Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z2.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  2,  14  (197Й)  I T E R A C Y J N A  M E T O D A  W Y Z N A C Z A N I A  C Z Ę S T O Ś CI  D R G A Ń  W Ł A S N Y C H  I  A M P L I T U D  U K Ł A D U  O  S K O Ń C Z O N EJ  L I C Z B I E  S T O P N I  S W O B O D Y  BOHDAN  K O W A L C Z Y K ,  TADEUSZ  R A T A J C Z A K  ( G D A Ń S K)  1.  Uwagi  ogólne  Jednym  z najbardziej  istotnych,  a jednocześ nie  pracochłonnych,  zagadnień  numerycznej  analizy  d r g a ń  u k ł a d ó w  liniowych  o  duż ej  liczbie  stopni  swobody jest  wyznaczanie  czę stoś ci  drgań  własnych  i  amplitud  u k ł a d u  drgają cego.  Z  matematycznego  punktu  widzenia  zagadnienie  to  sprowadza  się  do  wyznaczania  wartoś ci  własnych  i  wektorów  własnych  macierzy  układu.  Metody  wyznaczania  wartoś ci  własnych  i  wektorów  własnych  macierzy  m o ż na  w  za­ sadzie  podzielić  na  dwie  grupy  [5]:  a)  metody  bezpoś rednie,  b)  metody  iteracyjne.  Metody  bezpoś rednie  (dokładne)  pozwalają  na  znalezienie  dokładnego  rozwią zania  Po  wykonaniu  skoń czonej  liczby  działań,  przy  czym  liczba  tych  działań  zależy  od  rodzaju  metody  obliczeniowej,  a  nie  od  ż ą danej  dokładnoś ci  rozwią zania.  Przy  stosowaniu  metod  bezpoś rednich  wyznaczamy  współczynniki  tzw.  wielornianu  charakterystycznego  macierzy,  a  nastę pnie  znajdujemy  pierwiastki  tego  wielomianu.  Wektory  własne  wyznaczamy  rozwią zując  układy  jednorodnych  równań  liniowych,  Wyznaczone  przez  macierz  współczynników  i  każ dą  wartość  własną  [4].  Metody  bezpoś rednie,  praktycznie  biorą c,  nadają  się  do  rozpatrywania  u k ł a d ó w  0  małej  liczbie  stopni  swobody.  Przy  badaniu  u k ł a d ó w  o  duż ej  liczbie  stopni  swobody  stosujemy  z  reguły  metody  iteracyjne  [5].  W  iteracyjnych  metodach  wyznaczania  wartoś ci  własnych  i  wektorów  własnych  za  począ tkowe  przybliż enie  rozwią zania  przyjmujemy  pewien  parametr  pi0)  (wektor  własny  lub  wartość  własną)  i  według  okreś lonego  schematu  tworzymy  ciąg  p<­2),  ...,/?(n),  ...  tak,  aby  wielkość p<­"+1)  lepiej  a proksym ow a ł a  szukane  rozwią zanie  od  wielkoś ci  pin).  W y n i k a  stą d,  że  w  metodach  iteracyjnych  liczba  wykonywanych  działań  zależy  od  wymaganej  dokładnoś ci  rozwią zania.  Przedstawiona  w  niniejszym  opracowaniu  metoda  iteracyjnego  wyznaczania  wartoś ci  własnych  i  wektorów  własnych  może  znaleźć  zastosowanie  np.  w metodzie  odkształcalnych  elementów  skoń czonych,  metodzie  hybrydowej  (jednoczesnego  zastosowania  sztywnych  1  odkształcalnych  elementów  skoń czonych)  oraz  w  metodzie  sztywnych  elementów  skoń­ czonych  w  przypadku,  gdy  osie  u k ł a d u  odniesienia,  w  kierunku  których  odmierzane  są   współrzę dne  uogólnione,  nie  pokrywają  się  z  głównymi  osiami  bezwładnoś ci  SES  [2,  3,  6,  7,  8].  238  В .  K O W A L C Z Y K ,  Т .  RATAJCZAK  Omawiana  metoda  jest  metodą  ogólną  w  tym  sensie,  że  nie  stawiamy  innych  założ eń   odnoś nie  macierzy  sztywnoś ci  К  i macierzy  bezwładnoś ci  M jak  tylko  takich, aby  macierze  te  były  symetryczne  i  dodatnio  okreś lone  (co  wynika  z  założ eń  fizycznych).  