Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  14  (1976)  D R G A N I A  C I Ę G NA  W  P Ł A S Z C Z Y Ź N IE  Z W I S U  Z  U W Z G L Ę D N I E N I EM  J E G O  S Z T Y W N O Ś CI  N A  Z G I N A N I E  J Ó Z E F  N I Z I O Ł ,  A L I C J A  P I E N I Ą Ż EK  ( K R A K Ó W )  1.  W s t ę p  Zagadnienia  dynamiki  cię gna  niewą tpliwie  należą  do  waż nych  z a r ó w n o  pod  wzglę dem  zastosowań  inż ynierskich,  jak  i  pod  wzglę dem  poznawczym.  R ó w n a n i a  ruchu  cię gien  są   układami  r ó w n a ń  róż niczkowych  nieliniowych  o  pochodnych  czą stkowych.  Dodatkowo  są  to  układy  równań  o  zmiennych  współczynnikach.  Wszystko  to  stwarza  poważ ne  trud­ noś ci  w  uzyskaniu  nawet  przybliż onych,  dostatecznie  dokładnych,  rozwią zań  wymienio­ nego  układu  równań  i przeanalizowaniu ruchu  cię gna,  a  tym  samym  okreś leniu  interesują­ cych  nas  wielkoś ci  dynamicznych, jak  przyspieszenia,  naprę ż enia  dynamiczne  itp.  D o  znanych,  najistotniejszych  z  tego  zakresu  zagadnień  m o ż na  zaliczyć  rozwią zania  przy  róż nych  stopniach  uproszczenia,  mianowicie :  1.  W  stanie  równowagi  oś  cię gna  pokrywa  się  z  odcinkami  l i n i i  prostej.  Rozważ a  się   nieliniowe  drgania  poprzeczne  cię gna.  2.  Rozważ a  się drgania  nieliniowe  cię gna  o  mały m  zwisie  przy  zastosowaniu  hipotezy  K I R C H H O F F A  [5]  zakładają cej  moż liwość  pominię cia  podłuż nych  sił  bezwładnoś ci  i  ich  wpływu  na  drgania  poprzeczne  cię gna.  3.  M a ł e  drgania  cię gna  wokół  jego  położ enia  równowagi  statycznej  rozpracowane  przez  A N A N I E W A  [1].  4.  Szczególny  przypadek  poprzedniego,  gdzie  dodatkowo  pomija  się  wpływ  podłuż­ nych  sił bezwładnoś ci  na  drgania  poprzeczne.  Znane  są  róż ne  przypadki rozwią zań  powyż szych  zagadnień,  w zależ noś ci  od  w a r u n k ó w  brzegowych,  obcią ż eń  cię gna  dodatkowymi  masami  itp.  Omówione,  czę ś ciowo  rozwią zane  problemy,  dotyczą  cię gien  idealnie  wiotkich,  bez  uwzglę dnienia  sztywnoś ci  na  zginanie.  Wiadomo,  że  wartość  sztywnoś ci  wzdłuż nej  EA  ma  istotny  wpływ  na  formy  drgań  cię gna  [3].  W  odróż nieniu  od  struny  przy  odpowiednio  duż ej  sztywnoś ci  EA  pierwsza  forma  drgań  może  być  antysymetryczna.  Celowe jest  więc  przeanalizowanie  wpływu  sztywnoś ci  gię tnej  El  na  formy  i  czę stoś ci  drgań  cię gna,  gdyż   do  tej  pory  nie  zostało  to  Zrobione.  Przedstawiona  poniż ej  praca  stanowi  wstęp  do  znacznie  ogólniejszego  zagadnienia  tłumienia  drgań  w  liniach  elektroenergetycznych.  W  kraju,  badania  eksperymentalne  z  tego  zakresu  prowadzi  Biuro  Projektów  Energetycznych  w  Krakowie.  Z a r ó w n o  w l i ­ teraturze  krajowej,  jak  i  zagranicznej  brak  jest  opracowań  teoretycznych  z  tego  zakresu.  Stosowane  jako  tłumiki  drgań  pę tle  stanowią  cię gno.  Odległość  mię dzy  punktami  zamo­ cowania  takiego  cię gna  wynosi  4,4  [m]  przy  strzałce  zwisu  0,4  [mj.  Z  literatury  wiadomo  394  J .  N I ZI OŁ,  A .  PIENIĄ Ż EK  [3],  że przy  stosunku  strzałki  zwisu  do  rozpię toś ci  p o d p ó r  mniejszym  od ­  I —  <  —I  8  \  L  8 /  moż na  t r a k t o w a ć  cię gno jako  cię gno  o małym  zwisie  i stosować  odpowiednie  uproszczenia  przy  analizie  drgań  wokół  jego  położ enia  równowagi  statycznej.  W  niniejszej  pracy  zajmiemy  się analizą  drgań  własnych  i wymuszonych cię gna  w płasz­ czyź nie  zwisu.  Weź miemy  pod  uwagę  cię gno  zamocowane  na  dwóch  sztywnych  podpo­ rach  przegubowych,  którego  długość  jest  wię ksza  od  rozpię toś ci  p o d p ó r .  Dodatkowo  uwzglę dnimy  sztywność  gię tną  cię gna  El.  W  wielu  zagadnieniach  praktycznych,  a  dotyczy  to  głównie  przewodów  elektro­ energetycznych,  drgania  wymuszone  są drganiami  eolskimi.  Tego  typu  drgania  wywołane  wirami  Karmana  były  przeanalizowane  przez  B O Ł O T I N A  [2],  jednak  przy  traktowaniu  przewodu  jako  struny.  2.  Równania  ruchu  N a  rys.  1 jest  przedstawione  cię gno,  gdzie  zaznaczono  trzy jego  konfiguracje:  natural­ ną,  statyczną  (w  położ eniu  równowagi)  i  dynamiczną.  Bę dziemy  uwzglę dniać  tylko  nie­ liniowość  geometryczną.  Oprócz  założ enia  o  liniowoś ci  fizycznej  pominiemy  tłumienie  cię gna.  Ц , i - . H 0  Rys.  1.  