Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  D Y N A M I K A  P Ł A S K I E J  W I Ą Z KI  P R Z E W O D Ó W  P R Z Y  P R Ą D A CH  Z W A R C I O W Y C H  M A R I A  R A D W A Ń S K A,  Z E N O N  W A S Z C Z Y S Z Y N  ( K R A K Ó W )  1.  Uwagi  wstę pne,  założ enia  i  oznaczenia  Przy  projektowaniu  konstrukcji  wsporczych  stacji  rozdzielczych  wysokich  napięć   należy  uwzglę dnić  dynamiczne  oddziaływania  powstają ce  pomię dzy  przewodami  podczas  krótkich  zwarć.  Znaczny  wzrost  sił elektrodynamicznych  powoduje  gwałtowne  zbliż anie  się   przewodów,  czemu  towarzyszy  wzrost  sił  w  przewodach,  a  to  z  kolei  wywołuje  dynamiczną   «odpowiedź»  konstrukcji  wsporczej.  Pełne  opisanie  zjawiska  jest  zadaniem  bardzo  złoż onym,  gdyż  wymaga  uję cia  wza­ jemnego  sprzę ż enia  konstrukcji  linowo­ramowej,  j a k ą  jest  najprostsza  stacja  wysokiego  napię cia  (rys.  1).  Obok  oddziaływań  elektrodynamicznych  w  wią zkach  przewodów  należ a­ łoby  również  uwzglę dnić  oddziaływania  mię dzyfazowe  (mię dzywią zkowe).  Obydwa  typy  oddziaływań  mają  charakter  nieliniowy,  gdyż  zależą  one  nie  tylko  od  zmiennego  w  czasie  natę ż enia  p r ą du  zwarciowego,  ale  też  od  wzajemnej  konfiguracji  (przemieszczeń)  prze­ w o d ó w .  W  obecnej  pracy  zajmiemy  się  kluczowym  problemem  obliczania  l i n 0  jednej  wią zki  dwuprzewodowej  z  nieregularnie  umieszczonymi  odstę pnikami  (rys.  2).  Rozwią zywanie  L  Rys.  1  Wi ą zka  pr zewodów  j ednej   f azy  I  Odst ę pni ki   r ­0  г   LR Rys.  2  1 1  W  dalszym c i ą gu  we  wszystkich miejscach, gdzie opisujemy  m e c h a n i c z n ą  s t r o n ę  problemu,  u ż y w a my  raczej terminu  «lina»  niż  « p r z e w ó d » ,  który  bardziej  kojarzy  się  ze  zjawiskami  elektrycznymi.  46  M. RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN  wią zki  oddzielonej  od  konstrukcji  wsporczej  bę dzie  stanowiło  istotną  czę ść  ogólnego  algorytmu  obliczania  stacji  rozdzielczych.  Dotychczas  liczono  liny  przy  p r ą d a ch  zwarciowych  na  podstawie  szeregu  upraszcza­ ją cych  założ eń  [8,  10],  z  któryc h  jednym  z  istotniejszych jest  narzucenie  kształtu  odkształ­ conych  l i n ,  co  jest  równoznaczne  z  radykalnym  zmniejszeniem  jej  liczby  stopni  swobody.  W  obecnej  pracy  bę dziemy  traktowali  liny jako  układy  o  nieskoń czonej  liczbie  stopni  swobody.  Moż liwość  powstania  duż ych  ką tów  obrotu  normalnej  do  osi  liny  skłania  do  oparcia  się  na  teorii  duż ych  przemieszczeń.  Z  kolei  niektóre  doś wiadczenia  [1]  wykazały,  że  do  chwili  «sklejenia  się»  p r z e w o d ó w  istotny jest  ich  ruch  poziomy.  «Podrzucanie»  na­ stę puje  w dalszej fazie  «sklejania».  