poś wię cona  przybliż onym  metodom  obliczania  czę stoś ci  i  postaci  drgań  wła­ snych  płyt.  D o  rozwią zywania  p r o b l e m ó w  dynamiki  płyt  stosowane  są  takie metody,  jak:  Rayleigha­Ritza,  Galerkina,  szeregów,  róż nic  skoń czonych  oraz  elementów  skoń czonych.  W  wielu  pracach  ugię cie  aproksymuje  się  funkcjami  belkowymi.  Wymienić  tu  m o ż na  takie  prace, jak  [2]  i  [3].  W  pracy  [4]  autorzy  stosują,  na  równi  z  funkcjami  belkowymi,  wielo­ miany.  W  opublikowanej  w  1962  r.  pracy  [5]  uzyskano  wyniki  przy  zastosowaniu  metody  wykorzystują cej  szeregi  trygonometryczne.  Ogólne  rozwią zanie  dla  płyt  prostoką tnych  z  dowolnymi  warunkami  brzegowymi  z  wykorzystaniem  szeregów  trygonometrycznych  opracował  KACZKOWSKI  [1].  Niezależ nie  od  faktu  opublikowania  duż ej  liczby  prac  trudno  uznać  problematykę  dynamiki  płyt  za  zamknię tą.  Istnieją ce  metody,  mimo  obecnego  poziomu techniki  obliczeniowej,  nie  zawsze pozwalają  na  osią gnię cie  efektywnych  wyników.  Stosowanie funkcji  belkowych  w metodach wariacyjnych  nie  wydaje  się  być  z teoretycznego  punktu  widzenia  przekonywają ce,  ze  wzglę du  na  zasadnicze  róż nice  w  sformułowaniu  p r o b l e m ó w  płyt  i  belek.  W  przypadku  płyt  z  brzegami  swobodnymi,  funkcje  belkowe  nie  spełniają  naturalnych  w a r u n k ó w  brzegowych,  stąd  druga  pochodna  w  kierunku  normal­ nym  szeregu  opisują cego  ugię cie  płyty  nie  jest  jednostajnie  zbież na  do  odpowiedniej  po­ chodnej  funkcji  ugię cia.  W  metodzie  opracowanej  przez  CLASSENA  i  T H O R N A  [5]  spełnia  się  w  sposób  przybliż ony  z a r ó w n o  równanie  róż niczkowe,  jak  i  warunki  brzegowe.  W  przypadku  stosowania  dotychczasowych  metod,  wykorzystują cych  szeregi  trygo­ nometryczne,  powstają  duże  trudnoś ci  przy  obliczaniu  sił  wewnę trznych,  spowodowane  wolną  zbież noś cią  lub  wrę cz  rozbież noś cią  szeregów  je  opisują cych.  Tematem  przedstawionej  pracy  jest  sformułowanie  metody,  w  której  rozwią zania  zagadnień  drgań  płyt  swobodnych  i  obcią ż onych  uzyskuje  się  poprzez  rozpatrzenie  drgań   wymuszonych  płyt  zastę pczych  o  znanych  czę stoś ciach  i postaciach  drgań  własnych.  O b l i ­ czenia  oparte  są  na  zmodyfikowanej  metodzie  sił  W .  NOWACKIEGO.  2.  Opis  metody  Równanie  róż niczkowe  drgań  swobodnych  płyt  cienkich  ma  p o s t a ć   (2.1)  .  V 2 V 2 i v ­ / c 4 i v  =  0.  6»  84  W .  M I E R Z E J E W S K I  W  przypadku  w a r u n k ó w  brzegowych,  dla  których  nie jest  znane  ś cisłe  rozwią zanie  (2.1),  m o ż na  dla  znalezienia  czę stoś ci  i  postaci  drgań  własnych  rozpatrzyć  drgania  wymuszone  płyty  zastę pczej  o  dwu  przeciwległych  brzegach  swobodnie  podpartych,  o  znanych  czę­ stoś ciach  i postaciach  drgań  własnych.  