Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  Z A G A D N I E N I E  M I K R O P O L A R N I E  S P R Ę Ż Y S T EJ  R U R Y  G R U B O Ś C I E N N EJ  ZBIGNIEW  O L E S I A K ,  MONIKA  W Ą G R O W S KA  (WARSZAWA)  'W  pracy  ograniczymy  się  do  rozpatrzenia  zagadnień  osiowo­symetrycznych  w  przy­ padku  walca  o  przekroju  pierś cienia  kołowego.  Podobnie  jak  to  ma  miejsce  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci,  rozpatrzymy  oddzielnie  dwa  zagadnienia:  pierwsze  z  nich  m o ż na  uwa­ ż ać  za  uogólnienie  zagadnienia  Lamć go,  drugie  da  się  sprowadzić,  w  przypadku  klasycz­ nym,  do  zagadnienia  skrę cania.  Przyjmujemy  oś rodek  mikropolarny  z  niezwią zanymi  obrotami.  Jeś li  chodzi  o  oś rodek  ze  zwią zanymi  obrotami  to  jeszcze  KOITER  [3]  p o d a ł  przykład  skrę cania  p r ę ta  o  przekroju  kołowym,  ogólniej  zagadnienie  rozpatrzył  SOKO­ ŁOWSKI  [4,  5].  Rozważ ania  ogólne  dotyczą ce  oś rodka  mikropolarnego znajdujemy  w  mono­ grafiach  NOWACKIEGO  [1].  Skrę canie  prę tów  pryzmatycznych  rozpatrywali  SMITH  [6],  IESAN  [7],  USIDUS  [9,  10].  Fale  rotacyjne  rozpatrzył  NOWACKI  [2],  a  drgania  mikropolarnie  sprę ż ystych  walców  kołowych  SMITH  [6]  oraz  WILLSON  [8].  Przedstawione  rozwią zania  otrzymano  nie  w  przypadku  ogólnym,  lecz  przy  spełnie­ niu  pewnych  dodatkowych  w a r u n k ó w ,  np.  w  przypadku  uogólnionego  zagadnienia  Lamć go,  k t ó r e  odpowiada  r ó w n a n i o m  róż niczkowym  (2.2),  założ ono,  że  spełnione  są   warunki  identyczne jak  w  przypadku  klasycznym.  Okazało  się,  że  rozwią zanie  w  płaskim  stanie  odkształcenia  nie  róż ni  się,  przy  identycznych  warunkach  brzegowych,  od  klasycz­ nego.  Założ enie,  że  w  całym  obszarze  walca  znikają  naprę ż enia  normalne  a2Z  nie  prowadzi  teraz  do  zagadnienia  płaskiego  stanu  naprę ż enia  w  mikropolarnej  teorii  sprę ż ystoś ci,  lecz  powoduje  wprowadzenie  pewnego  «skrę powania»  w  postaci  dodatkowego  zwią zku  mię dzy  stałymi  całkowania.  Naszym  celem  jest  znalezienie  moż liwie  prostych  rozwią zań   odpowiadają cych  pewnym  warunkom  brzegowym,  przy  pewnych  założ eniach  upraszcza­ ją cych  (п р .,  że  w z , z ,  ur  i  cp0 nie  zależą  od  z).  W  ten  sposób  układ  równań  róż niczkowych  czą stkowych  (1.1)  lub  (1.2)  został  sprowadzony  odpowiednio  do  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż­ niczkowych  zwyczajnych  (2.2)  lub  (3.4).  U k ł a d  równań  (1.2)  jest  uogólnieniem  równań  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  odpowia­ dają cych  skrę caniu  prę tów  w  przypadku  osiowej  symetrii  i  może  dotyczyć  również  prze­ krojów  dwuspójnych  w  odróż nieniu  od  dotychczas  rozpatrywanych  jednospójnych.  N i e  zajmujemy  się  tu  jednak  badaniem  zagadnień  skrę cania  lub  wpływu,  j a k i  ma  przyję­ cie  w  obliczeniach  modelu  oś rodka  mikropolarnego  na  wielkość  momentu  skrę cają cego,  czy  też  ką ta  skrę cania  p r ę ta  pryzmatycznego  (np.  USIDUS  [9,  10]).  