Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  14 (1976)  N I E L I N I O W E  D R G A N I A  E L A S T Y C Z N I E  P O S A D O W I O N Y C H  S I L N I K Ó W  T Ł O K O W Y C H  P R Z Y  S Z E R O K O P A S M O W Y C H  W Y M U S Z E N I A C H  S T O C H A S T Y C Z N Y C H  J A N U S Z  K O L E N D A  ( G D A Ń S K)  1.  Wstęp  Rozpatrywane  w pracy  [1]  r ó w n a n i a  ruchu,  opisują ce  nieliniowe drgania  elastycznie  posadowionych  silników  tłokowych  z  uwzglę dnieniem  zmiennoś ci  prę dkoś ci  ką towej,  oparte  są  na  zdeterminowanym  modelu  mechanicznym,  stanowią cym  pewną  idealizację   realnego  układu  drgają cego.  W  rzeczywistych  warunkach  eksploatacyjnych  mogą  wystę­ pować  zewnę trzne  wymuszenia  stochastyczne,  jak  również  parametry  u k ł a d u  mogą  mieć   charakter  losowy.  W  szczególnoś ci  probabilistycznego  uję cia  wymagają  geometryczne  i  fizyczne  parametry  u k ł a d u  oraz  wymuszenia,  zakłócenia,  obcią ż enia,  uszkodzenia  i  pro­ cesy  zuż ycia  [2]. W odniesieniu  do elastycznie  posadowionych  silników  tłokowych  istotne  mogą  okazać  się m.in.  losowe  zmiany  w a r u n k ó w  spalania  w  cylindrach,  tarcia,  smaro­ wania,  chłodzenia  i  zuż ycia,  momentu  oporowego  odbiornika  mocy,  charakterystyk  pod­ kładek  elastycznych,  a  także  przypadkowe  ruchy  fundamentów  silników  zainstalowanych  na  ś rodkach  transportu.  Uwzglę dnienie  procesów  stochastycznych  wymaga  traktowania  drgań  silników  jako  losowej  funkcji  czasu,  której  charakterystyki  należy  wyznaczyć  na  podstawie  znanych  charakterystyk  statystycznych  procesów  wejś ciowych.  Należ ałoby  przy  tym  brać  pod  uwagę  łą czny  probabilistyczny  opis  w a r u n k ó w  zewnę trznych,  procesu  eksploatacji,  para­ metrów  konstrukcyjnych  i  wytrzymałoś ciowych,  w a r u n k ó w  spalania,  tarcia  etc,  gdyż   w  ogólnym  przypadku  nie są  one  niezależ ne.  N a obecnym  etapie  b a d a ń  i  rozwoju  teorii  tłokowych  silników  spalinowych  nie  dysponuje  się  takim  opisem.  Poniż ej  ograniczono  się  do  rozpatrzenia  d r g a ń  elastycznie  posadowionych  silników  tłokowych  przy  losowych  wymuszeniach,  stanowią cych  szerokopasmowe  procesy  stochastyczne.  2.  Równania  ruchu  Wykorzystując  r ó w n a n i a  (4.1)  wyprowadzone  w  pracy  [1],  opisują ce  drgania  wielo­ cylindrowych  silników  rzę dowych  o  sześ ciu  stopniach  swobody  w  stanach  ustalonych  i  bliskich  ustalonym,  m o ż na  przy  wymuszeniach  stochastycznych  napisać  równania  ruchu  w  ogólnej  postaci  mu+cxu­U,y+Uzie  =  e f / * ! + ó i ( o ] ,  nw+cyv­Vta.