Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  14  (1976)  O  PEWNEJ  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  W  PROCESIE  PLASTYCZNEGO  Ś CISKANIA  PRÓBKI  WALCOWEJ  Z D Z I S Ł A W  M A L I N O W S K I  ( W A R S Z A W A )  1.  W s t ę p  Jednym  z  waż niejszych  czynników  wystę pują cych  w  procesie  plastycznego  ś ciskania  p r ó b k i  walcowej  jest  tarcie  na  powierzchniach  pomię dzy  p r ó b k ą  i  stemplami.  Analizie  wpływu  tarcia  na  przebieg  i  wyniki  p r ó b y  ś ciskania  zostało  poś wię conych  szereg  prac.  Klasyczną  pozycją  w  tej  dziedzinie jest  praca  [5], w  której  zakładając  pewne  uproszczenia  otrzymuje  się, poprzez  całkowanie  równania  równowagi,  nastę pują cą  zależ ność  na  ś rednie  naprę ż enie  osiowe  az:  (O  crz  =  o0  —j  (e'­a­l),  h  gdzie  a 0  jest  aktualnym  naprę ż eniem  plastycznego  płynię cia  przy  ś ciskaniu,  [л  oznacza  współczynnik  tarcia,  h  stanowi  bież ą cą  wysokość  krą ż ka,  a jest  bież ą cym  maksymalnym  promieniem.  Równanie  (1)  przekształcone  do  postaci  ( 2 )  *~*№ ­tf»['­±­Sr­iy  ­ Й & Р ­.  gdzie  ho  i  d0  oznaczają  począ tkową  wysokość  i  ś rednicę  p r ó b k i ,  s0  =  в  =  — т —  " О  « о   jest aktualnym  odkształceniem  p r ó b k i  — może  zostać  wykorzystane  do  okreś lenia  współ­ czynnika  tarcia  ц  na  podstawie  doś wiadczalnie  wyznaczonej  zależ noś ci  az(s0,  «)• Tą  meto­ dą  obliczono numerycznie  «• dla próbek  aluminiowych  i miedzianych w pracy  [2].  Wartoś ci  o"o(e)  m o ż na  w  tym  przypadku  wyznaczyć  poprzez  ekstrapolację  przyjmują c,  że  a0  =  =  Ozfao,   e)s0­*a>,  sposób  ten  został  pierwotnie  zaproponowany  w  pracy  [1].  W  pracach  [4] i  [6] przeprowadzono  bardziej  szczegółową  dyskusję  problemu  wykazu­ ją c,  że  zależ ność  (1) jest  słuszna  jedynie  wówczas,  gdy  współczynnik  tarcia  /и , przy  danej  wartoś ci  a/h  nie  przekracza  pewnej  wartoś ci  krytycznej  ftk,  którą  wyznacza  się z  warunku  /i\  a  1  ,  l  (3)  _  <  _ —  l n h  2/ л к  \  2fxk  G d y  warunek  (3)  nie  jest  spełniony,  wówczas  w  pewnej  strefie  na  powierzchni  p r ó b k i  obserwuje  się  tarcie  sczepne  i  wzajemny  poś lizg  materiału  p r ó b k i  wzglę dem  ś ciskają cej  płyty  nie zachodzi.  W  dotychczasowej  teoretycznej  analizie  zagadnienia  opierano  się  głównie  na  zależ no­ ś ciach  otrzymanych  poprzez  całkowanie  równania  równowagi.  W  obecnej  pracy  przedsta­ wiono  odmienną  metodę  pozwalają cą  uwzglę dnić  tarcie  w  procesie  plastycznego  ś ciskania  p r ó b k i  walcowej.  348 Z . MALINOWSKI  2.  O g ó l n e  sformułowanie  metody  Okazuje  się, że  korzystając  z  równania  bilansu  pracy  m o ż na  również  otrzymać  odpo­ wiednie zależ noś ci  opisują ce  proces  ś ciskania  p r ó b k i  z uwzglę dnieniem  tarcia.  Pole  podwój­ nie  zakreskowane  na  rys.  1 przedstawia  dodatkową  pracę  na  j e d n o s t k ę  obję toś ci  p r ó b k i ,  Rys.  1.  