Interesować  nas  bę dzie  rozkład  naprę ż eń  momentowych  i  siłowych  wewną trz  walca  wywołany  działaniem  sił  i  m o m e n t ó w  na  pobocznicy  walca.  Nie  dyskutujemy  tu  również,  co  było  przyczyną  pow­ stania  naprę ż eń  momentowych,  mogą  one  być  wynikiem  działania  na  przykład  pola  magnetycznego.  494  Z .  O L E S I A K ,  M .  W Ą G R O W S KA  Jeż eli  założ ymy,  że naprę ż enia  momentowe  firr(d)  =  ma,  (irr(b)  —  т ь >  działają ce  na  powierzchniach  walcowych  są  stałe,  to,  przy  założ eniach  p.  4  otrzymamy,  że  rozkład  naprę ż eń  momentowych  /л „(г )  i  fioo(r) wzdłuż  promienia  przypomina  rozkład  naprę ż eń   normalnych  w  klasycznym  zadaniu  L a m ć g o.  1.  Równania  podstawowe  W  przypadku  osiowej  symetrii,  układ  równań  róż niczkowych  równowagi  w  przemiesz­ czeniach  i obrotach,  momentowej  teorii  sprę ż ystoś ci  z niezwią zanymi  obrotami  przyjmuje  znaną  postać  [1],  którą  podamy  tu w zmodyfikowanym  zapisie:  (,"  i  11 В1 +  ­^\иг+(Л +р —а )е ,г—2о 1<р в ,г  = 0,  ( I ­ D ( / ' i  у )\г0+­^\их+(Х +1л ­а )е ,z  + ^­(re­4txcpe+2ix(uri!­uZir)  = 0.  (ji  + *)\B1  + ^­^)u0  + 2a(  « =  — (г <Р г ).г +  �:  0.4)  Я 0 / = ­ '  (,• /,,),,,  1 / ­ [ } ( г Л .г  (1.5)  fi  /г,  Я, а, /3, у, е są stałymi  materiałowymi.  W  układzie  współrzę dnych  walcowych  r, 0, z  oraz  przy  założ eniu  osiowej  symetrii  układy  r ó w n a ń  róż niczkowych  (1.1)  i  (1.2)  są niezależ ne.  Pierwszy z nich  bę dzie  spełniony  przez  wektory u =  (ur, 0, w.)  i «p =  (0,  (p0,  0)  przy  znikają cych  nastę pują cych  składowych  naprę ż eń  siłowych  i momentowych:  ar0,  a0r,  aBz,  аг в,  (irr,  ц т ,  fizz,  firz  i цг т.  Drugi  z  nich  spełnią  wektory  u =  (0,  u^,  0)  i  cp =  (o  wynika,  że uZtZ,  ur  oraz  o­2auZir  =  0.  Całkując  pierwsze  z  powyż szych  równań  otrzymamy  równanie  (2­4)  (/л +фг,г+2о и р е = —  С ,  a  nastę pnie  przekształcając  drugie  równanie  (2.3)  dostaniemy  (2­5)  ^ e _ ^ e = J=LI.,  496  Z .  O L E S I A K ,  M .  W Ą G R O W S KA  _ 0  +  a ) ( /  +  £)  gdzie  l2  =  ——^­^  .  Całka  r ó w n a n i a  (2.5) ma postać  nastę pują cą:  (2.6)  *°~CĄ T)+C2Ą T)­­^7,  gdzie  7,  jest  funkcją  Bessela  urojonego  argumentu,  a  A"2 funkcją  MacDonalda.  Z  kolei,  po  podstawieniu  (2.6) do  (2.4) i  scałkowaniu,  otrzymamy  (2.7)  uz  =  ­Clnr+C3z  ­­{CJol­^+CzKo.  Po  przekształceniach  i  podstawieniu  do  wzorów  na  naprę ż enia,  otrzymamy  a„  =  2p,\A­C3­  ­A,  (2.8)  arz  =  Ł ,  1  ,   /"ro =  у  (y +  e)  с л ( т ) ­ « ( ^ ) ] ­ т [с « * ( т )+ а д ( т)  Ponadto,  z  założ enia  znikania  azz,  mamy  (2.9)  (2/л + 2.)С3  =  ­2Х А .  Z  powyż szych  wzorów  wynika,  że stałe  A  oraz  В  m o ż na  wyznaczyć  z  w a r u n k ó w  brze­ gowych  a„{a)  —  —pa,  arr(b)  =  —pb, a  niezależ nie  stałe  Cx  i C 2 wyznaczymy  z  w a r u n k ó w  /лг 3(а )  — pa,  /лг в(Ь )  = ць.  Stałą  С  wyznacza  się  np.  z  warunku  orz(a)  =  ta,  wtedy  wartość  liczbowa  arz(b)  wynika  z  obliczeń  i  nie  może  być przyję ta  dowolnie.  Rezultat  taki  nie jest  niespodziewany,  wynika  bowiem  z  założ enia  o  niezależ noś ci  naprę ż eń  od  zmiennej  z.  