Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

3,  14  (1976) 

P R Z Y K Ł A D  B A D A N I A  D O K Ł A D N O Ś CI  L I N I O W E G O  U K Ł A D U  D Y N A M I C Z N E G O 

W  P R Z Y P A D K U  N I E S T A C J O N A R N Y M 

J Ó Z E F  N I Z I O Ł ,  N A R C Y Z  K O N D R A C I U K  ( K R A K Ó W ) 

Wstęp 

Dużą  rolę  w  rozwoju  techniki  odegrały  układy  automatycznego  sterowania.  W  ukła­

dach  tych  m o ż na  wyróż nić  obiekt  regulacji  oraz  regulator,  który  może  działać  na  obiekt 

poprzez  wejś cia  xt ,x2,  ...,x„.  Wyjś cia  obiektu  yx,y2,У з ,  У т bę dą  mniej  lub  wię cej 

róż nić  się  od  założ onego  przebiegu  procesu yx, ~y2, y3,  ...,ym.  Problem  optymalnego  ste­

rowania  polega  na  tym,  by wyjś cia  obiektu  yl,y2,y3,  ...,ym  róż niły  się  minimalnie 

(w  okreś lonym  sensie)  od  ż ą danych  przebiegów  }>i,y2,y3,  • • • ,}>,„•  D o  tego  celu  moż na 

dą ż yć  w  róż ny  s p o s ó b : 

1)  poprzez  odpowiedni  d o b ó r  funkcji  xt,  x2,x3,  xn, 
2)  przy  znanej  strukturze  układu  poprzez  d o b ó r  jego  p a r a m e t r ó w  (niepełna  synteza), 

3)  poprzez  d o b ó r  struktury  układu,  czyli  dokonanie  pełnej  syntezy. 

Wymuszenia,  które  działają  na dany  układ  moż emy  podzielić  na uż yteczne,  czyli 

sterują ce,  nazywane  sygnałami,  i zakłócają ce,  zwane  szumami.  Zakłócenia  nie  mogą  być  

okreś lone  w  sposób  jednoznaczny  w  sensie  deterministycznym  i należy  je  t r a k t o w a ć  jako 

procesy  stochastyczne. 

W  niniejszej  pracy  zajmiemy  się  jedynie  szczególnym  przypadkiem  pełnej  syntezy. 

Rozważ ać  bę dziemy  układ  j e d n o k a n a ł o w y ,  tzn.  układ  dynamiczny  z jednym  wejś ciem 

i  jednym  wyjś ciem. 

D o k ł a d n o ś ć  dynamiczną  takiego  układu  moż na  zdefiniować  nastę pują co:  niech  wej­

ś cie  ma  postać  X(t)  = U(t)  +  V(t),  gdzie  U(t)  jest  sygnałem,  V(t)  szumem;  Z(t)  niech 

bę dzie  ż ą danym  wyjś ciem.  Wprowadź my  pewną  funkcję  zwaną  funkcją  strat. 

Funkcją  wagi  nazywać  bę dziemy  pewną  nieujemną  funkcję  dwóch  zmiennych  Y(t) 

i  Z(t),  gdzie 

Y{t)  =  L[U(t)  +  V(t)), 

zaś  L  jest  pewnym  operatorem  liniowym. 

Funkcja  wagi  przyjmuje  postać  

W  =  W{Z(t),L[U(t)  +  V(t)]}. 

Wartość  oczekiwana  funkcji  wagi  nosi  nazwę  funkcji  strat. 

Jako  kryterium  dokładnoś ci  dynamicznej  układu  przyjmiemy  minimum  funkcji  strat. 

Przy  przyję ciu  funkcji  wagi  w  postaci 

W  =  k{Z(t)­L[U(t)+V(t)]}2  = ke2 



362  J .  NIZIOŁ,  N .  KONDRACIUK 

funkcja  strat  przyjmuje  posiać  

00 

<e 2 (/)>  =  /  e2p(e,t)de. 
—  00 

Symbolem  < •>  oznaczać  bę dziemy  wartość  ś rednią  procesu  stochastycznego  po  zbiorze 

realizacji. 

Jako  kryterium  dokładnoś ci  dynamicznej  układu  przyjmiemy  warunek  Д  <e2(r)>  = 
ter 

=  min,  gdzie  т  jest  czasem  obserwacji  u k ł a d u  dynamicznego.  Dodatkowo  ż ą damy,  by 

funkcja  oczekiwana  róż nicy  Y(t)  — Z(t)  była  toż samoś ciowo  równa  zeru. 

