Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  M E T O D A  S T E R O W A N I A  M O D A L N E G O I  J E J  Z A S T O S O W A N I E  D O  U S T A T E C Z N I A N I A  L O T U  Ś M I G Ł O W CA  JÓZEF  P I E T R U C H A ,  ZBIGNIEW  S Z E W C Z Y K  (WARSZAWA)  Oznaczenia  A  macierz  stanu  u k ł a d u  niesterowanego  o  wymiarach  nxn,  В  macierz  sterowania  o  wymiarach  n x r  i  kolumnach  bj,  H  macierz  stanu  u k ł a d u  sterowanego,  J  macierz  blokowa  Jordana,  К  macierz  w s p ó ł c z y n n i k ó w  wzmocnienia  o  elementach  к ц ,  P  macierz  s t e r o w a l n o ś ci  modalnej  o  elementach  р ц ,  U  macierz  w e k t o r ó w  w ł a s n y c h  macierzy  A  o  kolumnach U j ,  V  macierz  w e k t o r ó w  w ł a s n y c h  macierzy  A  o  kolumnach  \j,  g  wektor  wzmocnienia,  u  r­wymiarowy  wektor  sterowania,  x  л ­ w y m i a r o wy  wektor  stanu,  и  p r ę d k o ść  pozioma,  w  p r ę d k o ść  pionowa,  q  p r ę d k o ść  k ą t o wa  pochylania,  0  k ą t  pochylenia,  QR  p r ę d k o ść  k o ń ca  ł o p a t y  wirnika  n o ś n e g o,  6,j  delta  Kroneckera,  Xj  w a r t o ś ci  w ł a s n e  u k ł a d u  niesterowanego,  Qj  w a r t o ś ci  w ł a s n e  u k ł a d u  sterowanego,  Uc  sterowanie  skokiem  o g ó l n y m  ł o p a t y  wirnika  n o ś n e g o,  Up  sterowanie  skokiem  cyklicznym  ł o p a t y  wirnika  n o ś n e go  w  kierunku  p o d ł u ż n y m,  ( ­ ) r  transponowanie,  (• )*  s p r z ę g a n i e.  1.  Wstęp  W  ostatnich  latach  intensywnie  rozwija  się  metoda  sterowania  modalnego  [1—16],  której  prekursorem był  ROSENBROCK  [17].  Według  okreś lenia  [18]  sterowanie modalne  jest  syntezą  bezinercyjnego  sprzę ż enia  zwrotnego  zmieniają cego  wartoś ci  własne  linio­ wego  stacjonarnego  u k ł a d u  dynamicznego  na  wartoś ci  z  góry  dane.  Syntezę  prowadzi się   korzystając  z  poję cia  przestrzeni  stanów  [19]. Przez  odpowiedni  d o b ó r  położ eń  wartoś ci  własnych  u k ł a d u  m o ż na  d o k o n a ć  syntezy  układów  o  poż ą danych  własnoś ciach  dynamicz­ nych.  Celem  niniejszej  pracy  nie jest  dokonanie przeglą du  publikacji  na  temat  sterowania  modalnego,  chociaż  cel  taki  byłby  całkowicie  uzsadniony.  W  chwili  obecnej  brak  jest  bowiem  kompletnego i  aktualnego przedstawienia  wiedzy  w tej  dziedzinie.  572  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  Praca  nasza  poś wię cona  jest  natomiast  przedstawieniu  sterowania  modalnego  w  uję ciu  PORTERA  i  CROSSLEYA  [8]. O ile nam  wiadomo, uję cie  to jest  w Polsce mał o  znane,  a w  pełni  zasługuje  na  szersze  upowszechnienie.  Dlatego  też  główny  wysiłek  został  skierowany  na  wypełnienie  tej  właś nie  l u k i .  Starano  się to  uzyskać  w  nastę pują cy  s p o s ó b :  —  uję cie  z  [8]  zostało  uzupełnione  istotnymi  założ eniami  i  najważ niejszymi  faktami,  bę dą cymi  podstawą  r o z w a ż a ń;  —  rozważ ania  te  przedstawiono  w  uporzą dkowanej  i  zwartej  formie;  •—  ułoż ono  przejrzyste  algorytmy,  których  moż liwoś ci  obliczeniowe  zilustrowano  przykładem  ustatecznienia  lotu  ś migłowca;  —  uwypuklono  przydatność  i  d o g o d n o ś ć  omówionej  metody  do  obliczeń  na  kompu­ terach  ;  —  podano  wykaz najnowszej  literatury  krajowej  i zagranicznej  z tej dziedziny.  Spodziewamy  się  zatem,  że  przedstawiona  w  ten  sposób  praca  może  być  przydatna  przy  projektowaniu  układów  sterowania  stosowanych  w  róż nych  dziedzinach  techniki.  2.  Elementy  teorii  sterowania  modalnego  2.1.  