Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf


M E C H A N I K A 
T E O R E T Y C Z N A 
I  S T O S O W A N A 

4,  14 (1976) 

A N A L I Z A  P O Z A K R Y T Y C Z N A  I D E A L N Y C H  P O W Ł O K  O B R O T O W Y C H  O M A Ł E J  K R Z Y W I Ź N IE 

P O Ł U D N I K A ,  P R Z Y  O B C I Ą Ż E N I A CH  Z Ł O Ż O N Y CH 

STANISŁAW  Ł U K A S I E W I C Z ,  A N D R Z E J  W A W R Z Y N I A K  (WARSZAWA) 

Tematem  pracy jest  analiza  zachowania  się po utracie  statecznoś ci  powłoki  o  kształcie 

zbliż onym  do  walca  kołowego,  poddanej  działaniu  ciś nienia  zewnę trznego  i  jednocześ nie 

ś ciskanej  osiowo.  Zbadano,  jaki  jest  wpływ  zakrzywienia  p o ł u d n i k a  powłoki  na jej  pracę  

po  utracie  statecznoś ci  przy  obcią ż eniu  złoż onym.  Przypadki,  gdy  podobne  powłoki 

obcią ż one  były  niezależ nie  przez  ciś nienie  zewnę trzne,  czy też obcią ż enie  osiowe,  były 

j u ż  analizowane  w  [1,  2].  Jednakże  brak  dotychczas  rozwią zania,  gdy  obcią ż enia  działają  

jednocześ nie.  Obcią ż enia  krytyczne  rozpatrywanych  konstrukcji  okreś lono  w poprzedniej 

pracy  [3].  Przybliż one  rozwią zanie  postawionego  zadania  m o ż na  uzyskać  metodą  R I T Z A . 
W  tym  przypadku  sprowadza  się  ona do  założ enia  funkcji  ugię cia  wyboczonej  powłoki, 
okreś lenia  funkcji  naprę ż eń  z  równania  cią głoś ci  odkształceń  oraz  wykorzystania  zasady 

minimum  energii  potencjalnej  do okreś lenia  zależ noś ci  pomię dzy  obcią ż eniem  a  parame­

trami  funkcji  ugię cia.  Funkcję  ugię cia  przyję to  w postaci 

(1)  w = / 1 s i n —  ­ s i n —  + / 2 s i n
2 — ^ ­ ­ +/<,. 

Funkcja  ta, zawierając  pięć  swobodnych  p a r a m e t r ó w f 0 , f i , f 2 ,  w ,  n,  odpowiada  powłoce 
o  brzegach  swobodnie  podpartych  i dobrze  oddaje  kształt  wygię tej  powłoki  walcowej po 
wyboczeniu.  Ponieważ  założ ono,  że  rozpatrywane  powłoki  m a ł o  róż nią  się od  walca 
kołowego,  współczynnik  A =  R2/Ri  okreś lają cy  kształt  badanych  powłok  jest  wielkoś cią  
małą,  bliską  zeru  —0,01  <  Я <  0,1.  Rv,  R2  oznaczają  głównie  promienie  krzywizny 
powierzchni  ś rodkowej  powłoki.  Przyję to,  że  promienie  te są stałe  oraz  że  współczynniki 
pierwszej formy  kwadratowej  dla  rozpatrywanych powłok  są  również  stałe.  Sposób  okreś le­
nia  ś redniego  promienia  R2  podano  w pracy  [3]. 

Równanie  cią głoś ci  odkształceń  powłoki  może  być zapisane  w  nastę pują cy  sposób 

(2)  jk(A+i)0  =  ­ y L ( w . w ) ­ A * w . 
gdzie 



548  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K 

Po  podstawieniu  założ onego  ugię cia  (1)  do  równania  (2)  i  rozwią zaniu  go  znaleziono 

nastę pują ce  wyraż enie  dla  funkcji  Ф: 

(3) 
1  ^  n  г2"2  I  1  2r*  1  2ny \ 

­  ­  ,  ,  I  1  .  Ъ г х  .  ny  1  rx  .  ny ] 

r  г  i  2ч  1  ...  Г Х  .  ny  „ ,  _  ,  1  2/"Я  
+ / х Л ( га  + ^ ) > ; „ T s m ^  s t n ­  ­ 2 / 2 ^ M c o s  _  + 

We  wzorze  (3)  uż yto  oznaczeń: 

[2/­]=  [ ( 2 r ) 2 ­ A ] 2 ;  [2/r] =  [ ( 2 « ) 2 ­ A ] 2 , 

(4)  tar,*//]  =  [(ar)2 + (bn)2  ­ A ] 2 , 

С =  (1 ­  0,5 V )  + 0,5 V  >  gdzie  ц  =  1./2Л, [3]. 

