Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

2,  14 (1976) 

Z A S T O S O W A N I E  M E T O D Y  M A C I E R Z Y  P R Z E N I E S I E N I A  W  O B L I C Z E N I U  D R G A Ń  W Ł A S N Y C H 

U K Ł A D U  B E L K O W O ­ L I N O W E G O 

F R A N C I S Z E K  J A R Z Y Ń S K I,  N G U Y E N  V A N  T I N H  ( P O Z N A Ń ) 

W s t ę p 

Metoda  macierzy  przeniesienia jest  znana  i  była  dotychczas  stosowana w zagadnieniach 
statycznych  i  dynamicznych  obliczenia  belek,  ram  i  kratownic  [1,  2,  3].  W  artykule  ni­
niniejszym  o m ó w i o n o  obliczenie  drgań  własnych  u k ł a d u  belkowo­linowego  przy  założ eniu 
stałej  sztywnoś ci  belki  na  zginanie. 

W  zakoń czeniu  podano  przykład  liczbowy.  W y n i k i  otrzymane  są  zbież ne  z  wynikami 
uzyskanymi  z  wzorów  podanych  w  [4]. 

1.  Przypadek  belki 

Rozpatrzmy  układ  belkowo­linowy  (rys.  1).  Dzieląc  belkę  na  przę sła  i  wę zły  oraz 
zakładają c,  że  masy  u k ł a d u  są  zaczepione  tylko  w  wę złach  1,  2 , . . . ,  и  (rys.  2),  na  mocy 
[1]  dla  przę sła  i—l,  i  mamy  (rys.  3): 

x 

Rys.  2  Rys.  3 

I 



254  F .  J A R Z Y Ń S K I,  N G U Y E N  V A N  T I N H 

(1) 

W?  =  W­i  + acpU +  Mf_i  +  TU, 
2EJ  6EJ 

Mi 

Tt 

oraz  dla  wę zła  i  (rys.  4) 

(2) 

ML,  +a  TU, 

TL, 

we =  wt, 
<PI =  t f ,  

Mf =  A / , Ł , 
7 /  =  Tt~mtco

2W,  +  P,(W). 

Rys.  4 

R ó w n a n i a  (1) i (2) moż emy  zapisać  w postaci 

(3) 
a M / ; 

£ 7 " 

£ 7 

2 £ 7  +  6£У  

aMLi  a2TLi 

EJ  l  2EJ 

aMLi  + 
a2TL, 

EJ 

EJ 

oraz 

(4)  EJ  a  "  , y• " '  EJ  EJ 

N a  podstawie  równań  (3) i (4) napiszemy  równania  równowagi  przę sła  i wę zła  w  sposób 

nastę pują cy: 

1 1 

(5) 

L 

— w 

9 

M 

f 

1 _ i 

1  1 

0  1  o 

2  6 

J _ 

2 

0  0  1 1 

0  0  0  1 

0 

— w 

9 

M 

f 

1 

albo  Z f =  F | Z f _ | f 



ZASTOSOWANIE METODY MACIERZY PRZENIESIENIA  2 5 5 

(6) 

w  k t ó r y c h : 

—  W 

a 

— w 

Ł 
M 

T 

q>  =  q>,  M  =  M 

1  0  0  0 

0  1  0  0 

0  0  1  0 

Ъ  0  0  1  Pr 

0  1 

EJ' 

— w 

4> 

M 

i 

т=шт' 

albo  Z f =  K , Z f , 

EJ 
Pt,  4t =  mt<»

2 

EJ 

F , jest  macierzą  przę sła,  K f  — macierzą  wę zła,  co — czę stoś cią  d r g a ń  własnych  u k ł a d u , 

щ  =  fia; p — masą  jednostki  długoś ci  u k ł a d u ,  P,  ­  siłą, pochodzą ca  od  kabla,  działają cą  

na  wę zeł  i  belki. 

Analogicznie  moż emy  napisać  r ó w n a n i a  dla  innych  wę złów  i  przę seł.  W  taki  s p o s ó b 

otrzymamy  zależ ność  mię dzy  Z g (dla punktu  A) i Z%+ г  (dla punktu  B) 

(8)  |  Z * _ ,  =  U Z S 

gdzie 

(9)  U  =  F n +  1 K n F „ . . . F 2 K 1 " F 1 . 

Obliczając  iloczyn  macierzy  (9)  moż emy  pominąć  kolumny  1 i  3  macierzy  F ,  ponieważ  

WA  =  MA  =  0.  Otrzymamy  wówczas 

(10) 

albo 

( П ) 

gdzie 

(12) 

«12  « 1 1 ^ 1 + « 1 2 / 7 2 +  •  •  +U*nPn~ "  <P  '  — w 

«2 1 «22  « 2 1 ^ 1 + « 2 2 ^ 2 +  •  •  +U*nPn  f  4> 

" 3 1  « 3 2  « 3 1 ^ 1 + « 3 2 ^ 2 +  •  •  +u$np„  .  1 ­ 0  ==  M 

« 4 1  « 4 2  « 4 l P l + « * 2 P 2 +  •  •  + « 4 л Л,  T 

_ 0  1  1 

« O'  9*  « j b  « . *  Ф  uJi 

1 Ш т] 
Z n + i 

1 

P  =  С о 1 { Л ( и ; ) , Р2 ( . у ) , . . . , Р » }, 

U  =  U ( 4 , 2), 

U *  =  U*(4,  n). 

Macierze  U i  U * są  funkcjami  czę stoś ci  i  zależą  od  p a r a m e t r ó w  geometrycznych  belki. 
Ponieważ  MB  =  WB  —  0,  ze  wzoru  (11)  otrzymujemy 

(13) 

gdzie 

U 1 3 Z 0  +  U * 3 P  =  o, 

^  Г « 1 1  « 1 2 l .  [ " l i  • ••  « 1 . П ­ 1  «*nl 
1 3  =  u  u  U * 3 =  \u*  u*  u* 

L « 3 1  « 3 2 j  L « 3 1  • ••  « З . п ­l  « 3 n J 



256  F .  J A R Z Y Ń S K I,  N G U Y E N  V A N  T I N H 

2.   Przypadek  liny 

Stosując  ten  sam  tok  postę powania,  co  w  pracy  [5],  znajdujemy 

(14)  P  =  A W , 

gdzie  W  =  C o l {W1,  W2,  ...,  W„} jest  wektorem  ugięć  wę złów  liny  i  równocześ nie  wę złów 

belki.  Macierz  A jest  macierzą  kwadratową,  symetryczną  i  okreś loną  równaniem 

tfe.  6Af
2EkFk 

A  "  a  P +  \n+l)sa3e  ° ' 

w  k t ó r y m 

2  ­ 1 

•1  2  ­ 1 

­ 1  2 

1  1 

1  1 

1  1 

EkFk  ~  sztywność  liny, 

£  =  1 + 
16  Г  
3  / 2 

gi
2 

Н д  =  ~sr  —  pozioma  składowa  nacią gu  statycznego  liny, 
oj 

g  —  cię ż ar  jednostki  długoś ci  układu. 

Te  same  równanie  (14)  m o ż na  zapisać  w  postaci 

(16) 

Z  r ó w n a n i a  (7)  i  (16)  mamy 

(17) 

gdzie 

(18) 

W 

EJ  EJ^  a 

P  =  A  W , 

A = Ł 7 A ­

3.  Macierz  współczynników  wpływowych 

Wyznaczamy  Z 0  jako  funkcję  wektora  sił  n a s t ę p u j ą c o: 

(19)  Zo  =  [ ^ ] = « ( Q ­ P ) , 



i 
Z A S T O S O W A N I E  M E T O D Y  M A C I E R Z Y  PRZENIESIENIA  257 

gdzie  Q  jest  wektorem  sil  bezwładnoś ci  okreś lonym  wzorem 

(20)  Q  =  M W , 

m7 

et  =  a(2,  n) jest  macierzą  wpływową  mię dzy  Z 0  i  siłami  P ,  Q ,  au  oznacza  kąt  nachylenia 

przekroju  w  punkcie  A  pod  działaniem  siły jednostkowej  w  punkcie  /'  belki,  <x2i  oznacza 

reakcję  w punkcie  A,  gdy  siła jednostkowa  działa  na  punkt  i  belki. 

