Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1.  14  (1976)  O  PEWNEJ  NOWEJ  METODZIE  ANALIZY  STATECZNOŚ CI  ROZWIĄ ZAŃ  UKŁADÓW  NIELINIOWYCH  O  JEDNYM  STOPNIU  SWOBODY  A L I C J A  P I E N I Ą Ż E K,  WIESŁAW  P I E N I Ą Ż EK  ( K R A K Ó W )  1.  W s t ę p  W  pracy  [1]  została  przedstawiona  pewna  nowa  metoda  analizy  statecznoś ci  nielinio­ wych  u k ł a d ó w  dynamicznych  opisanych  równaniami  róż niczkowymi  zwyczajnymi  dru­ giego  rzę du.  Autorzy  oparli  się  na  nastę pują cym  rozumowaniu:  każ dy  układ  dynamiczny  m o ż na  uważ ać  jako  pewne  pole  dynamiczne,  które  działa  z  pewną  siłą  na  znajdują cy  się   w  nim  punkt  materialny.  Stateczność  tego  pola  dynamicznego  zależy  od  tego,  czy  energia  zgromadzona  przez  punkt  materialny  roś nie  czy  też  maleje  pod  wpływem  sił  pola.  Rozumowanie  to  doprowadziło  do  opracowania  pewnego,  wygodnego  w  stosowaniu,  algorytmu,  na  podstawie  którego  m o ż na  wnioskować  o  statecznoś ci  u k ł a d u .  Algorytm  ten  umoż liwia  także  badanie  statecznoś ci  cykli  granicznych.  W  niniejszej  pracy  zostanie  przedstawiona  idea  metody,  zgodnie  z  [1],  jej  p o r ó w n a n i e  z  innymi,  istnieją cymi  metodami,  oraz jej  zastosowanie  do  badania  statecznoś ci  r ó w n a n i a  typu  Rayleigha  z  nieliniową  charakterystyką  sprę ż ystoś ci.  2.  Opis  metody  [1)  i  jej  sens  fizyczny  Niech  układ  dynamiczny  bę dzie  opisany  równaniem  róż niczkowym  zwyczajnym  rzę du  drugiego  w  postaci  (2.1)  x=f(x,k)  lub  równoważ nym  mu  układem  równań  pierwszego  rzę du  (2.2)  k  =  y,  y=f(x,y),  gdzie f(x,y)  jest  funkcją  nieparzystą,  ze  wzglę du  na  x,  w  ogólnym  przypadku  nieliniową.  Jeż eli  układ  ten  bę dziemy  uważ ali  za  pewne  pole  dynamiczne,  to  wówczas  siła  tego  pola  wyniesie  (2.3)  F  =  mx  =  my  =  mf(x,  y),  gdzie  m  jest  masą  punktu  materialnego  znajdują cego  się  w  polu.  Wobec  tego,  równanie  (2.1)  m o ż na  zapisać  w  postaci  (2.4)  mx  =  mf(x,y).  138  A .  P I E N I Ą Ż E K,  W .  P I E N I Ą Ż EK  Przekształcimy  powyż sze  równanie  w  ten  sposób,  że  dodamy  i  odejmiemy  wyraż enie  mx  (o  wymiarze  siły)  do  prawej  strony.  Wyraż enie  to  zinterpretujemy  jako  siłę  zachowa­ wczą.  Otrzymujemy  (2.5)  mx  =  mf(x,  x) + mx  —  mx.  Jeż eli  w  powyż szym  r ó w n a n i u  wprowadzimy  oznaczenie  (2.6)  Fy  =  mf(x,  x) +  mx,  to  wówczas  ruch  punktu  materialnego  bę dzie  się  odbywał  pod  wpływem  siły  zachowa­ wczej  i  siły  Fx,  co  m o ż na  ująć  zależ noś cią   (2.7)  mx  =  Fx—mx.  