Jak  wiadomo  [1],  drgania  swobodne  zachowawczego  u k ł a d u  holonomicznego  i  sklero­ nomicznego  o  n  stopniach  swobody  m o ż na  opisać  za  pomocą  r ó w n a ń  Lagrange'a  drugiego  rodzaju  ( )  d t \ 8 q )  dqt +  d~qt   U'  i  =  1,2,...,/?.  W  równaniach  tych  oznaczono:  <7i  uogólniona  współrzę dna,  qt  pochodna  wzglę dem  czasu  uogólnionej  współrzę dnej,  T  energia  kinetyczna  u k ł a d u  dana  wzorem  (2)  lub  (3)  gdzie  (4)  (5)  1=1  7=1  q  =  col(?i,  q2,  ...,q„),  M  =  w l t  m12  ...  min  m21  m22  ...  m2n  mnl  ma2  ...  mn„  Macierz  symetryczną  M  nazywamy  macierzą  bezwładnoś ci  układu. V—energia  potencja­ lna  u k ł a d u  dana  wzorem  (6)  V = i=i J=I  lub  (7)  P ­ = l q r K q ,  gdzie  (8)  q =  c o l f o ^ ,  ...,q„),  ku  k12  ...  kln  (9)  к  =  k2i  k22  ...  k2n  •  Macierz  symetryczną  К  nazywamy  macierzą  sztywnoś ci  układu.  ITERACYJNA  METODA  WYZNACZANIA  CZĘ STOŚ CI  DRGAŃ   239  M o ż na  wykazać  [1], że obie  macierze  M i К są macierzami  okreś lonymi  dodatnio.  Ponieważ   (10)  ­r­­  =  0,  — ­ = M q ,  5ą  ć >q  d I8T\  ev  ~.  więc  podstawiając  zwią zki  (10) do  (1)  otrzymujemy  (11)  M q +  K q  = 0.  Rozwią zań  szczególnych  u k ł a d u  (11) szukać  bę dziemy  w  postaci  (12)  <7i  4i  Ч 2  =  Ч 2  Я п  .  Я п  .  sin(cot +  cp) =  qsin(cor+  X2  ...  >  X„  >  0.  Oznaczmy  (29)  G x H i 1  =  B .  Macierz  A  na  podstawie  (24)  i  (29)  moż emy  przedstawić  w  postaci  (30)  A  =  B T B ,  gdzie  В  jest  górną  macierzą  trójką tną.  Macierze  B 7 B oraz  B B r  mają  te  same wartoś ci  własne. Ze  wzglę du  na  symetrię  macierzy  B r B  i  B B r  te  wartoś ci  własne  są  rzeczywiste,  zaś  ze  wzglę du  na  dodatnią  okreś loność   macierzy  A  są  one  dodatnie.  Oznaczmy  wartoś ci  własne  macierzy  B r B  (lub  B B T ) przez  (31)  к ,,  k\,  /с з,  . . . ,  к2.  ,  ITERACYJNA  METODA  WYZNACZANIA  CZĘ STOŚ CI  DRGAŃ   241  M a m y  więc  (32)  B r B U i  =  kfui  (i  =1,2,  ...,n).  Okreś lmy  dla  wszystkich  kf  (i  =  1,  2 ,  n)  i  odpowiadają cym  tym  wartoś ciom  własnym  ortonormalnym  wektorom  u* nowe  wektory  ąt  przy  pomocy  zależ noś ci  (33)  Bnl=kiqi  ( / = 1 , 2 , . . . , » ) .  M n o ż ąc  lewostronnie  zwią zek  (33) przez  B r  mamy  (34)  lub  na  podstawie  (32)  В г В иг  =  / V ; B T q ; ,  (i =  1,2,  ...,n)  / с ( В г а ,  =  kfUi,  (i  =  1, 2 ,  n),  stąd  (35)  B r q ;  =  /с ( и,  (i  =  1 , 2 ,  . . . . л ).  Mnoż ąc  lewostronnie  zwią zek  (35) przez  macierz  В  mamy  (36)  B B T q ;  = / C;BU;  (l  =  1,2, . . . , 77) . Podstawiając  (33) do  (36)  otrzymujemy  (37)  B B r q ,  =  kfq,  (i  =  1, 2 , . . . , 77). Ostatni  zwią zek  ś wiadczy,  że zdefiniowane  zwią zkiem  (33) wektory  q,(i =  1, 2 ,  ...,/*)  są  wektorami  własnymi  macierzy В ВГ .  Wektory  q,  tworzą  układ  ortonormalny  wektorów.  Istotnie,  dla dwóch  liczb  kt  Ф kj  mamy  na  podstawie  (32)  i (33)  kikją lą j  =  UTBTBUJ,  (38)  kikją fą j  =  njkjuj,  kią fą j  =  kjufuj.  Stą d,  ze wzglę du  na  o r t o n o r m a l n o ś ć  wektorów  u ; , mamy:  I  0  dla  i  Ф  j,  ^  =  ( l d l a i = /  Otrzymaliś my  więc  dwa układy  wektorów,  z  których  każ dy  składa  się z 77  ortonormal­ nych  wektorów  u ,  oraz  q ;  (i  =  1 , 2 ,  ...,n).  U t w ó r z m y  dwie  macierze  U  oraz  Q ,  których  kolumnami  są  odpowiednio  wektory  Ui oraz qj:  U  =  [ u , ,  u 2 ,  u „ ] ,  (4°)  г л  r  1  Z a  pomocą  macierzy U i Q oraz macierzy  diagonalnej  ~ky  0  0  ...  