M a ona  wię ksze  wymiary niż płyta  właś ciwa,  której  postacie  są  poszukiwane.  D l a prostoty  wstę pnych  rozważ ań  zakład a  się, że płyta  właś ciwa  (rys.  l a )  ma  z  trzech  stron  te  same  warunki  brzegowe,  co  płyta  zastę pcza  (rys.  Ib),  przy  Rys.  1.  Schemat  realizacji  w a r u n k ó w  brzegowych  przy  pomocy  o b c i ą ż e n ia  u z u p e ł n i a j ą c e go  czym  jeden  brzeg jest  swobodnie  podparty.  Brzegi  z  dowolnymi  warunkami  brzegowymi  zaznaczone  są  na  rysunkach  kropkami. Płyta  zastę pcza  poddana  jest  działaniu  harmonicz­ nie  zmiennego  w  czasie  obcią ż enia  ql{x,  y,  t)  =  q\x,  y)s'mcot,  zwanego  dalej  obcią ż eniem  uzupełniają cym.  Obcią ż enie  to  spełnia  nastę pują cy  warunek:  Szczególnym  przypadkiem  obcią ż enia  uzupełniają cego  może  być  obcią ż enie  rozłoż one  wzdłuż  linii  prostej,  jakie jest  stosowane  w  metodzie  NOWACKIEGO.  A b y  wykazać  moż liwość  realizacji  w a r u n k ó w  brzegu  swobodnego  zakład a  się,  że  po  myś lowym  rozcię ciu  płyty  zastę pczej  wzdłuż  linii  у  =  с ,  powstałe  w  wyniku  tego  brzegi  obu  płyt  pozostają  swobodne.  Niech  obie  czę ś ci  płyty  zastę pczej  drgają  z  czę stoś cią  własną   płyty  nieobcią ż onej.  Obcią ż enie  ql(x,y)  należy  d o b r a ć  tak,  aby  uzyskać  nastę pują ce  za­ leż noś ci  mię dzy  funkcjami  ugię cia  płyty  swobodnej  i  obcią ż onej:  b)  (2.2)  ql(x,y)  =  0  dla  с  ^  у  <  b.  w, obc.  (2.3)  dw. obc.  dy  Ze  zwią zków  (2.3)  otrzymać  m o ż na  S2wobc.  d 2wswob.  Zgodnie  z przyję tym  założ eniem,  obie  płyty  spełniają  dla у  =  с warunki  brzegu  swo­ bodnego.  Uwzglę dniając  w  tych  warunkach  równania  (2.4)  otrzymano:  R O Z W I Ą Z Y W A N IE  P R O B L E M Ó W  D Y N A M I K I  P Ł Y T  85  (2.5)  dy2  dy3  dy2  dy3  Spełnienie  zwią zków  (2.3)  implikuje  zatem  zależ noś ci  (2.5).  Oznacza  to  moż liwość  «bez­ siłowego  zszycia»  obu  czę ś ci  płyty  zastę pczej  przy  takim  doborze  obcią ż enia  uzupełniają­ cego,  przy  k t ó r y m  spełnione  są  zwią zki  (2.3).  Podobnie  wykazać  moż na,  że  przez  odpowiedni  d o b ó r  obcią ż enia  realizuje  się  stany  odpowiadają ce  dowolnym  warunkom  brzegowym  w  dwu  lub  wię cej  przekrojach  płyty  zastę pczej,  z a r ó w n o  w  rozpatrywanym  przypadku  drgań  swobodnych, jak  i przy  drganiach  wymuszonych.  Wszystkie  moż liwe  schematy  zastę pcze  pokazano  na  rys.  2.  Jeż eli  płyta  a) b) Ф   c) e) ''У   i  '  ł  i ł ' .  X  Rys.  2.  Schematy  z a s t ę p c ze  Właś ciwa  ma  przynajmniej  jeden  brzeg  swobodnie  podparty,  m o ż na  d o b r a ć  płytę  za­ stę pczą  z  takimi  samymi  warunkami  na  trzech  brzegach,  jak  warunki  płyty  właś ciwej  (rys.  2a).  Zachodzi  wówczas  konieczność  zrealizowania  w a r u n k ó w  brzegowych  w  jednym  tylko  przekroju.  