Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,   14 (1976) Ś R E D N IE  N A P R Ę Ż E N IA  W  S T O C H A S T Y C Z N Y M  O Ś R O D KU  W I E L O S K Ł A D N I K O W Y M  A N D R Z E J  T R Z Ę S O W S KI  (WARSZAWA)  1  W s t ę p  Tematem  pracy  jest  problem  istnienia  funkcjonalnego  zwią zku  mię dzy  ś rednim  na­ prę ż eniem  a  ś rednim  odkształceniem  w  stochastycznym  o ś r o d ku  wieloskładnikowym  (nazywanym  też  oś rodkiem  wielofazowym).1'  W  teorii  stochastycznych  oś rodków  z  gładkim  rozkładem  niejednorodnoś ci  dawno  znany  jest  formalny  algorytm  poszukiwania  postaci  funkcjonalnego  zwią zku  mię dzy  ś rednim  naprę ż eniem  a  ś rednim  odkształceniem  (np.  [4,  5]).  Nie znano  jednak  dotychczas  matematycznych  w a r u n k ó w  poprawnoś ci  tego  algorytmu,  a  o  wzorach  uzyskanych  tą   drogą  z a k ł a d a n o ,  że  obowią zują  również  w  przypadku  stochastycznych  oś rodków  wielo­ składnikowych.  W pracy  podano  warunki  dostateczne  stosowalnoś ci  wyż ej  wymienionego  algorytmu  w  przypadku  oś rodków  wieloskładnikowych;  uzyskane  wyniki  obowią zują   również  dla  oś rodków  z  gładkim  rozkładem  niejednorodnoś ci.  Zaadaptowanie  wspomnia­ nego  algorytmu  do  przypadku  skokowej  niejednorodnoś ci  wymagało  uprzedniego  sfor­ mułowania  deterministycznych  w a r u n k ó w  dla  rozważ anych  losowych  pól  opisują cych  oś rodek  wieloskładnikowy.  W  rozdz.  2  pracy  podano  szkic  rozumowania  prowadzą cy  do  sformułowania  tych  w a r u n k ó w  (ś cisłe  ich  sformułowanie  podane  jest  w  pracy  [1]).  D o  pracy  dołą czono  « D o d a t e k » ,  w  k t ó r y m  skonstruowano  podstawową  w  rozważ a­ niach  funkcyjną  przestrzeń  L2(QxG;v)  oraz  podano  oznaczenia  stosowane  w  pracy.  2.   Diasprę ż ysty  opis  ciała  skokowo­niejednorodnego  Rozważ my  ciało  niejednorodne,  nieograniczone  o  rozkładzie  współczynników  sprę­ ż ystoś ci  danym  gładką  funkcją  c(x),  x  e  R3  i  znajdują ce  się w  stanie  r ó w n o w a g i :  (1)  Le(x)  =  k(x),  x  e  R3,  gdzie  oznaczono 2 '  L  8(x)  =  ­  div [c(x) • e(x)],  e(x) =  ~ ( Vu + Vu ')  (x).  W  teorii  oś rodków  wielofazowych interesuje  nas  p o r ó w n a n i e  naprę ż enia  T(x)  =  c(x)  •   •  s(x)  w  ciele  niejednorodnym,  z  naprę ż eniem  T 0 ( x )  =  c0  • s(x)  w  pewnym  ciele  jedno­ "  « O ś r o d k i em  w i e l o s k ł a d n i k o w y m ) )  nazywamy  klasę  ciał  skokowo  niejednorodnych  o  takim  samym  typie  n i e j e d n o r o d n o ś c i.  2 )  Symbol  oznacza  pełne  n a s u n i ę c ie  tensora.  428 A .  T R Z E S O W S K I  rodnym  o  współczynnikach  sprę ż ystoś ci  c0.  N p .  