Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  O  S T A T E C Z N O Ś CI  W Z A J E M N E G O  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  I  C I Ę G NA  W  R U C H U  W Z G L Ę D N YM  ROMAN  B O G A C Z  (WARSZAWA)  1.  Wstęp  Badania  dotyczą ce  statecznoś ci  układów  cią głych  wymuszonych  ruchomymi  obcią ż e­ niami  (zwłaszcza  typu  inercyjnego)  są  rozwijane  w  róż nych  dziedzinach  fizyki  i  techniki  z a r ó w n o  ze  wzglę du  na  liczne  zastosowania,  jak  również  ze  wzglę dów  poznawczych.  Badaniu  układów  mechanicznych  tego  typu  poś wię cono  m.in.  pracę  [1],  w  której  przeprowadzono  jakoś ciową  analizę  wpływu  prę dkoś ci  ruchu  siły  skupionej  o  stałej  war­ toś ci,  przemieszczają cej  się  wzdłuż  belki  spoczywają cej  na  sprę ż ystym  podłożu  na  odkształ­ cenia  belki.  W  pracach  [2]  i  [3]  uogólniono  powyż sze  rezultaty  na  przypadek  obcią ż enia  u k ł a d e m  rozstawionych  sił  skupionych  i  uresorowanych  mas.  Autorzy  pracy  [3]  badali  również  wpływ  prę dkoś ci  ruchu  na  czę stość  drgań  własnych, jednak  kierując  się  wykorzy­ staniem  rezultatów  w  kolejnictwie  ograniczyli  rozważ ania  do  wzglę dnie  małych  prę dkoś ci  ruchu  wynoszą cych  poniż ej  20%  prę dkoś ci  krytycznej,  co  przy  przyję tych  parametrach  toru  i  podłoża  nie  wymagało  analizy  statecznoś ci.  Analizie  statecznoś ci  układów  ograniczonych  obcią ż onych  poruszają cymi  się  masami  poś wię cono  szereg  prac.  D o  najbardziej  znaczą cych  należą  tu  prace  [4  — 6].  Autorzy  prac  [4]  i  [5]  przedstawili  odkształcenia  belki  o  podpartych  k o ń c a ch  w  postaci  sumy  szeregu  fal  stoją cych,  sprowadzając  zagadnienie  statecznoś ci  do  analizy  obszarów  rezonansu  parametrycznego  równania  róż niczkowego  zwyczajnego.  Uzyskane  wyniki  mają  charakter  przybliż ony  i  są  niekiedy  obarczone  istotnym  błę dem.  Znany jest  bowiem  z  doś wiadczenia  fakt,  że  odkształcenia  dla  tego  rodzaju  obcią ż eń  mają   charakter  fal  bież ą cych,  co  teoretycznie  rozważ ono  w  [6]  i  innych  pracach  S.  KALISKIEGO,  analizując  przypadek  obcią ż enia  o  charakterze  cią głym.  Zagadnienie  statecznoś ci,  które  prezentujemy  w  niniejszym  komunikacie,  stanowi  uzupełnienie  b a d a ń  dotyczą cych  ruchomych  obcią ż eń  skupionych,  a  także  uogólnienie  rozważ ań  dotyczą cych  obcią ż eń  cią głych,  takich  jak  gę sto,  równomiernie  rozłoż one  oscy­ latory  [6,  7],  badanych  zarówno  na  gruncie  mechaniki  elektrodynamiki,  jak  i  elektro­ nofononiki  [8].  Rozważ ymy  zatem  stateczność  układu  złoż onego  z  nieograniczonego  cię gna,  masy  skupionej  i  bezmasowych  elementów  o  własnoś ciach  lepkosprę ż ystych  łą czą cych  masę   z  cię gnem  oraz  otoczeniem.  W  niezaburzonym  ruchu  wzglę dnym  masa  i  prostoliniowe  cię gno  spoczywają  w  dwóch  inercjalnych  u k ł a d a c h  współrzę dnych,  zachowując  stałą  od­ ległość  pomię dzy  masą  i  cię gnem.  520  R.  B O G A C Z  Analiza  statecznoś ci  ruchu  tak  sprecyzowanego,  uproszczonego  modelu  układu,  poza  aspektem  poznawczym  może  być przydatna  do  wyjaś nienia  szeregu  zjawisk,  które  należy  eliminować  w pewnych  dziedzinach  techniki, m.in. w  transporcie,  włókiennictwie,  a  niekiedy  wykorzystać  np.  w  bardziej  złoż onych  układach  teorii  pól  połą czonych  [8].  W  drugiej  czę ś ci  pracy  sformułujemy  problem  podając  równania  ruchu  i  warunki  brzegowe  dla  przypadku  jedno  i  dwupunktowego  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem,  w  czę ś ci  trzeciej  podamy  rozwią zanie  zagadnienia  oraz  sposób  uzyskania  równań  charak­ terystycznych.  