Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  O Ś R O D KA  C I E K Ł O K R Y S T A L I C Z N E G O  C Z E S Ł A W  R Y M A R Z  ( W A R S Z A W A )  1.  W s t ę p  Molekuły  niektórych  zwią zków  organicznych  posiadają  wydłuż ony  kształt.  G d y  pozo­ stają  w  stanie  odpowiedniego  zbliż enia  (zagę szczenia),  mogą  wówczas  tworzyć  s t r u k t u r ę   ciekłego  kryształu  lub  inaczej  cieczy  anizotropowej.  Jest  to  oś rodek,  który  posiada  z a r ó w n o  cechy  cieczy,  jak  i  ciała  stałego.  Przejawia  więc  on  anizotropię  zjawisk  elektrycznych,  magnetycznych,  mechanicznych,  a  stąd  również  anizotropię  zjawisk  optycznych.  Anizotropie  takie, jak  wiadomo,  wystę pują  czę sto  w  ciałach  stałych  szczególnie  krysta­ licznych,  lecz  nie  są  obserwowane  w  cieczach.  Są  to  bowiem  zjawiska  makroskopowe  stanowią ce  uś rednienie  skomplikowanych  zjawisk  mikroskopowych  i  dlatego  wystę pują   tylko  w  o ś r o d k a ch  wykazują cych  dalekozasię gowe  uporzą dkowanie.  U p o r z ą d k o w a n ie  takie  nie  wystę puje  w  klasycznych  cieczach.  W y n i k a  stą d,  że  stan  ciekłokrystaliczny  jest  odmienny  od  stanów  skupienia  —  ciecz  lub  ciało  stałe,  gdyż  łą czy  w  sobie  cechy  obydwu  tych  stanów.  Dlatego  jego  opis  makroskopowy  wymaga  nowych  teorii  modelowych.  Ponieważ  ciekłe  kryształy  mogą  mieć  róż ną  b u d o w ę  wewnę trzną,  dlatego  modele  takie  mogą  również  mieć  zróż nicowaną  s t r u k t u r ę  w  zależ noś ci  od  typu  opisywanego  kryształu.  Wyróż nia  się  zasadniczo  trzy  podstawowe  typy ̂ kryształów  ciekłych.  Kryształy  nematyczne  charakteryzują  się  uporzą dkowaniem  kierunkowym  wydłuż o­ nych  molekuł.  Natomiast  ś rodki  cię ż koś ci  tych  molekuł  zajmują  położ enie  przypadkowe  (rys.  la).  °>  b)  t  ,  c )  i :  1 1 !   11  1 1  11  11  I  !  I  I  •' •  ' i i  1 : ! '  !  1111  1 1  /  •   /   /   / ­ T ­ W \ M  ^  \ \ \  Rys.  1  Kryształy  cholesterolowe  posiadają  wyż szy  poziom  u p o r z ą d k o w a n ia  niż  nematyczne.  M o ż na  je  t r a k t o w a ć  jako  zbiór  płaszczyzn  o  strukturze  kryształu  nematycznego,  w  k t ó ­ rych  kierunki  uporzą dkowania  zmieniają  się  ś rubowo  przy  przejś ciu  od  płaszczyzny  do  płaszczyzny.  W  ten  sposób  posiadają  one  przestrzenną  ś rubową  s t r u k t u r ę  okresową   (rys.  Ib).  452  C z .  R YMARZ  Kryształy  smektyczne  wykazują  najwyż szy  poziom  uporzą dkowania.  W  tym  przypadku  są  u p o r z ą d k o w a ne  nie  tylko  molekuły  lecz  również  ś rodki  ich  cię ż koś ci,  k t ó r e  tworzą   szereg  równoległych  płaszczyzn  (rys.  lc).  Teorie  modelowe  tych  kryształów  pomimo  istotnych  róż nic  powinny  zawierać  również   pewne  ogólne  cechy  wspólne  i  te  bę dą  głównie  przedmiotem  naszych  zainteresowań.  Chodzi  bowiem  o poznanie zasadniczych własnoś ci  ich  konstrukcji.  