Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  14  (1976)  I  O  O P I S I E  F I Z Y C Z N I E  N I E L I N I O W E J  S P R Ę Ż Y S T O Ś CI  M A T E R I A Ł Ó W  S Y P K I C H  T O M A S Z  H  U E C K E L  ( W A R S Z A W A )  1.  W s t ę p  Materiały  sypkie  wykazują  cechy  sprę ż yste  i  plastyczne.  Sprę ż yś cie  zachowują  się   w  począ tkowej  fazie  obcią ż enia  oraz  w  czasie  odcią ż ania  i  docią ż ania,  kiedy  stan  n a p r ę ­ ż enia  leży  wewną trz  powierzchni  plastycznoś ci.  Są  to  procesy  silnie  nieliniowe  nawet  w  zakresie  małych  deformacji.  Ponadto  mają  one  inny  charakter  przy  pierwszym  cyklu  odcią ż enia  niż  przy  wielokrotnym  odcią ż aniu  i  docią ż aniu  (por.  [3]).  W  czasie  pierwszego  odcią ż ania  z  danego  stanu  naprę ż enia  zachodzą  w  materiale  efekty  mikropłynię cia  pla­ stycznego  i dopiero  po  pewnej  liczbie  cykli  odcią ż ania  i docią ż ania  zachowanie  się  materiału  jest  czysto  sprę ż yste  (całkowita  odwracalność  odkształceń  przy  zamknię tych  cyklach  od­ cią ż enia  i docią ż enia).  Pomijając  mechanizmy  stanów  przejś ciowych,  celowe jest  w pewnych  przypadkach  oddzielne  traktowanie  pierwszego  odcią ż enia  oraz  ustalonego  odcią ż enia  idealnie  sprę ż ystego.  Z a  przyczynę  tak  silnie  nieliniowych  efektów  w  materiałach  rozdrobnionych  uważa  się  na  ogół  znaczne  zmiany  gę stoś ci  zwią zane  z  deformacją  materiału.  M o d e l  matema­ tyczny  plastycznego  zachowania  się  ciał  o  zmiennej  gę stoś ci  sformułowano  w  pracy  [1].  Wpływ  zmian  gę stoś ci  na  sprę ż yste  i  plastyczne  cechy  materiałów  zanalizowano  w  pracy  [2]  zakładają c,  na  podstawie  przeprowadzonych  eksperymentów  w  zakresie  sprę ż ystym,  zależ noś ci  stycznych  m o d u ł ó w  sprę ż ystoś ci  od  odwracalnej  zmiany  gę stoś ci.  Założ enie  takie  dopuszcza  wspomniane  mikroefekty  plastyczne  przy  odcią ż eniu  oraz  pozwala  na  znaczne  uproszczenie  opisu  materiału  [11].  W  pracy  pokaż emy  własnoś ci  prostych  (tj.  liniowych  tensorowo)  nieliniowych  fizycz­ nie  zwią zków  opisują cych  cechy  sprę ż yste  materiałów  rozdrobnionych.  N a  podstawie  zna­ nych  w a r u n k ó w  całkowalnoś ci  i potencjalnoś ci  takich zwią zków  zbadamy  róż nice  wystę pu­ ją ce  przy  róż nych  sposobach  ich formułowania.  Okazuje  się,  że na  ogół  znane  zwią zki  dla  materiałów  sypkich  nie  opisują  efektów  czysto  sprę ż ystych;  m o ż na  je  więc  odnosić  wyłą cz­ nie  do  pierwszego  odcią ż enia.  Z  drugiej  strony  wielu  efektów  nieliniowych  o  charakterze  sprę ż ystym  nie  m o ż na  opisać  w  zakresie  małych  deformacji  przez  zwią zki  tensorowo  liniowe.  