Przemieszczenie  obwodowe  powinno  spełniać  warunek  okresowoś ci.  Wymaga  to  by 
całka 

* 

2л  R 

/  % * 
o  ' 

była  r ó w n a  zeru. 
Warunek  ten  może  być  spełniony  tylko  jako  uś redniony  na długoś ci  L, 

L 2nR 

o  o 
Z.  2 л й  

1  Г  Г  Г  1  / с ?2 Ф  5 2 Ф \  1  I dw\2  и >1  , 

о  0 

P o  podstawieniu  poprzednio  obliczonych  wielkoś ci  otrzymano  po  scałkowaniu 

( 7 )  ^  =  ­ Ж [ 1 ­ С ( Я +" ) ] +  W "  2Л  

Pełna  energia  potencjalna  э  ugię tej  powłoki 

э  =  ux + U3+W 

składa  się z energii  deformacji  powierzchni  ś rodkowej  Ul}  energii  zginania  U2  oraz  pracy 
obcią ż enia  zewnę trznego  W. Praca  obcią ż enia  zewnę trznego  składa  się z pracy  ciś nienia  p 
i  obcią ż enia  q 

L 2nR 

(8)  Wy=  ­p  {  f  wdxdy  ­  ­pnL(2fQ+f2). 
o  o 



A N A L I Z A  P O Z A K R Y T Y C Z N A  I D E A L N Y C H  P O W Ł O K  549 

Po  wyeliminowaniu  parametru  f0  otrzymano 

(9)  Wi  =  ­pnRL\ 

Praca  obcią ż enia  osiowego  ą  wynosi 

2л Л  

(10)  W2 =  — q  J  ( — u0cosa  +  2w0sma.)dy, 

gdzie  uQ,  W0  oznaczają  przemieszczenie  brzegów  powłoki,  a —  ką t,  j a k i  tworzy  styczna 
do  p o ł u d n i k a  w punktach  x  =  D, L z osią  powłoki. 

N a  podstawie  (1), w0  = f0.  Wielkość  u0  okreś lono  ze  wzoru 

(11)  «о  = / | > = / 
1  1д2Ф  _  82Ф  

Ж \  dy2  V~dx2 
) 1  / dw\2  . w 

­ 2 ¥ )  + X R 
dx. 

Ponieważ  kąt  a jest mały  m o ż na  przyją ć:  cos a  ~  1, sin a  ~  a  =  L/2Ri  =  KL/2R.  Po pod­
stawieniu  do  wzoru  (10)  otrzymano 

(12)  W2  =  ­2n(CpR)LR  §  [ C < 1 +  S R 1  AR 
r ­ ­ x M 

I2  2R y 
Całkowita  praca  obcią ż enia  zewnę trznego  wynosi 

W  =  Wi  +  W2. 

Energia  deformacji  powierzchni  ś rodkowej  okreś lona  jest  przez 

2яЯ  L 

(13) 
1 

2Eh 
J  J  [A0)2­(l+v)L(0,  0)]dxdy. 

o  o 

Wykorzystując  wyraż enie  (3) dla  funkcji  naprę ż eń  Ф otrzymano po  scałkowaniu 

(14)  Vi  ­  ^ ­ J ­ ^ ­ p ­  + _ _ ­  +flf2r  n  [  [ r n ? 

flR2 

[2, 

(r2+n2)2 

[r,  n\2 

+ 

[r,  ri[ 
(r2 + n2)2(r2  + Xn2)2  + 

162  r8f22R
2 

2  [2r]2" 

R  16; 

[2r\ 
r*  |  8r

2(r2  + ­n2)(r2  +  n2)2T[ 

[r,Ą2  \\ 

Eh 

Energię  zginania  obliczono  z  wzoru 

+  ~­[(pR)2w­i)2  + c(pR)2]+  **L(pRyc(x:­1). 
Eh 

(15)  C/2  =  y  f  f  [(Aw)
2­(l­v)L(w,w)]dxdy. 