Jeś li  obliczymy  pracę  siły Ft  podczas jednego,  pełnego  okresu  ruchu  T,  to  w przypadku  gdy  jest  ona  dodatnia  punkt  materialny  znajdują cy  się  w  polu  dynamicznym  powię ksza  swoją  energię,  co  oznacza,  że  układ  (pole)  jest  niestateczny.  W  przeciwnym przypadku,  u k ł a d  posiada  cechy  statecznoś ci  (gdy  praca  siły  F , jest  ujemna,  to  wówczas  układ  wydaje  p r a c ę  i  energia  punktu  materialnego  maleje).  Z r ó w n o w a ż my  siłę  Ft  siłą  F0  równą  co  do  wartoś ci,  lecz  przeciwnie  skierowaną,  tak  aby  punkt  materialny  wykonywał  ostatecznie  ruch  zachowawczy  opisany  r ó w n a n i e m  (2.8)  x  =  ­x  lub  r ó w n o w a ż n ym  mu  u k ł a d e m  r ó w n a ń  pierwszego  rzę du  (2.8a)  x  =  у ,  у  =  —x.  Znak  pracy  wykonywanej  przez  siłę  F0  bę dzie  przeciwny do  znaku  pracy  siły  Fx,  a  więc  gdy  praca  LF0  siły  F0  bę dzie  ujemna,  to  układ  bę dzie  niestateczny,  zaś  w przeciwnym  przypadku  u k ł a d  bę dzie  stateczny.  Obliczymy  obecnie  pracę  siły  F0  w  jednym,  pełnym  okresie  ruchu  T.  Otrzymujemy  T  (2.9)  LF0  =  f  F0xdt.  o  Ponieważ  jest  (2.10)  F0  =  ­Ft  =  ­m[f(x,x)+x],  to  praca  ta  wyniesie  T  (2.9a)  LF0  =  ­m  j  [f(x,  x) +  x]xdt.  o  Uwzglę dniając  (2.2)  otrzymamy  г   (2.9b)  LF0  =  ­mf(xX+yy)dt.  o  Jak  powiedzieliś my  wcześ niej,  ruch  bę dzie  odbywał  się  po  okrę gu  x  =  r c o s 0 ,  (2.11)  .  _  r  =  const  >  0.  у  =  rsmG,  O  M E T O D Z I E  A N A L I Z Y  S T A T E C Z N O Ś CI  R O Z W I Ą Z AŃ   139  Róż niczkując  którekolwiek  z  r ó w n a ń  (2.11)  wzglę dem  czasu  i  wykorzystując  odpowied­ nio  zależ ność  (2.8a)  otrzymujemy  (2.12)  ­ ^ ­  =  ­ 1 ,  d8=  ­dt.  Wprowadzimy  obecnie,  zgodnie  z  [1],  funkcję   xx+yy  xy+yf(x,y)  (2.13)  S'(x,y)  =  ]/x2+y2  \/x2+y2  Jak  widać, jest  to  składowa  radialna  prę dkoś ci  fazowej: vr  =  r.  Z a u w a ż my  teraz,  że  wyraż enie  podcałkowe  w  (2.9b)  m o ż na  zapisać,  wykorzystując  (2.13) ,  (2.14)  xx+yy  =  / ^ T ^ j ) .  Biorąc  pod  uwagę  (2.14),  a  także  (2.11)  i  (2.12),  po  zmianie  granic  całkowania  wzór  (2.9b)  przyjmie  p o s t a ć   (2.15)  LF0  =  ­mrj  S(r,  G)dG,  m  >  0,  r  >  0.  o  Wprowadzimy  obecnie  funkcję   2л   (2­16)  g(r)  =  f  S(r,  &)d9.  o  Wobec  tego,  praca  LF0  posiada  znak  przeciwny do  znaku  wyraż enia  (2.16),  k t ó r e  łat­ wo  obliczymy  znając  funckję  S(r,  &).  Funkcję  g(r)  wykorzystamy zatem  do  okreś lania  charakteru  statecznoś ci  u k ł a d u  (2.1);  mianowicie;  — jeż eli  g(r)  =  0,  V/­ >  0  to  układ  jest  zachowawczy,  (2.17)  —jeż eli  g(r)  >  0,  V/­ >  0  (LF0  <  0),  to  układ  jest  niestateczny,  — jeż eli  g(r)  <  0,  V/­ >  0  (LF0  >  0),  to  układ  jest  stateczny.  