Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  14 (1976)  OPTYiMALNE  KSZTAŁTOWANIE  NIERÓWNOMIERNIE  NAGRZANYCH TARCZ  WIRUJĄ CYCH  Z  UWAGI  NA NOŚ NOŚĆ  SPRĘ Ż YSTĄ  I  GRANICZNĄ   Przy  doborze  optymalnego  profilu  tarczy  kołowo­symetrycznej  założ ymy  bą dź  speł­ nienie  w a r u n k ó w  równomiernej  wytrzymałoś ci  w  całej  tarczy  (zakres  sprę ż ysty),  bą dź   też całkowite  uplastycznienie tarczy  (zakres  plastyczny). Warunki  te  — przy  przyję ciu  w  obu  wariantach  tej  samej  hipotezy  wytę ż eniowej  — są  okreś lone  równaniami  identycznymi,  ewentualnie  z  dokładnoś cią  do  stałej,  uwzglę dniają cej  współczynnik  bezpieczeń stwa  oraz  moż liwe  rozróż nienie  granicy  sprę ż ystoś ci  i  granicy  plastycznoś ci.  Istotna  róż nica  polega  tu  natomiast  na koniecznoś ci  spełnienia  w zakresie  sprę ż ystym  r ó w n a n i a  nierozdzielnoś ci  wyraż onego  poprzez  naprę ż enia  w oparciu  o prawo  Hooke'a,  podczas  gdy,  przy  założ eniu  idealnej  plastycznoś ci  może  być  ono zawsze  spełnione,  niezależ nie  od  rozkładu  naprę ż eń   (wobec  zmiennoś ci  modułu  w  równaniach  fizycznych).  Kształtowanie  z uwagi  na noś ność  graniczną  wykazuje  więc  w tym  przypadku  w sensie  rachunku  wariacyjnego  o jeden  «stopień  swobody»  wię cej,  jednak  dla sprawdzenia po­ prawnoś ci  rozwią zania  należy  wykazać,  że  w  każ dym  punkcie  ciała  moc  rozpraszana  w  stanie  granicznym jest  nieujemna.  W wię kszoś ci  p r z y p a d k ó w  wirują cych  tarcz  kołowo­ symetrycznych  ten ostatni  warunek  nie budzi  wą tpliwoś ci.  Ponadto  zakładamy,  że schemat  plastycznego  zniszczenia  nie  jest  poprzedzony  deko­ hezją  (por. [18]).  Przy  założ eniu  izotropii  materiału  sam  warunek  równomiernej  wytrzymałoś ci,  wzglę dnie  warunek  plastycznoś ci,  m o ż na  tu  sformułować  dwojako  [20].  W  sensie  wę ż szym  m o ż na  przez  ten  warunek  rozumieć  podwójną  równość   gdzie  0 7 ,  aę  są  naprę ż eniami  promieniowymi  i  obwodowymi  w  tarczy,  a  o0+  i  ° o ­  są   wartoś ciami  granicy  sprę ż ystoś ci  lub plastycznoś ci  dla czystego  rozcią gania  i  ś ciskania.  W  sensie  szerszym  zapisujemy  go w ogólniejszej  postaci  T A D E U S Z  L I S Z K A ,  M I C H A Ł  Ż Y C Z K O W S KI  ( K R A K Ó W )  1.  Uwagi  wstę pne  (1.1)  (1.2)  red  gdzie  ат е Л  jest  naprę ż eniem  zastę pczym  według  przyję tej  hipotezy  wytę ż eniowej.  284  Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  R ó w n a n i e  (1.1)  pozostaje  słuszne  dla każ dej  hipotezy  wytę ż eniowej,  natomiast wa­ runek  (1.2), bę dąc  ogólniejszym,  wymaga jednak  jej  sprecyzowania,  a  zatem  ograniczenia  się  do pewnej  klasy  materiałów.  Klasyczne  kształtowanie  w oparciu o (1.1)  (np. podane przez  K A C Z A N O W A  [14]  rozwią­ zanie  dla  tarczy  niejednorodnej)  kryje  w  sobie  jednak  niebezpieczeń stwo  dwojakiego  rodzaju:  —  przy  kształtowaniu  na  noś ność  sprę ż ystą  rozwią zanie  może  być  błę dne,  ponieważ   m o ż e  nie  spełnić  r ó w n a n i a  nierozdzielnoś ci,  —  przy  kształtowaniu  na  noś ność  graniczną,  gdzie  warunek  nierozdzielnoś ci  może  być  spełniony  niezależ nie,  rozwią zanie  może  nie być  optymalne,  ponieważ  wykorzystując  warunek  (1.2)  m o ż na  otrzymać  rozwią zanie  lepsze  w sensie  przyję tego  kryterium.  Optymalne  rozwią zanie  mogłoby  być również  uzyskane  przy  założ eniu  (1.3)  o­ r e d  <  o­o,  jednak  rozwią zania  takie  nie są  autorom  znane  dla profili  opisanych  funkcjami  klasy  C 1  i  nie bę dą  przedmiotem  niniejszej  pracy.  Rozwią zania  z  wykorzystaniem  warunku  (1.2)  pozwalają  również  na  swobodniejszy  wybór  w a r u n k ó w  brzegowych  (np. obcią ż eń  brzegów  tarczy  pierś cieniowej),  które  przy  wykorzystaniu  warunku  (1.1) praktycznie  wynikają  z  optymalnego  rozwią zania.  Kształtując  w  oparciu  o  (1.1)  (warunek  w  sensie  wę ż szym)  tarczę  j e d n o r o d n ą  bez  wpływu  temperatury  [ H U B E R  [3],  K R Z Y Ś  i  Ż Y C Z K O W S KI  [9],  R A N T A  M A T T I  [13] — rozwią za­ nie  podane  póź niej,  wzór  (6.2)]  otrzymuje  się  rozwią zanie  optymalne  z uwagi na  noś ność   sprę ż ystą,  gdyż  łatwo  stwierdzić,  że równanie  nierozdzielnoś ci  pozostaje  wtedy  spełnione.  Wykorzystując  szerszy  warunek  (1.2)  otrzymuje  się  rozwią zanie  ogólniejsze,  które  jednak  w  szczególnych  przypadkach  (np.  dla  tarczy  pełnej)  pokrywa  się z  powyż szym.  Rozwią zania  takie  dla tarcz  niejednorodnych  z  uwzglę dnieniem  wpływu  temperatury,  przy  zastosowaniu  hipotez  wytę ż eniowych  H U B E R A ­ M I S E S A ­ H E N C K Y ' E G O  i  T R E S K I ­ G U E S T A ,  rozpatrywali  G O N T A R O W S K I J  i  C Z E B A J E W S K I J  [4],  I G N A T I E N K O  [5],  K A P K O W S K I  [8]  oraz  K A P K O W S K I  i  Ł U K A S I E W I C Z  [6,  7].  R A N T A  M A T T I  [13]  p o d a ł  pewne  oszacowanie  błę du  wynikają cego  z  przybliż onego  założ enia  płaskiego  stanu  naprę ż enia.  Zbliż one  rozwią zania  m o ż na  otrzymać  zakładając  schodkowy  profil  tarczy  [16] lub  bę dą cy  funkcją  odcinkowo  liniową [1].  