+Vxy  =  e[P2 +  d3(t)],  mw + czw­Wxp+Wya.  =  e[P3 +  ó3(t)],  (2.1)  Ix'i+cxxa­Vzv+Wyw­cxxy­c„p­crT{(a0)  =  e[PĄ+d4(t)],  Iy"p + cyyp­Wxw+Uzu­cxya­cyzy  =  e[P5 +  ó5(t)],  Izy  + czzy­Uyu+Vxv­cyzlS­czxo:  =  e[P6 +  d6(t)],  г ф =  e [ P 7 + a 7 ( 0 ] ,  372  J .  KOLENDA  gdzie:  Pj  =  Rj+m^Fj),  +mp2(Fj)2+m0Qj,  j  = 1 , 2 ,  7,  R1  =  RtfK  Przyję to,  że  <5Д г)  (/  =  1 , 2 , . . . , 7 )  stanowią  szerokopasmowe  procesy  stochastyczne  o  znanych  charakterystykach  statystycznych,  których  realizacje  przyjmują  małe  wartoś ci,  a  czasy  korelacji  ( т / ) к ог  są  krótsze  od  czasu  relaksacji  procesu  wyjś ciowego,  tj.  spełniają   warunek  (2­2)  ( т , . )к ог  J  jest  najmniejsza,  gdyż  drgania  z innymi  czę stoś ciami  własnymi  na  skutek  tłumienia  bą dź   wygasną,  bą dź  mogą  nie być rozpatrywane  w pierwszym  przybliż eniu  [3]. Jeś li  taką  czę­ stoś cią  jest  A,„, podobnie  jak  w  pracy  [1]  przekształca  się  równania  (2.1)  do  postaci  в   (2.3)  qm  + Pmqm  = ~ ­  V Ф № + Л О ],  m  .  '",  j=\  (2.4)  £ =  у [Л  + <37(0],  gdzie  wielkoś ci  M,„ i Ф }т ) okreś lone  zostały  w pracy [1].  Przy  braku  wymuszeń  stochastycznych  drgania  układu  opisane  są  zależ noś ciami  (7.5)  u =  u0 + g l ,  v  =  V0  +  Q2,  у  =  У о +  в ь ,  gdzie  i>j(t) =  Ф(упЧ т(0.  "o, »o> • • •> У о oznaczają  stałe  składniki  wywołane  stałą  składową   momentu  reakcyjnego  crT(to0)  w  równaniach  (2.1),  a  qm{t)  jest  rozwią zaniem  równań   (2.3)  i (2.4)  przy  ó}(0  s  0.  Rozwią zanie  równań  (2.3) i (2.4)  przy  braku  wymuszeń  stochastycznych  przedstawiono  w pracy  [1]. Poniż ej  rozpatrzono  zagadnienie  wyznaczenia q„,(t)  przy  wystę powaniu  w  rów­ naniach  (2.3)  i (2.4)  wymuszeń  dj(t).  3.  Rozwią zanie  równań  ruchu  D o  rozwią zania  równań  (2.3) i  (2.4) przy  spełnionych  warunkach  (2.2) m o ż na  zasto­ sować  matematyczny  aparat  procesów  Markowa  i równań  kinetycznych Fokkera­Plancka­ K o ł m o g o r o w a  ( F ­ P ­ K )  [4, 5]. W tym celu  stosuje  się zamianę  zmiennych  okreś loną  wzo­ rami  q„,  =  Acos(  i co w postaci  A  =  AX +  EU(Ax,y>X,0Jx,cpx),  (3.3)  y, =  f x  +  eV(Ax,y>x,cox,cpx),  co =  COX + EW(Ax,  y>x, x,  cox  oznaczają  wolnozmienne  składowe,  * =  EYXR(A X,W X,COX),  wx  =  EZXR{A x,fx,cox).  MM  A„,  j=  i  У  0jm)PjSin(pjCos(cp + y>),  6  6 1  MMAXM  I =  1  ^0jm>dj(t)cos(cp  + y>),  374  J .  