W p ł y w  tarcia  na  powierzchniach kontaktu  na  krzywą  umocnienia  o d p o w i a d a j ą cą  procesowi  ś c i s k a n ia  próbki  walcowej  wykonaną  dla  pokonania  o p o r ó w  spowodowanych  tarciem  podczas  ś ciskania  próbki  od  odkształcenia  ea  do  eb.  Praca  tarcia  ET  dla  całej  próbki  wynosi:  ET  =  ETVV,  gdzie  ETV  oznacza  ś rednią  pracę  tarcia  na  jednostkę  obję toś ci  p r ó b k i ,  V jest  obję toś cią   próbki.  Ogólnie  biorąc  ET  moż na  podzielić  na  dwie  czę ś ci  (4)  ET  =  ETP+W.  W  równaniu  (4)  ETP  oznacza  pracę  tarcia  na  powierzchniach  pomię dzy  p r ó b k ą  i  stempla­ mi,  natomiast  W  jest  pracą  zwią zaną  z  powodowaniem  przez  tarcie  niejednorodnego  stanu  odkształcenia  i  naprę ż enia  w  próbce.  Dzieląc  równanie  (4)  stronami  przez  V(eb  — ea)  przy  założ eniu, że wielkość Ae  =  eb — ea  nie jest  duż a,  moż na je  wyrazić  poprzez  naprę ż enia  w  formie  (5)  aT  =  oTP  +  o{W).  Równanie  (5)  może  być zilustrowane  w  sposób  pokazany  na  rys.  2,  gdzie  aT  =  AC,  aTP  =  AB,  a(W)  =  В С .  Ponieważ  oddziaływanie  sił  tarcia  powierzchniowego  na  rozkłady  naprę ż eń  i  od­ kształceń  wewną trz  p r ó b k i  zależy  od  jej  smukłoś ci  s0,  zatem  również  wartość  naprę ż eń   o­( W)  bę dzie  zależ eć  od  s0.  Przy  założ eniu  jednorodnego  stanu  odkształcenia  w  próbce  podczas  procesu  ś ciskania  m o ż na  przyją ć,  że  W  =  0  i  cała  dodatkowa  praca  spowodowa­ na  tarciem jest  dysypowana  na  powierzchni p r ó b k i ,  a  więc  Uwzglę dniając  powyż sze  założ enie  m o ż na  dla  p r ó b k i  ś ciskanej  w  przedziale  odkształ­ cenia  od  Ea  do  eb  napisać  nastę pują ce  równanie  bilansu  pracy:  (6)  P­ET  =  F,  O  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  349  (7)  gdzie  F  =  FVV  (rys.  1) jest  pracą  potrzebną  do  odkształcenia  p r ó b k i ,  jeś li  nie  wystę puje  tarcie.  R ó w n a n i e  to  wyraża  równość  pracy  wykonanej  przez  siły  zewnę trzne  i  wewnę trzne.  Zgodnie  z  rys.  1 wielkoś ci  P  i  F  m o ż na  wyrazić  nastę pują co:  P  =  asV(eb­ea),  F  =  a0V(sb­ea).  os  o0  Rys.  2.  Z a l e ż n o ść  ez(s0)  dla  Ł  =  const.  Linia  przerywana  ilustruje  dyskutowany  w  pracy  przy­ padek  z  niejednorodnym  stanem  o d k s z t a ł c e n i a  w e w n ą t rz  próbki  A  , 3 ^  _  С   so  Son  Podstawiając  zależ noś ci  (7)  do  równania  (6)  oraz  dzieląc  stronami  przez  V(eb  — ea)  otrzy­ muje  się   ET  (8)  o­5  =  0­0  +  V(eb­ea)  Z a  pomocą  u k ł ad u  równań  typu  (8)  m o ż na  okreś lać  wartość  a0.  Również  po  wypro­ wadzeniu  odpowiedniej  zależ noś ci  na  ET  równanie  to  może  zostać wykorzystane  do  analizy  wpływu  tarcia  na  powierzchniach  kontaktu  w  procesie  ś ciskania  próbki  walcowej.  3.  Wyznaczanie  wartoś ci  o0  Dysponując  doś wiadczalnie  wyznaczoną  krzywą  a(s0)e  =const  moż emy  napisać  n  rów­ nań  typu  (8)  dla  n  wybranych  wartoś ci  s0.  