Główna  idea  sterowania  modalnego.  Rozważ my  układ  opisany  równaniem  x(t)  =  ax(t).  Rozwią zanie  takiego  r ó w n a n i a  ma  postać   x(t)  =  x(0)exp(or).  Jest  widoczne, że charakterystyka  dynamiczna tego  układu  zależy  od  parametru  a  i  u k ł a d  bę dzie  np.  niestateczny,  jeż eli  a  >  0.  W p r o w a d ź my  do  tego  układu  sterowanie  liniowe  w  postaci  sprzę ż enia  zwrotnego  u(t)  =  kx(t).  Równanie  u k ł a d u  zamknię tego  bę dzie  miało  postać   x(t)  =  ax(1) + bu(t)  =  (a +  bk)x(t).  Rozwią zanie  takiego  równania  dane  jest  wzorem  x(t)  =  x(0)exp(o7),  gdzie  a  =  a +  bk.  Charakterystyka  dynamiczna  układu  zamknię tego  zależy  od  wartoś ci  a.  Jeż eli  zaż ą­ damy,  ż eby  a  przyję ło  z  góry  d a n ą  wartość  s  spełniają cą  np.  warunek  statecznoś ci,  to  współczynnik  к  musi  spełniać  zależ ność   к  =  (s­a)/b.  Tak  więc  dla  realizacji  u k ł a d u  o  danej  charakterystyce  dynamicznej  musimy  wprowa­ dzić  do  u k ł a d u  otwartego  gałąź  sprzę ż enia  zwrotnego  o  współczynniku  wzmocnienia  к  =  (s — a)/b.  Przepływ  sygnałów  dla  u k ł a d u  zamknię tego  ilustruje  rys.  1.  M E T O D A  STEROWANIA  M O D A L N E G O  573  Rys.  1  2.2.  Z a ł o ż e n ia  ogólne.  Teoria  sterowania  modalnego  może  być  stosowana  do  wyzna­ czenia  sygnału  sterują cego  dla  u k ł a d u  opisywanego  u k ł a d e m  liniowych  równań  róż nicz­ kowych  zwyczajnych  lub  czą stkowych  o  stałych  współczynnikach.  W  niniejszej  pracy  rozważ ania  ograniczone  bę dą  tylko  do  p r z y p a d k ó w  u k ł a d ó w  o  parametrach  skupionych.  W  rozważ aniach  nie  zakład a  się  ż adnej  szczególnej  postaci  macierzy  sterowania  (por.  [1]).  Macierz  sterowania  obrazują ca  sposób  wprowadzenia  sterowania  do  u k ł a d u  ma  więc  taką  postać,  jaka  wynika  z  analizy  układu.  Bardzo  istotne  jest  założ enie  szczególnej  postaci  wektora  sterowania.  Z a k ł a d a  się   mianowicie,  że  jest  on  kombinacją  liniową  zmiennych  stanu,  okreś loną  odpowiednim  wektorem  własnym  transponowanej  macierzy  stanu.  Przyję cie  tego  założ enia  pozwala  na  sterowanie  dowolnie  wybraną  charakterystyką  układu  bez  oddziaływania  na  pozostałe.  Praktyczna  realizacja  tego  założ enia  wymaga  jednak  mierzenia,  w  sensie  technicznym,  wszystkich  zmiennych  stanu.  Bę dziemy  rozważ ać  liniowy  stacjonarny  układ  dynamiczny  (L)  opisany  równaniem  x ( 0  =  A x ( r ) +  Bu(r).  Przytoczymy  najpierw  podstawowe  fakty  teorii  sterowania  modalnego  [2].  O k r e ś l e n i a:  1.  Niech  / 1 L  =  {X:X  jest  wartoś cią  własną  macierzy  A } .  Niech  As  c  AL  bę dzie  zbiorem  m(m^  «)  wartoś ci  własnych  zespolonych  sprzę ż onych.  Niech  Г —  Qm}  bę dzie  zbiorem  dowolnych  liczb  zespolonych  sprzę ż onych.  O  układzie  (L)  mówimy,  że  jest  modalnie  sterowalny  wzglę dem  As,  jeż eli  istnieje  stała  macierz  G  o  wymiarach  rxn  taka,  że  wartoś ci  własne  macierzy  (A +  B G )  należą  do  zbioru  .Tu  u ( / l Ł  ~  As).  Macierz  G  jest  nazywana  macierzą  wzmocnienia.  2.  Jeż eli  m  =  n  i  układ  (L)  jest  modalnie  sterowalny  wzglę dem  AL  to  mówimy,  że  (L)  jest  całkowicie  modalnie  sterowalny.  3.  Mówimy,  że  układ  (L)  jest  całkowicie  sterowalny  (w  sensie  Kalmana),  jeż eli  dla  dowolnego  stanu  począ tkowego  x(0)  istnieje  taki  wektor  sterowania  u(r),  który  dopro­ wadzi  układ  do  dowolnego  stanu  koń cowego  x(tk)  w  skoń czonym  przedziale  czasu  (0,  tk)  (zob.  np.  [12]).  Twierdzenie:  U k ł a d  (L) jest  całkowicie  sterowalny  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  jest  całko­ wicie  modalnie  sterowalny.  Wniosek:  Teoria  sterowania modalnego  może  być stosowana  bezpoś rednio  dla  układów  całkowicie  sterowalnych,  natomiast  dla  pozostałych  po  uprzednim  oddzieleniu  czę ś ci  574  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  niesterowalnej.  Sposób  jednoznacznego  rozpoznawania  czę ś ci  sterowalnej  i  niesterowalnej  układu  zostanie  podany  dalej,  po  przeprowadzeniu  niezbę dnych  rozważ ań.  2.3.  Przypadek  pojedynczych  wartoś ci  własnych  [8].  U k ł a d  jednowejś ciowy.  Przeprowadzimy  roz­ waż ania  dla układu,  w który m  istnieją  z a r ó w n o  zespolone, jak  i rzeczywiste wartoś ci  własne.  Ułoż ymy  algorytm,  który  pozwoli  zmieniać  dowolną  liczbę  wartoś ci  własnych  rzeczy­ wistych  i  dowolną  liczbę  par  sprzę ż onych  wartoś ci  własnych  zespolonych.  Założ ymy  przy  tym, że układ jest  całkowicie  sterowalny.  Przy  założ eniu,  że układ jest  jednowejś ciowy  (/•  =  1)  równanie  (L)  bę dzie  miało  prostszą  postać   (2.3.1)  i ( f )  =  А х (0  +  Ь и (0,  gdzie  A —  macierz  stanu  o  wymiarach  n x n  mają ca  rzeczywiste  i  zespolone  pojedyncze  wartoś ci  własne.  Z a k ł a d a m y ,  że  bę dziemy  zmieniać  m(m  <  n)  wartoś ci  własnych.  W  tym  celu  należy  wygenerować  m  sygnałów  sterują cych  w postaci  kombinacji  liniowej  zmiennych  stanu  n  (2.3.2)  st  =  Ł  ftijXj  =  nfx(t),  i  =  1,  ...,m.  Sygnały  te  wzmacniane  są  przez m  członów  proporcjonalnych  o wzmocnieniu k,,  w  wyniku  czego  otrzymujemy  sterowanie  m  m  (2.3.3)  и (0  =  V  kiSi  =  Ł  brfxC).  1=  I  /= 1  Podstawiając  (2.3.2)  do  (2.3.1)  otrzymamy  równanie  dla  układu  zamknię tego  m  (2.3.4)  x(0  =  (A  +  bZ  * i t f ) x ( 0  =  H x W ­ Z  r ó w n a n i a  (2.3.4)  wynika,  że  efektem  przyję cia  sygnału  sterują cego  w  postaci  (2.3.2)  jest  zmiana  macierzy  stanu  A  na  nową  macierz  H  (2.3.5)  H  =  A +  b  2jkiftf.  i=i  Jeż eli  teraz  za  wektor  p,  przyjmiemy  wektor  własny  v;  (zob.  p.  2.2),  to  macierz  u k ł a d u  sterowanego  bę dzie  miała  postać   m  (2.3.6)  H  =  A + b ^j hi i j . Ponieważ  u r  jest  wektorem  własnym  macierzy  A ,  to  (2.3.7)  Podobnie  A u r  =  A r u r ,  /'  =  1,  . . . , и.  M E T O D A  STEROWANIA  M O D A L N E G O  575  Uwzglę dniają c,  że wektory  własne  macierzy  A  i  A r są  ortonormalne,  tzn.  spełniają   zwią zek  (2.3.9)  V J 4  =  drs,  r,s  =  1,  ...,n,  moż emy  ze  wzoru  (2.3.6)  otrzymać   (2.3.10)  H u ,  =  A u t  =  A ( u t  dla  w + l < r < « ,  (2.3.11)  Н и;  =  Auj + b/Vj  =  A ; U ; +  b r C ;  dla  1 ̂   i <  m.  Równanie  (2.3.10)  wskazuje,  ż e­dla  t ^  m+1,  A, i  u, są  takie  same  dla  macierzy A  i  H . Z r ó w n a n i a  (2.3.11)  wynika  natomiast,  że  ani  Аг  nie  jest  wartoś cią  własną  macierzy  H ,  ani  też  u, —• wektorem  własnym  tej macierzy,  oczywiś cie  przy  spełnieniu  warunku  kt  ф  0.  Tak  więc  efektem  wprowadzenia  do układu  sterowania  w postaci  (2.3.3) jest  zmiana  war­ toś ci  własnych,  {A} i  odpowiadają cych  i m  wektorów  własnych  {u}  na  wartoś ci  i  wektory  własne,  odpowiednio,  {Q}  i  {w},  przy  zachowaniu  pozostałych  (ri — m)  wektorów  i  war­ toś ci  własnych  niezmienionych.  Przy  ustalonym  zbiorze  {Q}  realizują cym  dane  własnoś ci  należy  wyznaczyć  współczynniki  wzmocnienia  kt.  