moż emy  mieć  do  czynienia  z  sytuacja,  kiedy  dla  tensora  fluktuacji  współczynników  sprę ż ystoś ci  wokół  poziomu  c 0  c"(x)  =  c(x)­c0  istnieje  pewna  miara  ф małoś ci  odchyłek  taka,  że  Ф Ю  <  i .  Oznaczmy  x(x)  =  c"(x)  •  e(x),  X(x)  =  divz(x),  LE(X)  =  ­ d i v [ c 0 ­  e(x)].  W  tych  oznaczeniach  równanie  (1) jest  równoważ ne  równaniu  (2)  Le(x)  =  Х (л ;) +  к (х ),  x  e  R3.  W  ten  sposób  przedstawiliś my  niejednorodność  przez  wprowadzenie  dodatkowych  sił  obję toś ciowych  X ( * )  w  pewnym  o ś r o d ku  jednorodnym.  To  formalne  postę powanie  moż­ na  zinterpretować  w  ramach  teorii  defektów.  Załóż my  mianowicie,  że  noś nik  tensora  fluktuacji  c"  suppc"  =  (xTR3:c"(x)  =  0}  3 1  jest  zbiorem  zwartym  (tj.  domknię tym  i  ograniczonym).  Wtedy  moż emy  Х (л г)  reprezento­ wać  przez  funkcjonał  (dystrybucję)  (3)  X ( X ) =  /  x(y)­Vdx_ydy,  supp  c"  x  gdzie  óx  —  delta  Diraca.  V —  gradient  przy  róż niczkowaniu  po  zmiennych  x  =  X  =  (xi,  x2,  x3).  Całki  typu  Х (л :)  rozważ ane  są  w  teorii  d e f e k t ó w . 4 '  Z  uwagi  na  symetrię   tensora  x:z(x)  =  т (х )' —  pole  Х (д :),  x  e  R3  może  być,  w  ję zyku  teorii  defektów,  inter­ pretowane  jako  obję toś ciowy  rozkład  (o  gę stoś ci  т  i  skoncentrowany  w  zbiorze  suppc")  podwójnych  sił  bez  momentu.  W  ten  sposób  moż emy  więc  interpretować  niejednorodność   jako  defekt  j e d n o r o d n o ś c i.  Sprę ż yste  ciało  niejednorodne  z  tak  reprezentowaną  niejedno­ rodnoś cią  nazywane  jest  ciałem  diasprę ż ystym  [9];  tensorowa  funkcja  т  bywa  nazywana  tensorem  polaryzacji  [4].  Równanie  (2)  z  X(x)  okreś lonym  formułą  (3)  ma  rozwią zanie  postaci:  (4)  е (л :)  =  L • т (х)  +  J  U(x,  x')  • x{x')dx' +  E0(X),  ю   gdzie  oznaczono  L =  /  We(z)®n(z)dS(z),  5(0,1)  —  sfera  o  ś rodku  0  =  (0,  0,  0)  S(0,  1)  i  promieniu  R  =  1,  e(z)  —  rozwią zanie  podstawowe  dla  operatora  I.ame'go  materiału  o  stałych  sprę ż ystoś ci  c 0 ,  n(z)  —  wersor  normali.  U(x,  x')  =  V V e ( x ­ x ' ) ,  80  =  * ­ ( V u 0  +  V u 0 ) ,  u 0 (x)  =  'J  e(x­x')­k(x')dx',  3 )  Symbol  A  oznacza,  że  bierzemy  d o m k n i ę c ie  zbioru  A.  4 )  O  ich  matematycznym  sensie —patrz  [1,  2] .   Ś R E D N IE  NAPRĘ Ż ENIA  W  S T O C H A S T Y C Z N Y M  O Ś R O D KU  429  gdzie  /  jest  symbolem  całki  w sensie  wartoś ci  głównej  Cauchyego.  A  więc  tensor  pola­ ю   ryzacji  spełnia  równanie  całkowe  (5)  x(x) =  L ( x )  •  T(.V) +  f  G(x,  X')  • x(x')dx' +  a0(x),  gdzie  oznaczono:  L ( x )  =  c " ( x ) : L ,  G(x, x') =  c"(x):V(x,  x'),  er0(x)  =  c"(x)­  E0(X). 