86  W .  M I E R Z E J E W S K I  3.  Analiza  obcią ż eń  uzupełniają cych  W  poniż szych  rozważ aniach  ograniczono  się do  rozpatrywania  drgań  swobodnych  oraz  wymuszonych,  ustalonych.  D l a zrealizowania  w a r u n k ó w  brzegowych  w  przekroju  równoległym  do  podpartych  swobodnie  brzegów  płyty  zastę pczej  m o ż na  przyjąć  amplitud ę   obcią ż enia  w postaci  (3.1)  ql(x,  y)  = q{(x, y) + qi(x,  y),  przy  czym  funkcje  ql(x, y),  gdzie  / =  1,2  powinny  umoż liwiać  spełnienie  dwóch  warun­ k ó w  brzegowych. W dalszych rozważ aniach  założ ono  taką  b u d o w ę  tych  funkcji  (3.2) q!(x,y)=fł(x)gf(y), k t ó r a  umoż liwia  realizację  warunku  (2.2) przez  odpowiednią  konstrukcję  funkcji  g\{y)  (3.3)  й )  =  0  dla  c ^ y ^ b .  Funkcje  gi(y)  m o ż na  założ yć  dowolnie,  ż ą dając  jedynie  spełnienia  warunku  (3.3).  Szukanymi  funkcjami,  które  pozwolą  zrealizować  dwa warunki  brzegowe  w przekroju  у  = с  są  funkcje  ff(x).  Obcią ż enie  uzupełniają ce  przedstawić  m o ż na  jako  nastę pują cy  szereg  postaci  drgań  własnych  Wmn(x,  y)  płyty  zastę pczej:  (3.4)  q\(x, У ) = J £ £  blln  Wmn(x,y),  m n flTt przy  czym  łVmn(x,  y)  = Xmn(x)  sin —^­У ­  M n o ż ąc  obie  strony  zwią zku  (3.4)  przez  ń n{rnjb)y,  gdzie  г  dowolna  liczba  naturalna,  nastę pnie  całkując  w przedziale  0 < у  4, b  przy  uwzglę dnieniu  (3.2)  m o ż na  otrzymać   (3.5)  f{{x)  = ̂   c'J,rXmr(x),  m gdzie  Al _ °mr Lmr — tr у a,  a"  jest  współczynnikiem  rozwinię cia  w szereg  sinusowy  funkcji  gf (y). Ponieważ  zwią zek  (3.5)  spełniony jest  dla dowolnego  r, m o ż na  napisać  nastę pują ce  zależ noś ci:  (3.6)  Z cliXkn(x)  = 2" <&'(*)•   к к M n o ż ąc  obie  strony  (3.6) przez  Xmn(x)  oraz  całkując  w  przedziale  (0, a)  otrzymuje się   ostatecznie  (3.7)  cl'n =  2 & f L ,  к gdzie  a fL  = —  f  Xkr{x)Xmn{x)dx.  jXUx)dx° R O Z W I Ą Z Y W A N IE  P R O B L E M Ó W  D Y N A M I K I  P Ł Y T  87  Z a  p o m o c ą  zwią zków  (3.7)  m o ż na  wyrazić  wszystkie  współczynniki  с "„  przy  n  ф  r  przez  N a  szybkość  zbież noś ci  szeregu  opisują cego  funkcje  g\  (y)  m o ż na  wpływać  realizując  cią głość  tej  funkcji  i  jej  к  kolejnych  pochodnych  w  przedziale  0  <  у  <  b  oraz  spełniając  zwią zki:  (3.8)  £ f O O | , ­ o = 0 ,  dla  j=i,2,...,t,  d2jgl(y)  dy 2J =  0,  (3.9)  * f ( y ) U c = 0 ,  dla  j  =  1 , 2 ,  ...,k, Ц у т е   dJgl(y)  =  0,  y = 0 dyl  przy  czym  dla  к  parzystego  t  =  k/2,  dla  к  nieparzystego  r  =  (Ar—1)/2.  Powyż ej  sformułowane  warunki  dotyczą ce  funkcji  g{(y)  są  warunkami  koniecznymi  szybkiej  zbież noś ci  szeregu  obcią ż enia  uzupełniają cego  (3.4).  