Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3,  14 (1976) 

S T A T Y K A  P O W Ł O K I  W A L C O W E J  Z A M K N I Ę T EJ  P R A C U J Ą C EJ  W  S T A N I E  Z G I Ę C I O W YM 

S T A N I S Ł A W  B I E L A K  ( O P O L E ) 

1.  W s t ę p 

Przedstawione  w tym opracowaniu  rozwią zanie,  ilustrowane  przykładem  liczbowym, 

bazuje na pracy  autora  [5],  podają cej  całkę  równania  róż niczkowego  czą stkowego  rozwią­

zują cego  powłoki  walcowe.  Materiał  zawarty  w tym artykule  nawią zuje  do  pracy  [5]  od 

strony  zastosowań  do pewnych  przykładów  obliczeń  inż ynierskich. 

Rozpatrzono  powłokę  walcową  zamknię tą,  obcią ż oną  powierzchniowo,  dla  której 

siły  wewnę trzne  i  przemieszczenia  opisano  wyraż eniami  ogólnymi  zależ nymi  od  sposobu 

obcią ż enia  i  warunków  podparcia.  Wyraż enia  opisują ce  pracę  powłoki  są sumami  złoż o­

nymi  z  całek  szczególnych,  odpowiadają cych  pracy  błonowej,  i  całek  ogólnych  dają cych 

pracę  zgię ciową. 

Całki  szczególne  uzyskuje  się w  bezpoś rednim  procesie  całkowania  funkcji  obcią ż eń  

powierzchniowych,  natomiast  całki  ogólne  posiadają  kształt  szeregów  hipertrygonome­

trycznych.  ' 

2.  O g ó l n y  układ  równań  powłok  walcowych 

Wszystkie  wzory  i zależ noś ci  podane  w tym  rozdziale  bę dą  napisane  na podstawie  prac 

autora  [1, 2, 3, 4].  Również  całka  równania  róż niczkowego  rozwią zują cego  bę dzie  podana 

w  gotowej  postaci  wzię tej  z pracy [5]. 

2.1.  Opis  i  zwią zki  geometryczne  powłoki.  Współczynniki  pierwszej  i  drugiej  formy  róż­

niczkowej,  ich wyróż niki  oraz  krzywizny  —  gaussowska  i  ś rednia  wynoszą: 

g u  =  l ,  £12  = £21  =  0,  g22  = g  =  a
2, 

•  b t l  =  0,  b12  = b2i  =  0,  b22  = a,  6 =  0, 

к  = о , H = ­ L . 
2a 

Symbole  Christoffela  drugiego  rodzaju  dla powierzchni  walcowej  są  równe  zeru. 

Zwią zki  składowych  przemieszczenia z tensorem  odkształcenia  błonowego  mają  p o s t a ć : 

(2.2)  wjt = у ц ,  a2w2i+wl2  =  2y,2,  a
2w22—aw

3  =  y22. 

Przecinek  uż yty  w  wyraż eniach  (2.2) oznacza  odpowiednią  pochodną  wzię tą  wzglę dem 

zmiennej  w1  lub u2. 



384  S.  B I ELAK 

2.2.  Z w i ą z ki  fizyczne.  Siły  i  momenty 

/ у У  =  N'J  +6HMiJ, 

MtJ  =  MiJ  +  ih2HNu, 
(2.3) 

Q J =  ­  3 (
2

l

E * v 2 ) g
, J W , t + & 2 № %, 

gdzie  f jest  parametrem  stałym  oraz  jest  sumą  

(2.4)  ^  =  g ' V y ­

Zwią zki  odkształceń  z siłami  dla parametryzacji  naturalnej 

Ум  = 2 ^ ­ [ Л 7 " ­ ш 2 У У2 2 ] , 

(2.5)  У 12 =  У г у  =  4 ё Га 2 ^ 1 2 ' 

Zwią zki  m o m e n t ó w  z przemieszczeniami dla parametryzacji  naturalnej 

£ / ; a 2 
M  = 

2 a 4 

M 1 2  =  Л /2 1  =  ­  "  „ T"  К  

"'  ~  "2а *"1  " 2 " , 2 2 

(2.6)  м » =  М ­ = ­ ^Л  

Wystę pują cy  w (2.6) parametr  а jest  równy 

(2.7)  а  =  |/^3( Г =й )\ 

2.3.  C a ł k a  równania  rozwią zują cego.  C a ł k a  r ó w n a n i a  rozwią zują cego  jest  sumą  złoż oną  

z  całki  ogólnej  i v 3 i całki  szczególnej  w3,  (patrz  praca  [5]) 

(2.8)  w3  =  »v3 + vv3. 

Całka  szczególna  i v 3 bę dzie  rozwią zaniem  stanu  bezmomentowego,  a  całka  ogólna  może 

być  przedstawiona jako  suma  szeregu  hipertrygonometrycznego. 

