Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z1.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  1,  14  (1976)  S T A T E C Z N O Ś Ć  P Ł A S K I E J  P O S T A C I  Z G I N A N I A  B E L K I  O  O S I  Z A Ł A M A N E J  A R N O L D  W I L C Z Y Ń S KI  (POZNAŃ)  1.  Wstęp  W  pracy  rozpatrzono  zagadnienie  statecznoś ci  płaskiej  postaci  zginania  belki  dwupod­ porowej,  której  oś  tworzy  linię  łamaną  (rys.  1).  Przyję to  symetryczny  układ  ramion  belki  wzglę dem  osi  pionowej  z 2  i  ograniczono  się  do  przypadku,  w  k t ó r y m  sztywność  belki  na  skrę canie  nieswobodne  jest  r ó w n a  zeru.  Przyję to,  że  belka  poddana  jest  działaniu  równomiernie  rozłoż onego  obcią ż enia  pio­ nowego  ą  i  pionowej  siły  skupionej  P  działają cej  wzdłuż  osi  symetrii  z 2 .  O  podporach  założ ono,  że  uniemoż liwiają  o b r ó t  koń ców  belki  wzglę dem  jej  osi  oraz  wzglę dem  osi  z  i  z t .  Odnoś nie  do  przekroju  poprzecznego  belki  założ ono,  że osie у  i z  prostoką tnego  ukła­ du  x,y,z  są  głównymi  centralnymi  osiami  bezwładnoś ci  oraz  że  sztywność  zginania  wzglę dem  osi у  jest  duża  w  p o r ó w n a n i u  ze  sztywnoś cią  wzglę dem  osi  z.  u*  164  A .  W I L C Z Y Ń S KI  Celem  pracy  jest  wyznaczenie  pierwszych  krytycznych  wartoś ci  obcią ż enia  ( P ,  ql\T  w  zależ noś ci  od  ką ta  ot  nachylenia  ramienia  belki,  stosunku  wypadkowej  obcią ż enia  cią głego  do  wartoś ci  siły  skupionej  i  odległoś ci  miejsca  przyłoż enia  obcią ż enia  cią głego  od  osi  sił  poprzecznych.  Przyjmują c,  że po  utracie  statecznoś ci  ramiona  belki  odkształcą  się  symetrycznie  spro­ wadzono  r ó w n a n i a  róż niczkowe  równowagi  oboję tnej  ramienia  belki  do  układu  d w ó c h  r ó w n a ń  całkowych  Volterry  drugiego  rodzaju,  których  rozwią zania  przybliż one  wyzna­ czono  metodą  iteracji.  N a  podstawie  w a r u n k ó w  brzegowych  otrzymano  nastę pnie  wa­ runek  służ ą cy  do  okreś lenia  obcią ż eń  krytycznych.  W y n i k i  obliczeń  numerycznych,  dotyczą ce  belek  stalowych  o  przekroju  w  kształcie  wydłuż onego  prostoką ta,  zestawiono  w  tablicach.  W  zakoń czeniu  pracy  podano  przykład  liczbowy.  •  •   2.  Równania  róż niczkowe  równowagi  oboję tnej  Konstrukcje  tego typu, jak  rozpatrywana  w pracy  belka, wykonuje  się na  ogół  z  dwóch  symetrycznych  ramion  połą czonych  wę złem  usztywnionym  n a k ł a d k a m i .  Przyję to,  że  wę zeł  ten  ma  kształt  trójką ta  ABC  (rys.  2)  oraz  że  pionowa  siła  P  jest  zaczepiona  w  połowie  jego  wysokoś ci  (punkt  E).  Należy  zaznaczyć,  że  punkt  zaczepienia  siły  P,  bę dą cej  wypad­ kową  u k ł a d u  sił  zewnę trznych  działają cych  na  wę zeł,  może  przyjmować  w  praktyce  do­ wolne  położ enie  na  osi  symetrii  z2.  