Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf


M E C H A N I K A 

T E O R E T Y C Z N A 

I  S T O S O W A N A 

2,  14  (1976) 

S K O Ń C Z O NE  O D K S Z T A Ł C E N I A  W I O T K I C H  O B R O T O W O ­ S Y M E T R Y C Z N Y C H  P O W Ł O K 

P R Z Y  U W Z G L Ę D N I E N IU  K I N E M A T Y C Z N E G O  W Z M O C N I E N I A  M A T E R I A Ł U 

J Ó Z E F  W I L K  ( K R A K Ó W ) 

1.  Z a ł o ż e n ia  wstę pne 

W  pracy  [1] przedstawiono  rozwią zanie  układu  równań  róż niczkowych,  opisują cych 
stan  równowagi  wiotkiej  obrotowo­symetrycznej  powłoki  (rys.  1),  sformułowanego 

w  oparciu  o  zwią zki  fizyczne 

dey  = 

(1.1) 

1 
(a2  + o­3)  d<t>,  de 2 

I 
(^3  +  0­1)  d<P, 

de  d<P, 

stanowią ce  ekstrapolację  równań  de Saint­Venanta  płynię cia  plastycznego  na zakres  skoń­

czonych  odkształceń. W równaniach  tych  fifex, de2,  de3  oznaczają  przyrosty  logarytmicznych 
deformacji  spowodowane przyrostem  obcią ż enia,  a1,  a2  i cr3 są rzeczywistymi  naprę ż eniami 

ч ,(Щ  \j 

.я  

— " л  

V 
\ 

Rys.  I.  P o w l o k ą  przed  o d k s z t a ł c e n i e m  i  po  o d k s z t a ł ­  W 

ceniu — 

głównymi,  zaś Ф jest  znaną  funkcją  odkształceń  zależ ną  od przyję tego  warunku  plastycz­
noś ci.  Przyję to,  że materiał  jest  plastyczny,  nieś ciś liwy  i  izotropowy,  obcią ż enie  dowolne 
osiowo­symetryczne,  zaś p o w ł o k a  może  znajdować  się jedynie  w stanie  błonowym  i prze­
nosić  tylko  naprę ż enia  rozcią gają ce.  Ze  zwią zków  geometrycznych  oraz  w a r u n k ó w  rów­
nowagi  otrzymano  układ 

(1.2) 

dx 

es 

icoscp 

и х  COSf 

dpx •  
di 

di 

Pi  8u 

i  sin cp 

H * C O S ^ 

i  cos cp 

u  di  • и х2  cos ip 

dcp 

~dj 

P2­P1  + 

. i  /Qn  _  s i n y ) 
PiUxcosy  \fu  ^2  X  j 

xQs 

fucoscp 
£1  df 

f  dl' 



200  J .  W I L K 

zaś  zwią zki  fizyczne  (1.1) doprowadzono  do  postaci 

З х  д ы  
(1.3)  "(/>!+/>2)­л  ­  +x(2p2­p1)—  =  0. 

OT  OT 

W  równaniach  tych  niewiadomymi  są  współrzę dne  Eulera  zwią zane  z  nieruchomymi 

punktami  w przestrzeni  x(£,  т ) i y(£,  т ), rzeczywiste  naprę ż enia  g ł ó w n e P i ( i ,  т ) i p2(£, т ), 

kąt  cp(Ł, T) zawarty  pomię dzy  styczną  do  p o ł u d n i k a  (po  odkształceniu)  a  osią  x  (rys. 1) 

oraz  grubość  powłoki  м (£, т ).  Zmiennymi  niezależ nymi  są  osiowa  współrzę dna  £  (typu 

Lagrange'a)  sztywno  zwią zana  z czą stkami  powłoki  oraz  т — parametr wzrostu  obcią ż enia. 

Wszystkie  funkcje  sprowadzono  do  wielkoś ci  bezwymiarowych, jak  na  przykład 

(1.4)  P j  =  2  >  J  = 1 ­ 2 , 3 , 

gdzie  M jest  założ oną  stałą  o  wymiarze  naprę ż enia. 

Szóste  równanie,  które  należy  rozpatrywać  łą cznie  z u k ł a d e m  (1.2)  i (1.3)  ma charakter 

algebraiczny,  a  jego  postać  zależy  od  założ onej  charakterystyki  F(pt,  p2,  ey,  e2)  =  0 
materiału  powłoki.  W pracy  [1] przyję to  ją jako  zależ ność  potę gową  (ju — stała  materia­

łowa) 

(1.5)  Pi  = ą  

mię dzy  intensywnoś ciami  rzeczywistych  naprę ż eń  i  odkształceń  liczonych  w  mierze 

logarytmicznej  Hencky'ego.  W  rozpatrywanym  płaskim  stanie  naprę ż enia  (p3  = 0) 

2 
(1.6)  pi  =  fpj+pl­PiPi,  Ei =  ­j^^Ą  + El+S^  , 

[/3 

przy  czym  indeks  I  oznacza  kierunek  południkowy,  2 — równoleż nikowy,  3 — normalny 

do  powłoki.  Odkształcenia  główne  wyraż ają  się poprzez  pozostałe  funkcje  nastę pują co: 

л  i\  i  1  C0SV>  i  x  i 

(1.7)  £ l = l n _ _ _  e ?  =  l n y ,  e 3  =  l n « , 

gdzie f  = ip(tj) oznacza  kąt zawarty  pomię dzy  styczną  do południka  (przed  odkształceniem) 

a  osią  x.  Pozostałe  wielkoś ci,  które  traktujemy  jako  znane,  oznaczają:  Qn(x, у ,  т )  i 