Cele  obecnej  pracy  m o ż na  streś cić  nastę pują co:  1.  Uzyskanie rozwią zań  dla parabolicznego warunku plastycznoś ci typu  B U R Z Y Ń S K I E G O—  STASSI  D ' A L I A , 1 *  uogólniają cego  warunek  H U B E R A ­ M I S E S A ­ H E N C K Y ' E G O  oraz  ocena  zakresu  stosowalnoś ci  uzyskanych  rozwią zań.  2.  Zbadanie  problemu  toż samoś ci  rozwią zań  uzyskanych  w  zakresie  sprę ż ystym  i  plastycznym oraz  ocena  dodatkowego  zysku  na materiale  przy  kształtowaniu  na  noś ność   graniczną,  w  przypadku  braku  takiej  toż samoś ci.  "  H i p o t e z ę  p a r a b o l i c z n ą ,  s t a n o w i ą cą  s z c z e g ó l n y  przypadek  trójparametrowej  hipotezy  B u r z y ń s k i e go  f o r m u ł o w a ł o  p ó ź n i ej  niezależ nie  wielu  innych  a u t o r ó w  (por.  Ż y c z k o w s ki  [19]);  w i ą z a n ie  jej  przez  nas  z  nazwiskami  B u r z y ń s k i e go  i  Stassi  d'Alia  jest czysto  umowne.  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  285  2.  Przyję te  założ enia  2.1.  Płaski,  kołowo­symetryczny  stan  naprę ż enia.  2.2.  M a ł e  przemieszczenia  promieniowe.  2.3.  M a t e r i a ł  izotropowy  a)  idealnie  sprę ż ysty  lub  b)  idealnie  plastyczny,  co  odpowiada  badaniu  noś noś ci  sprę ż ystej  lub  granicznej.  2.4.  R ó w n a n i e  hipotezy  wytę ż eniowej  (2.1)  ­ а % н ­ a0 ( x ­ 1 ) ( a r  + c № ) +  (of + er 2­ara^)  ^  0,  przechodzą cej  w  przypadku  и —  1  w  hipotezę  H M H  (2.2)  ­  al  +  (o2  + a2­ar  av)  ^  0  jest  spełnione  w  formie  równoś ci  w  całej  obję toś ci  tarczy.  ­/oo+,  Rys.  1  2.5.  Granica  sprę ż ystoś ci  (lub  plastycznoś ci)  o*0,  m o d u ł  sprę ż ystoś ci  E  i  gę stość   m a t e r i a ł u  у Ig  są  znanymi  funkcjami  temperatury  T  i  promienia  tarczy  R.  2.6.  K o ł o w o  symetryczny,  płaski  rozkład  temperatury.  2.7.  Współczynnik  cieplnej  rozszerzalnoś ci  liniowej  a,  m o d u ł  Poissona  v oraz  stała  к   nie  zależą  od  temperatury  i  promienia.  3.  Stosowane wielkoś ci bezwymiarowe  r  =  R/B  bezwymiarowy  promień,  fi  =  Aj В  wewnę trzny  promień  tarczy,  0  <  0  <  r  <  1,  h(r)  =  H(R)jH  bezwymiarowy  profil  tarczy,  so(r)  — ao(r)lao  bezwymiarowa  granica  plastycznoś ci,  sr  =  w  =  V  j' lir dr  •  o­r/50  yco2B2  go0  V  bezwymiarowe  naprę ż enia,  «wirowanie  tarczy»  (bezwymiarowa  siła  odś rodkowa),  bezwymiarowa  obję tość  tarczy,  (V  obję tość  tarczy),  2nB2H  B i  liczba  Biota,  286 Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  а  =  ,  _  bezwymiarowy  współczynnik  rozszerzalnoś ci  liniowej  materiału  Eo0T(l+v)  tarczy,  e =  EjE  bezwymiarowy  m o d u ł  sprę ż ystoś ci,  t  =  T/T  bezwymiarowa  temperatura,  Ct(i  =  1, 2,  3 ,  ...)  stałe  całkowania,  (  )'  =  d'lBr(  ),  (•)  =  8/dt(  ),  ( _ )  oznacza  pewną  ustaloną  wartość danej  wielkoś ci,  np.  maksy­ malną.  Jej  przyję cie  nie  wpływa  w sposób  istotny  na  wyniki  rozważ ań.  Z  dowolnoś ci  przyję cia  tych  wartoś ci  wynika  niemo­ ż ność  uwzglę dnienia  ograniczeń  technologicznych  (typu  Hy  ^  H < H2)  za  pomocą  takich  wielkoś ci  bezwymiarowych.  W  szczególnoś ci  dla  tarczy  jednorodnej  o  stałej  temperaturze  wygodnie  jest  przyjąć  t = e =  = s0  s  1.  4.  Podstawowe  równania  Równanie  równowagi  dla tarczy  wirują cej  o  zmiennej  gruboś ci  moż na  więc  zapisać   w  postaci  bezwymiarowej  nastę pują co."  (4.1)  Л 7.У, ­  lisr­lirs'r  + hslf, + hwr 2  =  0 .  D l a  zastosowanej  hipotezy  wytę ż eniowej  łatwo  wykazać  słuszność  nastę pują cej  parametry­ zacji  sr  = L,(COSĆ:  ­Lsin^ j   ­ ( l ­ x ) l ^ o .  (4.2)  '  '  3  sv  =  j*i|cosf+  ­ A s i n f j  _ ( 2 _ ^  gdzie  xx  = \/x 2  — x +1.  Jest  to pewne  uogólnienie  parametryzacji  N A D A I ' A ­ S O K O L O W S K I E G O  dla  х  Ф  1. Po  jej  wykorzystaniu  równanie  (4.1)  m o ż na  zapisać  w postaci:  (4.3)  /V = h  — s i n l ­ r  l/3  sinf  +  ­ ™ r C o s | j  \  s0  s0  j  r\  (cosŁ  Lr  s i n i  11  1/3  J  ­x2  gdzie  =  wjxi,  x2  =  (1 —  x)\xx.  Przy  kształtowaniu  ze wzglę du  na noś ność  sprę ż ystą  do wyznaczenia  funkcji  f (r)  służy  równanie  nierozdzielnoś ci  (4.4)  er  =  ey + re'p  wią ż ą ce  ze sobą  odkształcenia  promieniowe  i obwodowe  (er i  sv).  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  287  Po  podstawieniu  do  (4.4)  prawa  Hooke'a  (4.5)  er  =   a°r(sr­vs,p)  +  at,  £(/?)  =  0, [4, 5, 8], jednak  prowadzi to zazwyczaj do nieograniczonej  wartoś ci  Л (/?)3 ) .  W  przypadku  tarczy  pełnej  warunek  dla r = 0 ma inny  charakter:  (5.2)  1(0)  = 0,  ±7i,  ...  R ó w n a n i e  to  wynika  z zachodzą cej  tu  równoś ci  naprę ż eń  obwodowych i promieniowych  (5.3)  J 9 ( 0 ) =  sr(0).  Kształt  tarczy  i  wyniki  projektowania  zależą  od przyję tych  funkcji  s0(r, t), e(r,  t), t(r).  W  celu  przeprowadzenia  szczegółowych  rozważ ań  założ ymy  (5.4)  s0  a  e a  / a  x = 1.  Założ enia  te bę dą  obowią zywać  w dalszej  czę ś ci  pracy, o ile nie  bę dzie  wyraź nie  zaznaczo­ ne  inaczej.  6.  Tarcza  pełna  6.1.  N o ś n o ść  sprę ż ysta tarczy.  