Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  14  (1976)  M A C I E R Z O W Y  Z A P I S  N I E L I N I O W Y C H  R Ó W N A Ń  R U C H U  G E N E R O W A N Y C H  F O R M A L I Z M E M  L A G R A N G E ' A  Z D O B Y S Ł A W  G O R A J  ( W A R S Z A W A )  1.  Wprowadzenie  W  wielu  zagadnieniach  mechaniki  stoimy  przed  koniecznoś cią  konstrukcji  pełnych  nieliniowych  równań  ruchu  [1],  czy  też  linearyzacji  u k ł a d u  równań  nieliniowych  i  zagad­ nieniem  na  wartoś ci  własne  macierzy  stanu.  Problemy  te  są  stosunkowo  proste  w  przy­ padku,  jeż eli  rozpatrywany  układ  mechaniczny  lub  elektromechaniczny  m o ż na  opisać   za  pomocą  niewielkiej  iloś ci  stopni  swobody,  oraz  gdy  geometria  i  kinematyka  takiego  układu  nie  jest  zbytnio  skomplikowana.  Inaczej  sprawa  przedstawia  się  dla  układów  0  wię kszej  iloś ci  stopni  swobody  i  skomplikowanej  geometrii  ruchu.  Typowym  przykładem  może  być  pojazd  jednoś ladowy.  Opisanie  pojazdu  jednoś ladowego  bez  uwzglę dnienia  podatnoś ci  p n e u m a t y k ó w  za  pomocą  tylko  4  współrzę dnych  uogólnionych  prowadzi  do  bardzo  skomplikowanych,  nieliniowych  równań  ruchu.  Tak  np.  równanie  ruchów  prze­ chylają cych  zawiera  przed  u p o r z ą d k o w a n i em  r ó w n a n i a  około  300  składników  typu  Aqt  qk  cose,  s i n ^  [4,  7].  Podobnie,  chociaż  w  mniejszym  stopniu,  złoż one  są  pełne  równa­ nia  nieliniowe  obiektów  latają cych  z  uwzglę dnieniem  wychyleń  powierzchni  sterowych,  czy  też  elastycznoś ci  konstrukcji.  W  znanych  pracach  problem  ten  był  czę ś ciowo  omijany  poprzez  linearyzację  energii  kinetycznej  złoż onego  układu  mechanicznego,  a  nastę pnie  budowę  liniowych  równań  ruchu.  Trzeba  podkreś lić,  że  postę powanie  takie  nie  zawsze  upraszcza  pracę  nad  konstrukcją  równań  ruchu  w  sposób  dostateczny.  Ponadto  nie  m o ż na  wykluczyć  błę du  przy  takim  postę powaniu,  gdyż  może  się  zdarzyć,  że  linearyzacja  energii  1 nastę pnie  budowa  liniowych  równań  ruchu  oraz  linearyzacja  równań  nieliniowych  dadzą   inne  wyniki.  Celem  przedstawionej  pracy jest  budowa  całej  rodziny  macierzy  o  nieskomplikowanych  wyrazach,  a  nastę pnie  pokazanie,  jak  za  pomocą  przekształceń  algebraicznych  m o ż na  doprowadzić  układ  nieliniowych  równań  róż niczkowych  do  postaci  normalnej,  nadają cej  się  do  numerycznego  scałkowania  za  pomocą  znanych  procedur.  2.  Oznaczenia stosowane  w  pracy  /,  г ,  а,  Л, a,  fi  indeksy  zmienne  od  1  do  n,  indeksy  zmienne  od  1  do  3,  к  indeks  zmienny  od  1  do  /,  в  indeks  zmienny  od  1  do  b,  b  liczba  r ó w n a ń  w i ę z ów  nieholonomicznych,  316  Z .  GORAJ  / /  liczba  stopni  swobody  u k ł a d ó w ,  /;  liczba  w s p ó ł r z ę d n y ch  u o g ó l n i o n y c h ,  Oka,  bax  w s p ó ł c z y n n i k i  transformacji  prostej  i  odwrotnej  przy  przejś ciu  z  układu  prę d­ k o ś ci  u o g ó l n i o n y c h  do  u k ł a d u  q u a s i ­ p r ę d k o ś c i,  У к >  ik  w s p ó ł r z ę d ne  i  p r ę d k o ś ci  u o g ó l n i o n e ,  К к ,шк  g u a s i ­ w s p ó l r z ę d ne  i  q u a s i ­ p r ę d k o ś c i,  Jj,  g ł ó w n y ,  centralny  moment  b e z w ł a d n o ś ci  bryły  w z g l ę d em  osi  j',  M  masa  bryły,  Q\  siła  u o g ó l n i o n a  o d p o w i a d a j ą ca  q u a s i ­ w s p ó ł r z ę d n ej  k,  T,  T*  energia  kinetyczna  bryły  w y r a ż o na  odpowiednio  w  p r ę d k o ś c i a ch  u o g ó l n i o n y c h  i  w  ą u a s i ­ p r ę d k o ś c i a c h,  Vcj  s k ł a d o w a  prę dkoś ci  ś r o d ka  masy  bryły  w kierunku  osi / ,  Qy  s k ł a d o w a  p r ę d k o ś ci  k ą t o w ej  bryły  w  kierunku  osi  j',  Yka  t r ó j w s k a f n i k o w e  symbole  Boltzmanna,  V ,  Si  macierze  kolumnowe  odpowiednio  p r ę d k o ś ci  liniowej  i  k ą t o w ej  bryły,  V Q ,  SiQ  macierze  pochodnych  c z ą s t k o w y ch  odpowiednio  p r ę d k o ś ci  liniowej  i  k ą t o w ej  bryły  w z g l ę d em  kolejnych q u a s i ­ p r ę d k o ś c i,  p o m n o ż o ne  odpowiednio przez  m a s ę   i  momenty  b e z w ł a d n o ś ci  [wzory  (9)],  V,t,  SiK  macierze  pochodnych  c z ą s t k o w y ch  odpowiednio  p r ę d k o ś ci  liniowej  i  k ą t o w ej  bryły  w z g l ę d em  kolejnych  q u a s i ­ w s p ó l r z ę d n y ch  p o m n o ż o ne  odpowiednio  przez  m a s ę  i  momenty  b e z w ł a d n o ś ci  [wzory  (9)],  T Q , Т Я  macierze pochodnych c z ą s t k o w y ch  energii kinetycznej  w z g l ę d em  quasi­prę dkoś ci  i  q u a s i ­ w s p ó ł r z ę d n y ch  odpowiednio  [wzory  (10)  i  (11)],  TQ  —  prę dkoś ci  ką towej  (13)  Si(j')  = SlP(j', i)   SŁRP  (J)  =  &R  ( i ) ,  V P P (j, i) =  V P (y, 0,  Slpp O', 0  =  O', 0 •   Oznaczono  macierz  trójwskaź nikowych  symboli  Boltzmanna  przez  Г   (17)  V{r,  к ,  «)  =  Ш   oraz  macierz  sił uogólnionych  odpowiadają cych  przyję tym  ą uasi­współrzę dnym  przez  Q  (18)  Q(k) =  [Q*].  Korzystając  z oznaczeń  (9)­(l  1) oraz  (14)—(18) równanie  (1)  zapisano w postaci jednego  równania  macierzowego  (19)  А м  +  С ­ Тя  +  Т ^ Гы  = Q .  Wprowadzono  oznaczenia  (20)  B(A;) =  ­C(k)  + Tn(k)­T T 0(r)T(r,  к , a)to(a) + Q(Ar).  Z  (20)  wynika,  że  macierz  kolumnowa  В jest  sumą  iloczynów  macierzy,  które  zawierają   kombinacje  współrzę dnych  uogólnionych  i  ą uasi­prę dkoś ci,  nie  zawierają  natomiast  pochodnych  ą uasi­prę dkoś ci,  tzn.  A  =  A ( t o , q ) ,  В =  B ( w , q).  Fakt  ten ma  w dalszych  rozważ aniach  znaczenie zasadnicze,  gdyż  pozwala na zapis  u k ł a d u  równań  róż niczkowych  w postaci  normalnej.  Równanie  (19)  po  wprowadzeniu  oznaczenia  (20)  przyjmie  postać  nastę pują cą:  (21)  А ы =  B .  Równanie  (21) może  być  rozwią zane  wspólnie  z  równaniami  wię zów  (2) i  r ó w n a n i a m i  transformacji  (3).  Jeż eli  przy  próbie  rozwikłania  równań  (2)  i (3)  wzglę dem  qx  napotykamy  320  Z .  GORAJ  trudnoś ci  rachunkowe,  to  m o ż na  to  zrobić  na  maszynie  cyfrowej,  zapisując  r ó w n a n i a  (2)  i  (3)  w  postaci  macierzowej.  W  tym  celu  wprowadzono  nastę pują ce  oznaczenia:  (22)  0  0  o   R  Korzystając  z  (22),  r ó w n a n i a  (2)  i  (3)  przedstawiono  za  pomocą  jednego  równania  macierzowego  (23)  z = R q .  Z  powyż szego  wynika,  jak  zmieni  się  postę powanie,  gdy  bę dzie  m  brył  sztywnych  lub  elastycznych.  Wtedy  należy  dla  każ dej  bryły  oddzielnie zbudować  macierz  А ,­ i В ,,  a  nastę p­ nie  utworzyć  sumy  A  =  2 4 ,  В   2 >  i  л   Tak  więc  układ  mechaniczny  składają cy  się  z  m  brył  sztywnych  lub  elastycznych  może  być  opisany  za  pomocą  dwóch  r ó w n a ń  macierzowych  (24)  A w  =  B ,  R q  =  z .  N a  zakoń czenie  należy  zwrócić  uwagę  na  metody  rozwią zania  u k ł a d u  nieliniowego  r ó w n a ń  róż niczkowych  (24).  Standardowe  procedury  w  dostę pnych  maszynach  mate­ matycznych  pozwalają  na  rozwią zanie  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż niczkowych  nieliniowych  w  po­ staci  normalnej,  tzn.  i  =  F(x).  Doprowadzenie  układu  (24)  do  postaci  normalnej  m o ż na  «pozostawić»  samej  maszynie  cyfrowej,  stosując  przed  każ dym  krokiem  całkowania  znane procedury  na  odwracanie  i  mnoż enie  macierzy.  W  efekcie  otrzyma  się  układ  r ó w n a ń   róż niczkowych  (25)  ы  =  A ^ B ,  q  =  R ­ ' z .  U k ł a d  r ó w n a ń  (25)  jest  najbardziej  ogólnym  opisem  matematycznym  własnoś ci  dy­ namicznych  badanego  modelu  fizycznego.  4.  Równania  Boltzmana­Hamela  dla  układu  holonomicznego  w  zapisie macierzowym  Jeż eli  u k ł a d  mechaniczny  nie  jest  skrę powany  wię zami  nieholonomicznymi,  to  wtedy  odpadają  r ó w n a n i a  wię zów  (2).  Słuszne  są  w  zwią zku  z  tym  nastę pują ce  zależ noś ci :  6  =  0,  l  =  n.  R ó w n a n i a  transformacyjne  (3)  przyjmą  postać   R  (26)  cok  =  y.akiV'qx,  gdzie  к  =   1,  2,  n  przy  czym  i  (27)  [b.J  =  K , ] ­ 1 ­ MACIERZOWY  ZAPIS  RÓWNAŃ  RUCHU  321  Wszystkie  nastę pne  operacje  podane  w  rozdziale  3,  okreś lone  wzorami  (5)—(21),  pozostaną  bez  zmian.  Wzory  (22)  przyjmą  postać   (28)  co  =  to,  R  =  [akJ.  Tak  więc  matematyczny  opis  u k ł a d u  holonomicznego  w  ą uasi­współrzę dnych  spro­ wadza  się  do  nastę pują cego  u k ł a d u  równań  róż niczkowych:  (29)  Atb  =  B ,  R q  =  to.  Jest  to  układ  n + n  =  2n  równań  róż niczkowych  nieliniowych  I  rzę du.  5.  Równania  Lagrange'a  w  zapisie macierzowym  Z a ł o ż o n o,  że  macierz  T(r,  k,  a)  okreś lona  wzorem  (17)  jest  toż samoś ciowo  r ó w n a  zeru.  Oznacza  to,  że  wszystkie  trójwskaź nikowe  symbole  Boltzmanna  są  równe  zeru.  Wtedy  transformację  okreś loną  wzorami  (3)  oraz  (26)  m o ż na  interpretować  jako  przejś cie  od  jednego  u k ł a d u  współrzę dnych  uogólnionych  do  innego  u k ł a d u  współrzę dnych  uogól­ nionych.  Układ  mechaniczny  może  być  wówczas  opisany  równaniami  Lagrange'a  II  rodzaju.  Energia  kinetyczna  (6)  jest  funkcją  współrzę dnych  i  prę dkoś ci  uogólnionych  i  bę dziemy  ją  oznaczać  przez  T.  Ponadto  spełnione  są  zwią zki  (30)  qk  =  щ ;  qk  =  hk  =  cak.  Wszystkie  operacje  okreś lone  wzorami  (6)—(21),  pozostają  bez  zmian.  A b y  jednak  układ  równań  (21),  k t ó r y  jest  u k ł a d e m  równań  róż niczkowych  II  rzę du,  m o ż na  było  rozwią zać  na  maszynie  cyfrowej,  należy  go  sprowadzić  do  u k ł a d u  rzę du  I  stosując  podsta­ wienie,  które  stanowi  analogię  do  zwią zków  (23),  w  postaci  (31)  to  =  q.  Ostatecznie  otrzymano,  że  gdy  holonomiczny  układ  opiszemy  za  p o m o c ą  współrzę d­ nych  i  prę dkoś ci  uogólnionych,  to  matematyczny  zapis  ruchu  stanowią  nastę pują ce  rów­ nania  róż niczkowe  I  rzę du  (32)  A(q,  to)to  =  B(q,  to),  q  =  to.  Zaznaczmy  ponownie,  że  sprowadzenie  u k ł a d u  (32)  do  postaci  normalnej  może  do­ k o n a ć  maszyna  cyfrowa  wykonując  operacje  odwracania  i  mnoż enia  macierzy  (33)  to  =  A ­ 1 ( q ,  to)B(q,  to),  q  =  to.  6.  Linearyzacja nieliniowych  równań  ruchu  Z  rozdziałów  3,  4  i  5  wynika,  że  aby  zapisać  i  rozwią zać  nieliniowy  układ  r ó w n a ń   ruchu  układu  mechanicznego,  należy  okreś lić  całą  rodzinę  macierzy  na  podstawie  znajo­ moś ci :  a)  rozkładu  prę dkoś ci  liniowej  ś r o d ka  masy  i  prę dkoś ci  ką towej  bryły,  b)  r ó w n a ń  wię zów  nieholonomicznych  (jeż eli  istnieją ),  322  Z .  GORAJ  c)  r ó w n a ń  transformacyjnych  z  układu  prę dkoś ci  uogólnionych  do  u k ł a d u  quasi­ prę dkoś ci,  d)  sił uogólnionych  działają cych  na  układ.  Są  to  nastę pują ce  macierze:  v ( j ) ,  П О ' ).  V Q ( f c j ) ,  У п (.к ,Л ,  v , a o .  v « 0 ) ,  V Q P ( A : , / ) ,  &or(k,j),  V R P O ) ;  Я К Р О ' )>  V P P O ' . O ,  Я р р О ' , / ),  Г ( г ,  /с,  а ),  Q ( * ) ,  R f t  W  ogólnym  przypadku  należy  zbudować  19  macierzy  wyjś ciowych  na  podstawie  znajomoś ci  układu  mechanicznego.  Ponadto  w  celu  ułatwienia  zapisu  programu dla  maszyny  cyfrowej  należy  zadeklarować  dalsze  5  macierzy:  TQ(r),  Т я ( £ ) ,  C(k),  A(k,  i),  B(k)  i «zlecić»  maszynie  ich  obliczenie  na  podstawie  znajomoś ci  19  macierzy  wyjś ciowych.  W  najbardziej  ogólnej  postaci  układ  równań  (25)  posiada  nieliniowe  prawe  strony,  tzn.  to  =  A ­ 1 ( o > .  q,  r)B(to,  q, t),  q  =  R ­ 4 q , 0 z .  