Ż ą dany  proces  na  wyjś ciu  ma  postać  

Z ( / )  =  N[U(t)], 

gdzie  A'jest  znanym,  narzuconym  przez  nas  operatorem. 

1.  D o k ł a d n o ś ć  dynamiczna  układu  jednokanałowego  w  przypadku  niestacjonarnym 

Z a k ł a d a m y ,  ż e: 

1)  operatory  N  i L  są  operatorami  liniowymi, 

2)  funkcje  U(r)  i  V't)  są  funkcjami  przypadkowymi,  których  nadzieje  matematyczne 

są  równe  zeru, 

3)  istnieją  momenty  drugiego  rzę du  procesów  U(t),  V{t)  i  znane  są  funkcje  korela­

cyjne  Ku{ti,  t2),  Kv'tx,  t2)  i Kuv{ti,  t2),  gdzie  symbolami  # „ ( / , ,  t2),  K„('i,  t2)  odpowiednio 

oznaczono  funkcje  autokorelacyjne  procesów  U(t)  i  V(t),  zaś  symbolem  Kuv(tlt  t2)  ozna­

czono  funkcję  korelacji  wzajemnej  procesów  U(t),  V(t), 

4)  czas  obserwacji  rozpatrywanego  u k ł a d u  jest  skoń czony  i  równy  T, 

5)  proces  X{t)  jest  całkowalny  w  sensie  ś redniokwadratowym. 

Przy  przyję tym  kryterium  dokładnoś ci  dynamicznej  dostajemy  warunek 

T 

(1.1)  (|f  l(t,t1)X(t1)dti­Z(t)]
2)  =  m i n . 

o 

Wprowadzona  funkcja  przejś cia  l(t,  tt)  zwią zana  jest  z  operatorem  L  zwią zkiem 

T 

f  lit^JXit^dti  =  L[X(t)]. 
o 

Znalezienie optymalnej  funkcji  przejś cia  / ( / , / ) )  sprowadza  się do  rozwią zania  zagadnie­

nia  z  rachunku  wariacyjnego.  W  k o ń c o w ym  rezultacie  l(t,  t,)  powinna  spełniać  równanie 

całkowe  postaci  [1] 

t 

(1.2)  J  l(t,  t2)Kx(ti,  t2)dt2  — Rxz(ti,  t)  — O,  1>0,  O 
o 

gdzie  KxQi,  t2)  jest  funkcją  autokorelacyjną  procesu  na  wejś ciu,  zaś Rxz(ti,  t2)  —  funkcją  

korelacji  wzajemnej  wymuszenia  X(t)  i  ż ą danego  wyjś cia  Z(t). 



P RZYKŁAD  LINIOWEGO  UKŁADU  DYNAMI CZNEGO  363 

Znalezienie  optymalnej  funkcji  /(/, tt)  w  o g ó l n y m  przypadku jest  zagadnieniem  bar­

dzo  trudnym.  Prekursorem w tej dziedzinie  m o ż na  n a z w a ć  K O Ł M O G O R O W A  [2].  Problem 

r o z w i ą z a ny  przez  niego  d o t y c z y ł  c i ą gu  przypadkowego,  stacjonarnego.  Zagadnienie  syn­

tezy  w u j ę c iu  probabilistycznym  znacznie  o g ó l n i e j  p o s t a w i ł  W I E N E R  [4].  P o d a ł  on  m e t o d ę  

r o z w i ą z a n ia  r ó w n a n i a  c a ł k o w e g o  (1.2)  przy  n a s t ę p u j ą c y ch  z a ł o ż e n i a ch : 

1)  procesy X(t)  i Z(t)  są  stacjonarne, 

2)  ich  nadzieje  matematyczne  są  r ó w n e  zeru, 

3)  czas  obserwacji  u k ł a d u  dynamicznego  T­* c o . 

O g ó l n i e j s z y  przypadek  r o z w i ą z a li  Z A D E H  i  R A G A Z Z I N I  [5] z a k ł a d a j ą c  nadzieje  mate­

matyczne  w  postaci  w i e l o m i a n ó w  p o t ę g o w y ch  zmiennej  t  oraz  z a k ł a d a j ą c  s k o ń c z o ny 

czas  obserwacji  T. 