Niemniej  rozpatrywane  modele,  poza  ich.  aspektem  ogólnym,  bę dą  dotyczyły  głównie  kryształów  nematycznych.  Należy  podkreś lić,  że  W A N G  prowadząc  klasyfikację  materiałów  w  oparciu  o  grupy  symetrii  materiałowej  (z  punktu  widzenia  ogólnych  koncepcji  teorii  równań  konstytutyw­ nych)  wykazał  moż liwość  istnienia  materiałów  nie  bę dą cych  ani  cieczami,  ani  ciałami  stałymi  [1].  D o  podobnego  wniosku  doszedł  również  C O L E M A N  [2].  Stanowi  to  intere­ sują cy  przykład  uzasadnienia  istnienia  pewnego  typu  materiału  na  podstawie  rozważ ań   czysto  teoretycznych.  Stan  ciekłokrystaliczny  zwany  mezofazą  został  doś wiadczalnie  odkryty  dość  dawno  ( R E I N I T Z E R  1888),  jednak  przez  wiele  lat  był  głównie  przedmiotem  b a d a ń  doś wiadczalnych  [6].  Brak  było  bowiem  teoretycznych  ś rodków  modelowych,  zarów­ no  w  zakresie  molekularnym,  jak  i  fenomenologicznym.  Z jednej  bowiem  strony,  trzeba  było  opracować  odpowiednie  ś rodki  opisu  cech  fizycznych  cieczy,  a  z  drugiej  —  ś rodki  modelowe  opisu  (na  poziomie  fenomenologicznym)  cią głych  pól  mikrostrukturalnych,  w  któryc h  m o ż na  było  ująć  własnoś ci  złoż onej  wewnę trznej  budowy  ciał  fizycznych.  Okres  właś ciwego  rozwoju  modeli  fenomenologicznych,  które  nas  głównie  interesują,  przypada  na  lata  1950—1960.  Wtedy  to  sformułowano  zasadnicze  koncepcje  opisu  oś rod­ k ó w  z  mikrostrukturą,  a  więc  oś rodków  z  dodatkowymi  (poza  przemieszczeniem  lub  prę dkoś cią)  stopniami  swobody.  Są  to  prace  T O U P I N A  [3],  M I N D L I N A  [4],  E R I N G E N A  [5]  i  innych  a u t o r ó w .  Stworzyły  one  podstawy do  efektywnego  modelowania  zjawisk  w  oś rodku  ciekłokrystalicznym,  który  stał  się przedmiotem  zainteresowań  takich  badaczy, jak  F R A N K ,  E R I C K S E N ,  E R I N G E N ,  de  G E N N E S ,  L E S L I E  i  inni.  Wymieniamy  tu  oczywiś cie  tylko  nazwiska  a u t o r ó w ,  którzy  zajmowali  się  aspektami  fenomenologicznymi  tej  teorii.  Obecnie  m o ż na  wyróż nić  nastę pują ce  modele  oś rodka  ciekłokrystalicznego:  model  zgię ciowo­sprę ż ysty,  modele  hydrodynamiczne,  modele  elektrohydrodynamiczne,  modele  magnetohydrodyna­ miczne.  N i e  są  to  wszystkie  moż liwe  modele,  lecz  jedynie  podstawowe  ich  grupy.  Poza  nimi  istnieją  modele  molekularne  mają ce  czę sto  charakter  półfenomenologiczny  (ze  wzglę­ du  na  stosowane  ś rodki  modelowe)  lub  inne,  które  powstają  na  podstawie  rozważ ań   molekularnych  (patrz  np.  praca  L T J B E N S K Y ' E G O  [9]).  Ogólną  sytuację  z  tego  zakresu  przed­ stawia  rys.  2.  Celem  niniejszego  opracowania,  które  posiada  charakter  przeglą dowo­konfrontacyjny,  jest  ogólna  prezentacja  pojęć  i  ś rodków  modelowych,  którymi  operują  powyż sze  teorie,  ocena  zakresu  ich  stosowalnoś ci  oraz  przyję tych  uproszczeń  i  przybliż eń.  