550  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K 

(16) 

Po  podstawieniu  wyraż enia  (1) dla  funkcji  ugię cia  otrzymano  po scałkowaniu 

DnL 

4R1 
{f2(r2+,i2r  +  № r*}. 

R ó w n o w a g ę  powłoki  w  obszarze  zakrytycznym  okreś lono  wykorzystując  zasadę  

minimum  całkowitej  energii  potencjalnej.  Zasada  ta  wymaga  by  pochodne  energii  э  

wzglę dem  p a r a m e t r ó w  fi,fit  m, n były  równe  zeru. 

W  pierwszym  przybliż eniu  ograniczono  się do  w a r u n k ó w 

(17) 
д э  

=  0; 
д э  

=  0. 
У,  '  df2 

P o  wprowadzeniu  nowych  oznaczeń  

_  _  pR2  mnR  r 

(18)
  P  ~  Eh2'  V  ~  ~nL  =  'n' 

f i ­ / i / A ,  f a ­ Л / А, 

otrzymano,  na  podstawie  warunków (17), 

n2h 

R  ' 

(19)  P 
i+c&2  L  P/7]  +  ' J * 1  1 + 

( 9 # 2 + l ) 2 

C&2  [3n&,n]2  + 

[»n,n]2  \  2  4(1+C# 2 ) 

162&8 

[2n&]2 + 

2 ( # 2 + A ) ( l + # 2 ) 2 

n8  ( f l 2 + l ) 2 ( f l 2 + / ) 2 
I   *П '>\ Г П  1 1  " f " 

г/  (1+C#2)[#w,//]2  "  12(1 ­v2)  l + W ' 

[ftn,n]2 

V 

fa + 

oraz 
=  A/B,  gdzie 

6 4 0 V 
A  =  ^  + 

e2ri  /  Л  

[2/7#]2?/  '  3(1—»*)  £a#2»? 

В  
0 2  | [2// 

6 # 8  fl2(fl2  +  A) 

i?] 2  +  "  2[ m') 
) ( f l 2 + l ) 2 ]  _ »?#V 

,«]2  Г  2 
( 9 # 2 + l ) 2  +  ( 1 + 0

2 ) 2 

[ 3 / r i 7 , « ] 2  [ я # , и ] 2 

Z  pierwszego  równania  układu  (19) m o ż na  wyeliminować  f f ,  wykorzystując  drugie 

równanie,  otrzymuje  się wtedy  zależ ność  p  = Д £2 ) ,  k t ó r a  może  być  łatwo  przedstawiona 

na  wykresie. 

Okreś lmy  jeszcze  zwią zek  mię dzy  obcią ż eniem  p a ś rednim  ugię ciem  powłoki  w stanach 

równowagi  w obszarze  zakrytycznym. Ś rednie  ugię cie  okreś lone  jest  wzorem 

2nR  L 

(20)  Wit  =  2nRL  j  J  wdxdy, 

co  daje,  po podstawieniu  ugię cia  (1) i scałkowaniu,  wielkość  

wir  =/0+0,5/2. 



A N A L I Z A  P O Z A K R Y T Y C Z N A  I D E A L N Y C H  POWŁO K  551 

Korzystając  z  wzoru  (7)  n a / 0  i dzieląc  obie  strony  zależ noś ci  (20)  przez  h  otrzymujemy 

wzór  na  bezwymiarowe  ś rednie  ugię cie  powłoki 

W­  1 

(21)  8 " " T  ­ Р У ­ Ы + ' Я + Т1 1 * 1 

Opierając  się  na  założ eniach  (19)  i  (21)  wykreś lono  krzywe  we  współrzę dnych/?  i  e. 