R ó w n a n i e  (4.7)  ma rozwią zanie  zamknię te  (6.1)  7i«p(ff)  I s i n l l 1 ' 2  (6.2)  I = 0,  ±n,  ...  3  Patrz  Dodatek  B.  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  289  Warunki  brzegowe  dla  tarczy  pełnej  (5.2)  spełnia jedynie  r ó w n a n i e  (6.2),  co odpowiada  klasycznemu  kształtowi  tarczy  o  równomiernej  wytrzymałoś ci  w sensie  wę ż szym  (tu sens  szerszy  sprowadza  się do tego jedynego  rozwią zania)  (6.3)  h(r)  =  e x p ( + i w ­ 2 / 2 ) ,  (6.4)  p{\)  =  +exp(+w/2)  #  0.  (Dolne  znaki  w  r ó w n a n i a c h  odnoszą  się do  przypadku  obwodowego  ś ciskania  tarczy  —  nieistotnego  w  praktyce).  6.2.  N o ś n o ść  graniczna  tarczy.  Warunek  (5.2)  dla  r ó w n a n i a  (4.10)  prowadzi  do  symbolu  nieoznaczonego  0/0.  D l a umoż liwienia  rozwią zania  numerycznego  funkcje  h(r)  i Ł(/•)  rozwinię to  w okolicy  r = 0 w szeregi  |(r)  =  Alr 2+A2r*  + A3r 6  +  ...,  \n[h(r)] = alr 2  + a2r 4­  +  air 6+  Po  podstawieniu  tych  szeregów  do  r ó w n a ń  i  p o r ó w n a n i u  odpowiednich  współczynników  otrzymano  w2  \27w3  4 8 | / 3  lw2  (6.5)  (6.6)  w  3 j / 3  o,  =  Ax  =  ­=r  4 j / 3  A,  =  2 7 3 5 ] / 3  1 3 1 w 3  2 9 3 3 j / 3 144|/3  Powyż sze  rozwią zanie  posłuż yło  do  wyznaczenia  punktu  startu  dla  numerycznego  całkowania  r ó w n a ń  metodą  R U N G E G O  K U T T Y  4  rzę du  na komputerze  Odra  1204.  W y n i k i  przedstawiono  w tablicy  1 i na  rys.  2, gdzie  umieszczono  dla p o r ó w n a n i a  również  tarczę   sprę ż ystą  [równanie  (6.3)].  Tablica  1.  Tarcza  pełna.  Rozwią zanie plastyczne i sprę ż yste  Tj =  r  \/w  h(rj)  (piast.)  e x p ( ł ? 2 / 2 )  (sprę ż .)  0  0  1,0000  1,0000  0,2  0,00576  0,9804  0,9802  0,4  0,02242  0,9233  0,9231  0,6  0,04854  0,8357  0,8353  0,8  0,08193  0,7271  0,7261  1.0  0,1201  0,6084  0,6065  1,2  0,1604  0,4900  0,4868  1,4  0,2008  0,3801  0,3753  1,6  0,2394  0,2843  0,2780  1,8  0,2751  0,2051  0,1979  2,0  0,3072  0,1429  0,1353  Tablica  2  zawiera  porównanie  obję toś ci  obu tarcz  przy  założ eniu,  że  obcią ż enia  na  brzegu  obu tarcz  są takie  same  i  wynoszą  p(l)  —  1. Zysk  na  kształtowaniu  tarczy  pełnej  w  oparciu  o  noś ność  graniczną  jest  tu  stosunkowo  znaczny  i  dla w =  4  (co  odpowiada  jeszcze  realnym  fizycznie  wielkoś ciom)  wynosi  około  19%.  7  Mechanika  Teoretyczna  290  Т .  L I S Z K A ,  М .  Ż Y C Z K O W S KI  Tablica  2.  Porównanie  tarczy  pełnej  plastycznej i  sprę ż ystej  Tarcza  plastyczna  Tarcza  s p r ę ż y s ta  W  hmax  V  "max  V  0,0  1,00  0,500  1,00  0,500  1,0  1,54  0,606  1,65  0,650  2,0  2,44  0,771  2,72  0,859  3,0  3,88  1,005  4,46  1,145  4,0  6,20  1,345  7,40  1,595  7.   Tarcza  pierś cieniowa  W  przypadku  tarczy  pierś cieniowej  pozostają  słuszne  rozwią zania  podane  poprzednio,  lecz  są one  jedynie  szczególnymi  przypadkami  rozwią zania  ogólnego.  D l a  tarczy  sprę ż ystej,  wykorzystując  rozwią zanie  (6.1),  m o ż na  dla  w  = 0 p o d a ć  funkcję   h(r)  w postaci  parametrycznej  rozwią zując  równanie (4.3)  exp  (7.1)  h =  C2  l  2(1 +v) V  Wykresy  rozwią zań  dla v =  0,5  oraz v =  0,3  przedstawiają  rys. 3 i 4. N a  rysunkach  przed­ stawiono  również  siłę  osiową  p(r).  Nieograniczony wzrost  wartoś ci  h i p  wynika  z  osobli­ woś ci  pojawiają cej  się w  równaniu  (4.3) dla f  = т е /3.  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  291  Zamieszczone  wykresy służ yć  mogą  do  dobierania  wartoś ci  stałych  CL  i  C2  z  w a r u n k ó w  brzegowych  (5.1). Rysunki  zawierają  wykresy dwu alternatywnych rozwią zań,  toteż  należy  wybierać  odcinki  krzywych  nie zawierają ce  punktu  A.  Otrzymane  rozwią zanie jest  okresowe  ze  wzglę du  na  f  o  okresie  2TZ  [rozwią zanie  dla n  <  |  ^  2n  jest  analogiczne  do  zamiesz­ czonego  — róż ni  się  jedynie  znakiem  funkcji  p(r)].  I r / C, 0  1  2  3  4  5  Rys.  4  N a  podstawie  rys.  3  m o ż na  stwierdzić,  że dla v  =  0,5  stosunek  p(f3)/p(l)  musi  mieś cić   się  w  przedziale  (0,5­^­3,0).  D l a  v  Ф 0,5  brak  jest  takich  ograniczeń,  lecz  przekroczenie  powyż szego  zakresu  spowoduje  znaczne  odstę pstwa  od  założ onego  płaskiego  stanu  na­ 292  Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  prę ż enia  w  wyniku  duż ych  wartoś ci  h'(r).  N i e m o ż na  przyjmować  obcią ż eń  o przeciwnych  znakach ani  swobodnego  brzegu  tarczy, gdyż prowadzi to  do nieograniczonego  wzrostu  h(r)  w  pewnym  punkcie  tarczy. 4 )  Ze  wzglę du  na  podobień stwo  r ó w n a ń  rozwią zanie  numeryczne,  k t ó r e m u  poś wię cona  bę dzie  n a s t ę p na  czę ść  pracy,  przeprowadzono  nie  róż nicując  p r o g r a m ó w  dla  noś noś ci  sprę ż ystej  i  noś noś ci  granicznej.  Całkowanie  podstawowego  u k ł a d u  r ó w n a ń  przeprowa­ dzono  za  pomocą  standardowej  procedury  «Runge  Kutta  4»  z  biblioteki  p r o g r a m ó w  maszyny  cyfrowej  Odra  1204.  Ze  wzglę du  na  wystę pują cy  tu  typ  w a r u n k ó w  brzegowych  («1 + 1 » )  całkowanie  przeprowadzono  w  dwu  kolejnych etapach:  1.  