K OLENDA  D l a  uzyskania  rozwią zań  z  uwzglę dnieniem  członów  drugiego  rzę du  małoś ci  należy  wydzielić  w  funkcjach  U,  V,  W  i X%,  Yx,  Z\\  człony  pierwszego  i drugiego  rzę du  małoś ci:  U  =  UMX,  Vх,  ы \    x,  co*).  D l a  analizowanego  układu  otrzymuje  się   (3.6)  "  "o  7=1  2JT  6  o  /=1  2N  o  1  Y ~ i  1  ui  =  x  >  (с, p  s i n / V ' ­ 6, p cos/>?>*),  K l  =  ar*  У ]  —  (C2psmp x),  p  1  v n  1  Wi  =  — r  V—  ( c 3 p S i n / 7 ^ ­ A j p c o s / 7 ?; X ) ,   Z'  2 л   Г  R 3  0  2 я   1  2тг  .  2 л   I  +  W, ~ *  (Л *, ^ , «Л  с /) +  W c l  °Ą ­  (Ах,  W x ,  с о *,  cp*)  Vi  {Ах,  г рх,  с о *, <рх) +  К , Ц ±  (Ах,  W x ,  с о *, <рх) +  +  W x  Д ­̂  (А х,  W x ,  с о *, <рх)+  Wcl   др ­  (Ах,  tp*, с о *, f x)\  dcp*,  д ш  cip  J  2 ­ f  [Ul ~dlt(A*' W*' °jX' ^  +  Vl  'W  {A*' V'  ^  +  +  Wx   8 ^  (Ax,  rp*,  с о *, cpx)+Wcl  (A x,  rpx,  с о *,  cp^dcp*,  N IELINIOWE  DRGANI A  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  375  gdzie  2 л  6  m  m  0  y=l  г ­ y ­  J  ^  Ф )ЩР ]  ń n(cpx  + fx)  cosp x  +  4>x)smpcpxdcpx,  Щ  m  0  7=1  2 л  6  I  V * 0fjn>Picos(c> x  +  y)x)cospcpxd * ,  ш *,  с ? *)  =  ­  j­^y  \  y2  (bipsinpcp x  +  c3pcosp

х),  1 m'-ni , 7=1  cbx  =  e Z ^ + e 2 Z | 2  +  7 ( 5 7 ( / ) .  W  rуwnaniach  (3.7) pominiemy  „znaczki  X" i napiszemy je w postaci  A  = eF(A, tp, co,  cp,  ój,  e),  j  =  1, 2,  6,  (3.8)  ip = eG(A,  y>,  co, ,co)  =  ­ —  00  —co  —  00 '  l  — 0 0  —  00  — 0 0  \  ­  f * \ w Ą * +*  /Ч *М4  T  +  и<я> +  +  dA:  [   J  K{F,  FT}drw]  + e 2 ^  [ f  K{G,  Gr}drw]  i 2  d/ł им  [ ( * { F ,  HZ}  + K{H,  FT})drĄ  + e 2  [   J  (tf  {G,  tfr}  +  —  00  +*{#,],  gdzie  <  >  oznacza  wartość  oczekiwaną,  a  K{  } —  funkcję  korelacyjną  (bą dź  funkcję   korelacji  wzajemnej).  Przy  wyliczaniu  poszczególnych  składników  r ó w n a n i a  (3.9)  przyję to,  że  dj(t)  są  nie­ skorelowanymi  procesami  o  wartoś ciach  oczekiwanych  równych  zeru.  Przy  wyznacza­ niu  wartoś ci  oczekiwanych  ,  ,  <#>  odrzucono  składniki  wibracyjne  z  czę ś ci  fluktu­ acyjnych.  W  wyniku  otrzymano  б   я   i Г  „ 2 _  (З Л О)  w(A,yi,co)  =  д А   -II dtp  (I  eYR1+e 2YR2  +  Ш  т  7=1  2А2М2Х2т   в   £ 2 т г  V 1 ^ , . , , ^ , ^  ч S2w  е2п  _  , ,  л ч  3 2 w  7=1  NIELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  377  gdzie  Sj(6j,  co)  =  1  2т7  j  <6j,djr> coscorclr  — widmowa gę stość  procesu  dj{t).  S7(<57,0)  =  —^­  f  olT}dr,  Rj(dj,co)=  j  (dj,  dj^sincorcir.  —  00  —  00  Rozwią zanie  r ó w n a n i a  (3.10)  wymaga  zastosowania  maszyn  cyfrowych.  D l a  stanu  ustalonego  przy  <57(r)  =• 0  celowe  może  być  wyznaczenie  stacjonarnej  funkcji  gę stoś ci  w(A,  tp), k t у r a  spełnia  rуwnanie  (3.11)  0  =  д   TA  dip  eYRl+s 2YR2  +  2A2M2Pm  co)  +  тс  у   2M2  X2  Z­i  [ 0 m ( d J , c o ) i ^ r +  '  '  BA2  A2  dtp2  w.  Funkcja  w(A,  tp) powinna  spełniać  warunki  P  •  w(A,  ­ т с)  =  w(A,  т с)  =  0,  w(— co, y)  =  w(co, y»)  =  0.  Rozwią zań  rуwnania  (3.11)  spełniają cych  warunki  (3.12)  poszukiwać  moż na  w  postaci  00  (3.13)  w(A,tp)  =  ^Wl(A)cosll  + j)tp,  /  =  0 , 1 , 2 , . . . .  Po podstawieniu (3.13)  do  rуwnania  (3.11),  pomnoż eniu  obu jego stron  przez cos |s +  —j  tp,  s  =  0,  1 , 2 , . . . ,  i  scałkowaniu  po  tp w  przedziale  [ — т с, т с ],  otrzymuje  się  układ  złoż ony  z  nieskoń czonej  liczby  rуwnań  rуż niczkowych  zwyczajnych o  postaci  (3.14)  ^+Rls(A)^­+R2s(A)ws  =  0,  s  =  0,  1,2,  . . . .  D l a  takich  rуwnań  i  funkcji  gę stoś ci  (3.13)  podano  w  pracy  [6]  nastę pują ce  rozwią­ zanie:  (3.15)  w(A,y>)  =  е х р ( ­ Л2 ) ^  ^  l + 2 A s ( 2 A 2 ­ l )  J 0  тс у  2т с "(1+2A  ­ c o s  ls+  y l  V.  378  J .  K OLENDA  gdzie  ­ 2B1  2 s  + B20s  + 6B2  2 s  + 4 8 f i 2 4 s  +  1  v  2(6Blls­4B12s  + 72Bl3s  + 5B20s  + l2B22s­l44B24s)  '  00  Blns=  f  cxp(­A 2)Ru(A)Hn(A)dA,  —  00  oo  B2ns=  J  exp(­A 2)R2s(A)H„(A)dA,  ­  00  a  H„{A)  są  wielomianami  Hermite'a  H„(A)  =  (­\)"cxp(A2)^[cxp(~A2)].  Znajomość  funkcji  gę stoś ci  w(A,ip)  pozwala  wyznaczyć  wartoś ci  oczekiwane  <Л>  i  .  Wartość  prę dkoś ci  ką towej  silnika  co w  stanie  ustalonym  przy  dy(t)  =  0  okreś lona  jest  równaniem  (3.16)  е Я « Я >,  >,  co, e)  =  eZ^(>, a>) + F2Zx2«.A>,  <^>, co)  =  0.  Funkcje  Z R 1  i  Z K 2  nie  zawierają  składników  wibracyjnych,  stąd  zgodnie  z  postacią  funkcji  Pn  [1]  stały  składnik  dodatkowego  momentu  oporowego  na  wale  silnika  (wywołanego  drganiami  silnika  przy  d7(t)  s  0)  wynosi  (3.17)  (AM)0  =  crT(m)­B(co)­hco­elZ^((A\  , a, )-e 2IZ*2((A},  (у ),  co),  gdzie  с  oznacza  liczbę  wykorbień  wału  korbowego,  r —  długość  ramienia  korby,  T(co)  —  ś rednią  wartość  siły  gazowej  działają cej  prostopadle  do  jednego  wykorbienia  na  promieniu  r,  B(u>) —  ś rednią  wartość  momentu  oporowego  odbiornika  mocy,  h  —  współczynnik  wiskotycznego  tłumienia  przy  obracaniu  wału  silnika.  