C i ę g no  i jego  konfiguracje  /  —  naturalna,  2 — statyczna,  3 — dynamiczna  Weź my  pod  uwagę  element  ds0  cię gna  odpowiadają cy  konfiguracji  naturalnej.  W  kon­ figuracji  dynamicznej  przyjmie  on  wielkość  ds',  którą  moż na  znaleźć  ze  zwią zku  (2.1)  w  którym  Г jest  napię ciem  cię gna,  A  przekrojem  poprzecznym,  E  zaś modułem  sprę ż y­ stoś ci  Younga.  Ruch  cię gna  bę dziemy  rozważ ać  w układzie  kartezjań skim,  Oxy,  zwią zanym  z  poło­ ż eniem  równowagi  statycznej  (położ enie  2 na rys. 1).  N a  rys. 2  przedstawiono  element  cię gna  ds'  oraż  siły  na  niego  działają ce.  Składowe  napię cia  T, we współrzę dnych  kartezjań skich  Oxy, są  nastę pują ce  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  395  (2.3)  Przyrosty  napię cia  w kierunkach  х , у  wzdłuż  elementu  ds'  bę dą  nastę pują ce  Rys.  2.  Siły  działają ce  na  element  cię gna  Przy  wyprowadzeniu  równań  uwzglę dnimy  także  siłę  poprzeczną Q.  Jej  składowe  odpowiednie  przyrosty  wzdłuż ds' są, odpowiednio:  (2.4)  (2.5)  д х   ds" Q-^, Q dy  CS'  '  Rozkład  sił wzdłuż nych  i  poprzecznych  na  osie  przyję tego  układu  współrzę dnych  przed­ stawiono  na rys. 3.  ds'  ds'  '  ds'  ds  M+wdsM  dy 'в?  e7  з О о ),  1=0  ot  =  с ч О о )­ 3.  Drgania  swobodne  Przeanalizujemy  obecnie  drgania  swobodne  cię gna.  Weź miemy  zatem  do  dalszych  roz­ waż ań  układ  (2.12).  Przyjmiemy,  że  współrzę dne  х ,  у  oraz  napię cie  T  doznają  m a ł y c h  przyrostów  u,  v,  r,  co  wyrazimy  nastę pują co:  (3.1)  x  =  xt+u,  y  =  yi+v,  f=T+x.  Współrzę dne  xt  i  у i  odpowiadają  położ eniu  równowagi  cię gna.  Bę dziemy  je  uważ ali  za  stałe.  Rozważ ymy  dalej  małe  drgania  cię gna  wokół  położ enia  równowagi.  Podczas  tych  drgań  napię cie  w  cię gnie  bę dzie  się  zmieniać  nieznacznie.  Wyraża  to  trzeci  wzór  w  (3.1).  W  dalszej  analizie  wygodniej  bę dzie  przejść  ze  zmiennej  s0  na  s  przy  pomocy  oczywistej  zależ noś ci  Po  podstawieniu  (3.1)  do  (2.12),  odpowiednim  przekształceniu  i  uporzą dkowaniu  otrzymujemy  nastę pują cy  układ  równań  (już  w  zmiennej  s):  /,  T  \  д l^dxt  dxy  du  „д и Л  L  T \ a _ _  d  [ dxi  d3yi  dyt  dxi  d3v  dyy  du  d3yt  dy,  du  d3v  dyt ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWI SU  399  (3.2)  [c.d.]  ds3  dyi  ds  2  ^ З д"1  dv  dyi  ds3  ds  ds  83  ds3  u  I dyx V  3\ds  }  d3u  dv  dyx  ds3  ds  ds  du  d3v  dv  +   dxi  d3y,  dv  dx,  d3v  dv  du d3y,  dv  ­I  —  1  ­  1 ±1  1_  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  d3Xi  [  dv  ~d?  dv \  d3u  ~ds) ~  Ъ 3  dv  ds  =  m  dt2  dv  +  2V  d2u  dtds  +v- d2xi  ds2  +  V2  d2u]  ds2\'  dyi  dy,  _  dv  ds  ds  ds  ds  d3y\  ds3  +  dxy  ~dJ  d3v  „ du d3y,  dxt  +  2­ ds3  +  2  du d3v  dxi  d3Xi  dyi  dxt  d 3xy  dv  dxx  ds  ds  ds  ds3  ds  ds  ds3  ds  ds  d3u  dv  dxt  i  l du\2  d3y,  ~ds~L "ds3 ds3  ds  ds  +  +  du  ~ds  d3v  ~ds^  d3x,  dv  du  d3u  dyt  du  ds  ds3  ds  d3u  dyi  dxt  ds3  ds  ds  d3x1  dyi  du  ds3  ds  ds  d3u  dv  du  + ds3  =  m  ds  ds  d2v  G+W2 ds3  ds  ds  d2v  ds3  ds  ds  +  2V  dtds  + V ^ + V 2 ds2  Podobnie, jak  w [7]  przyjmiemy, ż e:  (3.3)  dxy  ds  1,  dyi  ds  rps,  AE  1 +  dv tfx,  du  dy  ds  ds  ds  ds  fo  1  gdzie  tp, ze wzglę du  na przyję te  założ enie  <  —,  jest  wielkoś cią  małą.  /  o  Po  pominię ciu  małych  wyż szego  rzę du  (ip w potę dze  wyż szej  niż pierwsza),  wykorzy­ staniu  r ó w n a ń  równowagi  oraz  zależ noś ci  (3.3)  otrzymamy  u k ł a d :  \2 d_  ds  du  1 +  T  ds  ~AE  . . .   i du  +  AE\~ds~+fS  dv  ~di.  +  (3.4)  1 +  T  \ 2  d  AE  ds  + 11 +  T  T  V  1E) El­ Os  y)S­ d3v  ds3  =  m j d2u  d2u + 2V­ dt2  dtds  +  V2  d2u~\  ds2\'  1 +  dv  ~T~~ds  ~AE  +  AE Hś f)  +  L  T\2  r T d  Г d3u  d3v]  \d2v  + V +  А Ё) EI  & far*­ " И =  m Ы   „ ,  d2v  T_,  d 2v  + 2 V W * + V L W  3*  400  J .  N I ZI OŁ,   A .  PIENIĄ Ż EK  W p r o w a d ź my  jeszcze  nastę pują ce  oznaczenia :  (3.5)  ——TJ-  =  M,  7  ...  ­MV2  =  W, Ą  =  D,  (3.5а)  a 2  =  — ,  V  =  —,  ^  =  — .  Ponadto  przekształcimy  pochodne  mieszane,  wystę pują ce  po  prawych  stronach  ukła­ du  (3.4),  w  nastę pują cy  s p o s ó b :  2 V ^ ­  =  2V±­ l v  dtds  l v  dt  i  analogicznie  S 2 ^  Rozwią zania  układu  (3.4)  przyjmiemy  w postaci:  (3.6)  u(s,  t)  =  u{s)e>"#,  O ( J ,  0  =  w ( i > f a « ' .  