W i e l k o ś ci  pomocnicze 

Argumenty  funkcji  trygonometrycznych 

Z *  =  а а*  — , 
a 

(2­9)  г  , 

ZlK  =  a i m ' — Н ­ и м
2  . 



S TATYKA  POWŁOKI  WALCOWEJ  ZAMKNI Ę TEJ  385 

Parametr  a jest  okreś lony  przez  (2.7),  natomiast  wielkoś ci  a* i m1 są  r ó w n e 

(2.10) 

nr 

Wprowadzając  oznaczenia: 

&=»y/­}v/>+4­1. 
napiszemy 

(2.10') 

Tensory  trygonometryczne 

(2.11) 

ak  =  eka„ 

ml  =  d,pn. 

sh  dla  i ­  1,  _ .  1  ch  dla  i  =  1, 

dla 

­  1,  H  dla  =  1, ch  dla  i =  2 ,  H  sh  dla  i =  2 , 
sin  dla  J =  1,  4  cos  dla  j =  1, J =  1,  4  =  1, cos  dla  j =  2 ,  4  — sin  dla  J =  2 . 

Bil  =  KjZ'K,  Bi
l  =  KJZ'K. 

Wielkoś ci  # '  i ЛУ są symbolami funkcji  trygonometrycznych,  hiperbolicznych i  kołowych, 

a  H'  oraz  KJ  symbolami odpowiednich  pochodnych, 

(2.12)  , 

H ; 
Całka  ogólna  (rozwią zanie  podano  w  pracy  [5]) 

(2.13)  &—2с Ь ц А *В *. 
n 

Przejś cie  do  współrzę dnych  fizycznych,  sprowadzonych  do  bazy  jednostkowej,  u m o ż l i­

wiają  wzory: 

N«=]/fN>J'  a 1 

(2.14)  M / 7 = ­ ­ | / ^ ^ ,  M^  =  ^ iC­M\ 

w?  =  wjl  =  iv 3 , 

P? = \/gUPl, = P3­

Uwaga: po ij nie  sumować. 

Symbol  „ ~ 1 " oznacza  współrzę dną  fizyczną. 



386  S.  B IELAK 

3.  Wyraż enia  opisują ce  pracę  powłoki 

3.1.  Stan  błonowy.  Stan  ten  jest  całką  szczególną  rozwią zania  ogólnego  p o w ł o k  pra­

cują cych  w  stanie  zgię ciowym.  Wyraż enia  opisują ce  wielkoś ci  sił,  m o m e n t ó w  i  przemiesz­

czeń  bę dą  napisane  na  podstawie  pracy  [1]. 

S i ł y  błonowe 

1 

(3.1) 

N22 

N12  P32­P2  du'  +  C^u
2), 

du'~u1CU2  +  C2(u
2). 

Wystę pują ce  w  (3.1)  funkcje  d  i  C2  zależ ą  tylko  od  zmiennej  u
2  i  bę dą  wyznaczone 

z  warunków  brzegowych,  a  wielkoś ci  P1,  P2,  P3  są  danymi  funkcjami  obcią ż eń. 

Składowe  przemieszczenia  wyznaczymy  z  wyraż eń  (2.2)  po  podstawieniu  składowych 

odkształcenia  ze  zwią zków  (2.5)  przy  równoczesnym  wykorzystaniu  sił  błonowych  opisa­

nych  w  (3.1): 

?  =  fyltdu
l  +  C3(u

2), U' 

(3.2)  2Yl2­W,2 du
l  +  C4(u

2), 

[y22­a
2w22]. 

Uż yte  w  (3.2)  kreski  iv'  deklarują  przynależ ność  do  stanu  błonowego,  a  funkcje  C3,  C 4 
zmiennej  u2  zależą  tylko  od  w a r u n k ó w  brzegowych. 

3.2.  Stan  zgieciowy.  Całka  r ó w n a n i a  rozwią zują cego  jednorodnego  podana  w  pracy  [5] 

umoż liwia  rozwią zanie  ogólnego  układu  równań  powłok  walcowych  opisują cych  wszystkie 

wielkoś ci  charakteryzują ce  pracę  zgię ciową  powłoki.  Przeprowadzając  odpowiednie  ope­

racje  matematyczne  zwią zane  z  całkowaniem  i  róż niczkowaniem  wyraż eń  szeregu  hiper­

trygonometrycznego  znajdziemy  poszukiwane  wielkoś ci  sił,  m o m e n t ó w  i  przemieszczeń. 

S i ł y 

(3.3) 

N22 

$12 

fili 

A 

Q2 

n 

n 

Eh  V 
a a 2 Z­i 

nekd,CtujABl
l. 