Jeż eli  fia  = fib  =  ta  =  tb  = 0, to  rozwią zanie  znowu  nie róż ni  się od  klasycz­ nego,  z  wyją tkiem  być  może  wartoś ci  stałych  materiałowych.  P r z y p a d e k  c). Wykorzystując  obecnie  wzór  azz  =  const,  otrzymamy  (2.10)  (2/, +  A K . z  =  ­ Л ­ L ( « , , ) „ +   Pa^2Z Pf2  rozwią zując  nastę pnie  r ó w n a n i a  (2.2)  stwierdzimy,  że  dyskusja  przebiega  podobnie jak  w  p. b).  3.  R o z w i ą z a n ie  układu  równań  róż niczkowych  (1.2)  Podobnie jak poprzednio  wyjdź my  z założ enia,  że składowe  naprę ż eń  i  m o m e n t ó w  na  pobocznicy  fjro,  prz  oraz ц „  nie zależą  od zmiennej  z. Z  odpowiednich  wzorów  [1]:  (3.1)  af0  =  (ju +  a)u0,r­(fi­a)yu0­2aicpz,  <3­2)  Prz =  У (CV, z ­  4>z, r ) ­  e(<,z+2ay  (ru0),r  =  0.  Ponieważ  w  rozważ anym  przypadku  (3­5)  y.  =  —(rtpr)r>  otrzymamy,  że  (3.6)  x  r  =  Btcp,,  xtZ  =  0.  Po  zróż niczkowaniu  równania  (3.4)3  wzglę dem  r  i  przekształceniach  dostaniemy  układ  równań  róż niczkowych  w  nastę pują cej  postaci:  (3­7)  2fiB,iiu­(y  + s)Btrp:tr  =  0,  (3­8)  Bl(pr­a 2qjr  =  0,  <19>  Bx  +  a ) ( ?  +  f ) ,  4y + /?  4<х^  Z  warunków  brzegowych  na  składową  normalną  naprę ż enia  momentowego  otrzy­ mamy  (3  14)  л  maK(b)­mbK(a)  '  1  l(a)K(b)­J(b)K(a)'  (3  15)  г  maI(b)­mbI(a)  L l  I(a)K(b)­I(b)K(a)'  gdzie  4  Mechanika  Teoretyczna  I(x)  =  (2y +  fi)crf0(ax)­  ­ [ / . ( и ),  K(x)  =  (2y  + (J) oK0  (o­.v) ł ^ A ­ ,  (ex).  498  Z .  O L E S I A K ,  M .  W Ą G R O W S KA  Po  wykorzystaniu  w a r u n k ó w  brzegowych  na  składową  styczną  tensora  naprę ż eń   momentowych  prz(a)  = na  oraz  nrz(b)  = nb,  obliczymy  kolejne  dwie  stałe  c a ł k o w a n i a :  (3.16)  A2  =  (3.17)  C2  y­e  1  y ­ e  rlbKĄ j^­łlaKi  | y j  A ,  Pozostałe  dwie  stałe  wyznaczymy  z  warunku  na  składową  styczną  naprę ż enia  siłowego  na  pobocznicy  walca  ar0(a)  =  т „,  ar0(b)  =  тъ.  Otrzymamy  a2b2  b2­a2  (3.18)  (3.19)  C 3  =  "  "  ,  { T f c ­  та + [a] ­  [b]},  c / i ^ 3 ­ 2 C J  =  b 2 l ­ a 2 { b 2 r b ­ a 2 r a  +  a 2[a]­­b2[b]},  gdzie  przyję liś my  nastę pują ce  oznaczenie:  (3.20,  и ­ 1 & + . , Ц ' , . $­ C 2  A­o  ( y ) ]  ­  2al  [A2  /О  ( у )  ­  C 2  A­o  .  +  V ( y  +  e )  Normalne  naprę ż enia  momentowe  w kierunku  osi z  nie  mogą  być przyję te  w  sposób  dowolny  i są  okreś lone  poprzednimi  wzorami,  przyjmując  postać  nastę pują cą:  (3.21)  /л2г  =  BjAJ0  ( y j ­ 8  j  C , A­o ( y ) ;  wynika  stą d,  że pzz  zależą  od r.  W podobny  sposób  otrzymamy  (3.22)  az0  =  2 a L / ,  (jj  + C i J f ,  ( y )  W  rozwią zaniu  przedstawionym  wzorami  (3.10),  (3.12)  i  (3.13)  wystę puje  7  stałych  całkowania,  z  któryc h  6  wyznaczyliś my  z  w a r u n k ó w  brzegowych,  siódmą  wyznaczymy  poszukując  tylko  takich  rozwią zań  układu  równań  (3.7)—(3.9),  które  zarazem  spełniają   równanie  (3.4)3.  Dodatkowa  stała  wynika  z  podwyż szenia  rzę du  równania,  w  trakcie  rozseparowywania  układu,  na  skutek  róż niczkowania  równania  (3.4) 3 .  