Rozważ ać  bę dziemy  odwracalną  czę ść  przyrostowego  zwią zku  sprę ż ysto­plastycznego,  którą  zapiszemy  w  postaci  (1.1)  ds'ij  =  AijUdau  lub  też   (1.2)  do­ij  =  Bmde'kl,  gdzie  ds'ij jest  odwracalnym  przyrostem  odkształceń,  dau  — przyrostem  naprę ż eń,  а  А ц и   stanowi  macierz  funkcji  materiałowych,  którą  wyznacza  się  doś wiadczalnie,  przy  czym  • 336  Т. HUECKEL  jest  ona,  z  uwagi  na  nieliniowość  omawianych  procesów,  funkcją  stanów  naprę ż enia  lub  odkształcenia.  Z  charakteru  hipotez,  opartych  na  wynikach  doś wiadczeń  dotyczą cych  postaci  tej  funkcji,  wynikają  odmienne  konsekwencje,  które  ograniczają  zakres  stosowania  postulo­ wanych  zwią zków.  F o r m u ł o w a n i e  tych  hipotez  odbywa  się w dwojaki sposób.  Po pierwsze,  m o ż na  przyją ć,  że  na  podstawie  danych  doś wiadczalnych  da  się  wyznaczyć  jednoznaczną   zależ ność  (moduły  sieczne)  mię dzy  tensorem  naprę ż enia  oy  i  tensorem  odkształcenia  sprę ż ystego  e[j.  Zróż niczkowanie  takiej  zależ noś ci  daje  zwią zek  (1.1)  lub  (1.2).  Po  drugie,  powyż sze  założ enie  może  być  niesprawdzalne  doś wiadczalnie,  natomiast  udaje  się  z  da­ nych  doś wiadczalnych  znalezienie  zwią zków  mię dzy  przyrostami  da,j  oraz  de'^  (moduły  styczne).  Oznacza  to,  że  takim  samym  przyrostom  naprę ż enia  w  róż nych  stanach  naprę­ ż enia  (czy  odkształcenia)  odpowiadają  róż ne  przyrosty  odkształcenia.  T y m  samym,  ko­ lejnych  stanów  naprę ż enia  i  odkształcenia  nie  moż na  ze  sobą  w ogólnoś ci  powią zać  jedno­ znacznie.  Poniż ej  omówimy,  w  ś wietle  wyników  uzyskanych  dla  zwią zków  ogólnych,  [7,  12],  własnoś ci  szczególnych  postaci  równań  konstytutywnych  mają cych  zastosowanie  do  opisu  oś rodków  rozdrobnionych  (por.  [8,  9,  5,  6]).  W  ogólnej  formie  zwią zek    oraz  (2.14)  d E ' k k  =  A d a * + E J J d s ' J  d l a  (2.8),  gdzie  de'n =  C,Jkldsk,  +  Dijd0kk,  —  д к —  du  dam  dsij  „  dco  .  .  dw  i i k l  =  ibkTSiJ+wdikd,J'  D , J  =  'daTkS>j­ "  Z a u w a ż m y,  że  c z ę s to  tego  rodzaju  zwią zki  są stosowane  do  opisu  c a ł k o w i t e j  deformacji  o ś r o d k a,  z  nieuzasadnionym, jak  w i d a ć  z  (2.12),  z a ł o ż e n i em  pełnej  o d w r a c a l n o ś ci  o d k s z t a ł c e ń  (np.  [9,  10]).  O  FIZYCZNIE  NIELINIOWEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  339  Z  powyż szych  zwią zków  widać,  że  zachodzi  sprzę ż enie  izotropowych i dewiatorowych  czę ś ci  przyrostów,  tzn. przyrost  ciś nienia  ś redniego  powoduje  przyrost  odkształceń  de­ wiatorowych,  a  wzrost  naprę ż eń  dewiatorowych  wywołuje  przyrost  obję toś ci.  Ponadto  z  uwagi  na  nieliniowość  zwią zków  (2.4)  i  (2.8),  mimo iż tensory  o­y oraz  е 'и mają  wspólne  kierunki  główne,  tensory  ich przyrostów  mogą  w ogólnoś ci  nie  być współosiowe.  Sprzę ż enie  to  zależy  od wielkoś ci  odkształceń  (czy  naprę ż eń ),  od których  liczymy  przyrosty,  a w sta­ nie  naturalnym  znika.  D l a  pewnych  materiałów  rozdrobnionych  sprzę ż enie  przyrostów  izotropowych  i de­ wiatorowych jest  uważ ane  za  efekt  niż szego  rzę du.  