Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  1  S T O S O W A N A  2,  14  (1976)  S W O B O D N E  D R G A N I A  P O P R Z E C Z N E  U K Ł A D U  D W Ó C H  B E L E K  P O Ł Ą C Z O N Y CH  I N E R C Y J N Y M  E L E M E N T E M  S P R Ę Ż Y S T YM  Z B I G N I E W  O N I S Z C Z U K  ( R Z E S Z Ó W )  1.  W s t ę p  W  pracy  [2]  rozpatrzono  poprzeczne  drgania  u k ł a d u  złoż onego  z  d w ó c h  równoległych  belek  pryzmatycznych  połą czonych  nieważ kim  liniowym  elementem  sprę ż ystym.  W  przy­ padku,  gdy  masa  elementu  nie  jest  pomijalnie  mał a  w  p o r ó w n a n i u  z  masami  belek  nie  m o ż na  zaniedbać  wpływu  bezwładnoś ci  elementu  sprę ż ystego  na  drgania  układu.  S A I T O  i  C H O N A N  [3]  jako  pierwsi  rozważ yli  problem  d r g a ń  belek  z  uwzglę dnieniem  masy elementu  sprę ż ystego,  przy  czym  element  ten  został  zastą piony  zespołem  niezależ nych  sprę ż yn  (prę tów  sprę ż ystych).  W  swoim  opracowaniu  ograniczyli  się  jednak  tylko  do  analizy  drgań  dwóch  jednakowych  belek.  Rys.  1  W  niniejszej  pracy  rozpatrzone  bę dą  drgania  poprzeczne  u k ł a d u  d w ó c h  równoległych  belek pryzmatycznych  (rys.  1) róż nią cych  się geometrią  i własnoś ciami  fizycznymi.  Uwzglę d­ niony  też  zostanie  wpływ  bezwładnoś ci  elementu  sprę ż ystego  na  drgania  belek.  2.  R ó ż n i c z k o we  równania  ruchu  układu.  Drgania swobodne  Przyjmujemy  nastę pują ce  założ enia:  a)  u k ł a d  nie  jest  tłumiony,  b)  belki  i  element  sprę ż ysty  są  ciałami  jednorodnymi,  c)  element  sprę ż ysty  zastę puje  się  zespołem  niezależ nych  prę tów  sprę ż ystych  rozło­ ż onych  wzdłuż  belek.  6  Mechanika  Teoretyczna  274  Z .  O N I S Z C Z U K  Oznaczenia  dotyczą ce  belek:  wi  =  wi  (x,  0  przemieszczenie  przekrojów  górnej  belki,  w2  — w2(x, t)  przemieszczenie  przekrojów  dolnej  belki,  x  współrzę dna  okreś lają ca  położ enie  danego  przekroju,  t  czas,  /  długość  belki,  F,,  F2,  / j , J2  przekroje  poprzeczne  i  momenty  bezwładnoś ci,  QY,  Q2  masy  właś ciwe,  E,,  E2  moduły  Younga.  Oznaczenia  dotyczą ce  elementu  sprę ż ystego:  u  = u(x,  y, t)  pizemieszczenie  przekrojów  prę ta,  у  współrzę dna  okreś lają ca  położ enie  danego  przekroju  prę ta,  h  wysokoś ć,  b  szerokoś ć,  p  masa  właś ciwa,  E  m o d u ł  Younga,  Ł  с  =  —j­  m o d u ł  podatnoś ci,  Ł  к  =  bc  = —b  współczynnik  sprę ż ystoś ci.  