Modele  te  są  na  ogół  niekonsystentne,  a  niektóre  z  nich  prowadzą  do  p a r a d o k s ó w  i  zjawisk  niefizycznych.  C h o d z i  również  o  ocenę  modeli  pod  tym  ką tem  widzenia.  Powinno  to  stanowić  bazę  do  dalszych prac w tym  zakresie, a  głównie  do  uś ciś lenia  stosowanych, modeli  i  wyeliminowania  wystę pują cych  niejednoznacznoś ci.  W  ostatnich latach  obserwuje  się  znaczny  wzrost  zainteresowania  ciekłymi  kryształami  ze  wzglę du  na  ich bardzo  obiecują ce  zastosowania na  skalę przemysłową  (rzutniki  obrazów,  ekrany  telewizyjne,  bardzo  czułe  mierniki  temperatury,  modulatory  ś wiatła  oraz  inne  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  453  nie  zbadane  moż liwoś ci  aplikacyjne).  Jest  to  bowiem  stan  materiału,  w  k t ó r y m  za  p o m o c ą   stosunkowo  niewielkich  oddziaływań  zewnę trznych  moż na  zmienić  istotnie jego  makrosko­ powe  cechy  fizyczne.  N i c  też  dziwnego,  że  wiele  zwią zków  ciekłokrystalicznych  odkryto  i  odkrywa  się  w materii  biologicznej,  k t ó r a  bardzo elastycznie reaguje  na  warunki  otoczenia.  Rozszerza  to  znacznie  zakres  zainteresowań  ciekłymi  kryształami  i  wymaga  pogłę bionego  ich  badania.  1881  Reinitzer  1933­Zocher, Oseen  1958­1964­ Toupin,  Mindlin,  Ericksen,  Eringen.  Modele  ciekTego  krysztaTu  •   ł  ł  Modele molekularne  Modele  fenomenologiczne  *  \   Krzywiznowy  model  sprę ż ystoś ci  Modele  hydrodynamiczne  ł  Model  Ericksena­Leslie  Model Eringen­Lee  Model Lubensky ego  Model  elektrohydro­ dynamiczny  Rys.  2  W  rozdziale  drugim  przedstawiamy  mikrostrukturalny  opis  kinematyki  o ś r o d ka  ciekło­ krystalicznego.  W  rozdziale  trzecim  dyskutujemy  cechy  modelu  krzywiznowego  F R A N K A ,  a  w  czwartym  —  modeli  hydrodynamicznych.  2.  Opis  mikrostrukturalny  kinematyki  oś rodka  ciekłokrystalicznego  Przy  budowie  modeli  cią głych  korzysta  się  z  zasad  zachowania  masy,  pę du,  momentu  pę du,  energii,  ładunku  oraz  z  zasady  wzrostu  entropii,  biorąc  pod  uwagę  onsagerowską   postać  termodynamiki  procesów  nieodwracalnych.  Ponadto  uwzglę dnia  się:  niezależ ność   relacji  fizycznych  od  układu  odniesienia  i  od  wyboru  układu  jednostek.  N i e  oznacza  to  bynajmniej,  że  wszystkie  modele  skonstruowane  w  myśl  powyż szych  zasad  i  założ eń   modelują  realne  sytuacje  fizyczne.  Należy  bowiem  uwzglę dniać jeszcze  cechy  indywidualne  454  C z .   R Y M A R Z  materiału  przez  okreś lenie  odpowiednich  równań  konstytutywnych,  a  ponadto  skonfron­ tować  wyniki  uzyskane  dla  modelu  z  wynikami  eksperymentu.  R u c h  o ś r o d ka  ciekłokrystalicznego  opisuje  się  mię dzy  innymi  za  p o m o c ą  funkcji  ruchu  gdzie  xk  jest  położ eniem  czą stki  X"  w  chwili  t.  Najwygodniej  jednak  ruch takiego  o ś r o d ka  opisywać  za  pomocą  pola  prę dkoś ci  v(x,  t).  