W y n i k a  to  stą d,  że  ustalając  wartość  x  =  l,  gdzie  /  e  (0,  a)  m o ż na  zwią zek  (3.4)  zapisać  j a k o  pojedynczy  szereg  try­ gonometryczny,  którego  zbież ność  bę dzie  wolniejsza  od  zbież noś ci  szeregu  opisują cego  funkcję  g'(y).  Zbież ność  szeregów  obcią ż eń  m o ż na  zwię kszać  spełniając  warunki  (3.8)  i  (3.9).  Szybkość  malenia  począ tkowych  wyrazów  tych  szeregów  w  znacznym  stopniu  zależy  od  wartoś ci  stosunku  c/b.  Zbież ność  szeregów  opisują cych  funkcje  fi  ix)  zwią zana  jest  z  postacią  dobieranych  funkcji  g{(y),  zależy  natomiast  bezpoś rednio  od  realizowanych  w a r u n k ó w  brzegowych.  Istnieje  oczywisty  zwią zek  mię dzy  zbież noś cią  szeregów  opisują cych  funkcje  składowe  obcią ż eń  uzupełniają cych  oraz  szeregów  wyraż ają cych  ugię cia,  wywołane  tymi  obcią ż e­ niami  (3.10)  wRx,  y)~j­h£2  wux,  y),  m  n  gdzie  comn  oznaczają  czę stoś ci  własne  płyty  zastę pczej.  Uwzglę dniając  zwią zki  (3.7)  m o ż na  zapisać  (3.10)  w  postaci  ( З . П)  м(Х,у )=%2А^ ъ(х.У)+22т£^' к М хА   к  п ф г  т   W  przypadku  realizowania  w a r u n k ó w  brzegowych  w  przekroju  p r o s t o p a d ł y m  do  dwu  podpartych  swobodnie  brzegów,  obcią ż enie  przyjąć  m o ż na  analogicznie  do  (3.2)  (3.12)  ч 11(х ,у )=АиШ1(х ).  Funkcje  g''(x)  należy  przyjąć  z  uwzglę dnieniem  warunku  (3.13)  g{'(x)  =  0  dla  c2  <  x  <  a.  Obcią ż enie  (3.12) m o ż na  przedstawić  w  postaci  szeregu  (3.14)  q\\x,  y)  =  j n  ­ J  c№ *w,i(*)siil  ?fyi  88  W .  M I E R Z E J E W S K I  gdzie  a, mn Ш  =  jx2n(x)dx  o  1  o  Podobnie, jak  w  przypadku  obcią ż enia  q\(x,  y),  m o ż na  wykazać  istnienie  zwią zków  analo­ gicznych  do  (3.7)  Poniż ej  wykazano,  że  cią głość  funkcji  g'l(x)  oraz  jej  kolejnych  pochodnych  jest  warun­ kiem  koniecznym  szybkiej  zbież noś ci  szeregu  (3.14).  Składowe  Xm,(x)  postaci  własnych  m o ż na  zapisać  nastę pują co:  (3.16)  Xmn(x)  =  ClmnsmXlmnx  + C2m„cosXlmnx+C3mr,shX2mnx  +  CĄ m„ch?.2m„x,  gdzie  Przy  założ eniu,  że funkcja g''(x)  i к jej  kolejnych  pochodnych są  funkcjami  cią głymi  w  prze­ dziale  0  ^  x  <  a,  m o ż na  napisać   Powyż szy  szereg  jest  jednostajnie  zbież ny  w  rozpatrywanym  przedziale.  Pozwala  to  na  jego  całkowanie,  przy  czym  powstają ca  w  wyniku  tego  szeregu  czę ść  trygonometryczna  funkcji  Xmn(x)  jest  dzielona  przez  A l m „ ,  natomiast  czę ść  hiperboliczna  przez  l2m„.  W  przy­ padku  płyty  podpartej  swobodnie  na  całym  obwodzie  шт„  roś nie  z  m 2.  D l a  innych  wa­ r u n k ó w  brzegowych  wzrost  u>m„  jest  porównywalny.  Zatem jak  wynika  z  (3.17),  otrzymany  w  wyniku  całkowania  szereg  bę dzie  szybciej  zbież ny  niż  (3.18).  ^Г ­krotne  całkowanie  do­ prowadzi  do  otrzymania  szybkozbież nego  szeregu  opisują cego  g'l(x).  