Po  podstawieniu  (3.6)  do  u k ł a d u  (3.4),  z  uwzglę dnieniem  oznaczeń  (3.5),  otrzymujemy:  ­  2EIy2sD3u  +  WD2u  + AED2u  + 3Mq2a2u  + A Exp Dv +  (3.7)  + AEy!sD2v  + ElipD3v  + EIyisD4v  =  0,  EIy>sDAu + EIy>D3u + AEy)Du + AEy>sD2u­EID*v+WD2v  + 3Ma2q2v  =  0.  Nastę pnie  dzielimy  r ó w n a n i a  u k ł a d u  (3.7)  stronami  przez  AE  i  w ten  sposób  otrzymu­ jemy  u k ł a d :  (pt+l)D2u  + 3piq2u+­^  ­y>sDAv +  ­— y>D3v + y>sD2v + y>Dv  =  0,  А  A  (3.8)  /  /  /  —  ipsD^u­r­ ~­ipD3u  + y)sD2u + y>Du­  ­7­D*v  + piD 2v  + 3piq2v  =  0.  A A  A  Uzyskanie  rozwią zania  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż niczkowych  czwartego  rzę du  o  zmiennych  współczynnikach  (3.8)  nastrę cza  duże  kłopoty.  W  celu  uzyskania  rozwią zania  dokonamy  przekształcenia  wprowadzając  zmienne  f  i  r\ według  w z o r ó w :  (3.9)  Podstawimy  (3.9)  do  u k ł a d u  (3.8).  Po  odpowiednim  przekształceniu  i  pominię ciu,  jako  bardzo  małych,  członów  zawierają cych  iloczyny  ptyt  otrzymamy  (pi + l)D2i  + 3fiq2i  + 2­~y!D3r1  =  0,  (З Л О)  2 — y>D3C + 2y>DC­ —  DAr] + LiD2r} + 3piq27) =  0.  A  A  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  401  Rozwią zania  układu  (3.10)  bę dziemy  poszukiwali  w  nastę pują cej  postaci:  £  = Aers,  r\ =  Be".  Po  podstawieniu  powyż szych  postaci  rozwią zań  do  u k ł a d u  (3.10),  wykonaniu  odpo­ wiednich  działań  i  uporzą dkowaniu  otrzymujemy:  2 A  A[{p  + \)r2  + 3pq2] + B  ( З Л 1)  I  /  1  Г  /  I  А \2­­1р гъ+2у г  +УЗ  ­  — r++pr2  + 3pq2\  = 0.  Równanie  charakterystyczne  układu  (3.11)  ma  postać   (3.12)  _ | ( / J + l ) ­ ~ + 4 ( ~ )  Ą 2^+[(/г  + \)р ­з АM 2­4W 2   L  +  [3(p+\)pq2  + 9p2q2]r2  + 9p2qA  = 0.  Po  pominię ciu  składników  zawierają cych  tp2  otrzymujemy  /  (3.13)  ­ • I r r 6  +  1 ­ 3  —ą   pr*  + 3pq 2r2  + 9p2qA  = 0  Jest  to  równanie  trzeciego  stopnia  ze  wzglę du  na r2.  Zbadamy  znak  wyróż nika  3),  który  w koń cowej  formie  m o ż na  przedstawić  nastę pują co:  (3.14)  9  =  [­27(4)  ^ 6  + 9 ^ \ 2  + 3М)М­  +  +  3 j  (5p­  l­3p2)q2+p  L  ­  l ) J  .  Jak  widać,  wyróż nik 3)  zależy  od q.  Ś cisłe  okreś lenie  znaku 2J W  zależ noś ci  od para­ metru  q jest  moż liwe  tylko  dla konkretnych  wartoś ci,  przy  czym  i tak  należy  się liczyć   z  koniecznoś cią  rozwią zania  nierównoś ci  szóstego  stopnia.  Biorąc  pod uwagę  powyż sze  rozpatrzymy  ogólnie  przypadki  róż nych,  moż liwych  z n a k ó w  3>.  Przypadek  I—9>  > 0. W tym przypadku,  ze  wzorów  Cardano,  otrzymujemy  jeden  pierwiastek  rzeczywisty  oraz  dwa  pierwiastki  zespolone  sprzę ż one.  Ponieważ  pierwiastek  rzeczywisty  może  być  dodatni  lub ujemny  istnieją  dwie  dalsze  moż liwoś ci:  —  jeden  pierwiastek  rzeczywisty  ujemny,  dwa  zespolone  sprzę ż one,  —  jeden  pierwiastek  rzeczywisty  dodatni,  dwa  zespolone  sprzę ż one.  Powracając  do  równania  charakterystycznego  (3.13),  k t ó r e  jest  szóstego  stopnia  mo­ ż emy  otrzymać :  a)  sześć  pierwiastków  zespolonych  sprzę ż onych,  b)  dwa  pierwiastki  rzeczywiste,  róż nych  z n a k ó w  i cztery  zespolone  sprzę ż one.  Przypadek  II— В  < 0. Otrzymamy  wtedy  trzy  pierwiastki  rzeczywiste,  przy  czym  dwa  z  nich  mogą  być  dodatnie  i jeden  ujemny,  wzglę dnie  dwa  ujemne  jeden  dodatni.  Zatem  równanie  charakterystyczne  (3.13)  bę dzie  m i a ł o :  a)  cztery  pierwiastki  rzeczywiste i  dwa  zespolone  sprzę ż one,  b)  cztery  pierwiastki  zespolone  sprzę ż one  i dwa  rzeczywiste.  402  J .  N I ZI OŁ,   A .  P I ENI Ą Ż EK  Przypadek 3> =  0  jest  szczególnym  przypadkiem 3) <  O i  nie  bę dziemy  go  tutaj  roz­ patryw ać .  W  zwią zku  г  przedstawionymi  wyż ej  przypadkami  pierwiastków  r ó w n a n i a  charakte­ rystycznego,  rozwią zania  układu  r ó w n a ń  (3.10)  bę dą  miały  odpowiednio  róż ną  postać.  Przedstawimy  je  obecnie,  dla  każ dego  przypadku  oddzielnie.  Przypadek  l.  Zapiszmy  pierwiastki  równania  charakterystycznego  w  nastę pują cej  postaci:  (3.15)  ''Z =  « I  ­ib,  r3  =  a2  + ib2  ,  U  =  a2  ­ib2  ''s  =  a3  +  ib3,  r6  =  a3  ­ib3  Całki  ogólne  układu  (3.10)  bę dą  miały  p o s t a ć :  (3.16)  ' " !  б   Stałe Aj  i Bj, (j' = l,  6)  są  stałymi  zespolonymi  zwią zanymi  nastę pują cą  zależ noś cią   wynikają cą  z  u k ł a d u  (3.11):  B .  (u  + l)r 2  + 3ua2  2^Ч >Г)  + 1Ч >П   (3.17)  A  =  _  .(f* + Vr,+3M_  =  _  _ _ Л  =  J  2—tprf  _ ­ _ r *  +  / * r 2  +  3 M 2  ( / =  1 , . . . , 6 ) .  Rozwią zania  (3.16)  m o ż na  zapisać  w  postaci  rzeczywistej,  wprowadzając  nowe  stałe  A%j,  A2J,  A3j  za  pomocą  zależ noś ci:  Ai  =  y  (Au­iAl2),  A2  = j  (Аи+г А12),  (3.18)  A3  =  —  (A2l­iA22),  AA  =  j  (A21  +iA22),  As  =  у  (A31  ­iA32),  A6  = y  (A31+iA32),  na  podstawie  (3.17)  i  (3.15)  słuszne  są  zwią zki:  Bt = Atty+tyJ, B2  =  A2(J12  + iy2)  =  A^­fyt),  (3.19)  /3,  .  A3(B3+iy3), B4  =  AĄ(BĄ  + iyĄ)  =  AĄ(B3-tya), B5  =  As(Bs+iys)i B6  =  Л 6 ( А ­ И >6 )  =  A6(t3s­iys).  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWI SU  403  Po  podstawieniu  (3.18)  i  (3.19)  odpowiednio do  (3.16),  z  uwzglę dnieniem  (3.15),  otrzy­ mujemy:  £  =  Alle ai'cosb1s+A12e ttl'smbls+A2le a2Scosb2s+A22e" 2Ssmb2s  +  + A31e" 3Scosb3s  +  A32e aiSs'mb3s,  (3.20)  r) =  (Alipl+A12Yi)e aiScosb1s+(Allyl­A12pl)e^ ssinb1s  +  + (A2183+A22y3)  e" 2Scosb2  s ­  (A2, y3  ­  A22  B3) e° 2Sń nb2  s +  + (A31BS  + A32ys)  e ^ c o s b3s­(A31ys­A32ies)  e a>ssinb3s.  Stałe  Au,  A2J,  A3j  wyznaczymy z w a r u n k ó w  brzegowych, które  po zastosowaniu  transfor­ macji  (3.9)  przyjmą  p o s t a ć   (3.21)  Przystą pimy  obecnie  do wyznaczenia stałych.  Wykorzystując  warunki  brzegowe  (3.21)  otrzymamy  układ  sześ ciu  jednorodnych  równań  algebraicznych  na  poszukiwane  stałe.  M a  on p o s t a ć :  Aue  '  2cosb1  ( ­ у ] + Л1 2 е 2"l'smbĄ ­j^+A21e   2 "2'cosb21 ­  y j  K ) +  Л2 2 2 1 ­ 7 Г  + ^ 3 i с   c o s Ј 3  +  +  A32e  ­  =­<"з/  i  sinć >3 | ­  y |  = 0,  >  .  j­eii  l  ­i­02'  1  Л и е  cos ­ 6 , / ­ M , 2 e  м п у А ^ + ^ ле  c o s y 6 2 / +  2 A 2 '  1  4 « з '  1 ~a3l  J  + A22e  s m y 0 2 / + ^ 3 1 e  c o s ~ Z > 2 / + , 4 3 2 e z  s i n ­ j ­ ^ ^ O ,  (3.22)  Л ,  ,­«э<  1  2  1  / S , c o s | ­  y 6 i / | ­ n s i n | ­ ­ i 6 i / |  + ^ 1 2 | y 1 c o s ( ­ l 6 1 / | + / ? 1 s i n ( ­ i 6 1 / ) j e " 2  +  +  ^ 2 1  +  Л 2 2  +  Л 3 1  ^ 3 2  /Зз cos I  ­  ~ b211 ­  y 3 s i n I  ­  — b21  +  y 3 c o s | ­ y 6 2 / j + / 3 3 s i n | ­  y f c 2 / j | e   2 " 2 ' +  / 3 5 c o s | ­  y Z > 3 / | + y 5 s i n | ­  ^ 6 3 / j |  e   2 < , 3 ' ­ l ­ y 5  cos j ­  16 3  / J + вл  sin j ­  16 3  / J j e~ ~2  =  0,  404  J .  N I ZI OŁ,   A .  P IENIĄ Ż EK  (3.22)  Au  |/S,cos~  bj­y^m  ^  v ) < ? 2  + Al2  | y i cos у  bt  /+/?,  s i n y  6, /j e 2  ' " ' +  ( 1  1  \  i * 1 2 '  /  I  / 3 3 c o s y 6 2 / ­ y 3 s i n y 6 2 / l c 2  +A22  l 7 3 c o s 2  b2l  +  +  /? 3 sin  1  \  T " 2 '  / 1  1  \  1"»'  Ш у 62 / 1 е  + / 1 3 , l / 3 5 c o s y 6 3 / ­ y 5 s i n y 6 3 / l e ' !  +  +  / 1 3 2  | y 5 C 0 S y Z > 3 / + / 3 5 s i n y 6 3 / | ^ 2 ' ' 3 '  =  0,  A ,  { [ ­ 2 # , ­ 2 B , a , b , ­ y i ( a 2 + Z > 2 ) ] s i n | ­ *  6 , / J  +  +  +  + A12{[24>al­2y1alb1+01(a 2­b2)]sm^­  J  v ]  + [2yft,  + 2 Ј , a , 6 ,  + y , ( a 2  ­ 6 2 ) ] c o s l -  i 6 ,  /J e~  4­ Л 2  i  {[ ­  2y>62 ­  2B3 a2 b2 ­ у j ( a 2 + 62)] sin |  ­  J  Z>2 / J  + [ 2 №  ­  2y 3 a2 b2 + 63 ( a 2  ­  b\)} cos ( ­  ~  b21 j e 2 °2' + + A22  {[2^я2 ­  2 у3 a 2 b2 + /9 3 (a| ­  b 2 2)]sin |  ­  2 м)  +  +  [ 2 y , 7 2 + 2 ^ 3 a 2 i 2 + y 3 ( f l 2 ­ 6 2 ) ] c o s | ­ jb2Ą e   2""' +  + A3,  {[­2v>Z>3 ­ 2 Ј 5 a 3 b 3 ­  ys(al  ­ 6 | ) ] s i n | ­  ~ b3IJ +  +  [2y>a3­2ysa3b3  + e5(al­b 2)]cos(­  i63/)  e~  2  +  [<­ +  Л 3 2 { [ 2 y a 3 ~ 2 y 5 a 3 b 3 ­ в 5 ( а 1  + bi)]sin^  ­  jb3lj  +  +  [2y>b3 + 2esa3b3  + y5(a 2 3­b 2 3)]cos^­jb3l^e~ 2a''  =  0,  .  1  A u  \(.­2y>b, - 2 e l a 1 b l ­ y 1 a 2  +  ylb 2)sm~­bll+  1  + (2y>at +8,a 2­Blb 2­2y1  a, 6 , ) c o s b , l e 2 + D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  405  (3.22)  [c.d.]  +  A1:  (lipa,­2yla1bi + Piaf-Ptb 2)  sin j b j + + (2ipb,  +  yia]­yxb\+2fi{alb{)cos­~bil  e 2 + +  A2  ( ­  2y>b2 ­2[33a2b2-  y3 a\ + y3 b\) sin \ b21 +  +  (2г р а2  +Р3а 2 г­рзЬ 2 2­2y3  a2 b2) cos  — b21  +  A2  e2  +  (2y>a2 ­  2y 3 a2 b2 + [33 a\ ­  / j 3 b 2 2)  sin  b21 +  +  (2y>62 + У з «I ­  Уз b\ + 2p3 a2 b2)cos  v  Z>2 /  c 2  +  (­2y)b3­2p5a3b3­y5al  + y5bl)sin­^­b3l  +  +  (2y>a3  +f3sal­L35bl­2y5a3b3)cos~b3l  e  +  ( ­  2 y 5  «з  ­  al ~ Ps b\ + 2ipa3) sin  — b31 +  U'  + (24>b3 + y5a 2 3­ysb 2 3+2psa3b3)cos­~  b3l^e 2  "  =  0.  