M o d e l  u k ł a d u  drgają cego  przedstawiony  na  rys.  1 składa  się z dwóch  belek  połą czonych  zespołem  prę tów  sprę ż ystych  rozłoż onych  w sposób  cią gły  wzdłuż  belek.  Prę ty  sprę ż yste  wykonują  drgania  podłuż ne  wywołane  drganiami  poprzecznymi belek, przy czym  pomijamy  wzajemne  oddziaływanie  prę tów  na siebie.  Róż niczkowe  równania  ruchu  układu  (rys.  1)  mają  nastę pują cą  p o s t a ć :  d2wi  ~dx+~  +  e i  1  dt2  O)  E 1 J 1 ^  +  6lF1^i L+pl*rO,  <2>  E 2 J 2 ^  +  e 2 F 2 ^ ­ p 2  = 0,  д2и  E  d2u  _  д х *  '  z  Bt2  д2и  _  E JPu  dt2  Q~ dy2  gdzie  (4)  Pt(x,t)=  ­kh  dy  lx.0.ty  p2(x,t)  =  ­ k h ^  (x,h,l)  okreś lają  reakcje  jednostkowe  prę ta  działają ce  w  danym  przekroju  x  odpowiednio  na  górną  i  dolną  belkę.  Geometryczne  warunki  brzegowe  dla  równania  (3):  (5)  У > 0|(,_0) = wt(x, t),    У ) \(y­h)  =  X2{x).  W  oparciu  o  (11) wyznaczamy  funkcje  A(x)  i B(x):  (12)  A(x)  =  A'2(x)cosec(a/0­A'1(x)ctg(a/i),  B(x)  =  Х ,(х ).  Wobec  tego  (13)  Y(x,y)  =  [X2(x)cosec(ah)­Xl(x)ctg(ah)]sm(ay)+X1(x)cos(ay),  zaś   (14)  u(x,y,ł)  =  Y(x,y)T(t)  =  {[X2(x)cosec(ah)­X1(x)ctg(ah)]sin(ay)  +  +Xi  (x) cos (ay) } (Ccos cot + D sin cot).  Ponieważ   (15)  ~  =  a f l X j C o s e c f a A ) ­ ^ ,  ctg(aA)]cos(ay)­Jr1sin(c>')}r(0,  więc na podstawie  wzorów  (4) reakcje jednostkowe  p r ę ta  na belki:  Pl(x,t)  =  ­A:a/7[A'2(x)cosec(a/z)­A R 1(A­)ctg(a/i)]r(0,  ( 1 6 )  p2(x,i)=  ­k  ah [X2 (x) ctg(aA) ­  X1  (x) cosec(a/z)]  T(t).  Podstawiając  (6) i  (16) do  równań  (1), (2)  otrzymujemy  ElĄ X[ Iy)+[kahctg(ah)­co2o1F1]X1­kahcosec(ah)X2  = 0,  ^17)  E2J2X2 IV>+[kahctg(ah)­ 2Q2F2]  =  0.  276  Z. ONISZCZUK  N a  podstawie  (19)  otrzymujemy  nastę pują ce  równanie  charakterystyczne:  Ex  Ą E2J2r 8  +  {Ei Ą  [(kah) ctg(ah) ­  co2 Q2 F2]+E2J2  [(kah) ctg(ah)  ­ (20)  ­(o2Q1F1]}r 4+  [(kah)ctg(ah)­(o2QlFl][(kah)ctg(ah)­a 2Q2F2]­ — (kah)f2  cosec2 (ah) =  0,  gdzie  ,  co2p  a2  =  E  R ó w n a n i e  (20) jest  równaniem  kwadratowym  wzglę dem  r 4  (21)  rt,2  = \  (m ±  \/m 2­4n),  gdzie  "  =  EtĄ E2J2  P g l F 1   QlF*~mkhV^^Fi+^^)ctg(o)Al/­|)­*2A  Jeż eli  (22)  и  >  0,  to  r\>  r%>  0.  R ó w n a n i e  (20) ma  w tym przypadku  osiem  nastę pują cych  pierwiastków:  (23)  rt  =  +k,:  —kt:  +iki:  —ik,:  +k2:  —k2:  +ik2:  —ik2,  gdzie  i  =  у — 1,  kU2  =  | / y [ w ±  ]/m 2­4n].  E  (24)  A  zatem  całkami  r ó w n a ń  (17)  są  funkcje:  Xx  =  C1shyk1x)  + C2ch.