Przy  pomocy  tej  metody  m o ż na  b a d a ć  stateczność  cykli  granicznych. Posługujemy  się   tutaj  także  funkcją  g(r).  D l a  statecznego  cyklu  granicznego  mamy:  g(r)  >  0  dla  0  <  r  <  r0,  (2­18)  g(r0)  =  0,  g(r)  <  0  dla  r  >  r0.  D l a  niestatecznego  cyklu  granicznego  jest:  g(r)  <  0  dla  0  <  /• <  r0  (2.19)  g(r0)  =  0,  g(r)  >  0  dla  r  >  r0.  140  A .  P I E N I Ą Ż E K,  W .  P I E N I Ą Ż EK  Wprowadzimy  jeszcze  funkcję:  R'(x,  y)  okreś loną  wzorem  (2.20)  R'(x,y)­  Х ' У ~ к у   \/x2+y2  \/x2+y2  Jest  to  składowa  transwersalna  v@ —  rŚ  prę dkoś ci  fazowej.  W  dalszych  rozważ aniach  bę dziemy  stosować  funkcje  R'(x,y),  S'(x,y)  lub  R(r,0),  S(r,0)  otrzymane  po  podsta­ wieniu  w  (2.13)  i  (2.20):x  =  rcosG,  у  =  rsin<9.  O  statecznoś ci  u k ł a d u  m o ż na  są dzić  na  podstawie  analizy  funkcji  S(r,  0)  i  R(r,  0).  Mianowicie,  zgodnie  z  [1],  jeż eli  w  punktach,  gdzie  R(r,  0)  =  0  funkcja  S(r,  0)  <  0,  to  wówczas  układ jest stateczny.  G d y w punktach,  w których  R(r,0)  =  0 funkcja  S(r,  0)  >  0,  to  układ  jest  niestateczny.  Interpretację  fizyczną  powyż szych  w a r u n k ó w  m o ż na  p o d a ć   opierając  się  na  pracy  [2].  Podano  w  niej  metodę  dwóch  funkcji,  pozwalają cą  na  ocenę   statecznoś ci  u k ł a d u  na  podstawie  przebiegu  trajektorii  fazowych,  które  m o ż na  przewi­ dzieć  na  podstawie  wykresów  tych  funkcji  na  płaszczyź nie  fazowej.  W  pracy  [2]  układ  (2.2)  zinterpretowano  jako  u k ł a d  okreś lają cy  prę dkość  punktu  ma­ terialnego  na  płaszczyź nie  fazowej.  Wspomniane  dwie  funkcje  są  okreś lone  w z o r a m i 0  (2.21)  Ф (х ,у )~х у +у /(х ,у ),  (2­22)  W(x,y)  =  xf(x,y)­y2.  Przedstawiają  one  odpowiednio:  iloczyn  skalarny  i  współrzę dną  iloczynu  wektorowe­ go  odległoś ci  т (х , y)  punktu  na  trajektorii  fazowej  od  począ tku  u k ł a d u  współrzę dnych  i  wektora  prę dkoś ci  fazowej  v(x,y)  tego  punktu.  Jak  łatwo  stwierdzić,  licznik  (2.13) jest  to  funkcja  Ф (х ,  у ),  zaś  licznik  (2.20) jest  to  funkcja  W(x,  y).  Znając  wykresy  tych  funkcji  na  płaszczyź nie  fazowej  moż emy  są dzić  o  przebiegu  trajektorii  fazowych  u k ł a d u  (2.2).  W  cytowanej  pracy  znajduje  się szereg  przykładów  takiej  analizy dla  róż nych  typów  u k ł a ­ dów.  Porównajmy  analizę  statecznoś ci  na  podstawie  metody  dwóch  funkcji  w  [2]  z  analizą   na  podstawie  funkcji  R'(x,y)  i  S'(x,y)  w  nowej  metodzie.  