S H I N B R O T  [6]  p o d a ł  d o ś ć  prosty  s p o s ó b  uzyskania  r o z w i ą z a n ia  r ó w n a n i a  (1.2)  w pew­

nym  s z c z e g ó l n y m  przypadku,  mianowicie  wtedy,  kiedy  funkcje  Kx(tx,  t2)  i  Rxz(.tx,  t2) 

m o ż na  p r z e d s t a w i ć  w  postaci  s k o ń c z o n y ch  sum i l o c z y n ó w  funkcji  k a ż d ej  ze  zmiennych 

t\  i t2,  tzn.  kiedy  prawdziwe  są  r ó w n o ś c i: 

m 

(1 ­3)  Kx(tt,  t2)  = Ł  <p,(tl) • y,j(t2),  tt>t2, 

m 

gdzie  cpj(t), y>j(t)  i  %j(t) są  deterministycznymi  funkcjami  czasu;  oraz  kiedy  ponadto 

s p e ł n i o n y  jest  warunek 

m 

(1­5)  Ł  (PjitO­fAtd­yjitJ­fjiti)  =  w(tx­t2), 

tzn.  funkcje  q>j(t)  i y>j(t)  są takie,  ż e suma  r ó ż n ic  s t o j ą ca  po lewej  stronie  r ó w n o ś ci  (1.5) 

jest  funkcją  r ó ż n i cy  (/, —12). 

P o n i e w a ż  funkcja  korelacyjna  Kx(t1,  t2)  jest  symetryczna,  z  r ó w n o ś ci  (1.3)  wynika,  ż e 

m 

(1.6)  Kx{tt,  t2)  =  V <pj(t2)• wAh),  t^t2: 

Celowe  jest  rozpatrywanie  p r o b l e m ó w  z  ograniczeniami  (1.3),  (1.4)  i  (1.5),  p o n i e w a ż  

szeroka  klasa  z a d a ń  z zakresu  sterowania  automatycznego  s p e ł n i a  te warunki. 

2.  Wyznaczenie  optymalnej  funkcji  przejś cia  dla  układu  całkują cego 

W  zagadnieniach  praktycznych,  przy  badaniu  d o k ł a d n o ś ci  u k ł a d ó w  dynamicznych, 

najczę ś ciej  spotykamy  się z  problemami  ekstrapolacji,  filtracji,  r ó ż n i c z k o w a n ia  czy  też  

ich  kombinacji.  W  literaturze  nie  spotyka  się p r o b l e m ó w  z w i ą z a n y ch  z przypadkami, 

gdy  operator N jest  operatorem  c a ł k o w a n i a .  Wiadomo,  że j e ż e li  na dowolny  c a ł k o w a l n y 

proces  stochastyczny  p o d z i a ł a m y  operatorem  c a ł k o w a n i a ,  uzyskamy  proces  niestacjonarny. 

W  tym  przypadku  b ę d z i e my  w i ę c  zawsze  m i e ć  do czynienia  z  problemem  doboru  opty­



364 J .  N IZIOŁ,   N .  K ONDRACI UK 

malnej  funkcji  przejś cia  w  uję ciu  niestacjonarnym.  W praktyce,  z  takimi  zagadnieniami, 

gdzie  operator  N  jest  operatorem  całkowania,  spotykamy  się w  przypadku  ż yroskopu 

całkują cego  przyspieszenie  liniowe  obiektu,  na k t ó r y m  jest  on umieszczony [3]. 

Ż y r o s k op  taki  spełnia  funkcję  przyrzą du  mierzą cego  prę dkoś ci  liniowe  s a m o l o t ó w  czy 

rakiet  poprzez  całkowanie  ich  przyspieszeń.  Ze wzglę du  na losowy  charakter  sił  działają­

cych  na  poruszają cy  się samolot  czy rakietę,  przyspieszenia  tych  ostatnich  są  typowo 

procesami  stochastycznymi.  N a podstawie  b a d a ń  eksperymentalnych  [1] wiadomo,  że  są  

to  procesy  na ogół  stacjonarne,  któryc h  funkcje  korelacyjne  najczę ś ciej  są  aproksymowane 

funkcjami  postaci: 

a)  Kx(t1,t2)  =  cr
2

1e­'^­^, 

b)  =  o­I e ~ * c o s / 3 ( > 2 ­ O . 

c)  Kx(ti,t2)  =  ale­"^­
l^cosfJ(t2­t1)  +  ~sinft\t2­tt\, 

P 

gdzie  of, a, /? pewne  stałe. 

