Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  1  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K  O B R O T O W Y C H  O  M A Ł E J  K R Z Y W I Ż N IE  P O Ł U D N I K A ,  P R Z Y  O B C I Ą Ż E N I A CH  Z Ł O Ż O N Y CH  STANISŁAW  Ł U K A S I E W I C Z ,  A N D R Z E J  W A W R Z Y N I A K  (WARSZAWA)  Tematem  pracy jest  zagadnienie  statecznoś ci  powłoki  osiowo­symetrycznej  o  kształcie  zbliż onym  do  walca,  poddanej  działaniu  ciś nienia  zewnę trznego  i  jednocześ nie  ś ciskanej  osiowo.  W  niniejszej  pracy  zbadano,  j a k i  jest  wpływ  zakrzywienia  p o ł u d n i k a  p o w ł o k i  na  stateczność  takiej  powłoki  przy  obcią ż eniu  złoż onym.  Zagadnienie  statecznoś ci  powłoki  o  kształcie  zbliż onym  do  walca  rozpatrywane  było  w  przypadku  obcią ż eń  niezależ nych  w  pracach  [1]  i  [2].  Jednakże  brak  dotychczas  rozwią­ zania  postawionego  zadania  w  przypadku,  gdy  oba  obcią ż enia  działają  jednocześ nie.  Zadanie  rozwią zano  opierając  się  na  równaniach  udoskonalonej  technicznej  teorii  p o w ł o k  [3].  Rozpatrywane  powłoki  przedstawiono  na  rys.  1.  Ich  kształt  został  scharakteryzowany  przez  współczynnik  A =  R2/Rlt  gdzie  Rt  i  R2  są  głównymi  promieniami  krzywizny,  Rt  jest  promieniem  krzywizny  p o ł u d n i k a .  Ponieważ  R2  <ś  R,,  X jest  wielkoś cią  małą,  k t ó r a  powinna  się  zawierać  w  przedziale  —0,1  <  A  <  0,1.  Przyję to  dalej,  że  rozpatrywane  powłoki  są  izotropowe  i  mają  stałą  grubość  oraz  że  ich  promienie  krzywizny  są  stałe  i  równe  swym  ś rednim  wartoś ciom.  G d y  promień  R^  uznamy  za  stały,  ś redni  p r o m i e ń   krzywizny  R2  powłoki  przedstawionej  na  rys.  1,  obliczany  jako  ś rednia  arytmetyczna  z  promieni  w  przekroju  A  i  B,  wynosi  0 )  R2  =  1  1  J / I ­ M 2  i  gdzie  ц  =  L\2RX  jest  parametrem  charakteryzują cym  długość  powłoki.  %>0  2=0  Rys.  1  536  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K  Zwią zana  z  zakrzywieniem  p o ł u d n i k a  strzałka  łuku  s  nie  powinna  być  wię ksza  niż   l/5R2,  co  daje  warunek  L  2s^/2R2  7  „  /ТО  "  ( 2 )  ^ < x ; l / w ­ 1 ^ ° ' 4 y w ­ 1 ­ D l a  \X\  =  0,1  otrzymujemy  L/R2  ^  ~4,0  dla  Я  =  0,  L  ­>  oo.  Z  zależ noś ci  geometrycz­ nych  wynika  również,  że  ™  _ L  ­  1 ~i/i­W  ^  L  K }  К ,  X  <  5  '  wtedy  /t 2  <  0,4Я,  a  więc  j i 2  jest  wielkoś cią  małą  w  stosunku  do  jednoś ci.  Biorąc  powyż sze  pod  uwagę  moż emy  zależ ność  (1)  uproś cić  i  otrzymamy  dla  ś redniego  promienia  krzy­ wizny  i  |A|  1 nastę pują cy  wzór  przybliż ony  1 + 0 , 2 5 Д у   Т ­0,5Х /л2  gdzie  /л  =  JiX  =  L/2R2,  X  =  R^Ry.  Założ enie,  że  współczynnik  Я jest  wielkoś cią  małą,  bliską  zeru,  pozwala  przyją ć,  że  kształt  badanych  p o w ł o k  nie  róż ni  się  znacznie  od  kształtu  walcowego.  