5)  Zauważ my,  że o ile  dla  s(x) bę dą cego  rozwią zaniem  (1)  funkcja  т powinna  być  klasy C \  to  równania  całkowe  (4) i (5) dopuszczają  nawet  niecią głe  tensory  polaryzacji  (np. klasy  L2(G),  G  cz R 3  obszar,  któreg o  domknię cie  G  jest  zwarte).  Moż na  więc  spodziewać  się>  że  równania  (4) i (5) bę dą  obowią zywać  również  w przypadku  liniowo­sprę ż ystego  ciała  ze  skokowym  rozkładem  niejednorodnoś ci,  tj. opisywanym  przez  funkcję  prostą   N  gdzie  c 0 jest  tensorem  współczynników  sprę ż ystoś ci,  w nieskoń czonym  o ś r o d k u,  w k t ó r y m  w  obszarach  Ga  (a =  1 ...  A') znajdują  się  inkluzje  o stałych  sprę ż ystoś ci  c„;  %я jest  funk­ N  cją  charakterystyczną  obszaru  C a oraz  Oo —  Я 7  U  G«.  Nazwijmy  «odkształceniem  oś rodka  skokowo­niejednorodnego»  symetryczną  tenso­ rową  funkcję  e(x) Walencji  2 i  klasy  L2(R3)  taką,  że  spełniona  jest  «zasada  prac  wirtual­ nych»  dla  dowolnej  wektorowej  funkcji  v e  C0(R3)6)  (6)  j'  s(x)  c(x)­ e(v) (x) dx =  /  k(x)  • v(x) dx,  gdzie  oznaczono  c(v)  =  ^  (Vv +  Vv').  Definicja  ta  dopuszcza  moż liwoś ć,  że  pole od­ kształceń  s spełniają ce  (6) jest  postaci  (7)  s  =  e(n)  =  y ( V u  +  V u ' ) ,  gdzie  u:R3  ­»  R3  jest  funkcją  klasy  L2(R3),  cią głą,  dla  której  jest  okreś lony  gradient  w  sensie  S O B O L E W A  V U e  L2  (R3).  Pytamy  się, czy tak  zdefiniowane  odkształcenie  oś rodka  skokowo­nię jednorodnego  spełnia  równanie  (4) fa zatem  i  (5)].  W  pracy  [1]  rozważ ano  ten  problem  w  przypadku,  gdy  ciało  zajmuje  nie  całą  przestrzeń   R3,  ale  ograniczony  podobszar  GcR3  (0  <  vol С  <  oo),  którego  domknię cie  G  jest  N  postaci  С =  U  G „  przy  czym  G ,  л  Ą  =  ф dla  а ф fi oraz jeż eli  /'jest  brzegiem  obszaru  G, to rnGx  =  ф dla a =  1 ...  A'.  Rozkład  niejednorodnoś ci  w tym  obszarze  opisywany  jest  przez  ograniczoną  funkcję  tensorową  c(x)(x e G)  taką,  że  c(x)  =  ca  dla  x e Gx. Z  za­ łoż eń  o podziale  obszaru  (7 na podobszary  Ga  wynika  wię c,  że rozważ ane  są  ciała  skoko­ wo­niejednorodne,  jednorodne  przy  brzegu  Г  obszaru G.  5 )  Symbol  oznacza  nasuwanie  tensorowe  po dwu s ą s i e d n i ch  w s k a ź n i k a c h.  6 )  C0(R 3)  jest  zbiorem  funkcji  klasy  C°°  o  zwartych  n o ś n i k a c h.  430  A .  T R Z E S O W S K I  Przy  dodatkowych  założ eniach  o  gładkoś ci  brzegów  inkluzji  Gx,  a =  1, . . . ,  N,  oraz  brzegu Г ,  pole  odkształceń  s(x)(x e G)  klasy  L2(G),  postaci  (7) i spełniają ce  odpowiednią   zasadę  prac  wirtualnych  (uogólnioną  na  funkcje  róż niczkowalne  w  sensie  Sobolewa) 7 ',  spełnia  także  równanie  całkowe [1]:  E(X) =  L ­ z(x)  +  I  U(x,  x')­  i(x')dx'+ s0(x),  (8)  t(x)  =  c"(x)­s(x)­c"(x)c"(z)  =  c(x) — c 0 .  