Towarzyszy  temu powstanie impulsu  przekazywanego  na  konstrukcję  wsporczą.  T o  spostrzeż enie  zezwala  na  traktowanie  lin  o  mały m  zwisie  jako  strun  i  ograniczenie  rozważ ań  do  przypadku  przemieszczeń  w  płaszczyź nie  poziomej.  Dalszym  założ eniem jest przyję cie  lin jako  wiotkich,  idealnie  sprę ż ystych  cię gien  z  unie­ ruchomionymi  k o ń c a m i.  Bę dziemy  opierali  się  na  teorii  duż ych  ugię ć,  lecz  małych  prze­ mieszczeń  (pomijamy  wpływ  zmiany  pola  przekroju  poprzecznego  na  rozkład  naprę ż eń   i  stosujemy  miarę  Cauchy'ego  dla  odkształceń ).  Oddziaływania  elektrodynamiczne  obliczymy  z  prawa  Biota­Savarta,  uwzglę dniając  składową  bezokresową  p r ą du  zwarciowego  [6].  Intensywnoś ci  tych  sił  silnie  zależą  od  wzajemnego  położ enia  przewodów,  co  m o ż na  uwzglę dnić  przez  wykorzystanie  pamię ci  komputera  dla  zapisu  aktualnej  konfiguracji  l i n .  W  pracy  wyprowadzimy  i  zbadamy  podstawowy  układ  r ó w n a ń  róż niczkowych  oraz  zaproponujemy  przybliż ony  opis  przydatny  do  obliczeń  numerycznych.  Wszystkie  równania  i  obliczenia  bę dą  prowadzone  w  wielkoś ciach  bezwymiarowych.  Ogólnie,  wielkoś ci  fizyczne  bę dą  oznaczone  nadkreś leniami  bą dź  duż ymi  literami.  Poniż ej  zestawiono  najistotniejsze  oznaczenia;  pozostałe  wielkoś ci  zaznaczono  na  rysunkach  bą dź   też  objaś niono  w  tekś cie.  »  a,  m >  У т > Vm  a, a, b, с A d = dla E,F G(x) 1,1'  U Lr k(r) a  DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW  47  в о /gy  r 1  — 6o02/gN0  T 2  jednostkowa,  wymiarowa  i bezwymiarowa  masa  cię g­ na,  m  numeracja  czasu r = rm, N0, v = N0/EF  wymiarowa  i  bezwymiarowa  siła  wstę pnego  nacią gu,  n = S/N0  wzglę dny  przyrost  nacią gu  podczas  ruchu  liny,  p = Pa/N0  intensywność  oddziaływania  elektrodynamicznego,  r •= 0 , 1 , R  numeracja  p o d p ó r  i  odstę pników,  s = 's ja  współrzę dna  krzywoliniowa  odmierzana  wzdłuż  od­ kształconej  osi liny,  x = t/T  bezwymiarowy  czas,  T, Ta  okres  p r ą du  i  stała  czasowa  p r ą du  zwarcia,  u = й /а , v  = v/a  przemieszczenia  wzdłuż  osi X i y, i = x = x/a  bezwymiarowe współrzę dne  punktu  osi  liny:  material­ na  i przestrzenna,  (  ) '  s= д /д Ł,  (')  =  dl dr  oznaczenia  pochodnych,  {w}m  zbiory  wartoś ci  w, odpowiadają ce  czasowi  r m .  2.  Oddziaływania  elektrodynamiczne  przewodów  Zgodnie  z  założ eniami  zajmiemy  się wzajemnym  oddziaływaniem  przewodów  jednej  płaskiej  wią zki  dwuprzewodowej  (rys. 2), w  której  płynie  p r ą d  zgodny  w  fazie.  W y n i k a  stąd  «przycią gają ce»  działanie  sił elektrodynamicznych.  