Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  1  S T O S O W A N A  2,  14 (1976)  O P T Y M A L N E  K S Z T A Ł T O W A N I E  W I R U J Ą C E GO  P R Ę TA  Z  U W Z G L Ę D N I E N I EM  N I E L I N I O W O Ś CI  F I Z Y C Z N E J  M A T E R I A Ł U  A N T O N I  G A J E W S K I  ( K R A K Ó W )  1.  W s t ę p  Sformułowane  w tytule  pracy  zagadnienie  należy  do  szerszej  klasy  p r o b l e m ó w  opty­ malizacji  kształtu  ś ciskanych  lub  rozcią ganych  słupów  nie  ulegają cych  wyboczeniu.  W  problemach  tych  istotna  jest  konieczność  uwzglę dnienia  sił masowych  (grawitacyjnych  lub  bezwładnoś ci),  które  zależą  od  nie znanego  jeszcze,  poszukiwanego  kształtu.  W  wię kszoś ci  opublikowanych  prac, dotyczą cych  optymalizacji  elementów  konstrukcji,  siły  masowe  były  pomijane.  Jako  jedną  z  pierwszych,  uwzglę dniają cych  cię ż ar  własny  zginanych  belek,  należy  wymienić  pracę  B A R N E T T A  [1],  w  której  autor  poszukiwał  opty­ malnego  kształtu  wspornikowej  belki  obcią ż onej  wyłą cznie  cię ż arem  własnym.  Znalezione  rozwią zanie,  opierają ce  się  na  warunku  optymalizacji  otrzymanym  wcześ niej  w pracy [2],  jest  jednak  błę dne.  Rozwią zanie  poprawne  dla  belki  liniowo­sprę ż ystej  przedstawiono  w  pracy  C H E R N A  [3],  a  dla belek  nieliniowo­sprę ż ystych,  ś prę ż ysto­plastycznych  lub  wy­ kazują cych  ustalone  pełzanie,  w  pracy  G A J E W S K I E G O  [5].  Optymalne  kształty  belek  wspor­ nikowych,  poddanych  równoczesnemu  działaniu  obcią ż eń  zewnę trznych  i  sił masowych,  przy  wymienionej  wyż ej  nieliniowoś ci  fizycznej  materiału  znaleziono  w  pracy  G A J E W S K I E ­ G O  [4].  W  zagadnieniach  kształtowania  ś ciskanych  słupów  siły  masowe  odgrywają  jeszcze  wię kszą  rolę.  Optymalizacja  kształtu  słupów  ś ciskanych,  nie  ulegają cych  wyboczeniu,  wykonanych  z  jednorodnego,  Iiniowo­sprę ż ystego  materiału  była  przedmiotem  pracy  G R Y C Z A  [7].  Optymalny  kształt  wyznaczono  w  niej  na  podstawie  kryterium  najwię kszej  sztywnoś ci.  W  pracy  G A J E W S K I E G O  [4]  rozwią zano  podobny  problem  przy  pewnych  typach  nieliniowoś ci  fizycznej  i  niejednorodnym  (pod wzglę dem  cię ż aru  właś ciwego  oraz  własnoś ci  mechanicznych)  materiale  słupa.  Wykazano,  że  w  przypadku  jednorodnego  słupa  ś ciskanego,  charakteryzują cego  się  minimalnym  przemieszczeniem  swobodnego  koń ca  (przy ustalonym  cię ż arze), jego  kształt  nie zależy  od  postaci  prawa fizycznego  i jest  taki  sam,  jak w zakresie  liniowo­sprę ż ystym  (jest  on równocześ nie  słupem o  wyrównanych  naprę ż eniach).  ,  я   2.  Sformułowanie  zagadnienia  Przedmiotem  niniejszej  pracy jest  problem  optymalnego  kształtowania  prę ta  o  długoś ci  / z umieszczoną  na jego  k o ń cu  x  =  / masą  skupioną  Q i  obracają cego  się ze stałą  p r ę d k o­ ś cią  ką tową  co d o k o ł a  osi prostopadłej  do  prę ta,  przechodzą cej  przez jego  drugi  koniec:  262  A .  G AJEWSKI  x  =  O  (rys.  1).  Przyjmiemy,  że  materiał  prę ta  jest  niejednorodny.  Wówczas  siła  działa­ j ą ca  na  j e d n o s t k ę  obję toś ci  q(x)  może  opisywać  z a r ó w n o  zmienność  gę stoś ci  materiału  Q(X),  jak  i  niejednorodność  zewnę trznego  pola  sił  grawitacyjnych  lub  bezwładnoś ci  g(x)  (2.1)  q{x)  =  Q(x)g{x).  W  pewnych  zagadnieniach  [4],  wielkość  q(x)  może  być  rozumiana  również  jako  cię ż ar  właś ciwy.  Hx)  '  M  Rys.  1  W  niniejszej  pracy  założ ymy  ponadto,  że  materiał  prę ta  wykazuje  nieliniowość  fizyczną   oraz  podłuż ną  niejednorodność  własnoś ci  mechanicznych.  Zwią zek  mię dzy  naprę ż eniem  i  odkształceniem  wyrazimy  wobec  tego  wzorem  (2.2)  e*  =  ^(a*),  w  k t ó r y m  jest  daną  funkcją  klasy  C , ,  (2.3)  e*  =  e/e0,  a'*  =  aja0,  oraz  parametry  cr0  i  e 0  są  znanymi  funkcjami  zmiennej  x  i  m o ż na  je  zapisać jako  iloczyny  pewnych  stałych  materiałowych  i  danych  funkcji  (2.4)  £ 0  =  el°>e(x),  a0  =  o< 0)s(x),  2 /+  /  q(OnOdC].  264  A .  G AJEWSKI  Przedstawiony  problem  minimalizacji  funkcjonału  (3.1)  z  warunkiem  (3.2)  należy  do  szerszej  klasy  p r o b l e m ó w  minimalizacji  funkcjonałów  typu  (3.1)  z  warunkiem  (3.3)  a(x)  =  cp1(F) +  о > ? 2 ­ ^ ' ' К М  \\Ф М ­Р \а Ъ )  \  Ф М ,  i  i  i  Ф о ^? + ^ Ф 2  =  ­0taf  + ai  f0lCdC,  i  / ф 2 ^  = 0  albo  J ^ ' K ) f f f + ­ 2  ^''KM 2 ]<#  =  0­ Całkowe  warunki (4.15)3,  (4.16)3,  (4.17)3  okreś lają  stałe  At;  zależ nie  od tego  czy przyjmie­ my  warunek  ustalają cy  masę  prę ta  czy też przemieszczenie  otrzymujemy  rуż ne  postacie  rozwią zania.  4.1.  Warunek  stałej  masy  prę ta  (4.10).  W tym przypadku  mamy:  (4.18)  Ф 0 = 1 ,  « * = \ м  ,  Fo  = ­ R  ,  =  ­ Q ,  (4.19)  Ф, =  a + bf~,  a* =  a*{c + d^),  Л1  =  y t r J ^ ' K ) ,  gdzie  a  6[2tF'(o*) + o*F"(o*)]  '  6[2&'(а %)  +  о %&'\а *)]  Ъ Р'{а Г )  + 2о *3?"{а Ъ )  d =  W{a%)  .  '6[2^'(a*)  + a*^"(a*)]  '  "  6[2&'(e$)  + o*^''(a$)]  '  O PT YMALNE  KSZTAŁTOWANIE  WIRUJĄ CEGO  PRĘ TA  267  2  [2&'(ot)  +  at&"(c  (4.20)  + f f g 2 J ^ ' " ( ^ ) ^ J f 2  +  o o ( ­ « 2 I:  ­  >  . . . ; . |  , '  ­ \ a b ­ { 5  b 2  —  *  *|  ­I ­a* .