Tensor  L  został  podany  w  omówieniu  wzoru  (4); V(x,x')  jest  tensorową  funkcją W a - lencji  4 o osobliwoś ci  rzę du  /­~ 3 ,  r =  \\x—x'W;  s0(x) jest  odkształceniem  ciała  jednorodne­ go  o  stałych  sprę ż ystoś ci  c 0 ,  zajmują cego  obszar  G i  obcią ż onego  tymi  samymi  siłami  zewnę trznymi,  co rozważ ane  ciało  niejednorodne.  Siły  powierzchniowe  w  ciele  skokowo­niejednorodnym  opisywane  są  symetryczną   funkcją  tensorową W a l e n c j i  2,  klasy  L2(G) i postaci  (9)  T(*)  =  c(*)­  «(*),  gdzie  c(x) jest  funkcją  rozkładu  niejednorodnoś ci,  a  s(x)  dane jest  r ó w n a n i e m (8).  3.  Stochastyczny  opis  oś rodka  wieloskładnikowego  W  pracy  rozważ any  jest  oś rodek  wieloskładnikowy  składają cy  się z  ciał  skokowo­ niejednorodnych  [por.  1, odnoś nik  1)1,  których  stan  opisywany jest  równaniami  (8) i  (9).  Oś rodek  wieloskładnikowy  posiada  stochastyczną  s t r u k t u r ę  spełniają cą  nastę pują ce  za­ łoż enia:  A .  K a ż de  ciało  niejednorodne  zajmuje  taki  sam obszar  GczR3  oraz  składa  się  z  tych  samych  liniowo­sprę ż ystych  materiałów  o stałych  sprę ż ystoś ci  cx,  a =  0 , 1 ,  N.  Materiał  o  stałych  sprę ż ystoś ci  ca  zajmuje  podobszar  G^cz G, ale rozmieszczenie,  kształt  i  wiel­ koś ci  obszarów  G, są  zmiennymi  losowymi.  Przy  brzegu  obszaru  G  zawsze  wystę puje  materiał  o stałych  c 0 .  B .  Jedyną  przyczyną  losowoś ci  funkcji  tensorowych  opisują cych  ciało  lub  jego  stan  jest  wymieniona  wyż ej  losowość  geometrii  rozkładu  niejednorodnoś ci  w  obszarze  G.  Oznacza  to, że wszystkie  losowe  funkcje  tensorowe  rozpatrywać  bę dziemy  jako  odwzo­ rowania  A : f l x G ­ >  T„,  gdzie  (Q,  P) jest  pewną  ustaloną  przestrzenią  probabilistyczną,  a  T„ —  przestrzenią   euklidesowych  tensorów  walencji  p  nad  R3.  W  ten  sposób  eliminujemy  z  rozważ ań   np.  przypadek  losowych  w a r u n k ó w  na  brzegu  obszaru  G.  C .  Funkcja  opisują ca  rozkład  sił  obję toś ciowych  w oś rodku  jest  deterministyczna.  Z a ­ łoż enie  to jest  idealizacją  pominię cia  wpływu  fluktuacji  sił obję toś ciowych  na  odkształ­ cenie i jest  dokładnie  spełnione,  gdy  oś rodki  składowe  mają  taki  sam  cię ż ar  obję toś ciowy.  7 )  W przypadku  ograniczonego  obszaru G zamiast  wzoru (6)  należy  rozważ yć  z a s a d ę  prac  wirtualnych  dla  odpowiedniego  problemu  brzegowego  [1].  Ś R E D N IE  NAPRĘ Ż ENIA  W  S T O C H A S T Y C Z N Y M  O Ś R O D KU  431  D .  