«2i 
L­(n*1)a 

Rys.  5 

Rozpatrzmy  belkę  AB  o  stałym  przekroju  (rys.  5).  Korzystając  ze  statycznych  r ó w n a ń  

łatwo  znajdujemy 

af(2L­af)(L­af) 

(21) 

Podstawiając 

do  (21)  otrzymamy 

(22) 

6LEJ 

a2i 
L­af 

a u  =  ­

a2i  = 

L  ' 

L  =  a(n+1),  af  =  i­a 

a2  i[{2n +  2­i)(n+l­i)] 

EJ 

n+l­i 

n +1 

6 ( n + l ) 

0'  =  1, 2,  . . . , « ) . 

N a  podstawie  (17),  (18),  (19),  (20)  oraz  (22)  łatwo  zauważ yć,  że 

(23)  Z 0  =  a ( Q ­ P )  =  a ( q W ­ A W ) 

5  Mechanika  Teoretyczna 



258  F .  J A R Z Y Ń S K I,  N G U Y E N  V A N  T I N H 

gdzie 

(24) 

EJ 

a,,  =  ­

«•21  =  « 2 i  = 

M , 

г [ ( 2 и + 2 ­ р (и  +  1­/) 

6(л +1У~ 
И + 1 ­ / ' 

/7+1 
Po  podstawieniu  (17),  (23)  do  (13)  znajdujemy 

(25)  U 1 3 [ o ( q W ­ A W ) ]  +  U ? 3 A W  =  0. 

Po  pomnoż eniu  lewostronnie  (25)  przez  otr  otrzymujemy 

(26)  ( C ­ B  +  D ) W  =  0, 

gdzie  В ,  C ,  D  są  to  macierze  kwadratowe  okreś lone  wzorami: 

B  =  a r U 1 3 a A , 

(27)  С  =  a r U , 3 a q , 

D  =  a r U ? 3 A . 

Dzię ki  równaniu  (26)  wyznacznik  czę stoś ci  jest  okreś lony 

(28)  d e t ( C ­ B + D )  =  0. 

Stosując  zależ ność  (26)  moż emy  okreś lić  wektory  drgań  własnych  u k ł a d u . 

P r z y k ł a d .  Wyznaczyć  czę stość  podstawową  drgań  gię tnych  belki  u k ł a d u  podanego 

na  rys.  1,  z  umieszczonymi  na  niej  symetrycznie  dwiema  masami  skupionymi  m ,  =  m2  = 

=  m  =  ц а . 
p 

D a n e :  L  =  1,5  m ;  E  =  2,1  х  106  k G c m ~ 2 ;  J  —  20,8  c m 4 , 

0,1  c m 2 ,  ^  =  2 k G m ­ 1 . 

Proces  eliminacji  (8)  jest  okreś lony  wzorem 

Z 3  =  F S K ^ F J K ^ F J  Z 0 , 

s k ą d: 

E k  =  L 2 ' 
Fi  — 

1 ,  5  _  q2  9  4  . 
3 +  J q +  36  2  +  9 ' + 2 1 6 « 

4g+  g V 
„  5  _  1 
3 +  3 * +  3 6 * 

a  = 

_  5 

~9 

2 

3 

4 " 

9 

j _ 
У  

2 Я , 

4  1  _  1  " 

y  +  3 6 *  6 

2 +  ­
1  _ 

Г * 
1 

a2 

u? 

+ 
W2EkFk 

35a3e 

a2  = 
a3  64f2EkFk 

EJ  \  35a3e 
Ul 

a 



ZASTOSOWANIE  METODY  MACIERZY  PRZENIESIENIA  259 

Wykonując  obliczenia  (27),  (28),  oraz  po obliczeniu  a , , a2  otrzymamy 

427  804,1  \q2­8  247  115,69?+16  548  537,18  = 0, 

skąd  mamy  dwa  pierwiastki  q1  =  2,27,  q2  = 17. 

Wobec  tego  czę stoś ci  podstawowe  u k ł a d u  bę dą  

h  =  1,508^­j^s­
1,  co2 =  4 , 1 2 0 т / 

EJ 

Metodą  zastosowaną  w pracy  [4]  otrzymano 

c ­ l 
4  1 1  ' 

/  EJ 
s  1 . 