*"(,,%)  I ­  y f l ­  l5b­ac­yarf­yAc­  J M  +  i  •  ' l  '  г 2 ­ ' \ al+  /о  ( / 2  D l a  prawa  potę gowego  (2.5)  otrzymujemy  nastę pują ce  rozwią zania  (tylko  z  pierwszymi  poprawkami):  J ,  Г  2 я +1  1  ( 4 2 1 )  Г  i  1  Л  =  /7o­J("­'>  1  +  Т ( л ­ 1 ) А +  ... I,  "o  o0  M  Dokładniejsze  rozwią zanie  przedstawiamy  w drugim  przypadku.  4. 2.   Warunek  stałego  przemieszczenia  (4.11).  Otrzymujemy  tu:  (4.22)  Ф 0  =  1,  <т5 =  ^ _ 1 ( й , ),  / 1 0 =  ^ ' К ),  ^ o =  Ј ^ ­ 0  gdzie  J r _ i oznacza  funkcję  odwrotną  do  ^  (4.23)  Ф,  ­  a + />f2,  o­* =  o­0=(c +  < / Ј 2 ) ,  Л ,  =  ­ y ^ ' K ) ,  268  A. GAJEWSKI  gdzie:  d =  W ( $ ) { ( ­ з ^ ­ ^ ­ / 3 ­ а 2 ­ у а^  ,  q * 2 ^ 4 ^ ) ^ , ' 4 o ­ * ) ­ 2 g * ^ 4 o ­ * ) ^ , 4 ^ ) ­ o ­ g 2 [ ^ " ^  /  1  2  ,  I  , ,  1  , 2 \ |  [^'K)]2  U  3 c a +  10 d  /г   D l a  prawa  potę gowego  (2.5) wzory  (4.22)  i  (4.23)  dają  przybliż one  rozwią zanie:  (4.25,  ^ . ^ ^ ( . ^ ф . . . ] ,  Л  =  п щ "  ll­^.ft+  . . . j .  Dokładniejsze  wyniki  przedstawimy  w  szczególnych  przypadkach:  a) materiału  l i n i o ­ wo­sprę ż ystego  dla n =  1 i b)  materiału  sztywno­plastycznego  dla n ­>  co.  a)  Materiał  liniowo­sprę ż ysty  n = 1. Po prostych  obliczeniach znajdujemy  s t a ł e :  а  =  7/12,  /3 =  ­ 3 / 4 ,  с = ­ 1 / 1 2 ,  rf=l/4,  Л 2 =  47/180,  nastę pnie  drugie  poprawki:  2  720  2  я  48 c  '  * o * = ­ 8 V ' o * ( l ­ 5 n  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE WIRUJĄ CEGO PRĘ TA  269  oraz  ostateczny  wynik:  (4.26)  \  2 Z 1 0 1 ł ° L _ _ Ь *  +  2l_  4  720  2  c  48  )•­ <­«<« = 4  +"("  T2 + т *!)  ­16 «*)+ •••]•  Istnieje  moż liwość  p o r ó w n a n i a  wyników  (4.26)  z  obliczeniami  ś cisłymi  dla  tego  samego  problemu,  przedstawionymi  w  pracy  C H E R N A  [3],  otrzymanymi  tylko  w  zakresie  linio­ wo­sprę ż ystym.  Okazuje  się,  że  maksymalny  błąd  rozwią zań  (4.26)  dla  wartoś ci  małego  Rozn.  ś cisłe  :J.­M.Chern fsj  fi=7,n=1  Mów.(4.26),fj=1.n'1  Rów.  (4.27),p = l,n  = »=  Rozw. ś cisłe­J­M.  C/iernf3jfj=0.S:n­7  Róm(i26).fi=0Sin=1  Rów.  {4.27),ц =0.5;п =°°  Rys.  2  parametru  p.  =  1  (dla  1  =  0)  nie  przekracza  1,8%.  Należy  przypuszczać,  że  również   dla  innych  wartoś ci  wykładnika  n  oraz  innych  praw  fizycznych  błąd  rozwią zania  przy­ bliż onego  jest  bardzo  mały  (dla  dość  małych  p  п р.  p  <  1).  b)  Materiał  sztywno­plastyczny  n  ­ »  c o . Przechodząc  z  и  do  nieskoń czonoś ci  obliczamy  stałe:  a  =  1/2,  b  =  ­ 1 / 2 ,  с   ­ 1 / 6 и ,  d  ~  1 / 2 « ,  Л2  ~  rr*<"­ l)  11  T 5 " '  nastę pnie  drugie poprawki  do  funkcji  Ф  i  a*:  270  A .  G AJEWSKI  oraz  ostateczny  wynik: