Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z3.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  3,  14  (1976)  H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y  P R Z E P Ł Y W  C I E C Z Y  L E P K I E J  W  S Z C Z E L I N I E  M I Ę D ZY  W I R U J Ą C Y MI  P O W I E R Z C H N I A M I  O B R O T O W Y M I  E D W A R D  W A L I C K I  ( B Y D G O S Z C Z )  Wstęp  Laminarny  przepływ  cieczy  lepkiej  w  szczelinie  mię dzy  wirują cymi  powierzchniami  obrotowymi  [1 ­  3]  od  dawna  zwracał  uwagę  ze  wzglę du  na  moż liwoś ci  szerokich  zasto­ sowań  praktycznych  zarówno  w  badaniach  przepływowych  maszyn  wirnikowych,  jak  i  w  teorii  ś lizgowych  łoż ysk  wzdłuż nych.  Ostatnio  coraz  wię ksze  zainteresowanie  budzą  tego  rodzaju  przepływy  cieczy  lepkiej  i  przewodzą cej,  zachodzą ce  w  obecnoś ci  pola  elektrycznego  i  magnetycznego.  W  pracy  [4]  zbadano  hydromagnetyczny  przepływ  cieczy  lepkiej  w  szczelinie  mię dzy  drgają cymi  skrę tnie  tarczami.  Podobne  zagadnienie —  przy  założ eniu  porowatoś ci  jednej  z  tarcz  —  rozważ ono  w  pracy  [10].  W  pracach  [ 5 ­ 9 ,  1 1 ­ 1 3 ]  rozważ ano  ustalone  prze­ pływy  mię dzy  płaskimi  tarczami  stanowią cymi  modele  wzdłuż nych  łoż ysk  ś lizgowych.  Prace  [14,  15]  zawierają  opisy  przepływów  pełzają cych  (w  przybliż eniu  Reynoldsa)  cieczy  lepkich  w  kanałach  pierś cieniowych  w  obecnoś ci  silnych  pól  magnetycznych.  Celem  tej  pracy jest  podanie  w  postaci  ogólnej  rozwią zania  zlinearyzowanych  r ó w n a ń   ruchu  ustalonego  lepkiej  cieczy  przewodzą cej  o  stałej  lepkoś ci  i  przewodnoś ci  w  szczelinie  mię dzy  wirują cymi  powierzchniami  obrotowymi  o  dowolnym  kształcie,  poddanej  dzia­ łaniu  pola  magnetycznego  o  stałym  natę ż eniu.  Zagadnienie  rozwią zano  zakładają c,  że  ma­ gnetyczna  liczba  Reynoldsa  jest  mała,  co  pozwala  pominąć  indukowane  pole  magne­ tyczne.  Równaniami  ruchu  ustalonego  hydromagnetycznego  przepływu  cieczy  lepkiej  są   nastę pują ce  [16,  17]:  równanie  cią głoś ci  1.  Równania  ruchu  (1.1)  V­v  =  0;  g(v­V)v  =  ­Vp  +  pV2v+JxB;  (1.3)  (1.4)  (1.5)  V x B  =  peJ,  VxE  =  0,  VB  =  o  oraz  prawo  Ohma  (1.6)  J  =  a(E+'vxB).  418  E .  W ALI CK  R ó w n a ń  tych  uż yjemy  do  zbadania  przepływu  cieczy  w  wą skiej  szczelinie  mię dzy  po­ wierzchniami  obrotowymi  o  wspólnej  osi  symetrii  (rys.  1),  z  których  wewnę trzna  wiruje  z  prę dkoś cią  ką tową  co 1 (  a  zewnę trzna  —  z  prę dkoś cią  ką tową  co2.  Dodatkowo  założ ymy,  że  wektor  pola  magnetycznego  B(0,  0,  B0)  jest  prostopadły  do  linii  symetrii  szczeliny.  