Czę ść  czwartą  poś wię cimy  kryteriom  i  obszarom  statecznoś ci,  czę ść  pią tą   analizie  numerycznej  dla  wybranych  p r z y p a d k ó w ,  koń cząc  pracę  uwagami  bę dą cymi  podsumowaniem  uzyskanych  rezultatów.  Wykaz  waż niejszych  oznaczeń   a  p r ę d k o ść  sprę ż ystych  fal  poprzecznych  w  c i ę g n i e,  /),  w s p ó ł c z y n n i k  l e p k o ś ci  elementu  ł ą c z ą c e go  c i ę g no  z  masą  oscylatora,  w s p ó ł c z y n n i k  l e p k o ś ci  elementu  ł ą c z ą c e go  m a s ę  oscylatora  z  otoczeniem,  hi  w s p ó ł c z y n n i k  w e w n ę t r z n e go  tłumienia  c i ę g na  na j e d n o s t k ę  d ł u g o ś c i,  hi  w s p ó ł c z y n n i k  z e w n ę t r z n e go  tłumienia  c i ę g na  na j e d n o s t k ę  d ł u g o ś c i,  c,  stała  sprę ż ysta  elementu  ł ą c z ą c e go  c i ę g no  z  m a s ą  oscylatora,  c 2  stalą  sprę ż ysta  elementu  ł ą c z ą c e go  m a s ę  oscylatora  z  otoczeniem,  hi,h2  w s p ó ł c z y n n i k i  zanikania  lub  narastania  fal  w  przestrzeni,  kt,  кг  liczby  falowe,  L  o d l e g ł o ś ć  p o m i ę d zy  punktami  o d d z i a ł y w a n i a  oscylatora  dwupunktowego  z  c i ę g n e m,  m  masa  oscylatora,  Pt  siła  w  elemencie  łą czą cym  m a s ę  oscylatora  z  c i ę g n e m,  R, Z  zbiory  liczb  rzeczywistych  i  zespolonych,  T  siła  n a c i ą gu  c i ę g n a,  U0  p r ę d k o ść  ruchu  cię gna  w z g l ę d em  otoczenia  w  kierunku  przeciwnym  do  osi  i',  v0  p r ę d k o ść  ruchu  oscylatora  w z g l ę d em  c i ę g na  w  kierunku  osi  x,   (Ł),   W  przemieszczenie  poprzeczne  cię gna  w  kierunku  osi  у  lub  f,  x,  у  kartezjań ski  układ  w s p ó ł r z ę d n y ch  z w i ą z a ny  z  oscylatorem,  z,  przemieszczenie  punktu  styku  oscylatora  z  c i ę g n e m,  z2  przemieszczenie  masy  oscylatora,  f0  dekrement  zanikania  i  narastania  drgań  w  czasie,  f,  С  kartezjań ski  układ  w s p ó ł r z ę d n y ch  z w i ą z a ny  z  c i ę g n e m,  Q  liniowa  g ę s t o ść  masy  c i ę g n a,  o>0  c z ę s t o ść  drgań  układu  o s c y l a t o r ­ c i ę g n o.  2.  Sformułowanie  problemu,  równania  ruchu  i  warunki  brzegowe  Rozważ ymy  liniowy  model  układu  złoż ony  z  nieskoń czonego,  napię tego  cię gna  od­ działują cego  z  otoczeniem  poprzez  gę sto,  równomiernie  rozłoż one  tłumiki  oraz  z oscyla­ tora  (masy  skupionej  połą czonej  z  cię gnem  i  otoczeniem  elementami  lepkosprę ż ystymi).  W  niezaburzonym  ruchu  wzglę dnym  masy  i  cię gna  napię cie  w  elementach  łą czą cych  jest  równe  zeru.  Schemat  układu  dla  przypadku  jedno  i  dwupunktowego  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem  ilustrują  rys. l a  i l b .  O  STATECZNOŚ CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  521  a)  b)  Analizę  ruchu  przeprowadzimy  przy  nastę pują cych  założ eniach:  prę dkoś ci  wzglę dnego  ruchu  a0,v0  są stałe.  Tarcie  w punktach  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem  jest  pomi­ jalnie  małe.  Cię gno  nie przenosi  momentów  gną cych.  Masy  elementów  łą czą cych  są  po­ mijalnie  małe.  Nie uwzglę dnia  się oddziaływań  grawitacyjnych.  W  celu  opisania  ruchu  układu  w stanie  zaburzenia  statycznej  równowagi  oscylatora  wprowadzimy  dwa  inercjalne  układy  współrzę dnych  f,  С — zwią zany  z cię gnem  oraz  х , у   zwią zany  z oscylatorem.  Osie  współrzę dnych  skierujemy  tak, aby słuszne  były  relacje:  (2.1)  C­x­vot  =  0;  С­У = 0.  Przy  przyję tych  założ eniach  ruch  cię gna  opiszemy  równaniem  poprzecznych  drgań  struny.  