Przyjmując  p(l)  =  1 i  kolejne  wartoś ci  |(1)  z  przedziału  (0,  т с)  obliczano  p(fi)  dla  6  wartoś ci  (3. Czas  obliczeń  dla  30  wartoś ci  |(1)  przy  dokładnoś ci  obliczeń  rzę du  1 0 " 3  (wartoś ci  p a r a m e t r ó w  «eps»  i  «eta»  procedury)  wynosił  25­30  min.  Rys.  5  2.  Wyznaczenie  funkcji  !i(r)  i  £(/­) dla  zadanych  p{\)  i  p(B)  wykorzystując  znalezione  uprzednio  przybliż one  punkty  startowe  dla  procedury  «regfalsi»  służ ą cej  do  wstrzelania  się w dokł adną  wart ość p(fi).  Czas  obliczeń  przy dokł adnoś ci  I0~6  wynosi ł  4­6 mi n.   W  wyniku  działania  programu  pierwszego  otrzymywano  wykresy  pifi)  =  /[1(1)],  bę dą ce  oczywistą  informacją  o  moż liwoś ciach  dobierania  wartoś ci  p(fi)/p(l).  Typowy  wykres przedstawia  rys. 5. Zmiana  współczynnika  v lub  przyję cie  równań  noś noś ci  granicz­ 4  Szczegółową  dyskusję  zawiera  Dodatek  B.  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  293  nej  p o w o d o w a ł o  jedynie  nieznaczne  róż nice  iloś ciowe  (rzę du  k i l k u  %).  Z  dwu  moż liwych  równoważ nych  rozwią zań  (np. odpowiadają cych  punktom  В  i  B')  gałąź  odpowiadają ca  punktowi  B'  daje  rozwią zania  o mniejszej  obję toś ci  tarczy,  lecz  o  wię kszych  nachyleniach  funkcji  h(r)  i wię kszej  gruboś ci  na wewnę trznym  brzegu  [A(/?)].  W  p o r ó w n a n i u  z  w a r t o ś c i a­ mi p(fi)lp(l)  otrzymywanymi z rozwią zania  klasycznego  (6.3)  zakres dopuszczalnych  warto­ ś ci został  powię kszony, jednak przede  wszystkim  w  górę,  co jest  zjawiskiem  niekorzystnym.  Tablica  3.  Obję tość  tarcz  pierś cieniowych  przy  róż nych  warunkach brzegowych  L p .  P  w  Tarcza  sprę ż ysta  Tarcza  plastyczna  L p .  P  w  v  =  0  v  =  0.3  v  =  0.5  Tarcza  plastyczna  1  1,5  0,9  1,0  0,218066  0,217832  0,217717  0,217716  2  1,5  0,9  4,0  —  0,103135  0,103121  3  1,5  0,75  1,0  0,238141  0,237927  0,237848  0,237837  4  2,0  0,9  4,0  —  0,189136  —  0,189080  5  0,4  0,5  4,0  —  0,201452  —  0,201358  6  0,5  0,75  4,0  —  0,139573  0,139417  Teoretycznie  wartość  p(fl)  m o ż na  przyjmować  dowolnie  wielką,  jednak  obliczenia  nu­ meryczne  stają  się  wtedy niedokładne,  a w rzeczywistej  tarczy  zachodzi  znaczne  odstę pstwo  od  płaskiego  stanu  naprę ż enia;  toteż  linie  przerywane  na wykresie  (rys.  5)  przedstawiają   przewidywany  przebieg  krzywych  nie mają cy  praktycznego  znaczenia.  Przeliczone  przy­ I  1  и  I I I  i  I  L _  i _  I  1  1  1  1  1  1  L  0  Ę5  1,0  0  .  0,5 1,0  Rys.  6  k ł a d y  k s z t a ł t o w a n i a  tarcz  zestawione  s ą w  tablicy  3,  a  wykresy  h(r)  d l a  p r z y p a d k ó w  2  i  5  z  tej  tablicy  przedstawia  rys. 6.  Z w r a c a  u w a g ę  b a r d z o  niewielki  z y s k  n a o b j ę t o ś ci  t a r c z y d l a  noś noś ci  granicznej  —  nieporównywalnie  mniejszy  niż dla tarczy  pełnej  (tablica  2).  Jest  to  wynikiem  innego  charakteru  w a r u n k ó w  brzegowych  [równania  (5.1) i (5.2)].  294  Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  8.  Porównanie  równomiernej  wytrzymałoś ci  w sensie szerszym  i  wę ż szym  Kształtowanie  w  oparciu  o  równanie  (1.1)  (warunek  w  sensie  wę ż szym)  odpowiada  przyję ciu  (8.1)  f ( r ) s O ,  ± 7 C , . . .  zamiast  równań  (4.6)  lub  (4.9),  które  zostają  wtedy  milczą co  pominię te.  Wykorzystując  równanie  (8.1)  m o ż na  scałkować  równanie  równowagi  (4.3)  (8.2)  h(r)  =  C3s0exp(­fwrso'dr).  R ó w n a n i e  to,  podane  przez  K A C Z A N O W A  [14],  może  więc  dawać  nieoptymalne  profile  tarcz.  W  pewnych,  szczególnych  przypadkach  kształtowanie  w  sensie  szerszym  może  jednak  d a w a ć  identyczne  rozwią zanie.  Jedynie  wtedy  rozwią zanie  (8.2)  jest  poprawne.  Warunkiem  koniecznym, aby  rozwią zanie  (8.2)  było  poprawne  w  zakresie  sprę ż ystym  jest  spełnienie  r ó w n a n i a  e  \  at'  l n ­ s01  ps0e  gdzie  s0  =  s0(r,  t),  e  =  e(r,  t),  wynikają cego  z  równania  nierozdzielnoś ci  po  podstawieniu  (8.1).  Z  (8.3)  wynika  więc  m.in.,  że tarcza  jednorodna  bez  wpływu  temperatury  kształto­ wana  w  oparciu  o  równanie  (8.2)  bę dzie  przy  odpowiednio  dobranych  warunkach  brzego­ wych  optymalna  ze  wzglę du  na  noś ność  sprę ż ystą.  W  zakresie  plastycznym  podstawiając  (8.1)  do  (4.9)  otrzymuje  się  przy  w  =  const,  x  =  1  (8.4) _ w + i L l w j i  =  o.  • Jo  2  s0  R ó w n a n i e  to  po  moż liwym  scaikowaniu  ^  '• <'> ' 1UT>  jest  warunkiem  koniecznym, aby  rozwią zanie  (8.2)  było  poprawne  przy  kształtowaniu  na  noś ność  graniczną.  Ze  spełnienia  jednego  z  tych  r ó w n a ń  nie  musi  jednak  wynikać  p o p r a w n o ś ć  rozwią­ zania  (8.2),  gdyż  w  rozwią zaniu  tym  stosunek  obcią ż eń  p(fi)lp(\)  jest  jednoznacznie  wyznaczony  i , co  za tym  idzie,  dowolnie wybrane  warunki brzegowe  dla tarczy  pierś cienio­ wej  nie  muszą  być  spełnione.  Jedynie  w  przypadku  tarczy  pełnej,  ponieważ  warunki  brzegowe  są  inaczej  formułowane  • [równanie  (5.2)]  spełnienie  r ó w n a ń  (8.3)  lub  (8.5)  wystarcza  dla  poprawnoś ci  rozwią zania  (8.2).  