W tym  celu  rozłóż my  wektory  b i w ;  na  kierunki  wektorów  własnych  macierzy  A  (np.  [20]):  (2.3.12)  b =  Y/w,  n  (2.3.13)  W| =  £  qtjUj,  i=l,...,m.  j=i  Z  (2.3.12)  po  wykorzystaniu  (2.3.9)  wynika,  że  (2.3.14)  Pj=yjb,  j=l,...,n.  Ponieważ  W; jest  wektorem  własnym  macierzy  H , to  (2.3.15)  Hw;  =  pfWj,  i =  1,  ...,m.  Podstawiając  (2.3.6)  i  (2.3.13)  do  (2.3.15)  otrzymamy  m  n  n  (2.3.16)  ( A + ъ У к , \{\  £ q u U j  =  Q, £  ?y«y,  '  =  1. • ­ ,  m.  1=1  ' j=l  7=1  Przekształcając  na  mocy  (2.3.7),  (2.3.9) i  (2.3.12)  lewą  stronę  wyraż enia  (2.3.16) w  na­ stę pują cy  s p o s ó b :  j=i  fil W* II lit b k t \ f  quUj  =  b2jk,qa  =  PJUJ У  кгаи,  i = 1,  i=i  j=i  i=i  )=i  1=1  otrzymujemy  n  n  m  n  (2.3.17)  j r ^ A j U j ­ r ­  2JPjnj  k,qu =  Qi^qijUj,  i =  1,  m.  Ы 1  •  •  J­l  1=1  •  i­l  576  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  Równanie  (2.3.17) jest  równaniem  wektorowym  ze wzglę du  na u,­ i jest  równoważ ne  na­ stę pują cemu  układowi  równań  skalarnych:  m  f   i\  V i  A  » =  lf  —,m,  (Ql ~  h ) a u ­ P i   >j  k '  °"  ~  0 '  ;  _  1  D l a  danego  w s k a ź n i ka  „ i " pierwszych  m  r ó w n a ń ,  które  zmieniają  Wartoś ci  własne  układu,  m o ż na  zapisać  w formie  macierzowej  Fq, = 0,  gdzie  F i  =  [fjh;  q, = Ы ,  przy  czym  Л Р  =  (Qt­M)6ji­Pjk,;  1=1, ....  m.  Ponieważ  q; ф  0, to det F ; = 0.  Warunek  ten m o ż na  zapisać  w formie  rozwinię tej  jako  feł­Ai)­\Pi*i,  ~Pik2,­­­,  ­PikĄ   ­Piki,  (QI­h)~P2k2,  ­Pik  ­Pmkl,  ­pmk2,...,  ((?;­Xm)­pmkr  =  0  lub  w formie  zwartej  m  m m  (2.3.18)  Yl  1)  wyprowadza  się   analogicznie,  jak  dla  układu  jednowejś ciowego  (r  =  1),  przedstawimy  więc  tylko  najważ­ niejsze  wyniki.  D l a  porównania  zachowujemy  numerację  wzorów  z  poprzedniego  punktu  dodając  prim.  Równanie  sterowania  układu  wielowejś ciowego  ma  postać   г  m  (2.3.4)'  =  A x ( 0  +  B u ( 0  =  (A +  £   b;  £   W )  x O  =  H x O •  7=  i  <•=  i  Współczynniki  wzmocnienia  są  wyznaczone  z  warunku  igi­h)­2j P]ikn,  ­  ]?Pjikj2,  7=1  7=1  r r ­ Z,Pnkn, (Qi ­X2)­  y p J 2 k j 2 , 7=1  7­1  2jPjxkj*  2J  Pjikj*  7=1  ^jPlmkji,  7=1  ­  y\pjmkj2,  ( Q i ­ X m ) ­ p J m k J n  7=1  7=1  =  0.  9  Mechanika  Teoretyczna  578  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  Rozwią zanie  tego  równania  jest  niejednoznaczne  [2]  i  otrzymuje  się  je  przy  ustalonym  y­tym  wejś ciu  (2.3.20) '  k„  =  ,  i  =  1,  . . . ,  m.  Sterowanie  ma  postać   (2.3.22) '  «,(/)  =  gjx(t),  gdzie  m  (2.3.23) '  gj  =  £  v,­ ku,  j=  1 , . . . , / • .  (=  i  Wzór  (2.3.20)'  wskazuje,  że  współczynniki  wzmocnienia  mogą  być  obliczone,  jeż eli  Pji  ф  0  i  oczywiś cie  przy  zachowaniu  założ enia  o  róż nych  wartoś ciach  własnych.  Oznacza  to,  że  /­ta  postać  może  być  sterowana  ./­tym  wejś ciem.  Współczynniki  pji  są  elementami  macierzy  sterowalnoś ci  modalnej  P  o  postaci  (2.3.21) '  P  =  V T B .  W  celu  wyznaczenia  sterowania  dla  układu  wielowejś ciowego  należy  przeprowadzić   obliczenia  zgodne  z  algorytmem  dla  układu  jednowejś ciowego,  kolejno /­razy  dla  każ dego  wejś cia.  Wyznaczenie  wektora  sterowania  składać  się  bę dzie  zatem  z y­etapów  iteracyjnych.  N a  każ dym  etapie  obliczeń  zachodzi  konieczność  wyznaczenia  sterowania,  macierzy  ste­ rowalnoś ci  modalnej  i  macierzy  stanu.  Okreś lone  są  one  nastę pują cymi  wzorami:  sterowanie  m  Uj(t)  =  2 V v F ) r x ( 0 ;  macierz  sterowalnoś ci  modalnej  po')  _  ycorjju ­ ).  