L i n i o w y m  u k ł a d e m  równań  róż niczkowych  bę dziemy  nazywać  układ  równań  wy­ nikają cy  z (25),  zapisany  w  nastę pują cej  postaci:  tb  =  A ­ ^ O B C M )  =  k­\t)b(t)z,  q  =  R _ 1 ( 0 z .  gdzie  A(r),  D(i),  R(t)  są  macierzami  stałymi  wzglę dem  to  i  q  (tzn.  nie  zawierają cymi  to  i q).  Macierze  te mogą  być  jednak  nadal  dowolnymi  funkcjami  czasu.  Uż ywając  dalej  terminów  macierze  liniowe  i  stałe,  bę dziemy  pod  tymi  okreś leniami  rozumieli  liniowość   lub  stałość  wzglę dem  to i q  bez  wzglę du  na zależ ność  tych  macierzy  od  czasu.  Ponadto  nie  bę dziemy  zajmować  się okreś leniem  w a r u n k ó w,  przy  których  linearyzacja  u k ł a d u  r ó w n a ń jest dopuszczalna ze  wzglę du  na jakoś ciowe  zachowanie się  rozwią zań  tych  r ó w n a ń .  A b y  zlinearyzować  układ  r ó w n a ń  róż niczkowych  (24)  lub (25)  należy  z  macierzy  A  i R wyodrę bnić  czę ś ci  stałe, a z macierzy  В  czę ść  liniową  i stałą.  Z  (15)  wynika,  że  aby  macierz  A  była  macierzą  stałą,  to macierze  V Q , SlQ,  \ P , SiP  muszą  być  stałe.  Podobnie  z  (22)  wynika,  że  aby  macierz R  była  stała, to  muszą  być  stałe  macierze:  —  macierz  okreś lają ca  transformację  z  u k ł a d u  prę dkoś ci  uogólnionych  do  u k ł a d u  quasi­prę dkoś ci  [wzór (3)]  [ я * , д ],  —  macierz  okreś lają ca  r ó w n a n i a  wię zów  nieholonomicznych  [wzór (2)]  MACIERZOWY  ZAPIS  RÓWNAŃ  RUCHU  323  Macierz  В jest  nastę pują cą  kombinacją  macierzy  wyjś ciowych:  В  =  ­ У 0 р У ­ Пе р П ­ У< г [ У р р <о  + У ,г р ] г ­ П о [ Я / . р и ) + ПК Р]  + У л У +  П л Я ­ ­[VQV+SlQSl] TTa>  + Q.  •  Aż eby  macierz  В była  macierzą  co  najwyż ej  liniową  (tzn.  aby  nie  zawierała  elementów  kwadratowych  i  wyż szego  rzę du)  kolejne  macierze  muszą  spełniać  nastę pują ce  warunki:  YQP,  SlQP  muszą  być  liniowe.  Macierze  te  nie zawierają  elementów  stałych,  gdyż   V Q p  =  V Q  oraz  ŁŁQP  = SlQ.  Należy  podkreś lić,  że  ż ą danie,  aby macierze  VQP,  SlQP  były  liniowe  nie  jest  sprzeczne  z  poprzednim  warunkiem,  aby macierze  V Q , SlQ  były  stałe,  pomimo  że V Q P =  V Q  oraz  SlQP  = SlQ.  Wynika  to z  faktu,  iż  warunki  narzucone  na  macierze  wyjś ciowe  tworzą ce  macierze  A i В są  od  siebie  niezależ ne,  gdyż  są  spowodowane  róż nymi  ż ą daniami  (stałość  macierzy  A oraz  liniowość  macierzy  B ) ;  V ,  SI muszą  być stałe,  gdyż  bę dą  m n o ż o ne  przez  macierze  liniowe;  V P P ,  Slpp  muszą  być  stałe,  gdyż  bę dą  m n o ż o ne  przez  macierze  liniowe;  co jest  liniowa;  \ R P ,  SlRP  muszą  być  liniowe.  Macierze  te  nie zawierają  elementów  stałych,  gdyż   VRP  =  \ R  oraz  SlRP  = SiR;  V Q ,  SlQ  muszą  być  stałe,  gdyż  bę dą  mnoż one  przez  macierze  liniowe;  У л ,  Я л w  zależ noś ci  od  badanego  obiektu  fizycznego  i jego  modelu,  macierze  te w  po­ staci  wyjś ciowej,  niezlinearyzowanej  mogą  zawierać  elementy  stałe,  lub  też  mogą  zawierać   tylko  elementy  liniowe  i  wyż szego  rzę du.  