R ó w n a n i e  to słuszne  dla . v / 0 w  przypadku  oscylatora jednopunktowego  oraz  \x\ Ф  L/2  w  przypadku  oscylatora  dwupunktowego  po  zapisaniu  w  układzie  współrzę dnych  x,y  przyjmie  postać   r)2W  P2W  fi2 W  cl W  dW  (2.2)  d d ^ ­ 2 v 0 ^ 7 + ( v 2 ­ a 2 ) d d ^  +  а(в3  + в4)°£  ­ в [ 0 з + / ? > < > ­ M o ]—  = 0, 9л:  gdzie  W  =  W(x, t),  az  =  о  b,  P i  =  'д а   (/  = 3,4).  Relację  pomię dzy  przemieszczeniem  masy  oscylatora  z2(t)  oraz  punktem  styku  z  cię gnem  z x ( r )  (dla  oscylatora  jednopunktowego  z±(t)  =  ­W(0,  t))  opiszemy  nastę pują cym  r ó w n a n i e m :  (2.3)  d2z2  dt2  +a(fit+p2)  dz2  ~dt  dz  aBi  + а 2 ( а , + a2 ) z 2 ­ a 2 < X i Z ,  = 0,  dt  522  R .  B O G A C Z  przy  czym  siłę  oddziaływania  oscylatora  na  cię gno  okreś la  wyraż enie  d(z2­z,)  (2.4)  Py(t)  = a2m  ±оо   и к <аг   Zależ ność  pomię dzy  oddziaływaniem  oscylatora  na cię gno  i cię gna  na oscylator  zapiszemy  (2.6)  Pl(t)  + P2(t)  = 0 .  Natomiast  warunek  cią głoś ci  przemieszczeń  wyraża  się  wzorami:  dla  oscylatora  jednopunktowego  (2.7)  Wt(0,  t)  =  Щ 0,  t)  =  ­Zl(t),  gdzie  (2.8)  Wi(x, t)  =  W(x, OU0;  dla  oscylatora  dwupunktowego  W^\­L/2,  t)  =  W<°>(­Z,/2,  0 ;  W<­°\LI2,  t)  =  r F 2 > ( L / 2 ,  r ) ,  Wl\­LI2,  t)+ W<2\L/2,  i)  =  ­2Zl(t),  gdzie  W^(x,  t)  =  W(x, t ) \ ­ m < x < m ;  W^(x,  t)  =  и / (х ,  0 | * < ­ « 2 !  W^\x,  t)  =  W(x,  t)\x>Lll.  Siłę  oddziaływania  cię gna na oscylator  dla przypadku jednopunktowego  oddziaływania  wyraża  wzór  (2.9)  (2.10)  2  l8W1  =  a 6 \ ­ 8 x ­ dx  x=0  natomiast  dla  przypadku  dwupunktowego  oddziaływania  o elemencie  łą czą cym  połą czo­ nym  przegubowo  i symetrycznie  słuszny jest  zwią zek  (2.11)  P 2 ( 0 =  2a 2(?  /  dWw  d ł K < 0 ) '  \  8x  dx  )  =2Qa 2(  I  x=­L\l  \  vx  д х  1 x=LI2 Х=­ц г   U k ł a d  r ó w n a ń  (2.2),  (2.3)  wraz z podanymi  wyż ej  warunkami  w pełni  opisują  zagadnie­ nie.  Przystą pimy  zatem  do  okreś lenia  postaci  rozwią zania  problemu  oraz  dyskusji  jego  stabilnoś ci.  3.  Rozwią zanie  zagadnienia,  równania  charakterystyczne  Rozwią zania  u k ł a d u  równań  (2.2),  (2.3)  poszukiwać  bę dziemy  w  postaci  (3.1)  W(x, t) = X{x)^;  Zj(t)  = Bje^i  Pj(t) ­  ±P 0e x°\  j  = 1,2.  O  S T A T E C Z N O Ś CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  523  Po  podstawieniu  (3.1)  do (2.2)  otrzymamy  równanie  róż niczkowe  zwyczajne  wzglę dem  X(x)  o  rozwią zaniach  w postaci  2  (3.2)  X(x)  = ]?Anse r'x;  r = hs+iks;  h„ kseR;  i =  Przy  czym  dekrementy  zanikania  fal oraz  liczby  falowe  w przypadku  okresowego  ruchu  oscylatora  okreś lają  wzory:  .  ­V  ,  ) V ­ 4 « > 2  +  l / ( ł ? 2 ­ 4 f o 2 ) 2 + 1 6 w 2 [ l + ^ 3  +  ^ ( l + w o ) F  (3.3)  A l / a _ _ _ ^ . ±  2 ] / 2 ( W )  '  « л  u  ]/2с о [в3  + в0(1+и у )]  1 ­ 0  ( l ­ a 2 ) V y ­ 4 w 2 +  i / ( ł ? 2 ­ 4 c o 2 ) 2 + 16co 2 [l+ / 3 3 + / 9 4 ( l + w © ) ] 2  gdzie  A =  X0a~ l,io  =  Im(A)  =  — v  =  u 0 o _ 1 ,  w =  г /0 я ­ 1 ,  r? =  B3v +  3A(v­u).  Zgodnie  z warunkiem  wypromieniowania,  po  wykorzystaniu  warunku  zgodnoś ci  (2.7)  oraz na podstawie  (2.8)  i  (3.2)  otrzymamy:  (3.5)  Wn(x,t)  =  ^ 0 { Я [ ­ ( ­ 1 ) " ( г ; + ] ) ] е х р [ ( /п  + /А:1)А­ +  А о /] +  / / [ ( ­ 1 ) " ( 1 ­ « ) ] х   x  exp[(h2  + ik2)  + ?,0t],  gdzie:  0  dla  x  > 0,  # ( * (*)  =  {  1  dla  к  >  0;  (3.6)  ^ « 0 ( 1 ­ H )  >  0;  fc2co^0,  (3.7)  A i ( l + w )  ^  0;  A 2 ( l ­ w )  <  0  dla  Re Я >  0.  Wykorzystując  powyż sze  oznaczenia  oraz  zwią zki  (2.7)  i (2.10), otrzymamy  nastę pują cą   relację  pomię dzy  przemieszczeniem  cię gna  a  silą  skupioną  okreś loną  przez  (3.1)  przy­ łoż oną  w x  =  0  (3.8)  ЩХ,  t)  =  —  ~f°fll  T  v  0 # o ( ­ * ) +  И /2 ( х ,  0 Я 0 ( Д С ) ],  a  — /; 2 +  —   к2)  gdzie  0  dla  У .  <  0,  # 0 ( х )  = 1 / 2  dla  х  =  0,  1  dla  У . >  0.  Kładąc  w  (3.8) х  =  0  okreś limy  przemieszczenia  z^t)  dla  przypadku  oddziaływania  jednopunktowego  (rys.  la),  które  przyjmie  postać   (3 9)  z(t)  ­ Л > е л ° ' Я ( 1­ Н )  Zwią zek  pomię dzy  obcią ż eniem  /)(r) i  przemieszczeniem  z x ( r ) w przypadku  oscylatora  dwupunktowego  (rys. Ib)  moż na  otrzymać  wykorzystując  bą dź  liniowość  układu  i  sto­ sując  zasadę  superpozycji,  bą dź  (postę pując  podobnie jak w przypadku  oscylatora  jedno­ 5 2 4  R .  B O G A C Z  (3.10)  z,(,) =  „  ­ 2  H(\  ­  \v\)+ 2 e­  0]},  /  =  {z:  [Re(z)  =  0}.  Przy  czym  n a s t ę p u j ą cy  z b i ó r  e l e m e n t ó w  (4­4)  SId  =  {.v: \ /  Щ Х ,  s)  =  0]} ­  {s:  \ /  [Ф (Х ,  s)  = 0]}  >sRh  >. e(Z*­R)  n a z y w a ć  b ę d z i e my  obszarami  n i e s t a t e c z n o ś ci  o  charakterze  dywergentnym.  Z b i ó r  (4­5)  SI0={s:  \J  [0(X,s)  =  O]}­Sld  ;.e(z+­«)  n a z y w a ć  b ę d z i e my  obszarem  oscylacyjnej  utraty  s t a t e c z n o ś c i.  Natomiast  z b i ó r  o k r e ś l o ny  n a s t ę p u j ą c o:  (4.6)  Slm  =  Sj­Su­SI0  O  STATECZNOŚ CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  525  nazywać  bę dziemy  obszarem  utraty  statecznoś ci  o charakterze  dywergentno­oscylacyjnym  lub  mieszanym.  Wyznaczenie  explicite  zbioru  St  z równania  (4.12)  jest  zwykle  czasochłonne,  a w przy­ padku  równań  algebraicznych  stopnia  wyż szego  aniż eli  czwarty  lub niewymiernych  rów­ n a ń  charakterystycznych  moż liwe  tylko  w  szczególnych  przypadkach.  Analizę  statecznoś ci  ułatwia  niekiedy  wykorzystanie  pomocniczych  kryteriów  statecz­ noś ci,  k t ó r y c h  spełnienie  równoznaczne  jest  nastę pują cemu  warunkowi:  (4.7)  л  [Ф (А, s0)  =  0  => Re(X)  < 0]  л   dla  ustalonych  p a r a m e t r ó w  układu  i  p a r a m e t r ó w  ruchu.  W  przypadku,  gdy  równanie  charakterystyczne  ma  postać  wielomianu  powszechnie  stosowane  są  nastę pują ce  kryteria  pomocnicze:  Kryterium  HURWITZA  (omówione  m.in.  w  [11])  ż ą dają ce  dodatnioś ci  wyznacznika  oraz  jego  głównych  minorów,  którego  wyrazami  są  odpowiednie  współczynniki  wielomianu.  Kryterium  MICHAJŁOWA (patrz  [11])  polega  na  badaniu  konfiguracji  krzywej  (4.8)  ф1  =  / ( ф 2 )  danej  parametrycznie  dla  — co <  co <  +  co,  gdzie:  4>i  =  * i ( o » ,  s0)  =  К е [Ф (А,  s0)\,=  i w  = 0],  Ф 2  =  Ф 2 ( « ,  so)  =  Im [Ф (Л,  *0)|*­ft»  = 0].  Uogólnione  kryterium  MICHAJŁOWA [7],  w który m  analizuje  się  ukształtowanie  krzy­ wych  (4.10)  0j(co, s)  =  0,  j  =  1 , 2 ;  с о е  ii  w  przestrzeni  iix  UxV  umoż liwia  przejrzysty  podział  p a r a m e t r ó w  na obszary  statecznoś ci  i  niestatecznoś ci.  W  przypadkach  bardziej  złoż onych  r ó w n a ń  charakterystycznych,  w  k t ó r y c h  wymie­ nione  kryteria  nie  obowią zują,  wykorzystujemy  elementy  teorii  funkcji  zmiennej  zespo­ lonej  oraz  metody  przybliż one  i  technikę  cyfrową.  W  niniejszym  komunikacie,  w  celu  przykładowego  okreś lenia  obszarów  niestatecznoś ci,  wykorzystamy  również  nastę pują ce  kryteria  pomocnicze  bę dą ce  rozwinię ciem  uogólnionego  twierdzenia MICHAJŁOWA.  Załóż my,  że istnieje  taki  zbiór  Q*,  Q* cz Q,  w  który m  co = cpj(s)  (J=  1, 2)  są  cią g­ łymi,  jednoznacznymi  gałę ziami  cpj(co,s) = 0, tj.  (4.11)  [ co  =  cpj(s)]  =  [Ф}(ш ,  s) =  0]  dla  (co, s} e Q*  oraz  nastę pują ce  podzbiory:  Ql  =  {Ч '[(Ф {Я )  =  0)A(qeQ*)]},  S* =  {s:  \j Kco,s>eQ*]},  (4.12)  S£  = {s: V  [eQ*]),  5 *< j)  =  | < и ,  ю > :  \y  [(w  =  U0  +  KUJ­KU0)A(V  =  v0  + Щ ­Kv0)л   « w ,  w>  e  5 * ) ] } .  