0 ~  (39)  (41)  К   0  k2  0  0  0  k3  0  0  0  0  0  moż emy  zwią zki  (33)  i  (35) przedstawić  w  notacji  macierzowej:  (42)  B U =  Q K ,  (43)  B r Q  =  U K .  4  Mechanika  Teoretyczna  242  В .  K O W A L C Z Y K ,  Т .  RATAJCZAK  (45)  U t w ó r z m y  nastę pują cy  ciąg  macierzy:  B  =  Q 1 T 1 ,  B T Q I =  u , R , ,  B U ,  =  Q 2 T 2 ,  B T Q 2  =  U 2 R 2 ,  (44)  (46)  B U , . ,  =  Q P T P ,  B r Q p  =  U P R P ,  gdzie  Q;  oraz  U ,  są  macierzami  ortogonalnymi,  zaś  T,  oraz  R f  są  górnymi  macierzami  trójką tnymi  o  dodatnich  elementach  diagonalnych.  Rozkład  podany  w  zwią zkach  (44)—(46) jest  zawsze  moż liwy,  gdyż  lewe  strony  tych  zwią zków  są  (na  każ dym  kroku  iteracyjnym)  znanymi  macierzami,  zaś  wiadomo,  że  każ da  rzeczywista,  dodatnio  okreś lona  macierz  może  być przedstawiona  jednoznacznie  w  postaci  iloczynu  macierzy  ortogonalnej  i  górnej  macierzy  trójką tnej  o  dodatnich  elementach  diagonalnych.  W  dalszej  czę ś ci  pracy  wykaż emy,  że  jeż eli  p  ­»  co,  to  U p  ­»  U , Q p  ­*  Q , T p ,  R p  ­>  К   oraz  B U  =  Q K ,  B r Q  =  U K ,  gdzie  elementy  diagonalne  k't(i  =  1,  2,  . . . , ń )  macierzy  К  =  diag  {/c,,  k2  ...,  k„}  są  pier­ wiastkami  kwadratowymi  wartoś ci  własnych  kt  (i  —  1,2,  ...,n)  macierzy  B r B  lub  ma­ cierzy  B B T , zaś  kolumny  macierzy  U  oraz  Q  są  wektorami  własnymi  macierzy  B T B i  ma­ cierzy  B B T .  4.  Metodyka  obliczeń  w  przypadku  kolejnego  wyznaczania  wartoś ci  własnych  i  wektorów  własnych  4.1.  Oznaczenia.  , ( P A )  ta  kolumna  (wektor)  macierzy  С ( Р Л)  \  / ( р л )|  ' " t a  ' с о ш т па  (wektor)  macierzy  U p  otrzymana  przy  p­tej  iteracji  A­tej  wartoś ci  własnej  macierzy  A ,  Q P  Cp  otrzymana  przy  p­tej  iteracji  A­tej  wartoś ci  własnej  lh,  s \ P h y  I  wektory  pomocnicze  dla  wyzna­  I fli" '  g\pl°  j  czania  wektorów  |  u j p , , )  ' / i * * '  \   elementy  górnych  macierzy  I T p ,  rlfhi  \  trójką tnych  =  col {0, 0 , . . . ,  0 , 1 , 0 ,  ...0}  wektor  kolumnowy, w który m jedynka  wystę puje  na  miejscu  • tym.  ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ CI DRGAŃ   243  4.2.  Wzory.  4.2.1.  c i ­ " ­ 1 ­ " '  =  В и р ' ­1 ' ' 0 ,  (1 >< / <  A <  И ).  J­t  4.2.2.  sj"") =  c f ­ 1 ­ * ' ­  V » I f ) s / " , ) ,  ( l ^ j ^ h ^  n).  4.2.3.  <#»*> =  | / ( в {р »  sSp,,)) ,  (1 <  * <  A  <  л ).  4.2.4.  а Г = ­ | щ,  ( 1 < / < Л < и ).  4.2.5.  =  ffl(|r  (1  < / < * < « . /  ­l,  ć fl*>  =  0,  gdy />/.  4.2.6.  =  ,  (/ =  1,2,  . . . , n ) .  4.2.7.  fjf>  =  г #*>й Г /'*>,  fj  = 1 , 2 , . . . ,  и,  /    =  l/(gF°TgP0 ,  (1 <  / <  h  <  и ).  4.2.11.  ц{^  =  ~—,  (1 <  /  ** Л < и ).    / f ( P ­ i , « >  5<Р "П   4 2  1?  w(P"> —  v  J  '  s '  i  Cl  <  i <  h ś .  n  l  < Л   t . z . i z .  w u  ­  ( g ( P « 5  g  =  0,  gdy /  >j.  4.2.13.  /• //*> =  5/"*?,  (i =  1,2,  . . . , n ) .  4.2.14.  r#*> ­  0' =  U  2,  i  <;)•   4.3.  Przypadki  szczegуlne.  4.3.1.  Przy  wyznaczaniu  wartoś ci  własnej  Ля jako  wektor  począ tkowy  obieramy  е ( я )  tzn.  u„p A>  =  e(n).  4.3.2.  