Warunkiem  istnienia  niezerowych  rozwią zań  tego  u k ł a d u  jest  zerowanie  się  wyznacznika  utworzonego  ze współczynników  wystę pują cych  przy  poszukiwanych  stałych.  Jeż eli  współ­ czynniki  te  oznaczymy  kolejno  przez  сц  (/  =  1,  6). (j  =  1,  6), to  z  r ó w n a n i a  (3.23)  / ,  E C \ k l C 2 k 2  •••  C6k6  —  O'  ki, k2  , ...,  k6  gdzie  sumowanie  jest  po  wszystkich  moż liwych  permutacjach  drugich  wskaź ników  kx,k2, ...,k0  liczb  1,2,  . . . , 6 ,  zaś e jest  równe  +1  lub  — l w zależ noś ci  od  tego, czy  permutacja kt,k2, k6  jest  parzysta,  czy też jest  nieparzystą,  otrzymujemy  ciąg  rozwią­ zań  na  czę stoś ci  drgań  własnych m„, (con = a„q„).  Oczywiś cie ax, bt, a2, b2, a3, b3  są   funkcjami co. Z  zależ noś ci  (3.18)  moż emy  obliczyć  cią gi  wartoś ci  dla aUl, bln, a2n, b2n, a3„, b3n. Nastę pnie  z  układu  r ó w n a ń  na  stałe  (3.22),  dla  okreś lonej  czę stoś ci co  wyznaczamy  cią gi  tych  stałych:  A\u  A"2,  A"2i,  A"22,  A"31,  A32  (и jest  indeksem  górnym).  Po  przeprowadzeniu  powyż szych  obliczeń  moż emy  obecnie  okreś lić  postacie  drgań   własnych,  dla okreś lonej  czę stoś ci co. 406  J .  N I ZI OŁ,   A .  PIENIĄ Ż EK  We  współrzę dnych u i v  są one  nastę pują ce:  u„(s) =  Anll[(ipyls + y>Blwlb + y>ylwla)sinb,s + +  ( 1 ­  v / * i ?  +  V / ? i  W i a + W i wiD)cosbis]e" lS + + A"2[(l-y>P,s + y>P1wla + yylwlb)s'mb1s + + (-Wis+Wi wia+vPi wlb)cosbiS]e"^+ + A2i  К У>У З s­rpy3w2a  + \pP3 w2b)  sin b2s  +  +  (1 ­y>B3s+y)B3  w2a  + fy3  w 2 i ) c o s & 2 s ] e e 2 5 +  +  ^ 2 2 [ ( l ­ V > / 9 3 . y  +  V / ? 3 w2a  + y)y3  w2 f c)sinfe25 +  + (~ У >У з s  + У У з w2 a ­ У>Р з w2 b ) cosb2s]e" 2"  +  + A31  [(yy  s  s+ W s W 3 a +y>Ps  w3b) sin b3  s +  (3  25)  +  (1 ­  fB5s+fds  w3a  + y>y5  w3b)cosb3s]e aiS+  + A32[(l­f85s  + y)P5 w3a  + ipys w3b)smb3s  +  + (­  Ws s + yys w3a  ­  y>$s w3b) cos b3  s]  e° iS,  vn{s)  =  A n ll[(­yl­y)Wxb)smbls  + (fs  + Bi­fWla)cosbis]e aiS  +  + A"i2[(ips + Bl ­wlaf)s'mb1s  + (yl  +vWi(,)cos6is]e" tS +  + A2i[(­y3­y>w2b)sinb2s  + (y>s + p 3 ­  y>w2a) cos b2  s] e" 2" +  +  A 2 2 [y>s + Pi ­  4> w 2 a)sinb2s  +  (y3  + y>w2b)cosb2 s]e" 2'+  + A3l[(­y5­y>w3b)sir\b3s  + (y>s + B5­  fw3a) cos b3  s] e a>" +  + A"32  [(y>s + Ps­ipw3a)sinb3s+(ys+  y)w3b) cosb3  s]  e° 3',  gdzie  W,a~af+bf  '*  af+hf  Rozwią zania  u k ł a d u  (3.6)  wyrażą  się zatem  w postaci  nastę pują cych  szeregów:  42  > *» =  Ж П к 2>  '  =  0 . 2 , 3 ) .  u(s, t)  = 2J  u„(s)(Cnco$(ol,t+Z)*sinft)„0,  (3.26)  v(s,  t)  =  У  w„(5)(C„cos«„r + Z)„sinw„0.  n = l  W  układzie  (3.26)  wystę pują  stałe  C„ i  D„,  które  wyznaczymy z  warunków  począ tko­ wych,  wykorzystując  w tym  celu  warunek  ortogonalnoś ci  drgań  własnych.  Przeprowadza­ jąc  w znany  sposób  proces  ortogonalizacji  [4] dla u k ł a d u  (3.7)  otrzymujemy  nastę pują cy  warunek  ortogonalnoś ci  0  dla n ф k,  (3.27)  J  (u„uk+vnvk)ds  =  i  j(u2+v2)ds,  dla  n — k.  o  Warunki  począ tkowe  potrzebne  do wyznaczenia  stałych są:  u(s, 0) = gt(s), v(s, 0) = g2(s), (3.28) du_ ~~dt dv (s.O) = gt(*)- (s.O) D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  407  Po  wykonaniu  odpowiednich  działań  otrzymamy  nastę pują ce  zależ noś ci  na  stałe  C „ i  A , :  i J (giU„ +g2vK)ds (3.29)  i  f  (u2n+v 2 n)ds  o  i j (g3"n+g*vn)ds o  I u>„  /  (u2+v2)ds  Rozpatrzymy  obecnie  drugą  moż liwość  wystę pują cą  w  przypadku  I,  tzn.:  kiedy  r ó w n a n i e  charakterystyczne bę dzie  posiadało  cztery pierwiastki  zespolone sprzę ż one  i dwa  pierwiastki  rzeczywiste  równe  lecz  przeciwnych  znaków.  Zapiszemy  to  w  postaci  ogólnej:  rt  =  c,  +id,, r2 = Ci  —idi,  (3.30) r3  =  c2  + id2,  rA  =  c2  —  id2,  rs —  C3  >  r 6  =  ~  c 3  •   Całki  ogólne  układu  (3.10) zapiszemy  w  postaci:  б  6  (3.31)  £  =  ]>]EJ(?I\  v  =  ]?Hje'J*, 7=1  J = l  gdzie Ej,  HJ  dla (J  =  1 , 2 , 3 , 4 )  są  stałymi  zespolonymi,  zaś  dla  (j'  =  5,6)  stałymi  rze­ czywistymi.  Wymienione  stałe  są  mię dzy  sobą  zwią zane  nastę pują cą  zależ noś cią  wynika­ ją cą  z  (3.11):  / / ,  ( » •  I W  ­ (3.32)  E j  2 — W j 3 - ± . r f + / i r j 2 +  3(iq2 dla j  =  1 , 2 , 3 , 4 ,  ^ ­ = C,   dla j  = 5 , 6 .  =  Ł) +  * s m ( / 1 J +  +  ( Ј 2 1  C3  + Ł 2  2 0­3)e c ^cos^2  ff3  ­ Ł 2 2  C 3 K 2 S s i n < / 2 ?  +  +  Ј 3 1 C5  ch c 3 5 ­  E3  2  C5 sh c 3  i ' ,  408  J .  N I ZI OŁ,   A .  