Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,14  (1976)  C A Ł K A  R Ó W N A N I A  R Ó Ż N I C Z K O W E GO  C Z Ą S T K O W E GO  R O Z W I Ą Z U J Ą C E GO  P O W Ł O K I  W A L C O W E  STANISŁAW  B I E L A K  (GLIWICE)  1.  W s t ę p  W  pracach  autora  [1,  2,  3,  4]  rozwią zanie  powłok  prostokreś łnych  rozwijalnych  zostało  sprowadzone  do  jednego  r ó w n a n i a  róż niczkowego  czą stkowego  rzę du  ósmego,  ze  wzglę du  na  niewiadomą  funkcję  przemieszczeń  promieniowych  i v 3 .  Przedstawione  w  tych  pracach  równanie  róż niczkowe  rozwią zują ce  obejmuje  dowolny  sposób  obcią ż enia  i  podparcia  powłoki.  Przyję ty  matematyczny  model,  opisują cy  pracę  zgię ciową  powłoki,  oparty  został  h a  liniowej  teorii  powłok  odniesionej  do  o ś r o d ka  HOOKE'A.  Poszukiwane  rozwią zanie  bę dzie  przedstawione  w postaci  sumy złoż onej  z całki  ogólnej,  rozwią zują cej  równanie  róż niczkowe  jednorodne  i  całki  szczególnej  spełniają cej  równanie  niejednorodne.  Całka  szczególna  może  być w  prosty  sposób  wyznaczona,  gdyż jest  ona  rozwią zaniem  stanu  bezmomentowego,  (por.  p r a c ę  [1]).  Istotnym  problemem  przedstawionym  w  tej  pracy  bę dzie  podanie  rozwią zania  czę ś ci  jednorodnej  r ó w n a n i a  róż niczkowego  czą stkowego  ósmego  rzę du.  R ó w n a n i e  róż niczkowe  jednorodne  opisuje  p r a c ę  powłoki  w  stanie  zgię ciowym  z  do­ kładnoś cią  do  wielkoś ci  małych  wyż szego  rzę du — taką  interpretację  fizyczną  m o ż na  mu  przypisać.  Wprowadzając  pewne  wielkoś ci  mają ce  charakter  tensorowy  ze  wzglę du  na  sumowanie,  mianowicie  funkcje  trygonometryczne,  hiperboliczno­kołowe  z  odpowiednio  dobranymi  argumentami,  całce  ogólnej  r ó w n a n i a  jednorodnego  m o ż na  n a d a ć  kształt  szeregu  hiper­ trygonometrycznego.  2.  O g ó l n y  układ  równań   Opis  geometryczny  powłoki  walcowej  oraz  zwią zki  geometryczne  i  fizyczne,  podane  są  dla  parametryzacji  naturalnej  w  oparciu  o  p r a c ę  [1].  2.1.  Opis  geometryczny.  R ó w n a n i e  wektorowe  powierzchni ś rodkowej  powłoki  walcowej  (2.1)  7=  fl(/cosM2+7'sinM2)  +  MłA:,  gdzie  u1,  u2  oznaczają  współrzę dne  krzywoliniowe  na  powierzchni,  (rys.  1),  przy  czym  u1  okreś la  położ enie  punktu  na  tworzą cej,  u2  wskazuje  tworzą cą,  na  której  leży  punkt.  230  S .  BIELAK  Współczynniki  pierwszej  i  drugiej  formy  róż niczkowej,  ich  wyróż niki  oraz  ich  krzy­ w i z n y —  gaussowska  i  ś rednia  są  nastę pują ce:  (2.2)  Symbole  Christoffela  drugiego  rodzaju  dla  powierzchni  walcowej  są  równe  zeru.  g i l  =  1,  bu  =  0,  #12  =  #21  =   o ,   b12  =  *21  =  § 2 2  =  g  =  a 2,  =  a,  b  =  o,   К  =  o ,   H  =  1  H  =  ~2a  Rys.  1  2.2.  