Wprowadź my  krzywoliniowy  układ  współrzę dnych  х ,  в ,  y,  przy  czym  oś  x  niech  bę­ dzie  skierowana  wzdłuż  linii  symetrii  południkowego  przekroju  szczeliny,  oś  у  prostopadle  do  linii  symetrii  szczeliny.  Rys.  l  Dokonując  w  równaniach  ruchu  (1.1)­(1.6)  odpowiednich  przejść  asymptotycznych  charakterystycznych  dla  przepływów  w  cienkich  warstwach  cieczy  (h  <̂  R)  zachodzą cych  przy  małych  magnetycznych  liczbach  Reynoldsa  [3,  4,  10]  m o ż na  sprowadzić  te  równania  do  u k ł a d u  (1.7)  (1.8)  (1.9)  (1.10)  1  d(Rvx)  dv  R  dx  — + dy =  0,  R'  2  dp  d 2vx  „ ,  £ + ^ ­ а В Ь ^х ,  0  =  p­­^­­oB2vn,  3 4  dy  dP  dy  =  o,  gdzie  primem  oznaczono  pochodną  wzglę dem  zmiennej  x.  R ó w n a ń  tych  uż yjemy  do  zba­ dania  przepływu  cieczy  w  szczelinie.  2.  Całki  równań  ruchu  Rozwią zania  równań  ruchu  powinny  spełniać  warunki  brzegowe:  (2.1)  vx(x,  ±h)   =  0,  (2.2)  ve(x,  ­li)  =  R(x)mi,  v0(x,  +h)  =  R(x)co2,  (2.3)  v,(x,  ±h)   =  0.  HYDROMAGNETYCZNY  PRZEPŁYW  CIECZY  LEPKIEJ  419  Ponadto  na  wlocie  i  wylocie  ze  szczeliny  powinny  być  spełnione  warunki  brzegowe  doty­ czą ce  ciś nienia:  (2.4)  p  =  pw  dla  x  =  xw,  (2.5)  /;  =  pz  dla  x  =  xx,  gdzie  przez  xw  oznaczono  współrzę dną  wlotu  na  linii  symetrii  przekroju  południkowego  szczeliny,  a  przez  xz  —  współrzę dną  wylotu  na  tej  l i n i i .  Całkując  równanie  (1.9)  wzglę dem  zmiennej  у  i  wyznaczając  stałe  całkowania  z  wa­ runków  brzegowych  (2.2),  otrzymamy  R  Г,  .  chky  ,  .  shky  (2­6)  v,  =  у [ ( в |  +<о2)ш т  ­  («,  ­с о г )­^  tutaj  oznaczono  dla  uproszczenia  (2.7)  k  =  B°]/j  Z  równania  (1.10) wynika,  że  (2.8)  P  =  p(x).  Nastę pnie  całkując  równanie  cią głoś ci  (1.7)  w  poprzek  szczeliny  i  uwzglę dniając  warunki  brzegowe  dostaniemy  1  д  Г  \ + h  ­RTX~R  J  ^ y  +  vy\_h  =  0,  a  stąd  wynika  (2.9)  •  /  vx4y  =  ^  +h  Podstawiając  wartość  składowej  prę dkoś ci  ve  ze  wzoru  (2.6)  do  r ó w n a n i a  (1.8)  otrzy­ mamy  po  scałkowaniu  i  uwzglę dnieniu  warunku  brzegowego  (2.1)  oraz  Zależ noś ci  (2.8):  1  /  ć hky  \  dp  pk2  \ chkh  j  dx  Po  uwzglę dnieniu  (2.10)  w  (2.9)  i  po  wykonaniu  całkowania  znajdziemy  n i n  „  „ .  ч ,  [A(x)­Az](pw­Bw)­[A(x)­Aw](pz­Bz)  ( Z . l l )  p  =  B(x)­\  ­  ,  AW  —  AZ  420  E .  W ALI CKI  gdzie  oznaczono  A ( X )  =  I  (thkh­kh)R  '  A»  =  Л  =  (2.12) | | W = i  С  * ^ \ & 1 * ^ [ Л Ш ­ Ш ­v  '  w  48  J  thkh­kh  {  ch2kh  ­4(sh2k/i­l)thkh]  +  ^ ~ ­ ^ 2 ­ ) ­ ­  [sh2A:/7 +  6 A : / z ­ 4 ( c h 2 / c / 7 + l ) t h A : / i ] j ^ )  Bw  =  Ż ?