PIENIĄ Ż EK  gdzie  j(En­iEl2)  = Elt  j(Eu  + iEi2)  =  E2,  l­  (E21­iE22)  = E3,  j(E2l+iE22)  =  EA,  stałe E31  i E32  są rzeczywiste.  Przystą pimy  do wyznaczenia  stałych z u k ł a d u  r ó w n a ń  w  postaci:  Eu  cos ( ­  у r f, / J + Ј ł 2 s i n | ­ y r f , / )  e x p | ­ y C i / )  +  + Ј 2 j | c o s j ­  у  d2 łj  + E22  s i n  |  ­  у  4  lCh(~  2 C i ' ) + E 3 2 S h { ~  2С з 1)  =  °'  /• .',  i (cos­y U7,  / + Ј , 2  sin у  ^ / | e x p | y  C i Л + J E 2 1  |cos  у d: 2l+E22b\n —  d2l\y.  x  e x p y c 2 / + Ј , 3 1 c h y c 3 / + Ј ' 3 2 s h y  c 3 /  =  0,  C X P |  ­  2  C l / I  1  (3.34)  E u j d  c o s l ­ y r f j / j ­ f f j s i n l ­  у  л ?!  o­j cos I  ­  у  U7! /j  +  Ci sin I  ­  у  U7! /j j  exp  H  +  Ј , 2  +  Ј 2 2  [ g 3 C O s | ­ у  J 2 / |  I  . M! l  C , c o s (  ­  y ( / 2 / |  ds  ­  a, (cj  ­;/,) ­  2 C i ej  rf,]sin ( ­  I  u?t  /j +  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  409 (3.34)  [cd.]  +  [2y>c, + Ci (cf ­  df)  ­  2(7,  c, d,]  cos  ( ­  у  c, +  С i (cf ­  Й 7 2 ) ­  2(7,  c, U', ]  sin |  ­  ­~ d{  / j  +  +  [2ipd1  + (7, (cf ­  dj)  + 2C, c , rf, ] cos  |  ­  у  dt  I j Jexp  j  ­  у  j  c , /  +  +  Ј 2 1  | [ ­ 2 ^ / 2 ­ о ­3 ( с | ­ й ' | ) ­ 2 С з c2 « / 2 j s i n | ­ y r f 2 / J  +  +  [2yc2 +  C 3 (cf ­  o'!) ­  2(73 c 2 c2 +  C3(c\  ­  d\)  ­  2( 73 c 2 d2]sin  j ­  у  rf2  /1  +  +  [ 2 ^ 2  +  ( 7 3 ( c | ­ ( / 2 2 ) + 2 C 3 c 2 u ' 2 ] c o s | ­  y ^ / j j e x p j ­  y C 2 / )  +  + Ł3  2 y c 3 s h |  ­  у  c 3 / | +  C 5 c | s h  |  ­  y c 3 / |  +  Ј з   2^)c3  c h  c 3 /  ­ C 5 c  2 s h ( ­ c 3 /  +  0 ,  Ł , ,  [ ­  2 V (/,  ­  (7, (cf  ­  o 7 2 )  ­  2f,  c, d2 + a3  (c\ ­  dl)  + 2C3c2  d2] cos  — d21  \ e  +  +  Ј 3 1  +  Ј 3 2  2%pc3 sh у  c 3 / +  C 5 c\ c h у  c 3 / +  1  2ipc3 c h у  c 3 / ­ C 5 c | s h y  c j |  =  0. b ' ]  • 410  J .  N I ZI OŁ,  A .  P IENIĄ Ż EK  Wielkoś ci con wyznaczamy  podobnie,  jak poprzednio.  Mając ion moż emy  wyznaczyć   stałe Efj. D l a  okreś lonej  czę stoś ci co„ postacie  drgań  głównych  we współrzę dnych u i v są  na­ stę pują ce  :  H„ (.V)  =  Enn[(y)ctjS-y)a1wlc  + CiW wid)^diS + +  (1 - fCls+ipClwlc+fo1wtd)cosd1s]e Cl'+ + E"2[(l ~wCiS+y>CiWlc  + yeti wld)sind1s+ + (-y)cr1s + fa1wic~ipCiWlll)cosdls]e c>'! + + E\,  [(v»o­3 s - y><73 w2c + tpC3 w2a) sin d2 s + +  (l-y>C3s + y)t;3w2c + y)03 w2d) cos d2 s] e c*s + + E"22 [ (1 ­ y>C3 s + у C 3 и 'гс + fo3 w2d) sin d2 s + + (-y>cr3s + y)o3w2c-y>C3 w2d) cosd2 s]e c*s + (3.36)  +  E"3i  +  E32  (1 -y>C5s)chcss+ \y>Cs +  ch c3 s + (1 + Cs ¥>•?) sh c3 s v„(s)  =  Enil[(—o1—fwld)smd1s+(y)s+C1— yiwlc)cosd1s]e ClS+  + E"12[(ips + Ci — fWiJsind, s + (at + ipwid)cosd1s]e ClS  +  + E2  i  [( ­  ° з ­  W Wid) sin d2 s + (ys +  f 3 ­ y>w2 c) cos d2 s] e° 2S  +  +  Ј 2 2  [(Vй + Сз ­  Vw2c)  sin д "2  + (o­3 + y>w2d) cos d2 s] e c*s+  1  +  E31  V>—J shc3s+(ips+Cs)ć hc3s\ + +  E"32  (y>s—Cs)shc3s—y) —— c h c 3 j  C 3  W  powyż szych  wzorach,  dla skrócenia  zapisu,  oznaczyliś my  przez  wic,  wid  wyraż enia:  c; di W i c cf+df Wii~cf+dr i = l , 2 .  P o  podstawieniu  znalezionych postaci  drgań  własnych  do (3.26)  otrzymamy  poszukiwane  rozwią zania.  Przypadek  II. Rozpatrzymy  pierwszą  moż liwoś ć:  gdy dwa pierwiastki  r ó w n a n i a  cha­ rakterystycznego  są zespolone,  sprzę ż one,  a  cztery  rzeczywiste, co ogólnie  zapiszemy:  П  = 4  +ifi,  r2=ex­ifi,  (3.37)  r3  = e2, rs =  e3,  r* = ~e2, r0  = -e3. D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  411  Całki  ogólne  u k ł a d u  r ó w n a ń  (3.10)  napiszemy  od  razu  w  postaci  trygonometrycznej:  I  =  G , , e e , s c o s fls  + Gl2e eiSs'mf1s+G3she2s  + G4.che2s  + G5she3s  +  G6che3s,  (3.38)  tj  =  (G11&i+Gi2d1)e eiscosf1s­(Glid1­G12&1)e e^smf1s  +  + G3  x3  sh e2  s — G4  x3  ch  e2  s + G5  x5  sh e3  s — G6  xs  ch  e3  s,  gdzie  Pj  Gj  (H+\)rf + l(iq2 2-LWf ~ j'f+firf + S/iq 2 =  xj  =  ftj  +  iój,  (3.39)  . / =  1 , 2 ,  XJ = ®J> J - 3> 4> 5> 6 ' G J  =  у  ( C ­  >  +  / G >  G 2  =  I  ( G , ,  ­  iG22),  P , , Gj  dla  y'  =  3 , 4 ,  5,  6  są  stałymi rzeczywistymi.  P o  analogicznych  obliczeniach,  jak  w  poprzednich  przypadkach,  otrzymamy  nastę pu­ ją ce  postacie  drgań własnych:  un(s)  =  G"11[(y>d1s—fd1wle  + y>&1wlf)smf1s  +  +  (l—yy&1s+ip&1  wle  + ip<)\ wlf)cos  f1s]e ei"  +  + Gi 2 [(1  + f®i  wt  e  + у д у  wlf)  sin  / 1  s +  +  (  —  s +  f&i  wle — ip&yWif)cos  f1s]e eiS  +  ?"