Qs{x, у ,  T) — obcią ż enia  liczone  na  jednostkę  powierzchni  odkształconej  powłoki  od­

powiednio  w kierunku  normalnym  i  p o ł u d n i k o w y m , /  = f(C)  — funkcję  opisują cą  zmien­

ną  grubość  ś cianki  powłoki  w stanie  nieodkształconym.  D l a  równań  (1.2) i  (1.3) podane 

zostały  warunki  począ tkowe 

x(S, 0) =  *„(£), y(l  0) =  y,($),  и ( |, 0) =  ««(£), 

9>(f,  0) =  cp^),  Pl(C,0)  = pU:(0,  P2(i,  0) =  P2*(& 

zdeterminowane  przez  stan  wyjś ciowy  (oznaczony  gwiazdką)  w powłoce,  w k t ó r y m  inten­

sywność  naprę ż eń  osią ga  co najmniej  granicę  plastycznoś ci.  Sformułowano  również  pewne 

typy  w a r u n k ó w  brzegowych,  dla  których  uzyskano  konkretne  rozwią zania  liczbowe. 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  TOWŁOK  201 

2.  Nowy  układ  równań  róż niczkowych  powieki 

2.1.  Sformułowanie  problemu.  Stosowanie  zwią zków  fizyczn}ch  (1.1) i w ich  konsekwencji 

wyprowadzonego  u k ł a d u  r ó w n a ń  (1.2)  i  (1.3)  podlega  znacznym  ograniczeniom.  Brak 

zakresu  sprę ż ystego  utrudnia  realizację  odcią ż ania,  uniemoż liwia  uwzglę dnianie  efektu 

Bauschingera,  jak  również  wyznaczanie  ewentualnych  procesów  biernych  mogą cych  za­

chodzić  w powłoce  podczas jej  obcią ż ania.  W niniejszej  pracy  proponuje  się, aby w miejsce 

zwią zków  (1.1) przyjąć  inne,  nowe  równania,  które  bę dą  uwzglę dniać  sprę ż ysto­plastyczną  

charakterystykę  materiału  (por.  rys.  2),  przy  czym  przewiduje  się, że  zakres  liniowego 

0  (Si *)0  (ei *)'  El  

Rys.  2.  Charakterystyka  fizyczna, pi   =  / (Ł, )  Rys.  3.  Powierzchnia  płynię cia  plastycznego 

wzmocnienia  m o ż na  również  przedstawiać  w postaci aproksymacji  wieloodcinkowej  bliż szej 
rzeczywistym  własnoś ciom  fizycznym  materiału.  Tak  przyję ta  charakterystyka  pozwala 
obecnie  t r a k t o w a ć  materiał,  tak jak przyjmuje  się to dla modelu  z ogólnym  wzmocnieniem 
liniowym  tj. wywołanym  zarówno  przesuwaniem  się, jak i rozszerzaniem  się powierzchni 
plastycznoś ci  (rys. 3) materiału  pierwotnie izotropowego.  Z a k ł a d a m y  tylko,  dla uproszcze­
nia,  że  ulegają ca  przesunię ciu  i  rozszerzeniu  powierzchnia  zachowuje  swój  pierwotny 
kształt.  Powyż sze  założ enia  spełniają  proponowane nowe zwią zki  fizyczne: 

(2.1) 

A ,  =  l/E 

de2  =  l/E 

de3  =  l/E 

da i ­  У  {daг  +  da3)  +  o<ł­\{o°2  +  °°Ą d0, 

daг  ~  (dax  +  da3)  (ff?  +  ffO)  Ш , 

da3  ­  I  {da,  +  doĄ  +  jog  ­  I  {a*  +  a°2)  \ d<l>. 

gdzie /i'jest  modułem  Younga,  zaś  bezwymiarowe  naprę ż enia,  które  odmierzamy  wzglę dem 
ś rodka  krzywej  /'zapisujemy  w postaci 

. / =  1,2,  1 (2.2)  Pi  =Pj—aJ 

gdzie  a;  oznaczają  bezwymiarowe  współrzę dne  ś rodka  tej  krzywej. 
2.2.  Wyprowadzenie  układu  równań.  D l a  płaskiego  stanu  naprę ż eń  {a3  =  0)  oraz  przy 

przyję ciu  warunku  nieś ciś liwoś ci 

(2.3)  det  +de2  +  de3  =  0, 



202  J .  W I L K 

r ó w n a n i a  (2.1)  moż emy  obecnie  zapisać  w  postaci 

2 
dpy  =  — у  m(de2 +  2de3)~p°md<f>, 

(2.4)  2 

dp 2 =  ­^m(de2—de3)­p%md0, 

gdzie 

(2.5)  m ­ ­ § . 

Równanie  krzywej  Z7jest  równoznaczne  z warunkiem  plastycznoś ci  dla  naprę ż eń  głównych 

i  przyjmuje  postać  

(2.6)  F =  pf­P
o

2

2­p°pa2­3k
2=0, 

gdzie 

(2.7)  к  =  ­ Д т. 
у з  

D l a  okreś lenia  ruchu  ś rodka  powierzchni  plastycznoś ci  korzystamy  z niezmienniczoś ci  F 
przy  przechodzeniu  z  przestrzeni  trzech  naprę ż eń  głównych  do  podprzestrzeni  płaskiego 
stanu  naprę ż enia.  W  szczególnoś ci  zastosujemy  metodę  S H I E L D A  i  Z I E G L E R A  [2]  opartą  na 
niezmienniczoś ci  warunku  plastycznoś ci  wzglę dem  nałoż onego  ciś nienia  hydrostatycznego, 
co  przy  pomocy  zapisu  sumacyjnego  m o ż na  zapisać  wzorem 

(2.8)  Ficj  + Wj)  =  F(otJ). 

W  naszym konkretnym przypadku, gdy  a3  =  0 mamy 

(3)  •  '  (3) 

(2.9)  F{ay  ­  aj,,  a2  ­  a2,  ­  oc3)  =  F(ay  ­  a t + a 3 ,  a2  ­  a2  + a3,  0)  = 
i 

(2) 

=  F{aY­a[,  a2­a.2)  =  0, 
gdzie 

(2.10)  a[ =  aj — a 3  i  a'2 =  a 2 — a 3 . 