D l a  wszystkich  tych  funkcji  oraz  całej  szerokiej  klasy  innych,  jak i dla  operatora  cał­

kowania  spełnione  bę dą  warunki  (1.3) i (1.4)  dla funkcji  korelacyjnych Kx(tt,  t2), Rxz(t!,  t2), 

jak  i warunek  (1.5). 

Zajmiemy  się znalezieniem  optymalnej  funkcji  przejś cia  w przypadku  ogólnym,  jednak 

przy  ograniczeniach  (1.3) ­ (1.5). 

D l a  uproszczenia  zapisu  posłuż ymy  się symboliką  rachunku  wektorowego  i  zbiory 

funkcji  cpj(t),  ifij(ł)  i  J j / O i  j—  1 , 2 , 3 , . . . , w  oznaczymy  odpowiednio  jako  wektory 
m 

<p(t), f{t)  i x(t).  W tym  przypadku  sumy  postaci  2J TJ fj  moż na  t r a k t o w a ć  jako  iloczyn 

skalarny  wektorów  tp i ip. Wtedy  (1.3),  (1.4) i  (1.5) moż na  zapisać  w postaci: 

(2.1)  Kxdi,  t2)  = (p(t])­y>(t2),  t,>t2, 

(2.2)  Rxz(ti,1i)  = Wi)'X(h),  'i < '2, 

(2.3)  9(t1)­yi(t2)­cp(Q­yi(t1)  =  w(ti­t2). 

Przyjmujemy,  że szukane  rozwią zanie  r ó w n a n i a  (1.2) m o ż na  przedstawić  w  postaci 

(2.4)  l{t,t2)  =  [T(t)­y(t2)r(t­t2), 

gdzie  /(/)  i  y(t)  są  wektorami  o  współrzę dnych  li(t),  l2(.t),  l„(t) i  yi(t),y2(t), 

У з(0,  •••> У т {>),  a funkcja  I{t) jest  funkcją  skoku jednostkowego, tzn. 

0,  t<0, 

1,  o o , 

i  zapewnia  zerowanie  się funkcji  l(t, t2)  dla t  < t2,  czyli  realizowalność  fizyczną  u k ł a d u . 

M o ż na  tak  okreś lić  wektory  T{t) i  y(t),  że wyraż enie  (2.4) spełnia  r ó w n a n i e  (1.2). 

W  tym  celu  przepisujemy  równanie  (1.2) uwzglę dniając  warunki  (2.1),  (2.2) i (1.6).  Otrzy­

mamy 
'i  ' 

(2.6)  Hh)­X(t)  =  /  /(?,  t2)[<p(ti).W(t2)}dt2+  f l(t,  f 2 ) [ 9 ^ 2 ) ­ V ( ' . ) ] ^ 2 . 

(2.5)  / ( 0 = 



P RZYKŁAD  LINIOWEGO  UKŁADU  DYNAMI CZNEGO  365 

Ostatnią  całkę  przedstawiamy  jako  róż nicę  dwóch  całek  w przedziałach  od 0 do t i od  0 
do  .  Więc 

u  i 

(2­7)  y>(ti)­X(0=  f  l(t, hm t 1).y>(t2)]dt2+  J  / ( М а Ш / а ) ­ ^ ) ] * ,­
o  o 

'i 

­  /  K',  r 2 ) [ ^ ( ' 2 ) ­ V ( ' l ) № . 
0 

Nastę pnie  przenosimy  drugą  całkę  z  prawej  strony  na lewą  i  wycią gamy  przed  nawias 

wspólny  czynnik 

'  t i 

(2­8)  f(tĄ x(t)­  j' Kt, t2)­Ę 5(t2)dt2\ =  f  l(t, / 2 ) ^ ( Л ) ^ ( ? 2 ) ­ ^ ( г 2 ) ^ ( / , ) ] Л 2. 
d  d 

Wstawiając  (1.3)  i (2.4)  otrzymamy: 

'  ' i 

(2.9)  v*('i){ź (0­  f [/(0­r(̂ )]­̂ 2)A2}  = 7(0  f  ­ Г 3 ) Л 2 . 
o  d 

Po  obu  stronach  ostatniej  równoś ci  są iloczyny  funkcji  zmiennej  i funkcji  zmiennej t. 