Jest  to  znana  własność  cieczy,  dla  której  w  równaniu  konstytutywnym  wystę pują  gradienty  prę dkoś ci  (model  cieczy  Stokesa).  Przy  modelowaniu  dynamiki  o ś r o d ka  o  złoż onej  strukturze  wewnę trznej  każ dy  punkt  traktowany  jest  jako  odkształcalna  czą stka.  W  takim  przypadku  funkcje  fk(Xa,  t),  bą dź   składowe  pola  prę dkoś ci,  opisują  ruch  o ś r o d ka  masy  takiej  czą stki.  Specyfikacja  tych  lub  innych  cech  czą stki  prowadzi  do  okreś lenia  mikrostruktury  oś rodka,  co  oznacza,  że  poza  polem  prę dkoś ci  uwzglę dnia  się  istnienie  innych  pól  mikrostrukturalnych  stopni  swobody.  D l a  kryształów  ciekłych  okreś la  się  nastę pują ce  pola  mikrostruktury:  1.  Mikrostruktura  oś rodka  mikropolarrtego  [5].  Oznacza  się   gdzie  f A ,  E"  są  odpowiednio  wektorami  promieniami  p u n k t ó w  czą stki  mikrostruktural­ nej  po  deformacji  i  przed  deformacją,  zaczepionymi  w  ś rodku  jej  masy.  Qkx  jest  macierzą   ortogonalną,  co  oznacza, że jedyną  deformacją  jakiej  doznaje  czą stka  (przypisana  punktowi  X )  jest  jej  sztywny  obrót.  Przyję cie  tej  koncepcji  oznacza,  że  molekuły  kryształu  ciekłego  są  traktowane  jako  nieodkształcalne,  przy  czym  czą stka  materialna  modeluje  na  ogół  zachowanie  się  nie  jednej  molekuły,  lecz  pewnego  duż ego  ich  zespołu,  który  doznaje  obrotu  jako  całoś ć.  Tak  zdefiniowana  mikrostruktura  jest  bardzo  ogólna.  Nie  uwzglę d­ nia  ona  faktu,  że  kryształ  ciekły  zbudowany  jest  z  wydłuż onych  molekuł.  Okreś lona  jest  ona  w  opisie  materialnym.  2.  Pole  direktorów  n  i  uporzą dkowań  S.  E R I C K S E N  przedstawia  własnoś ci  mikrostruk­ turalne  kryształu  ciekłego  za  pomocą  pola  wektorów  jednostkowych  n,  które  nazywa  «direktorami»  [7].  Modelują  one  skierowanie  osi  wydłuż onych  molekuł  lub  ich  grup.  Długość  «direktorów»  pozostaje  stała  w  czasie  ruchu.  Założ enie  to  podyktowane  jest  głównie  wzglę dami  wygody  opisu,  lecz  ogranicza  moż liwoś ci  modelowe  tak  zdefiniowanego  p o ł a  mikrostruktury,  gdyż  traci  się  moż liwość  uwzglę dnienia  zmian  ewentualnego  ruchu  obrotowego  molekuł  wzglę dem  osi  wydłuż enia.  Należy  również  podkreś lić,  że  «direktory»  opisują  tylko  uś rednione  uporzą dkowanie  oś rodka  ciekłokrystalicznego  bez  indywiduali­ zacji  zachowania  się  molekuł  (bez  ich  ruchu  cieplnego),  a  więc  są  to  ś rodki  modelowe,  wyraź nie  fenomenologiczne.  Celem  wzbogacenia  ś rodków  opisu  wprowadza  się  ponadto  skalarne  pole  parametru  uporzą dkowania  zdefiniowanego  nastę pują co:  gdzie  0 jest  ką tem  odchylenia  molekuły  od  kierunku  n,  a  <  >  znakiem  uś rednienia  przy  uwzglę dnieniu  statystyki  kierunkowej  odchyleń  f(6)  osi  molekuł  od  ś redniego  kierunku  n,  co  m o ż na  zapisać  w  nastę pują cy  sposób  (por.  rys.  3):  (2.1)  x»  =f\X*,t),  (2.2)  h  = е*«(х, 027я,  (2.3)  S  =  ,  (2.4)  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  455  G d y  S = 0 wówczas  mamy  do  czynienia  z cieczą,  natomiast  S =  1  oznacza  idealne  upo­ rzą dkowanie  wszystkich  molekuł  otoczenia  punktu  X  wzdłuż  wektorów  n.  