Jeż eli  p  ­> oo,  to  и я р Л)  ­» и », qF*> ­  q„,  ­»  fe,  4  0 (i < Д  ­4 k„,  rjjih)  ­>  0  (i < j),  gdzie  А :и jest  pierwiastkiem  kwadratowym  z  Ая —  wartoś ci  własnej  macierzy  B r B i  B B T , zaś  и д  jest  wektorem  własnym  macierzy  B r B , qk —  wektorem  własnym  macierzy  B B r odpowiadają cym  wartoś ci  własnej  Xh.  .244  В. KOWALCZYK, Т . RATAJCZAK  4.3.3.  Przy  iteracji  /г ­tej  wartoś ci  własnej  przyjmujemy:  „ J M )  =  up2>  =  .  —  ii  (i =  1,2,  .. •,h~l),  S (P1)  = sSp,',_I)  _  e (P'0  (/  =  1 , 2 , .  •  Jt­l).  nr = nr = •  _  * ( P , ' I ­ D  ' i i  ­  /(P'D  Ł i i  ,  ('  =  1,2,  .  tir =  # 2 )  =  ••  _  Л Р . А ­ 1)  1 ij  —  łtP/O  1 O'  '  (i  <  i  У  =  1,2,  ...  =  =  .  =  Й 7"">,  (/  =  1,2,  .. .,h­\),  q ( P D  =  q ! p 2 ) = •   =  q ( p . ' ' ­ D  0' =  1 , 2 , .  ­,h­\),  ЙГ  = g72) =  •  _  S ( P . A ­ I ) S i  =  i?' 0,  (/  =  1,2,  .  . , / 2 ­ 1 ) ,  r j P i )  _  r (P2)  _ .  _  „ ( p , / ; ­ l )  ' i  ' i  э   0 = 1,2,  .. •  ,h­\),  =  df^  =  .  =  J f P . ' ­ D  =  df'\  0' = 1,2,..  ,h­\).  5.  D o w ó d  zbież noś ci  metody iteracyjnej  Z  pierwszego  r ó w n a n i a  w  zwią zku  (46) mamy  (47)  T ^ Q j ' B U , ­ , ,  ( U 0 = E ) ,  z  drugiego  r ó w n a n i a  w  zwią zku  (46)  (48)  R p =  U p 1 B r Q p .  5.1  W y k a ż e my  indukcyjnie,  że  słuszny  jest  wzór  (49)  ( R p T p K R p ^ T , ^ )  . . .  ( R 2 T 2 ) ( R 1 T 1 )  =  U P 4 B r B ) ' .  S p r a w d z a m y  słuszność  wzoru  (49) dlap  =  1.  R j T ,  =  U r ' B ^ Q ^ B U o  =  U r ^ B .  Z a k ł a d a m y ,  że wzór  (49)  jest  słuszny  dla liczby  naturalnej  r >  1,  tzn.  (50)  ( R r T r ) ( R r _ , ! : , _ , )  . . .  ( R 2 T 2 ) ( R 1 T 1 )  =  U ; r 1 ( B T B ) r .  T e z a .  W z ó r  (49)  jest  słuszny  dla liczby  naturalnej  r+1, tzn.  (51)  ( R r + i T r + 1 ) ( R r T r )  . . .  ( R 2 T 2 ) ( R 1 T 1 ) * =  U r + 1 1 ( B T B / + 1 .  D o w ó d .  Z  (47),  (48)  i  (50)  mamy:  (52)  ( R ^ T ^ J U r ^ B y  =  и г Л в ^г ^д г Л в ^и г Ч в ^у =  = иг­+ 1 1(в Гв )(вГвг =  иг­Л (в гв )'+1.  A  więc  na  podstawie  zasady  indukcji  matematycznej  stwierdzamy,  że  wzór  jest  słuszny  dla  każ dej  liczby  naturalnej p  >  1.  5.2.  Oznaczmy  (53)  S<">  =  R P T P ,  (p=l,2,...).  I TERACYJNA METODA WYZNACZANI A CZĘ STOŚ CI DRGAŃ 245  Ponieważ  K p i  T p  są  górnymi  macierzami  trójką tnymi,  więc  i  macierz  S ( p )  jest  górną   macierzą  trójką tną.  Uż ywając  oznaczeń  (53)  moż emy  zapisać  zwią zek  (49) w  postaci  (54)  S ( W S < p ­ 1 ) . . .  S'2 >S<1  >  =  Vp1  ( B T B ) P  lub  oznaczając  S o » S ( P ­ i )  _  s ^ S ' 1 '  =  a„,  ( 5 5 )  и ,ч вгв )р = o„  to  znaczy  (56)  ( B T B ) p = U p a „ .  W  zwią zku  (56) macierz  U p jest  macierzą  ortogonalną  zaś macierz  a p  górną  macierzą   trójką tną.  Zwią zek  (56), na  podstawie  (30), moż emy  zapisać  w  postaci  (57)  A "  =  Vpa„,  Ze  wzglę du  na  fakt,  iż  wszystkie  wartoś ci  własne  macierzy  A  są  róż ne — macierz  ta  ma  tylko  liniowe  dzielniki  elementarne — a  więc  istnieje  takie  przekształcenie  przez  podobień stwo,  że  (58)  A p =  X d i a g  { A p ,  A P , . . . .  ф Х "1 .  Oznaczmy  (59)  diag{A,,  A 2 ,  A„} =  D ,  (60)  .  X =  C H ,  gdzie  С jest  macierzą  ortogonalną,  zaś H — górną  trójką tną.  (61)  X ­ ' = L W ,  gdzie  L  jest  macierzą  dolną  trójką tną  o  elementach  /„ =  1,  zaś W — m a c i e r z ą  górną   trójką tną.  