Wynikają ca  stąd  strata  mocy  jest  r ó w n a  (3.18)  (AN)o  =  (AM)0co.  Wartość  ta  może  róż nić  się  od  wartoś ci  straty  mocy  w  przypadku  braku  wymuszeń  sto­ chastycznych,  odpowiadają cej  rozwią zaniom  r ó w n a ń  (3.4)  z  uwzglę dnieniem  zależ noś ci  (3.5)  i  (3.6).  Przykładowo,  dla  dwucylindrowego  silnika  w  układzie  V,  wykonują cego  drgania  pionowe,  r ó w n a n i a  (3.4)  mają,  z  pominię ciem  członów  drugiego  rzę du  małoś ci,  postać   Ax  =  ­  ­^^[AxbL  + (2mpcos 2ó  +  m0)r(co x)2smy)x],  Zmb  • X  \u  x  2mpcos 2d  + m0  x . 2  J  V  =  e\b­cox  2Axmb  r(w)cosV>  >  c'ox  =   —  | Vr(a>*) ­  B(wx)  ­  hcox +  ^  (2mDcos 2d  +  m0)A xbrwxsmy)x^,  gdzie  m  oznacza  masę  układu  drgają cego,  mp  =  mpl  =  mp2  — n i e w y r ó w n o w a ż o ną  masę   w  ruchu  postę powo­ż wrotnym,  odpowiadają cą  jednemu  cylindrowi  i  skupioną  na  osi  sworznia  tłokowego,  m0  —  wirują cą  masę  niewyrównoważ oną,  odpowiadają cą  jednemu  N I E L I N I O W E  D R G A N I A  SILNIKÓW  T Ł O K O W Y C H  379  wykorbieniu  i  skupioną  na  osi  czopa  korbowego,  b — czę stość  drgań  własnych  u k ł a d u  w  kierunku  pionowym,  l,  — współczynnik  wiskotycznego  tłumienia  układu  amortyzacji  przy  pionowych  drganiach  silnika,  д — połowę  ką ta  pomię dzy  osiami  dwóch  cylindrów.  D l a  stanów  ustalonych  równania  te  mają  rozwią zania  pokrywają ce  się z  rozwią zaniami,  jakie  uzyskuje  się  metodą  uś redniania  [7] w pierwszym  przybliż eniu  x  _  (2m„ cos 2 6 + m0)  r(m x)2  x  _  l  ~  ~ / =  /  i  \2'  g V  ~2m(cox­b)'  Imb}/(b­a>x)2+[—ly)  gdzie  prę dkość  ką towa  silnika  cox  okreś lona  jest  równaniem  rT(ojx)­Bfcox)­hcox  + ~  (2mpcos 2ó  + m0)A xbrcoxs\nyix  =  0,  tzn.  stały  składnik  dodatkowego  momentu  oporowego  wyraża  się  zależ noś cią   (AM)0  =  ­  ­  (2mpcos 2д  +  m0)A xbmxń nipx'.  Równanie  (3.17)  ma  w  przypadku  pionowych  drgań  dwucylindrowego  silnika  w  ukła­ dzie  К postać   (AM)o  =  — —  (2mpcos 2d  +  m0KA)bra)sin(y)),  co  oznacza,  że  strata  mocy  {AN)0  przy  wymuszeniach  stochastycznych  bę dzie  róż nić  się   od  straty  mocy  przy  braku  wymuszeń  stochastycznych,  gdy    Ф  Axń n%px.  R ó w n a n i a  (2.3)  nie  posiadają  rozwią zania  zerowego  i  stateczność  ruchu  m o ż na  b a d a ć   w  tym  sensie,  czy  trajektorie  rozwią zań  przebiegają  w pewnych  obszarach  ograniczonych.  W  tym  przypadku  celowe  jest  zbadanie  statecznoś ci  technicznej  [8].  