(k1x)  + C3sin(k1x)  + C4co&(k1x)  +  +  С 5 sh(k2 x) + C 6 ch(/c2 x) + C 7  sin(A:2 x) + C 8 cos(/c2 л :),  ^  Z 2  = Dlsh(klx)  + D2 ch(kt x)+Z)3  sin(/ct J C ) + c o s f ^  x) +  + Ds  ś h(k2  x) + D6 ch(k2  x) + D1  sin(k2  x) + DB cos(k2  x),  przy  czym  stałe  C ( , Dt(i  =  1, 2,  8) są zwią zane  zależ noś ciami  wynikają cymi  z  r ó w n a ń   (19):  i  =  1,  . . . , 4 ,  ( 2 6 ) A  +  _ „ , < < , ,  J.S  8,  SWOBODNE DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU BELEK  277  gdzie  q  =  Ikooh " ^ / — с о в ес  | f 0 ^ " | / ^ ^ j '  przy  czym  a!  >  a 2 .  Ponieważ  D ,  =  (i  =  1,  . . . , 4 ) ,  Dj  =  ­i  n Z i „ (x)  ­  a 2 n  Z2„(x)]  cosec(a„ A) +  ­  [Zin(x)  + Z2„(x)]ctg(o„/;))sin(a„y)}  [C„cos(co„0 +  D„sin(w„?)],  (29)  gdzie  Zln(x)  =  sh(/c l n x) + ^lnch(/clnA:) +  ^ 2 „ s i n ( / c l n x ) +  ^ 3 n c o s ( ^ l n x ) ,  Z 2 „ ( x )  =  A4„sh(k2nx)  + A5nch(k2nx)  + A6„s'm(k2nx)  +  A7ncos(k2nx),  Ain(i  =  1,  •  7)  stałe  otrzymane  w  wyniku  przekształceń  stałych  C i n .  2 7 8  Z. ONISZCZUK  Stałe  C„, D„   okreś limy  na  podstawie  w a r u n k ó w  począ tkowych  wykorzystując  własność   ortogonalnoś ci  postaci  drgań  głównych.  Warunek  ortogonalnoś ci  tworzymy  w  oparciu  o  r ó w n a n i a  (9)  i  (17).  Funkcje  własne  Xu,  X2i,  XtJ,  X2J  spełniają  odpowiednio  układy  równań   (30)  (31)  gdzie  E.AXvp  +  tii­cofQ^Xu­ftXv  =  0,  E^X^  + igi­coio^Xv­fiXu  =  0,  EtĄ X?P  =  ­(gj­mJQtFJXu+fjXv,  E2J2X<łp  =  ­(gi­toJQ^Xu+fjXu,  (32)  g i = k t O i h y  A;  c t g | w V I ) ,  gj  = ko)jhy /­^ctg(co  fi  =  к с о ^^^  cosec ['""Vi)  fj  = kcoj h  j / ­ ^ "  c o s e c  Pierwsze  z  równań  (30)  mnoż ymy  przez  Xu,  drugie  zaś  odpowiednio  przez X2j  i  całku­ jemy  po  długoś ci  belek  /  /  /  /  (g­colQiFjj  XuXudx­fi$  XuX2idx  =  ­EtĄ f  X^X^dx  =  ­Е ,А  /  X^X^pdx,  0  0  о  о   / / / I (gi­cofQ2F2)  jX2iX2jdx­fi$XuX2}dx  =  ­E2J2f  X^X2jdx  =  ­E2J2f  X2iX?pdx.  0  0  о  0  Po  wprowadzeniu  (31)  do  powyż szych  wyraż eń,  a  nastę pnie  ich  zsumowaniu  otrzymu­ jemy  (cof­or?) f  (Q.F^uXyj  +  Q^X^X^dx­ (33)  °  ,  ,  ­(gi­gj)  {(XuX.j+X.iX^dx­ifi­fj)  f  (XuX2j  + XuX2bdx  =  0.  o  o  Postacie  drgań  YhYj  spełniają  nastę pują ce  r ó w n a n i a :  (34)  Y^  + afYt  =  0,  gdzie  af  =  oĄ   E  '  (35)  Yj^=­afYj,  gdzie  а ]=ш ]\.  