Ogólna  postać  takiego  układ u  bę dzie  nastę­ pują ca:  ET1 o­i  =  o­0  +  (9)  ór„­i  =  0­0 +  Vi  (еь­еаУ   ETN­1  У „­Л еь­ча)  '  n ­ l  3  в я  =  ao+vjeT­~h)~(n^r)  Z  Ir  te)Е т Г'  aa  w  ostatnim  r ó w n a n i u  oznacza  maksymalny  promień  próbki  przy  odkształceniu  ea.  Niewiadomymi  wielkoś ciami  są  a0,  E T 1  ...  E R „ ­ T .  W  celu  umoż liwienia  jednoznacznego  rozwią zania  u k ł ad u  ostatnie  równanie  posiada  inną  konstrukcję  niż  pozostałe  równania.  Wartość  ET„  jest  wyraż ona  przez  znane  wielkoś ci  ax  ...  cn  oraz  niewiadome  E*TI  • • •   N a  podstawie  wyprowadzonej  w  dalszej  czę ś ci  pracy  zależ noś ci  na  ET  m o ż na  stwierdzić,  2  Mechanika  teoretyczna  350  Z .  MALINOWSKI  że  taki  sposób  obliczania  ETn  jest  poprawny  przy  założ eniu,  że  wartość  współczynnika  tarcia  /л  nie  zależy  od  s0.  Rozwią zanie  wzglę dem  a0  układu  (9) zawierają cego  n  równań  posiada  nastę pują cą   p o s t a ć :  n  \  E  sat­(n­l)sa„  Zdefiniowanie  odkształcenia  próbki  jako  e =  —°­  oraz  założ enie  nieś ciś liwoś ci  ma­ ''o  teriału  umoż liwia  napisanie  zależ noś ci  (10)  sa  =  . s ­ 0 ( l ­ O 3 / 2 .  Uwzglę dniając  tę zależ ność  otrzymuje  się  nastę pują cą  postać  wyraż enia  na    /'  Zależ noś ci  na  pracę  tarcia  ET,  ś rednie  naprę ż enie  osiowe  ć rz  oraz  współczynnik  tarcia  ft  zostaną  wyprowadzone  przy  założ eniu  jednorodnego  stanu  odkształcenia  w  próbce  i  przyję ciu  warunku  nieś ciś liwoś ci  materiału.  Ponieważ  naprę ż enia  az  są  odniesione  do  aktualnej  powierzchni  czołowej  p r ó b k i ,  również  miara  odkształceń  powinna  być  okreś lona  w  stosunku  do  aktualnej  geometrii  próbki.  Definiując  odkształcenie  jako  02)  a,  ze  wzglę du  na  dokładność  wyników  przedział  ten  nie  powinien  być zbyt  duż y.  O  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  353  Okazuje  się jednak,  że  m o ż na  znaleźć  graniczną  wartość  AT w przypadku,  gdy  przedział  odkształceń  Acp  dą ży  do  zera  otrzymując  w  ten  sposób  ś cisłą  p o s t a ć  zależ noś ci  (22)  i  (23).  Po  podstawieniu  do  wyraż enia  (23)  Acp  Acp    0  regułę  de  PHospitala  otrzy­ muje  się   (25)  I i m A V > 0  =  le­ 3'2*'.  Stąd  dla  rrs  =  az  oraz  cps =  cp  wyraż enia  (22)  i  (24)  przyjmują  postać   (26)  a  1_  ^ L e 3 / 2 ^  3s0  (27)  p   =  lsce­ 3l2«ai~'T,]  cs.  Wyraż enia  te  mają  inną  postać  niż  odpowiadają ce  i m  zależ noś ci  (1)  i  (2)  uzyskane  metodą  całkowania  równania  równowagi.  Róż nica  ta  wynika  stą d,  że  przy  wyprowadza­ niu  zależ noś ci  (20)  na  pracę  tarcia  ET  przyję to  uś rednioną  stałą  wartość  az  oraz  r  na  po­ wierzchni  czołowej  p r ó b k i ,  podczas  gdy  z  całkowania  równania  równowagi  otrzymuje  się   (28)  r(r)  =  [г ог(г )  =  ,«o­oexpa|l  ­  ^ ­ j ,  gdzie  a,  podobnie  jak  we  wzorze  (1),  jest  równe  Ifta/li.  Podstawiając  (28)  do  wyraż enia  (18)  na  clE'r  oraz  całkując  otrzymuje  się zależ ność  na  pracę  tarcia  w  postaci  (29)  а 3  I  а 2  \  ET  =  8 т Ы ^ а0 ­ ^ 1 е л ­ ­ у ­ а ­ 1 |.  