9.  P o ł ą c z e n ie  tarczy  z  pierś cieniem  Ze  wzglę du  na  istnieją ce  ograniczenia  czę sto  zachodzi  konieczność  projektowania  tarczy  tylko  w czę ś ci swej  obję toś ci  spełniają cej  wyprowadzone powyż ej  równania.  Pozwala  to  na  uniknię cie  nieograniczonej  wysokoś ci  tarczy  otrzymanej  z  powyż szych  r ó w n a ń   OPTYMALNI; KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  295  drogą  wprowadzenia  dodatkowych  ograniczeń.  Projektując  tarczę  ze  swobodnym  brzegiem  (co jest  przypadkiem  czę sto  spotykanym)  korzystne  jest  zastosowanie  pierś cienia  o  ((sku­ pionej))  powierzchni  przekroju  F  i  pomijalnie  małym  wymiarze  promieniowym  przeno­ szą cego  siłę  promieniową  pochodzą cą  od  tarczy  i  obcią ż enia  zewnę trznego  (pz  —  r ó w n e g o  i  ft  2= i  —p  J  Rys.  7  w  tym  przypadku  0).  Z  punktu  widzenia  matematyki  oznacza  to  dopuszczenie  rozwią zań   dystrybucyjnych,  gdyż  pierś cień  taki  m o ż na  t r a k t o w a ć  jak  dystrybucję  d(r—g),  gdzie  Q  jest  ś rednim  promieniem  pierś cienia  (rys.  7).  Profil  tarczy  m o ż na  więc  opisać  dystrybucją   (9.1)  h*  =  h(r) +  Fó(r­Q).  wp2Fdcp  i  kppc/ip  Z  przyję tych  założ eń  wynika,  że  w  pierś cieniu  działa  jedynie  naprę ż enie  obwodowe  sp  (definiowane  analogicznie  do  sr  i  s^),  toteż  równanie  równowagi  elementu  takiego  pier­ ś cienia  (rys.  8)  obcią ż onego  siłą  promieniową  p  (9.2)  Fdywo2+pQ(łq> — spFd(p  =  0  może  służ yć  do  wyznaczania  przekroju  F  PQ  (9.3)  F  =  296  Т .  LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  W  zakresie  sprę ż ystym  naprę ż enie  sp  m o ż na  wyznaczyć  z  warunku  zgodnoś ci  od"  kształceń  tarczy  i  pierś cienia.  Przy  założ eniu,  że  są  one  wykonane jako jedna  całość  otrzy­ muje  się   h(o)lcos  f  ­ ^ s i n f j  +pz  (9.4)  F ­ — L  Ł L ­ J ­  ­ , .  (1 — ?>)cosf  H——— s i n Ł — WQ2  ]/3  Jak  wykazano  w  [9]  w  pierś cieniu  takim  wytę ż enie jest  inne  niż  w  tarczy,  co jest  zjawiskiem  niekorzystnym,  a  nawet  niedopuszczalnym,  o  ile  wytę ż enie jest  wyż sze  niż  w  tarczy.  Lepsze  wykorzystanie  materiału  m o ż na  osią gnąć  zakładając  pełne  uplastycznienie  pierś cienia  (kształtowanie  na  noś ność  graniczną ).  R ó w n a n i e  zgodnoś ci  odkształceń  przy  założ eniu  idealnej  plastycznoś ci  przestanie  wtedy  ingerować,  zatem  s„  =  ±  1  i  (9.5)  F  + / j ( o ) | c o s f ­  ~%\ni^  +pz  WQ2±l  (znaki  dolne  przyjmuje  się  dla  pierś cienia  na  zewnę trznym  brzegu  tarczy).  W  przypadku  tarczy  swobodnej  obcią ż enie  pierś cienia  pochodzi  jedynie  od  siły  pro­ mieniowej  w  tarczy, a  zatem obcią ż enie  pz  =  0  i powierzchnia Fwe  wzorach  (9.4),  (9.5)  jest  proporcjonalna  do  h(o).  Warunek  brzegowy  (5.1)  na  przeciwnym  brzegu  m o ż na  zawsze  spełnić  zmieniając  h.  Problem  optymalnego  kształtowania  tarczy  z  dystrybucją  staje  się   dodatkowo  problemem  optymalizacji  parametrycznej,  gdzie jako  parametr  m o ż na  przyjąć   np.  f(g)  w  równaniach  (9.4),  (9.5).  Funkcją  celu  jest  wtedy  sumaryczna  obję tość  tarczy  i  pierś cienia  (9.6)  v  =  jh*rdr  =  jhrdr+Fg  =  min,  t?  =  j ,  •   / 5 / 5  l  P r ó b a  takiej  optymalizacji  (przy  uż yciu  nieznacznie  zmodyfikowanego  programu  nr  1)  nie  dała  jednak  rezultatu,  gdyż  otrzymuje  się  jako  wielkość  optymalną   (9.7)  f f e ) . p , ­ * / 3 ,  co  odpowiada  tarczy  bez  pierś cienia,  lecz  o nieograniczonej  gruboś ci  na  swobodnym  brzegu.  Przy  kształtowaniu  w  realnych  warunkach  należy  przyjąć  f(o)  <  т т /З,  tak  aby  spełnić   nie  rozważ ane  tutaj  ograniczenia  technologiczne  (np.  maksymalna  wysokość  pierś cienia,  zgodność  wysokoś ci  pierś cienia  i  tarczy  itp.).  Czę sto  połą czenia  tarczy  z  pierś cieniem  nie  uda  się  przy  tych  założ eniach  zrealizować,  gdyż  nie  zmieś ci  się  on  wewną trz  tarczy,  wyjdzie  ze  wzoru  ujemna  jego  powierzchnia  lub  zbyt  duże  naprę ż enie  sp.  10.  Uwzglę dnienie  zmiennej temperatury  Najistotniejszy  wpływ  z  upraszczają cych  rozważ ania  założ eń  (5.4)  ma  nierównomierny  rozkład  temperatury  w  tarczy  wywołują cy  naprę ż enia  termiczne  (tylko  w  zakresie  sprę ż y­ stym)  oraz  wywołują cy  zmienność  stałych  materiałowych.  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  297  W  przypadku  kształtowania  na  noś ność  sprę ż ystą  moż liwe  jest  dwojakie  postawienie  zagadnienia:  1.  Przyję cie  r o z k ł a d u  temperatury  jako  funkcji  znanej — wyznaczonej  doś wiadczalnie  dla  tarczy  j u ż  istnieją cej.  Konieczne  jest  wtedy  założ enie,  że róż nica  pomię dzy  tą  tarczą   a  tarczą  dopiero  projektowaną  bę dzie  niewielka  —  nie  zmieniają ca  praktycznie  r o z k ł a d u  temperatury.  2.  Przyję cie  r ó w n a ń  przepływu  ciepła  dla płaskiej  tarczy  i  całkowanie  ich  razem  z po­ danymi  wyż ej  r ó w n a n i a m i .  