Tak  np.  dla  przedniego  zestawu  kołowego  po­ jazdu  ogumionego  i tylko dla rozważ anych  ruchów  antysymetrycznych  macierze  te  zawierają   tylko  elementy  liniowe  i  wyż szego  rzę du.  Natomiast  dla  ruchów  symetrycznych  obiektu  latają cego  macierze  te  zawierają  również  elementy  stałe.  Wobec  powyż szego  macierze  У л  i Sljj po  linearyzacji, w pewnych przypadkach  mogą  zawierać  elementy  stałe oraz  liniowe.  Jeż eli  macierze  У л i Slu  nie zawierają  elementów  stałych,  to  macierze  V i SI m n o ż o ne  lewostronnie  przez  Yn  i SŁn muszą  być  stałe.  G d y  jednak  macierze  V / 7 i Sln  zawierają   elementy  stałe, to należy  pomnoż yć  te macierze  prawostronnie  odpowiednio  przez  liniowe  macierze  V i Si, a  nastę pnie  wyodrę bnić  czę ś ci  stałe  i  liniowe  z  macierzy  wynikowych;  Г ,  \Q,SIq,  \,Sl  muszą  być  stałe,  gdyż  ich  kombinacje  bę dą  m n o ż o ne  przez  liniową   macierz  co;  «  Q  po linearyzacji  może  zawierać  tylko  elementy  liniowe  i  stałe.  7.  Macierzowy  zapis operatora  Lagrangc'a  dla  układów o prostszej geometrii ruchu  Pod  okreś leniem  «bryła  o  prostszej  geometrii  ruchu»  bę dziemy  rozumieli  bryłę  znaj­ dują cą  się w takim  ruchu,  w k t ó r y m  zdefiniowana  poniż ej  macierz  TQco  dla wybranych  współrzę dnych,  uogólnionych  i  ą uasi­prę dkoś ci  nie jest  zbytnio  skomplikowana, tzn.  nie  zawiera  zbyt  długich  wyrazów.  Podział  na  bryły  o prostszej  i bardziej  skomplikowanej  geometrii  ruchu  nie  jest  oczywiś cie  jednoznaczny  i  zależy  od oceny  komplikacji  dalszych  operacji  róż niczkowania  macierzy  Т дш .  D l a  brył  o prostszej  kinematyce  nie  warto  rozpoczynać  budowy  równań  ruchu  od  zbu­ dowania  macierzy prę dkoś ci  liniowej  ś rodka  masy  i prę dkoś ci  ką towej.  W takim  przypadku  324  wystarczy  operator  Lagrange'a  L  =  ,Ą  ­~—)  =—  zapisać  (za  pomocą  macierzy)  dt  \  д шк  J  д жк   nastę pują co:  (35)  L  =  ~  T c ­ T „  =  ­ d ­  ( Т с < 0 о ) + Т „ ) ­ Тл  =  Т С ю ш + Те > ­ г Тк ­ Т я ,  gdzie  gdzie  T R  oznacza  macierz  «reszt»  przy  róż niczkowaniu  energii  kinetycznej  wzglę dem  quasi­pręd koś ci.  Dobrym  przykładem  ilustrują cym  zastosowanie  powyż szych  metod  jest  konstrukcja  równań  ruchu  pojazdu  jednoś ladowego.  A b y  z b u d o w a ć  pełne  nieliniowe  równania  ruchu  pojazdu  jednoś ladowego,  należy  podzielić  go  na  trzy  umowne  bryły  sztywne:  (1)  przedni  zestaw  kierowniczy  wraz  z  przednim  kołem  bez  uwzglę dnienia  ruchu  obrotowego  przed­ niego  koła,  (2)  tylna  rama  wraz  z  tylnym  kołem  bez  uwzglę dnienia  ruchu  obrotowego  tylnego  koła,  (3)  koło  tylne  i  przednie  przy  uwzglę dnieniu  rzeczywistych  ruchów  tych  kół  wraz  z  obrotami  własnymi  kół  (w  celu  uwzglę dnienia  efektów  giroskopowych).  