Ze  zwią zku  (58), na  podstawie  (59), (60) i  (61), mamy  A p  =  C H D P L W  lub  (62)  A p =  C H ( D p L D ­ p ) D " W .  Jest  jasne, że  macierz  (63)  G =  D p L D ­ p  jest  macierzą  dolną  trójką tną  o  elementach:  gu  = b  i=  1» 2 . • • • >">  (64)  , / V  giJ =  hj[jj>  d l a  ł>J>  /  =  2.  n.  Macierz  G  moż emy  więc  zapisać  w postaci  (65)  G  =  E  +  F p ,  246  В .  K O W A L C Z Y K ,  Т .  R A T A J C Z A K  gdzie  macierz  F p jest  macierzą  istotnie  dolną  trójką tną  i  taką,  że  *  (66)  l i m F p  =  0,  p­>00  gdyż  na  podstawie  (43)  (67)  l i m  (­A  =  0  dla  i  >  j,  i  =  2,3,...,  n.  p—co  \  Aj I  Ze  zwią zku  (62)  mamy  na  podstawie  (63)  i  (65)  A p  =  C H ( E + F P ) D P W  =  C ( H + H F P ) D P W  =  C ( E + H F P H 1 ) H D " W  lub  (68)  A p  =  C ( E +  Z p ) H D p W ,  gdzie  (69)  Z p  =  H F p H ł ;  oraz  na  podstawie  (66)  (70)  l i m Z p  =  0.  P—CO Macierz  E + Z p  przedstawmy  w  postaci  (71)  E + Z p  =  Ć P H P ,  gdzie  Ć p  jest  macierzą  ortogonalną,  zaś  H p —  macierzą  górną  trójką tną.  N a  podstawie  (70)  i  (71)  mamy:  (72)  l i m Ć p  =  E ,  (73)  l i m H p  =  E .  p—CO  Ze  zwią zków  (68)  i  (71)  mamy:  (74)  A p  =  ( C Ć P ) ( H „ H D P W ) .  Macierz  C Ć P jest  macierzą  ortogonalną,  macierz  H P H D P W jest  macierzą  górną  trój­ ką tną.  Ponieważ  rozkład  macierzy  A p  na  iloczyn  macierzy  ortogonalnej  i  macierzy  górnej  trójką tnej  jest  jednoznaczny,  więc  na  podstawie  (57)  mamy:  (75)  C C P =  T J P ,  (76)  H P H D P W  =  o p .  Ze  zwią zków  (75)  i  (72)  mamy  (77)  l i m U p  =  C .  p­>CO  W n i o s e k  l .  Przy  p  ­>  oo  istnieje  skoń czona  granica  cią gu  macierzy  { U p } .  Ze  zwią zku  (49)  mamy  (78)  ( R P T P ) ( R P _  X T P _  x )  . . .  ( R 2 T 2 ) ( R 1 T 1 )  =  U; 1  A'  oraz  (79)  ( R p ­ i T p ­ J  . . .  ( R 2 T 2 ) ( R 1 T 1 )  =  V^A'­K  ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ CI DRGAŃ   247  Stąd  z  (78) i  (79) wynika, że  lub  ( R p T ^ U j j . A " ­ 1  =  U p ­ ' A "  (RpTp)Up­_I,  =  U p 1 A ,  U ^ A U , . ,  =  R p T p .  to  znaczy  (80)  W n i o s e k  2. W granicy,  przy  p ­> co macierz  R P T P  jest  ortogonalnie  podobna  do  macierzy A .  Ze  wzorów  (47) i  (48) mamy  T p r R P r  =  U p ^ B ^ p O j B U , , ,  T J R J  =  U p ^ . B ^ B U p ,  Tp  R j  =  U p ' _ , A U p  ( R p T p ) 1 '  =  U ; _ , A U P .   i  a  więc  (81)  to  znaczy  (82)  lub  (83)  G d y  p  ­ »  oo  (84)  ( R T ) r =  U T A U .  W n i o s e k  3. W granicy,  przy p  ­>  oo  macierz  (RpTp) 7 " jest  ortogonalnie  podobna  do  macierzy  A .  Ze  zwią zku  (53) mamy, że  (85)  R „ T P  = S<">,  gdzie  —  „(P)  ,.(P)  o(P>  C ( P )  c,(P)—  • 'U  л12  J 1 3  л 1 4 .  • • •  Jln  (86)  S ' »  =  0  sfS  sfS 3&...4B  o  o  sjS  4"2 ... s%  0  0  0  s&..:a%}  _ 0  0  0  0  ...s(n?_  N a  podstawie  wniosków  2 i  3  mamy:  (87)  S / > [ ( R T ) r R T ] =  SpA2  =  X\ +X\+  ...  + X2„.  Z  drugiej  strony  n  n n (88)  ^ [ ( R p T p ) r R p T j  =  2 W i 2  =  2 ш 2 +  2 7 м г т.  1=1  24S В. KOWA L CZ YK,   Т . RAT AJ CZAK W n i o s e k  4.  Ponieważ przy p  ­ >  o o  n  (89)  У ^М Р ]2 ­>  +  ­ (=1  to  wszystkie  naddiagonalne  elementy  macierzy  S ( p ) ,  a  tym  samym  i  macierzy  R p  oraz  T p  dą żą  do  zera.  Ze  zwią zków  (47)  i  (48)  mamy:  T P R „  =  Q p ' B U ^ . U p ' B ' Q p  lub  (90)  T P R P  =  Q p ' B B r Q p .  