(xw),  fiz  =  B(xz).  Wprowadzając  (2.11)  do  (2.10)  wyznaczymy  n  . ,ч  J  Pw­Bw­(pz­Bz)  i  chky_  _  (  }  x  "(iRk2  (Aw­Az)(thkh­kh)  \ctikh  RR'  \(co1+co2)  \2vk2  ch2kh  sh2ky­1  ­  (sh2kh­l)  +  ch  kh  4(sh2kh­1)thklt­  (shlkh  ­6kh)  I chky  _  \  +  4{х Ш г ­Щ ~  \chkh  j  4(co\—co2)  .  ,  ,  , , , ч , 1  (ft>i—С У2)2 2 /  (chA:j­chA;/7)shA:j'+  v  sh2/c/7  V  J  '  '  sh2kh  c h 2 / c y + l  2  ch/cj  4(ch 2A:/;+ l)th/  0,  charakterystycz­ nego dla  hydromagnetycznego  przepływu  Couette'a  mię dzy  dwiema  płaszczyznami,  umiesz­ czonymi  w  p r o s t o p a d ł y m  polu  magnetycznym,  z  których  jedna  jest  nieruchoma,  a  druga  posiada  lokalną  prę dkość  równą  coR(x).  Z  postaci  wzorów  opisują cych  składową  wzdłuż ną  prę dkoś ci  vx  wynika,  że  główną   jej  czę ś cią  jest  profil  hydromagnetycznego  płaskiego  przepływu  Poiseuille'a  (funkcja  f2(H;  tj)  na  rys.  3)  uwarunkowany  istnieniem  wspomnianej  uprzednio  róż nicy  ciś nień   i  ruchem  wirowym  powierzchni  wewnę trznej.  ­1,0  ­0,8  ­0,6  ­0,4  ­0,7  0  0,2  0,4  0,6  0,8  ą   Rys.  3  I — I — I — I  I  I  I  I  I  I  Rys.  4  N a  główną  czę ść  składowej  wzdłuż nej  prę dkoś ci  n a k ł a d a  się  przepływ  wtórny,  wy­ wołany  ssą cym  działaniem  wirują cej  powierzchni  wewnę trznej.  Powierzchnia  wewnę trzna  zasysa  w  swoim  są siedztwie  ciecz  wywołując  jej  ruch  wzdłuż ny  odś rodkowy.  Ruch  ten  musi  być  równoważ ony  ruchem  wzdłuż nym  d o ś r o d k o w ym  przy  powierzchni  zewnę trznej  i  ruchem  poprzecznym  okreś lonym  składową  vy  prę dkoś ci.  Przepływ  wtórny  opisany  jest  funkcjami  f3(H;  г ц ) ­  f6(H;  r?) pokazanymi  na  rys.  4 ­ ^ 7 .  424  •  E .  W A L I C K I  ­1.0  ­0,8  ­0,6  ­0,4  ­0,2  O  0, 2  0,4  0, 6  0, 8  ą   Rys.  7  Z  przytoczonych  wykresów  funkcji  ft  wynika,  że  wzrost  natę ż enia  pola  magnetycznego,  wyraż ają cy  się  wzrostem  wartoś ci  H,  wywiera  hamują cy  wpływ  na  wartoś ci  prę dkoś ci.  Rozkład  ciś nień  wzdłuż  tworzą cej  powierzchni  symetrii  daje  się  przedstawić  w  postaci  sumy  dwóch  składowych:  pierwszej —  wywołanej  ssą cym  działaniem  wirują cej  powierzchni  i  drugiej  —  bę dą cej  skutkiem  istnienia  przepływu  wzdłuż nego.  H Y D R O M A G N E T Y C Z N Y  P R Z E P Ł Y W  C I E C Z Y  LEPKIEJ  425  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  K.  W .  M C A L I S T E R ,  W .  R I C E ,  Throughflows  between  rotating  surfaces  of  revolution,  having  similarity  solutions,  J .  Appl.  Mech.,  Trans.  