N a  podstawie  równań  (21)  oraz  (29)  m o ż na  okreś lić  stosunek  fJE  =  azja0  w  formie  _  9  A  —  (30)  /?я  ( / ? « ­ ! )  +  ! ,  <Р ъ ~<Р а   gdzie  oznacza  stosunek  crz/o0  wynikają cy  z  r ó w n a n i a  (1).  W  granicy,  gdy  Acp ­>  0  wyraż enie  2­d/(cpb — cpa)  osią ga  wartość   1A  (31)  l i m ­ = p  ­ 1 .  Acp  354  Z .  MALINOWSKI  Stąd  z wyraż eń  (31) oraz  (30) wynika,  że przy  założ eniu  niejednorodnego  rozkładu  naprę­ ż eń  т  na  powierzchni  czołowej  p r ó b k i ,  okreś lonego  zależ noś cią  (28),  wielkoś ci ~fiE i  fiR  są  sobie  równe,  co  oznacza,  że  w  takim  przypadku  metoda  energetyczna  daje  tę  samą   ś rednią  wartość  az,  którą  w  metodzie  całkowania  równania  równowagi  otrzymuje  się   z  bezpoś redniego  uś rednienia  rozkładu  az(r)  po powierzchni  próbki.  Z  zależ noś ci  (26)  wynika,  że  gdy /i  bę dzie  dą ż yć  do  wartoś ci  3s0e~ 3,2(p  naprę ż enia   pk  zależ ność  (26) przestaje  być słuszna.  Przedstawiona  w  pracy  metoda  analizy  rozważ anego  problemu  wynika  z  równania  bilansu  pracy  dla pewnego  przedziału  odkształcenia  Ae  =  eb — ea.  W  zwią zku  z  tym  do­ kładność  metody  zależy  od  poprawnego  wyboru  miar  naprę ż enia  i  odkształcenia.  Przy  prawidłowym  ich doborze  oraz  przy  założ eniu  p  =  0  w  rozpatrywanym  przedziale od­ kształceń  de jest  spełniona  zasada  zachowania  energii,  którą  m o ż na  wyrazić  w  nastę pu­ ją cej  formie:  (34)  Pd/i =  V ff.de,  gdzie  P  oznacza  siłę  nacisku  działają cą  na  powierzchnię  kontaktu  próbki  ze  stemplem.  Najczę ś ciej  uż ywaną  miarą  naprę ż enia  az  w analizie  p r ó b y  ś ciskania  jest  miara  w sensie  Cauchy'ego, tzn.  p   (35)  <7 =  Н тл м ^ ,  gdzie  siła  nacisku  P oraz  powierzchnia  AS  są odniesione  do stanu  aktualnego  istnieją cego  w  procesie  ś ciskania.  Równanie  (34)  bę dzie  spełnione  jeś li  jednocześ nie  z  miarą  naprę­ ż enia  (35) zostanie  przyję ta  logarytmiczna  miara  odkształcenia  cp =  \n(h0/h).  D o  analizy  procesu  ś ciskania  m o ż na  również  stosować  miary  naprę ż enia  i  odkształ­ cenia  odniesione  do  począ lkowej  geometrii  p r ó b k i .  M i a r y  te  m o ż na  okreś lić  nastę pują co:  (36)  a  =  lim^so^o  AS0'  http://ff.de O  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  355  Nieprawidłowe  jest  natomiast  stosowanie  miary  naprę ż enia  (35)  odniesionej  do  aktual­ nej  geometrii  próbki  jednocześ nie  z  miarą  odkształcenia  (37)  odniesioną  do  począ tkowej  geometrii  p r ó b k i .  W  celu  pokazania  wielkoś ci  błę dów  spowodowanych  nieprawidłowym  doborem  miar  naprę ż enia  i  odkształcenia  poniż ej  wyprowadzone  zostaną,  w taki  sam  spo­ sób  jak  poprzednio,  zależ noś ci  okreś lają ce  az  oraz  pi.  D l a  naprę ż eń  odniesionych  do  aktualnej  powierzchni  czołowej  próbki,  tzn.  dla  zależ noś ci  (35),  oraz  dla  przyję tej  miary  odkształcenia  s  =  (h0  — h)/h0  zwią zki  te  przyjmują  postać   (38)  az  =  1_  J L ( l _ e ) ­ » / a  5S0  (39)  p   =  3 . v 0 ( l ­ e ) 5 / 2  °  tr.  