Sytuacja  ostat­ nia  na  skutek  ruchów  czą stek  nigdy  w  rzeczywistoś ci  nie  wystę puje  i dlatego  w  realnych  kryształach  ciekłych  0 < 5 < 1.  Rys.  3  3.  Pole  tensorowe  uporzą dkowań .  Wprowadzone  pole  «direktorów»  n  prowadzi do  kłopotliwych  sytuacji,  gdy  kierunki  n i  —n  traktowane  są jako  ekwiwalentne.  Dlatego  D E  G E N N E S  [8] z a p r o p o n o w a ł ,  aby  m i k r o s t r u k t u r ę  oś rodka  ciekłokrystalicznego  opi­ sywać  za  pomocą  pola  tensorów  bezś ladowych  Ł?,;(r).  L U B E N S K Y  [9]  przedstawił  sposób  wyznaczania tego tensora,  wychodząc  z nastę pują cego  tensora  okreś lonego  dla  molekuły a:  (2.5)  &j =  v!vf­jd  Po  wprowadzeniu  tensora  uś rednionego  RiJ  =  ytQfj(T,t)<4r­r*(t)],  at  definiujemy  pole  tensora  makroskopowego  Qy(r,  /) w  sposób  nastę pują cy:    gdzie  m jest  masą  molekuły,  a    wartoś cią  ś rednią  gę stoś ci  rozkładu  molekuł  (gę stość  masy  oś rodka  ciekłokrystalicznego).  Tensorowy  sposób  opisu  mikrostruktury  staje  się  porównywalny  z  opisem  za  p o m o c ą   «direktorów»  i  pola  S, jeś li  zauważ yć,  że dla  jednoosiowego  kryształu  nematycznego  tensor  Qij(r, t)  wyraża  się  nastę pują co:  (2.7)  Qu(r,t)  =  S^nj­jdtj],  gdzie  S j e s t  parametrem  uporzą dkowania,  a nt,  itj  składowymi  «direktorów».  L U B E N S K Y  [9]  dyskutuje  równoważ ność  tych  opisów,  lecz  nie  wszystkie  kwestie  zostały  wyjaś nione  (tensor  Qij  posiada  5 róż nych  składowych,  a  wektor  n trzy).  Są  to  podstawowe  opisy  mikrostruktury  kryształów  ciekłych.  456  C z .   R Y M A R Z  3.  Krzywiznowa  teoria  sprę ż ystoś ci  W  krysztale  ciekłym  istnieje  uporzą dkowanie  dalekiego  zasię gu,  co  powoduje,  że  kryształ  wykazuje  sztywność  na  odkształcenia  zgię ciowo­skrę ceniowe.  Teoria  opisują ca  te  zjawiska  została  zapoczą tkowana  przez  Z O C H E R A  [10]  i  O S E E N A  w  1933  [11],  a  n a s t ę p ­'  nie  rozwinię ta  przez  F R A N K A  W  1958  [12].  Przedstawimy  przybliż enie  liniowe  tej  teorii,  zakładając  mał e  odkształcenia  krzywiznowe.  Rozróż niamy  trzy  rodzaje  takich  odkształ­ ceń  (por.  rys.  4):  a)  odkształcenia  typu  wachlarz,  b)  odkształcenia  skrę ceniowe,  c)  od­ kształcenia  zgię ciowe.  Rys.  4  Jeż eli  wymiarowy  parametr  charakterystyczny  odkształcenia  (promień  krzywizny)  jest  dużo  wię kszy  od  długoś ci  molekuł,  to  do  opisu  procesu  deformacji  m o ż na  stosować   model  cią gły.  Oznacza  to,  że  molekuły  zmieniają  swoje  kierunki  przestrzenne  bardzo  powoli  w  p o r ó w n a n i u  np.  z  wymiarami  ciała.  