Przebieg  p r ą du  roboczego w obwodzie jednofazowym  okreś la  funkcja  okresowa  (2.1)  /  =  j / 2 / s i n c o r .  Prąd  zwarcia  m o ż na  opisać  nastę pują cym  przybliż onym  wzorem  [6]:  We  wzorze  (2.2)  pominię to  wyż sze  harmoniczne  przebiegu  p r ą du  oraz  zmniejszenie się   składowej  okresowej I"  p r ą du  zwarciowego.  Uwzglę dniono  natomiast  zanikanie  składo­ wej  bezokresowej  o  stałej Ta.  Zamiast  tej  stałej  wprowadza  się  czę sto  współczynnik  p r ą du  udarowego ku,  odpowiadają cy  maksymalnej  wartoś ci  natę ż enia  (w przybliż eniu  po  czasie  t x  Л /с о )  (2.3)  i„ «  i/2  /"[l+exp(­f/r 0 )]  =  ku]/2I".  Współczynnik  ten na  ogół  wynosi ku  ^  1,8,  co  odpowiada Ta  <  0,05 (por. [6]).  Intensywność  oddziaływania  elektrodynamicznego  pola  magnetycznego  o  indukcji  В   na  przewodnik,  w  k t ó r y m  płynie  prąd  o  natę ż eniu i, w  kierunku  jednostkowego  wektora  stycznego  t,  wynosi  według  prawa  Biota­Savarta  Indukcja  wzdłuż  przewodu m,  wynikła  z  oddziaływania  przewodu n,  w  ś rodowisku  jednorodnym  o  współczynniku  przenikalnoś ci  magnetycznej  ц0  =  const,  wynosi  (2.2)  (2.4)  P  =  i(txB).  (2.5)  48  M. RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN  T a k  wię c,  zgodnie  z  (2.4),  intensywność  oddziaływania  przewodu n  na  przewód m (rys.  3)  m o ż na  napisać  w  postaci  tm  x (ds„ x r)  (2.6)  P » " = ­ t Ą  In  Jeś li  w  ramach jednej  wią zki  przewody  są zakrzywione,  to  mogą  one  oddziaływać  same  na  siebie. W  wią zce  dwuprzewodowej  przyjmiemy m  =  1 oraz n  =  2,  co  po  wprowadzeniu  wielkoś ci  bezwymiarowych pozwala  napisać  wzór  na  intensywność  oddziaływania  elektro­ dynamicznego  w  postaci  (2.7)  P =Pii+Pi2 =*(T)G(X).  Rys.  3  We  wzorze  tym  rozdzielono  funkcje  zależ ne  od  prą du  (czasu)  i  od  konfiguracji  przewo­ d ó w :  12  k(r) = A^exp|—  COS2TTTJ  ,  W ­ E P ­ i ^ P ^ .  O  = 1 , 2 ) ,  (2.8)  T̂ i h I"2fi0a 2nN0 Z  podwójnego  iloczynu  wektorowego  w  funkcji  G ( x ) oraz  z  nieujemnoś ci  funkcji k(r) wynika,  że wektor  oddziaływania  p  bę dzie  leż ał  z  płaszczyź nie  wią zki,  bę dzie  stale  prosto­ padły  do  przewodu,  dla  którego  został  obliczony  i  bę dzie  w  dodatku  miał  zwrot  zapewnia­ ją cy  «przycią ganie»  przewodów  (rys.  3).  Z  tego  wzglę du  moż emy  się  dalej  ograniczyć  do  obliczania  jego  długoś ci p  =  |p|  według  wzoru  (2.9) p = k(r)G. We  wzorze  (2.9)  funkcję  к (т )  należy  liczyć  według  (2.8)2.  Funkcję  skalarną G  dla  symetrycznej  dwuprzewodowej  płaskiej  wią zki  m o ż na  po  prostych  przekształceniach  na­ pisać  w  postaci  gdzie  uż yto  skróconych  oznaczeń  dla rs  (rys.  4)  (2.11) rj  = (x­x)2 + (v­v)2, r\ = (x­x)2 + (l­v­v)2. DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW  49  We  wzorze  (2.10)  całkowania  dokonuje  się  równocześ nie  wzdłuż  przewodów  1  i  2,  czemu  odpowiadają  dla  bież ą cego  punktu  współrzę dne  bezwymiarowe: (x, v)  lub (x,  1— v). Rys.  4  •  3.  