W  wyniku  przekształceń  (2.9) pozostały  nam obecnie  tylko  dwie  składowe 
; /  * 

(2.11)  ^  =  Т Г>  / = 1 . 2 , 

które  dalej  przyjmują  postać  

(2.12)  aj  =  c(e]­Ą ),  с =  2 / 3 c 0 . 

Jest to pewien  szczególny  przypadek  ogólnego  zwią zku  sformułowanego  przez  N O W O Ż Y­
L O W A  [3].  Symbol  e?  dotyczy  odkształceń  plastycznych,  zaś  parametr  wzmocnienia  c0  = 
=  tg a  (por.  rys. 2)  moż emy  okreś lić  z  próby  jednoosiowego  rozcią gania. 

Zgodnie  z  założ onym  typem  wzmocnienia  bazujemy  na  doś wiadczalnie  ustalonej 
charakterystyce  materiału 

(2.13)  к  =  k(ś f), 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  203 

gdzie 

(2.14)  if  =  Jdef,  de? =  ­^Vde?+dep1de2'+de?,  
j / 3 

(tzw.  parametr  Odqvista) jest  nie maleją cą  funkcją  uplastycznienia  materiału,  k t ó r a  w przy­

padku  prostego  obcią ż enia  odpowiada  intensywnoś ci  odkształceń  plastycznych  ef.  W  dal­

szych  rozważ aniach,  z  uwagi  na  konieczność  zastosowania  pewnych  uproszczeń  oblicze­

niowych,  bę dziemy  przyjmować  w  miejsce  (2.13) 

(2.1 З а)  к  =  k(ef). 

Celem  wyznaczenia  funkcji  plastycznoś ci  d0  wykorzystujemy  warunek  zgodnoś ci  Pra­

gera 

(2.15)  dF  =  dipf+pf­plpl­lk2)  =  0, 

z  którego  wynika,  że  koniec  wektora  a  (por.  rys.  3)  powinien  zawsze  znajdować  się  na 

powierzchni  plastycznoś ci. 

D l a  przyję tej  charakterystyki  materiału  к  — k(ef )  moż emy  na  podstawie  (2.1)  i  (2.14) 
otrzymać  zależ ność  

(2.16)  def  =  )/3kmd0, 

po  czym  wykorzystując  zwią zki  (2.3),  (2.5),  (2.15)  i  (2.16)  dochodzimy  po  szeregu  prze­

kształceniach  do  zwią zku 

(2.17)  d<P 
{p2­p

0

1)de2­p
0

lde3 
mN 

gdzie 

(2.18)  N  =3k2[\+3l2c+)/3~). 

Obecnie,  na  podstawie  (2.3)  i  (2.18)  moż emy  równania  fizyczne  zapisać  nastę pują co: 

Spi  Г  2  p°  1 m  dx  Г  A p f 

(2.19) 

m  du 

u  dr 

8p2  \2  p°2  ]m  д х  Г  2  p°p°2  m  du 

и  д т  

Otrzymaliś my  więc  nowe  równania  fizyczne  (2.19),  przy  czym  zwią zki  geometryczne  (1.2) 
i  warunki  równowagi  (1.3)  pozostają  nadal  słuszne.  W  szczególnym  przypadku,  biorąc 
pod  uwagę  tylko  zakres  sprę ż ysty,  r ó w n a n i a  (2.19)  moż emy  sprowadzić  do  prostszej 
postaci 

dpi  2  m  д х  4  m  du 

dr  3  x  dr  3  u  dr  ' 
(2.20) 

dp2  2  m  dx  2  m  du 

dr  3  x  dr  3  u  dr 

Ostatecznie,  pełny  układ  równań  róż niczkowych,  opisują cy  stan  naprę ż eń  i  skoń czonych 

odkształceń  wiotkiej  obrotowo­symetrycznej  powłoki  poddanej  plastycznemu  płynię ciu  — 



204  J .  W I L K 

przy  przyję ciu  najprostszej  hipotezy  kinematyczno­izotropowego  wzmocnienia,  przybierze 

nastę pują cą  p o s t a ć : 

dx  i  COS05  dy  i  sino? 

di  и х  cos w  '  di  и х  cosy) 

dcp  I  lQn  p2 
di  PiUxcosfXfu  x 

S U K 

n  o u  for  Pi  du  j  cosy  /  xQs  \  pi  df 
K  >  di  u  di  и х2  "cosyj  \  P l  fucoscpj  ~fdi' 

du  u  dpi  au  dx 

gdzie 

(2.22) 

dr  bm  dr  bx  dr 

dp2  em  dx  gin  du 

dr  x  dr  u  dr 

\­­­*j­(l>°2­l>°,),  S­

O2 

rPi 
4 

N  T ' 

IP\P2  2 

N  У  
Wprowadzenie  wielkoś ci  r  we  wzorach  (2.22)  pozwala  na  zwartą  formę  zapisu  u k ł a d u 

(2.21).  Przy  rozwią zywaniu  powłoki  moż emy,  w  poszczególnych  jej  punktach,  rozróż niać  

obszary  uplastycznione  (/•  =  1)  oraz  sprę ż yste  i  poddane  procesom  plastycznie  biernym 

(r  =  0).  Natomiast  proces  bierny  odróż nimy  od  obszaru  sprę ż ystego  poprzez  analizę  

obliczanej  wielkoś ci  pt  (por.  rys.  2).  W  tym  celu  drugie  równanie  spoś ród  układu  (2.20) 

zastą pimy  zwią zkiem  algebraicznym  o  postaci  zależ nej  od  przyję tej  charakterystyki  fizycz­

nej  Pi  = / ( « ( ) .  Przy  czym 

jEs,  —obszar  sprę ż ysty  [ef  <  (e*)
0], 

^'  \Р * — Е (Е * — Е() —  proces  bierny  [б(  >  (ef)
0 ]. 