A S M E ,  E , 4,  3 7  (1970)  924­930.  2.  K . W .  M C A L I S T E R ,  W .  R I C E ,  Flows  between  stationary  surfaces  of  revolution,  having  similarity  solu­ tions,  J .  A p p l .  Mech.,  Trans.  A S M E ,  E , 2,  3 9 (1972)  345 ­ 350.  3.  E . W A L I C K I ,  Przepływ  cieczy  lepkiej  w szczelinie  mię dzy  wirują cymi  powierzchniami  obrotowymi,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  1,  12 (1974)  7 ­  16.  4.  S.  D A T T A ,  Hydromagnetic  flow  between  torsionally  oscillating  discs,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci.,  Ser.  Sci.  techn.,  11 ­ 12,  13  (1965)  979 ­986.  5.  S.  K A M I Y A M A ,  Inertia  effects  in  MHD  hydrostatic  thrust  hearing,  i.  Lubric.  Technol.,  Trans.  A S M E ,  F ,  4,  9 1  (1969)  589­596.  6.  V. K . A G R A V A L ,  Magneto­gasdynamic  externally  pressurized  bearing  with an axial  magnetic  field,  Wear,  15  (1970)  79­82.  7.  S. K A M I Y A M A ,  The influence  of  wall  conductance  on performance  of  the  MHD  hydrostatic  thrust  bearing,  J .  Lubric.  Technol.,  Trans.  A S M E ,  F ,  1,  9 3 (1971)  113 ­ 120.  8.  V.  K .  A G R A W A L ,  K . L . G A N J U ,  Effect  of  lubricant  inertia  in a  magneto­gasodynamic  externally  pressur­ ized  bearing,  Wear,  2 0 (1972)  123­ 128.  9.  V . K .  A G R A W A L ,  K . L .  G A N J U ,  S. C .  J E T H I ,  Effect  of  angular  inertia  in  magnetogasdynamic  externally  pressurized  bearing  by  numerical  method.  J . Lubric.  Technol.,  Trans.  A S M E ,  F ,  2,94(1972) 193­ 194.  10.  A .  A .  K .  M O H D ,  Hydromagnetic  flow  of  an  electrically  conducting  fluid  due  to  unsteady  rotation  of  a  porous  disk  over  a fixed  disk,  Indian  J . Appl.  Math.,  4,  3  (1972)  556 ­ 567.  11.  V . K .  K A P U R ,  K .  V E R M A ,  Energy  integral  approach  for  hydrostatic  thrust  bearing,  Japanese  J .  Appl.  Phys.,  7,  1 2 (1973)  1070­ 1074.  12.  S.  K A M I Y A M A ,  A .  S A T O ,  The effects  of  wall  conductance  on  torque  of  the  MHD  viscous  coupler  and  hydrostatic  thrust  bearing,  J . Lubric.  Technol.,  Trans.  A S M E ,  F , 2,  9 5 (1973)  181­ 186.  13.  И . E . Т А Р А П О В,  О б э ф ф е к т и в н о с т и  м а г н и т о г и д р о д и и а м и ч е с к и х  о п о р ,  М а г н и т н ая  г и д р о м е х а н и к а,  4  (1971),  63—74.  14.  А .  И .  Б Е Р Т И Н О В,  Л .  К .  К О В А Л Е В,  С .  М .— А .  К О Н Е Е В,  В . И .  П О Л Т А В Е Ц,  Л а м м и н а р н о е  с л о и с т о е   т е ч е н и е  п р о в о д я щ е й  с р е д ы  в к о л ь ц е в ы х  к а н а л а х  п р и  б о л ь ш и х  п а р а м е т р а х  М Г Д —  в з а и м о д е й с т в и я ,  М а г н и т н ая  г и д р о д и н а м и к а,  1  (1973),  79—84.  