з [(  *3  +  G 3  j (1 — ipx3s)sh.e2s + y- — c h e 2 j j  +  '>  I  " Y > ^  she 2 .?­l­(l­ r y* 3 .s')che 2 .yj+  +  G 5  ( l ­ ^ s ^ s h e s J  +  v  (3.40)  4 b t )  +  she3.?­f  (1  +y>x5s)che3s  *)„(.$)  =  G ^ 1 t ( ­ v ) W i / ­ ó 1 ) s i n / 1 J +  (^j  + ^ 1 ­ v n ' l e ) c o s / 1 j ] e e i S  +  +  G" 2  [ ( ^ 5 + ­  y w i  e ) s i n / !  J +  (o,  + y>wlf) c o s / x  5] е е»* +  + G3  + GI  (y)s +  x3)she2s­ •y>—  che2s\  e2  J  +  — rp—  she2s  + (rps — >t:3)che2.sj  +  +   G 5  j (rps + x5)sh.e3s  —  —  c h e 3 ^ J   +   + G\  she3s+(rps—  xs)che3s\.  412  J .  N I ZI OŁ,   A .  P IENIĄ Ż EK  W  celu  uzyskania  rozwią zań  należy  powyż sze  postacie  u„ i vn  podstawić  do  wzorów  (3.26).  We  wzorach  (3.40)  oznaczono:  fi  Vfi„  =  el+fi  ei+fi  4.  Drgania  wymuszone  W  celu  rozpatrzenia  drgań  wymuszonych  weź miemy  pod  uwagę  układ  (2.13).  Postę­ pując  tak  samo,  jak  przy  analizie  drgań  swobodnych,  układ  ten  przekształcimy  do  nastę pują cej  postaci,  wygodnej  w dalszych  rozważ aniach:  .  d2u  I  dAv  I  d3v  d2v  dv  „  M  d2u  (M+l)  d s 2  + f s ­ J ^ r  + ­ I T s 3 ­  + W  d s 2 ­ +  W­a7  (4.1)  Ъ~А Ё  8jr = Ms,0, 1  A  yts ę y dsr  d3u  d2u  д и  I  d*v  ds2 ds  A  ds  d2v  ds*  ­ 3  M  d2v  ^AElh2  = fi(.s,t).  Całki  ogólne  układu  równań  jednorodnych  zostały  wyznaczone  w poprzednim  rozdziale.  Całek  szczególnych  bę dziemy  poszukiwać  metodą  rozkładu  według  postaci  drgań  wła­ snych  (np. [4]), w nastę pują cej  formie:  (4.2)  u(s, t)  =  yju„(s)Sn(t.),  20  v(s,t)  =  £v„(s)S„(t).  P o  podstawieniu  (4.2) do (4.1) otrzymamy:  00  00  (ц+1)и 'п' + ipv'„ + ipsv'n + ­j yiv'„" + j  ipsv1/  M  •• 1 S"~3  ~AEUnS")  =  / l ( ' M ) '  ipsu1/ + ~  fu'„" ­  — v*r  + rpsu,  •3­AEV»S"  =  fz(s,t),  gdzie  apostrofami  oznaczono  róż niczkowanie  czą stkowe  po  s,  kropkami  zaś  róż niczko­ wanie po t.  W  celu  wyznaczenia  niewiadomych  funkcji  Sn(t),  pierwsze  równanie  u k ł a d u  (4.3)  p o m n o ż y my  stronami  przez  uk,  drugie  przez  vk,  a  nastę pnie  dodamy  je  stronami.  W ten  sposób  otrzymujemy:  0 0  (/л + 1)и 'п' uk + y>v'„uk + ipsv'n' uk+  A­y,v'n"Uk+  ^­y>sv l„vuk  + y)su'n'vk +  (4.4)  + 1­ • ę su]yvk  + ~y>u'n"®к­­д  v'vVk  +  У >ип Щ +  № п'щ   L  М  „ М   3 —  ипик  + 3—  vnvk  S„\  =fiuk+f2vk.  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  4 1 3  Funkcje  u„, v„ spełniają  układ  r ó w n a ń  jednorodnych  (3.8).  M n o ż ąc  jak  poprzednio  pierwsze  równanie  tego  u k ł a d u  przez  щ ,  drugie  przez vk  otrzymamy:  (4.5)  0  +1)  u'„' Uk+~  y>sv'n vuk + — %pv'ń ' щ + fsv'ń  uk + fo'„ uk + —  y>su'„ yvk +  +  ^Wn"^-^v7vk  + fsu'ń vk  + ̂ nvk+[iv'ń vk  =  ­3fiq 2(u„uk  +  v„vk).  Jak  widać,  pierwsze  wyraż enie  w  nawiasie  kwadratowym  w  (4.4) jest  r ó w n e  prawej  stronie  równania  (4.5).  Uwzglę dniając  to  i  wyłą czając  wspólny  czynnik  przed  nawias  otrzymamy:  00  (4.6)  У  (u„uk+v„vk)I  — 3fiq 2S„  ——  Sn)  =fiUk+f2vk.  Po  obustronnym  prż ecałkowaniu  po  długoś ci  /  i  wykorzystaniu  warunku  ortogonal­ noś ci  (3.27)  otrzymamy  3M  • •   (4.7)  ­3fiq2Sn­  —  Sn  =  K„(t), gdzie  i  Ut) = -°— . /  (u2+v2)ds  o  > Równanie  (4.7)  przekształcimy  do postaci  *. _ .  • •  uq2AE  _  AE  „ ,  .  (4.7a)  Ą + ^ L _ Ą=  ­ W « . ( 0 .  Rozwią zanie  równania  (4.7a)  przy  identycznych warunkach  brzegowych, jak  dla  drgań   swobodnych  i warunkach  począ tkowych  (4.8)  Sn(0)  = 0,  Śn(0)  = 0  ma  nastę pują cą  p o s t a ć :  t  (4­9)  З Д  =  ­  ~  ] / ~  J  ^ ( r ) s i n K ( r ­ т ) ]Л  =  ­ J  7Ś TN(T) sin [con(i ­  T) ] dr. AE  3Mco„  6  Mechanika  teoretyczna  4 1 4  J .  N I ZI OŁ,  A .  P I ENI Ą Ż EK  Zatem  całki  szczególne  u k ł a d u  (4.1)  (drgania  wymuszone  cię gna)  wyraż ają  się nastę­ pują co:  OO  CO I « 0 , 0  =  ^u„(s)S„(t)  =  ­  ^  3 ^  u„  J K a ( r ) ń n [ c on ( t ­ x ) ] d r ,  n = l  n = l  "  0  4.10  00  oo I »0>  O =  ^v„(s)S„(t)  =  ­  ^  3 ^  „̂  j  ^ „ ( ^ s i n K ^ ­ T ) ] ^ .  n ­ l  л =1  "  O  Całki  ogólne  układu  (4.1) (drgania  całkowite  cię gna)  mają  nastę pują cą  p o s t a ć :  00  (  u(s,  t) =  У  un(s)^C„cosco„t+DnsxawBt­  ^ m  f  Kn fx)ń n[con(t­r)]dr^,  (4.11)  00  t  Ф ,  O =  ^  v„ Q) j C„ cos co„ t + Z>„ sinft)„ Г ­  f  А Г„ (т) sin [co„ (t ­  т )]  J r j ,  gdzie  za и„ i  w„ bierzemy  cią gi  funkcji,  uwzglę dniając  przy  tym  odpowiedni  przypadek  rozwią zania  równania  charakterystycznego.  