Tak  wię c,  oparcie  się  na  ogólniejszych  zwią zkach  (2.1)  wpłynę ło  wprawdzie  na  bardziej 

skomplikowaną  postać  równań  fizycznych  w  układzie  (2.21),  nie  mato jednak  zasadniczego 

znaczenia  wobec  faktu  zastosowania  do  obliczeń  elektronicznej  maszyny  cyfrowej. 

2.3.  Zagadnienie  odcią ż ania  oraz opis fizycznej charakterystyki  materiału  powłoki.  W  dalszym  Cią gu 

bę dziemy  stosować,  dla  poszczególnych  p u n k t ó w  powłoki,  okreś lenia  —  proces  czynny 

i  bierny,  natomiast  w  odniesieniu  do  obcią ż enia  Q  —  terminów:  obcią ż anie  i  odcią ż anie 

[4].  Procesy  bierne  mogą  wystę pować  w  poszczególnych  punktach  powłoki  (lokalne 

odcią ż anie)  jako  wynik  redystrybucji  sił  wewnę trznych  w  procesie  obcią ż ania  powłoki. 

Typ  procesu  bę dziemy  okreś lać  na  podstawie przyrostu  intensywnoś ci  naprę ż eń  (por.  rys.  2) 

(2.24)  APi=pt­Pi, 

gdzie pf  oznacza  wartość  intensywnoś ci  naprę ż eń  (na  powierzchni  plastycznoś ci)  odpowia­

dają cą  poprzedniej  wartoś ci  obcią ż enia  Q,  zaś  pt  jest  wartoś cią  dla  aktualnego  obcią ż enia. 

Tak  wię c,  w  poszczególnych  punktach  powłoki  rozwią zanej  na  podstawie  u k ł a d u  (2.21) 

mogą  wystę pować  równocześ nie  obszary  sprę ż yste,  uplastycznione,  lokalnie  odcią ż ane 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  205 

i  wtórnie  uplastycznione.  Ze  wzglę du  na  przyję tą  charakterystykę  fizyczną  materiału 

układ  r ó w n a ń  (2.21)  pozwala  nam  wyróż nić  trzy  nastę pują ce  przypadki: 

a)  Wzmocnienie izotropowe.  Wystę puje  ono,  jeż eli  we wzorach  (2.1) i  (2.18)  położ ymy 

c 0  =  0, a charakterystykę  materiału  к przyjmiemy  wprost z p r ó b y  jednoosiowego  rozcią ga­

nia.  D l a założ onego  liniowego  wzmocnienia  mamy 

(2.25)  k  = ~={{Pi)*  + Aef) 

i  wtedy  przy  pomocy  u k ł a d u  (2.21)  moż emy  rozwią zywać  w zasadzie  te  same  problemy, 
co  przy  pomocy  układu  (1.2) i  (1.3),  z tym zastrzeż eniem,  że wzmocnienie  potę gowe  jest 
obecnie  aproksymowane  przez  liniowe  lub  wielokrotnie  odcinkowo­liniowe. 

b)  Idealny efekt  Bauschingera. W tym  przypadku  translacja  powierzchni  bę dzie  opisana 
wzorem  (2.11),  zaś  parametr  wzmocnienia  c0  =  tg a  okreś limy  z  p r ó b y  jednoosiowego 
rozcią gania.  Obecnie  nie wystą pi  rozszerzanie  się powierzchni  plastycznoś ci  F, a  więc 

(2.26)  * 
de? 

=  0, 

co  w praktyce  oznacza,  że A  =  0. 

c)  Wzmocnienie kinematyczne materiału  pierwotnie  izotropowego. Ten  najbardziej  ogólny 

przypadek  moż emy  uzyskać  zakładając  równoczesne  rozszerzanie  się  i  translację  po­

wierzchni  F. Wówczas  przyjmujemy  z a r ó w n o  с =  const, jak i A  =  const. 

3.  Zastosowanie  elektronicznej  techniki  obliczeniowej 

3.1.  Algorytm  numerycznego  rozwią zania.  Przed  przystą pieniem  do  numerycznego  całkowania 

u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.21)  okreś limy  jego  typ oraz  ustalimy  rozkład  charakterystyk.  Kierunki 

charakterystyczne  znajdziemy  z  warunku  zerowania  się  wyznacznika 

(3.1)  A  = 

h  0  0  0 
au 
bx  1 

em  . 
AT 

X 

0  h  0  0  0  0 
0  0  0  h  0  0 

0  0  —  h 
u 

0  К  
gm 

u 

0  0  h  0  —  A Ъ т  T 
0 

0  0  0  0  0  К  

Xix2 с '  = о  

u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.21).  Jest  to  układ  hiperboliczny  o charakterystykach  |  =  const  (dwu­
krotna)  i  T =  const  (czterokrotna).  Warunki  zgodnoś ci  na  liniach  |  =  const  są  nastę­
pują ce 

du 

dr 
(3.2) 

u  dp у  au  dx 

bm  dr  bx  dr 

dp2 
dr 

em  dx  gm  du 

x  dr  u  dr 



206  J .  WILK 

zaś  na  liniach  r  =  const  przyjmują  postać  (1.2).  Tak  wię c,  układ  równań  czą stkowych 
(2.21)  rozpadł  się na  dwie  grupy  równań  róż niczkowych  zwyczajnych,  które  muszą  być  

całkowane  wzdłuż  odpowiednich  charakterystyk.  R ó w n a n i a  te  bę dziemy  rozwią zywać  

numerycznie.  Z  postaci  w a r u n k ó w  zgodnoś ci  wynika,  że  funkcje  x,  y,  cp, px  moż emy 
wyznaczyć  z równań  (1.2),  zaś  funkcje  u i p2  z równań  (3.2).  Warunki  brzegowe  moż emy 
postawić  w identyczny  sposób, jak w pracy  [1],  natomiast  dość  zasadnicza  róż nica  wystą pi 

w  sposobie  okreś lania  w a r u n k ó w  począ tkowych.  Wartość  począ tkowego  obcią ż enia  musi 

być  tak  dobrana,  aby  wszystkie  punkty  powłoki  znalazły  się w  obszarze  sprę ż ystym. 