Równanie  to bę dzie  spełnione  jeż eli  p o r ó w n a m y  te funkcje  parami,  tzn.: 

', 
(2.10)  xP{tl)=  f  y(t2)w(tt­t2)dta, 

o 

t 

(2­Й)  /"(0+  /   [7(0­y(t2)]­q>{t2)dt2  =x(0. 

o 

Funkcja  wektorowa  y>(r,)  podana  wzorem  (2.10)  wyraża  się  poprzez  splot  funkcji 

y(t)  i  w{t).  Z a k ł a d a m y  istnienie  transformat  Laplace'a  ^(s), F(s) i  W(s),  funkcji xp(t), 

y(t)  i w(t); ponadto  zakładamy,  że  W(s)  ф 0. Stosując  przekształcenie  Laplace'a do rów­

nania  (2.10)  otrzymamy 

Równość  ta, jako  równość  dwóch  wektorów,  bę dzie  spełniona  wtedy  i  tylko  wtedy, 

gdy  odpowiednie  współrzę dne  tych  wektorów  bę dą  sobie  równe.  W ten  sposób  znajdziemy 

transformaty  Laplace'a  wszystkich  m współrzę dnych  yj(t) wektora  y{t)  i  stosując  od­

wrotne  przekształcenie  Laplace'a,  okreś limy  wszystkie nieznane  funkcje  yj(t), j  =  1 , 2 , 3 , 

...,  m. 

A b y  obliczyć  współrzę dne  wektora  l(t), przepiszemy  równanie  (2.11)  w postaci  ukła­
du  m skalarnych  równań  

m 

(2.13)  Ł  [ajM + djHlj(t) =  Xi(t),  i =  1,2, . . . . w , 

3  Mechanika  teoretyczna 



366  J .  NI ZI OŁ,  N .   KONDRACI UK 

gdzie 

i 

(2.14)  aJt(t)  =  J'  yj(t2)<Pi(t2)dt2, 
о  

a  fj,­,­,  jak  wiadomo,  równa  jest  zeru,  gdy j  ф i, i jest  równa  jednoś ci,  gdy j  = 1. 

W  przypadku  gdy  układ  (2.9)  jest  układem  niesprzecznym, z (2.13)  wyliczamy  funkcje 

l j (t )  i  podstawiając  je do  (2.4)  otrzymamy  funkcję  wagi  optymalnego  u k ł a d u  dynamicz­

nego  okreś lonego  równaniem  całkowym  (1.2). 

Jeż eli  układ  (2.9)  jest  sprzeczny,  oznacza  to, że funkcja  l(t, t2)  została  założ ona  nie­

właś ciwie.  W tej sytuacji  należy  przyjąć  ją w innej  postaci,  mianowicie: 

(2.15)  l{t, t2)  = l (t).y{t2)I{t ­t2)+  Yhk(t)óM(t­t2), 
к  

gdzie  hk(t)  są  dowolnymi  funkcjami  wybranymi  tak, aby wyraż enie  l(t)  uczynić  moż li­

wie  najprostszym;  6{k)(t—t2)  jest  A>tą  pochodną  funkcji
  A ­ D i r a c a . 

Jeś li  funkcja  wagi  jest  postaci  (2.15),  to  równanie  (2.9)  przyjmie  p o s t a ć : 

<  i 

(2.16) y( * i )(z ( 0 ­  /  [Kt)­Y{h)mi)dt2­  £hk(t)  /  ^\t­t2)­ę {t2)dt2)  = 
о  к  o 

(1  ' l 

=  /  T(t)­r(t2)w(tl­t2)dt2+  £'hk(t)j  d^it­Qwity­Qdu. 
О  к  6 

Ostatnia  całka  jest  równa  zeru,  ponieważ  ty  < t .  Natomiast  drugą  całkę  m o ż na  łatwo 

obliczyć  korzystając  z własnoś ci  funkcji  o­Diraca.  Zakładają c,  że  cp(t)  jest  klasy  CK  otrzy­

mujemy 

(2.17)  /  d«\t­t2)cp(t2)dt2  =  co^(t). 
o 

Uwzglę dniając  poczynione  wyż ej  uwagi  równanie  (2.16)  napiszemy  w postaci 