Dzię ki  temu  w  dal­ szej  czę ś ci  pracy  m o ż na  uznać,  że  współczynniki  pierwszej  formy  kwadratowej  powierzchni  ś rodkowej  powłoki  są  stałe  i  równe  jednoś ci.  Zastosowane  r ó w n a n i a  udoskonalonej  technicznej  teorii  powłok  mają  postać  ([3]):  (4)  .  R2=RA  ,  ,  D\­\\  л ' 2  I  ' 2  )  п­­\Ф  ­  / Л и ­,  'l')­i /'.­.  (5)  : ,  1  .  \г   2  1  ­ ( A+  j j j A   ® + b kw   =  ­ 4 ­ Z . O i ' ,  u ) .  Eh\  RiR2j  "  2  gdzie  £  —  oznacza  m o d u ł  sprę ż ystoś ci,  Л —  grubość  powłoki,  Ri,  R2  —  główne  promie­ nie  krzywizny  powierzchni  ś rodkowej,  w —  ugię cie  powłoki,  Ф —  funkcję  naprę ż eń.  Siły  błonowe  wyraż one  są  przez  nastę pują ce  zwią zki  д2Ф  1  Г   82Ф  1  Г   (6)  ""­liF  +  Jbib*'  y x  д х д у '  д2  д2  Д  =  ­7Г ­ 7 Г  +  ­ г ­ тг  (operator  Laplace'a),  ć br  8уг   J  5*_  J  LV_  J _ _ / j _  J _ \  W  k  ~  i ? 2  3JC 2  +  i ? t  ^ 2  +  i ? ! ^  U i  +  ­ R i / '  _  /  a2w  w  \  а 2 Ф  a 2 w  а 2 Ф  /  B2W  W  \  е2Ф   M w ,  e>)  ­  \  a x 2  +  ^ F /  a­v2~  _ 2 а Д> т " а д г+  ^ 2  +  я 2 /   dx2'  S T A T E C Z N O Ś Ć  POWŁO K  O B R O T O W Y C H  537  G d y  badamy  stan  równowagi  powłoki  w momencie  utraty  statecznoś ci,  moż emy  uznać,  że  jej  ugię cia  są  w  tym  momencie  jeszcze  bardzo  małe,  a  więc  L(w,  w)  =  0.  Wtedy  jako  funkcję  naprę ż eń  wystę pują cą  w  operatorze  L(w,  Ф )  moż emy  przyjąć  funkcję  naprę ż eń   dla  stanu  podstawowego,  to  jest  stanu  przed  wyboczeniem  się  powłoki.  Wówczas  układ  równań  (5)  staje  się  liniowy  i  może  być  sprowadzony  do  jednego  r ó w n a n i a  (8)  (л +  в к ) (А +~щ+­щ )  W + E D A ^ W  =  =  15  (Л   +  ~R\R72 )  ^ x x  N x x  +  *yy  N y y  +  2 X x y  N x y  +  P^'  gdzie  My są  zmianami  krzywizn,  N­,j siłami  błonowymi  w  powłoce  przed  wyboczeniem.  Przyjmujemy,  że  brzegi  powłoki  są  swobodne.  N a  p o w ł o k ę  działa  z  zewną trz  stałe  ciś nienie  normalne  p  oraz  obcią ż enie  ś ciskają ce  osiowo  przyłoż one  do  brzegu,  o  natę ż e­ niu  q.  Siłę  błonową  Nxx  łatwo  okreś limy  z  r ó w n a n i a  równowagi  czę ś ci  powłoki  odcię tej  płaszczyzną  prostopadłą  do  osi.  Otrzymamy  (9)  Nxx=  ­ a ^ ­ p f t '   R l  gdzie  promienie  RA,  R2,  r  okreś lone  są  na  rys.  ł.  Promień  R2  i r jest  zmienny  i  zależy  od  ką ta  cp. G d y  współczynnik  X jest  wielkoś cią  bliską  zeru  — 0,1  <  Я <  0,1,  promienie  te  zmieniają  się nieznacznie.  Zakładają c,  że w przybliż eniu  są  one  stałe  i równe  swym  ś rednim  wartoś ciom  w  obszarze  powłoki,  otrzymamy  (10)  Nxx  =  ­  q 11 ­ i­ xĄ ­pRf  X,S,  gdzie  /л  jest  parametrem  odniesionym  do  promienia  R2  i  charakteryzują cym  długość   p o w ł o k i :  ц  =  L/2R2.  