Mogą  one  też  przyjmować  wartoś ci  zerowe.  Uplastycznienie  poszczególnych  p u n k t ó w 

powłoki  powinno  nastą pić  dopiero  wtedy,  gdy  intensywność  naprę ż eń  osią gnie  w  nich 

wartość  (p*)0  (por. rys. 2), a  więc  gdy  przybierze  wielkość  odpowiadają cą  powierzchni 
elipsy  F. 

Całkowanie  równań  czą stkowych  (2.21)  sprowadziliś my  do  rozwią zywania  d w ó c h 

układów  zwyczajnych  równań  róż niczkowych  wzdłuż  kolejnych  linii  т  =  т ,­ =  const, 

j  =  1 , 2 , 3 , . . . ,  n  w  całym  obszarze  D(Ł, x).  Obszar  ten,  z  uwagi  na  zmienną  geome­
tryczną,  dzielimy  na 2 w  czę ś ci  za pomocą  linii  £ =  £ t  =  const,  i =  0,  1, 2,  2 m prze­
prowadzonych  w  jednakowych  odstę pach  1/2 AŁ =  l/2(f f  — f ; _ 2 ) ­  Niech  w  (Ł;,  rj) 
przedstawia  dowolną  z  rozpatrywanych  funkcji;  aby  uproś cić  zapis  oznaczamy  k r ó t k o 

w(ii,tj) =  Wij.  W  niektórych  przypadkach  dla  lepszego  rozróż nienia  wskaź ników  roz­
dzielać  je  bę dziemy  przecinkiem.  Obecnie  przedstawimy  przebieg  numerycznego  rozwią­

zywania  układu  (2.21) opartego o metodę  R U N G E G O ­ K U T T Y  (por.  [1]. Całkowanie  zwyczaj­
nych  równań  róż niczkowych  przeprowadzimy  przy  wprowadzeniu  nastę pują cych  oznaczeń  

upraszczają cych  zapis: 

(3.3) 

f cosy  dx  _  В  l On  p2  •  \  dcp  „  . 
B  =  ­ r ­ = — ,  C =  — ­ " s i n y  = ­ J F .  E=Btgcp, 

uxcosip  dc  ptcoscp  \ fu  x  J  dc 

В  I  xQ  \  11  df  1  du\ 

к  

(3­4)  L ^ . j ^ ­ ^ ^ ^ u ^ , ^ ^ ) 

5 — 0 
(3­5)  Mv(w),j =  yKXw )ij, 

gdzie 

(3.6) 

cl iv 
Kv(w)  =  ­fc­AC,  v =  1,2,3,4. 

dĘ , 

Hi­2,j(w)  =  1 /6  V M K „ ( w ) i _ a j . 
r=l 

Wielkoś ci  /  =  y(y)  i  co =  co(v)  bę dą ce  współczynnikami  we  wzorach  Rungego­Kutta 
przybierają  wartoś ci  dyskretne  1/2,  1/2,  1,  1 oraz  1,  2,  2,  1,  podobnie  jak  wyraż enie 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  207 

oc =  a(V) =  2,  1,  1,0.  Przy  przyję tych  wyż ej  oznaczeniach  proces  obliczeń  bę dzie  prze­

biegać  nastę pują co: 

(3.7) 

K,(x)i­ ­ « . J  =  BheJAl 

K,(y)i.  a.J  =  Et_.tJAC, 

Kv(<p)i­­<*, j 
Xl  + 2y­­2,j  =  Xl­2,j  +  M„(x)i­«,j, 

J i + 2 y ­ • 2,j =  yt­2.J  +  M,(y)t_aJ, 

<Pl+2y­2,j  =
  mi­2,j  +  Mv((p)l­,,j, 

ldu\  T 
\dSlt.  *,J 

K,(Pi)i.  "J  =  Dt_aJAS, 

(j?l)l+2y­2,j  =  (Pl)i­2,i  +  MviPl)i­

D l a  v  =  4  wartoś ci  poszukiwanych funkcji  w punkcie  ( f ( ,  TJ) wyznaczamy ze  wzorów 

Xl)  =  Xi_2j  +  H(x)l_2j, 

yij~yi­2j  +  H(y)i­2J, 

(Pij =  9><­2,>+H(<P)l^2.J> 

(Pl)lj  =  (Pl)i­2J  +  H(Pl)l­2,J­

Pozostałe  funkcje  wyznaczamy  w  oparciu  o  ulepszoną  metodę  Eulera (dla współrzę dnej  т ): 

'  —  L'(pi)i+2y­2,j, 
+ 2Y­2.J dr  /i 

dx\ 

dr) 
—  L,  (X)i+2y­2,j> 

l + 2y­2,j 

(3.9) 
\  OT lt+2v­2J­2  =  \  bm  bX  li+2y­2.j­l, 

dp2\  _  (em  dm  du 

gdzie  pochodna 

dt  }i+2y­2,j­l  \X  U  dr  li+2y­2,j­

ldu_\ 
ul  + 2y­2,j — И 1 + 2 у ­ 2, У ­ 2 + 2 / 1 Т  ^  ^ 

(P2)i + 2y­2.j  =  (P2)i+2y­2,j­2  +  2Arl~­\ 
\  и т  Ii+2y­2,j­l > 

/(  + 2 y ­ 2 . j ­ l > 

к  

(3.10)  L 4 w )  =  ^  =  J _  V p k r W j ^ . 