Wyraż enia  na  az  oraz  fi  dla  stosowanych  powyż ej  miar  naprę ż enia  i  odkształcenia  moż emy  otrzymać  również  przez  podstawienie  do  wzorów  (26)  oraz  (27)  zwią zku  pomię­ dzy  logarytmiczną  i aktualnie  przyję tą  miarą  odkształcenia  (40)  cp =  ­ l n ( l ­ e ) ,  w  tym  przypadku  otrzymuje  się:  (41)  1 ­  & ( l ­ e ) ­ 3 »  3s0  (42)  ^ J , 0 ( 1 ­ . ) " J ^ .  Zależ noś ci  (41)  i  (38)  oraz  (42)  i  (39)  róż nią  się  wykładnikiem  potę gi  wyraż enia  1 ­ е ,  przy  czym  z  powodu  nieprawidłowego  doboru  miar  naprę ż enia  i  odkształcenia  zależ noś ci  (38)  i  (39)  są  mniej  dokładne.  5.  Wyniki  obliczeń  przeprowadzonych  na  podstawie  badań  doś wiadczalnych  Poniż ej  podane  zostaną  wyniki  obliczeń  współczynnika  tarcia  pt, otrzymane  z  róż nych  zależ noś ci  na  podstawie  tych  samych  danych  doś wiadczalnych.  Obliczenia  wykonano  wykorzystując  dane  doś wiadczalne  zamieszczone  w  pracach  [1]  i  [2].  W  celu  p o r ó w n a n i a  na  rysunkach  przedstawiono  niektóre  wyniki  obliczeń  przeprowadzonych  w  pracach  [2]  oraz  [3].  Ponieważ  w  pracach  [1,  2]  oraz  [3]  naprę ż enia  odniesione  są  do  aktualnej  po­ wierzchni  czołowej  p r ó b k i ,  natomiast  odkszlałcenia  do  począ tkowej  wysokoś ci  h0,  dla  uzyskania  moż liwoś ci  bezpoś redniego  porównania  w  obliczeniach  przeprowadzonych  w  obecnej  pracy  przyję to  podobne  miary  naprę ż enia  i  odkształcenia.  Rysunek  5  przedstawia  wartoś ci  pi  obliczone  w  zakresie  odkształceń  0,01­н 0,15  dla  próbek  aluminiowych  smarowanych  sproszkowanym  M o S 2 .  Poiównanie  uzyskanych  re­ zultatów  wskazuje,  że  róż nice  pomię dzy  wynikami  otrzymanymi  z  zależ noś ci  (2)  oraz  356  Z .  MALINOWSKI  (39)  dla tego  zakresu  odkształceń  nie są  zbyt  duż e.  Wartoś ci  p  obliczone  na  podstawie  zależ noś ci  (42) bę dą  zawarte  wewną trz  przedziału  wyznaczonego  ze  w z o r ó w  (2) oraz (39).  0,30  M  0,24  0,18  0,12  0,00  0  0,04  0,08  0,12  e  0,16  Rys.  5.  W a r t o ś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  tarcia  /(  w  funkcji  o d k s z t a ł c e n i a  obliczone  dla  p r ó b e k  aluminiowych  z  z a l e ż n o ś ci  (2)  — linie  1  i  3  oraz z  z a l e ż n o ś ci  (39)  — linie  2  i  4,  na  podstawie  tych  samych  danych  do­ ś w i a d c z a l n y ch  N a  rys. 6  przedstawiono  wartoś ci  p  w  zależ noś ci  od  odkształcenia  dla  p r ó b e k  mie­ dzianych  w zakresie  odkształceń  od 0,05 do 0,55. Z  przedstawionych  rezultatów  wynika,  że  róż nica  w wartoś ciach  p, obliczonych  ze wzorów  (2), (39) oraz  (42) wzrasta  wraz  z od­ 0  0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  E  0,6  Rys.  6.  Wartoś ci  w s p ó ł c z y n n i k a  tarcia  / J w  z a l e ż n o ś ci  od  o d k s z t a ł c e n i a  dla  p r ó b e k  miedzianych.  Linie  /,  2,  3  wyznaczono  odpowiednio  ze  w z o r ó w  (2),  (42)  oraz  (39)  kształceniem.  