Warunek  R'(x,  y)  =  0  oznacza  to  samo  со  \P(x,  у )  =  0,  czyli  że wektory  г  i  v pokry­ wają  się,  a  ich  iloczyn  wektorowy  r x v  =  0.  Jeż eli  równocześ nie  przy  tym  S'(x,y)  <  0,  a  więc  Ф (х ,у )  <  0,  to  układ  jest  stateczny.  Istotnie,  iloczyn  skalarny  r x v < 0 ,  a  to  ś wiadczy  o  tym,  że  wektor  v posiada  zwrot  przeciwny  do  wektora  r  i  punkt  porusza  się   w  kierunku  począ tku  u k ł a d u  współrzę dnych.  Przeciwny  znak  S'(x,y),  przy  równoczes­ nym  R'(x,  y)  =  0,  wskazuje  na  zgodne  zwroty  r  i  v  i  punkt  oddala  się  wówczas  od  po­ czą tku  u k ł a d u  współrzę dnych,  a  to  ś wiadczy  o  niestatecznoś ci  u k ł a d u  dynamicznego.  Dalsze  p o r ó w n a n i a  z  innymi  metodami  podamy  póź niej,  a  obecnie  przedstawimy  wspomniany  algorytm  z  [1]  w jego  pełnej,  usystematyzowanej  postaci.  A . l .  Tworzymy  funkcje  S'(x,  y),  R'(x,  y)  S ' ( X >  Y)  =   ХУ +УЛХ>У \  \/x2+y2  "  W  pracy  [2]  funkcja  f(x,  y)  ma  znak  przeciwny,  p o n i e w a ż  u k ł a d  (2.2)  jest  zapisany  w  postaci:  x  =  у ,  у  =  —Д .х, у ),  co  nie  ma  w p ł y w u  na  nasze  dalsze  r o z w a ż a n i a.  O  M E T O D Z I E  A N A L I Z Y  S T A T E C Z N O Ś CI  R O Z W I Ą Z AŃ   141  R'Qc,  У )  =  »  \/x2+y2  lub  funkcje  R(r,  0),  S(r,  0),  po  podstawieniu  w  powyż szych  wzorach  A­  =  rcos0,  у  =  =  r s i n 0 .  A.2.  Badamy  powyż sze  funkcje;  jeż eli  w  punktach,  w  k t ó r y c h :  a)  R(r,0)  =  0  funkcja  S(r,0)  <  0,  to  układ  jest  stateczny,  b)  R(r,  0)  =  0  funkcja  S(r,  0)  >  0,  to  u k ł a d  jest  niestateczny.  A.3.  Tworzymy  funkcję  g(r)  g(r)  =  f  S(r,  0)d0,  r  =  const,  o  A.4.  N a  podstawie  charakterystyki  funkcji  g(r)  oceniamy  stateczność  u k ł a d u .  Jeż eli:  a)  g(r)  <  0  V>  >  0  i  g(r)  ­>  — oo,  to  układ  jest  stateczny,  r­>­oo  b)  g(r)  =  0  W  >  0,  to  układ  jest  zachowawczy,  c )  Ł ( r )  >  0  V r  >  0,  to  układ  jest  niestateczny.  d)  układ  posiada  stateczny  cykl  graniczny,  jeż eli:  g(r)  >  0  dla  0  <  r  <  r0,  g(r0)  =  0,  g(r)  <  0  dla  r  >  r0;  e)  układ  posiada  niestateczny  cykl  graniczny,  jeż eli:  g(r)  <  0  dla  0  <  r  <  r0,  g(r0)  ­  0,  g(r)  >  0  dla  r  >  r0.  Jeż eli  funkcja  R(r,  0)  jest  ujemna  wszę dzie,  to  wówczas  punkt  A . 4  powyż szego  al­ gorytmu  daje  pełną  odpowiedź  o  statecznoś ci  u k ł a d u .  Autorzy  niniejszej  pracy  zbadali  przydatność  przedstawionej  metody  do  okreś lania  statecznoś ci  układów  o  róż nych  typach  p u n k t ó w  osobliwych.  