We  wzorach  (3.4)  i  (3.10)/Sfts  i /9f c r  są  współczynnikami,  których  wielkość  zależy  od  przyję tej 

liczby  к  (por.  [5]).  Nastę pnie  przechodzimy  do  wyznaczania  wartoś ci  poszukiwanych 

funkcji  w  punktach  ( £ г + 2,  т Д  ( f , + 4 ,  т , ), . . . ,  ( f 2 m  , tj),  a  potem  na  linie  т ,Ч 1  =  const,...  , 

т„  =  const,  aż  skonstruujemy  rozwią zanie  w  całym  obszarze  Z)(|, т ). 

file:///dSlt


Pi 

0. 8 

0, 6 

Oń  

02 

Г  о . 
i  / 
/  / 
/ / 

0  OJ  02  OS  О Н  0. 5  0. S Ei   0. 7 

Rys.  4.  Charakterystyki  fizyczne  materiału  p o w ł o k i :  — dla  u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.21), 

(1.2)  i  (1.3) 

Ustawienie  wartoś ci  począ tkowych 

**(i o).a*(t . o),p; ((. o).p; (t .t>) 

Pierwsze  przybliż enie  swobodnych  warun­
ków  brzegowych 

Qj = Qj­j+óQ  j=0.1,2,...,k 

Ustawienie  statych  warunków  brzegowych 

Ustawienie ГТ  
wariantów  I 

Podprogram  gtówny 

i = 2m 

TAK  I  Nie 

Zgodnoś ć  warunków 
na  drugim  brzegu 

TAK 

Ж   Automatyczne  poprawianie swobodnych  warunków 
brzegowych 

\Druk  wyników 

1 

KONIEC 

Rys.  5.  Schemat  blokowy  r o z w i ą z y w a n ia  u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.21) 

[208] 

file:///Druk


SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  209 

3.2.  Program dla komputera.  Schemat  blokowy  programu  dla elektronicznej  maszyny 

cyfrowej  przedstawiono  na rys.  5. Z a k ł a d a m y ,  że dla konkretnych  p r z y p a d k ó w  rozwią zy­
wanych  powłok,  warunki  brzegowe  nie pozwalają  na bezpoś rednie  obliczanie na brzegu 

£ = £ 0 wszystkich  wartoś ci  poszukiwanych funkcji.  Problem  brzegowy  sprowadzono  więc 

do  zagadnień  począ tkowych  (ponieważ  z uwagi  na znaczną  nieliniowość  prawych  stron 

r ó w n a ń  róż niczkowych  korzystamy z metod  numerycznych sukcesywnego  całkowania),  za­

WEJŚ C/E 

WE 

(Pi)i­,  >Pi' 

0­r 
Po + P, 

l—r 

(*/)/­/»  foT 

0­s­Po 
0—r 

0,­rP, 
O—r 

Podprogram 
całkowania 

N/E 

P1  + P2 
l —r  

Podprogram 
całkowania 

•i 

s
ty

c
z
n

 

1 

u
p

la
 

1 
% 1 

Podprogram 
całkowania 

Pi  >'Pi 

Т А К  I  NIE 

I 
Pf + 0, 
0—r 

Podprogram 
catkowania 

Podprogram 
całkowania 

Pi*  'P,T 

NIE  TAK 

Podprogram 
co  /kowaniu 

Po+P, 
f  —  r 

Podprogram 
catkowania 

. >̂ 

ja 

Podprogram 
całkowania 

Rys.  6.  Schemat  blokowy  podprogramu  g ł ó w n e g o  przy  r o z w i ą z y w a n iu  u k ł a d u  r ó w n a ń  (2.21) 

kładając  a priori  na brzegu  wyjś ciowym  wszystkie  brakują ce  warunki i rozwią zując  dalej 
zadanie  metodą  półodwrotną.  Wielkoś ci,  które  dodatkowo  zakładamy  dla f = f 0  ko­
lejno  na każ dej  linii  т = tj = const,  muszą  być tak dobierane,  aby  k a ż d o r a z o wo  speł­
niane  były  wszystkie warunki zadane na obu  brzegach.  Wymaga to zwykle  przeprowadzenia 
wielu  p r ó b .  Iteracje  te są w pełni  zautomatyzowane  w programie.  Przytoczone  poniż ej 
wyniki  liczbowe  uzyskano  przy  zastosowaniu  E M C  Odra­1013  zainstalowanej  w  O ś r o d ku 

2  Mechanika  Teoretyczna 



210  J .  W I L K 

E T O  Politechniki  Krakowskiej.  Program  wykonano  w  ję zyku  wewnę trznym  maszyny 

i  przy  maksymalnym  wykorzystaniu  pamię ci  ferrytowej.  Pomimo  to  czasy  iteracji,  przy 

r  =  Tj =  const,  dla spełnienia  w a r u n k ó w  brzegowych  wzdłuż  współrzę dnej  f(m = 50) 
były  stosunkowo  długie  i  ś rednio  trwały  około  jednej  godziny.  Obecnie,  w o ś r o d ku  obli ­

czeniowym  Uniwersytetu  Gdań skiego  opracowano  (por. [8]) nową  wersję  tego  programu 

przy  zastosowaniu  E M C  Odra­1204.  Uzyskano  tym  sposobem  około  30­krotne  skrócenie 

czasu  obliczeń.  Program ten wchodzi  w skład  pakietu  programowego  dla  wiotkich  p o w ł o k , 

w  k t ó r y m ,  oprócz  omawianego  w  niniejszej  pracy  układu  równań,  m o ż na  rozwią zywać  

powłoki  przy  uwzglę dnieniu  efektów  reologicznych  według  trzech  róż nych  teorii  pełzania 

(por.  [7]). 