Z w i ą z ki  geometryczne  powłoki.  Zwią zek  składowych  przemieszczenia  z  tensorem  od­ kształcenia  błonowego  przyjmuje  postać   (2.3)  w,i  =  Yn,  a2wft+w}2  =  2yl2,  a2w22—aw 3  =  y22.  Przecinek  uż yty  w  wyraż eniach  (2.3)  oznacza  odpowiednią  pochodną  wzglę dem  zmie­ nnej  u1  lub  u2.  2.3.  Z w i ą z ki  fizyczne.  Zwią zki  fizyczne  wią ż ą ce  naprę ż enia  z  odkształceniami,  dla  wersji  uproszczonej mają  p o s t a ć   (2.4)  NiJ  =  NiJ  +  6HMIJ,  MiJ  ш  M'J  +  ih2HNij,  gdzie:  (2.5)  ­  IFh  1­V2  MlJ  =  4Eh3  3(1  ­v2)  gdzie  f  oznacza  parametr  stały.  Niezmienniki  A  i В  wystę pują ce  w  (2.5)  są  sumami  А  ш  ć >Vu,  CAŁKA  RÓWNANIA  RÓŻ NICZKOWEGO  231  przy  czym  tensor  odkształcenia  błonowo­zgię ciowego  Qi}  m o ż na  zastą pić  zależ noś cią   (2­6)  Qu =  ­ y wfij.  D l a  powłoki  walcowej  zwią zki  (2.5)  napiszemy  w  uję ciu  dostosowanym  do  dalszego  wykorzystania.  Z  pierwszego  wyraż enia  (2.5)  wyznaczymy  składowe  tensora  błonowego  y tj  w  postaci  nastę pują cej:  (2.7)  У 12  =  У 2. =4ź /ra2^12'  Wielkoś ci  MiJ  opisane  drugim  wyraż eniem  (2.5),  po  podstawieniu  (2.6),  przyjmą  p o s t a ć   Eha2  (2.8)  M 1 2 =  Л /2 1  =  ­ М П  =  ­ ^ ­ 1 ^ 1 +  ^ ^ 2  M 2 2  =  ­  ­  .  2  =  Z^ 1  «  P3  (po  //' nie  sumować ).  Symbol  « ~ | »  oznacza  współrzę dną  fizyczną.  232  S.  BIELAK  3.  R o z w i ą z a n ie  równania  róż niczkowego  powłok  walcowych  R ó w n a n i e  róż niczkowe,  rozwią zują ce  powłoki  walcowe dowolnie obcią ż one  i podparte  posiada  kształt  (por.  [4]).  (3.1)  « ^ д а  + 4 ( ^ 1 Ш  =  2*.  ( ­ l ) V  Wielkoś ci  a  i  W  są  opisane  wyraż eniami  (2.9),  (2.11),  a  daną  funkcję  obcią ż eń  P  opisuje  zależ ność   (3.2)  P  =  agt'gUpfjjtt+gU^­PMu­il  +v)P?kil.  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (3.1)  moż emy  przedstawić  jako  sumę  złoż oną  z  całki  ogólnej  w 3  r ó w n a n i a  jednorodnego  i  całki  szczególnej  w3  równania  niejednorodnego,  (3.3)  w3  =  w3  +  w3.  Całka  szczególna  w3  jest  rozwią zaniem  stanu  bezmomentowego  i  może  być  w  prosty  s p o s ó b  wyznaczona w oparciu o  pracę  [1]. Całkę  ogólną  r ó w n a n i a  (3.1)  m o ż na  przedstawić   jako  sumę  odpowiednio  dobranego  szeregu  złoż onego  z  iloczynów  utworzonych z  funkcji  hiperbolicznych  i  kołowych.  Sumę  takiego  szeregu  trygonometrycznego,  hiperboliczno­kołowego,  m o ż na  zapisać   w  uję ciu  tensorowym,  co  bę dzie  szczególnie  korzystne  dla  przeprowadzenia  potrzebnych  obliczeń.  