Jak  się  okazało ,  dla  ukła­ d ó w  o  siodłowym  punkcie  osobliwym  metoda  ta  nie  daje  odpowiedzi  o  charakterze  sta­ tecznoś ci.  W  pozostałych  przypadkach  metoda  daje  wyniki  zgodne  z  otrzymanymi  przy  zastosowaniu  innych  metod.  N a  zakoń czenie  tego  rozdziału  podamy  dalsze  p o r ó w n a n i a  i  moż liwoś ci  zastosowania  metody.  Napiszmy  równanie  trajektorii  dla  u k ł a d u  (2.2).  Po  wyrugowaniu  czasu  otrzymujemy  (2.23)  4 ­  =  •   а х  у   W  metodzie  krzywych  stykowych  Poincare'go, (patrz  np.  [3]),  bierze  się  rodzinę  okrę­ gów  koncentrycznych,  ze  ś rodkiem  w  punkcie  osobliwym,  o  równaniu  (2.24)  x2+y2  =  с ,  с  =  const  >  0.  142  A .  P I E N I Ą Ż E K,  W .  P I E N I Ą Ż EK  Po  zróż niczkowaniu  powyż szego  r ó w n a n i a  otrzymujemy  dy  x  dx  у   Wobec  powyż szego,  krzywa  stykowa  jest  opisana  r ó w n a n i e m  (2.25)  £*Ż L  =  ­  ­*  У  У   lub  po  przekształceniu  (2.26)  xy+yf(x,y)  = 0.  Jak  łatwo  stwierdzić  warunek  ten  m o ż na  otrzymać  przyrównując  funkcję  S'(x, y) do  zera.  Utwórzmy  jeszcze  stosunek  [3]  rd@  R(r, в )  (2.27)  _ _  =  _ ^ _ j .  =  ^  =  c o n 8 t .  Otrzymaliś my  równanie  izokliny  wzglę dem  wektora  wodzą cego.  K ą t   0,  /?o  >  0,  y0  > 0.  Wprowadzimy  transformację  czasu  i  oznaczenia  według  w z o r ó w :  (3.2)  x  =  co01, —  =  a,  pow0  =  P,  ~ ­  =  y.  a>0  Wg  P o  uwzglę dnieniu  powyż szych  zależ noś ci  otrzymujemy  równanie  w  postaci  bezwymia­ rowej  (3.3)  х +х  + у хъ  =  (  2, to punkt  osobliwy  jest  wę złem  niestatecznym,  natomiast  dla  a  <  2, punkt  ten  jest  ogniskiem  niestatecznym.  Zbadajmy  teraz,  czy  dla u k ł a d u  istnieją  trajektorie  zamknię te  i  w jakich  obszarach  mogą  wystę pować.  Zastosujemy  znane  kryterium  Bendixona.  Prawe  strony  r ó w n a ń  u k ł a d u  (3.4)  oznaczymy  odpowiednio  przez X i Y. Zbadajmy  nastę pnie  sumę   ^  .4  dX  ' 8Y  „„ ,  (3.6)  _  +  _ = а _ з ^ .  Zgodnie  z  kryterium,  w  obszarze  w  k t ó r y m  suma  ta nie zmienia  znaku,  nie istnieje  cykl  graniczny.  W naszym  przypadku  obszar  ten jest  okreś lony  zależ noś ciami:  co  <  x  <  + o o ­  ~Vw)/­sin0—yr3cos30—rcos0],  R(r,0)  =  cos0[(a—/9r2sin26>)rsin<9—rcos<9—yr3cos3<9] — r s i n 2 0 .  A.2.  Znajdziemy  r i 0,  dla których  R(r, 0)  =  0 i  równocześ nie  S(r, 0)  < 0.  Z  zależ noś ci  R(r, 0)  = 0  otrzymujemy  T sin^(9  [(a — /Sr2sin26>)rsin<9  — / ­ c o s 0 ­ y r 3 c o s 3 0 ]  =  cos<9  cosć>  Ф  0 . 2 )  P o  podstawieniu  powyż szego  do  nierównoś ci  S(r, 0)  < 0  otrzymujemy  tg©  <  0  co  oznacza,  że kąt 0  należy  wybierać  z  przedziałów  (3.13)  [n­  y j j r  <  0  < rm,  gdzie  (n =  0,  ± 1 ,  ± 2 ,  . . . ) .  