Zależ ność  (3.15)  pozwala  wyznaczyć  warunek,  aby  rozwią zania  A  i y>  dla  ó7(t)  =  0  pozostawały  wewną trz  domknię tego  ograniczonego  obszaru  E{A  <  Ay,  \y>\  <  A2},  gdy  wartoś ci  począ tkowe  A  i xp  należą  do  otwartego  ograniczonego  obszaru  e  <=  E,  a  dj(t)  są  procesami  ograniczo­ nymi,  tj.  ||<5,(/)||  <  A,  A  >  0, j  =  1,2,  . . . , 6 .  Techniczna  stateczność  wzglę dem  obsza­ rów  E,  e  i  procesów  ój(t)  dla  ustalonego  e 0 ( l  >   e o  >  0) jest  zapewniona,  gdy  prawdopo­ dobień stwo p[(A,  y>)  e  E]  spełnia  nierówność   p[(A,y>) eE]^  l ­ e 0 ,  czyli  (3.19)  J  j  w(A,y>)dAdy> £  l ­ e 0 .  380  J .  K OLENDA  4.  Uwagi  koń cowe  Funkcje  (Fj)u2  0=  1 , 2 , . . . ,  7)  w  równaniach  (2.1) dotyczą  silników  z  cylindrami  w  układzie  V i łatwo  moż na  z nich  uzyskać  odpowiednie  funkcje  dla silników o  pionowym  układzie  cylindrów  lub dla silników  typu  bokser  [1]. R ó w n a n i a  ruchu  silników  innych  typów  przy  szerokopasmowych  wymuszeniach  stochastycznych  mogą  być  rozpatrywane  analogicznie,  przy  czym  zastosowana  w niniejszej  pracy  metoda  nie nakłada  ograniczeń   na  intensywność  fluktuacji  [5].  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  J . K OLENDA, Nieliniowe  drgania elastycznie posadowionych  silników  tłokowych  z cylindrami w układzie  V,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  4,  13  (1975).  2.  S.  Z I EMBA,  Problemy teorii konstrukcji maszyn, Zag. D r g a ń  Nieliniowych,  9  (1968).  3.  IO. А .  М И Т Р О П О Л Ь С К И Й,  Н е с т а ц и о н а р н ы е  п р о ц е с с ы  в  н е л и н е й н ы х  к о л е б а т е л ь н ы х  с и с т е м а х .  И з д.  А Н  У С С Р,  К и ев 1955.  4.  В.  S KALMI ERSKI , A . T YLI KOWSKI , Metody stochastyczne  w mechanice,  Wyd. Politechniki  Ś lą skiej, Gliwice  1971.  5.  Р . Л .  С Т Р А Т О Н О В И Ч,  И з б р а н н ы е  в о п р о с ы  т е о р и и  ф л у к т у а ц и и  в  р а д и о т е х н и к е ,  И з д.  С о в.  Р а д и о,  М о с к ва 1 9 6 1 .  6.  Т . А .  Т И Б И Л О В,  А с и м п т о т и ч е с к и е  м е т о д ы  и с с л е д о в а н и я  к о л е б а н и й  п о д в и ж н о г о  с о с т а в а ,  Т р у ды   Р о с т о в с к о г о ­ н а ­ Д о ну  И н с т и т у та  Ж е л.  Т р а н с п о р т а,  в ы п. 7 8 ,  И з д.  Т р а н с п о р т,  М о с к ва 1970.  7.  Ю . А .  М И Т Р О П О Л Ь С К И Й,  М е т о д  у с р е д н е н и я  в  н е л и н е й н о й  м е х а н и к е ,  Т р у ды  V  М е ж д у н а р.  К о н ф.  п о  Н е л и н е й н ым  К о л е б а н и я м,  т.  I,  И з д. И н с т.  М а т. А Н У С С Р,  К и ев  1970.  