Obcią ż enie  (3.14) spowoduje  nastę pują ce  ugię cie  płyty  zastę pczej  (3.15)  к   (3.17)  (3.18)  ,Ш  JUI  (3.19)  n  m  Współczynniki  c'n"  są  wyznaczane  przy  spełnianiu  w a r u n k ó w  brzegowych.  4.  Drgania  płyty  wspornikowej  Zastosowanie  przedstawionej  metody  zostanie  pokazane  na  przykładzie  drgań  płyty  wspornikowej.  Płyta  zastę pcza  została  przyję ta  w  postaci  płyty  podpartej  swobodnie  na  dwu  przeciwległych  brzegach,  z jednym  brzegiem  utwierdzonym  i pozostałym  swobodnym.  R O Z W I Ą Z Y W A N IE  P R O B L E M Ó W  D Y N A M I K I  P Ł Y T  89  Przy  obliczaniu  czę stoś ci  i  postaci  drgań  własnych  należy  rozpatrzyć  drgania  wymuszone,  harmonicznie  zmienne  w  czasie,  płyty  zastę pczej  poddanej  działaniu  obcią ż eń  q\x,  y)  i  q"I(x,y).  Schemat  zastę pczy  przedstawiony  jest  na  rys.  2b,  przy  czym  przyjmuje  się   c 3  =  c.  Podstawiając  funkcje  ugię cia  do  r ó w n a ń  opisują cych  zerowanie  się  m o m e n t ó w  i  sił  tną cych  w  przekroju  у  =  с ,  a  nastę pnie  ortogonalizując  lewe  strony  otrzymanych  równań  wzglę dem  funkcji  Xlr(x)  uzyskuje  się  nastę pują cy  układ  r ó w n a ń :  /,  III  2  /  (=1  .AT)'?  ,  j  .  г л  V i  tA  a'rJ  x  (x's'r(x)Xlr(x)dxsm'^­c  + ­  У  У /i,2 a",2  H J  (4.1)  o  b  V  m  i ? ,  K ™ ~ k  J  =  0,  /,  III  2  J  /=1  Л   2  f  Xi(X)dxcos^­c+(2­v)^cĄ ­^­ l r  0  s  *~  s r  '  a  x  f  x;'r(x)Xlr(x)dxrC0S^c+(2­v)  £  ^f™­js~  o,  gdzie:  s i n ­ r ­  c,  b « L  = [ ­ ( ­ y ­ )  f  ^mn(x)Xtr(x)dx+vJXMX„(x)dx]si  =  [ ­ " 3 ( y )  / Z m n ( x ) Z ( r ( x ) ^ + ( 2 ­ T ) J z ; ; W ^ r ( x ) J x ] c o s  п л   o  s,  l,  rn  =  1 , 2 , 3 ,  £ .  Ponieważ  szukane  postacie  własne  są  symetryczne  lub  antysymetryczne  wzglę dem  у  =  b/2J  przyjąć  m o ż na  w  równaniach  (4.1)  zależ noś ci  JI  _  AUI  W  przypadku  postaci  symetrycznych  muszą  wówczas  być spełnione  warunki  g'(y)  =  g'"(b­y).  W  szeregach  opisują cych  obcią ż enia  i  ugię cia  wystą pią  funkcje  Wmn  z  n  nieparzystym.  W  równaniach  (4.1)  należy  przyją ć:  r  =  1,  n  =  3,  5 , 7 ,  N.  D l a  postaci  antysymetrycznych:  g'(y)  =  ­gl"(b­y),  r  =  2,  и  = 4 , 6 , 8 ,  . . . , Ż V + 1.  90  W .  M I E R Z E J E W S K I  U k ł a d  (4.1)  zawiera  2L r ó w n a ń .  Wielkość  N  należy  d o b r a ć  tak, aby  zapewnić  odpo­ wiednią  dokładność  aproksymacji  funkcji  gf(y).  Badając  wpływ  wielkoś ci  N  na  uzyskiwa­ ne  wyniki  m o ż na  okreś lić  jego  wartość  niezbę dną  ze  wzglę du  na  ż ą daną  dokładnoś ć.  Czę stość  d r g a ń  własnych  wyznacza  się z  warunku  istnienia  nietrywialnego  rozwią zania  liniowego  u k ł a d u  r ó w n a ń  (4.1).  W  przypadku  ustalonych  drgań  wymuszonych  należy  w  rozważ aniach,  oprócz  odkształceń  wywołanych  obcią ż eniem  uzupełniają cym,  uwzglę d­ nić  również  ugię cie  od  obcią ż enia  właś ciwego,  działają cego  w przedziale  с < у  < b — c.  