Z  warunku  R(r,0)  =  0 otrzymamy  zwią zek  na r, w postaci  . . . . .  ­  a s i n 2 0 ­ 2  (3.14)  r  2cos0(/Ssin 3 0 +  ycos3<9)  przy  założ eniu,  że mianownik  powyż szego  u ł a m k a  jest  róż ny  od zera.  A b y  otrzymać  rzeczywiste  r,  prawa  strona  zależ noś ci  (3.14)  musi  być dodatnia. Z a ­ leż ność  tę rozpatrzymy  dla trzech  p r z y p a d k ó w  wartoś ci  а : I) a  <  2, II)a >  2, III) a  =  2.  P r z y p a d e k  I :  0 < a < 2 .  Prawa  strona  (3.14)  jest  dodatnia, gdy:  (3.15)  a s i n 2 0 ­ 2  <  0,  cosć >(/3sin3 0 + y c o s 3 0 )  <  0.  Pierwsza  nierówność  zachodzi  zawsze,  druga  nierównoś ć, gdy:  (3.16)  cos©  <  0,  / ? s i n 3 0 + y c o s 3 ć )  >  0  lub  (3.17)  cos©  >  0,  ,Ssin3ć> + y c o s 3 0  <  0.  Rozpatrzymy  nierównoś ci  (3.16).  Pierwsza z nich  jest  spełniona,  gdy kąt 0  należy  do  przedziałów  (3.18)  | 2 n + y j j r  <  в  <  | 2 й + у ) я,  (n = 0,  + 1 ,  +2,  . . . ) .  2 )  cos  & nie  m o ż e  b y ć  r ó w n e  zeru,  p o n i e w a ż  warunek  R(r, 0)  =  0  byłby  s p e ł n i o n y  tylko  dla s i n ©  =  =  0,  co  dla  tego  samego  ką ta  0  nie  m o ż e  r ó w n o c z e ś n ie  z a c h o d z i ć .  O  M E T O D Z I E  A N A L I Z Y  S T A T E C Z N O Ś CI  R O Z W I Ą Z AŃ  145  Po  przekształceniu  drugiej  nierównoś ci  otrzymujemy  warunek  t g 0 > ­ y x ,  .  który  jest  spełniony  dla  ką tów  (3.19)  a r c t g ( ­ r A X  J J + w r < 6 ) . < ( i ­ + n L  (n  =  0,  ± 1 ,  ± 2 ,  . . . ) .  Rozpatrując  podobnie  nierówność  (3.17)  otrzymujemy  warunki  na  0  w  postaci:  (3.20)  {2n­^n<0<[ln+l^jn,  (n  =  0,  ± 1 ,  ± 2 , . . . ) ,  (3.21)  ( " ­ y ) 7 *  < ® <  a r c t g ( ­ J / ^ ­  JJ+/OT,  (л  =  0,  + 1 ,  ± 2 ,  . . . ) .  Biorąc  pod  uwagę  (3.13),  kąt  0  należy  wybierać,  dla  omawianego  przypadku,  z  czę ś ci  wspólnej  przedziałów:  (3.13),  (3.18)  i  (3.19)  lub  (3.13),  (3.20),  (3.21).  P r z y p a d e k  I I :  a > 2 .  Należy  tutaj  rozpatrzyć  dwie  pary  nierównoś ci:  a s i n 2 0 ­ 2  >  0,  (3.22)  '  cos(9(/9sin3<9  + ycos3<9)  >  0;  ­ j f f r3 s i n 4 6 » ­ y / ­ 3 s i n 0 c o s 3 ć )­ o  o  — rsin0cos0)rf0,  10  Mechanika  Teoretyczni  146  A .  P I E N I Ą Ż E K,  W .  P I E N I Ą Ż EK  ­5  ­4­3­2­1012345  Rys.  1.  Cykl  graniczny  r ó w n a n i a  Rayleigha  z  nieliniową  charakterystyką  sprę ż ystą   (3.25)  g(r)  ­  ­nrl^fSri­a  A.4.  Badamy  znak  funkcji  g(r).  D l a  r  >  0  jest:  g(r)  >  0,  gdy  0  <  r  <  2  g(r)  =  0,  gdy  r  =  2  g(r)<0,  gdy  / ­ > 2 | / ­ ~  .  Skąd  wniosek,  że  dla  rozpatrywanego  r ó w n a n i a  istnieje  stateczny  cykl  graniczny.  