W p r o w a d ź my  nastę pują ce  wielkoś ci  mają ce  charakter  tensorowy  ze  wzglę du  na  su­ mowanie.  Argumenty  funkcji  trygonometrycznych:  hiperbolicznej  (3.4)  4  =  « ^ i £ ­ + / j * „ 2  ,  kołowej  (3.5)  Funkcje  trygonometryczne:  hiperboliczne  (3.6)  pochodna  funkcji  Hl  (3.6')  kołowe  (3.7)  [ i  u1  l i m—  +  ntr  a  W  =  sh  dla  i  =  1  ch  dla  i  =  2;  ch  dla  1 = 1  sh  dla  i  =  2;  K'  sin  dla j  =  1  cos  dla  j  =  2;  CAŁKA  RÓWNANIA  RÓŻ NICZKOWEGO  233  pochodna  funkcji  KJ  (3.7')  I  cos dla i  KJ  = \  ( — sin  dla  j  Tensory trygonometryczne:  hiperboliczne  (3.8)  Aik _  ui7к   А Л —  i}i7k  .  kołowe  (3.9)  Ą »n  =  &z l K,  Blin =  KJZ'K.  Całce  ogólnej  r ó w n a n i a  (3.1) m o ż na  n a d a ć  kształt  (З Л О)  w3  =  £  CWj4LBi!n.  m, n= 1  Wskaź niki  к ,  l, i, j  mają  znaczenie  tensorowe  i  przyjmują  wartoś ci  1, 2, natomiast  m, n  są  liczbami  naturalnymi  i  oznaczają  sumowanie  nieskoń czone.  Wielkoś ci  CHUJ  są  stałymi,  które  mogą  być  wyznaczone  z  w a r u n k ó w  brzegowych.  W  wyraż eniu  (3.10)  nie  znamy  wielkoś ci  ak  i (3k, wiemy natomiast,  że są one  zwią zane  z  m1,  nl,  lub odwrotnie.  Moż emy  je  obliczyć  w dwojaki  s p o s ó b :  albo  rozwią zując  odpo­ wiednie  równanie  algebraiczne  ósmego  stopnia  uzyskane  ze  spełnienia  toż samoś ciowego  równania  (3.1) po podstawieniu  (3.10),  albo  też proś ciej  wykorzystując  zwią zek  siły  N22  Л   z  przemieszczeniem w3.  Okazuje się bowiem, że całka  ogólna N2  2  może  być obliczona  z czę­ sci  jednorodnej  równania  (3.1),  jeś li w miejsce  w3  podstawimy N22.  Moż liwość  taką  uzys­ kamy,  jeś li  czę ść  j e d n o r o d n ą  r ó w n a n i a  (3.1) odpowiednio  zróż niczkujemy  i utworzymy  sumę,  w której  wykorzystamy  zwią zek  (por. [3])  л  aEh  ••  ( З . П)  N22  =  ^ = i V f * V  д   Całka  ogólna  N22  przyjmie  więc  postać  wyraż enia  (3.10)  z  dokładnoś cią  do stałej  wynie­ sionej  przed  znak  sumy.  Suma  (2.11)  po wykorzystaniu  (3.10)  przyjmie  postać   OO  (3­12)  W =  Ł  C^jl^AtBiL  +  E^J^}.  m. n=l Wielkoś ci Et 41  i Ekl  są  r ó w n e  Dkl  =  (4.i) 2 ­(^,i) 2 +4­[(4. 2 ) 2 ­(^,2) 2 ],  ( З Л З)   в  г  Г ( 1  Ekl  —  2  4,  i + ^ F 2 ^ , 2z'K. 2 •   234  S .  BIELAK  Obliczając  odpowiednie  pochodne  z  wyraż eń  (3.4)  i  (3.5)  moż emy  napisać   Du  =  [(а *)2 +  ( ^ ) 2 ­ ( т ' )2 ­ ( и ' )2 ] ,  (3­14)  a  2  [WAi.  