0, (q° e Qt)  taki,  że cpj(s0), (j  =  1,2)  jest  analityczna  oraz  spełniony  jest  nastę pują cy  warunek  (4.13) V Л  К 5 ' "  e  S*°)}  л  e  5 * ( 2 > )  =*  Ы*и)­<Р г&Ју)(<Р 1Р2г)­ ­?>2(*< 2>)  < 0 ] ,  to  istnieje  niepusty  zbiуr  Sf  =  St  n  S*  bę dą cy  obszarem  niestatecznoś ci.  W ł a s n o ś ć  2.  Jeż eli;   6  5 * n S s )  v  ( ? 2  6  5 * n 5 s ) ] ,  to  5* jest  podzbiorem  obszaru  quasi­niestatecznosci  (S*  с  5 Q ) i tworzy  granicę  pomię dzy  obszarami  statecznoś ci  i  niestatecznoś ci.  Powyż sze  własnoś ci  są  wystarczają cymi  warunkami  na  to,  aby  istniał  obszar  niesta­ tecznoś ci  oraz  granica  tego  obszaru.  Istnienie  obszaru  niestatecznoś ci  przy  spełnionym  warunku  (4.13)  łatwo  wykazać   rozwijając  Ф (Л, л) w otoczeniu q° w szereg  Taylora.  U k ł a d  r у w n a ń  otrzymany  po rozdzie­ leniu  czę ś ci  rzeczywistej  i  urojonej  (w  przypadku  aproksymacji  rozwinię cia  liniowym  д Ф ­  д Ф ­  д Ф ­ przybliż eniem  oraz  wykorzystaniu  faktu,  że  _  1 ,  ­г —д ­е Л)  przyjmie  p o s t a ć :  ov0  ou  ow  д Фу  ,  „.  д Ф2  д Ф1  ,  „.  д Ф ,  ,  (4.15)  д Ф2  ,  „  д Ф ,  д Ф2  ,  „ч  д Ф2  ,  1 с Ф ^ ­ш 0 ) ­ ^ е + ^ ­ ^ + ^ и ­ ^  ' °»  gdzie  oznaczono:  s  =  e0a~ l,  д Ф ,  д Ф ,(с о ,и ,ъ )\  ,  .  .  д Ф ,  д Ф ,  • a­iь"  =  — ^  1  o r a z  analogicznie  З о )°  (9ш  ш , ш о  °  д и °  dv 0  | Ц = И°   Wyraż enie  okreś lają ce  dekrement  narastania  fali  wyznaczony  z  powyż szego  układu  r у w n a ń  wyrazi  się wzorem  / 3 0 ,  З Ф2  З Ф,  д Ф у  З Ф2  З ФХ   \  3w°  З а )0  3 0,  czyli  SjeS,.  Wykorzystując  fakt,  że Ф (Д, s) jest  analityczna dla q e Q*  łatwo  wykazać  własność  2.  O  S T A T E C Z N O Ś CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  527  Wymienione  wyż ej  własnoś ci  oraz  kryteria  pozwalają  na  zbadanie  zagadnienia  statecz­ noś ci  rozważ anego  przez  nas  układu.  Analizie  numerycznej  dla  wybranych  p r z y p a d k ó w  poś wię cimy  nastę pną  czę ść  niniejszej  pracy.  5.  Analiza  numeryczna  5.1.  Przypadek jednopunktowego  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem.  R ó w n a n i e  charakterystycz­ ne  oddziaływania  cię gna  z  tłumikami  otrzymamy  spełniając  równanie  (2.2)  rozwią zaniami  (3.1),  (3.2).  Przyjmie  ono  nastę pują cą  f o r m ę :  (5.1)  12  + {р3  + в4­2и г )Х ­В3и г  + г 2(и2­\)  =  0.  Natomiast  podstawą  do  dyskusji  statecznoś ci  oddziaływania  jednopunktowego  oscylatora  z  tłumionym  cię gnem  bę dzie  równanie  (3.12)  zapisane  nastę pują co:  ( i ­ t > 2 ) t f ( i ­ N ) (5.2)  [(ft  + f t ) ( f t  +  ft  + 8 Л К + fil u2  ­  2(ft  +  ft  + 2A) BĄuv + 4(A ­  ft  ­  ft)  * ] 1 / 2  +  +  0. ( « i  + f t f t ) ^ 2  +  0 * i f t  +  a 2 f t  +  ft  A 2 ) A+ctt  a 2  Stosując  do  (5.1)  uogólnione  kryterium  MICHAJŁOWA  otrzymamy  nastę pują ce  wyraż enie  okreś lają ce  granicę  obszaru  niestatecznoś ci:  ft + ft (5.3)  oraz  obszar  niestatecznoś ci  (5.4)  u,  "kr ft  Konfigurację  krzywych  Фг  i  Ф2  [okreś lonych  wzorem  (4.9)]  na  płaszczyź nie  fazowej  с о к '1  ,u  dla  r ó w n a n i a  (5.1)  przedstawiono  na  rys.  2.  Rvs.  2  52S  R .  B O G A C Z  Zauważ my,  że w szczególnym  przypadku, gdy /?3  =  0 ze wzoru  (5.3)  otrzymujemy  znaną   w  literaturze  wartość  prę dkoś ci  krytycznej  tłumików  przemieszczają cych  się  wzdłuż   struny.  Rezultat  ten podany  jest  m.in.  w pracy  [10] poś wię conej  analizie  statecznoś ci  struny,  której  gę stość  opisana  jest  funkcją  losową.  