5.  Z a k o ń c z e n ie  Zaproponowana  w pracy  metoda  znajdowania  drgań  wymuszonych  liny z  uwzglę dnie­ niem jej  sztywnoś ci  na zginanie jest  metodą  ogólną.  Ze wzglę du  na  duże  trudnoś ci  rachun­ kowe  uzyskanie  efektywnych  rozwią zań  jest  moż liwe  jedynie  przy  uż yciu  maszyn  cyfro­ wych.  Dotyczy  to wyznaczania  pierwiastków  r ó w n a n i a  charakterystycznego.  W  pracy przedstawiono  ogólną  analizę  ze wzglę du na uzyskanie  rozwią zań  w zależ noś ci  od  p a r a m e t r ó w  liny.  Uwzglę dniona  sztywność  gię tna  utrudnia  wprawdzie  tę analizę  i nie  pozwala na znalezienie  rozwią zań  analitycznych  w formie  zamknię tej,  ale daje  moż liwoś ci  zbadania jej  wpływu  z a r ó w n o  na czę stoś ci  drgań  własnych, jak  i na kształt  funkcji  własnych.  Przy  znajomoś ci  funkcji  własnych,  przez  zastosowanie  uogólnionej  ortogonalizacji,  pro­ blem  znalezienia  amplitud  drgań  wymuszonych  nie przedstawia  trudnoś ci.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  А . А .  А Н А Н Е В, К р а с ч е т у  к а н а т о в  п р е д х р а н и т е л ь н ы х  с е т е й  п о д в е с н ы х  к а н а т н ы х  д о р о г ,  Л П И,  1949.  2.  В . В .  Б о л о т и н,  О  в и б р а ц и я х  п р о в о д о в  в о з д у ш н ы х  л и н и й  э л е к т р о п е р е д а ч и  и  б о р б е  с  н и м и ,  И з д а т.  М Е И,  М о с к ва  1959  ( в ы п. 32).  3.  J .  H AJ DUK,  J . O SIECKI ,  Ustroje cię gnowe  — teoria i  obliczanie, W N T , Warszawa  1970.  4.  S.  K ALI SKI  i  w s p у ł a u t o r z y ,  Drgania  i fale,  P W N ,  Warszawa  1966.  5.  G .  K I RCHHOFF,  Vorlesungen  iiber Mechanik,  Leipzig  1897.  6.  Z . O NI SZCZUK,  Drgania poprzeczne  układu  dwóch  belek połą czonych  elementem sprę ż ystym,  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1,  12  (1974).  7.  A . SIMPSON,  On the oscillatory motions of translating elastic cables,  J . Sound  Vibr.,  20, 2 (1972).  D RGANI A  CI Ę GNA  W  PŁASZCZYŹ NIE  ZWISU  415  Р е з ю ме   К О Л Е Б А Н ИЯ  П Р О В О ДА  В  П Л О С К О С ТИ  С В И СА  С  У Ч Е Т ОМ  Е ГО  Ж Е С Т К О С ТИ   Н А  И З Г ИБ   В  р а б о те  р а с с м о т р е ны  с в о б о д н ые  и  в ы н у ж д е н н ые  к о л е б а н ия  п р о в о д а.  П ри  э т ом  у ч т е н ы:  ж е с т к о с ть  на и з г и б,  с о с т а в л я ю щ ая  с и лы  К о р и о л и са  и  ц е н т р о б е ж н ая  и н е р ц и о н н ая  с и л а.  К о л е б а н ия   п о р о ж д а ю т ся  п е р е м е н н ой  в о  в р е м е ни  р а с п р е д е л е н н ой  н а г р у з к о й.  З а д а ча  с в е д е на  к  с и с т е ме  д в ух  д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых  у р а в н е н ий  в  ч а с т н ых  п р о и з в о д н ых  ч е т­ в е р т н о го  п о р я д к а.  Д ля р е ш е н ия  э т их  у р а в н е н ий  и с п о л ь з о в а ны  с л е д у ю щ ие  м е т о д ы:  л и н е а р и з а ц и я,  р а з д е л е н ие  п е р е м е н н ых  и  р а з л о ж е н ие  п о  г л а в н ым  ф о р м ам  к о л е б а н и й.  А н а л из  п р о в е д ен  с  т о ч ки  з р е н ия  п о д б о ра  г е о м е т р и ч е с к их  п а р а м е т р ов  п р о в о д а.  Т а к ой  п о д х од   б у д ет  п о л е з ен  п ри  р е ш е н ий  с л е д у ю щ ей  п р о б л е м м ы:  д и н а м и ч е с к о го  д е м п ф и р о в а н ия  к о л е б а н ий   к а б е л ь н ых  э н е р г е т и ч е с к их  с и с т е м.  S  u m  m a r y  V I B R A T I O N S  O F  C A B L E  IN  T H E S A G ­ S P A N  P L A N E  W I T H  R E G A R D  ITS  B E N D I N G  S T I F F N E S S  In  this  paper  the  free  and  forced  vibrations  of  cables  are  analysed,  bending  stiffness  of  the  cable,  the  Coriolis  and ccntripedial components  of  the  force  of  inertia, are  taken  into  consideration. Vibrations  are excited  by continuous  time­dependent  loads.  The problem is  described  by  a set  of  the  two  partial  dif­ ferential equations  of fourth order. The following  methods  of solution  arc applied: linearization, separation  of  variables  and expansion  into  the  series of  free  vibration forms.  The analysis  was  performed  from  point  of  view  of  the  proper choice  geometrical  parameters  of cables.  This  approach will  be  useful  in considering  other  problems  like  that  of  dynamical  damping  the  cables  sets.  POLI T ECHNI KA  KRAKOWSKA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 29  paź dziernika  1975  r.  \