macierz  stanu  H ^ 1 > )  =  H ^  +  b y g J )  / =  1 . . . . . Г ­ 1 ,  przy  czym  H ( 1 )  =  A .  W  przypadku  r  >  1  sterowanie  jest  niejednoznaczne.  Pozwala  to  na  zastosowanie  dodatkowego  kryterium  przy  jego  wyznaczaniu.  Może  nim  być  np.  kryterium  minimali­ zacji  sumy  m o d u ł ó w  wzmocnień  w  gałę ziach  sprzę ż enia  zwrotnego.  2.4.  Przypadek  wartoś ci  własnych wielokrotnych [8].  Rozważ ymy  tylko  układ  jednowejś ciowy.  Rozważ ania  bę dą  podobne  do  tych,  które  przeprowadzono  dla  przypadku  z  p.  2.3.  D o  wy­ znaczenia  sterowania  potrzebna  jest  postać  kanoniczna  Jordana  macierzy  stanu,  k t ó r a  istnieje  (zob.  [20])  dla  każ dej  macierzy  kwadratowej.  Wykorzystując  podane  na  począ tku  pracy  oznaczenia  m o ż na  napisać,  że  U A V  =  J ,  M E T O D A  STEROWANIA  M O D A L N E G O  579  gdzie  j =  j „ , a , )  e  J„,(A).  Symbol  ©  oznacza  sumę  prostą  macierzy.  Blok  Jordana  ma  postać   J » , ( A , )  =  ?.j  1 0  0  X:  przy  założ eniu,  że każ dy  z  nich  zawiera  inną  postać  własną,  tzn. A; ф  А /, i  Ф j,  /,./' =  \,...,v.  Macierze  U i V  mogą  być  przedstawione w postaci  U  =  [U,,...,  Щ ,  V =  co  eksponuje  ich  zależ ność  od v —  róż nych  wartoś ci  własnych.  Podmacierze  U ;  i V (  o  wy­ miarach  u x n  mają  postać   u, = K>,...,<],  V , = rv(/>, i  =  1,  v,  z  której  wynika  ich  zależ ność  od krotnoś ci  /­tej  wartoś ci  własnej.  Analogiczne  zależ noś ci  m o ż na  otrzymać  dla  macierzy  sterowalnoś ci  modalnej  P  =  V r b  =  [p<]>, ...,p<­>],  gdzie  p«>  =  у г ъ ш  [ р р  pn%  i =  \,...,v.  Wektor  sterowania  b  może  być  przedstawiony  w  postaci  .=1  i­i  Przy  założ eniu,  że  ф 0 i pf>  =  0,j  =  /«; + 1 ,  n t,  co  oznacza,  że  podmacierz  ste­ rowalnoś ci  modalnej  ma  postać   P , i ) r  =  [ P i \ . . . , P # , 0 , . . . , J ) ] ,  wektor  sterowania  moż na  zapisać  jako  v mt /=1  1=1  Po  uwzglę dnieniu  tych  założ eń  sterowanie  przyjmuje  postać   v mt (2.4.1)  U(t)  =  У  У ky>Y?> Tx(t).  /=1  j=  580  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  Układ  zamknię ty  jest  opisany  równaniem  V mi x ( o  =  (А +Ъ £  ^ W ) X ( 0 ,  I=  1  ;=  1  z  którego  wynika,  że  macierz  układu  sterowanego  dana  jest  wzorem  v  nu  H  =  A +  b  y^kfyf)T.  (=i  / = i  Analogicznie  jak  w  p.  2.  3  moż na  wykazać,  że  wartoś ci  i  wektory  własne  macierzy  A  i  H  są  takie  same  w  przypadku,  gdy  m ( +1  <  j  <  nt,  i  =  1,  . . . ,  v.  D l a  j  =  1,  . . . ,  /и(  wartoś ci  i  wektory  własne  ulegają  zmianie.  Mając  dany  zbiór  nowych  wartoś ci  własnych,  należy  wyznaczyć  wartoś ci  współczynników  wzmocnienia  к ,  co  sprowadza  się  do  rozwią­ zania  równania  F(y)qJ')  =  0.  Rozwią zując  je  ze  wzglę du  na  k,  przy  ustalonej  wartoś ci  wskaź ników  i,j,  otrzymamy  (2.4.2)  Д «/>РК  =  1,  i  =  1,  . . . ,  v,  j  =  1,  . . . ,  m„  gdzie:  p  =  л ©  •••  е л,  К  =  [Klt  ...,kv],  R^­I­A  L _ l  Ponieważ  macierze  P  i  К  są  niezależ ne  od  wskaź ników  г, У równanie  (2.4.2)  moż na  zapisać   w  postaci  R P K  =  e.  Z  równania  tego  wyznacza  się  współczynniki  wzmocnienia  (2.4.3)  К  =  P ­ ' R ­ ' e .  Sterowanie  otrzymamy  podstawiając  (2.4.3)  do  (2.4.2).  3.  Przykład  W  ostatnich  latach  coraz  czę ś ciej  prowadzone  są  prace  nad  wyposaż eniem  ś migłowców  w  układy  stabilizacji  automatycznej  z  powodu  niewystarczają cej  stabilizacji  własnej.  