SWOBODNE DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU BELEK  279  Mnoż ąc  równanie  (34)  przez  Y,  i  całkując  po  wysokoś ci  p r ę ta  sprę ż ystego  mamy  h  li  h  afJYiYJdy=  ­  f  rp^Y/fy  =  ­(¥}*>  Yj­Y,Y?>)\\­  f  YtYj»>dy.  Podstawiając  teraz  Y/n)  z  (35)  otrzymujemy  (36)  (af  ­  a})  f  YtYjdy  =  ­  (Yj»  Yj  ­  Yft")  \ "0.  Prawą  stronę  wyraż enia  (36)  obliczamy  na  podstawie  (13)  (Y^Yj­Г ,Г Р >)|*  =  J L  [(gi­gJiXuX^  + X M  +  ifi­fJiXuXij+XtjXzdl  więc  h  (37)  (wf­wf)Qb  f  Y,Yjdy  =  ­(gi­gj)(XliX1J+X2tX2j)­(fi­fj)('XuX2j+X1jX2l).  o  Z  uwagi  na  (37)  zależ ność  (33)  przyjmuje  postać   /  л   (cof­coj)  f  [{QlF1Xx;Xij  + Q2F2X2iX2j)  +  Qb  J  YiYjdy]dx  =  0.  o  o  Ostatecznie  otrzymujemy  nastę pują cy  warunek  ortogonalnoś ci:  h l  O*)  f  USxFxXuX1}  + Q2F2X2iX2j)  + Qbj  YtYjdy]dx  =  J  o  o  0  dla  i  Ф  j  y)  dla  i  =  j,  gdzie  (39)  У )  =  /  l(QiFiX?j+Q2F2Xij)  + Qb{  Yfdy]dx,  przy  czym  (40)  /  Yjdy=^­ o PJ ­y  (ftcosec 2 /*,­ctgft)(X 2 j + Xij)­(f3jCt S f3j­  l ) c o s e c / ? , ­ Х 1 Г  X2J  ,  f i . Warunki  począ tkowe  przyjmujemy  w  postaci  Wi(x,  0)  =  wl0(x),  w2(x,  0)  =  w20(x),  (41)  dw1  (x.Q)  dw2  dt  (*.0)  =  v20(x),  (42)  u(x,y,  0)  =  u0(x,y)  =  w10(x)+  ­^­[w20(x)­w10(x)]y,  du  ~dt  (x,y,  0)  Vo(x,y)  =  v10(x)+-T­­[v20(x)­v10(x)]y.  2 8 0  Z. ONISZCZUK  Podstawiając  (28),  (29)  do  (41),  (42)  mamy  CO  00  Wio(x)  =  C„Xln(x),  v10(x)  =  J ^ n Ą , Xl n ( x ) ,  n = l  «=I  CO  CO  (43)  vv2 0(x)  =  2 "  C A » ( * ) ,  w 2 0 ( x )  =  ^co„i) n J\r 2 „(x),  л =  1  л =  1  CO  CO  u0(x,y)  =  ^CnY„(x,y),  v0(x,y)  =  ŁconD„Y„(x,y).  n  ­  i  Wykonując  odpowiednie  transformacje  całkowe  doprowadzamy  wyraż enia  (43)  do  postaci:  co  /  h  Sc,f(QlF12CluXlk  + QiFiX2aXak+Qb  f  Y„Ykdy)dx  =  n=l  0  0  l  h  =  j(QiFiW10Xlk+Q2F2w20X2k  + Qb j  u0Ykdy)dx,  o  o  ^a>nDnj(e1F1XlnXlk  + Q2F2X2nX2k  + Qb}  Y„Ykdy)dx  =  л =1  0  0  =  f  (eiFiVi0Xik+Q2F2v20X2k+Qb  j  v0  Ykdy)dx.  o  o  Uwzglę dniając  warunek  ortogonalnoś ci  (38)  otrzymujemy  z  (44)  wyraż enia  na  poszuki­ wane  stałe:  I  h  C„  =  ^QiF1w10Xltt ,+  c2F2w20X2„  + Qb j  uQY„dy^dx,  l  h  D„  =  r  \  \Q1Fxvi0X1„+g2F2v20X2n+Qb  (  v0Y„dy\dx.  0  h  h  Po  obliczeniu  całek: /  u0(x,  y)Yn(x,  y)dy,  j  v0(x,  y)Y„(x,  y)dy  m o ż na  wzory  (45)  o  o  przedstawić  w  nastę pują cej  formie:  i  C„  =  —  Г{(QiFiWio+QbhlwioidJi­d^t gf o­WioiSZ- dnCOSt t У п  J  +  (Q2  F2  W20  + ebh[w20(d 2 ­  ó„ctg/?