N a  podstawie  wniosku  4  macierz  R p  i  T p  przy  p  ­*  o o  są  macierzami  diagonalnymi.  Ponieważ  na  podstawie  (84)  istnieje  lim  ( R P T P ) T ,  więc  przy  p  ­>  o o  istnieje  również   p->co skoń czona  granica  iloczynu  T P R P .  W n i o s e k  5.  Przy  p  ­ »  o o  istnieje  skoń czona  granica  cią gu  { Q p }  [wynika  to  z  (90)].  W n i o s e k  6.  N a  podstawie  wniosku  1 i  wniosku  5  oraz  zwią zków  (47)  i  (48)  wynika,  że  przy  p  ­>  co  istnieją  granice  cią gów  macierzy  {T p }  oraz  { R p } .  Ze  zwią zków  (46)  i  (47)  oraz  (42)  i  (43)  wynika,  że  l i m T p  =  l i m R p  =  K ,  p­*0O  p­*CQ  gdzie  macierz  К  dana  jest  wzorem  (41).  Algorytm  obliczania  czę stoś ci  drgań  własnych  i  amplitud  u k ł a d u ,  opisany  w  rozdzia­ łach  2  i  3,  został  zaprogramowany  w  ję zyku  F O R T R A N  I V  (patrz  rozdział  7)  i  wytesto­ wany  na  elektronicznej  maszynie  cyfrowej  ICL­System  4.  D l a  umieszczenia  wszystkich  tablic  (macierze  i  wektory)  niezbę dnych  dla  realizacji  algorytmu  program  wymaga  2 я 2  +  я + 1 1 50  k o m ó r e k  pamię ci  operacyjnej  i  0,5 n(n+V)  k o m ó r e k  na  dysku  roboczym.  Instrukcje  programowe  w  E M C  ICL­System  4  zajmują   około  90  000  k o m ó r e k  pamię ci  operacyjnej.  P o d a n ą  w  pracy  metodą  numeryczną  obliczamy  jednocześ nie  pierwiastki  kwadratowe  wartoś ci  własnych  i  wektory  własne  (czę stoś ci  drgań  własnych  i  amplitudy  u k ł a d u )  za­ gadnienia  (16).  Z  tego  wzglę du  jest  ona  bardziej  ogólną  i  znacznie  szybszą  od  najczę ś ciej  stosowanych  w praktyce metod  Q R  i  L R , przy  pomocy  których  wyznaczamy  tylko  wartoś ci  własne  (kwadraty  czę stoś ci  własnych).  6.  Nowa metoda odwracania macierzy  trójką tnych  Z  rozdziału  2  niniejszego  opracowania  wynika,  że  aby  zwią zek  (16)  doprowadzić  do  postaci  standardowej  A x  =  ź x  należy  macierze  К  oraz  M  przedstawić  w  postaci  (17),  a  nastę pnie  (zwią zek  (24))  znaleźć  macierz  odwrotną  do  górnej  macierzy  trójką tnej.  Poniż ej  przedstawimy  nową  metodę  wyznaczania  macierzy  odwrotnej  do  górnej  macierzy  trójką tnej,  metodę  opartą  na  poję ciu  macierzy  istotnie  górnej  trójką tnej.  I TEKACVJNA METODA WYZNACZANI A CZĘ STOŚ CI DRGAŃ 249  Macierz  M  nazywamy  macierzą  istotnie  górną  trójką tną,  jeż eli jest  ona  postaci:  0  m12  '«13  ml4.  .  •  mUn­i  mi  0  0  m23  m24  .  •  "h. n­i  m2  0  0  0  '«34  •  •  « 3 . . ­ 1  m3  0  0  0  0  .  0  « n ­ l . i l  0  0  0  0  .  0  0  M o ż na  wykazać,  że  macierz  M  jest  macierzą  nilpotentną,  to  znaczy  (92)  M r  =  0,  gdy  r  >  n.  Wykaż emy  nastę pują ce  twierdzenie:  jeż eli  M  jest  macierzą  istotnie  górną  trójką tną  to  (93)  [D +  M ] ­ 1  =  [ Е ­  P  +  P 2 ­ P 3 +  ...  + ( ­ l ) " ­ 1 P " ­ 1 ] D ­ 1 .  gdzie  (94)  D  =  d i a g { d i , d 2 ,  d„},  dt  Ф  0  ( / = 1 , 2 , . . . ,  n).  (95)  P  =  D ­ J M .  D o w ó d .  Oznaczamy  przez  G  nastę pują cą  macierz  (96)  G  =  [D +  M ­ 4 D .  Prawą  stronę  zwią zku  (96)  m o ż na  przedstawić  w  postaci  (97)  G  =  [D + M _ 1 ] [ D ­ 1 ] ~ I  =  { D ­ ^ D + M ] } " 1  =  [E +  D _ 1 M ] _ 1  lub  na  podstawie  zwią zku  (95)  (98)  G  =  [ E + P ] ­ 1 .  