Rozważ any  oś rodek  wielofazowy jest  jednorodny  statystycznie,  tj. jeś li  c:QxG  ­» Г 4  jest  losową  funkcją  rozkładu  niejednorodnoś ci,  to  istnieje  taki  tensor  С е Г4 ,  że w  do­ wolnym  punkcie x e G  wartoś cią  oczekiwaną  с jest  (Ec)(x)  =  C .  E .  Wszystkie  rozważ ane  losowe  funkcje  tensorowe  są  klasy  L2(QxG;v)  (por.  D o ­ datek,  2).  Jeż eli  co e Q jest  ustalonym  zdarzeniem  losowym  oraz  с =  c(co,x)  funkcją  r o z k ł a d u  niejednorodnoś ci  odpowiadają cą  temu  zdarzeniu  (por. założ enia  A i  B),  to  przez  e =  =  e(w , x)  i  T =  T(w, x)  oznaczamy  odkształcenie  i  naprę ż enie  zdefiniowane  wzorami  (8) i (9) i odpowiadają ce  funkcji  c(co, x),  x e G.  Przy  dowolnych co e Q i x e G otrzymuje­ my  losowe  funkcje  tensorowe  zwane  «odkształceniem»  oraz  «naprę ż eniem»  w  o ś r o d ku  wielofazowym  s,  T:Q  x  G  ­*  T2.  D l a  uproszczenia  oznaczeń  bę dziemy  losowe funkcje  tensorowe  A =  A(CJ, x),  (co, x) e fix  x  G  oznaczali  również  symbolem A =  A ( x ) ,  xeG.  4.  Losowe  odkształcenia  Równanie  (8)  zapisać  moż emy  w postaci  (10)  E(X) =  Z(x, x')  * T(X')+  eQ(x),  gdzie  przyję to  oznaczenia  ( П )  Z(x,  x') *  т (л г ')  =  j  Z(x,  x')­z(x')dx'  =  Ł  z(x)+  J  V(x,  x')­x(x')dx'.  a  G  Z(x,  x')  =  L c 5 ( x ­ x ' ) + U ( x , x')  oraz  6(x — x')  jest  deltą  Diraca  interpretowaną  jako  j ą d ro  toż samoś ciowego  operatora  całkowego [2].  Rozważ my  liniowe  operacje:  Z:L2(G)­*L2(G),  Z(x)(x)  =  Z(x,x')*x(x'),  (12)  S,A:L2(QxG,v)^  L2(QxG;v),  5 ( E )  =  c " ­  e,  A  =  (I­E)oZoS,  gdzie  E—operator  wartoś ci  oczekiwanej  (Dodatek,  2), /  — operator  toż samoś ciowy.  432  A .  TRZESOWSKI Wiadomo,  ż e: \\Z\\ = M < со (п р. [3]), \\Е \\  ^  1 (Dodatek,  2). Zbadajmy,  przy  j a k i c h  założ eniach  operacja  S  bę dzie  ograniczona.  Przeprowadź my  formalny  rachunek:  | | | S ( e ) | | | 2  =  E\\S(z)\\2  = E f  (c"(x):(c"W).(8(x)®ŁW)(/i<  G  < E j  \\c"(x): ć '(x)Me(x)®e(x)\Udx  ^  / 3 2 | | | £ | | | 2  G  W  powyż szych  przekształceniach  skorzystano z oszacowania  przeprowadzonego  w D o ­ datku,  p. 4 oraz  założ ono  istnienie  liczby  f i  zdefiniowanej  w  (13):  fi =  supessa(x)  > 0,  xeG  (13)  a(x)  =  sup {a :P(m(x)  >  a)  >  OJ,  aeR  m(x)  = ||c"(x):c"(x)||V2.  Jeż eli  więc  istnieje  liczba  fi > 0, to powyż sze  rachunki  są poprawne  oraz  S'jest  l i n i o ­ wym  ograniczonym  operatorem  z  |[S|[  <  /3;  wtedy  liniowym  ograniczonym  operatorem  jest  też  A oraz  [por.  (12)]  (14)  P U  ^  Mfi\\I­E\\  <  2MB.  4  U w a g a .  R o z w a ż my  losową  funkcję  tensorową  m(x)  =  ®c"(x).   