Jednakż e,  w  celu  zmniejszenia  liczby  dowolnych  pa­ r a m e t r ó w  wystę pują cych  w  pracy,  przyję to  do  dalszych  rozważ ań,  że  miejscem  zaczepie­ nia  siły  P  jest  punkt  E.  Zakładając  idealną  sztywność  wę zła,  przy  przyję tym  jego  kształcie  i  punkcie  zacze­ pienia  siły  P,  otrzymujemy  model,  który  stosunkowo  łatwo  m o ż na  opisać  matematycznie.  Powyż sze  założ enie  o  idealnej  sztywnoś ci  wę zła  nie jest  oczywiś cie  w zupełnoś ci  zgodne  z  rzeczywistoś cią  mimo  wzmocnień  konstrukcyjnych  (nakładek).  Z  uwagi jednak  na  pro­ porcje  wymiarowe  u k ł a d u  jest  do  przyję cia,  zgodnie  z  zasadą  de  Saint­Venanta.  Przystę pując  do  wyprowadzenia  r ó w n a ń  równowagi  oboję tnej  należy  zauważ yć,  że  ze  wzglę du  na  symetrię  układu,  jak  i  obcią ż enia,  pierwsza p o s t a ć  utraty  statecznoś ci  bę dzie  symetryczna  wzglę dem  osi  y2  (rys.  1).  U k ł a d  sił  działają cych  po  utracie  statecznoś ci  na  oswobodzoną  z  wię zów  belkę  przed­ stawiono  na  rys.  2,  przy  czym  oznaczono:  Mg  moment  oddziaływania  utwierdzenia  w  płaszczyź nie  xy,  M,  moment  oddziaływania  utwierdzenia  w  płaszczyź nie  yz,  a  odległość  od  ś rodka  cię ż koś ci  przekroju  do  znajdują cego  się  nad  nim  punktu  przyłoż enia  obcią ż enia  cią głego,  przy  czym  0  <  a  <  1/2Л.  D l a  0  <  x  <  /  położ enie  dowolnego  przekroju  poprzecznego  belki  po  utracie  sta­ tecznoś ci  bę dzie  okreś lone  nastę pują cymi  składowymi:  —  przemieszczeniem  и  ś r o d ka  cię ż koś ci  przekroju  w  kierunku  osi  y,  —  przemieszczeniem  w  ś r o d ka  cię ż koś ci  przekroju  w  kierunku  osi  z,  —  ką tem  obrotu  cp  przekroju  w  płaszczyź nie  yz.  Przy  tym  przemieszczenie  w jest  pomijalnie  małe  z  uwagi  na  założ enie,  że  sztywność   S T A T E C Z N O Ś Ć  PŁASKIEJ  POSTACI  Z G I N A N I A  B E L E K  165  i  Rys.  2  zginania  wzglę dem  osi у  jest  znacznie  wię ksza  od  sztywnoś ci  wzglę dem  osi z.  Dlatego  w  dalszym  cią gu  pracy  składowa  w oraz jej pochodne  nie bę dą  uwzglę dniane.  Składowe  m o m e n t ó w  sił zewnę trznych  działają cych  na  belkę  wyraż ają  się w  dowol­ nym  miejscu  x  wzorami:  Mx  =  — Ms + f̂ j­ + ql^U(x)coscosa  = 0,  GJkcp" + qacp cos  х — j j ^p  ~   —  / j j x c o s a — caA­sinajt/' + ̂ aM'sinoc  =  0.  S T A T E C Z N O Ś Ć  PŁASKIEJ  POSTACI  Z G I N A N I A  B E L E K  167  Po  wprowadzeniu  oznaczeń   „  PI2  ql3  J~Gh  A = a  l/EĄ GĄ '  Y  ]/EJrGJk'  V  Щ  '  l  r ó w n a n i a  (2.5)  przyjmą  ostatecznie  p o s t a ć :  ^ + [ f 4 ' ­ f ) ] ^ , w + & 4 r ś ) ] T ^ « ­ «­ «  <*>  ,  •  Г  fi  L  x\\  co  (2.6)  ­ А у ^ л- 9 9 ' s m a ­ f  y  +  y l l ­ y l  p­cjcosa  =  0,  ?>" +  ^ c o s « ­ [ | + y ( l ­ ^  —7v  u  cos a­l— 5̂­ xu  sin a ­ l — 1 т  u  sina  =  0.  