O  M E T O D Z I E  A N A L I Z Y  S T A T E C Z N O Ś CI  R O Z W I Ą Z AŃ   147  Jako  przykład  liczbowy  rozpatrzymy  równanie  Rayleigha  z  nieliniową  charakterys­ tyką  sprę ż ystą  dla  nastę pują cych  wartoś ci  współczynników:  C y k l  graniczny,  dla  tego  przypadku  r ó w n a n i a  jest  przedstawiony  na  rys.  1.  N a  ry­ sunku  tym  znajdują  się  także  krzywe  Ф (х ,  у )  =  0  i  W(x,  y)  =  0,  obszar  otrzymany  z  wa­ runku  negatywnego  Bendixona, w  k t ó r y m  nie  istnieją  trajektorie  zamknię te  I ograniczony  prostymi  równoległymi  do  osi  x:y  =  1 /  ­~Б  I,  oraz  prosta  u k o ś na  1, przechodzą ca  przez  począ tek  u k ł a d u  współrzę dnych  ograniczają ca  z jednej  strony  obszar  ką ta  0,  otrzymany  z  czę ś ci  wspólnej  przedziałów  (3.13),  (3.18)  i  (3.19)  po  podstawieniu  wartoś ci  liczbowych.  Okrąg  o  promieniu  / ­ m a x  był  otrzymany  z  warunku  (3.12).  C y k l  graniczny  został  wyzna­ czony  przy  pomocy  metody  izoklin.  Jak  widać  z  rysunku  leży  on  całkowicie  w  obszarze,  w  który m  funkcja  W{x,y)  <  0,  a  więc  R'{x,y)  <  0.  Zauważ my,  że  ograniczają cy  go  okrąg  o  promieniu  т ­ш ах  =  2,58  leży  także  w  tym  obszarze.  Jak  wspominaliś my  wcześ niej,  w  takim  przypadku  wystarczyło  tylko  zbadać  znak  funkcji  g(r),  co  dałoby  pełną  odpo­ wiedź  o  statecznoś ci.  N a  zakoń czenie  podajemy  równania  izoklin  i  krzywych  4J(x,  y),  oraz  Ф (х ,  у ).  Są  one  nastę pują ce:  (3.26)  y3­5(l­c)y  + 5x + 0,5xs  =  0,  с  =  const  >  0,  Przedstawiona  metoda  zawiera  szereg  elementów  z  istnieją cych  j u ż  znanych  metod,  co  ś wiadczy  o  jej  słusznoś ci.  Podany  algorytm  jest  wygodnym  schematem  badania  sta­ tecznoś ci  układów.  Należy  także  podkreś lić,  że  podobnie  jak  bezpoś rednia  metoda L A ­ PUNOWA,  nie  wymaga  rozwią zywania  równań.  Trudnoś ci  mogą  wystą pić  przy  badaniu  funkcji  R(r,  0)  i  S(r,  0),  w  punkcie  A . 2  algorytmu,  ponieważ  może  zaistnieć  potrzeba  rozwią zania  u k ł a d u :  równanie­nierówność  wysokiego  stopnia.  N a  podstawie  algorytmu  m o ż na  także  wyznaczyć  krzywe  stykowe  cykli  granicznych.  N o w a  jest  interpretacja  fizyczna:  traktowanie  u k ł a d u  jako  pola  dynamicznego  oddzia­ ływają cego  na  znajdują cy  się  w  nim  punkt  materialny.  Przy  pomocy  łatwej  do  obliczenia  funkcji  g(r)  moż na  stwierdzić,  czy  energia  tego  punktu  pod  wpływem  sił  pola  zwię ksza  się  czy  też  ulega  zmniejszeniu,  a  więc  czy  układ  posiada  cechy  niestatecznoś ci  czy  też jest  stateczny.  