Jeż eli  w  dalszej  czę ś ci  pracy  bę dziemy  stosować  oznaczenie  R2  =  R  wprowadzimy  współczynnik  charakteryzują cy  sposób  obcią ż enia  powłoki  i  jej  długość   Nxx  wtedy  Nxx  =  — CpR­  Wykorzystując  równanie  rzutów  sił  na  kierunek  normalny  —  1­ +  ~ ­  =  —p  otrzymamy  R2  (12)  N„  =PR(­1  +  X0­ Okreś limy  teraz  równowagę  powłoki  przy  obcią ż eniu  krytycznym.  Załóż my,  że  ugię cie  powłoki  okreś lone jest  funkcją   .  .  mux  .  nny  w  = / s i n — —  s m ­ ^ ­ ,  gdzie  m jest  liczbą  półfal  w  kierunku  p o ł u d n i k o w y m ,  n  liczbą  półfal  w  kierunku  obwodo­ wym.  538  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K  Po  podstawieniu  do  r ó w n a n i a  (8)  i  wprowadzeniu  oznaczeń   pR(l­v2)  _  mnR  _  h2  otrzymujemy  (13)  p  =  к   Eh  (r2+n2­\­l2)2  +  \2R2  (\­v2)[r2  + Xn2­X2  + X\ 2  n2­l  + C[r2­Xn2  + /i­?2]  [r2  + n2­X]{n2­l  + C[r2­Xn2  + X­X2]}  "  Obcią ż enie  p  jest  funkcją  dyskretnych  wartoś ci  p a r a m e t r ó w  m  i  n.  Najmniejszą  wartość  p  oznaczono  przez pk  i  przedstawiono  na  rys.  2,  3 i  4  dla  v  — 0,3  i  к  =  1 0 " 5  i  róż nych  wiel­ koś ci  p a r a m e t r ó w  A i  f.  Rysunek  2  przedstawia  wykres  dla  f  =  0  i  dla  A =  ­ 0 , 1 ;  0  i  0,1.  Dotyczy  więc  po­ włoki  obcią ż onej  tylko  ciś nieniem  zewnę trznym  p.  Ponieważ  krzywa  girlandowa  zawsze  maleje  wraz  ze  wzrostem  L/mR,  liczba  półfal  m  w  kierunku  tworzą cej,  odpowiadają ca  najmniejszej  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego  pk,  jest  zawsze  r ó w n a  jednoś ci.  Obcią ż enie  krytyczne  zmniejsza  się  wraz  z  L/R,  osią gając  przy  n  =  2  najmniejszą  wartość  pk  =  3k.  Okazuje  się, że  p o w ł o k a  o  dodatniej  krzywiź nie  (A  =  0,1)  ma  wyż sze  obcią ż enie  krytyczne  niż  p o w ł o k a  walcowa,  zaś  p o w ł o k a  o  ujemnej  krzywiź nie  (A =  —0,1)  znacznie  niż sze  (szczególnie  przy  małych  w).  Dotyczy  to  przede  wszystkim  p o w ł o k  o  wię kszej  długoś ci  L/mR  >  1.  600  200  100  §   8 0  ^  60  %  40  S3  20  10  8  6  4  = i  °  P "  I  Cf  Ь   \ I  12 R*  w  A ,  Cf  Ь   \ ' *̂̂ « 3  L —Jfc.  3 x  ­ A  \  ,  Л—O —  ?,=01  \ \ \ ,   /  ч   ­ \  \  < ­W  _ ? J  л ­*  l ­ "4  1 l ­ "4  1  11  0^    u =0,3  s  J' i  L  _  s  J'  R  . w  (I  10,  V s  5) (5  V>HS,4)  =10 '  3 =10  (tĄ   ­D,,2  ­0,08  ­0,04  0  0,04  0,08  0,12  Я   Rys.  5  S T A T E C Z N O Ś Ć  P O W Ł O K  O B R O T O W Y C H  541  Rys.  7  długoś ci  powłoki  L/R  =  1;  2 ;  4  i  dla  dwu  wartoś ci  parametru  f  =  0  i  10  przy  v  =  0,3  i  к  =  n2/12  R2  —  10~ 5 .  Obserwujemy,  że  dla  powłok  krótszych  (L/R  —  1  i  2)  i  przy­ padku  С =  0  obcią ż enie  krytyczne  w  badanym  zakresie  roś nie  wraz  ze  współczynnikiem  X.  Liczba  fal  obwodowych  zwię ksza  się,  a  m  pozostaje  stałe  i  równe jest jednoś ci.  