8.  W.  B OGUSZ,   Statecznoś ć  techniczna, P W N , Warszawa  1972.  Р е з ю ме   Н Е Л И Н Е Й Н ЫЕ  К О Л Е Б А Н ИЯ  А М О Р Т И З И Р О В А Н Н ЫХ  П О Р Ш Н Е В ЫХ   Д В И Г А Т Е Л ЕЙ  П РИ Ш И Р О К О П О Л О С Н ЫХ  С Т О Х А С Т И Ч Е С К ИХ  В О З М У Щ Е Н И ЯХ   В  р а б о те  р а с с м а т р и в а ю т ся  о д н о ч а с т о т н ые  к о л е б а н ия  а м о р т и з и р о в а н н ых  п о р ш н е в ых  д в и г а т е л ей   с  ш е с т ью  с т е п е н я ми  с в о б о ды  п ри  с л у ч а й н ых  в о з м у щ е н и я х,  я в л я ю щ и х ся  ш и р о к о п о л о с н ы м и, н е­ к о р р е л и р о в а н н ы ми  с т о х а с т и ч е с к и ми  п р о ц е с с а м и,  к о т о р ых  м а т е м а т и ч е с к ое  о ж и д а н ие  р а в но  н у л ю.  У г л о в ая  с к о р о с ть  д в и г а т е ля  с ч и т а е т ся  п е р е м е н н ой  в е л и ч и н о й.  Ф о р м у л и р у е т ся  у р а в н е н ие  Ф о к­ к е р а ­ П л а н к а ­ К о л м о г о р о ва  д ля  т р е х м е р н ой  п л о т н о с ти  в е р о я т н о с ти  а м п л и т у ды  к о л е б а н и й,  ф а з о в о го   у г ла  и  у г л о в ой  с к о р о с ти  д в и г а т е л я.  П р и в о д и т ся  р е ш е н ие  д ля д в у х м е р н о й,  с т а ц и о н а р н ой  п л о т н о­ с ти  а м п л и т у ды  и  ф а з о в о го  у г ла  к о л е б а н ий  а  т а к же  у с л о в ие  т е х н и ч е с к ой  у с т о й ч и в о с ти  р а с с м а т р и­ в а е м ой  с и с т е м ы.  S u m m a r y  N O N L I N E A R  V I B R A T I O N S  O F  E L A S T I C A L L Y  M O U N T E D  P I S T O N  E N G I N E S  A T  W I D E ­ B A N D  S T O C H A S T I C  E X C I T A T I O N S  The  paper  deals  with  one­frequency  vibrations  of  elastically  mounted  multi­cylinder  piston  engines  of  six degrees of freedom subjected  to random excitations being wide­band non­corclated stochastic processes  with expscted values equal to zero.  Rotating speed of an engine is treated as a variable. The Fokker­Planck­ N IELINIOWE  DRGANIA  SILNIKÓW  TŁOKOWYCH  38)  Kolmogorov  equation  for  the  three­dimensional  probability density  of  a vibration amplitude, phase  angle  and  rotating  speed  is  formulated.  The  solution  for  the  two­dimensional  stationary  probability  density  of  a  vibration  amplitude  and  phase  angle  as  well  as  the  condition  of  technical  stability  of  the  analysed  system  are  given.  I NST YT UT  OKRĘ T OWY  POLI T ECHNI KI  GDAŃ SKI EJ  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  11  wrześ nia  1975  r.  4  Mechanika  teoretyczna