Podejś cie  takie,  choć  teoretycznie  dokładniejsze,  wymaga  jednak  znacznie  wię kszej  liczby  danych  doś wiadczalnych  (czę sto  niemoż liwych  do wy­ znaczenia)  lub też pewnych  uproszczeń.  N p .  ogólne  równanie  przepływu  ciepła  dla tarczy  (według  [17])  (10.1)  t"  =  ­rh'f­hf^rmt­tS)  wymaga  znajomoś ci  r o z k ł a d u  temperatury  otoczenia t 0(r )  oraz  współczynnika  wnikania  ciepła  do tarczy,  których  w sposób  ś cisły  wyznaczyć  się nie  da.  Przy  kształtowaniu  na  noś ność  graniczną  moż liwe  jest  jedynie  podejś cie  pierwsze,  gdyż  przy  wyprowadzaniu  r ó w n a n i a  (4.9) funkcja  .?0(>")> a zatem  i temperatura  traktowane  były  jako  dane.  Oczywiś cie  moż liwe  jest  wyprowadzenie  r ó w n a n i a  Eulera  —  Lagrange'a  z  r ó w n a n i e m  typu  (10.1)  jako  dodatkowym  warunkiem  pobocznym,  choć  przy  ogólnej  zależ noś ci s0(r , t ) nie  bę dzie  ono miało  rozwią zania.  Wynika  to z faktu,  że problem  doboru  optymalnego  profilu  i r o z k ł a d u  granicy  plastycznoś ci s0  sformułowany  jak  powyż ej  nie ma  rozwią zania  dla  skoń czonych  wartoś ci s0(r ). Wyznaczenie  rozkładu  temperatury  i  profilu  odpowiadają cych  minimalnej  obję toś ci  tarczy jest  zagadnieniem  znanym pod  nazwą  termofretażu  ( O G I B A Ł O W  [11],  który  sformuło­ wał  ten problem  dla  cylindra,  mógł  dobierać jedynie  rozkład  temperatury).  Uwzglę dnienie  zmiennej  temperatury w równaniach  noś noś ci  sprę ż ystej  zmieni  obję tość  tarczy,  a w szcze­ gólnoś ci  może  ją  zmniejszyć,  jednak  wynik  rozwią zania  na  noś ność  graniczną  jest  kresem  dolnym  moż liwych  rozwią zań.  W y n i k a  z tego, że rozwią zanie  powyż szego  problemu  przy  pominię ciu  wpływu  temperatury  na  stałe  materiałowe  daje  się  rozwią zać  w  oparciu  0  wyprowadzone  równania.  Należy  ukształtować  tarczę  w  oparciu  o  r ó w n a n i a  (4.3)  1  (4.9);  a  nastę pnie  z  r ó w n a n i a  (4.6) wyznaczyć  poszukiwaną  t e m p e r a t u r ę .  Przy  rozwią zy­ waniu  kompletu  r ó w n a ń  (4.3),  (4.6),  i  (4.9) niewiadomymi  bę dą  h(r),  !(/•)  i t{r).  Przy  uwzglę dnieniu  zmiennoś ci  stałych  materiałowych  z temp eratu r ą  [przede  wszystkim  • Sofo 0]  problem  termofretażu  (zgodnie  z  dotychczasowymi  rozważ aniami)  nie  daje  się   tak  rozwią zać.  Moż liwe  jest  także  postawienie  zagadnienia  termofretażu  jako  problemu  wyznaczania  optymalnego  rozkładu  temperatury  przy  zadanym  profilu  tarczy.  Odpowiada  to  dokładni e  sformułowaniu  podanemu  przez  O G I B A Ł O W A — wyznaczenia  rozkładu  temperatury  za­ pewniają cego  r ó w n o m i e r n e  wytę ż enie  materiału  w całej  obję toś ci  tarczy.  D l a  rozwią zania  tego problemu  należy  rozwią zać  układ  równań  (4.3)  (4.6) o niewiadomych  ij(r) i t(r).  298  Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  11.  Wnioski  koń cowe  W  pracy  przedstawiono  problem  kształtowania  tarczy  wirują cej  w oparciu  ojej  noś ność   sprę ż ystą  i  graniczną.  Kształtowanie  na  noś ność  graniczną  pozwala  w  przypadku  tarczy  pełnej  osią gnąć  znaczny  zysk  na  obję tość  (do  19%).  W  przypadku  tarczy  pierś cieniowej  obję tość  jest  jednak  niemal  niezależ na  od  kryterium  kształtowania  (podobne  wnioski  otrzymał  również  D I S T E F A N O  [2]).  Przedstawiono  i  przedyskutowano  pewne  ograniczenia  na  d o b ó r  obcią ż eń  przy  kształtowaniu  tarczy.  Ograniczenia  te  wynikają  prawdopodobnie  z  przyję cia  pełnego  uplastycznienia  jako  jedynego  moż liwego  schematu  zniszczenia.  Przedyskutowano  również  moż liwoś ci  kształtowania  tarczy  ze  swobodnym  wewnę trznym  brzegiem  (Dodatek  B)  oraz  problem  połą czenia  tarczy  z  pierś cieniem  usztywniają cym.  O m ó w i o n o  zagadnienie  doboru  optymalnego  rozkładu  temperatury  (termofretaż u).  Ze  wzglę du  na  stosowanie  numerycznych  metod  obliczeniowych nie  podano  rozwią zań   w  zamknię tej  postaci,  a  jedynie  pewne  otrzymane  rozwią zania  numeryczne.  D o d a t e k  A .  Wyprowadzenie  równań  Eulera­Lagrange'a  dla  kształtowania  w  oparciu  o  noś ność   graniczną.  D o  wyznaczenia  równania  (4.9)  posłuż ymy  się  ogólną  metodą  Eulera­Lagrange'a.  Uogólniony  funkcjonał,  po  uwzglę dnieniu  ograniczeń  (2.1)  i  (4.1),  przyjmie  postać   (A. 1)  Г  {Я, {h'rqr ­  qji  + qrh  + JMsL  rh  + Wlr2h)  +  +  X2[x3  + x2  (qr + qę)  ­  (q 2  + q2­qr  qę)] + hr] dr  =  m i n ,  ską d,  pisząc  równania  Eulera­Lagrange'a  kolejno  wzglę dem  funkcji  h(r),  qr(r),  q^r)  otrzymuje  się  układ  trzech  równań   (A.2)  gdzie  (A.3)  h\rqr^r­gc.  + w.r 2)  ~X[rqr  =  0,  Xlrh~°­  + X2(x2­2qr  + qv)­X\rh  =  0,.  °o  Xlh­X2{x2­2q4lĄ ­qT)  =  0,  ą  =  — r ­ ~ ­  ­  cos?  s i n f ­ K 2 ,  qv  =  — p ~  =  c o s | +  ,  •  sin|­><;2  a  Xi  i  X2  są  m n o ż n i k a mi  Lagrange'a.  Powyż szą  parametryzację  zastosować  m o ż na  na  dowolnym etapie  wyprowadzania  rów­ nania  (4.9),  a  w  szczególnoś ci  j u ż  w  równaniu  ( A . l ) —  wówczas  otrzymałoby  się  jeden  mnoż nik  Lagrange'a.  Jednak  ze  wzglę du  na  konieczność  pracochłonnych  przekształceń   trygonometrycznych  najkorzystniej  jest  zastosować  ją  jak  najpóź niej  tzn.  po  wyrugowaniu  z  równań  (A.2)  niewiadomych  pomocniczych  XY{r)  i  X2(r).  