Obraz  płaszczyzny  fazowej  co,v  ilustrują cy  stateczność  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem  uzyskany  na  podstawie  równania  charakterystycznego  (5.2) dla wybranych  p a r a m e t r ó w  układu  przedstawiono  na rys. 3 i 4.  $1*0,  /32*0,  Pi +fo*0  $з —о ,  $4=o  s \ \ *1+P,$2+7l(Pl +f o)  Rys.  3  \ $,­$2­0  $3>0,  $4­0  UJ2  , t a2)  Rys.  4  N a  podstawie  wykresu  przedstawionego  na rys. 3 dla \u\ < 1, p \ > 0, 82  > 0, 63  ­>• 0'  p\t  ­ » 0 m o ż na  wnioskować,  że  gdyby  Ф1 oraz  Ф2  okreś lić  w przestrzeni  m, u, v, to  uogól­ nione  kryterium statecznoś ci  M I C H A J Ł O W A  byłoby  spełnione  dla  całego  zakresu  prę dkoś ci v  poza  wartoś cią  v =  1  (5.5)  {<«,*>>:[(N  < 1) л (p Ф  1)]}  с  Ss.  i  O  S T A T E C Z N O Ś CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  529  Natomiast  z wykresu  przedstawionego  na  rys.  4 dla  8y  =  f}2  =  0,  /?3  >  0,  /? 4  =  0  wynika,  że pomimo  zmiany konfiguracji krzywych  Фг  i 2 dla  \v\  <  1 obszar  (5­6)  {<*/, v}:  [(u eR)A  (\v\  <  1)]}  cz  5 S  pozostaje  obszarem  statecznoś ci,  a  obszar  (5.7)  {<[U,V):[(UBR)A(\V\>1)]}  С  SQ  przechodzi  w  obszar  quasi­niestatecznoś ci.  Fakt,  że  wartość  prę dkoś ci  cię gna  wzglę dem  otoczenia  nie  ma  wpływu  na  stateczność   wynika  z  braku  wzglę dnego  tłumienia  cię gna  (/?4  =  0 ) .  W  przypadku  /»,  ^  0,  f}2  >  0 ,  83  =  /34  =  0  moż emy  badać  stateczność  oscylatora  współdziałają cego  z  cię gnem  wykorzystując  kryterium  statecznoś ci  H U R W I T Z A .  Jest  ono  równoważ ne  warunkom:  dla  |»|  <  1  [ ( « 1 + Л Л К1  ­v2)  + 2(81+e2)yl][B1(l­v 2)  + 2y1]­ i  >  0 ,  (5.8)  l(«iP2  + ̂ ^)0­v 2)  + 2(a!+a2)y1][ei(l­v 2)  + 2y1]­'  >  0 ,  [ ( « ,  +  а 2 ) 2 У 1  +  ( а , / ?a  +  «2p,)(l  ­ ^ 2 ) ] [ ( « i  +  / ? , & ) 0  ­ г >2 ) +  2(/?,  + 0 M  >  >  alcc2[ei(l­v 2  +  2y1]  oraz  dla  \v\  >  1.  (5.9)  / ? , + / S 2 > 0 ,  Я ] + а 2 > 0 .  Z  (5.8) wynika,  że  dla  \v\  <  1 ruch  oscylatora jest  stateczny.  Pokrywa  się to  z wnioskiem  (5.6)  uzyskanym  dla  B3  >  0 .  Podobnie,  obszar  (5.7) jest  obszarem  asymptotycznej  sta­ tecznoś ci  jedynie  wtedy,  gdy  / ? i + / ? 2  >  0 .  N a  uwagę  zasługuje  fakt,  że  ukształtowanie  obszarów  statecznoś ci  w  rozważ anych  dotychczas  przypadkach  róż ni  się  zasadniczo  od  obszarów  uzyskanych  w  [7]  dla  układu  gę sto,  równomiernie  rozłoż onych  oscylatorów.  Szereg jakoś ciowo  nowych efektów  wynika  z  analizy  dwupunktowego  oddziaływania  pojedynczego  oscylatora  z  u k ł a d e m  cią głym,  co  bę dzie  teraz  przedmiotem  rozważ ań.  5.2.  Oddziaływanie  dwupunktowe.  Równanie  charakterystyczne  dla  przypadku  dwupunk­ towego  oddziaływania  z  cię gnem  (rys.  Ib),  otrzymane  po  wykorzystaniu  zwią zków  (3.10)  i  (3.11),  wyrazi  się  nastę pują co:  H(l­v2)  + j e ­ ^ + i k O L  + | s i g n ( l ­ p 2 ) c ­ < ^ + i * ł ) Ł  _  '  '  2y1L[h1­h2  +  i(k1­k2)]  Х2 + (в1+в2)Х  + а1  + а2  в ,  X3  +  ( а ,  +  /?, B2)  X 2  +  ( а ,  [B2 + a2  в ,)  X +  а ,  я 2 "  Oznaczają c:  /1  =  XL,  4ytL  =  y2,  tXjL 2  =  н у ,  (j  =  1,  2 ) ,  p,L  =    0,  któryc h  granicami  są  krzywe Ф2  • Obszary  te  wyznaczono  wykorzystując  warunek  (5.12)  a>  0=>Л (<г ,6>)  <  0,  którego  słuszność  m o ż na  wykazać  stosując  do  r ó w n a n i a  (5.9)  twierdzenie  R o u c h ć .  Nałoż enie  obszarów  z  rys.  5  i  6  pozwala  na  oszacowanie  odpowiadają cego  a  S= 0  zakresu  prę dkoś ci  v  w  zależ noś ci  od  « t  i  y2  • Oszacowanie jest  tym  lepsze,  im  wię ksza  jest  wartość  parametru  y2  oraz  im  mniejsza  wartość  xy.  