i  Ponieważ   W 4 ( x )  =  m(x)\ijKikimnm„piPiij,  więc  (13) m o ż na  interpretować  jako  warunek  n a k ł a d a n y  na losową  funkcję  m(x).   R ó w n a n i e  (10)  może  być,  w przestrzeni  L2(Q x G;  v),  napisane w postaci:  e(co,   x)  — Z(x,  x'):c"(w,  x)*  E(CO, x)+  s0(x),   E(CO ,X)  =  ( Z  ° S)( г) (co,   x)  +  s0(x).   Stąd  otrzymujemy  równanie  (15)  e(x)  =  e(co,  x) — A(e)(co, x),   gdzie A jest  operatorem  zdefiniowanym  w (12) oraz  oznaczono  e = Е е . Jeż eli  spełniony  jest  warunek  (13)  oraz  dodatkowo  (16)  2Mfi  < 1,  to  ze wzoru  (14) wynika,  że równanie  (15)  ma rozwią zanie  w postaci  szeregu  Neumanna  00  (17)  c  =  (l+  ŁA")(B). S> n=i  U w a g a .  Jeż eli  spełnione  są warunki  (13)  i (15)  oraz  przez  s' = (I—E)s  oznaczymy  fluktuację  losowego  odkształcenia,  to z wzoru (14)  £ | | г ' | |2  ^  4 M 2 / ? 2 £ | | £ | | 2 .  8 )  P o r ó w n a j  np. [4], [5]. Dotychczas nie znano jednak  w a r u n k ó w  p o p r a w n o ś ci  tego rodzaju przedsta­ wienia  losowych  o d k s z t a ł c e ń .  Ś R E D N IE  N A P R Ę Ż E N IA  W S T O C H A S T Y C Z N Y M  O Ś R O D KU  433  Ponieważ   3  E\\A\\2  =  У  jE(A,j)2(x)c/x,  I,/=1  G  to  warunek  (14)  narzuca  zwią zek  mię dzy  momentami  rzę du  2 ( Ј ( E 0 ) 2 ) ,  a  momentami  centralnymi  rzę du  2(Е (в 'и) 2)—  losowego  odkształcenia  e.  5.  Ś rednie  naprę ż enia  Jeż eli  losowe  odkształcenie  m o ż na  przedstawić  wzorem  (17), to  00 T  =  ć '­г  =  c " ­ s +  y^c"­A"(i).  oo  Ponieważ  \\S>A'\\  <  \\A\\N  <  В \\А \\Я  i  \\A\\ <  1,  więc  ze  zbież noś ci  szeregu  % \\A\\"  CO  wynika  zbież ność  szeregu  Ј  \\S°A"\\  i  «=i I' 00  co  Е ЈС ".А "(Ъ)  =  ]?Е(с".А»(ё )),  skąd  00 (18)  f=  ET =  C­i+  Ј  E(ć '­A"(l)).  n = l Zbadajmy  postać  wyrazуw  szeregu  we wzorze  (18); oznaczmy  / '  = f—E,  A(e)(co,x)  =  Z ( x , ^ i ) J , / ' [ c " ( w , Л :,)­Ё (А ­1 )]  =  Z(x,  xx):  Г ć '(co,  Xi)i,e(xi)  =  =  A,(  x ,  ;=i  x ( c o , x „ ) ) . . . ) ) j .  7  Mechanika  teoretyczna  434  A .  T R Z Ę S O W S KI  W p r o w a d ź my  działanie  tensorowe  o: TAn®7"4(n+1)  ­*  TA,  zdefiniowane  przepisem  (20)  A e 7 4 „ ,  В е Г4 ( п + 1 ) = >  A o B  =  o ­ x ( A ® B ) ,  gdzie  znak  „  x  "  oznacza  operację  kolejnego  zwę ż ania  iloczynu  tensorowego  A ® B  po  układzie  a  wskaź nikуw:  a  =  { ( 1 , 4 л  +  3);  (2,  4n+4);  ( 4 и ­ 3,  8 и ­ 1 );  ( 4 и ­ 2,  8л );  ( 4 л ­ 1,  8л +  1);  (4w,  8/;  +2)}.  Wtedy  Е [с "(с о ,х ):А „(с о )(х ,х1,  ...,х „)]  =  E\L„(x,Xi,  х „)°(с "(с о ,  х )®  С „(с о , х1}  ...,х „))]  =  =  Z „ ( x ,  Х \,  . . . ,  х п )  ° К „(х,  X i ,  . . . ,  х „),  gdzie  oznaczono  (21)  К „ ( х , х1 ;  . . . , х „)  =  Е [с "(с о ,  х )®С „(с о,  хх,  ...,*„)].  