W  celu  otrzymania  członów  równań  wynikłych  z  ruchu  bryły  (1)  należy  zastosować  pełną  metodę   p o d a n ą  w  rozdziale  3;  w  celu  otrzymania  członów  wynikłych  z  ruchu  brył  (2)  i  sprzę ż eń   pochodzą cych  od  umownie  wyróż nionej  bryły  (3)  należy  zastosować  uproszczoną  wersję   metody  macierzowej,  podanej  w  rozdziale  7.  8.  O s i ą g n i ę te  rezultaty  Przedstawiona  w  pracy  metoda  pozwala  na  zapisanie  u k ł a d u  równań  róż niczkowych,  opisują cych  własnoś ci  dynamiczne  u k ł a d ó w  mechanicznych  dyskretnych  poprzez  zbudo­ wanie  19  macierzy  wyjś ciowych.  Metoda  posiada  dwie  zasadnicze  zalety  w  stosunku  do  metody  tradycyjnej.  1.  Niektóre  macierze,  np.  VQ,  są  wykorzystywane  wielokrotnie  w  konstrukcji  równań   (24).  Ponadto  mnoż ąc  macierze  przez  siebie  operuje  się  wielokrotnie  na  elementach  tych  macierzy.  Maszyna  cyfrowa  przed  wykonaniem  każ dego  kroku  w  procesie  całkowania  musi  wcześ niej  policzyć  elementy  macierzy  A  i  B .  A l e  dla  przedstawionej  metody  maszyna  zrobi  to  tylko  jeden  raz.  Natomiast  dla  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż niczkowych  wyprowadzonych  tradycyjnie  i  rozpisanych  w  jawnej  postaci,  maszyna  bę dzie  niektóre  z  elementów  liczyła  wielokrotnie  ze  wzglę du  na  powtarzanie  się  tych  elementów.  Przedstawiona  metoda  skróci  czas  liczenia  maszyny  cyfrowej.  2.  Wypisanie  macierzy  wyjś ciowych  bez  wykonywania  bardzo  czasochłonnych  mnoż eń   macierzy  przez  siebie  daje  olbrzymią  oszczę dność  czasu  przy  konstrukcji  równań  róż nicz­ MACIERZOWY  ZAPIS  RÓWNAŃ  RUCHU  325  kowych.  Ponadto  metoda  stwarza  moż liwość  łatwej  kontroli  w celu  uniknię cia  błę du  przy  wypisywaniu  r ó w n a ń .  Ł a t w o  przecież  skontrolować  nawet  kilkanaś cie  macierzy  o  prostych  wyrazach,  natomiast  prawie  niemoż liwe jest, by znaleźć  błąd  w równaniu,  które  ma kilkaset  członów.  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  R.  GUTOWSKI,  The  asymptotic  behaviour  and  properties  of  nonlinear  system  of  the  ordinary  differential  equations  of  a first  order  describing  the  notion  of  a  mechanical  system,  Arch.  Mech.  Stos.,  2 3 ,  1  (1971).  2.  R.  GUTOWSKI,  Mechanika  analityczna,  P W N ,  Warszawa  1971.  3.  J .  MARYNIAK,  Statecznoś ć  dynamiczna  podłuż na  szybowca  w  zespole  holowniczym,  Mech.  Teoret.  Stos.,  5,  3  (1967).  4.  J . MARYNIAK,  M .  L E C H ,  A .  N A Ł Ę C Z,  Identyfikacja  dynamiczna  pojazdów  na  pneumatykach,  Proceedings  of  the  VIII­th  Conference  on  Dynamics  of  Machines,  Praha,  Liblice  1973.  5.  J . MARYNIAK,  Z .  GORAJ,  Statecznoś ć  pojazdów  jednoś ladowych  na  kolach  pneumatycznych,  Mech.  Teoret.  Stos.,  1 2 , 4  (1974).  6.  J .  