co/­1  cor  cor  3.  Warunki  brzegowe  Warunki  brzegowe  dla  rozpatrywanej  belki  po  utracie  płaskiej  postaci  zginania  wyni­ kają  ze  sposobu  podparcia  jej  koń ców,  u k ł a d u  geometrycznego  jej  ramion,  rozmieszcze­ nia  obcią ż enia  i  przemieszczenia  sztywnego  wę zła.  Z  założ eń  dotyczą cych  sposobu  podparcia  k o ń c ów  belki  wynikają  trzy  warunki  brze­ gowe  (3.1)  M(0) =  0,  M'(0)  =  0,  cp(0) =  0.  Symetria  obcią ż enia  oraz  kształtu  belki  powodują  symetryczne  odkształcenie  ramion  belki  wzglę dem  osi  y2  (rys.  1).  A b y  zwichrzony  układ  pozostawał  w  r ó w n o w a d z e ,  musi  być  spełniona,  wynikają ca  z  równań  statyki,  nastę pują ca  zależ ność  wią ż ą ca  momenty  podporowe  Ms  i  Mg  1  2 M 9 s i n a  + 2 M s c o s a  =  Pu(l)  + 2q  f  [u(x)  + acp(x)]dx.  o  Rozpatrując  równania  (2.4)  w  miejscu  x  =  0  otrzymamy  po  uwzglę dnieniu  warun­ k ó w  (3.1)  Mg  =  EĄ u"(0),  Ms  =  GJkcp'(0).  Ostatecznie  otrzymujemy  warunek  w  postaci  (3.2)  2EJru"(0)sm,  moż emy  napisać   X  u(x) = u(0)+xu'{0)+jx2u"(0)+j  f\x­t)2u"\t)dt,  o  (4.1)  (0)+xc>'(0)+ f (x­t)XO)+^^f|j+y­^jcose­AysinaJ*ił(*)­ X  X  X  - J ^ ­ c o s a T U+ y ( * ­ 3 * + 2 / )  и ( 0 Л+ - А ­ 8 щ а f  u (t)dt­^Ł­cos  ix j(x­t)cp(t)dt.  o  Otrzymane  r ó w n a n i a  stanowią  układ  r ó w n a ń  całkowych  Volterry  drugiego  rodzaju.  W  celu  otrzymania  ich  rozwią zania  przybliż onego  zastosowano  metodę  kolejnych  przy­ bliż eń  zgodnie  ze schematem  iteracyjnym  X  X  =  « o W +  /k1(x,t,p,y,co,o:)un(t)dt+  j  k2(x,  t,fi,y,o>,  gdzie  Ft  są  szeregami  potę gowymi  zmiennej  x,  o  współczynnikach  zależ nych  od  para­ m e t r ó w  /?,  у ,  co, cc  i  A.  Ze  wzglę du  na  dużą  pracochłonność  metody,  przy  wyznaczaniu  funkcji  u(x)  i  cp(x)  ograniczono  się  do  trzech  k r o k ó w  iteracyjnych.  5.  Krytyczne  wartoś ci  obcią ż enia  belki  P a r ę  krytycznych  wartoś ci  obcią ż enia  P  i  ql  wyznaczymy  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (3.2)  i  (3.3). P o  wprowadzeniu  do  tych  w a r u n k ó w  zależ noś ci  (4.4)  otrzymamy  u k ł a d  dwóch  r ó w n a ń  liniowych  jednorodnych  wzglę dem  u"(0)  i  cp'(0)  и "(0)Аы+<р %0)Аи 2  =  0,  и " ( 0 ) Л 2д  + 2  =  0,  gdzie  A,.k  =f(§,y,to,  a,  A).  Tablica  2.  Współczynnik  statecznoś ci  fi  w  zależ noś ci  od  а ,  Л  i  у /fi  У   sina  У   0  0,1  0,3  0,5  0,7  0,9  У   0 °  5 ° 4 5 '  17°28'  30°  4 4 ° 2 6 '  6 4 ° 1 0 '  0  0  6,32  6,07  5,64  5,24  4,80  4,29  0  0,05  — — — — — 0,2  0  5,18  5.00  4,71  4,44  4,15  3,78  0,2  0,05  5,15  4,98  4,69  4,43  4,14  3,78  0,5  0  4,07  3,95  3,76  3,60  3,43  3,20  0,5  0,05  4,03  3,91  3,74  3,59  3,42  3,19  1  0  2,99  2,92  2,82  2,74  2,65  2,54  1  0,05  2,95  2,88  2,79  2,72  2,64  2,53  2  0  1,96  1,92  1,87  1,85  1,82  1,79  2  0,05  1,92  1,88  1,85  1,83  1,81  1,79  5  0  0,96  0,94  0,93  0,93  0,94  0,95  5  0,05  0,94  0,93  0,92  0,93  0,94  0,95  170  A .  