D l a  danej  powłoki,  dla  każ dej  pary  liczb  m  i  л  otrzymamy  inną  krzywą.  Należy  przypusz­

czać,  że  stany  powłoki  najbliż sze  realizują cym  się  w  rzeczywistoś ci  stanom  równowagi 

bę dą  okreś lone  przez  linie  m,n  =  const,  leż ą ce  najniż ej  na  wykresie  p  =f(e).  Krzywe 

równowagi  przyjmują  więc  postać  linii  girlandowych  mają cych  najniż sze  rzę dne  spoś ród 

wszystkich  innych  krzywych  m,  rt  =  const. 

N a  rys.  2—10  przedstawiono wykresy  obrazują ce  zależ noś ć /;  =  / ( e ) d l a A  =  h2/\2R2  = 

=  10~ s ,  v  =  0,3  dla  róż nych  długoś ci  powłok  i  róż nych  wartoś ci  С  oraz  ?.. 

Wykresy  na  rys.  2—4  dotyczą  przypadków  powłok  obcią ż onych  tylko  ciś nieniem  zew­

nę trznym  p(C  =  0)  o  długoś ci  L/R  =  1,  2,  4  i  wartoś ci  współczynnika  /.  =  ­ 0 , 1 ;  0;  0,1. 



552  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K 

Proste  wychodzą ce  z począ tku  układu  współrzę dnych/;  =  e odpowiadają  ś ciskaniu  powłok 
bez  wyboczenia.  Linie  girlandowe,  przecinając  się  z  nimi,  okreś lają  punkty  odpowiadają ce 
obcią ż eniom  krytycznym  p  i  q.  Punkty  te  pokrywają  się z  wynikami  metody  liniowej, 
obliczonymi  w poprzedniej  pracy  [3]".  Obserwujemy  duż y,  ustateczniają cy  wpływ  podwój­
nej  dodatniej  krzywizny.  Jednakże  im mniej  wypukły,  a  bardziej  wklę sły  jest  południ k 
powłoki,  tym mniejszą  tendencję  do  opadania  wykazują  pierwsze  gałę zie  krzywych  gir­
landowych.  Najszybciej,  w obszarze  zakrytycznym,  maleją  więc  krzywe  równowagi  powłok 
wypukłych  (A =  0, 1).  D l a nich  stosunek  dolnego  obcią ż enia  krytycznego  do  górnego 
ma  najmniejszą  wartoś ć.  Natomiast  dla  dłuż szych  powłok  i  wklę słym  p o ł u d n i k u  obser­
wujemy,  że krzywe  girlandowe  na  pierwszym  odcinku  wzrastają. 

Utrata  statecznoś ci  idealnej  powłoki  obcią ż onej  quasi­statycznie  zwią zana  jest  ze 
zjawiskiem  przeskoku. Obsewujemy,  że o wiele  wię kszemu  przeskokowi  przy  stałym  obcią­
ż eniu  ulegają  powłoki  o wypukłym  południku  niż  powłoki  o p o ł u d n i k u  wklę słym.  Powłoki 
o  dodatniej  krzywiź nie  wykazują  wię ksze  ś rednie  ugię cie  po  wyboczeniu  niż  powłoki 
o  krzywiź nie  ujemnej. 

Wyboczenie powłoki  o ujemnej  krzywiź nie  może  począ tkowo  przebiegać  bez  przeskoku. 
Po  przekroczeniu  ciś nienia  /; p o w ł o k a  wygina  się  stopniowo  zgodnie  z przebiegiem  pierw­
szej  gałę zi  krzywej.  Dopiero  «przejś cie  na  są siednią  gałą ź»  ma charakter  przeskoku (rys. 
3,  4).  Jeż eli  po wystą pieniu  przeskoku  obcią ż enie  zwię ksza  się  dalej,  mogą  wystą pić  dalsze 
przeskoki  na  nastę pne  gałę zie  linii  girlandowych.  W  trakcie  wyboczenia  p o w ł o k  walco­
wych  oraz  p o w ł o k  o  ujemnej  krzywiź nie  poddanych  działaniu  ciś nienia  zewnę trznego, 
liczba  półfal  powstają cych  wzdłuż  tworzą cej  powłoki  jest  zawsze  r ó w n a  jednoś ci.  Nato­
miast  liczba  fal obwodowych  n maleje  wraz z wzrostem  ugię cia  e.  (To  samo  dotyczy  krót­
kich  powłok  o  wypukłych  południkac h  L/R  =  1,2;  A =  0,  1).  K r z y w a  równowagi  dla 
powłoki  o  wię kszej  długoś ci  L/R  = 4  i  współczynniku  A =  0,1 ma  odcinki  przy  m  =  2. 