D u ż a  róż nica  w  wartoś ciach  p  uzyskanych  z  zależ noś ci  (2)  oraz  (39) jest  spowodowana  nieprawidłowym  doborem  miar  naprę ż enia  i  odkształcenia  przy  wypro­ wadzaniu  zależ noś ci (39).  O  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  357  Z  kolei  niewielka  róż nica  w  wartoś ciach  fi  przedstawionych  liniami  /  i  2  ś wiadczy,  że  obie  metody  dają  zbliż one  rezultaty.  W zakresie  odkształceń  od 0­4­0,5  róż nica  ta  wy­ nosi  ś rednio 5%.  ! i 1 / 1 JŁ  13  mm1  50  1  l/y  40 - ^ ź ź * ^  20  1  S0­0,5  I  1  1  1  0  0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  E  0,6  Rys.  7.  Z a l e ż n o ś ci  ś rednich  n a p r ę ż eń  as  od  o d k s z t a ł c e n i a  obliczone  z  r ó ż n y ch  w z o r ó w  dla  tych  samych  wartoś ci  /i(e).  Linie  / ,  2,  3  wyznaczono  odpowiednio  ze  w z o r ó w  (1),  (41)  oraz  (38)  Wpływ  tarcia  na  kształt  krzywej  umocnienia  został  pokazany  na rys. 7.  Przedstawio­ ne  krzywe  umocnienia  obliczono  ze  wzorów  (1),  (38) oraz  (41) dla tej  samej  zależ noś ci  M O ­ N a  rys. 8 przedstawiono  wyniki  obliczeń  цк  otrzymane  na  podstawie  zależ noś ci  (32)  dla  wartoś ci  az  obliczonych  ze wzorów  (1), (38) oraz (41).  .158  Z. MALINOWSKI  6.  Uwagi  i  wnioski  Jak  wynika  z  przeprowadzonych  rozważ ań,  korzystając  z  równania  bilansu  pracy (6)  oraz  wyraż enia  na  pracę  tarcia  (20),  moż na  d o k o n a ć  analizy  procesu  ś ciskania  p r ó b k i  walcowej  z  uwzglę dnieniem  tarcia  na powierzchniach  kontaktu.  Równanie  (6)  sprowadzone  do  postaci  (8)  wyjaś nia  ponadto  w prosty  sposób  charakter  zależ noś ci  ff2(^0)£„const,  rys. 2. Przy  założ eniu  stałej  ś rednicy  próbek  praca  tarcia  zmienia  się w niewielkim  stopniu  wraz ze wzrostem s0,  natomiast  obję tość  К zwię ksza  się proporcjo­ nalnie  do s0.  Stąd  drugi  człon  po  prawej  stronie  w  równaniu  (8)  zmniejsza  się ze  wzrostem  s0,  co przy  stałej  wartoś ci  a0  nadaje  krzywej  oz(s0)e=con%t  obserwowany  doś wiadczalnie  kształt.  Zaproponowana  w pracy  metoda  analizy  pozwala  obliczać  wartość  aktualnego  n a p r ę ­ ż enia  plastycznego  płynię cia с т0, co  nie jest  moż liwe  przy korzystaniu z metody  całkowania  równania  równowagi.  Dość  duża  dokładność  wyznaczania a0 z układu  równań  (9)  ś wiadczy  ponadto,  że  postać  zależ noś ci  (8) jest w tym  przypadku  prawidłowa.  W  dalszej  analizie  problemu,  w celu  wyprowadzenia  zależ noś ci  ÓZ{G0,  S,  S0,  LI)  przy­ j ę t o,  że  praca  tarcia  na powierzchniach  kontaktu  okreś lona  zależ noś cią   4  (i)  Er  = — т сA  fiasą 3 tt  jest  równa  całkowitej  dodatkowej  pracy  wykonanej  w procesie  ś ciskania,  okreś lonej za­ leż noś cią   (ii)  ET  =  V(eb­ea)(as­a0).  W  odniesieniu  do  rzeczywistej  próby  ś ciskania  założ enie  to  może  nie  być  całkowicie  ś cisłe  ze  wzglę du  na niejednorodność  odkształcenia  wewną trz  próbki  oraz  zmienne  rozkła­ dy  [i{r),  az(r)  i  x(r) na  powierzchniach  kontaktu.  Dodatkowym  warunkiem  równoś ci  pracy  obliczonej  z  zależ noś ci  (i) oraz  (ii) jest  prawidłowy  d o b ó r  miar  naprę ż enia  i  od­ kształcenia.  