Funkcja  К„ jest  tensorową  funkcją   и +1  Kn:XG -> 7 4 ( „ + D  i  bę dą cą  kombinacją  liniową  funkcji  korelacyjnych  rzę du  <  n  losowej  funkcji  rozkładu  niejednorodnoś ci  с (ю,  x),  (co, x)  e  Qx  G.  Ostatecznie  moż emy  wypowiedzieć  nastę pują ce  Twierdzenie:9'  Jeż eli  oś rodek  wielofazowy  posiada  własnoś ci  A ­ E  (rozdz.  3)  oraz  spełnione  są  warunki  (13)  i  (16)  (rozdz.  4),  to  istnieje  funkcjonalny  zwią zek  mię dzy  ś rednim  naprę ż eniem  Т   a  ś rednim  odkształceniem  i :  f ( x )  =  Fs(x),  gdzie  i 7 jest  liniowym  ograniczonym  operatorem  w  L2(G)  zdefiniowanym  w  nastę pują cy  s p o s у b :  CO  Fs(x)  =  С  • e(x)  +  F­(x,  x„)  *  s(x„),  л =1  F„(x,  x„)  * e(x„)  =  J   F„(x,  xn)­s(xn)dxn,  с   F„(x,  x„)  =  J  Z „ ( x ,  Xi,  ...,  x „ _ i ,  x „ ) ° K „ ( x ,  Xi,  . . . ,  x „ _ i ,  x„)dxi  ...  dxn­1,  n  л   xo  i  С  =  Ez(x).  Pozostałe  oznaczenia  podane  są  we  wzorach  (11),  (19)­(21);  /  jest  symbolem  całki  H  w  sensie  wartoś ci  głуwnej.  / i 9 >  Twierdzenie  to  o b o w i ą z u je  o c z y w i ś c ie  r у w n i e ż  w  przypadku  g ł a d k i e g o  rozkładu n i e j e d n o r o d n o ś c i.  Ś R E D N IE  N A P R Ę Ż E N IA  W  S T O C H A S T Y C Y N Z M  O Ś R O D KU  435  D o d a t e k  1.  R3  —  euklidesowa  przestrzeń  wektorowa  trójek  liczb.  Przestrzeń  ta  rozważ ana  jest  wraz  z  ustaloną  bazą  e;  =  (Sn,  di2,  ói3);  i  —  1,  2,  3  (dy  —  symbol  Kroneckera).  p  Tp  =  ® Я 3  —  euklidesowa  przestrzeń  tensorów  Walencji  p  nad  R3.  Przestrzeń  ta  rozwa­ p  ż ana  jest  wraz  z  ustaloną  bazą  ®  e,a,  ia  e  { 1 , 2 , 3 } .  D l a  AeTp,  A  =  a =  l  =  Л ,­./...*/^®®̂  ...  ®ek®Ci  (zapis  w  konwencji  sumacyjnej  Einsteina)  oznaczmy  A | ; j . . . t i  =  Aij...kl.  D l a  A  €  Tp,  В  e  Tq  przez  А  ­ В  e TlP_qi oznaczamy  pełne  nasu­ nię cie  tensorowe;  np.  dla  p  =  4,  q  =  2:  A  ­ B | , 7  =  А |у ы В |ы ;  В  ­ A\kl  =  В | у А |у ы.  W  przestrzeni  Tp  rozważ amy  iloczyn  skalarny  A • В  =  A | y . . . * j B | y . „ w  i  n o r m ę   | | A | | ,  =  (A •  A ) 1 / 2 .  Funkcje  А :С  ­»  Tp,  G  с  R 3  rozważ ane  bę dą  jako  odwzorowania  postaci  А (л :)  =  =  Aij^ki (x)ei®ej®  ...  ®ek®ei,  A y . . . H : G  ­»  R.  Jeż eli  M  jest  pewną  przestrzenią  funk­ cji  skalarnych  okreś lonych  na  zbiorze  G  i  А у ...и  e  M,  to  pisać  bę dziemy  też  A  e  M.  W  przestrzeni  tensorowych  funkcji  klasy  L2(G)  przyjmować  bę dziemy  n o r m ę   | | A | |  =  ( /  A(x).A(x)dx)1'2.  G  2.  Niech  (Q,3d,P)  bę dzie  pewną  przestrzenią  probabilistyczną  oraz  G  Tp,  klasy  L2(Q  x  G;  v).  