Róż niczkując  wyraż enie  (3.12)  wzglę dem  odpowiednich  zmiennych  i  wykorzystując  wielkoś ci  (3.13),  otrzymamy  (3.16)  W=  £  С Щ [{Вк ,)2­(Ек 1)2]А *„В ^  +  2^  m, « = 1  Podstawiając  (3.16)  do  (3.11) oraz  doprowadzając  do  toż samoś ci  z  rozwią zaniem  w  kształ­ cie  (3.10)  otrzymamy  Dkl  =  0,  00  ( З Л 7)  * 2 2  =  ­a^r  У  (E^CLUjAtBL  leć   Д   22  . skąd  po  uwzglę dnieniu  (3.14)  dojdziemy  do  wyraż enia  na  siłę  N22:  00  (3.18)  N22  =  ­  2J  CWjAtBXn  oraz  uzyskamy  układ  r ó w n a ń ,  z  którego  wyznaczymy  wielkoś ci  ak  i  (ik,  mianowicie  (ak)2  + (fik)2­(ml)2­(n1)2  = 0 ,  gdzie  e  może  przybierać  wartoś ci  ± 1 .  Przyjmują c,  dla  uproszczenia  zapisu  w  dalszych  rozważ aniach,  ml  =  m  i  nl  =  n,  bę dziemy  mogli  rozwią zanie  u k ł a d u  równań  (3.19)  p o d a ć  w  postaci  (3.20)  ki  m  s  i  / 1  i  " 2 ~ l  <*  =  £k  5  5  0 | "  I/  1  H  •>/  ­,  , — 5 V  ,  т 2 + и 2  | /  m2(m2  +  n2)  в ы  =  eŁ  — ^ — r ­  +  ó , m I / 1  ­I  "  ,  , ł  ,  ^  » i 2  +  n 2  | /  т2(т2  +  п2)  gdzie  f +  1  d l a *  =  1  1 +  1  d l a / =  1  ( 3 2 1 )  e t  =  \ ­ l d l a / c  =  2,  ó '  =  ( ­ l d l a / = 2 .  Jak  więc  widzimy,  wielkoś ci  tensorowe  ock,  0к  dla  rozwią zania  ogólnego  muszą  przyjąć   wartoś ci  tensorów  o  walencji  2,  aby  wyczerpać  wszystkie  moż liwe  rozwią zania,  czyli  ak  przejdzie  w  ctkl,  a  fik  przejdzie  w  /3*'.  C A Ł K A  RÓWNANIA  RÓŻ NICZKOWEGO  235  W  niektórych  szczególnych  przypadkach,  na  przykład  dla powłoki  zamknię tej,  uzy­ skamy  prostsze  rozwią zanie,  jeś li  przyjmiemy  /SŁ  =  0. Przyję cie  takie  prowadzi  do  zwią zku  mię dzy  wielkoś ciami  ml  i n.  Przy  tym  założ eniu  rozwią zanie  u k ł a d u  równań  (3.19)  daje  (3.22)  m '­.*»]/r[lA+5.­'l­ Przyjmując  w  wyraż eniach  (3.22)  n =  0,  otrzymamy  rozwią zanie  dla powłoki  walcowej  obcią ż onej  osiowo­symetrycznie  (3.23)  ak  =  sk,  m l  = d,.  4.  Zestawienie  wyników  4.1.  Rozwią zanie  ogólne.  Argumenty  funkcji  trygonometrycznych:  2 g ­ «  Tensory  trygonometryczne:  Aikl„  =  Hlzkl  BL  =  K'zlk,  At  =  Hlz%  Bmn = f>zl.  Całka  ogólna  0,3  _  V  f m "  4 ' "  R­W  —  ^ l^kUj Amnt i, m,n  = l  C a ł k a  poszukiwana  W 3  =  R' 3 +  VV3.   4.2.  Rozwią zanie  szczególne  —  powłoka  zamknię ta.  Argumenty  funkcji  trygonometrycznych:  ZJJ  =  aor  ,  Tensory  trygonometryczne:  Całka  ogólna  C a ł k a  poszukiwana  I  T I " 1 zK  —  а I m  —  L  a  Aik  = H%  Bi1  =  KhlK,  A*  = H'zkH,  M L  =  KJzlK.  00  w  —  Ь ы ц А щ  DN  .  n =  l  3  A  3 i  —3  236  S.  BIELAK  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  St.  BIELAK,  Ogólna  teoria powłok  prostokreś lnych  pracują cych  w stanie zgię ciowym,  Zeszyty  Naukowe  Pol.  