Podstawowy  układ  równań  liny  Pominię cie  oddziaływań  mię dzywią zkowych  zezwala  na  rozpatrywanie  tylko  jednej  liny  wobec  symetrii  odkształcenia  się  wią zki  dwuprzewodowej.  Dalsze  założ enie  płaskiego  stanu  przemieszczeń  umoż liwia  pominię cie  wpływu  cię ż aru  własnego  i  ograniczenie  roz­ waż ań  do  obcią ż enia  wstę pnym  nacią giem N0,  a  przy  prą dach  zwarciowych  do  obcią ż enia  o  intensywnoś ci p(r),  działają cego  stale  w  płaszczyź nie  wią zki.  D l a  opisania  duż ych  przemieszczeń  posłuż ymy  się  opisem  materialnym  i jako  zmienną   niezależ ną  przyjmiemy  współrzę dną  J  = g/a,  odmierzaną  wzdłuż  liny  w  stanie  wstę pnego  napię cia  siłą N0  (rys.  5).  • W  Ь )  di  Rys.  5  Konfigurację  aktualną  opiszemy  współrzę dnymi  przestrzennymi  układu  kartezjań skiego  x,  у  lub  też  składowymi  wektora  przemieszczeń u, v (3.1) x  =  f + u,  у  =  v,  przy  czym  dla  odkształconego  elementu  cię gna  zachodzą  zwią zki  dx = dscosy, dv = dssiny, które  m o ż na  napisać  w  postaci  róż niczkowej  (3.2) x' = s'cos+(N+dN)cos((p+d(p)—pdś sinf =  0,  — odv—Nsin(p+(N+dN)sin(

coscp, cos(

+ [ / ( 0 , TW ~ 1},  a  więc  warunek  zależ ny  od  bież ą cego  rozwią zania  *o =/I(T,«).  У О =  Л ( т , и ),  które  bę dzie  m o ż na  uzyskać  np. w  drodze  kolejnych  przybliż eń.  52  M. RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN  4.  Badanie  podstawowego  układu  równań  i  równania  przybliż one  Przed  wybraniem  właś ciwej  metody  rozwią zywania  podstawowego  u k ł a d u  (3.9) należy  dokładniej  zbadać jego własnoś ci. Podobień stwo  do  równań  falowych  pozwala  przypuszczać,  że  bę dą  one miały  cechy  równań  hiperbolicznych,  skąd  wynika  konieczność  wyznaczenia  obszaru  okreś lonoś ci  rozwią zania,  ograniczonego odpowiednimi  rodzinami  charaterystyk.  Charakterystyki  wyznaczymy  według  metody MISESA,  opracowanej  w [7] dla  r ó w n a ń   hydromechaniki,  gdzie  m o ż na  spotkać  układy  r ó w n a ń  podobnych  do  (3.9).  Metoda  została  opracowana  dla r ó w n a ń  pierwszego  rzę du.  W przypadku  u k ł a d u (3.9)  wprowadzimy  nowe  funkcje  (4.1)  Z[ = x', z2 = x, z3 = v',  z 4 — v, zs = 77,  co  daje  liczbę  poszukiwanych  funkcji M = 5. Liczba  zmiennych  niezależ nych  |  i т  wynosi  N  = 2, co odpowiada  zadaniu  płaskiemu  [7]. Brakują ce  równania  otrzymamy  ze  zwią z­ ków  Schwarza  (4.2) zy = z'2, ż3 = zl Równanie  charakterystyczne  dla u k ł a d u  (3.9) i (4.2) otrzymamy z warunku  (por.  [7]):  =  0,  gdzie  Aj i XT są współrzę dnymi  wektora  A ,  prostopadłego  do charakterystyki.  Po  rozwinię ciu  wyznacznika  otrzymujemy  z  (4.3)  równanie  (4.4) X. [dlV 2­ {2d, +d2)V+{dl+d2)] =0, gdzie  dla  skrócenia  zapisu  uż yto  oznaczeń   d, = ac = ­­(I+77),  d2 = bs' 2 = ­. Pierwiastkami  równania  (4.4)  są   — а Я|  К   0  0  — bx'Xf 0  0  — а Х с  К   ­bv'X(  (4.3)  x'Xs  0  o'Aj  0  — cX(  К   ­h  0  0  0  0  0  xx  ­h  0  (4.5)  Г )  =  aX\  (4.6)  ;.? =  o,  ^  =  1,  rj2 = i +  (4.7)  X?> = 0,  Xr  +  a  po  powróceniu  do pierwotnych  wielkoś ci,  współrzę dne  wektorów  X  wynoszą   A  ­ ± — L .  (2,3)  Г  PKLTVN)  h  C4.5)  ~ \/v(J,  Rzeczywiste  pierwiastki  równania  charakterystycznego  wskazują  na  hiperboliczny  typ  równań  (3.9).  Wystą pienie  dwóch  rodzin  ukoś nych  charakterystyk  (rys. 6) w sposób za­ sadniczy  utrudnia  stosowanie  metod  numerycznych.  Stosowanie  całkowania  odpowiednich  równań  cią głoś ci  wzdłuż  charakterystyk  jest  niemoż liwe  na  skutek  zależ noś ci  oddziaływania  elektrodynamicznego p  od  aktualnej  konfiguracji  liny. Z kolei  stosowanie  standardowych  metod  róż nic  skoń czonych  (por.  [4])  DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW  53  jest  bardzo  utrudnione  przez  konieczność  dostosowywania  siatki  róż nicowej  do  płaskiej  rodziny  charakterystyk  o  wektorach  normalnych  Л 4  i  X 5  (rys.  6).  Wystę powanie  bardzo  małej  wartoś ci  v w mianowniku (4.7)3  przybliża  tę  rodzinę  do  osi | ,  co  wymaga  stosowania  małych  przyrostów  Ar,  a  więc  obniży  efektywność  metody  róż nicowej.  0 L Rys.  6  Wymienione  trudnoś ci  skłoniły  nas  do  poszukiwania odpowiednich  sposobów  przybli­ ż onych  dla  rozwią zania  zagadnienia.  Jedną  z moż liwoś ci  jest  uproszczenie  podstawowego  u k ł a d u  równań  do  postaci  przydatnej  w  obliczeniach  numerycznych.  Istotnym  ułatwieniem  jest  przyję cie  stałej  siły  w  cię gnie  и ( |,  т)  = C(T).  Konsekwencją  tego  założ enia  są  zwią zki  wynikłe  z  równań  (3.9):  (4.8)  x'x"  = —v'v",  x'x  =  — v'v. Mechaniczną  interpretacją  zwią zku  (4.8)2  jest  ustalenie  kierunku  działania  przyspieszeń,  a  więc  też sił  bezwładnoś ci,  jako  prostopadłego  do  elementu ds,  a  więc  tak  samo jako  ob­ cią ż enia  elektrodynamicznego p  (por.  rys.  5).  Po  wykorzystaniu  zwią zków  (4.8)  dwa  pierwsze  r ó w n a n i a  u k ł a d u  (3.9)  są  liniowo  za­ leż ne.  D o  równania  (3.9)2  dołą czymy  równania  wynikają ce  z  (3.7)  oraz  warunek  brzegowy  (3.15)2,  rozpisany  w  postaci  całki:  1 + и  ,, p , v = v"+  —x',  fz(l+m)  /и   (4.9)  x'  =  \/(l+vn)2­v'2  ,  f  ( x ' ­ l ) d ? = 0 .  