0  0,4  0,8  (2  1,6  2,0  2,4  2,8  3,2  3.6  4,0  4,4 e 

Rys.  3 

"  p  =  pR/h(l­v2),  gdy  к  =  А 2 / 1 2 Л 2  =  l f r 5  i  v  =  0,3  to  p  ~  \Q2p. 



A N A L I Z A  P O Z A K R Y T Y C Z N A  I D E A L N Y C H  P O W Ł O K  553 

0  0,4  0,8  1,2  1,6  2,0  2,4  2,8  3,2  3,6  4,0  e 

Rys.  4 

N a  rys.  5—7  przedstawiono  wykresy  zależ noś ci  ciś nienia  p  od  ś redniego  ugię cia  e  dla 
powłok  poddanych jednoczesnemu  działaniu  ciś nienia  zewnę trznego  p  i osiowego  ś ciskania 
q,  przy  czym  С =  10.  Wykreś lono  krzywe  dla  trzech  długoś ci  p o w ł o k  L/R  =  1,  2,  4  oraz 
dla  trzech  wartoś ci  współczynnika  X =  ­ 0 , 1 ;  0;  0,1. 

Linie  równowagi  p o w ł o k  niewyboczonych  mają  postać  prostych  o  równaniu  e  = 
=  p[l — W(X+v)].  Dodatnie  wartoś ci  obcią ż enia  p  na  tych prostych  odpowiadają  ujemnym 
wartoś ciom  ugię cia  e.  Oznacza  to,  że  w  stanie  pierwotnej  równowagi  pod  wpływem  ś ci­
skania  osiowego  punkty  powłoki  przemieszczają  się na  zewną trz.  Punkty  przecię cia  krzy­
wych  girlandowych  z  prostymi  równowagi  pierwotnej,  wyznaczają ce  wartoś ci  górnych 
obcią ż eń  krytycznych, są  zgodne,  z  dużą  dokładnoś cią,  z  wynikami  metody  liniowej  [3]. 
Obserwujemy,  że  górne  obcią ż enia  krytyczne  są  tym  wię ksze  im  bardziej  wypukły  jest 



554  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K 

południ k  powłoki,  lecz  podobnie  jak  w  przypadku  Ł  =  0,  im  bardziej  p o w ł o k a  jest  wy­
p u k ł a  tym  szybciej  opada  krzywa  girlandowa  w  pierwszej  czę ś ci.  D l a  linii  o  parametrze 
A  =  0,1  spadek  ten  jest  gwałtowny,  a  wartoś ci  dolnych  obcią ż eń  krytycznych  najniż sze. 
Natomiast  p o w ł o k a  o  wklę słym  p o ł u d n i k u  A =  —0,1  i  długoś ci  L/R  =  4  opisana  jest 
krzywą  równowagi,  której  pierwsza  gałąź  roś nie  wraz  ze  ś rednim  ugię ciem  e.  Z  wyją tkiem 
tego  przypadku,  wyboczenie  omawianych  p o w ł o k  odbywa  się  z  przeskokiem  (przy  sta­
łym  obcią ż eniu),  który  nastę puje  po  osią gnię ciu  przez  obcią ż enie  wartoś ci  górnego  obcią­
ż enia  krytycznego. 

N a  rys.  8—10  przedstawiono  wykresy  obrazują ce  dokładniej  wpływ  ś ciskania  osiowego 
na  wartość  ciś nienia  p  w  stanach  równowagi.  Wykresy  te  dotyczą  powłok  o  długoś ci 





556  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K 

LjR  = 2 i trzech  współczynników  Я =  —0,1; 0; 0,1.  Dla każ dej  powłoki  wykreś lono  linie 

równowagi  odpowiadają ce  czterem  wartoś ciom  parametru  Ј =  0, 3, 6, 10. 