OPTYMALNE KSZTAŁTOWANIE NAGRZANYCH TARCZ  299  Z  r ó w n a n i a  ( A . 2 3 )  wyznacza się  X2(r)  i podstawia  do  ( A . 2 2 ) .  Otrzymuje  się wtedy  układ  d w u  r ó w n a ń   (A.4)  Я, [rqr  ­q9+щ  r 2)  ­  A, rg,  =  0,  \  o­o  и 2 ­ 2 < 7 „ + <7,.  /  liniowy  wzglę dem  niewiadomych  A t  i  AJ­ Wyznaczając  A,  i AJ  r ( x 2 ­ 2 ^  +  ? r )  A,  =  i * i  r  2  ( « a  ­  2q9  + qr)  + x2  (qr  + qv)  +  2x3  (A.5)  V  —  (^2 ~  2qv  + qr) re0lo0  + x2­  2qr +  qv  1  ~~  wir 2(x2­2qę  + qr) + x2(qr  + qq!) + 2x3  '  a  nastę pnie  róż niczkując  pierwsze  z  nich  i  odejmując  stronami  otrzymujemy  po  prze­ kształceniach  równanie  w у r 2 (x2  ­  2qv  + qr)  (qr + q  albo  z  (4.10)  dla  zakresu  plastycznego  (B.4)  WQ2  =  +3.  Nawet, jeś li  dobierzemy  z  nich  p r ę d k o ść  ką tową  lub  p r o m i e ń  (co  nie zawsze jest  moż liwe),  to  i  tak  nie  uda  się uniknąć  osobliwoś ci  r ó w n a n i a  (4.3)  gdyż  po  zróż niczkowaniu  (4.6)  lub  (4.9)  m o ż na  otrzymać  nastę pne  równanie  algebraiczne,  które  przy  przyję tych  wartoś ciach  nie  bę dzie  spełnione.  B . 2 .  sr  =  0  (h  =  0,  h  ф  ±  c o ) .  Jeż eli dopuś ci  się moż liwość  h'  =  ±  co tak, aby w równaniu  (4.1) pierwszy człon  miał  wartość   skoń czoną  С  ф  0  otrzymuje  się  wtedy,  rozwijając  odpowiednie  funkcje  w  szeregi  i  ogra­ niczając  się  do  pierwszych  przybliż eń,  nastę pują ce  w y r a ż e n i a:  h'sr  =  C/o + a, ri + a2rj 2+  ...  sr  =  А1г ]  + Л2г ) 2+  ...  (B.5)  ^,  _  C/g + a1  r]+  ...  _  C l  a i  dh  Axri+  ...  A,  o  r)  AŁ  dt]  Po  scałkowaniu  (B.6)  //  =  Cs+­^—\nr]+­^­r]+  skąd  otrzymuje  się,  wbrew  założ eniom,  h(p)  —  c o .  B . 3 .  h  =  0,  sr  ф  0.  Przy  powyż szych  założ eniach  z  r ó w n a n i a  równowagi  otrzymuje  się h'  =  0,  a  po  и ­krotnym  zróż niczkowaniu  (4.1)  wzglę dem  r  (B.7)  w°(e)sr  =№ ,h',h",...),  gdzie/jest  liniową  kombinacją  pochodnych  funkcji  h  aż  do  (и— l)­szej.  Metodą  indukcji  matematycznej  m o ż na  stąd  u d o w o d n i ć ,  że  wszystkie  pochodne  funkcji  h(r)  są  w  tym  punkcie  równe  zeru.  N i e  wydaje  się  moż liwe  opisanie  taką  funkcją  rzeczywistego  profilu  tarczy.  B.4.  Jeż eli  równocześ nie  h  — 0  i  s,  =  0,  to  róż niczkując  równanie  równowagi  (4.1)  otrzy­ muje  się   (B.8)  h'(2rsr­svwlQ 2)  =  0,  ską d,  jeż eli  wyraż enie  w  nawiasie jest  róż ne  od  zera,  otrzymuje  się wynik  jak  poprzednio,  w  przeciwnym przypadku  dochodzi  się do  zwią zków  takich, jak  w B . l .  Reasumują c:  Warunek  ( B . l )  pocią ga  za  sobą  nieograniczoną  wartość  h(o),  a  zatem  prowadzi  do  tarcz  nierealizowalnych technicznie.  W y n i k i  niniejszej  pracy,  poza  rozdziałem  9,  nie  dają  więc  podstaw  do  projektowania  tarczy  ze  swobodnym  brzegiem  lub  z  obcią ż e­ niami  w jednym  kierunku.  D l a rozwią zania  tego  problemu  konieczne jest  przyję cie  innych  ograniczeń  niż  w  niniejszej  pracy.  O PT YMALNE  KSZTAŁTOWANI E  NAGRZANYCH  TARCZ  301  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  В . И .  Ц Е Й Т Л И Н,   П р и б л и ж е н н ы й  м е т о д  п р о ф и л и р о в а н и я  с п л о ш н ы х  т у р б и н н ы х  д и с к о в  с  у ч ё т о м   н е с у щ е й  с п о с о б н о с т и ,  Т р. К у й б ы ш е в с к.  а в и а ц.  и н ­ т .,  19  (1965)  273—285.  2.  N .  DISTEFANO,  Dynamie programming and  the  optimum design of  rotating disks,  J O T A ,  10, 2  (1972)  109­128.  3.  M .  T.  HOBER,  Stereomechanika  techniczna,  PZWS,  Warszawa  1951,  4.  В . П .  Г О Н Т А Р О В С К И Й,  Б . П .  Ч Е Б А Е В С К И Й,   П р о ф и л и р о в а н и е  р а в н о п р о ч н о г о  д и с к а  п о у с л о в и ю  п р о ч ­ н о с т и  М и з е с а ,  П р о б л е мы  п р о ч н о с т и,  1973,  93—95.  5.  В . В .  И Г Н А Т Е Н К О,  О  р а ц и о н а л ь н о м  п р о ф и л и р о в а н и и  п о к р ы в а ю щ е г о  д и с к а  к о л е с а  ц е н т р о б е ж н о г о   к о м п р е с с о р а ,  Р а с ч ё ты  на  п р о ч н о с т ь,  13  (1968)  87—98.  6. J .  K APKOWSKI ,  S.  Ł UKASI EWI CZ,  The influence of  temperature on the shape of  rotating discs  of uniform  strength,  Bull.  Acad,  Pol. Sci. techn., 9,  1 (1961)  7­16.  7. J . K APKOWSKI ,  S.  Ł UKASI EWI CZ,   Wpływ  temperatury na równomierną  wytrzymałoś ć  krą ż ków  wirują cych,  Arch.  Bud. Masz.,  8  (1961)  201­222.  8. J .  K APKOWSKI ,   Przybliż ona  metoda  kształtowania  płaskich  tarcz o  równomiernej  wytrzymałoś ci,  Arch.  Bud.  Masz.,  13  (1966)  377­391  9.  W . K RZ YŚ,  M . Ż YCZKOWSKI ,   Sprę ż ystoś ć  i plastycznoś ć  — wybór  zadań  l przykładów,  P W N , Warszawa  1962.  10.  E . И .  М О Л Г А Н О В,  В . П .  Т Р У Ш Е Ч К И Н,   Н а п р я ж ё н н о е  с о с т о я н и е  д и с к о в  г а з о в ы х  т р у б и н ,  Т е р м о­ п р о ч н о с ть  м а т е р и а л ов  и  к о н с т р.  э л е м .,  К и е в,  в ы п. 4,  466—469.  11.  II.  М .  