A m p l i t u d ę  tego  obcią ż enia  przedstawić  m o ż na  w postaci  (4.2)  p(x, у )  =  V  ^pJnXJn  (x)  sm^­y.  j  n  Przy  realizacji  w a r u n k ó w  brzegowych  uwzglę dnić  trzeba  ugię cie  wywołane  obcią ż eniem  (4.2).  Spowoduje  to  wystą pienie  odpowiednich  wyraż eń  na prawej  stronie  u k ł a d u  (4.1).  5.  Wyniki  obliczeń   Według  proponowanej  metody  opracowano  programy  na maszynę  Odra  1204.  Płytę   zastę pczą  przyję to  jako  p o d p a r t ą  swobodnie  na całym  obwodzie.  Obliczenia  przeprowa­ dzono  dla  płyt  z dwojakiego  rodzaju  warunkami  brzegowymi:  1)  dwa  brzegi  wychodzą ce  z jednego  n a r o ż a  utwierdzone,  pozostałe  podparte  swo­ bodnie,  2)  dwa  brzegi  wychodzą ce  z  jednego  n a r o ż a  swobodne,  pozostałe  podparte  swo­ bodnie.  Tablica  1.  C z ę s t o ść  i  współczynniki  obcią ż eń  uzupełniają cych  pierwszej  postaci  własnej  płyty  kwadratowe  z  brzegami  wychodzą cymi  z jednego  naroża  utwierdzonymi  i  pozostałymi  podpartymi  swobodnie  L  cl1  c^­io1  c i ' i o 2  cjMo2  8  27,054 140  1,000  ­0,341  ­0,804  ­0,270  ­1,052  9  27,054 000  1,000  ­0,339  ­0,796  ­0,262  ­1,002  10  27,054 130  1,000  ­0,341  ­0,803  ­0,270  ­1,075  L  CJ1  •  10*  CJ 1 •  102  C 8 " •  10 2  CJ» •  102  c ł i ­ i o 2  8  ­0,265  0,330  0,855  9  ­0,265  0,255  0,681  0,975  10  ­0,328  0,208  0,652  0,846  1,064  R O Z W I Ą Z Y W A N IE  P R O B L E M Ó W  D Y N A M I K I  P Ł Y T  91  D l a  pierwszego  rodzaju  w a r u n k ó w  brzegowych  przeprowadzono  obliczenia  czę stoś ci  podstawowej  oraz  odpowiadają cej  jej  postaci  drgań  własnych  płyty  kwadratowej  oraz  drgań  wymuszonych płyt  kwadratowych i prostoką tnych,  obcią ż onych  siłą  skupioną  przyło­ ż oną  w  ś rodku.  Efektywne  wyniki  uzyskano  dla stosunku  a/c > 6.  Przykładowe  wyniki  obliczeń  czę stoś ci  podstawowej  oraz  odpowiadają ce  pierwszej  postaci  współczynniki  obcią ż enia  uzupełniają cego  podano  w  tablicy  1. N a ich  podstawie  m o ż na  ocenić  wpływ  liczby  L  wyrazów  szeregu  sinusowego  aproksymują cego  funkcje  składowe  obcią ż eń  uzu­ \x  dla J  = /  pełniają cych  f'(z),  g d z i e ż  =  \  ,  na  d o k ł a d n o ś ć  obliczeń.  Przy  zmianie  L  \y  d l a  J  —  ił  w  granicach  8­10  wartość  czę stoś ci  pozostaje  niezmienna  z dokładnoś cią  do pię ciu  miejsc  znaczą cych.  W a r t o ś ć  tej czę stoś ci  uzyskana  metodą  Rayleigha­Ritza  w pracy  [6]  wynosi  a?  =  k\ a2  =  27,25,  metodą  szeregów  w  [7]:  a?  =  27,67,  «i  =  27,1,  ocl  = 2 8 , 3 .  Tablica  2.  Wyniki  obliczeń  czę stoś ci  podstawowej  płyty  kwadratowej  z  dwoma  swobodnymi  brzegami wy­ chodzą cymi  z  jednego  naroża  z  pozostałymi  podpartymi  swobodnie  L  I  wariant  gf  (y)  II  wariant  gj(y)  1  3,7  <