o  D o  tak  uproszczonego  u k ł a d u  równań  (4.9)  dołą czamy  warunki  począ tkowe  (4.10)  o t f , 0 )  ­ ó ( f , 0 )  = 0  oraz  warunki  brzegowe  (4.11)  *(0,  т ) = 0,  v(Lr,  T)=0  dla  r  =  1,2  R.  Obszar  istnienia  rozwią zania  u k ł a d u  (4.9)  jest  teraz  ograniczony  bardziej  stromymi  charakterystykami  (4.7) 2 .  Umoż liwia  to  stosowanie  wię kszych  k r o k ó w  czasowych  z l r  w  dalej  podanym  algorytmie  rozwią zywania.  5 4  M. RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN  Równanie  (4.9)3  bę dzie  służ yło  do obliczania  siły  podłuż nej  w linie n. Ponieważ  siła  ta  jest  funkcją  aktualnej  konfiguracji  l i n , siłę л bę dzie  m o ż na  obliczać  w drodze  kolejnych  przybliż eń.  W tym  celu  rozwiniemy  funkcję  podcałkową  w szereg  potę gowy  i przez  zacho­ wanie  czterech  pierwszych  wyrazów  dochodzimy  do  nastę pują cego  wzoru:  ( 4 1 2 )   ( ? = J _  г  A ­  +  A *  +  A <  i  k ' ; LRv  |_2(l+v«) 8(l+vn) 3  ł  1 6 ( 1 + w ) 5  gdzie  uż yto  oznaczeń   (4.13)  == f (v')ld$  dla  fc  =  2 , 4 , 6 .  o  •  5.  Opis  algorytmu  rozwią zywania  przybliż onego  układu  równań   D o  całkowania  u k ł a d u  (4.9)  zastosujemy  m e t o d ę  róż nic  skoń czonych.  Celem  uzyskania  maksymalnej  dokładnoś ci  obliczeń  wę zły  siatki  bę dziemy  starali  się umieszczać  wewną trz  obszaru  okreś lonoś ci  zadania, jak  najbliż ej  charakterystyk  [4]. Z tego  wzglę du  przy  usta­ lonym  kroku  zmiennej  geometrycznej  AC  uż yjemy  zmiennego  kroku  czasowego  /г  л \  л  ­ш /  (1 "T"̂ m— 1  (5.1)  Arm+i  = amrm,  ccm = 1 /  ) ( i + 0  » ) ( 1 + Г ЛТ _ , )  '  przy  czym  dla  rozpoczę cia  całkowania  przyjmiemy  Ar0  odpowiadają ce  (4.7)2  (5.1а)  Л T0  =  у /л А $,  a 0 = l .  Zmienny  krok  całkowania  Arm  uwzglę dniono  we  wzorze  róż nicowym  na drugą  po­ chodną  czasową   ­  ,  ,r  04  ••  _  Pm+1  ­  (1 +  « m ) P m +  «m*>m­1  «m(l  + a m ) z l T 2 / 2  gdzie indeks l = 0,1,2, LR  numeruje  zmienną  przestrzenną  Ł, a indeks m  =  0 , 1 , 2 , . . . ,  M  czas  T.  P o  podstawieniu  (5.2),  wobec  wzoru  róż nicowego  na  pochodną  wprzód  m o ż na  prze­ kształcić  r ó w n a n i a  (4.9),  i  (4.9)2  do postaci  Vm+l.t  =  ­  «и «т ­1.1 +  А »»*. l +  У«(«»т. 1­1 + » m .  J + l )  +5?m(4f+^«m,  l)pm.  I .  (5.3)  H m , l + i  =  tfm,i +  Aum,i,  = /(T +  w ) W ­ ( f l I + 1 ­ ^ | m ­ z l f ,  gdzie  obok  (5.1)2  uż yto  nowych  oznaczeń   DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW  55  Również  całki  Ak  we  wzorze  iteracyjnym  (4.12)  obliczane  bę dą  w  sposób  przybliż ony  LR­1 (5.5)  Л  * ­ J i ^  к  =  2,4,6.  /=0  Warunki  graniczne  sformułujemy  też  w  zapisie  róż nicowym.  