W  ten  sposób  otrzymamy  zwią zek  (3.23)  2ocA3+fiC  =  0.  Jeż eli  na  =  nb  =  0,  stałe  A2  i  C 2  znikają.  Jeż eli  ponadto  xa  =  rb  =  0,  rozwią zanie  u k ł a d u  r ó w n a ń  róż niczkowych  redukuje  się do z,z  =  D,  By(r 1 '  (4 4)  (2y  +  B)C­2yD  (2y + B)B  •   Podstawiając  powyż sze  wzory  do  układu  równań  róż niczkowych  (1.2) otrzymamy  (45)  k + Ł ­ U  = o, a 2  dr  (4.6)  u0,z  =  ­ 2 ? ; r ,  (4­7)  (ru9),r  =  2rг.  P o  wykorzystaniu  w a r u n k ó w  brzegowych  na składowe  normalne  naprę ż eń  momentowych  ц „(а )  = ma,  f*rr(b) = т ь  otrzymamy  2 L 2 (4.18)  2yC1=­^—r(mb­ma),  maa 2—mbb 2  b2­a2  '  (4.19)  С = 2  mbb 2­maa 2  a2b2  1  (4.20)  p„ =  ­  b 2 _ a 2  y r r ^ T  (™»  ­ma)­jT,  mbb 2  — maa 2  a2b2  i  (4.21)  /too =  b 2 _ a 2 —  + jrz^­  (mb­ma)  .  Funkcje  (4.10)—(4.12)  bę dą  rozwią zaniem  u k ł a d u  równań  róż niczkowych  (1.2),  jeż eli  pochodna  składowej  stycznej  naprę ż enia  wzglę dem  zmiennej  z  przyjmie  nastę pują ce  wartoś ci  na  powierzchniach  walcowych:  (4­22)  ar0  z (a)  =   Ь  (ma  ­  mb),  у  o  —a  ,  2fi  a2  .  ar  ,zb  =  — ­  b 2 _ a 2  (mb­ma)  oraz gdy  (A "iw  r  T  maa 2­mbb 2  (4.23)  jizz  =  С =  2  —  b2­a2  '  Stała  Dt,  wystę pują ca  we  wzorach  (4.11) i  (4.12) nie odgrywa  ż adnej  roli,  jeż eli  warunki  brzegowe  są  dane  w  naprę ż eniach  i  naprę ż eniach  momentowych.  5.  Uwagi  koń cowe  Założ enia  wprowadzone  przy  rozwią zywaniu  poszczególnych  przypadków  wpływają   na  liczbę  moż liwych  do  spełnienia  w a r u n k ó w  brzegowych.  W  przypadku  a) (p.  2)  moż liwe  były  do  spełnienia  tylko  warunki na ts„  (lub  ur), z kolei  w  przypadku  b)  jeden z  w a r u n k ó w  na  arz,  na powierzchni  walcowej r = a,  lub  r =  b,  musiał  wynikać  z rozwią zania,  w  prze­ ciwnym  razie  nie  byłoby  spełnione  założ enie,  że naprę ż enia  nie  zależą  od współrzę dnej z.  Rys.  3.  ju„  p r z y ł o ż o ne  na  powierzchni  z e w n ę ­  Rys.  4.  / / „  p r z y ł o ż o ne  na  powierzchni  z e w n ę ­ trznej,  b/a  =  2  trznej  b/a  =  5  [501]  502  Z .  O L E S I A K ,  M .  W Ą G R O W S KA  Założ enie,  w p. 4, że /uzz  = const  oraz  że wielkoś ci  C1  i Dt  są stałymi  pozwoliło na  dowolne  dysponowanie  tylko  dwoma  warunkami  brzegowymi  z trzech,  np. /nrr(a) i  /n„(b),  Z  podanych  rozwią zań  widać,  że przy  danych  stałych  normalnych  naprę ż eniach  momen­ towych  na  powierzchniach  walca  muszą  wystą pić  okreś lone  naprę ż enia  momentowe  i  styczne  w przekroju  poprzecznym,  p r o s t o p a d ł y m  do osi walca;  obok  naprę ż eń  momen­ towych  /лг г  wystą pi  dodatkowo  składowa  styczna  naprę ż eń  siłowych  ar0.  Warto  również  zwrócić  uwagę  na to, że stałe  całkowania  C , i C , w zagadnieniu z p.  4,  nie  zależą  od stałych  materiałowych,  podobnie jak w zagadnieniu  L a m ć g o.  Inaczej  rzecz  się  dzieje  w przypadku  zagadnienia  rozpatrywanego  w p. 3, gdzie  fi„  zależy  od  stałych  materiałowych.  N a  załą czonych  rysunkach  podaliś my  wykresy  naprę ż eń  momentowych  /urr i /лв в  oraz  składowej  promieniowej  wektora  obrotu