^  =  1 ' 4 7 0 " | / ^ S ­ 1 '  ^ = 4 ' 3 6 " | / / ­ ^ 

W  układzie  bez liny  a,  =  a2  =  0,  mamy  rуwnanie 

9 2  + 18­16<7 = 0, 

skąd 

' EJ 
co,  =  1,095  ­^/­—s­1,  w 2 =  3 , 8 4 ­ | / 

Wyniki  te są zgodne  z rezultatem  podanym  w  [6]. 

4TS" 1 . 

4.  Wnioski 

Metoda  macierzy  przeniesienia  w zastosowaniu  do u k ł a d u  belkowo­linowego  o  małej 
rozpię toś ci  jest  bardziej  efektywna  w p o r у w n a n i u  z  innymi  metodami,  ponieważ  pozwala 
na  pełne  wykorzystanie  elektronicznej  techniki  obliczeniowej.  Głуwną  jej  zaletą  jest to, 
że  obliczenie  ogranicza  się w zasadzie do mnoż enia  macierzy. 

Metoda  ta  może  rуwnież  służ yć do  obliczenia  drgań  własnych  u k ł a d u  belkowo­linowego 
o  duż ej  rozpię toś ci.  Wуwczas jednak  macierze  wystę pują ce  w rуwnaniu  (28)  bę dą  bardziej 
skomplikowane  i  należ ałoby  je  rozwią zywać  drogą  p r у b  za pomocą  E M C . 

Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie 

1.  E .  C . PESTEL,  F . A . L ECKI E,  Matrix  methods in elastomechanics,  McGraw­Hill  Book  Company, Inc.  New 

York,  San  Francisco  1963. 

2.  G .  R AKOWSKI ,  Zastosowanie macierzy do  analizy statycznej  i  dynamicznej  prę tów  prostych, Warszawa 

1968. 

3.  E .  ŚWITOŃ SKI, Zastosowanie metody macierzy przeniesienia do analizy dynamicznej prę tów  cienkoś ciennych, 

Mech.  Teoret.  Stos.  4,  12 (1974). 

4.  И . И .  ГО Л Ь Д Е Н Б Л А Т, К  р а с ч ё т у  в и с я ч и х  м о с т о в  и г а з о п р о в о д о в  н а в е т р о в ы е  и с е й с м и ч е с к и е  н а г р у з к и , 

М о с к ва  1962. 

5.  A . F . SMIRNOW,  Obliczenie konstrukcji za pomocą  maszyn cyfrowych,  Arkady,  Warszawa 1970. 

6.  K .  PISZCZEK,  J .  W AL CZAK,  Drgania w budowie maszyn,  Warszawa 1972. 

5" 



260  F. JARZYŃ SKI, NGUYEN VAN TINH 
Р е з ю ме  

П Р И М Е Н Е Н ИЕ  М Е Т О ДА  М А Т Р ИЦ  П Е Р Е Н О СА  Д ЛЯ  Р А С Ч Е ТА  С В О Б О Д Н ЫХ  

К О Л Е Б А Н ИЙ  В  В А Л О Ч Н О ­ Т Р О С О В ОЙ  С И С Т Е МЕ  

З а д а ча  с в о б о д н ых  к о л е б а н ий  в  б а л о ч н о ­ т р о с о в ой  с и с т е ме  р е ш а е т ся  с  п о м о щ ью  м е т о да  

м а т р иц  п е р е н о с а.  П р и в о д и т ся  ч и с л е н н ый  п р и м е р,  п о к а з ы в а ю щ ий  х о р о ш ую  с х о д и м о с ть  п р и н я т ых  

ф у н к ц и й. 

S u m m a r y 

A P L I C A T I O N  O F  T H E  T R A N S F E R  M A T R I X  M E T H O D  T O  T H E  C A L C U L A T I O N  O F  F R E E 

V I B R A T I O N  I N  A  B E A M  —  C A B L E  S Y S T E M 

Problem  of  free  vibration  in  a  beam — cable  system  is  solved  by  using  the  transfer  matrix  method. 

Numerical  example  is  given  and the  results  show  a  good  convergence  of  the  functions  assumed. 

POLITECHNIKA POZNAŃ SKA 
Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 2  czerwca 1975  r.