Jak wynika  z przeprowadzonej  w pracy  dyskusji,  niespełnienie  tego  warunku  może  p o w o d o w a ć  dość  duże  błę dy.  Z a r ó w n o  w metodzie  całkowania  równania  równowagi,  jak  i w metodzie  zapropono­ wanej  w pracy  zakład a  się  stały  rozkład  współczynnika  tarcia  fi na powierzchniach  czo­ łowych  próbki.  W obecnej  pracy  zakłada  się  również  stałą  wartość  naprę ż eń  stycznych  r  na  powierzchniach kontaktu,  natomiast  z metody  całkowania  równania  równowagi  otrzy­ muje  się, że  dla  /г (г )  =  const  т wzrasta  w kierunku  ś rodka  powierzchni  czołowej.  W rze­ czywistoś ci,  jak  wynika  z pracy  [7],  wartoś ci  JU  oraz  т zmniejszają  się w  kierunku  ś r o d ka  powierzchni  czołowej  próbki.  Ponieważ  zwią zki  (1) i  (2)  zostały  wyprowadzone  metodą  całkowania  r ó w n a n i a  rów­ nowagi  wartoś ci  az  i ц  obliczone z tych  zwią zków  bę dą  stanowiły  dolną  ocenę  naprę ż eń   ś ciskają cych  az  oraz  górną  ocenę  współczynnika  tarcia  /л . Natomiast  wartoś ci  az  i ц  obli­ czone  ze  zwią zków  wyprowadzonych  w  pracy  bę dą  stanowiły  górną  ocenę  n a p r ę ż e n ia  ś ciskają cego  az  oraz  dolną  ocenę  współczynnika  tarcia  ц  dla stałego  rozkładu  ц {г )  na  powierzchni  czołowej  próbki.  Ze  wzglę du  na przyję te  założ enia  upraszczają ce  rezultaty  obu  metod  bę dą  obarczone  błę dem.  Opierając  się na danych  doś wiadczalnych  zamieszczonych w pracach  [2]  oraz [7]  O  METODZIE  ANALIZY  WPŁYWU  TARCIA  359  m o ż na  wnioskować, że  wartoś ci  ц  uzyskane  zarуwno  na  podstawie  zależ noś ci  (2)  —  od­ powiadają cej  metodzie  całkowania  r у w n a n i a  r у w n o w a g i — j a k  i  zależ noś ci  (42)  —  od­ powiadają cej  metodzie zaproponowanej  w pracy  —  bę dą  wyż sze od  rzeczywistych.  Ze wzglę­ du  na  brak  bezpoś redniej metody  wyznaczania  wspуłczynnika tarcia  oraz  złoż oność innych  eksperymentalnych  metod  trudno  jest  ocenić  błąd  wartoś ci  /л otrzymywanych  na  podsta­ wie  zależ noś ci  (2)  oraz  (42).  /  Należy  dodać,  że  obliczanie  wspуłczynnika  tarcia  z  zależ noś ci  (27)  oraz  (42)  nie  wy­ maga  stosowania  techniki  numerycznej,  co  jest  konieczne  w  przypadku  korzystania  z  za­ leż noś ci  (2).  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  M .  COOK,  E .  C .  L A R K E ,  Resistance  of  copper  and  copper  alloys  to  homogeneous  deformation  in  comp­i  ression,  I.  Inst.  Metals,  71,  (1945)  371.  2.  Z .  MALINOWSKI,  J .  K L E P A C Z K O , Szacowanie  współczynnika  tarcia  na  czołach  ś ciskanej  plastycznie  próbki  walcowej,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  10,  4,  (1972)  561.  3.  Z .  MALINOWSKI,  Energetyczna  metoda  analizy  wpływu  tarcia  w  procesie  plastycznego  ś ciskania  próbki  walcowej,  Prace  IPPT,  4 8 / 1 9 7 4 .  4.  W .  SCHROEDER,  D .  A .  WEBSTER,  Press­  forging  thin  sections:  effect  of  friction,  area,  and  thickness  on  pressures  required,  J .  