Charakterystyczny jest  fakt,  że  może  istnieć  taka  graniczna  wartość  v  = vc,  że  Vcs  =  {v:  (\v\  >  vc)}  O  STATECZNOŚ CI  ODDZIAŁYWANIA  OSCYLATORA  531  jest zakresem  statecznoś ci  ruchu u k ł a d u .  Ł a t w o  zauważ yć,  że jeż eli  xt  ­> 0  (np. jeś li Z,  ­+  0),  to  vc  ~*  1,  co  pokrywa  się  z  rezultatami  uzyskanymi  dla  przypadku  jednopunktowego  oddziaływania  oscylatora  z  cię gnem.  1, 5  1,0  0,5  \  V  \ ­ . 7  Ц гУ  s'  *//M0^~  \ ^  \  \ / 7  ^ ^ " ^  0, 2  \  W  —  ^  A  I]  \ A  /   / ­  i  /  a?  /  0,5  I  1 1  1  Щ   ­5  1  '  J  1  0,5  1,0  ;,5  2,0  Rys.  5  0  jr  2tf  З ж  4ъ  531  б т т  7Л  8TT  Rys.  6  N a  rys.  7  naniesiono  obszary  moż liwych  rozwią zań  niestatecznych  o  dekrementach:  a  >  0;  er  >  0,1;  a  >  0,2;    0,5  dla  x,  =  y2  =  1.  Z  kształtu  wykresów  wynika,  że  wię ksze  wartoś ci  dekrementu  narastania  d r g a ń  są   moż liwe  przy  wię kszych  wartoś ciach  prę dkoś ci  ruchu.  Ukształtowanie  krzywych  Фх  i  Ф2  na  płaszczyź nie  &,  v  oraz  konfigurację  zakresów  niestatecznoś ci  dla  xt  =  y2  =  1  ilustruje  rys.  8.  6»  532  R .  B O G A C Z  0  "  0, 5  '  1, 0  1, 5  2, 0  Rys.  7  Rys.  8  Widzimy,  że  w  przypadku  tym,  typowym  dla  dwupunktowego  oddziaływania  obszar  niestatecznoś ci  składa  się  z  nieskoń czonej,  przeliczalnej  liczby  zakresów  niestatecznoś ci  o  charakterze  oscylacyjnym,  z  któryc h  pierwszy  z  dokładnoś cią  do  0,02  jest  nastę pują cy  1,15  <  \v\  <  1,20,  a  pozostałe  należą  do  zbioru  1,0  <  \v\  <  1,09.  Przy  prę dkoś ci  v  =  1  moż liwa  jest  utrata  statecznoś ci  cię gna,  k t ó r a  w  zależ noś ci  od  wartoś ci  współczynników  tłumienia  może  mieć  charakter  dywergentny  lub  oscylacyjny.  6.  Uwagi  koń cowe  Z  przeprowadzonych  rozważ ań  wynika,  że  układ  oscylator­cię gno­otoczenie  w  ruchu  wzglę dnym  w  przypadku  cię gna  tłumionego  tłumikami  o  charakterystyce  /94  >  0  jest  niestateczny  przy  prę dkoś ciach  ruchu  cię gna  wzglę dem  otoczenia  | м 0 |  >  «(1  + / ? з / / 34 ) .  O  S T A T E C Z N O Ś CI  O D D Z I A Ł Y W A N I A  O S C Y L A T O R A  533  Jednopunktowe  oddziaływanie  oscylatora  powoduje  u t r a t ę  statecznoś ci  u k ł a d u  tylko  przy  prę dkoś ci  wzglę dnego  ruchu  równej  prę dkoś ci  poprzecznych  fal  sprę ż ystych  w  cię gnie.  Dwupunktowe  oddziaływanie  oscylatora  powoduje  u t r a t ę  statecznoś ci  przy  p r ę d k o ś­ ciach  ruchu  z  ograniczonego  przedziału,  w k t ó r y m  znajduje  się  przeliczalny  (dla nietłu­ mionego  układu  nieskoń czony)  zbiór  zakresów  niestatecznoś ci.  Z  uwagi  na  liniowość   dyskutowanego  przez  nas  u k ł a d u  rozwią zania  niestateczne  narastają  nieograniczenie.  W  realnych,  nieliniowych  u k ł a d a c h  wystę powałyby  cykle  graniczne,  które  po  przyję ciu  nieliniowych  równań  ruchu  m o ż na  wyznaczyć  stosując  procedurę  p o d a n ą  w  pracy [9].  Wydaje  się,  że  rezultaty  uzyskane  dla  wzglę dnie  prostego  modelu  pozostaną  j a k o ś c i o wo  słuszne  dla  bardziej  złoż onych  układów  tego  typu  i pozwolą  wyjaś nić  niektóre  z istotnych  p r o b l e m ó w  dotyczą cych  statecznoś ci.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  J .  T .  K E N N E Y ,  Stady­state  vibrations  of  beams  on elastic foundation for  moving  load, J . A p p l .  Mech  4,  21,  (1954).  2.  H .  F R Ą C K I E W I C Z,  Dynamika  mas skupionych  poruszają cych  się po  belce leż ą cej  na  sprę ż ystym  podłoż u,  Rozpr.  Inż .,  2,  13  (1965).  3.  А . П .  Ф и л и п о в,  С . С .  К О Х М А Щ О К,  Д и н а м и ч е с к и е  в о з д е й с т в и е  п о д в и ж н ы х  н а г р у з о к  н а  с т е р ж н и ,  Н а у к о ва  Д у м к а,  К и ев  1967.  