Przedstawiona  metoda  odnosi  się do  układów  o jednym  stopniu  swobody,  które  moż­ na  opisać  układem  dwóch  równań  róż niczkowych  pierwszego  rzę du.  Wydaje  się, że  m o ż na  by  ją  rozszerzyć  przynajmniej  na  układy,  które  dają  się  opisać  przy  pomocy  trzech  rów­ n a ń  róż niczkowych  rzę du  pierwszego.  (3.27)  (3.28)  ¥(x,y)  =  ­0,2xy3­y2­xy­0,lxĄ­x2,  ф (х ,у )=  ­Q!2y*+y 2­0,lx3y.  4.  Uwagi  koń cowe  10*  148  A .  P I E N I Ą Ż E K,  W.  P I E N I Ą Ż EK  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  Y .  S U Z U K I ,  S .  I M A I ,  A  new  method  of  analysing the  stability of  nonlinear  systems,  Bull,  of the Tokyo  Inst,  of  Technol.,  113  (1972),  1.  2.  Wł.  B O G U S Z ,  Statecznoś ć  układów  nieliniowych,  Warszawa  1966.  3.  C h .  H A Y A S H I ,  Drgania  nieliniowe w  układach  fizycznych,  Warszawa  1968.  Р е з ю ме   О  Н Е К О Т О Р ОМ  Н О В ОМ  М Е Т О ДЕ  А Н А Л И ЗА  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  Р Е Ш Е Н ИЙ   Н Е Л И Н Е Й Н ЫХ  С И С Т ЕМ  С  О Д Н ОЙ  С Т Е П Е Н ЬЮ  С В О Б О ДЫ   В  р а б о те  с р а в н и в а е т ся  н о в ый  м е т од  и с с л е д о в а н ия  у с т о й ч и в о с ти  н е л и н е й н ых  с и с т е м,  п р е д л о­ ж е н н ый  в  р а б о те  [I],  с  н е к о т о р ы ми  с у щ е с т в у ю щ и ми  м е т о д а м и.  П ри  э т ом  п о д ч е р к н у ты  о б щ ие   с в о й с т ва  и  н о в ые  э л е м е н т ы.  П р о в е д е но  и с с л е д о в а н ие  у с т о й ч и в о с ти  у р а в н е н ия  Р е л ея  с  н е л и н е й н ой   х а р а к т е р и с т и к ой  у п р у г о с ти  с  п о м о щ ью  а л г о р и ф м а,  п р е д с т а в л е н н о го  в  р а б о те  [1].  Н а  р и с.  1 п о­ к а з ан  п р е д е л ь н ый  ц и кл  д ля  э т о го  у р а в н е н и я.  Д о к а з а на  у с т о й ч и в о с ть  э т о го  ц и к л а.  S u m m a r y  •   O N  A  C E R T A I N  N E W M E T H O D  O F  A N A L Y Z I N G  T H E  S T A B I L I T Y  O F  S O L U T I O N S F O R  N O N L I N E A R  S Y S T E M S  W I T H  O N E D E G R E E  O F  F R E E D O M  In  this  paper,  a  certain  method  of  investigating  the  stability  of  nonlinear  systems  presented  in  [1]  is  compared  with  some  existing  methods.  Common features  and  new  elements  of  this  method  are  expo­ sed.  The  algorithm  used  in  the  method  is  applied for  investigation  of  the  stability  of  Rayleigh's  equation  with  nonlinear  elasticity  characteristics.  The  limit  cycle  for  that  equation  is  presented  in  Fig.  1.  Stability  of  the  limit  cycle  is  proved  in  the  present  paper.  P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  12  sierpnia 1974 r.;  w  wersji  ostatecznej — dnia  12 lutego  1975 r.  I