Ze  zwią zku  (95)  jest  oczywiste,  iż  macierz  P  jest  również  macierzą  istotnie  górną   trójką tną,  a  więc  (99)  P r  =  0,  gdy  /• 5*  n.  Z  łatwoś cią  m o ż na  się  przekonać,  iż  zachodzi  nastę pują ca  t o ż s a m o ś ć:  (100)  (E + P ) [ E ­ P  + P 2 ­ P 3 +  ...  + ( ­ l ) " ­ ' P " ­ 1 ]  =  E + ( ­ l ) " P "  =  E ,  gdyż  P "  =  0.  Ze  zwią zku  (100)  mamy  wię c:  (101)  (E + P ) " 1  =  E ­ P  + P 2 ­ P 3 +  ...  + ( ­ 1 ) " ­ »  P " ­ 1  lub  na  podstawie  (97)  (102)  [E +  D ­ ' M ] ­ 1  =  E ­ P + P 2 ­ P 3 +  ...  + ( ­ 1 ) " ­ '  P " ­ 1 .  M n o ż ąc  zwią zek  (102)  prawostronnie  przez  macierz  D _ 1  otrzymujemy  wzór  (93).  http://�n-l.il 2 5 0 В .  K OWAL CZ YK,  Т .  R AT AJ CZAK 7.  Schemat blokowy  programu  U Z O W V V  Niż ej  zamieszczamy  ogólny  schemat  blokowy  programu  U Z O W W ,  który  realizuje  algorytm  opisanej  metody.  W  schemacie  blokowym  uż yto  nastę pują cych  dodatkowych  oznaczeń.  n  stopień  macierzy  sztywnoś ci  К i  bezwładnoś ci  M ,  e  dana  liczba  rzeczywista,  wystę pują ca  w nierównoś ci  (*) —  patrz  schemat  blokowy  programu  U Z O W W  —  stanowią ca  kryterium  zakoń czenia  cyklu  iteracyjnego,  H ,  G  macierze  górne  trójką tne,  U ,  Q  macierze  B­ortonormalne,  T ,  R  macierze  górne  trójką tne,  rkJ  elementy  macierzy  T  (k =  1,2,  ...,n— 1;  /  =  k+1  и ).  ("  START  J  I WCZYTAJ z kart  I  L  n\e  I  WCZYTAJ  z kart  macierz  sztywnoś ci  К   WYKONAJ  ROZKŁAD  K­HTH  ODWRÓĆ   macierz  H  ZAPISZ na dysku  macierz U'' 7  WCZYTAJ  z kart  I  macierz  bezwlcdnoici  M 1 WYKONAJ  ROZKiAD  M­ CTG  OBLICZ iloczyn  f i­G/ Г   UTWÓRZ  w  pamię ci  operacyjnej macierz  jednostkową  U  1  WYKONAJ  mnoż enie  BU  OBLICZ macierze Q,T  ze  zwią zku  BU­QT  WYKONAJ  mnoż enie  OBLICZ macierze U,R  ze  zwią zku  BTQ­UR  1 i-i i\ C I  N  1  I WCZYTA]  z dysku I  /  macierz U''  I  WYKONAJ  U'  mnoż enie  U  DRUKUJ  czę stoś ci,  [ drgań  własnych  I i formy  drgań   własnych  > Rys.  1  ITERACYJNA METODA WYZNACZANIA CZĘ STOŚ CI DRGAŃ   251  Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1. S. KALISKI,  Drgania  i fale  w  ciałach  stałych,  P W N ,  Warszawa 1966.  2.  J . KRUSZEWSKI,  Metoda sztywnych  elementów  skoń czonych  w zastosowaniu  do  obliczeń  czę stoś ci  drgań   własnych  złoż onych  liniowych,  Zeszyty  Naukowe  Politechniki  G d a ń s k i e j,  Mechanika,  12  (1971).  3.  J . KRUSZEWSKI,  W. GAWROŃ SKI,  E . WITTBRODT,  Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  w  oblicze­ niach konstrukcji  okrę towych,  Rozpr.  I n ż .,  22,  3 (1974).  4. A . P. MISZINA,  I.  W . PROSKURIAKOW,  Algebra  wyż sza,  P W N ,  Warszawa 1966.  5.  A . RALSTON,  Wstę p  do analizy numerycznej,  P W N ,  1971.  6.  J . TELEGA,  Metoda  elementów  skoń czonych  w  mechanice  cial  odksztalcalnych,  Prace  IPPT,  46/1973,  Warszawa 1973.  7.  E . WITTBRODT,  Hybrydowa metoda  elementów  skoń czonych  w zastosowaniu  do  obliczeń  drgań  urzą dzeń   o k r ę t o w y c h,  Rozpr.  I n ż .,  22, 3 (1974).  8. O . C . ZIENKIEWICZ,  Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  1972.  9.  R. ZURMUHL,  Matrizen,  Springer  Verlag,  Berlin­Gottingen­Heidelberg  1961.  