Ś lą skiej,  Budownictwo,  33  (1973).  2.  St.  BIELAK,  A  general scheme  of  equations covering recttlinearly drawn shell structures,  Zastosowania  Matematyki,  14,  2  (1974).  3.  St.  BIELAK,  Solution  of  a general system  of  equations  of  rectilinear evolvable  shells  in  the bending  state,  Bull,  de  1'Acad.  Polon, des  Sci. Ser. des  sci.  techn., 22,  2  (1974).  4.  St.  BIELAK,  Kształt  równania  róż niczkowego  czą stkowego  rozwią zują cego  klasę  powłok  prostokreś lnych  rozwijalnych,  Mech.  Teor.  i  Stos.,  12,  3  (1974).  Р е з ю ме   И Н Т Е Г Р АЛ  Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О ГО  У Р А В Н Е Н ИЯ  В  Ч А С Т Н ЫХ   П Р О И З В О Д Н ЫХ  Д ЛЯ  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ИХ  О Б О Л О Ч ЕК   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  и н т е г р ал  д и ф ф е р е н ц и а л ь н о го  у р а в н е н ия  в о с ь м о го  п о р я д к а,  к о т о р ое   я в л я е т ся  р а з р е ш а ю щ им  у р а в н е н и ем  д ля  ц и л и н д р и ч е с к их  о б о л о ч е к.  Р е ш е н ие  п о л у ч е но  в  в и де  д в ух  и н т е г р а л о в:  ч а с т н о г о,  о т в е ч а ю щ е го  б е з м о м е н т н о му  с о с т о я н и ю,  и  о б щ е г о,  о т в е ч а ю щ е го  м о м е н т к о му  с о с т о я н и ю.  Н а й д е н н ый  и н т е г р ал  д а ет  в о з м о ж н о с ть  р е ш а ть   а н а л и т и ч е с ки  ц и л и н д р и ч е с к ие  о б о л о ч к и,  р а б о т а ю щ ие  на и з г и б,  п ри  л ю б ой  н а г р у з ке  и л ю б ых  у с л о­ в и ях  о п и р а н и я.  Ч а с т н ым  с л у ч а ем  п р и в е д е н н о го  р е ш е н ия  я в л я е т ся  р а с ч ет  ц и л и н д р и ч е с к их  о б о­ л о ч е к,  з а м к н у т ых  п о  в с е му  п е р и м е т р у.  S u m m a r y  T H E  I N T E G R A L  O F  A  P A R T I A L  D I F F E R E N T I A L  E Q U A T I O N S  O F  C Y L I N D R I C A L  S H E L L S  The  paper shows the  integral  of  the  eighth­order  partial  differential  equation  solving  the  problem of  cylindrical  shells.  The  solution  obtained  is  composed  of  two  integrals:  the  particular  integral,  equivalent  to  the  momentless  work, and  the  general  integral  describing the  moment  work.  The  integral  derived solves  the  general  equation of  cylindrical  shells  working in moment  state under  arbitrary  loads  and  clamped  at  the  edges.  The  problem of  closed  cylindrical  shells  represents  a  particular case  of  the  solution  given  above.  P O L I T E C H N I K A  Ś L Ą S KA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  7  maja 1975  r.