(2.18)  v('i)fr(')­  (  W)­y<t2)\­cp{t2)dt2­  £hk(t)­tp«\t)}  = 
Ó  к  

' i 

­ 7 ( 0  /   y X / a ) ł f ( ' i . ­ . * a ) * 2 . 
o 

Stąd  łatwo  widać,  że równoś ci  (2.10) i  (2.11)  przyjmą  odpowiednio  p o s t a ć : 

'i 

(2.19) y( ' i )  =  /  y<J2)w{t1­t2)dt2,  w ф  0, 
o 

' 
(2.20)  l(t)+ f  [l(t)­y(t2)].cp(t2)dt2+  %Ш¥*0)  = *(')• 



P R Z Y K Ł A D  L I N I O W E G O  U K Ł A D U  D Y N A M I C Z N E G O  367 

Macierzowa  forma  u k ł a d u  równań  (2.20)  bę dzie  identyczna  z  (2.13),  jeż eli  wektor 

z  elementami  Xj(0  zastą pić  wektorem  o  wyrazach  dj(t),  gdzie 

(2­21)  dj't)  =  X]{t)­  %hk{t)q,f{t). 
к  

Dobierając  odpowiednio  funkcje  hk(t),  z  u k ł a d u  (2.20)  obliczymy  szukane  funkcje 

'A'). 

3.  Przykład 

Jako  przykład  znajdziemy  optymalną  funkcję  przejś cia  u k ł a d u  dynamicznego,  całku­

ją cego  funkcję  przypadkową  X{t).  Układ  jest  obserwowany  przez  skoń czony  okres  czasu 

od  0  do  T.  Funkcja  korelacyjna  Kx(r)  jest  okreś lona  wzorem 

(3.1)  Kx{x)  =  a
2e­'M,  (X(t))  =  0. 

W  tym  przypadku  niestacjonarność  zagadnienia,  jak  zostało  nadmienione  w  rozdz.  2, 

jest  zwią zana  z  operacją  całkowania.  Szukana  funkcja  wagi  jest  okreś lona  równaniem 

(1.2)  ,  gdzie 

H 

/
2  2 

<A?­«<'i­*><«  =  ­  —е ­"*  +  —e­«<«i­»a>,  /4  <  r , . 
a  a 

o 
Widać  stą d,  że jeż eli  założ ymy:  ­

<pl(t) =  o,  <p2(t) =  ae­", 

vi(0  =  1,  У >г О ) =  ae"', 

*i(0  = 
o­2  .1 
a 

X2(0  = 
a 

to  spełnione  są  warunki  (1.3)  i  (1.4)  dla  m  =  2.  Mianowicie: 

Кх(1,,  t2)  =  0• 1 +  o­e­"' • е е *'*,  h > t 2 , 

(3­3)  a2  a 
R~(h  ,t2)=  «­«*» • 1 +  ­e­«*  • oć *,  h  <  t2, 

a  a 

równość  (1.5)  zaś  ma  postać  

(3.4)  ae­«i.afp2­ae­<*i.af?H  =  с т2[е­«с'1­'2>_е«<'1­«2>]  =  w ( t t ­ t 2 ) . 

Stosując  przekształcenie  Laplace'a  do  funkcji  fj(t),  j  =  1,2  i  w(t)  otrzymamy 

Vx(s)  =  =  — ,  ^)  = 1  s  s—a.  az—i­4 

з« 



368  J .  N I Z I O Ł ,  N .  K O N D R A C I U K 

Zgodnie  z  (2.12)  transformaty  Laplace'a  funkcji  y t ( / ) i  y 2 ( 0  mają  postać  

a + s 
A  CO ­ 2«a2s  '  F i ( s ) ~  ~  l ­,,r  •  

Obliczając  oryginały,  otrzymamy: 

gdzie  t  >  0 i  d(t) jest  funkcją  ó­Diraca. 

A b y  obliczyć  funkcje  / Ł ( 0  i  / 2 ( 0 »  należy  rozwią zać  układ  równań  (2.13).  W tym  celu 

obliczamy  współczynniki  а#(0> Uj  =  1 , 2 ,  według  wzoru  (2.14) 

c u ( 0  =   J o   Л 2  =  0, 
o­

« 2 i ( 0  =   J o   dt2  =   o ,  

«22(0  =  J  2 ^ ^ ­ i ^ > ( / 2 )  ae­at^dt2  =   ­1, 

Я 12 С)  =  J 
2cr2  2acr  2o­

U k ł a d  (2.13) ma p o s t a ć : 

(3.5) 

Л (0  = 

1 

Ł a t w o  zauważ yć,  że układ  równań  (3.5)  jest  sprzeczny. 