Wykorzystując  wyniki  rozważ ań  z  p.  2.3  znajdziemy  schemat  ideowy  urzą dzenia  ste­ rują cego  dla  ustateczniania  wybranych  postaci  ruchu  ś migłowca.  Ze  wzglę du  na  przej­ rzystość  postę powania  ograniczymy  się  przy  tym  do  przypadku  lotu  w  płaszczyź nie  piono­ wej.  D l a  tego  przypadku  równanie  ruchu  ś migłowca  ma  postać   ) M E T O D A  STEROWANIA  M O D A L N E G O  581  x(r)  =  A x ( 0 + B u ( 0 ,  [*,,  x2,x3,  xAf  =  [u/QR,  w/QR,  ą ,  Qf,  [Ul>u2] T  =  [Ve,  U„] r.  W  przypadku  ogólnym  ś migłowiec  ma  sześć  stopni  swobody.  Ponieważ  jednak  w  locie  normalnym  ruchy  przechylają ce  i  pochylają ce  ś migłowca  zwią zane  są  z jego  prę dkoś ciami  boczną  i  wzdłuż ną,  to  dzię ki  temu  ś migłowiec  ma  tylko  cztery  organa  sterowania.  Rozpatrując  stateczność  ś migłowca  w  locie  do  przodu  moż na  pokazać,  że  sprzę ż enie  pomię dzy  ruchami  wzdłuż nym  i  bocznym jest  słabe.  Daje  to  podstawę  do  nieuwzglę dnia­ nia  równania  ruchu  bocznego  i  dzię ki  temu  ilość  równań  ruchu  zmniejsza  się do  czterech.  W  locie  w  płaszczyź nie  pionowej  mamy  dwie moż liwoś ci  sterowania,  mianowicie Uc  — ste­ rowanie  skokiem ogólnym  łopaty  wirnika  noś nego,  bę dą ce  bezpoś rednim  sterowaniem  siłą   noś ną,  U„ — sterowanie  skokiem  cyklicznym  łopaty  wirnika  noś nego,  oddziałują ce  na  ruch  wzdłuż ny.  D l a  typowego  obcią ż enia  i  typowych  warunków  lotu  ś migłowca  macierze  A  i  В  są   podane  w  [21]:  A  =  0,0366  0,0482  0,1002  0  0,0271  ­1,01  0,3681  0  0,0188  0,0024  ­0,707  1,0  ­0,4556"  ­4,0208  1,420  0  В  =  0,4422  3,5446  ­ 5 , 5 2  0  0,1761"  ­7,5922  4,49  0  Wartoś ci  własne  macierzy  A  są  nastę pują ce:  XY  =  —1,6886;  X2  =  —0,9073;  X3  =  =  0,8325;  A 4  =  0,0098,  a odpowiadają ce  tym wartoś ciom wektory  własne  macierzy  A r  mają   p o s t a ć :  V i  =  [­0,0603,  0,1341,  0,0758,  l ] r ;  v 2  =  [­0,0529,  ­0,3261,  0,0141,  0,0426] r;  v 3  =  [  0,0758,  0,0141,  0,6505,  1]; T  v 4  =  [  1  ,  0,0426,  0,4434,  0,299] r.  Zbiór  wartoś ci  własnych  macierzy  stanu  wskazuje,  że  przy  danych  warunkach  lotu  w  układzie  wystę pują  dwie niestateczne  postacie  ruchu  odpowiadają ce  wartoś ciom  X3  i  XA.  Kierując  się  kryterium  statecznoś ci  ż ą damy,  aby  obie  wartoś ci  były  również  ujemne.  Tak  więc  zbiór  {Q}  wartoś ci  własnych  układu  zamknię tego  ma  postać   {Q}  =  {­1,6886,  ­0,9073,  ­ 0 , 1 1 , ­ 0 , 9 0 7 } .  gdzie  x(0  u(/)  582  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  Jak  wiadomo  (por.  [7, 22, 23]),  ś migłowiec  może  być  sterowany  niezależ nie  wielkoś ciami  Uc  \ Up.  Pozwala  to  na  traktowanie  układu  jako jednowejś ciowego.  Wyznaczymy  sterowanie  realizują ce  kryterium  statecznoś ci  dla  obu  przypadków  sterowania.  Jest  to  moż liwe,  po­ nieważ  wektory  sterowalnoś ci  modalnej  równe  dla  Uc:  p c  =  [­5,8206,  4,4157,  ­3,5375,  ­ 2 , 2 5 2 5 ] r  dla  Up:  p p  =  [­7,9827,  6,1932,  ­4,8742,  ­ 3 , 1 5 7 7 ] r  nie  zawierają  elementów  zerowych.  Wykorzystując  procedurę  dla  układu  jednowejś ciowego  otrzymujemy  prawa  sterowania  w  postaci  Uc(t)  =  ­0,0166  u/QR + 0,0054  w/QR + 0,3402  q + 0,5457  0 ,  Up(t)  =  ­0,0113u/QR  + 0,0040  w/QR + 0,2472  ^ + 0,3962  0 .  Wszystkie  obliczenia  zostały  przeprowadzone  na  E M C Cyber­72  według  programów  włas­ nych  w ję zyku  Fortran  IV.  