3.3.  Przykłady  liczbowe.  Celem  uzyskania  rezultatów  liczbowych  przyję to  powłokę  wal­

cową  o  skoń czonej  długoś ci  z  dwoma  sztywnymi  swobodnymi  denkami  i  obcią ż oną  

0  0,5  1.0  1.1 1,2  1.3 14  1,5 x 

Rys.  7.  Forma  p o w ł o k i  o d k s z t a ł c o n e j 

r ó w n o m i e r n y m  parciem  wewnę trznym.  Przy  przyję ciu  pierwotnej  długoś ci  powłoki  L0  =  2, 
układ  (2.21)  powinien  spełnić  nastę pują ce  warunki  brzegowe: 

x(0,  T)  =  1,  y(0, т) =  0,  x(2,  T)  =  1, 

(3.11) 
,,,((),  7 ,  =  2/.,(0.  i)  2 | ­

2 ^ Y + l [ ­ l " " ( l .  r)|". 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  211 

W  obliczeniach  zamiast  trzeciego  z  w a r u n k ó w  (3.11)  z  uwagi  na  symetrię  korzystamy 

z  zależ noś ci  <p(l,r)  =  л/2.  Rezultaty  obliczeń  przedstawione  są  na  rysunkach  74­16. 

Wszę dzie  cyfrą  1 oznaczono  wykresy uzyskane  z rozwią zania  u k ł a d u  (2.21)  dla przypadku 

«a»,  gdzie 

A  =  0,6,  m  =  13  i  c0  =  0; 

cyfrą  2 oznaczono  wyniki dla przypadku  «b», gdzie 

A  =  0,  m  =  13  i  c0  = 0,4; 

cyfrą  3  oznaczono  wyniki  dla przypadku  «c»,  gdzie 

A  =  0,6,  m  = 1 3  i  c 0  = 0,4; 

zaś  cyfrą  3 oznaczono  rezultaty  obliczeń  uzyskane  z  rozwią zania  u k ł a d u  (1.2)4­ (1.3). 

0.9  0.925  0.95  0.975  W Uo 

Rys.  8.  Wykresy  funkcji  С  = Л « о)  Rys.  9.  Wykresy  funkcji  p;  = MQ)  dla  punktu 

w  ś r o d ku  d ł u g o ś ci  p o w ł o k i 

Wartoś ci  А , m, с zostały  tak dobrane  (por.  [6]),  aby  przyję ta  na ich podstawie  charak­

terystyka  sprę ż ysto­plastyczna  była  moż liwie  dobrym  przybliż eniem  charakterystyki 

potę gowej  zastosowanej  w  [1].  Rysunek  8  rzuca  ś wiatło  na  zagadnienie  statecznoś ci 

05  0.6  07  OS  0. 9 Q 0.5  0.6  07  08  0  OS 

Rys.  10.  Wykres  x  =  x(Q)  dla  punktu  w  ś r o d ku  Rys. 11.  Wykresy  =  y(Q)  dla  punktu  w  ś r o d ku 

p o w ł o k i  p o w ł o k i 



212  J .  W I L K 

p o w ł o k  i  przedstawia  zależ ność  u  (przyjmowany  na  brzegu  swobodny  warunek)  od  ob­

cią ż enia  Q.  Rysunek  7  ilustruje  zmianę  kształtu  powłoki  w  procesie  obcią ż ania,  rysunek  11 

przedstawia,  w  zależ noś ci  od  Q,  przesuwanie  wzdłuż  osi  у  swobodnego  denka  powłoki 

zaś  na  rys.  10  obserwujemy  przesuwanie  punktu  w  ś r o d ku  długoś ci  powłoki  wzdłuż  osi  x. 

0  OZ  01  OB  08  i  W 

Rys.  12.  R o z k ł a d  naprę ż eń  g ł ó w n y c h  w z d ł u ż  Rys.  13.  R o z k ł a d  o d k s z t a ł c e ń  g ł ó w n y c h  w z d ł u ż  

osi  p o w ł o k i  ł?  osi  p o w ł o k i  tj 

Rysunki  12  i  13  pokazują  rozkład  odkształceń  głównych  i  intensywnoś ci  naprę ż eń  

wzdłuż  współrzę dnej  r\.  N a  rysunkach  9  i  14  przedstawiony  jest  wzrost  intensywnoś ci 

naprę ż eń  i  odkształceń,  wybranego  punktu  w  ś rodku  powłoki  obliczonej  dla  przypad­

ków  0,  1  i  2,  dla  przypadku  2  pokazany  jest  na  rys.  15  i  16  przebieg  odcią ż ania  powłoki 

(od  wartoś ci  obcią ż enia  Q  =  0,7),  a  nastę pnie  ponownego  obcią ż enia. 

08  08  07  08  090  0.85  086  037  098  089  W  u0 

Rys.  14.  Wykres  funkcji  щ  =  fj(C?)  dla  punktu  Rys.  15.  Wykres  funkcji  Q  =  /(//o)  przy  o d c i ą ża 

w ś r o d ku p o w ł o k i n i t t  

N a  podstawie  przytoczonych  tu  wyników  m o ż na  przeprowadzić  szereg  waż nych 
p o r ó w n a ń .  I  tak  porównując  wyniki  uzyskane  z  rozwią zania  u k ł a d u  (2.21)  z  analogicz­
nymi  wynikami  dla  u k ł a d u  (1.2  i  1.3)  widać,  że  najwię ksze  róż nice  wystę pują  dla  stosunkowo 