4.  В . В .  Б о л о т и ц,  Т р у ды  М И ИТ  74,  Т р а к с ж е л ь д о ф и з д ат  М .  1950.  5.  Н . D .  N E L S O N ,  R. A .  C O N V E R ,  Dynamic instability of beam carrying moving masses,  J . Appl.  Mech.,  4,  38  (1971).  6.  S.  K A L I S K I ,  Perfect resonance  of viscoelastic  surface waves  in bounded body, with  a set of  oscillators  or  masses  moving over  the surface,  Arch.  A p p l .  Mech.,  6, 20 (1968).  7.  R.  B O G A C Z ,  Interaction between  a  moving set  of  nonlinear oscillators and a  travelling  wave,  Proc.  Vibr.  Probl.,  1,  9  (1968).  8.  S.  K A L I S K I ,  The  perfect self­axcited piezoquartz resonator  with  an external electron  stream,  Proc.  Vibr.  Probl.,  4,  9  (1968).  9.  R.  B O G A C Z ,  О б  о с н о в н ы х  в и д а х  р е ш е н и й  н е к о т о р о й  с а м о в о з б у ж д а ю щ е й с я  н е л и н е й н о й  с и с т е м о й   с  б е г у щ е й  в о л н о й ,  Т р у ды  П я т ой  М е ж д у н а р о д н ой  К о н ф е р е н ц ии  п о  Н е л и н е й н ым  К о л е б а н и я м,  К и ев  1969.  10.  S.  K A L I S K I ,  S.  W O R O S Z Y Ł ,  О pewnym  samowzbudnym  falowym  układzie  stochastycznym,  Biul.  W A T ,  1973.  11.  И . Г .  А Р М А Н О В И Ч,  Г . А .  Л У Н Ц,  Л . Э .  Э л ь с г о л ь ц,  Т е о р и я  У с т о й ч и в о с т и ,  Н а у к а,  М о с к ва  1965.  Р е з ю ме   О Ь  У С Т О Й Ч И В О С ТИ  В З А И М О Д Е Й С Т В ИЯ  О С Ц И Л Л Я Т О РА  С  Н А П Р Я Ж Е Н Н ОЙ   С Т Р У Н ОЙ  В  О Т Н О С И Т Е Л Ь Н ОМ  Д В И Ж Е Н ИИ   Р а б о та  п о с в я щ е на  а н а л и зу  у с т о й ч и в о с ти  с и с т е м ы,  с о с т о я щ ей  и з о с ц и л л я т о р а,  д в и ж у щ е г о ся   в д о ль  н е о г р а н и ч е н н ой  с т р у н ы,  к о т о р ая  в  с в ою  о ч е р е дь  д в и ж е т ся  п о о т н о ш е н ию  к  о к р у ж а ю щ ей   с р е д е.  П о л а г а е т с я,  ч то  с к о р о с ть  о т н о с и т е л ь н о го  д в и ж е н ия  п о с т о я н н а.  П р е д с т а в л е ны  к р и т е р ии  у с т о й ч и в о с ти  д ля с л у ч а ев  о д но  и  д в у х т о ч е ч н о го  в з а и м о д е й с т в ия   о с ц и л л я т о ра  с о  с т р у н о й.  О п р е д е л е ны  о б л а с ти  н е у с т о й ч и в о с т и.  И х  с т р у к т у ра  в  с л у ч ае  о д н о го   о с ц и л л я т о ра  с у щ е с т в е н но  о т л и ч а е т ся  о т  с т р у к т у ры  т а к их  о б л а с т ей  д ля с и с т е мы  о с ц и л л я т о р о в,  д в и ж у щ и х ся  в д о ль  с т р у ны  и ли  д ля с л у ч ая  э л е к т р о н о в,  в з а и м о д е й с т в у ю щ их  с  п о в е р х н о с т н ы ми   в о л н а м и.  534  R .  B O G A C Z  S u m m a r y  O N  S T A B I L I T Y  O F  I N T E R A C T I O N  B E T W E E N  A N  O S C I L L A T O R  A N D  A  T I E I N  R E L A T I V E  M O T I O N  The  paper is  devoted  to  stability  analysis  of  the  system consisting  of  an oscillator which moves along  the  unbounded tie  (string).  The tie  and the  surroundings are also in relative  motion. The velocities  of  mo­ tion  are  assumed  to  be  constant.  The  criterions of instability are given. Existence  of instability regions  in the case of one  and two  points  of  interactions  between the  oscillator  and the  tie  is  proved. The configuration  of  instability regions  in  the  case  of single  oscillator  is  fundamentally  different  from  that  occurring in  the  case  of  the  set  of  oscillators  which  moves  along  the  string  or  in  the  case  of  electrons  interacting  with  surface  waves.  I N S T Y T U T  P O D S T A W O W Y C H  P R O B L E M Ó W  T E C H N I K I  P A N  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia  8  grudnia  1975  r.