Warto  podkreś lić,  ±г  ten  sam  efekt  ustatecznienia  osią gnie  się  wykorzystując  jedno­ cześ nie  oba  wektory  sterowania  przy  założ eniu,  że  każ dy  z  nich  steruje  jedną  i  nie  tą  samą   wartoś cią  własną.  W  tym  przypadku  sterowanie  może  być  wyznaczone  bez  uż ycia  proce­ dury  dla  układu  wielowejś ciowego.  4.  Z a k o ń c z e n ie  Z  rozwią zania  przykładu  moż na  się przekonać  o  duż ej  prostocie  i efektywnoś ci  zastoso­ wanego  algorytmu.  Trzeba  jednak  pamię tać,  że  przyję te  kryterium  ustatecznienia  jest  jednym  z  moż liwych  przy  doborze  zbioru  wartoś ci  własnych  układu  zamknię tego.  Istnieją   także  inne,  równie  waż ne  kryteria,  np.  szybkość  tłumienia  drgań  własnych  układu  (mierzona  czasem  zmniejszania  amplitudy  do  połowy).  Warto  podkreś lić,  że  stosowalność  przedstawionych  algorytmów  nie  jest  ograniczona  ani  liczbą  stopni  swobody  układu,  ani  liczbą  zmienianych  postaci  własnych,  a  niejedno­ znaczność  rozwią zania  dla  układów  wielowejś ciowych  moż na  nawet  dodatkowo  wykorzy­ stać,  postulując  np.  minimalizację  wymiaru  wektora  wzmocnienia.  N a  specjalną  uwagę  zasługuje  fakt,  że zaproponowane  algorytmy  złoż one  są  z  prostych  działań  algebraicznych.  Jest  to  szczególnie  korzystne  dla  maszynowej  techniki  oblicze­ niowej,  ponieważ  róż norodność  operacji  znacznie  zwię ksza  czas  realizacji  obliczeń.  Fakt  ten  nabiera  istotnego  znaczenia  zwłaszcza  przy  rozpatrywaniu  wię kszej  liczby  stanów  lotu  ś migłowca  albo  przy  zmienianiu  duż ej  liczby  wartoś ci  własnych.  Sterowanie  modalne  przedstawione  w  tej  pracy  jest  ogólne,  ponieważ  nie  zakłada  się   szczególnej  postaci  macierzy  wzmocnienia  wystę pują cej  w  równaniu  sterowania  u(/) —  — G x ( f ) .  Dzię ki  temu  ułoż one  algorytmy  mogą  znaleźć  szerokie  zastosowanie  nie  tylko  w  technice  lotniczej.  Jeś li  do  ilustracji  rozważ ań  wybrano  jednak  przykład  z  tej  dziedziny,  to  dlatego,  że  zagadnienie  ustateczniania  lotu  ś migłowca  nie jest  u  nas  zbadane  w  stopniu  wystarczają cym.  Rozwią zanie  zagadnienia  tego  typu  wskazało  na  duże  moż liwoś ci  stero­ wania  modalnego  w  tym  zakresie.  Oczywiś cie  praktyczna  realizacja  urzą dzenia  sterują cego  według  wyznaczonego  w  niniejszej  pracy  schematu  ideowego  wymagałaby  uwzglę dnienia  M E T O D A  STEROWANIA  M O D A L N E G O  583  wszystkich  niestatecznych  stanów  lotu  ś migłowca.  Rozpatrzenie  tego  przypadku nie stano­ wi  jednak  trudnoś ci  przy  zastosowaniu  omówionej  metody.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  J . K .  E L L I S ,  G . T .  W H I T E ,  An introduction  to modal analysis and control,  Control,  4, 9  (1965), 193,  262,  317.  2.  J . D .  S I M O N ,  S. K . , M I T T E R ,  A theory  of modal control,  Inf. Control,  4, 13 (1968),  316.  3.  T. R .  C R O S S L E Y ,  B . P O R T E R ,  Synthesis  of aircraft  modal control systems,  Aeronaut.  J . , 8, 7 3  (1968),  697.  4.  T . R .  C R O S S L E Y ,  B . P O R T E R ,  Synthesis  of aircraft modal control systems  having real or  complex  eigen­ values,  Aeronaut.  J . , 2, 7 3  (1969), 138.  5.  L . A .  G O U L D ,  A .  T .  M U R P H Y ,  E . F .  B E R K M A N ,  On  the  Simon­Mitter  allocation algorithm­explicit  gains for repeated eigenvalues,  I E E E  Trans.  Autom.  Control,  A C ­ 1 5  (1970), 259.  6.  A .  G O S I E W S K I ,  J .  K O R O N A C K I ,  O  metodzie syntezy  układów  sterowania opartej o  wartoś ci  własne,  A  A T ,  1,  15  (1970),  17.  