Jeż eli  oś  z  układu  współrzę dnych  skiero­ wać  zgodnie  z  kierunkiem  osi  molekuł,  to  składowe  stanu  deformacji  dla  poszczegól­ nych  jej  rodzajów  przyjmują  p o s t a ć :  a,  =  8пх/д х ,  a2  =  8ny/8y  dla  wachlarza,  (3.1)  a3  =  —д/Г у/д х ,  a4  =  д пх/д у  dla  skrę cania,  as  =  dnxjdz,  a6  =  8nyj8z  dla  zginania.  Ponieważ  powyż sze  rodzaje  deformacji  są  sprę ż yste,  stąd  w  przybliż eniu  liniowym  energia  swobodna  ma  postać  nastę pują cą:  6  б   (3.2)  F  =  Ł k i a ' +  'E  kUaiaJ>  .= 1  i,J=i  gdzie  kt,  k^  są  stałymi  materiałowymi,  które  należy  wyznaczyć  doś wiadczalnie.  Wyra­ ż enie  (3.2)  na  energię  swobodną  upraszcza  się,  gdy  uwzglę dniamy  jej  niezmienniczość   wzglę dem  przekształceń  charakteryzują cych  symetrie  o ś r o d k a.  1.  Energia  F  nie  powinna  zmieniać  się  przy  sztywnym  obrocie  o ś r o d ka  wzglę dem  osi  z,  gdyż  nie  ulegają  zmianie  położ enia  molekuł.  Z  warunku  tego  wynika,  że  k3  =  0,  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  457  a  ponadto  róż ne są od  zera  tylko  nastę pują ce  składowe  tensora ки:  к , l t k22,  k33,  ki2,  k24.  2.  Gdy  molekuły  są  niepolarne  lub polarne,  lecz  rozłoż one  z równym  prawdopodo­ bień stwem  w  obydwu  przeciwnych  kierunkach,  wówczas  wybór  znaku  wektora  n jest  dowolny  i energia  nie powinna  zmieniać  się  przy  przekształceniu  (z zachowaniem  skrę t­ noś ci)  n  ­»  —n  lub  x'  = x,  y'  =  —y,  z'  — —x,  co  daje  nastę pują cy  warunek:  (3.3)  kx  = ki2  =  0.  Symetria  przy  n ­>  — n  wystę puje  powszechnie  w kryształach  ciekłych.  3.  G d y  w krysztale  ciekłym  wystę pują  symetrie  zwierciadlane,  czyli  gdy kryształ nie  jest  enancjomorficzny  (co może  zachodzić  czę sto  w skali  makroskopowej,  chociaż  posz­ czególne  molekuły  nie wykazują  takich  symetrii),  wówczas  zachodzi  zależ ność   (3.4)  k2  = ki2  = 0.  Ogólnie  wyraż enie  na  energię  sprę ż ystą  zapisane  w  formie  niezmienniczej  (niezależ nej  od  kierunku  osi z)  posiada  postać   (3.5)  F =  ~ / c u ( V ­ n ­ . v 0 ) 2 + i ­ A : 2 2 ( n . r o t n  + ro) 2 + y A : 3 3 ( n . V « ) 2 ­ A r J 2 ( V . n ) ( n . r o t n ) ,  gdzie  л 'о =  —к х /к ц ,  t0  =  —k2\k22.  Wynika  stą d,  że energia  F  zależy  od я ,­  oraz  я ,р /.  Ponieważ  F  przy  stałych  deformacjach  stanowi  potencjał  dla sił wewnę trznych,  stąd  otrzymujemy  nastę pują ce  równanie  konstytutywne:  dF  (3.6)  Я ;j =  ­ ­ ^ 7  — =  Aeijknk­k33(n­Vndnj­Bd.j,  gdzie  е ,д  jest  całkowicie  antysymetrycznym  tensorem,  a  A  =  fc22(a.rotn + * 0 )­fc 1 2 (V­n),  В  = ^ l t ( V ­ n  — ^ 0 ) ­ ^ i 2 n ­ r o t n ,  zaś  dla wektora  krzywiznowych  sił  wewnę trznych  (3.7)  fi  =  dFjdib  =  Aeijknkj  +  k33(n­VnJ)rtj,i.  Z a k ł a d a  się, że stan  równowagi  dla  kryształu  ciekłego  osią gany  jest  przy  minimum  energii  swobodnej  (3.8)  G = J  dvF(ni,n,,j),  co  oznacza, że  ÓG = 0.  