15.  Л . К .  К О В А Л Е В,  С . М .— А .  К О Н Е Е В,  Т р е х м е р н ы е  т е ч е н и я  ж и д к о с т и  и  г а з а  в  к о л ь ц е в ы х  к а н а л а х   п р и  б о л ь ш и х  п а р а м е т р а х  М Г Д —  в з а и м о д е й с т в и я ,  М а г н и т н ая  г и д р о д и н а м и к а,  4  (1973), 84—93.  16.  Э .  В .  Щ Е Р Б И Н И Н,  С т р у й н ы е  т е ч е н и я  в я з к о й  ж и д к о с т и  в м а г н и т н о м  п о л е ,  И з д .  З и н а т н е , Р и га  1973.  17.  Л . Г .  Л о й ц я н с к и й,  М е х а н и к а  ж и д к о с т и  и  г а з а ,  И з д.  Н а у к а,  М о с к ва  1973.  Р е з ю ме   Г И Д Р О М А Г Н И Т Н ОЕ  Т Е Ч Е Н ИЕ  В Я З К ОЙ  Ж И Д К О С ТИ  В  З А З О РЕ  М Е Ж ДУ   В Р А Щ А Ю Щ И М И СЯ  П О В Е Р Х Н О С Т Я МИ  В Р А Щ Е Н ИЯ   В  р а б о те  в ы в е д е ны  ф о р м у л ы,  о п р е д е л я ю щ ие  с о с т а в л я ю щ ие  с к о р о с ти  vx,  VQ, vy  и  д а в л е н ие  р   д ля  л а м и н а р н о го  с т а ц и о н а р н о го  г и д р о м а г ц и т н о го  т е ч е н ия  в я з к ой  п р о в о д я щ ей  ж и д к о с ти  в  з а з о ре   м е ж ду  в р а щ а ю щ и м и ся  п о в е р х н о с т я ми  в р а щ е н и я.  П р и м е н е ны  л и н е а р и з о в а н н ые  у р а в н е н ия  д в и­ ж е н ия  в я з к ой  ж и д к о с ти  д ля о с е с и м м е т р и ч н о го  т е ч е н ия  в  с и с т е ме  к р и в о л и н е й н ых  к о о р д и н ат   х ,  0,  у .  Р е ш е н ия  у р а в н е н ий  д в и ж е н ия  п р о и л л ю с т р и р о в а ны  г р а ф и к а ми  с о с т а в л я ю щ их  с к о р о с ти  vx,  v0,  i>y д ля т е ч е н ия  в  з а з о ре  п е р е м е н н ой  т о л щ и н ы.  426  E .  W A L I C K I  S u m m a r y  H Y D R O  M A G N E T I C  F L O W  O F  V I S C O U S  F L U I D  B E T W E E N  R O T A T I N G  S U R F A C E S  O F  R E V O L U T I O N  This  paper contains  formulae which define  such parameters of the  steady  laminar hydromagnetic flow  of  viscous  conducting fluid  between  rotating surfaces  of  revolution  as  the  velocity  components  v x,  v 0,  v y  and  pressure  p.  The  linearized equations  of  motion  of  the  viscous  fluid  flow  for axial symmetry in the  intrinsic curvi­ linear  orthogonal  coordinate  system  x,  в ,  у  arc  used.  The  solutions  of  the  equations  of  motion  have  been  illustrated  by  plots  of  velocities  vx,  v0,  vy  for  the  flow  through  the  slot  of  variable  thickness.  AKADEMIA  TECHNICZNO­ROLNICZA  B Y D G O S Z C Z  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 5  grudnia  1975  r.