7.  T . R .  C R O S S L E Y ,  B .  P O R T E R ,  Syntesis of  helicopter stabilization systems using modal control  theory,  J .  Aircraft,  1, 9  (1972),  3.  8.  B.  P O R T E R ,  T . R .  C R O S S L E Y ,  Modal  Control­Theory  and Application,  Taylor  and  Francis,  London  1972.  9 .  Т . П .  Г Р И Г О Р Е В Л,  J I . У .  К о ж и и с к л я,  К  т е о р и и  м о д а л ь н о г о  у п р а в л е н и я ,  А и Т .,  5 ( 1 9 7 3 ) .  10.  W.  J A Ż D Ż Y Ń S K I,  J . K O W A L ,  Sterowanie modalne, Teoria  sterowania,  cz. IV, Referaty  d o k t o r a n t ó w  w y g ł o s z o n e  na seminarium  H . G ó r e c k i e g o  w ramach  studium  doktoranckiego  w zakresie  automatyki  i  elektrotechniki  w  latach  1971 ­  1973,  A G H ,  K r a k ó w 1974.  11.  B .  P O R T E R ,  A .  B R A D S H A W ,  Modal  control of class of  distributed­parameter  systems, Int. J . Control,  4,  1 5  (1972),  673.  12.  A .  N I E D E R L I N S K I ,  Układy  wielowymiarowe  automatyki, W N T ,  Warszawa  1974.  13.  J . O .  F L O W E R ,  Linear feedback design  using matrix traces,  Int. J . Control,  6, 2 1 ,  (1975),  911.  14.  A .  B R A D S H A W ,  B . P O R T E R ,  Modal  control of a  class  of distributed­parameter  systems  multi­eigenvalues  assignment,  Int. J .  Control,  2,  16  (1972) ,277.  15.  P. N .  P A R A S K E V O P O U L O S ,  S. G .  T Z A F E S T A S ,  New rcsalts  in feedback modal­controller design,  Int. J . C o n ­ trol,  6, 21  (1975), 911.  16.  T.  K A C Z O R E K ,  Synteza liniowych  układów  stacjonarnych  metodą  przestrzeni  stanów,  P W N ,  Warszawa  1975.  17.  H . H .  R O S E N B R O C K ,  Distinctive problems of process control,  Chem.  Engng.  Prog.,  9, 5 8 (1962),  43 .  18.  Encyklopedia  Techniki,  tom Automatyka,  W N T ,  Warszawa  1972.  19.  K .  O G A T A ,  Metody przestrzeni  stanów  w teorii sterowania,  W N T , Warszawa  1974.  2 0 .  Ф . Р .  Г А Н Т М А Х Е Р,  Т е о р и я  м а т р и ц ,  Н а у к а,  М о с к ва 1 9 6 6 .  2 1 .  К . S. N A R E N D A ,  S.  T R I P A T H I ,  Identification  and optimization of aircraft dynamics,  J . Aircraft,  10 (1973)»  193.  22.  P. R.  P A Y N E ,  Helicopter Dynamics and Aerodynamics, Pitman,  London  1959.  2 3 .  A . H .  З А Г О Р Д А Н,  Э л е м е н т а р н а я  т е о р и я  в е р т о л ё т а ,  М и н.  О б р.  С С С Р,  М о с к ва 1960.  Р е з ю ме   М Е Т ОД  М О Д А Л Ь Н О ГО  У П Р А В Л Е Н ИЯ  И  Е ГО  П Р И М Е Н Е Н ИЕ   К  С Т А Б И Л И З А Ц ИИ  П О Л Е ТА  В Е Р Т О Л Е ТА   В  р а б о те  п р е д с т а в л е на  т е о р ия  м о д а л ь н о го  у п р а в л е н ия  с и с т е м а ми  с  о д н им  и ли  н е с к о л ь к и ми   в х о д а ми  п ри с о с р е д о т о ч е н н ых  п а р а м е т р а х,  в  п о с т а н о в ке  П о р т е ра  и  К р о с с л и.  С  п о м о щ ью  э т о го   м е т о да  р е ш е на  з а д а ча  с т а б и л и з а ц ии  п о л е та  в е р т о л е т а.  584  J .  P I E T R U C H A ,  Z .  S Z E W C Z Y K  S u m m a r y  M O D A L  C O N T R O L  M E T H O D  A N D ITS  A P P L I C A T I O N  T O T H E  S T A B I L I Z A T I O N  O F  H E L I C O P T E R  F L I G H T  In  this  paper  a  theory  of  modal  control  of  lumped­parameter  systems  for  single­  and  multi­input  systems derived by  Porter and Crossley is presented.  The  stabilization  problem  of  the  flight  of  helicopter  by  this  method  is  solved.  P O L I T E C H N I K A  W A R S Z A W S K A  Pr aca  zost ała  złoż ona  w  Redakcj i   dni a  16  st yczni a  1976 r .