Obcią ż enie  ś ciskają ce  o  natę ż eniu  С =  10,  działając  na  krótsze  powłoki  L/R  =  1 i  2  powoduje  obniż e­ nie  obcią ż enia  krytycznego pk  dla  każ dego  X. Interesują ce  jest, że  dla  £  =  10 i gdy  X  >  0,05,  zależ ność  pk  =  Д А)  zmienia  gwałtownie  swój  charakter.  Powyż ej  A =  0,05  ciś nienie  kry­ tyczne  staje  się  praktycznie  niezależ ne  od  wypukłoś ci  p o ł u d n i k a .  Liczba  półfal  w  tym  za­ kresie  roś nie  gdy  n  się  zmiejsza.  D l a  powłoki  dłuż szej  L/R  =  4  istnieje  taki  przedział  wartoś ci  A,  w  który m  obcią ż enie  osiowe  (£  =  10)  zwię ksza  o d p o r n o ś ć  na  wyboczenie  pod  wpływem  ciś nienia  A b y  przeanalizować  współzależ ność  obcią ż eń  krytycznych,  to  jest  ciś nienia  osiowego  i  normalnego,  wykreś lono  krzywe  we  współrzę dnych  q  i  p.  W  tym  celu  sprowadzono  wzór  (13)  do  postaci  542  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K  (14)  Ą t2  ­  1  +  | ^ 2 [ r 2  ­  In2  +  A (1 ­  A)]J + § ( l  ­  у  V )  [r2  — Art2 +  Я (1 — A)]  =  =  /с (/­2 + и 2 ­ 1 ­ А 2 ) 2  +  (1­!>2)­ [ г 2 + и 2  +  А (1 + А )]2  [ г 2 + и 2 ­ А ]2  '  gdzie/>  =  | * ­ ( l ­ , 2 ) ;  q  =  ­«R(\­v 2).  R ó w n a n i e  (14)  okreś la  we  współrzę dnych  q i p,  dla  każ dej  pary  liczb  m  i и, linię  prostą.  Obszar  statecznoś ci  jest  zawarty  w  najmniejszym  z  moż liwych  wieloboków  składają cych  się  z  odcinków  l i n i i  prostych  odpowiadają cych  r ó ż n ym  m  i n.  N a  rys.  8,  9,  10  przedstawio­ no  takie  linie  dla  к  =  1 0 ­ 5 ;  L/R  =  1,  2,  4;  A =  ­ 0 , 1 ;  0;  0,1.  Obserwujemy,  że  obszary  statecznoś ci  zmniejszają  się ze  wzrostem  długoś ci  powłok.  Wzrastają  w  miarę  zwię kszania  się  wypukłoś ci  p o ł u d n i k a .  D l a p r z y p a d k ó w  A =  0  i  A =  ­ 0 , 1  wzrost  natę ż enia  q  ś ciska­ nia  osiowego  powoduje  spadek  obcią ż enia  krytycznego  p  i  odwrotnie.  W  przypadku  A  =  0,1  obserwujemy  zachowania  przeciwne.  Powyż sze  efekty  zwią zane  są  pojawieniem  się  w  powłoce  o  dodatniej  krzywiź nie  naprę ż eń  rozcią gają cych  wywołanych  ś ciskaniem  osiowym.  16  1­1  12  >J0  I  2\  I  1,­ h  —m­s  I  I  .  i  —  л  ?  U ,  —  12R'  i­ /? —  =(/,7)  Л ­ Л/  <>­<>­ Ill ?)­ X­OJ  [II, ?)­ \ №   1 2  3  4  5  103q=103q(1­v')/Eh  Rys.  9  I  !  1  1  i* — " _ i  ­  л  ? _.  •   L  = 4  ~ R = 4  V  (21,3)  (22,21. (22,21.  (2pJ  0  1 2  3  4  5  6  7  103q  103q(1V2)/Eh  Rys.  10  \ [543]  544  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K  Wyż ej  opisane  wyniki  otrzymano  w  oparciu  o  r ó w n a n i a  (5)  udoskonalonej  teorii  technicznej  [3].  M o ż na  się  łatwo  p r z e k o n a ć ,  że  odbiegają  one  od  wyników  uzyskiwanych  na  podstawie  teorii  DONNELLA­WŁASOWA  jedynie  dla  p o w ł o k  dłuż szych  i  dla  niż szych  wielkoś ci  m  i  n.  