Korzystając  z  centralnej  róż nicy  skoń czonej  warunki  począ tkowe  (4.10)  przedstawimy  w  postaci  (5.6)  OJO.I  =  0,  = vul, a  po  podstawieniu  ich  do  (5.3)t  i  uwzglę dnieniu  a 0  =  1  otrzymujemy  (5.6a)  «?l ti  =  ­j—po.t­ Warunki  brzegowe  (4.11)  napiszemy  przy  uż yciu  indeksów lim (5.7) xm.o=0,  ^ m , L r = 0 , r = 0,1,..,,LR. Wzory  róż nicowe  (5.3)  umoż liwiają  przedłuż anie  rozwią zania  wzdłuż  l i n i i  f,  =  const.  Przy  znanych  wartoś ciach  dyskretnych  zbiorów  { » } m _ i , {v}m,  {"}m>  {/>}m  i  nm  m o ż na  z  równania  (5.3)Ł  obliczyć  w,  dla  nowego  czasu r m + 1 ,  uwzglę dniając  przy  tym  warunki  brzegowe  (5.7) 2 .  Nastę pnie  obliczamy iteracyjnie  siłę nm+1  według  (4.12)  i  { « } m + i  według  (5.3) 2 .  A b y  rozpocząć  obliczenia  liczymy v_lit  według  (5.6a),  natomiast  pozostałe  wartoś ci  przyjmujemy,  jak  dla  lin  znajdują cych  się  w  spoczynku  А Ё2  (5.8)  M ­ i  =  ­ f r M o ,  {»}o =  M o  =  W ,  " o = 0 .  Przy  korzystaniu  ze  wzoru  iteracyjnego  (4.12) jako  pierwsze  przybliż enie  siły nm  przyj­ mujemy  wartość  obliczoną  ze  wzoru  ekstrapolacyjnego  (5.9)  и £+ 1 =  3(пт­пт^)+пт_2,  И ­2 =  » ­ i  =  "o  =  0.  Istotnym  punktem  algorytmu  jest  liczenie  oddziaływań  elektrodynamicznych  pm>t.  Wartoś ci  tych  oddziaływań  m o ż na  obliczyć  przez  zastosowanie  wzoru  kwadraturowego  do  obliczenia  całki  (2.10);  w  ułoż onym  algorytmie  zastosowano  wzór  trapezowy  r  Г  1  1  (5.10)  P l   = k ( r Ą Ę  AOt+jiAPo+AGt^j,  gdzie  dla  skrócenia  zapisu  uż yto  AQi  = ^l(vi­vi)dxt­(xt­xl)Avi\ +  Ą ­[0.­vl­vt)Axt­(xl­x,)Av,], ' l  '2  (5.11)  r i  =  Ą xt­x,)2+(v,­vt) 2 , r2 = ^txt­XiY­rVl­Vi­Vi) 2 , 1  ­  ,  ,  •   Awi  =  ­ ^ ­ ( W i + i ­ i v , _ i ) ,  А щ  = W!­>f0,  Z1WLR =  WLR­WLR^  dla  w  =  x,  v.  56  M. RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN  Obliczenia  intensywnoś ci  obcią ż enia pt  należy  w y k o n a ć  dla /  =  0, 1,  L R , a  więc  LR + l  razy,  aby  wypełnić  cały  zbiór {p}m.  Obliczenie  to  jest  najbardziej  czasochłonne.  Ze  wzglę du  na ograniczoną  dokładność  obliczeń  m o ż na  je  skrócić.  Skorzystamy w tym  celu  z  własnoś ci  funkcji AGt,  której  wartoś ci  szybko  maleją  w miarę  oddalania  się od punktu  /  (wystę pują  mnoż niki  r j 3 ) . Dlatego  sumę  wystę pują cą  w (5.10)  rozdzielimy  na dwie  czę ś ci,  które  odpowiadają  sumowaniu  «na lewo»  (wskaź nik i maleje)  i «na prawo»  od  punktu  /  i ­ i* (5.12) ^AG, » ^AGt+ Ł AG,. i i=i  /=/+1  Wartoś ci i~ oraz /+ są ustalane w trakcie  obliczania,  tak aby błąd  powstały  przez odrzucenie  pewnej  liczby wyrazów  sumy w (5.10) nie  przekraczał  z góry  danej wartoś ci 2b„.  Sumowanie  «w  lewo»  i  «na p r a w o »  prowadzimy  aż do  spełnienia  nierównoś ci  b„ AGi­iAGi  >  0, i' >1, (5.13)  %  bp Ł AGi—(LR — i)AGi > 0, i+ <  L R ­ 1 .  