Z a  n o r m ę  A  e  L2(Q  xG;v)  przyjmiemy  liczbę   | | | A | | |  =  (  j  A(u>, x)  • A(ft>,  x)dv(co, x)j  '  .  axG  Z  twierdzenia  F U B I N I E G O  [6]  | | | A | | | 2  =  2T||A!|2  =  {\\A\\2(co)dP(a>),  n  gdzie  oznaczono  ||А Ц2(с о)  =  /  A(co,x).A(co,x)dl3(x).  G  Ogólme  biorąc  funkcja  co  ­»  ||A||2(co)  jest  okreś lona  prawie  wszę dzie  dla  co e  Q;  w  pra­ cy  rozważ ane  bę dą  funkcje  A  e  L2(Q  x  G;  v)  takie,  że  dla  dowolnego  co  eQ  liczba  ||A|| 2(co)  jest  okreś lona,  tj.  takie  losowe  funkcje  tensorowe,  że  ich  realizacje  Aa(x)  =  A(u>, x)(x  e  G)  są  funkcjami  klasy  L2(G).  D l a  A B  L2(QxG;v)  oznaczmy  EA(x)  =  J  A(co,x)dP(co).  ,  a  436  A .  T R Z Ę S O W S KI  Funkcja  x  ­> EA(x)  nazywana  jest  wartoś cią  oczekiwaną  losowej  funkcji  A .  Operacja  E:A  ­>  EA  ma  własnoś ci:  a)  EA  e  L2(G)  istnieje  dla  dowolnego  A e  L2(Q  x G; v),  b)  iijest  liniowym  ograniczonym  operatorem  i  <  1.  Zauważ my,  że  ponieważ  dla  A 0  e  L2(G),  A(w,  x)  =  A0(x)  mamy  | | | A | | |  =  | | A 0 | | ,  więc  przestrzeń  L2(G)  m o ż na  izometrycznie  zanurzyć  w przestrzeni  L2(QxG;  v).  Odpowiednio  do  tego  zanurzenia  moż emy  operator  E  rozpatrywać  jako  działają cy  w  przestrzeni  L2(Q  x G; v).  Operator  E  zdefiniowany  wyż ej  i  traktowany  jako  działają cy  w  L2'Q  x G; v)  nazywać  bę dziemy  operatorem  wartoś ci  oczekiwanej.  3.  Niech  (Q,@),P)  bę dzie  probabilistyczną  przestrzenią.  D l a  skalarnej  (rzeczywistej)  zmiennej  losowej  X  =  Xес о ),  co e  Q  oznaczamy:  EX  =  J  X(co)dP(co),  a  [X\p  =  0 W ) 1 / P  l^p  a)>0}.  « е й   Liczba  \X\P,  1 <  p  <  oo ma  (mię dzy  innymi) własność  [7]  \XY\r<\X\„\Yl,  dla  dowolnych liczb  naturalnych  1 <  p,  q, r  <  oo takich, że  I + i , i ( J L . , V .  p a  r  \  co  /  W  szczególnoś ci,  jeż eli  r  =  q  =  2,  to  liczba  \XY\2  może  być  oszacowana  przez  \Щ г^\Х и ¥\2  4.  Rozważ my  całkę   /  =  E  jX(co,x)  Y2(o>, x)dx,  G  с  R3,  G  X(co,x)  =  \\c"(co,x):c"(co,x)\U,  Y(co,x)  =  \\s(co,  X)®E(CO,  x)\\i/2  =  \\s(co,  x)\\2,  gdzie  U ­flp jest  normą  w euklidesowej  przestrzeni  wektorowej  tensorów  Walencji  p.  Oznacz­ my  dla  x  e  G ustalonego  oraz  co e  Q  dowolnego:  Xx  =  Xx(co)  =  X(co,x),  Yx  =  Yx(co)  =  Y(co,x).  W  tych  oznaczeniach  i w  oznaczeniach  z  Dodatku  3:  E(XXY 2)  =  EWX~XYX\ 2)  = | | / 5 7 F J  <  <*2(x)\Yx\l  Ś R E D N IE  N A P R Ę Ż E N IA  W  S T O C H A S T Y C Z N Y M  O Ś R O D KU  437  gdzie  a(x) = \)/xT\n.  A  wię c:  /  =  J E(XX Y 2)dx  ^  j  a2(x)E(Y2)dx  = E  f  a2(x) Y2(co, x)dx =  G  G  G  s  =  E  j  \