О Г И Б А Л О В,   Д е ф о р м а ц и я  т р у б ы  п о д д е й с т в и е м  в н у т р е н н е г о  д а в л е н и я  п р и п е р е м е н н о й  т е м п е ­ р а т у р е ,  И н ж. с б о р н и к,  20  (1954),  55­58.  12.  W.  P RAGER,  D . С. D RUCKER,  Н . J .  G REENBERG,  Extended limit design  theorems for  contunuous media,  Quart.  A p p l .  Math., 9  (1951)  381­389.  13. A .  R ANT A  M AT T I ,  On the optimum  shape of a  rotating disk of any  isotropic material, J . of  Solids and  Struct.,  5,  11  (1969)  1247­1257.  14.  Р а с ч ё т ы  н а  п р о ч н о с т ь ,  у с т о й ч и в о с т ь  и  к о л е б а н и я  в  у с л о в и я х  в ы с о к и х  т е м п е р а т у р ,  М а ш и н о­ с т р о е н и е,  М о с к ва  1965.  15.  М . A .  S AVE,  Some aspects of  minimum­weight  design,  Engineering  Plasticity,  Cambr.  Univ.  Press.,  1968,  pp. 611­625.  16. A .  SEIREG,   K . S.  S URANA,  Optimum design of  rotating discs, Trans.  A S M E ,  Ser. В , 1970,1—10.  17.  В .  STANISZEWSKI,  Wymiana  ciepła  — podstawy  teoretyczne, P W N ,  Warszawa  1963.  18.  K . S ZUWALSKI ,  M . Ż YCZKOWSKI ,  On the phenomenon  of decohesion  in perfect plasticity, J. of Solids and  Struct.,  9  (1973)  85­98.  19.  M . Ż YCZKOWSKI ,   Obcią ż enia  złoż one  w teorii plastycznoś ci,  IPPT  P A N ­ P W N ,  Warszawa 1973.  20.  M .  Ż YCZKOWSKI ,  Optymalizacja konstrukcji  powłokowej,  Materiały  sympozjum  « K o n s t r u k c j e  p o w ł o ­ k o w e j  K r a k ó w  1974.  Р е з ю ме   О П Т И М А Л Ь Н ОЕ  Ф О Р М И Р О В А Н ИЕ  Н Е Р А В Н О М Е Р НО  Н А Г Р Е Т ЫХ   В Р А Щ А Ю Щ И Х СЯ  Д И С К ОВ  П О  У П Р У Г О МУ  И  П Л А С Т И Ч Е С К О МУ   П Р Е Д Е Л Ь Н ЫМ  С О С Т О Я Н И ЯМ   А в т о р а ми  р а з р а б о т а но  ф о р м и р о в а н ие  в р а щ а ю щ е г о ся  д и с ка  и з у с л о в ия  р а в н о п р о ч н о с ти  ( у п р у­ г ое  р е ш е н и е)  и ли и з  у с л о в ия  м и н и м у ма  о б ь е ма  в  п л а с т и ч е с к ом  с о с т о я н и и.  П р и н я то  п л о с к ое   н а п р я ж е н н ое  с о с т о я н ие  и  р а с п р е д е л е н ие  т е м п е р а т у р ы,  у с л о в ие  т е к у ч е с ти  Б у ж и н с к о г о ­ С т а с си   д ' А л и я,  ф и з и ч е с к ая  н е о д н о р о д н о с ть  д и с ка  и  з а в и с и м о с ть  ф и з и ч е с к их  к о н с т а нт  о т  н а г р е в а. П ри   о п т и м и з а ц ии  н а н е с у щ ую  с п о с о б н о с ть  д ля о п р е д е л е н ия  д о б а в о ч н ой  с в о б о д н ой  ф у н к ц ии  п р и м е н е но   к л а с с и ч е с к ое  в а р и а ц и о н н ое  и с ч и с л е н и е.  302  Т . LISZKA,  М . Ż YCZKOWSKI  Ч и с л е н н ые  р а с ч е т ы,  в ы п о л н е н н ые  на Э ВМ „ О д ра  1204",  п о к а з а л и,  ч то х о тя  ф о р м и р о в а н ие   на  н е с у щ ую  с п о с о б н о с ть  д а ет  л у ч ш ие  р е з у л ь т а т ы,  то и с т и н н ая  р а з н и ца  п о о б ъ е му  п о л у ч а е т ся  л и шь   д ля  п о л н о го  д и с к а.  П о с т а в л е но  у с л о в ие  р а в н о п р о ч н о с ти  в  ш и р о к ом  с м ы с ле  и  р а с с м о т р е на  к о р р е к т н о с ть  у с л о в ия   р а в н о п р о ч н о с ти  в  у з к ом  с м ы с л е.  П о к а з а н о,  ч то д о п у щ е н ие  с в о б о д н о го  к р ая  д и с ка  в е д ет  к  н е о г р а­ н и ч е н н ой  е го  т о л щ и н е.  Э т о го  м о ж но  и з б е ж а т ь,  в в о дя  с о е д и н е н ие  д и с ка  с  к о л ь ц о м,  н е с у щ им   р а д и а л ь н ую  с и л у.  Р а с с м о т р е на  т а к же  п р о б л е ма  т е р м о ф р е т а ж а,  т . е.  о п т и м а л ь н о го  р а с п р е д е л е н ия   т е м п е р а т у ры  в  д и с к е.  S u m m a r y  T H E  O P T I M A L  D E S I G N  O F  N O N U N I F O R M L Y  H E A T E D  R O T A T I N G  D I S CS  W I T H  R E S P E C T  T O  T H E I R  E L A S T I C  A N D  L I M I T  C A R R Y I N G  C A P A C I T Y  Paper  describes  the  design  of  rotating  discs  using  the  condition  of  uniform  strength  (in  elastic  range)  or  condition  of  full  yielding  (in  plastic range).  Plane, axially  symmetric stress and temperature distribution,  B u r z y ń s k i — S t a s si  d'Alia  parabolic  yield  condition  were  assumed;  the  material  constants  may  depend  on  the  coordinate  and  temperature  (natural  and  forced  non­homogeneity).  Design  in  plastic  range  had  one  more free  design  variable and was  based  on classical  variational calculus.  It  was  shown,  by  using  an  „ O d r a  1204"  computer,  that  plastic  range  design  produces  more  optimal  discs  (of  less volume)  but  there  is  a  very  small gain  with  respect  to  the  elastic  design  except  in  the  case of  a  full  disc.  Uniform  strength  condition  in  the  broader  sense  was  assumed  and  the  correctness  of  the  narrower  sense condition was  discussed.  It was  proved that free  end assumption  produces an infinitely  large  thickness  of  disc.  T o  get  rid  of  this  phenomenon  the  reinforcement  of  the  disc  with  the  ring  (carrying  the  radial  force) was  discussed.  The  thermofrettage  problem i.e.  the  problem of  the  optimum  design  of  temperature  distribution  was  described  and  discussed  as  well.  P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  10  wrześ nia  1975  r.