W  przypadku  powłoki  walcowej  (Я =  0) oraz  powłoki  o  ujemnej  krzywiź nie  Gaussa 

(Я  =  —0,1)  wzrost  udziału  ś ciskania  ą  w  obcią ż eniu  powoduje  we  wszystkich  stanach 

równowagi  zmniejszenie  wartoś ci  ciś nienia  p. 

Dla  powłoki  o wypukłym  p o ł u d n i k u  istnieje  taki  przedział  wartoś ci  Ј >  0, dla  którego 

górne  ciś nienie  krytyczne jest  wię ksze  niż  wtedy,  gdy nie wystę puje  ś ciskanie  osiowe [3]. 

Jednak,  jak  wynika  z rys. 9, krzywe  odpowiadają ce  wartoś ciom  С z tego  przedziału  maleją  
bardzo  szybko na pierwszych swoich odcinkach.  W  pozostałych  przypadkach  o b c i ą ż e n i e /г  

jest tym mniejsze  im intensywniejsze jest  ś ciskanie  osiowe. 

Przedstawione  powyż ej  rozważ ania  dotyczyły  powłok  o idealnym  kształcie,  przedsta­

wionych  na  rys.  1.  Rzeczywiste  powłoki  zawsze  są  wykonane  z  pewnymi  niedokładnoś­

ciami  kształtu.  Te niedokładnoś ci  zwykle  powodują  obniż enie  górnych  obcią ż eń  krytycz­

nych.  Przypuszczalnie  zmniejsza  to  bardzo  korzyś ci  jakie  mogą  być osią gnię te  przez 

stosowanie  powłok  o  podwójnej  krzywiź nie.  Zagadnienie  to  wymaga  jednak  jeszcze 

d o k ł a d n e g o  zbadania. 

Literatura  cytowana  w  tekś cie 

1.  P A .  C O O P E R ,  Buckling  of nearly cylindrical shells  under  lateral pressure,  A I A A ,  Journ.,  10  (1973)  2. 

2.  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  W .  S Z Y S Z K O W S K I ,  On the stability and the postbuckiing equilibrium  of shells  of revo­

lution, Z A M M ,  51  (1971)  653­639. 

3.  S.  Ł U K A S I E W I C Z ,  A .  W A W R Z Y N I A K ,  Statecznoś ć  powłok  obrotowych  o  malej krzywiź nie  południka  przy 

obcią ż eniach  złoż onych,  Mech.  Teoret.  Stos.  (w  druku). 

Р е з ю ме  

П О С Л Е К Р И Т И Ч Е С К ИЙ  А Н А Л ИЗ  И Д Е А Л Ь Н ЫХ  О Б О Л О Ч ЕК  В Р А Щ Е Н ИЯ  

П РИ  М А Л ЫХ  К Р И В И З Н АХ  М Е Р И Д И А НА  И  К О М Б И Н И Р О В А Н Н ОЙ  Н А Г Р У З КЕ  

В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  р е ш е н ие  з а д а чи  з а к р и т и ч е с к ой  д е ф о р м а ц ии  о б о л о ч ек  в р а щ е н и я, н а­

х о д я щ и х ся  п од  в н е ш н им  п о п е р е ч н ым  д а в л е н и ем  и  о с е в ым  с ж а т и е м.  И з у ч е но  в л и я н ие  к р и в и з ны  

м е р и д и а на  и  в з а и м о з а в и с и м о с ть  к р и т и ч е с к их  н а г р у з ок  в  н е л и н е й н ой  о б л а с т и.  З а д а ча  р е ш е на  

м е т о д ом  Р и т ц а. 

S u m m a r y 

P O S T C R I T I C A L  A N A L Y S I S  O F  I D E A L  S H E L L S  O F  R E V O L U T I O N 

The  analysis  of  the  postbuckiing  behaviour  of nearly  cylindrical  shells  of  revolution  under simulta­

neous action  of external  pressure and axial  compressive  load  is presented.  The  effects  of the curvature of 

the  generator  and the  correlation  of  both  loads  in the  nonlinear  region  are examined.  The problem  is 

solved  by  means  of  the  Ritz  method. 

INSTYTUT TECHNIKI LOTNICZEJ 
I MECHANIKI STOSOWANEJ 
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ 

Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 19 grudnia  1975 r.