Zagadnienie  to  m o ż na  rozwią zać,  jeż eli  założ ymy,  że / 2 ( 0  =  0 i jeż eli  bę dziemy  po­

szukiwać  funkcji  przejs'cia  w postaci  (2.15). 

Obliczamy  dj(t),  j  =  1,2 

rfi(0  =  ~—e­M, 

d2(t)  =  ­ е ­
А ,­ / 7 0 ( 0 о ­ е ­

а ' +  А 1 ( 0 о ­ а е ­ " ­ Л2 ( 0 о ­ а
2 е ­ ' " + / г з ( 0 о ­ а3 с " ° "­



P RZYKŁAD  LINIOWEGO  UKŁ ADU  DYNAMI CZNEGO  369 

A b y  rozwią zanie  uczynić  prostszym  założ ymy,  że hk(t)  =  0,  к  ^  1.  Wtedy  układ 

rуwnań  (2.20)  przyjmie  p o s t a ć : 

~ ' r " ­ / i ( ' 0  =  ­e­«­h0(t)cre­«. la  a 

Rozwią zując  ten układ  rуwnań  znajdziemy 

Ao(0 = 
2 ­ e ­

2a 

« 0  =  — — . 

Wstawiając  obliczone  niewiadome  do  (2.15)  otrzymamy  impulsową  funkcję  przejś cia 

rozpatrywanego  u k ł a d u 

Ku  h)  =  1 ­
  1 

2  ~ ~2a 

2—e~" 

Minimalną  wartość  ś rednią  błę du  kwadratowego  m o ż na  obliczyć  według  wzoru 

г  

< Ј 2 ( » > n u n  =  KZ{1, 0 ­  f  /(/,  t1)Rxz(tl,t)dt1. 
ó 

Otrzymamy: 

<e2(0>mm  =  ^ ­ [ а / +е ­ « Ч 1 ] ­ ^ ­е ­
2 " '  Г  [ a ­ ^ f r ) ­

a z  2or  J 
o­

2  Г  

­ 2 o e e a ' < 5 ( / ­ / 1 ) + a у ( r ­ f l ) ] ( l ­ ^
, 1 ) d t 1 ­ — ^ { l ­ e ^ ) e r ­  j  [а ­д ^Ц Л ­

2 

­  2ae"'d(t ­t,)  + a<5(/  ­  /,)]  e ­ a » A t  =  y ­ y  [4a/ + «r"'(9 + e"­"
7) ­  <r 2 "(2 + at) ­  e­"T  +  2]. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1 •  И .  Б .  Ч Е Л П А Н О В,   О п т и м а л ь н а я  о б р а б о т к а  с и г н а л о в  в  н а в и г а ц и о н н ы х  с и с т е м а х ,  Н а у к а,  М о с к ва  

1967. 

2.  А . Н .  КО Л М О Г О Р О В,   И н т е р п о л и р о в а н и е  и  э к с т р а п о л и р о в а н и е  с т а ц и о н а р н ы х  с л у ч а й н ы х  п о с л е д о в а ­

т е л ь н о с т е й ,  И з в.  А Н  С С С Р,  М а т е м .,  1  (1949). 

3.  J .  N I ZI OŁ,   Dynamika  ż yroskopów  ze  szczególnym  uwzglę dnieniem  ż yroskopu  całkują cego  w  nieliniowym 

uję ciu  deterministycznym  i probabilistycznym,  Zeszyty  Naukowe  Polit.  Krakowskiej,  1 (1975). 

4.  N . W I ENER,   Extrapolation, interpolation  and smoothing  of stationary  time,  Series  John  Wiley,  4  (1949). 

5.  L . Z ADEH,  I. R .  R AGGAZZI NI ,  An extension  of  Wiener's  theory of prediction, J . Appl.  Physics, 21 (1950). 

6.  M . SHINBROT,  On  the  integral equation  occuring  in  optimisation  theory with nonstationary  inputs, 

J .  Mathem.  and  Physics,  1,  36  (1957). 