„) ­  w10(d 2  ­  d„cosecPn)])X2n}dx,  Dn  =  —L­  Г  {(Q1F1v1Q  + ebh[v10(d 2­dHctgP^­v20(di­dmcosecp^XlH  +  "^п У п  J  + (e2F2v20  +  obh[v20(d 2­dnctgP„)­v10(e 2­dncosecp„)])X2n}dx,  SWOBODNE DRGANIA POPRZECZNE UKŁADU BELEK  281  gdzie  z  (39),  (40)  (47)  =  / { f c i ^ i + ^ ( c o s e c 2 ^ ­ < 5 n c t g №   +  [Q2 F2  + oM(cosec 2 pn  ­  d„ cte/3„)]X 2 2n}  dx,  przy  czym  /;"  ~ ' b J " ] / J E h '  № " = L  3.  Podsumowanie  A .  Okreś lone  w  pracy  rozwią zania  drgań  swobodnych  u k ł a d u  mają  charakter  uni­ wersalny,  ponieważ  zostały  otrzymane  bez  wprowadzenia  w a r u n k ó w  brzegowych  dla  belek.  Uzyskanie  rozwią zań  szczególnych  (dla  przyję tych  w a r u n k ó w  brzegowych)  nie  sprawia  trudnoś ci  metodycznych.  Oczywiś cie  pomoc  maszyny  cyfrowej jest  niezbę dna.  B .  Warunek  (22)  ogranicza  rozważ ania  wyłą cznie  do  drgań  harmonicznych  całego  u k ł a d u .  C .  Przedstawiona praca jest  w  pewnym  sensie uogólnieniem  zagadnienia  analizowanego  w  pracy  [2].  Przy  założ eniu,  że  masa  elementu  sprę ż ystego  jest pomijalnie  m a ł a  mamy  Pl(x,i)  =  ­Hm Н ^ ^ ^ ­ ^ ^ ^ ­ НЦ  =  ~к [*Л х )­ (a­>­0)  ­Х ^х Ш )  =  ­k(w2­Wl),  p2(x,t)  =  +k{w2­wi).  wtedy  róż niczkowe  równania  ruchu  opisują ce  drgania  belek  przyjmują  postać   „  ,  34и >!  _  d2wl  . ,  .  .  1  Jl~Ы с *~  + Q l F x  ~W~  ~ к ( ­ щ ~ w ^  =  0'  _  ,  8*w2  „  d 2w2  , ,  .  E2J2­^Ł­  +  QiFi­^r­  +k(w2­Wl)  =  0  i  otrzymujemy  przypadek  rozpatrzony  we  wspomnianym  artykule.  Warto  w  tym  miejscu* zwrócić  uwagę  na  fakt,  że  jakkolwiek  uwzglę dnienie  masy  ele­ mentu  sprę ż ystego  wpływa  na  obniż enie  czę stoś ci  i  amplitud  drgań  belek,  to  jednak  sama  forma  postaci  drgań  własnych  (głównych)  nie  ulega  zmianie.  D .  Szczególnym  przypadkiem  rozważ onego  zagadnienia jest  belka  drgają ca  na  inercyj­ nym  p o d ł o ż u  sprę ż ystym.  Traktując  dolną  belkę  jako  ciało  sztywne  (unieruchomione)  otrzymujemy  nastę pują ce  równanie  ruchu  belki  górnej  d2wt  8x* '  "^1~д Г2  Drgania  poprzeczne  belki  na  sprę ż ystym  podłożu  m o ż na  okreś lić  na  podstawie  wt(x,  t)  z  (28)  przy  E2J2  ­»  co.  i  E .  Wydaje  się,  że  przedstawiony  w  pracy  sposób  p o s t ę p o w a n ia  m o ż na  z  powodzeniem  zastosować  do  okreś lenia  drgań  poprzecznych  u k ł a d ó w  trój warstwowych  (wielowarstwo­ wych),  w  których  warstwa  ś rodkowa  charakteryzuje  się  małą  sztywnoś cią  na  zginanie.  \ Ei  Ji  ­ C T ­  +  Q1F1 T W ­  + kahctg(ah)w1  =  0.  2 8 2  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  S. KALISKI,  Drgania  i fale  w  ciałach  stałych,  P W N ,  Warszawa  1966.  2.  Z . ONISZCZUK, Drgania poprzeczne  układu  dwóch  belek  połą czonych  elementem  sprę ż ystym,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  1,  12  (1974).  3.  H . SAITO,  S.  CHONAN,  Vibrations  of  elastic­ally  connected double­beam  systems,  Technology  Reports  Tohoku  University,  1, 3 4  (1969).  4.  J .  M . SEELIG,  W.  H . HOPPMANN,  II, Impact  on  an  elastically connected double­beam system,  Trans.  A S M E ,  Ser.  E ,  3 1 ­ 4 ,  12  (1964).  5.  S. ZIEMBA,  Analiza  drgań ,  P W N , Warszawa  1959.  Р е з ю ме   С В О Б О Д Н ЫЕ  П О П Е Р Е Ч Н ЫЕ  К О Л Е Б А Н ИЯ  С И С Т Е МЫ  Д В УХ  Б А Л ОК   С В Я З А Н Н ЫХ  И Н Е Р Ц И О Н Н ЫМ  У П Р У Г ИМ  Э Л Е М Е Н Т ОМ   В  р а б о те  р а с с м а т р и в а ю т ся  п о п е р е ч н ые  к о л е б а н ия  с и с т е м ы,  с о с т о я щ ей  и з  д в ух  п а р а л л е л ь н ых   п р и з м а т и ч е с к их  б а л о к,  с о е д и н е н н ых  у п р у г им  э л е м е н т о м.  У п р у г ий  э л е м е нт  м о д е л и р у е т ся  с и с т е м ой   н е з а в и с и м ых  с т е р ж н е й.  П р и м е н е н ие  т а к ой  м о д е ли  д е л а ет  в о з м о ж н ым  у ч ёт  в л и я н ия  м а с сы  э л е­ м е н та  на  к о л е б а н ия  б а л о к.  В  с т а т ье  п р и в е д е ны  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ые  у р а в н е н ия  д в и ж е н ия  с и с т е м ы,  а  т а к же  н а й д е ны  р е­ ш е н ия  с в о б о д н ых  к о л е б а н и й.  S u m m a r y  F R E E  T R A N S V E R S E  V I B R A T I O N S  O F  A N  E L A S T I C A L L Y  C O N N E C T E D  D O U B L E ­ B E A M  S Y S T E M  This  paper  deals  with  an  analysis  of  free  transverse  vibrations of  two  parallel prismatic  beams  which  are  coupled  by  means  of  an  inertial elastic  element.  The elastic  element  is  represented  by  a  system  of in­ dependent  bars. Application of  such  a  model  makes  it  possible  to  take  into  consideration  the  effect  of  the  mass  of  the  element  on  the  vibration  of  beams. i In  this  report  differential  equations  of  motion  of  the  system  are  derived  and  the  solution  of  free  vibrations is  given.  INSTYTUT LOTNICTWA  POLITECHNIKA RZESZOWSKA, RZESZÓW  Praca  zosta/a złoż ona  w  Redakcji dnia  9  lipca  1975  r.