Należy  wówczas  założ yć,  że dla  wszyst­ kich  cfij  i  e'ij współczynniki  EtJ  =  =  0 oraz  Ły =  Du  =  0. Ze wzorów  (2.12)  i  (2.14)  wynika  wówczas, że  (2.15)  К  =  K(e'kk),  G =  G(e'u)  i  x  =  ф к к ) ,  co  =  co(stj).  Zauważ my  wreszcie,  że  materiały,  dla których  przyjmujemy  współosiowość  przyro­ stów  tensorów  naprę ż enia  i  odkształcenia  s'iJt  wyraż ają cą  się  zwią zkami  (2.16)  dakk  — Ade'kk,  dstj  = Gde\j  muszą  spełniać  warunek  G =  const.  Jeż eli  zatem  zakładamy  izotropię  materiału  hipersprę ż ystego  i  współosiowość  tenso­ rów  przyrostów,  to nie moż emy  opisać  nieliniowego  zachowania  się materiału  przy  ś ci­ naniu.  Podobny  wniosek  moż na  otrzymać  z  (2.14).  Dodajmy,  że  założ enie  współosio­ woś ci  w sprę ż ystym  prawie  przyrostowym  jest  bardzo  konsekwentne  dla zwią zków  sprę­ ż ysto­plasfycznych,  dla  których  nie  zakłada  się wzmocnienia  anizotropowego.  R ó w n o ­ znaczne  jest  to  z  przyję ciem,  że proces  sprę ż ysto­plastyczny  nie  wywołuje  w  materiale  ż adnej  zorientowanej  struktury.  3.  Własnoś ci  modułów  stycznych  Przyrostowe  zwią zki  (2.13)  i  (2.14)  mają  tę  własnoś ć,  że zachowanie  się  materiału  wokół  pewnego  stanu  naprę ż eń  czy odkształceń  wyznacza jednoznacznie  zachowanie się   tego  materiału  dla wszystkich  innych  stanów,  na  róż nych  drogach  obcią ż enia  czy defor­ macji,  a więc  zwią zki  (Ty—ey.  D l a  niektórych  materiałów  rozdrobnionych takie stwierdzenie  może  być niesprawdzalne.  Obserwowałny  jest  natomiast  zwią zek  pomię dzy  przyrostami  (foy i  fifey.  Prawo  fizyczne  wówczas  wyraża  jednoznaczną  zależ ność  mię dzy  przyrostami  dla danego  stanu  ciała.  Taki  jednoznaczny  obiektywny  zwią zek  pomię dzy  wymienionymi  tensorami  przyro­ stów  oraz  samym  tensorem  odkształceń  [4] m o ż na  zapisać  przy  pominię ciu  nieliniowych  członów  wzglę dem  cfey w postaci  (3.1)  de  =  aod + ayE' + a2ds'  +  а3в ' 2  +  а4(е 'с /в '  + de'  e') + as(s' 2de'  + de' E'2),  gdzie  a0,  alt  a 3  są funkcjami  niezmienników  J i — вк к,  J2  =  skiskt,  J3 —  ekmemiSik,  Y0  =  de'kk,  Yt  =  Ekide'ki,  Y2  =  ekle'lmdE'mk,  a  a 2 , ot4, a 5 są funkcjami  jedynie  niezmienników  J[, J'2, J'3. Załóż my  dla dalszych  celów,  że  zwią zki  (3.1)  mają  postać  zwią zków  proporcjonalnych  (1.2),  tzn.  a 0 , a , , a 3  pozostaną   340  Т .  HUECKEL  zależ ne  jedynie  od  niezmienników  mieszanych  F ; . Wówczas  rozbijając  (3.1) na  czę ść   dewiatorową  oraz  izotropową  otrzymamy  układ  równań   dakk  =  Fdskk  + Hijde'ij,  3'2')  dstj =  Mtjklde'kl+N,jdekk,  gdzie  F, Hjh  Mijkl,  /V,­,­  są funkcjami  tensora  odkształceń  е 'и  oraz  jego  niezmienników.  Przyrostowy  zwią zek  typu  (3.2),  w który m  wielkoś ci  te zależą  od tensora  naprę ż eń  oraz  jego  niezmienników,  jest  równoważ ny  zwią zkowi  hiposprę ż ystemu.  