Podprogram  liczenia  sił p,  ułoż ono  tak, że  najpierw  się  liczy sumę  w  (5.10)  i jeś li  /~ >  1,  to  nie  oblicza  się AG0  oraz  pomija  się AGLR  w  przypadku  /+  < LR — 1.  A b y  uniknąć   osobliwoś ci  w  (5.11)  przyję to ry  =  1 dla i = l, co  oznacza,  że punkt  nie może  elektrody­ namicznie  oddziaływać  sam  na  siebie.  W  wyniku  ruchu  przewody  bę dą  zbliż ały  się do siebie i zachodzi  moż liwość  ich  zetknię­ cia  się.  W  takim  przypadku  oddziaływania  elektrodynamiczne  «sklejają ce»  obydwa  prze­ wody  wzajemnie  się  równoważ ą,  co  należy  uwzglę dnić  przez  przyję cie  (5.14) pl2=0  dla  i  wpisanie  tych  wartoś ci  we wszystkich  punktach lz,  w  których  w m + 1 , l z  >  (1 — d)/2. N a  koniec  opiszemy jeszcze jedną  p o p r a w k ę ,  k t ó r a  w istotny  sposób  polepszyła  zbież­ ność  i  stabilność  algorytmu.  Podczas  obliczeń  sprawdza  się czy obliczona  wzorem  (4.12)  wartość  nm+l  =  nmXi  spełnia  nierówność   (5.15)  n„Xx­nm  <  0.  Jeś li  nierówność  nie jest  spełniona,  to  oblicza  się nową  wartość  a m  przyjmując  w  (5.1)2  odpowiednio nm  =  nm\,  i powtarza  się  obliczenie  {v}m+1  przy  niezmienionych  wartoś ciach  Mm,  {*}„,  {p}m­ Takie  postę powanie  jest  równoznaczne  ze skracaniem  długoś ci  kroku  czasowego Arm, tak  aby  nie  wyjść  z  obszaru  istnienia  rozwią zania.  6.  Przykłady  liczbowe  Algorytm  zaproponowany w rozdziale zaprogramowano w ję zyku  A L G O L ­ 1 2 0 4 .  W y k o ­ nano  dwa  przykłady  obliczeniowe,  które  pozwoliły  nie tylko  sprawdzić  i ulepszyć  algorytm,  ale  też wycią gnąć  pewne  wnioski  co  do  dalszej  przydatnoś ci  proponowanej  metody.  DYNAMIKA PŁASKIEJ WIĄ ZKI PRZEWODÓW  57  W  obydwu  przykładach  przyję to  dane  odpowiadają ce  wartoś ciom  wystę pują cym  w  real­ nych  konstrukcjach  wsporczych.  D l a  p r ą du  zwarcia  przyję to  7  =  4 4 k A ,  r „ = 0 , 0 3 s ,  p0  =  4  •  ж  • 1 0 " 7  N / A 2 .  L i n y  scharakteryzowano  nastę pują cymi  parametrami:  d  =  31,5  m m , F  =  587  m m 2 ,  n0  =  1,97  k G / m , E  =  7750  k G / m m 2 .  Przyję to  też  jednakowy  wstę pny  naciąg  i  rozstaw  odstę pników  N0  =  1000  k G , d  =  40  cm.  Jako  pierwszy  przykład  obliczono  jednoprzę słową  wią zkę  o  stosunku  długoś ci  lin  do  długoś ci  odstę pnika  jak  15:  1,  a  więc LR = L,  = 1 5 .  D o  obliczeń  przyję to AŁ  =  0,25  i r0  =  0,05.  Najpierw  wykonano  obliczenia  przy  sta­ łym  kroku  czasowym Ar  =  0,02  i  po  160  krokach  osią gnię to  czas rM  =  3,25.  Obliczenia  Rys.  7  p o w t ó r z o n o  według  ulepszonego  algorytmu,  który  uwzglę dniał  zmienny  krok  czasowy  Arm =