Appl.  Mech.,  16,  (1949)  289.  5.  E .  SIEBEL,  Grundlagcn  zur  Berechmtng  des  Kraft  und  Arbeitbedorf  bei  Schmieden  und  Walzen,  Stahl  u.  Eisen.  Dusseldorf,  43,  4 1 ,  (1923)  1295.  6.  E .  G .  THOMSEN,  С .  H .  Y A N G ,  S.  KOBAYASHI,  Plastic  Deformation  in  Metal  Processing,  Mac  Milian,  1965.  7.  G .  T .  V A N  ROOYEN,  W . A .  BACKOFEN, A  study  of  interface  friction  in  plastic  compression,  Int.  J .  Mech.  Sciences,  1,  1,  (1960)  1.  Р е з ю ме   О  Н Е К О Т О Р ОМ  М Е Т О ДЕ  А Н А Л И ЗА  В Л И Я Н ИЯ  Т Р Е Н ИЯ  В  П Р О Ц Е С СЕ   П Л А С Т И Ч Е С К О ГО  С Ж А Т ИЯ  Ц И Л И Н Д Р И Ч Е С К О ГО  О Б Р А З ЦА   В  р а б о те  п р е д с т а в л ен  с п о с об  у ч е та  т р е н ия  на  п о в е р х н о с т ях  к о н т а к та  в  п р о ц е с се  с ж а т ия  ц и­ л и н д р и ч е с к о го  о б р а з ц а.  А н а л из  п р о в е д ен  п ри  п р е д п о л о ж е н и и,  ч то  в ся  д о п о л н и т е л ь н ая  р а б о т а,  о б у с л о в л е н н ая  т р е н и ем  в о  в р е мя  д е ф о р м и р о в а н ия  о б р а з ц а,  з а т р а ч и в а е т ся  на  п о в е р х н о с т ях  к о н­ т а к та  м е ж ду  о б р а з ц ом  и  с ж и м а ю щ и ми  е го  ш т а м п а м и.  В  п р е д п о л о ж е н ии  о д н о р о д н о го  д е ф о р м и р о­ в а н ия  в ы в о д я т ся  з а в и с и м о с т и ,­  о п р е д е л я ю щ ие  а к т у а л ь н ое  н а п р я ж е н ие  т е к у ч е с ти  о 0 ,  с р е д н ее  о с е­ в ое  н а п р я ж е н ие  oz  и  к о э ф ф и ц и е нт  т р е н ия  р .  С  п о м о щ ью  п о л у ч е н н ых  з а в и с и м о с т ей  в ы ч и с л е н ы,  на  о с н о ве  о п ы т н ых  д а н н ых  и з  р а б от  [1]  и  [2],  з н а ч е н ия  p(e)s0=const­  Э ти  з н а ч е н ия  с р а в н е ны  с о  з н а ч е н и я ми  р ,  п о л у ч е н н ы ми  в  р а б о те  [2]  п у т ем  и н т е г р и р о в а н ия  у р а в н е н ия  р а в н о в е с и я.  S u m m a r y  O N  A  M E T H O D  O F  F R I C T I O N  A N A L Y S I S  I N  P L A S T I C A L L Y  C O M P R E S S E D  C Y L I N D R I C A L  S P E C I M E N  In  this  paper  a  method  is  presented  which  makes  it  possible  to  take  into  consideration  the  effect  of  friction  at  the  interfaces during compression  of  a  cylindrical specimen.  In  the  analysis performed  it  is  assum­ ed  that  the  additional  work  developed  by  the  frictional  effects  is  dissipated  over  the  interfaces  between  360  Z .  MALINOWSKI  v  the  specimen  and  loading  platens.  Assuming the  uniform state  of strain, the  relations  are  obtained  yielding  the  actual  flow  stress  a0,  the  axial stress  cfz  and  the  coefficient  of  friction  p.  Making  use  of  the  relations  derived  the  values  of  p(e)s0=const  are  computed  on  the  basis  of experimental  data  taken  from  the  paper  [1] and  [2].  These  values are compared with  the  values  p  which were obtained  in the  paper  [2] as  the  result  of  integrating  the  equilibrium  equation.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  3  lipca  1975  r.