SKOŃ CZONE  ODKSZTAŁCENIA  WIOTKICH  POWŁOK  213 

małych  obcią ż eń, a więc tam gdzie  odchylenie  w przebiegu  charakterystyk  fizycznych jest 
najgłę bsze.  Róż nice te m o ż na  zniwelować przez  odpowiedni  d o b ó r  charakterystyki  sprę ż y­
sto­plastycznej,  a  w  szczególnoś ci  przez  zastosowanie  aproksymacji  wieloodcinkowej. 
Przede wszystkim jednak  p o r ó w n a n i e wyników uzyskanych  dla p r z y p a d k ó w 7, 2, 3 pozwala 
na  zaobserwowanie  wpływu  przyję tej  hipotezy  wzmocnienia  na rozwią zania  rozważ anej 

Ai 

08 

0.6 

0.1 

02 

0.3  OH  0.5  0.6  0.7  0.8  Q 

Rys.  16. Wykres  funkcji  ц ,Р 1 =f(Q)  przy o d c i ą ż a n iu  i p o w t ó r n y m  o b c i ą ż a n iu 

powłoki.  Uwzglę dnienie  translacji  powierzchni  plastycznoś ci  wpłynę ło  na zwię kszenie 
statecznoś ci  tej powłoki  (rys. 8), a dla tych  samych  obcią ż eń  dało,  dla odkształceń i  na­
prę ż eń,  wartoś ci  niż sze  niż przy  wzmocnieniu  izotropowym.  Podczas  p r ó b  odcią ż ania 
i  ponownego  obcią ż ania zaznaczył się dość  wyraź nie wpływ  «historii obcią ż ania». 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  J .  ORKISZ,  J. W I L K , Numeryczne  obliczanie wiotkich  obrotowo­symetrycznych  powłok  poddanych plastycz­

nemu płynię ciu  w zakresie duż ych  odkształceń ,  Mech.  Teoret.  i Stos., 2, 7 (1969). 

2.  R. SHIELD,  H . ZIEGLER,  On Prager's hardening rule, Z A M P ,  9a (1958). 

3.  В . В .  Н о в о ж и л о в,  О  с л о ж н о м  п о г р у ж е н и и  и п е р с п е к т и в а х  ф е н о м е н о л о г и ч е с к о г о  п о д х о д а  к  и с с л е ­

д о в а н и ю  м и к р о п а п р я ж е н и й ,  П р и к л.  М а т. и  М е х ., 3,  28  (1964). 

4.  М .  Ż YCZKOWSKI, Obcią ż enia  złoż one  w teorii plastycznoś ci,  P W N , 1971. 

5.  J .  ORKISZ,  Skoń czone  odkształcenia  wiotkich obrotowo­symetrycznych  powłok  z  uwzglę dnieniem  reologicz­

nych własnoś ci  materiału,  Zesz.  Nauk.  Pol. Krakowskiej,  11  (1967).  / 

6.  Г . Б .  Т А Л Ы П О П,  К  т е о р и и  п л а с т и ч н о с т и у ч и т ы в а ю щ е й  э ф ф е к т  Б а у ш и ш е р а ,  И ц ж.  Ж у р и.  М Т Т, 
б  (1966). 

7. J .  W I L K ,  Pełzanie  wiotkich obrotowo­symetrycznych  powłok  niesprę ż ystych  w zakresie  skoń czonych  od­

kształceń ,  Rozpr.  Inż ., 2,  18  (1970). 

8. .1. WlI.K, SySlemOWe  rozwią zywanie  wiotkich  osiowo­symetrycznych  powłok  przy zastosowaniu  EMCOdra­

1204,  (praca  przygotowywana  do  druku). 

Р е з ю ме  

К О Н Е Ч Н ЫЕ  Д Е Ф О Р М А Ц ИИ  Г И Б К ИХ  О С Е С И М М Е Т Р И Ч Н ЫХ  О Б О Л О Ч ЕК  

П РИ  У Ч Е ТЕ  К И Н Е М А Т И Ч Е С К О ГО  У П Р О Ч Н Е Н ИЯ  М А Т Е Р И А ЛА  

В  р а б о те  д а на  н о в ая  с и с т е ма  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  д ля о с е с и м м е т р и ч е с к их  о б о л о ч е к, 
к о т о р ые  п од  в л и я н и ем  н а г р у з ки  м о г ут  с у щ е с т в е н н ым  о б р а з ом  и з м е н я ть  с в ою  п е р в о н а ч а л ь н ую  
ф о р м у,  и с п ы т ы в ая  п ри э т ом  б о л ь ш ие  д е ф о р м а ц и и.  У р а в н е н ия  п л а с т и ч е с к о го  т е ч е н ия  о с н о в а ны  



214  J .  W I L K 

на  ф и з и ч е с к их  с о о т н о ш е н и я х,  в ы в е д е н н ых  д ля  о б щ е го  с л у ч ая  у п р о ч н е н ия  с  у ч е т ом  с м е щ е н ия  

и  р а с ш и р е н ия  п о в е р х н о с ти  т е к у ч е с т и.  Ч и с л е н н ые  п р и м е ры  и л л ю с т р и р у ют  м е т од  и  п о к а з ы в а ют  

п р а в и л ь н о с ть  р а з р а б о т а н н ых  а л г о р и ф м ов  р е ш е н и я. 

S u m m a r y 

F I N I T E  D E F O R M A T I O N S  O F  S L E N D E R  A X I ­ S Y M M E T R I C  S H E L L S  M A D E  O F  M A T E R I A L S 

O B E Y I N G  T H E K I N E M A T I C  S T R A I N ­ H A R D E N I N G  L A W 

In  this  paper  is  derived  a  new  system  of  differential  equations  for  axially­symmetric  shells capable  of 

changing  their  initial  form  essentially  under  the  loading.  Equations  based  on  the  theory  of  plastic  flow 

are derived at  a general  type of  hardening with  translation  and extension  of a yield  locus.  Numerical exam­

ples  are  computed  as  an  illustration  and  verification  of  the  algorithms  proposed. 

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  1  paź dziernika  1974  г .;  w  wersji ostatecznej—dnia  25  wrześ nia 

1975  r.