Opierając  się  na  r ó w n a n i a c h  DONNELLA­WŁASOWA  otrzymalibyś my  wyraż enie  (\S\  "­Ir  ( / ' 2 + " 2 ) 2  . / i  24  (r2  +  Xn2)2  1  ;  P  n2  + C(r2­Xn2)  +  U  "  }  (r2+n2)2[rt2  + C(r2­Xn2)}  •   W  przypadku  p o w ł o k  długich  L  ­>  co  i  obcią ż onych  tylko  ciś nieniem  p  ze  wzoru  (13)  otrzymujemy  pk  =  3k,  gdy  z  wzoru  (15)  mamy  pk  =  4k,  co  daje  błąd  33%.  W  zakoń czeniu  pracy  chcielibyś my  podkreś lić,  że  przedstawione  tu  postę powanie  jest  jedynie  przybliż one.  Założ enie  o  stałoś ci  sił  błonowych  w  powłoce  jest  spełnione  w  przy­ bliż eniu  jedynie  dla  małych  wartoś ci  parametru  A.  D l a  wię kszych  A oraz  wię kszych  dłu­ goś ci  powłok  może  prowadzić  do  duż ych  błę dów.  Jednak  wydaje  się,  że  przedstawione  tu  rozwią zanie,  dzię ki  swej  prostocie,  dostarcza  dużo  informacji  o  zachowaniu  się  badanych  p o w ł o k  o  kształcie  mał o  odbiegają cych  od  walca.  S T A T E C Z N O Ś Ć  POWŁO K  O B R O T O W Y C H  545  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  P. A .  C O O P E R ,  Buckling  of  nearly cylindrical  shells under lateral  pressure, A I A A ,  Journ.,  10  (1973).  2.  S.  L U K A S I E W I C Z ,  W .  S Z Y S Z K O W S K I ,  On the stability and the postbuckling equilibrium of shells  of revolu­ tion,  Z A M M ,  51  (1971)  63­639.  3.  S.  L U K A S I E W I C Z ,  Uzupełnienie  równań  technicznej  teorii  powłok,  Rozpr.  I n ż y n .,  11  (1963).  Р е з ю ме   У С Т О Й Ч И В О С ТЬ  О Б О Л О Ч ЕК  В Р А Щ Е Н ИЯ  П РИ М А Л ОЙ  К Р И В И З НЕ   М Е Р И Д И А НА  И  К О М Б И Н И Р О В А Н Н ОЙ  Н А Г Р У З КЕ   В  р а б о те  р е ш е на  з а д а ча  о б у с т о й ч и в о с ти  о б о л о ч ек  в р а щ е н ия  п ри м а л ой  к р и в и з не  м е р и д и а на   п од  в н е ш н ей  п о п е р е ч н ой  н а г р у з к ой  в  с о ч е т а н ии  с  о с е в ым  с ж а т и е м.  Р е з у л ь т а ты  р а с ч е т ов  п р е д­ с т а в л е ны  на  г р а ф и к а х.  О п р е д е л е но  в л и я н ие  к р и в и з ны  .м е р и д и а на  и  в з а и м о з а в и с и м о с ть  к р и т и­ ч е с к их  н а г р у з о к.  S u m m a r y  S T A B I L I T Y  O F S H E L L S  O F  R E V O L U T I O N  W I T H  A  S L I G H T L Y  C U R V E D  G E N E R A T O R  U N D E R  C O M P L E X  L O A D  The  stability of nearly cylindrical shells of revolution under action of axial load and  external  pressure  is  considered.  The  effects  of  the  curvature of  the  generator  and influence  of  simultaneous  action  of the  both  loads  is examined  in particular. The results  are presented  in numerous  diagrams.  I N S T Y T U T  T E C H N I K I  L O T N I C Z E J  I  M E C H A N I K I  S T O S O W A N E J  P O L I T E C H N I K I  W A R S Z A W S K I E J  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  19 grudnia 1975  r.  7  Mechanika  Teoretyczna