Р е з ю ме   И Т Е Р А Ц И О Н Н ЫЙ  М Е Т ОД  В Ы Ч И С Л Е Н ИЯ  С О Б С Т В Е Н Н ЫХ  К О Л Е Б А Н ИЙ   И  А М П Л И Т УД  С И С Т Е МЫ  С  К О Н Е Ч Н ЫМ  Ч И С Л ОМ  С Т Е П Е Н ЕЙ  С В О Б О ДЫ   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  н о в ый  и т е р а ц и о н н ый  м е т од  р а с ч е та  ч а с т от  и  а м п л и т уд  с о б с т в е н н ых   к о л е б а н ий  д ля с и с т ем  с  к о н е ч н ым  ч и с л ом  с т е п е н ей  с в о б о д ы.  М а т р и ч н ое  у р а в н е н ие  Kq =  co2Mq  ( п о л у ч е н н ое  и х у р а в н е н ия  Л а г р а н жа  в т о р о го  р о д а)  п р е­ о б р а з у е т ся  к  с т а н д а р т н о му  в и ду  А х =  А х.  И с х о дя  и з  р а с п р е д е л е н ия  Б а н а х е в и ча  д ля  м а т р и цы  А   с т р о и т ся  п о с л е д о в а т е л ь н о с ть  м а т р и ц,  э л е м е н т а ми  к о т о р ой  я в л я ю т ся  п р о и з в е д е н ия  о р т о г о н а л ь н ых   и  в е р х н е т р е у г о л ь н ых  м а т р и ц.  Д о к а з а н о,  ч то  п р е д е л ом  т а к ой  п о с л е д о в а т е л ь н о с ти  я в л я е т ся  п р о и з в е­ д е н ие  о р т о г о н а л ь н ой  и д и а г о н а л ь н ой  м а т р и ц.  С т о л б цы  о р т о г о н а л ь н ой  м а т р и цы  я в л я ю т ся  и с к о м ы­ м и  а м п л и т у д а м и,  а  э л е м е н ты  д и а г о н а л ь н ой  —  ч а с т о т а ми  с о б с т в е н н ых  к о л е б а н ий  с и с т е м ы.  П р е д л а г а е м ый  м е т од  м о ж но  п р и м е н и ть  д ля р а с ч е та  р е а л ь н ых  к о н с т р у к ц ий  в  с о ч е т а н ии  с м е­ т о д а ми  д е ф о р м и р у е м ы х,  ж е с т к их  и ли г и б р и д н ых  к о н е ч н ых  э л е м е н т о в.  Р е ш е н ие  т а к их  з а д ач   в о з м о ж но  л и шь  с п о м о щ ью  э л е к т р о н н ых  в ы ч и с л и т е л ь н ых  м а ш и н.  В р а б о те  п р и в е д ен  т а к же  н о в ый   м е т од  о б р а щ е н ия  т р е у г о л ь н ых  м а т р и ц,  к о т о р ый  о б л е г ч а ет  п р и в е д е н ие  и с х о д н ой  з а д а чи  к  с т а н д а р т­ н о му  в и д у.  S u m m a r y  A N  I T E R A T I V E  M E T H O D  T O  D E T E R M I N E  N A T U R A L  F R E Q U E N C I E S  A N D M O D E S  O F  A  M U L T I D E G R E E ­ O F ­ F R E E D O M  S Y S T E M  The  paper presents a new iterative  method to determine  the  natural  frequencies  and modes  of a  mul­ tidegree­of­freedom  system.  The  matrix  equation  K q =  co 2 Mq  (obtained  from the second  form  Lagrange  equation)  is transformed  to the standard  form A x =  Ax. Applying the Banachiewicz  decomposition  to the  A­matrix,  a series of matrices  is generated.  Every element  of this series is represented  as a product  of two  matrices:  an orthogonal  matrix  and an  upper  triangular  matrix.  It is  proved  in the paper  that  the limit  of  the series is a product  of orthogonal  and  diagonal  matrices.  The columns  of the orthogonal  matrix are  252  В .  K OW A L CZ YK  Т .  R AT AJ CZAK  the  natural  modes,  and  the  non­zero  elements  of  the  diagonal  matrix  are  the  natural  frequencies  of  the  system.  This  method  can  be  applied to  calculate  vibrations  of  structures  by  means  of  the  finite  element  method,  the  rigid  finite  element  method  or the  hybrid  method. The  method  presented is  a computer —  oriented  one.  A  new  method  of  inverting triangular matrices  is  also  presented;  this  method  makes  the  transformation  of  equations  to  the  standard  form  easy.  P O L I T E C H N I K A  G D A Ń S KA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  16  maja  1975  r.