370  J .  N I ZI OŁ,   N .  K ONDRACI UK 

Р е з ю ме  

И С С Л Е Д О В А Н ИЕ  Т О Ч Н О С ТИ  Л И Н Е Й Н ОЙ  Д И Н А М И Ч Е С К ОЙ  С И С Т Е МЫ  

В  Н Е С Т А Ц И О Н А Р Н ОМ  С Л У Ч АЕ  

Ц е л ью  р а б о ты  я в л я е т ся  о п р е д е л е н ие  о п т и м а л ь н ой  в е с о в ой  ф у н к ц ии  д ля  д и н а м и ч е с к ой  с и­

с т е мы  в  н е с т а ц и о н а р н ом  с л у ч а е,  к о г да  а в т о к о р р е л я ц и о н н ая  ф у н к ц ия  Kx(tly  t2)  с и г н а ла  на  в х о де  

Д Г (0  а  т а к же  к о р р е л я ц и о н н ая  ф у н к ц ия  Rxz(tly  t2)  в х о да  X(t)  и  з а д а н н о го  в ы х о да  Zif)  и м е ют  в ид  

т  
Kx(t„  t2)  =  Ł  4>j (t, )Vj (t2),  ' i  >  t2, 

7=1 

m 
Rx:(tu  t2)  =  Xj(.'>)V>j('z),  ' l  >  t2, 

7=1 

г де  <pj(t),  y>j(t),  Xj0)  н е к о т о р ые  з а д а н н ые  ф у н к ц и и.  П р е д п о л а г а е т с я,  ч то в ы п о л н я е т ся  у с л о в ие  

т  

Z  l < P j ( . l i ) V > j ( h ) ­4 > j ( . t *) V j V i ) ]   =  w ( t t­t 2) .  

7=i 

Р е ш ен  п р и м е р, в к о т о р ом  н а й д е на  о п т и м а л ь н ая  в е с о в ая  ф у н к ц ия  д и н а м и ч е с к ой  с и с т е м ы,  и н т е г р и­

р у ю щ ая  с л у ч а й н ую  ф у н к ц и юX(t)  ( в ид  к о р р е л я ц и о н н ой  ф у н к ц и иК х ( х )  =  а
2е ­<*(г>,  м а т е м а т и ч е с к ое  

о ж и д а н ие  р а в но  н у л ю ),  к о г да  в р е мя  н а б л ю д е н ия  с и с т е мы  я в л я е т ся  к о н е ч н ым  п р о м е ж у т к ом  

'  б  (0,  Т ). 

S u m m a r y 

E X A M P L E  O F  I N V E S T I G A T I N G  T H E A C C U R A C Y  O F  A  L I N E A R  D Y N A M I C  S Y S T E M  IN 

A  N O N S T A T I O N A R Y  C A S E 

In  the  present  paper  is  discussed  a  method  of  calculating  the  optimal  transfer  impulse  function  for 

dynamic  system  in  a  nonstationary  case,  if  the  signal's  autocorrelation  function  Kx(ti,t2)  at  the  input 

Л "(')  and  the  intecorrelation  RxzUi,  t2)  between  the  input  X(t)  and  the  required  output  Z(t)  have  the 

following  special  form 

m 

KxOi,  t2)  =  2<Pj(ti)Vj(h),  ' i  5=  t2, 

7=1 

m 

Rxziti,  t2)  =  J T XjUi)Vj(h),  ' i  3*  t2, 

7=1 

where  <pj(t)>  VjO)  a n d  Xj(')  stand  for  certain  scalar  functions.  Moreover we  presume  the  following  con­

dition  to  be  satisfied 

m 

J Ј   l 4 > j { t i ) 4 > j ( . h ) ­< P j ( . h ) y > j ( t i ) ]   =   ч ' С . ­ ' г ). 

A n  example  is  given  of  calculating  the  optimal  transfer  function  for  a  dynamic  system,  which  integrates 

the  stochastic  function  X(t)  (the  autocorrelation  function  Kx(j)  —  <т
2 е ­а < г >  and  its  mathematical  ex­

pectation  are  zero),  in  the  case  when  the  system  is  observed  for  a finite  interval  of  time  '  e  (0,  T). 

P O L I T E C H N I K A  K R A K O W S K A 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  20  sierpnia 1975  r.