MARYNIAK,  Z .  G O R A J ,  Wpływ  sztywnoś ci  i  tłumienia  w układzie  sterowania  sterem  wysokoś ci  na  statecz­ noś ć  podłuż ną  samolotu  i  oscylacje  steru,  Mech.  Teoret.  Stos,  13, 2  (1975).  7.  R.  S.  SHARP,  Stability  and  control  of  motorcycles,  Mech.  Engin.  Sci.,  13, 5  (1971).  Р е з ю ме   М А Т Р И Ч Н АЯ  З А П И СЬ  Н Е Л И Н Е Й Н ЫХ  У Р А В Н Е Н ИЙ  Д В И Ж Е Н И Я,  П О Р О Ж Д А Е М ЫХ  М Е Т О Д ОМ  Л А Г Р А Н ЖА   В  р а б о те  р а с с м а т р и в а е т ся  с т е п е нь  о с л о ж н е н и й,  в ы с т у п а ю щ их  в о  в р е мя  к о н с т р у и р о в а н ия  н е­ л и н е й н ых  у р а в н е н ий  д в и ж е н ия  м е х а н и ч е с к ой  с и с т е м ы,  и м е ю щ ей  б о л ь ш ое  к о л и ч е с т во  с т е п е н ей   с в о б о ды  и  с л о ж н ую  г е о м е т р ию  д в и ж е н и я.  И с с л е д о в а на  г р у п па  ж е с т к их  и ли у п р у г их  т ел с  к о н е ч н ым  ч и с л ом  с т е п е н ей  с в о б о д ы,  с о е д и­ н е н н ых  п ри п о м о щи  ш а р н и р о в.  Д ля т а к ой  с о в о к у п н о с ти  т ел  в в е д е на  м а т р и ч н ая  ф о р ма  н е г о л о м­ н ых  у р а в н е н ий  Б о л ь ц м а н а ­ Г а м е л я.  Д о к а з а н о,  ч то  с и с т е му  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  в _м а т­ р и ч и ой  з а п и си  м о ж но  п р и в е с ти  к  н о р м а л ь н о му  в и д у.  К ак ч а с т н ые  с л у ч аи  р а с с м о т р е ны  г о л о н о м и­ ч е с к ая  с и с т е ма  в  к в а з и с к о р о с т ях  и  г о л о н о м и ч е с к ая  с и с т е м а,  д ля  к о т о р ой  в о з м о ж на  з а п и сь  п ри   п о м о щи  у р а в н е н ия  Л а г р а н ж а.  О п и с ан  м е т од  л и н е а р и з а ц ии  м а т р и ч н ой  с и с т е мы  у р а в н е н и й.  П о к а з а на  в о з м о ж н о с ть  п р и м е­ н е н ия  м а т р и ч н ой  с и с т е мы  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  д ля  ч и с л е н н о го  и н т е г р и р о в а н и я.  S u m m a r y  M A T R I X  R E P R E S E N T A T I O N  O F  A  N O N ­ L I N E A R  E Q U A T I O N S  O F  M O T I O N  D E R I V E D  B Y  T H E  A P P L I C A T I O N  O F  L A G R A N G E ' S  F O R M A L I S M  The  matrix form useful  for  the  numerical calculations  of the  nonlinear equations of  motion  for  a non­ holonomic  system  of  finite  number  of  degrees of  freedom  is  derived  by  the  application  of  the  Boltzmann­ Hamel  method  and  written  in  quasi­velocities  and  generalized  co­ordinates.  Advantages  of  the  matrix  description  and of  the  method  of linearization  of the  equation  in  the  matrix form are  shown.  In particular,  the  case  of  a  holonomic  system  is  discussed  in  detail.  I N S T Y T U T  T E C H N I K I  L O T N I C Z E J  I  MECHANIKI  S T O S O W A N E J  P O L I T E C H N I K I  W A R S Z A W S K I E J  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  17  listopada  1975  r.