W I L C Z Y Ń S KI  =  0.  A b y  zachodziła  utrata  statecznoś ci,  wielkoś ci  w"(0)  i   \Ч ')к т  —  Obliczenia  wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  przeprowadzono  d l a :  co =  1,245,  Я =  0  i  Я =  0,05,  sina  =  04­0,9,  =  04­5  i —  =  0 4 ­ 5 .  P  У   Przyję ta  wartość  co — 1,245  odpowiada  belkom  stalowym  mają cym  przekrój  poprze­ czny  w  kształcie  wydłuż onego  p r o s t o k ą t a.  Uwzglę dniając  bowiem  hb3  .  hb3l.  .  hb3  „  E  h  =  12  hb3  L  n „ b \  hb 3  Л  =  ^ ­ ( 1 ­ о , б З¥ ) « — ,  C f ­  y )  Tablica  3.  W s p ó ł c z y n n i k  statecznoś ci  у  w  zależ noś ci  od  a ,  A  i  jff/y  sina  0  0,1  0,3  0,5  0,7  0,9  0°  545'  17°28'  30°  4 4 ° 2 6 '  6 4 П 0'  0  0  5,64  5,57  5,55  5,64  5,81  6,05  0  0,05  5,49  5,43  5,46  5,59  5,78  6,04  0,2  0  4,80  4,72  4,65  4,66  4,70  4,76  0,2  0,05  4,68  4,63  4,59  4,62  4,68  4,75  0,5  0  3,92  3,83  3,74  3,69  3,65  3,59  0,5  0,05  3,83  3,77  3,70  3,66  3,63  3,58  1  0  2,99  2,92  2,82  2,74  2,65  2,54  1  0,05  2,95  2,88  2,79  2,72  2,64  2,53  2  0  2,03  1,97  1,88  1,80  1,71  1,60  2  0,05  2,01  1,96  1,87  1,79  1,71  1,60  5  0  1,04  1,00  0,94  0,89  0,83  0,76  5  0,05  1,03  0,99  0,94  0,89  0,83  0,76  S T A T E C Z N O Ś Ć  PŁASKIEJ  POSTACI  Z G I N A N I A  B E L E K  171  i  przyjmując  dla  stali  v  =  0,29,  znajdujemy  W a r t o ś ć  Я =  0  (Я  =  a/l)  odpowiada  przyłoż eniu  obcią ż enia  cią głego  wzdłuż  osi  belki,  natomiast  wartość  Я =  0,05  odpowiada  przyłoż eniu  obcią ż enia  cią głego  na  górnej  kra­ wę dzi  belki  (a  =  1/2Л)  w  przypadku,  gdy  h  =  0,1/.  Zestawienie  obliczonych  współczynników  statecznoś ci  /?  i  у  podano  w  tablicach  2  i  3.  6.  Ocena  dokładnoś ci  wyników  Uzyskane  wyniki  wskutek  zastosowania  skoń czonej  liczby  iteracji  (stosunkowo  małej,  n  =  3)  są  obarczone  pewnym  błę dem.  Chcą c,  choć  w  przybliż eniu,  okreś lić  d o k ł a d n o ś ć   tych  wyników  p o r ó w n a n o  niektóre  z  nich  z  wartoś ciami  ś cisłymi.  I  tak,  w  przypadku  у  =  0  otrzymana  wartość  współczynnika  f} przy  a  =  0° jest  o  4,9%  mniejsza  od  wartoś ci  dokładnej,  a  w  przypadku  /5  =  0,  Я  =  0  otrzymana  wartość  współczynnika  у  jest  przy  a  =  0°  mniejsza  od  wartoś ci  ś cisłej  o  około  5%.  Innych  p r z y p a d k ó w  nie  p o r ó w n y w a n o  ze  wzglę du  na  brak  odpowiednich  danych  w  literaturze.  M o ż na  przypuszczać,  że  błę dy  pozostałych  wyników  bę dą  tego  samego  rzę du.  Przy  tym  dla  ką tów  a  róż nych  od  zera  wyniki  bę dą  obarczone  dodatkowym  błę dem  wynikają cym  z  niedoskonałoś ci  modelu  przyję tego  do  opisu  matematycznego  rozpatrywanego  zagadnienia.  J e d n a k ż e,  ze  wzglę du  na  proporcje  wymiarowe  tego  typu  belek,  błąd  ten,  zgodnie  z  zasadą  de  Saint  Venanta,  bę dzie  niewielki.  Oczywiś cie,  zwię kszenie  liczby  iteracji  polepszyłoby  d o k ł a d n o ś ć  uzyskanych  wyników.  Przeprowadzenie  czterokrotnej  iteracji  zwię kszyłoby  jednak  znacznie  i  tak  j u ż  pracochłon­ ne  obliczenia.  Jednakże  w  jednym  przypadku  (у  =  0,  a  =  0)  wykonano  obliczenia  przy  czterech  iteracjach.  Wartoś ci  współczynnika  /9  dla  tego  przypadku,  wyliczone  przy  róż­ nych  iloś ciach  iteracji,  są  nastę pują ce:  P  =  5,75 —• przy  2  iteracjach,  fi  =  6,32 —  przy  3  iteracjach,  fł  =  6,62 —  przy  4  iteracjach.  Natomiast  wartość  ś cisła  wynosi  fi  =  6,65.  Zatem  błę dy  powyż szych  wyników  bę dą  wy­ nosić   A /9  =  13,6% —  przy  2  iteracjach,  A fi  =  4,9%  — p r z y  3  iteracjach,  A fi  =  0,5% —  przy  4  iteracjach.  Jak  widać,  proces  iteracji  jest  szybkozbież ny.  1 7 2  A .  W I L C Z Y Ń S KI  7.  P r z y k ł a d  liczbowy  Wyznaczyć  krytyczne  wartoś ci  obcią ż enia  belki  o  stałym  przekroju  (rys.  1) przy na­ stę pują cych  danych:  b  =  1,5  c m ,  h =  25  c m ,  / =  250  c m ,  a  =  30°,  ql/P  =  0,5,  E  =  2,1  • 105 M N / m 2 ,  co =  1,245.  D l a  y/fi =  ql/P =  0,5,  a  =  30°  oraz  X =  0,5  • h/l =  0,05  znajdujemy  z  tablic  2  i 3  fi  =  3,59,  у  = 1,79.  Wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych,  obliczone  na podstawie  (5.3),  wyniosą   Pkr  =  10,30  k N ,  (<7/)kr  =  5,15  k N .  Gdyby  przyjąć  Я =  0,  otrzymalibyś my  fi  =  3,60,  у  = 1,80  oraz  PkI  =  10,33 k N ,  (ql)kl  =  5,17  k N .  Wartoś ci  te są wię ksze  o 0,3%  od obliczonych  przy  uwzglę dnieniu X.  Maksymalne  normalne  naprę ż enia  krytyczne  w belce  osią gną  wartość   crk r  =  110  M N / m 2 .  W  przypadku  stali  konstrukcyjnych,  dla  ktуrych  kg  ^  110  M N / m 2 ,  obliczenie  obcią ż enia  belki  na podstawie kg  naraziłoby ją więc  na u t r a t ę  statecznoś ci.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  S . P.  T I M O S H E N K O ,  J .  M .  G E R E ,  Teoria statecznoś ci  sprę ż ystej,  Arkady,  Warszawa  1963.  2.  S.  W I Ś N I E W S K I,  Statecznoś ć  płaskiej  postaci zginania belki  ś ciskanej  poosiowo siłami  przyłoż onymi  na  jej  koń cach,  Arch.  Bud. Masz.,  2 ,  11  (1964).  • Р е з ю ме   У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  П Л О С К ОЙ  Ф О Р МЫ  И З Г И БА  Б А Л КИ   С  П Е Р Е Л О М Л Е Н Н ОЙ  О С ЬЮ   В  р а б о те  р а с с м о т р е на  з а д а ча  о б  у с т о й ч и в о с ти  п л о с к ой  ф о р мы  и з г и ба  б а л к и,  о сь  к о т о р ой  и м е ет   и з л ом  в  в е р т и к а л ь н ой  п л о с к о с т и.  Н а к л о н н ые  у ч а с т ки  б а л ки  с и м м е т р и ч н ы,  н а г р у з ка  с о с т о ит  и з   р а в н о м е р но  р а с п р е д е л е н н ой  в е р т и к а л ь н ой  и с о с р е д о т о ч е н н ой  с и лы  п р и л о ж е н н ой  в  ж е с т к ом  у з л е,  с о е д и н я ю щ ем  н а к л о н н ые  у ч а с т к и.  П р и н я т о,  ч то  о ба  к о н ца  б а л ки  о п е р ты  т а к им  о б р а з о м,  ч то  и х  в р а щ е н ие  в о з м о ж но  л и шь  в о к р уг   о с е й,  п е р п е н д и к у л я р н ых  к  п л о с к о с т и,  в  к о т о р ой  р а с п о л о ж е на  о сь б а л к и.  Ж е с т к о с ть  б а л ки  на   н е с в о б о д н ое  с к р у ч и в а н ие  н е  у ч и т ы в а е т с я.  П о с ле  п р и в е д е н ия  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  н е й т р а л ь н о го  р а в н о в е с ия  к  и н т е г р а л ь н ым   у р а в н е н и ям  В о л ь т е р ра  н а й д е ны  п р и б л и ж е н н ые  р е ш е н и я.  Н а о с н о в а н ии  г р а н и ч н ых  у с л о в ий  р а с­ с ч и т а ны  к р и т и ч е с к ие  з н а ч е н ия  н а г р у з ок  в  з а в и с и м о с ти  о т с л е д у ю щ их  п а р а м е т р о в:  у г ла  н а к л о на   о си  б а л к и,  о т н о ш е н ия  р а в н о д е й с т в у ю щ ей  с п л о ш н ой  н а г р у з ки  к  в е л и ч и не  с о с р е д о т о ч е н н ой  с и лы   и  п а р а м е т р а,  о п р е д е л я ю щ е го  с п о с об  п р и л о ж е н ия  с п л о ш н ой  н а г р у з к и.  S T A T E C Z N O Ś Ć  PŁASKIEJ  POSTACI  Z G I N A N I A  B E L E K  173  . i .  :  S u m m a r y  S T A B I L I T Y  O F  P L A N E  F O R M  O F  B E N D I N G  O F A  B E A M  W I T H  T H E  D E F L E C T E D  A X I S  In  the  paper  the  problem of  stability  of  plane  form  of  bending  of  a  beam  with  the  vertically  deflec­ ted  axid  is  considered.  Authors's  considerations  deal  with  the  symmetrical  system  of  the  arms  of  the  beam  loaded  by  uniformly  distributed  vertical  loads  and  by  a  vertical  force  applied  to  the  rigid  node  connecting  the  two  arms.  The  both  beam ends  are  supported  in such  a  way  that  their  rotation  is  possible  only  around the  axis  perpendicular  to  the  plane  in  which  the  axis  of  the  beam  is  placed.  The  problem is  limited  to  beams  of  neglegible  rigidity  for  constrained  torsion.  After  reducing the  differential  equations  of  neutral equilibrium to  the  Volterra­type integral  equations,  approximate  solutions  are  obtained.  Then,  by  using  the  boundary  conditions,  the  critical  load  values  as  functions  of  the  following  parameters  are  calculated:  inclination  angle  of  the  beam  arm,  the  ratio  of  the  resultant  of  the  uniform  load  to  the  concentrated  force,  and  the  parameter  describing  the  manner  the  uniform  load  is  applied.  POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  18  kwietnia 1975  r.