Rozpatrzmy  obecnie  na  przykładzie  zwią zków  (3.2) warunki,  jakie  muszą  spełniać   zwią zki  przyrostowe,  aby opisywały  one prawo  nieliniowej  sprę ż ystoś ci.  (Są to  warunki  analogiczne  do  warunków  dla hiposprę ż ystoś ci  —  por.  [7]).  Okreś lenie  jednoznacznej  zależ noś ci  o"y — e'tJ  ze  zwią zków  przyrostowych  (3.2) wymaga  założ enia  ich całkowal­ noś ci.  Ponadto,  jeś li  otrzymany  zwią zek  ffy—ey  ma opisywać  sprę ż ystoś ć,  musi  spełniać   warunki  potencjalnoś ci.  R ó w n a n i a  (3.2)  stanowią,  z  uwagi  na niezależ ność  ich  prawych  stron  od  naprę ż eń,  dwie  formy  Pfaffa.  Są  one  zatem  całkowalne  w sposób  zupełny  wtedy,  gdy.toż samoś ciowo  zachodzi  (3.3)  dF  dHij  dHjj  =  dHkl  д е 'и  '  de'kk  de'u  Mi  '  dMim  dNij  dMm  dMiJm„  de'„  д е 'к ,  '  de'mn  de'ki  natomiast  współczynniki  F, Hu,  MiJkl  orazvVy  są odpowiednimi  pochodnymi  czą stkowymi  П 41  F  d ° k k  H  (1  0,  a 2  >  0.  Równanie  konstytutywne  ma  postać   (4.4)  1 1  =  2  \—J'?+J'2l  Zatem  dla  czystego  odkształcenia  postaciowego  (J[  =  0)  nie  wystę pują  naprę ż enia  hydro­ statyczne.  Niemniej,  nieliniowe  moduły  sprę ż ystoś ci  zależą  zarówno  od  odkształceń  posta­ ciowych,  jak  i  obję toś ciowych.  Z  tej  przyczyny  wystę puje  sprzę ż enie  przyrostowych  efek­ tów  izotropowych  i  dewiatorowych  dau  =  3  (4.5)  64  12a2  +  ­3­0(2  J[2+~a2Ą   16 dsij =  ~  а .2А е \^е 'к к  + А а .2  de'a+ \6tx2J[ e'k,de'kt,  de'H. +  J'id )dki  ó,j  Zauważ my,  że  sprzę ż enie  to  dla  szczególnych  stanów  J[  =  0  lub  J'2i  =  0  znika.  Potencjał  (4.3)  jest  wypukły  z  uwagi  na  dodatnią  okreś loność  w  przestrzeni  J[,  J'2i.  O  FIZYCZNIE  NIELINIOWEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  343  b)  Potencjał  złoż ony  z  paraboli  i  koła.  Istotną  t r u d n o ś ć  stanowi  opisanie  materiału  wykazują cego  sprzę ż enie  dewiatorowych  i  izotropowych  czę ś ci  samych  tensorów  <ту, е 'ц .  Wymaga  to  założ enia  niesymetrycznych  wzglę dem  J'2d  postaci  potencjału  w  przestrzeni  J'i  i J'id • Przyję cie  w tym  celu  powierzchni  ekwipotencjalnej,  np.  w formie  obróconej  elipsy  spełniają cej  powyż szy  wymóg,  prowadzi  do  lokalnej  wklę słoś ci  potencjału 2 *,  a  także  do  osobliwoś ci  w stanie  czysto  hydrostatycznym,  wynikają cej  z  niegładkoś ci  potencjału  dla  J'u  =  0. T o  samo  zachodzi  dla potencjałów  typu  cosinusoidy  itp.  (rys.  2a, b).  Trudnoś ci  Rvs.  2  te  moż na  ominąć  postulując  potencjał  złoż ony  z  paraboli  w  czę ś ci  odpowiadają cej  roz­ cią ganiu  oraz  stycznego  do  niej  okrę gu  dla  strefy  ś ciskania.  R ó w n a n i e  potencjału  ma  postać  (rys.  3)  — aJ[  + / 4  (4.6)  fi, 1 ­ a 2  Ą  =  | / « V i a +  ( l ­ a a ) ( / J , + i i i / i a ) ,  Ad'  U-const . a, /3 —  stałe  materiałowe;  m  =  1 dla J[  <  0, m =  0 dla J[  ^  0,  czę ść  kołowa  linii  ekwi­ potencjalnej  (dla rozcią gania)  wyraż ają ca  się dla U =  U0  przez  równanie  U0  = fi[(J[ —  — c)2+J'2d]  =  0  o  promieniu  yU0\fi  i  ś rodku  okrę gu  w  punkcie  J'x  = с =  a]/U0j/3,  2 1  Zachodzi  w ó w c z a s  n i e j e d n o z n a c z n o ś ć  r o z w i ą z a n ia  problemu brzegowego.  P r o w a d z i ć  do tego  m o ż e  m i ę d zy  innymi  p e ł n e  rozwinię cie  wielomianowe  funkcji  potencjału  U  =  U(J[,  Ju)  por. np.  [12],  a  także  19].  344  Т.  HUECKEL  przecina  oś  odcię tych  J[  w  punkcie  J[  =  ­]/  U0/f3  (1 +a);  natomiast  czę ść  paraboliczna  (dla  ś ciskania)  o  równaniu  U0  =  fi[J2d  — 2cJ'1 +c 2],  styczna  do  okrę gu  w  punkcie  J[  =  0  1  a 2 ­ l  przecina  oś J[  w  punkcie  J[  =  —­ ]/ U0/fi  .  R ó w n a n i e  konstytutywne  odpowiadają ce  potencjałowi  (4.6)  daje  a.J[ + 2J[[m + a.2{\­m)]  0_  a"  ~oJ[Ą ±Ji2  1 ­ a 2  '  (4.7)  _  _  2 [ ( l ­ a V 2 d ]  fi  ,  !J  ~  +  ­aĄ Ą ±Ą2  1 ­ a 2  e « ­ Zgodnie  z  założ eniem,  proces  czystych  deformacji  postaciowych  wywołuje  naprę ż enie  hydrostatyczne  o  wielkoś ci  A  =  _ J  oraz  odwrotnie,  stan  czystego  ś cinania  wywołuje  odkształcenia  obję toś ciowe  (rozluź nia­ nie).  Ponadto  materiał  inaczej  zachowuje  się  w  stanie  czystego  ś ciskania  niż  rozcią gania.  Równania  konstytutywne  (4.7),  mimo  że  stowarzyszone  z  dosyć  prostym  potencjałem  (4.6)  (rys.  3),  mają  bardzo  złoż oną  p o s t a ć ;  analityczne  odwrócenie  (ych  zwią zków  jest  skomplikowane.  5.  Wnioski  Wnioski  z  powyż szych  rozważ ań  są  nastę pują ce.  Przystę pując  do  matematycznej  aproksymacji  wyników  doś wiadczalnych  ustalonego  odcią ż enia  sprę ż ystego  wykazują cego  sprzę ż enie  efektów  dewiatorowych  i  izotropowych  należy  postulować  niesymetryczną   formę  potencjału  sprę ż ystego  i  wynikają ce  z  niego  równania  konstytutywne  dopasować   do  krzywych  eksperymentalnych.  Potencjały  dopuszczają ce  sprzę ż enie  prowadzą  do  zło­ ż onych  i trudnych  w interpretacji  i zastosowaniu  równań  konstytutywnych. Prostszą  formę   równań  moż na  uzyskać  wprowadzając  symetryczne  potencjały,  dopuszczają ce  sprzę ż enie  przyrostów,  poza  drogami  J[  =  0  i  J'2i  =  0.  Najprostsze  postacie  równań  konstytuty­ wnych  spełniają ce  warunki  potencjalnoś ci,  nieuwzglę dniają ce  sprzę ż enia,  nie  opisują   niektórych  istotnych  efektów  nieliniowych.  Wydaje  się  więc  celowe  dla  obliczeń  inż ynier­ skich  stosowanie  prostych  w  budowie  zwią zków  fizycznych  o  łatwej  interpretacji  doś wiad­ czalnej  niespełniają cych  w a r u n k ó w  potencjalnoś ci.  Zastrzec  należy  przy  tym dopuszczalny  zakres  ich  waż noś ci  (drogi  radialne  i  do  nich  zbliż one).  W  pracy  [2]  podano  konkretną   postać  takiego  rodzaju  zwią zków  opierając  się  na  wynikach  przeprowadzonych  doś wiad­ czeń  oraz  przedyskutowano  procedurę  wyznaczania funkcji  materiałowych.  Zauważ my,  że  uwagi  odnoś nie  całkowalnoś ci  oraz  potencjalnoś ci  zwią zków  dyskuto­ wanych  w p.  2 i p.  3 odnoszą  się także  do  zwią zków,  w których  wprowadza  się  rozmaitego  rodzaju  uogólnione  nieliniowe moduły  Younga  i zmienne  współczynniki  Poissona  [8 ­ 10].  Autor  wyraża  swoją  wdzię czność  Panu  profesorowi  Z .  M R O Z O W I  za  liczne  uwagi  i  pomoc  przy  opracowaniu  tego  artykułu.  O  FIZYCZNIE  NIELINIOWEJ  SPRĘ Ż YSTOŚ CI  345 Literatura  cytowana  w  t e k ś c ie  1.  Z . M R Ó Z ,  K . KWASZCZYŃ SKA,  Pewne  problemy  brzegowe  dla ciał  rozdrobnionych  o  wzmocnieniu  gę sto­ ś ciowym,  Rozp.  Inż .,  19, 1,  (1971)  15­42.  2.  T . H U E C K E L , A .  DRESCHER,  On dilatational  effects  of  inelastic  granular  media,  Arch.  Mech.  Stos., 27,  1,  (1975)  157 ­ 172.  3.  В . О .  HARDIN,  V . P.  DRNEVICH,  Shear  modulus  and  damping  in  soils,  Proc.  A S C E ,  SM6,  9 8 , (1972)  603  ­ 624.  4.  R. S.  RIVLIN,  Further  remarks  on  stress  deformation  relation  for  isotropic  materials,  J . Rat.  Mech.  Anal.,  4,  (1955)  681 ­ 702.  5.  J . P.  WEIDLER,  P. R.  PASLAY,  Constitutive  relations  for  inelastic  granular  medium,  Proc.  A S C E ,  E M 4,  (1970)  395­406.  6.  G . Y .  BALADI,  The  latest  development  in the non­linear  elastic­nonideally  plastic  work  hardening  cap  model,  Proc.  Symp.  Plasticity  Soil  Mechanics,  E d . A .  Palmer,  Cambridge  1973,  51 ­ 55.  7.  B . BERNSTEIN,  Hypoelasticity  and  elasticity,  Arch.  Rat.  Mech.  A n . ,  6,  89  (1960).  8.  A .  VERRUIJT,  Non­linear  analysis  of  stresses  and  strains  on  soils,  Prog.  Rep., 1,  (1972),  Univ.  Delft.  9.  J . M . D U N C A N ,  C h . Y .  C H A N G ,  Nonlinear  analysis  of  stress and strain  in soils,  Proc.  A S C E ,  SM5, (1970)  1629­  1653.  10.  L . DOMASCHUK,  N . H . W A D E , A study  of  bulk  and shear  moduli  of  a sand,  Proc.  A S C E ,  SM2,  9 5 , (1969)  561 ­ 581.  U .  T . H U E C K E L , Plastic  flow  of  granular  and rocklike  materials  with  variable  elasticity  moduli,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci., Serie  Sci. Tech.,  2 3 , (1975).  12.  M . D .  EVANS  and R . I .  COON,  Recoverable  deformation  of  cohesion/ess  soils,  Proc.  A S C E ,  SM2, 97,  (1971)  375 ­391.  Р е з ю ме   К  В О П Р О СУ  О Б О П И С А Н ИИ  Ф И З И Ч Е С КИ  Н Е Л И Н Е Й Н ОЙ  У П Р У Г О С ТИ   С Ы П У Ч ИХ  М А Т Е Р И А Л ОВ   В  р а б о те  п р и в е д е ны  р а з л и ч н ые  в а р и а н ты  ф и з и ч е с к их  у р а в н е н и й,  к о т о р ые  м о г ут  б ы ть  и с п о л ь­ з о в а ны  д ля о п и с а н ия  с в о й с тв  с ы п у ч их  м а т е р и а л о в.  S u m m a r y  O N  T H E  D E S C R I P T I O N  O F N O N ­ L I N E A R  E L A S T I C I T Y  O F G R A N U L A R  M E D I A  Various  physical  laws are proposed in the paper aimed at the application  to the description of  granular  materials.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I P A N  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  4  czerwcu  1975 r.