S TATYKA  POWŁOKI  WALCOWEJ  ZAMKNIĘ TEJ  387 

Momenty 

(3.4) 

Przemieszczenia 

M11  = 

M12  = 

M22  = 

(3.5) 

_ IL_  V <­,.[(!­v)n2A*Bi1  + 2sk  6,AikB{1], 
2oe2  Z­i 

i 

(l­v)Eh 

2aa2 

Eh 

]?п Спк Щ[о фп  AJ,
kBtl ­  ek<x„A*Bi

l], 

2a2a2  AJ 
У с 1щ [{\­г )п2А *В »­2г екд ,А *В 1

1}. 

i,2  = 

­  У   ­  '  ..Chij[bk*nA*Bi!  ­  < 5 , M M , 

(2 + v)  у  n3 
ZJ  4 + n*  Ł aa 

A ^  +  2e4­AikBi,1 
n 

=  ZcZuj Af Bi 1.  

D l a  wersji  uproszczonej  m o ż na  przyjąć  

(3.6)  w2  = 0,  N11  = 0, 

ponieważ  wielkoś ci  te  są  małymi  wyż szego  rzę du  w p o r ó w n a n i u  z  wielkoś ciami  wywo­

łanymi  stanem  błonowym. 

4.  Przykład 

Dana  jest  powłoka  walcowa  zamknię ta  o  promieniu  a i  wysokoś ci  /, rys. 1,  zamoco­

wana  tylko  u swej  podstawy  i obcią ż ona  parciem  wiatru  W. 

Rys.  l 

Obcią ż enie  przyję to  nastę pują ce: 

(4.1)  P1  =  0,  P2  =  0,  P3  =  Wsmu2. 



388  S.  B I ELAK 

4.1.  Stan  błonowy.  W y r a ż e n ia  (3.1)  i  (3.2)  po  podstawieniu  (4.1)  i  uwzglę dnieniu 

w a r u n k ó w  podparcia  (zamocowany  dolny  brzeg),  dadzą: 

Wl2 

(4.2) 

N11  = 

N12  = 

N22  = 

w1  = 

2a 
l l ­ ­ y ­ l  s i n w 2 , 

Wl 

a 

W 
sin w2, 

a 

C O S H 2 , 

3Eh 

Wa 

Wa2 

Eh 

gdzie 
­ ш  

COS  и 2 , 

sin  и 2 , 

Fsinu2, 

F  =  ­

4.2.  Stan  zgię ciowy.  W y r a ż e n ia  (3.3)­(3.5)  dla, rozpatrywanego  p r z y k ł a d u  znacznie  się  

uproszczą,  a  sumowanie  tensorowo­nieskoń czone  przejdzie  w  sumowanie  tensorowe  i  to 

tylko  ze  wzglę du  na  wskaź niki  /', / 

AEh 
•(A"­A21)Culjd,Bi

l, 

Eh 

aa" 
( Л » ­ Л " ) Сш Л Л | В " ­ Я

у 1 , 

2Ј/г  

a­

Ей  

aa 

(4.3) 

д ги  

TV2 2 

м 1 2 

М 2 2  =  ^ т ­ М1 1 , 

­  —  ( Л 1 1  ­  А21)  С Ш , ­  [ В " +  д ,  В '
1], 

(aa)2 

Eh 

(Л ­v)  Eh 

2 a a 3  ( ^
П ­ ^ 2 1 ) С Ш Л <5 / ^ ' +^ ' ] ,  

w 
2  _ 

2a 

2+v 

2 a 2 a 

( Л » ­ Л2 1 ) С Ш Д ^  +  С .,У З Ч, 

=  (А "­А21)СШ ]В *. 



S TATYKA  POWŁOKI  WALCOWEJ  ZAMKNI Ę TEJ  389 

(4.4) 

Wystę pują ce  w  wyraż eniach  (4.3)  stałe  CUij  wyznaczymy  z  odpowiednich  w a r u n k ó w 

brzegowych,  np.  dla  u1  =  0 jest 

w3  =  w3  + w3  =  0. 

4.3.  Zestawienie  wyników. 

4.3.1.  W i e l k o ś ci  tensorowe 
' j  

NiJ  =  NiJ+ŃiJ+—MiJ, 
a 

e' = e', 
MiJ  =  MiJ+Ą r—NiJ, 

2a 
0 

w'  —  wl+wl. 

4.3.2.  W i e l k o ś ci  fizyczne.  Znając  wielkoś ci  tensorowe  (4.4)  m o ż e my  wzorami  (2.14) 

p r z e t r a n s f o r m o w a ć  je  do  współrzę dnych  fizycznych  zwią zanych  z  bazą  jednostkową  

/ У Н  =  a2N22, 

R^l  = W3. 

=  J V 1 1 ,  лд = a / Y
1 2 , 

e? = es  ep = ae
2,  

(4.5)  =  ­aM12,  ­ a
2 M 

=  Л /1 1 ,  aM21, 

w^l  =  w\  и Л  =  aw
2, 

5.  Przykład  liczbowy 

W  przykładach  szczegółowych  przyję to  nastę pują ce  dane  wyjś ciowe  dla  stali  i  ż elbetu: 

h  =  1,0  c m , 

a  =  1,0  m , 

l  =  10,0  m , 

V  =  0,3, 

E  =  2,1  • 10 6  k G / c m 2 , 

W  =  100  k G / m 2 . 

h  =  10,0  c m , 

a  =  1,0  m , 

/  =  10,0  m , 

V  =  0,2, 

E  =  2,0  • 105  k G / c m 2 , 

W  =  100  k G / m 2 . 

W y n i k i  obliczeń  niektórych  wielkoś ci  charakterystycznych  przedstawiono  na  rys. 

2a,  b,  c,  d,  przy  czym  linie  przerywane  obrazują  powłokę  stalową,  a  linie  cią głe  odpowia­

dają  powłoce  ż elbetowej. 

Wykresy  М П,  Q~\t  A Q ,  N2~],  wj,  w~}  sporzą dzono  dla  u
2  =  n/2,  natomiast 

i  (3P  dla  u2  =  0. 



[390] 



mm  mm 

Rys.  2d 

[391] 



392  S.  B I ELAK 

Literatura cytowana  w  tekś cie 

1.  St.  B I ELAK,  Ogólna teoria powłok  prostokreś lnych  pracują cych  w stanie  zgię ciowym,  Politechnika  Ś l ą s k a, 

Budownictwo,  33,  (1973)  1 ­  109. 

2.  St.  B I ELAK,   A  general scheme  of  equations  covering rectilinearly drawn shell structures,  Zastosowania 

Matematyki  2,  14,  (1974)  313­326. 

3.  St.  B I ELAK,   Solution of  a general system  of  equations  of  rectilinear evolvable  shells  in  the  bending state, 

Bull.  A c .  Pol.  Sci.,  Ser.,  Sci.  techn.,  2,  22,  (1974)  63  ­69. 

4.  St.  B I ELAK,   Kształt  równania  róż niczkowego  czą stkowego  rozwią zują cego  klasę  powłok  prostokreś lnych 

rozwijalnych,  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3,  12,  (1974),  265­278. 

5.  St.  B I ELAK,   Całka  równania  róż niczkowego  czą stkowego  rozwią zują cego  powłoki  walcowe,  Mech.  Teoret. 

i  Stos.,  2,  14,  (1976)  (w  druku). 

Р е з ю ме  

С Т А Т И Ч Е С К ИЙ  Р А С Ч ЕТ  З А М К Н У Т ОЙ  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К ОЙ  О Б О Л О Ч КИ  

П РИ  Р А Б О ТЕ  Н А  И З Г ИБ  

В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  р а с ч ет  з а м к н у т ой  ц и л и н д р и ч е с к ой  о б о л о ч к и,  р а б о т а ю щ ей  н а  и з г и б. 

В н у т р е н н ие  с и лы  и  п е р е м е щ е н ия  о п и с а ны  о б щ и ми  в ы р а ж е н и я м и,  к о т о р ые  п р е д с т а в л я ют  с о б ой  

с у м мы  ч а с т н ых  и н т е г р а л о в,  о т в е ч а ю щ их  б е з м о м е ц т н о му  с о с т о я н и ю,  и  о б щ их  и н т е г р а л о в,  о п р е­

д е л я ю щ их  р а б о ту  о б о л о ч ки  п ри  и з г и б е.  О б щ ие  и н т е г р а лы  п р е д с т а в л я ют  с о б ой  г и п е р т р и г о н о м е т р и­

ч е с к ие  р я д ы. 

В  к о н це  р а б о ты  п р и в е д ен  ч и с л е н н ый  п р и м е р,  п о я с н я е м ый  г р а ф и к а ми  н е к о т о р ых  х а р а к т е р н ых  

в е л и ч и н. 

S u m m a r y 

S T A T I C S  O F  A  C L O S E D  C Y L I N D R I C A L  S H E L L  I N  T H E M O M E N T  S T A T E 

The  paper  presents  the  solution  of  closed  cylindrical  shell  structures  working in  the  moment  state. 

Internal forces and deformations were described by general expressions  which are sums composed  of partic­

ular  integrals  representing  the  momentless  state  and  of  a  general integral representing  the  moment  state. 

The  general integrals  have  a  form  of  hypertrigonometric series.  A n example  given  in the  latter part of  the 

paper  is  illustrated  by  diagrams  of  some  characteristic  quantities. 

W Y Ż S ZA  S Z K O Ł A  I N Ż Y N I E R S KA  W  O P O L U 

I 
Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 22  paź dziernika  1975  r.