Prowadzi  to  do  nastę pują cego  równania  r ó w n o w a g i :  (3.9)  dn,j/dxj+fi  =  ynt,  gdzie  у jest  mnoż nikiem  Lagrange'a,  który  wyznacza  się z  warunku  n2  — 1.  Analizując  to  równanie  dochodzimy  do wniosku, że ż ą danie,  aby wektor  n pozostawał  jednostkowy,  równoważ ne  jest  ż ą daniu,  aby wewnę trzne  siły  krzywiznowe ht  =nijtj+fi  były  r ó w n o ­ 458  C z .   R Y M A R Z  ległe  do  pola  «direktorów».  Sens  fizyczny  tego  ż ą dania  nie jest  zbyt  jasny,  a  ponadto  okazuje  się, że  rozwią zania  zagadnień  granicznych  dla  równania  (3.9)  niekonieczne są   stabilne  (patrz  [13]).  Ż ą danie  to wynika  z ograniczeń  (wię zów)  kinematycznych.  Należy  również  podkreś lić  [13],  że przedstawiony  model  zawiera  człon  diwergencyjny  w  gę stoś ci  energii  F,  który  może  być zawsze  zamieniony  na  człon  powierzchniowy  i dlatego  został  on  opuszczony  w  (3.5).  Sytuacja  taka  stwarza  jednak  moż liwoś ci  niejednoznacznego  zdefiniowania  tensora 77y  (3.10)  n'u =  ntJ+dAWt/dxt,  gdzie  tensor  /iiJk  jest  antysymetryczny  wzglę dem  indeksów  j, k.  Dodanie  tensora  /liJk  do IIij nie zmienia  jednak  postaci  równania  (3.9).  Pomimo  to interpretacja  fizyczna  członu  powierzchniowego  jest  konieczna,  gdyż  inaczej  struktura  teorii  staje  się niejasna.  Należy  zająć  się tym w  oddzielnym  opracowaniu.  Efekty  krzywiznowe  w  kryształach  ciekłych  są  bardzo  niewielkie  (stałe  materiałowe  są  rzę du  10" 6  dyn)  w p o r ó w n a n i u  z efektami  zmiany  obję toś ci,  lecz  należy je  uwzglę d­ nić,  gdyż  mogą  one p o w o d o w a ć  znaczne zmiany jakoś ciowe  ich  zachowania  się.  4.  Modele  hydrodynamiczne  Poza  sztywnoś cią  zgię ciowo­skrę ceniową,  właś ciwą  dla  ciał  stałych,  kryształy  ciekłe  zachowują  się jak  ciecze.  Molekuły  wydłuż one  mogą  bowiem  poruszać  się dość  łatwo  wzglę dem  siebie  wzdłuż  wydłuż onych osi.  Temu  przepływowi  uporzą dkowanemu  przeciwstawiają  się ruchy  cieplne  w  kierunku  poprzecznym, a zatem  należy  rozpatrywać  łą cznie  efekty  krzywiznowe  z efektami  hydro­ dynamicznymi.  Teorię  uwzglę dniają cą  połą czone  efekty  opracowali  E R I C K S E N  i  L E S L I E  [14,  15]. Przedstawimy jej  zarys i ocenę.  Bę dziemy  operować  nastę pują cymi  polami  cią g­ ł y m i :  polem  gę stoś ci  masowej  Q, polem  prę dkoś ci  v, polem  «direktorów»  n,  polem  tem­ peratur  T. Zachowanie  się  tych  pól  opisuje  nastę pują cy  układ  r ó w n a ń :  1.  R ó w n a n i e  cią głoś ci  masy  (4.1)  ­ ^ ­ f d i v f e v )  = 0.  Bę dziemy  zakładać,  że oś rodek jest  nieś ciś liwy.  Założ enie  to dla  stanu  ciekłego jest  w  pełni  uzasadnione.  Zatem  równanie  cią głoś ci  przyjmuje  postać   (4.2)  d i w = 0.  2.  R ó w n a n i e  ruchu  wynikają ce  z zasady  zachowania  pę du  (4.3)  _ ^ ( / , . ) + ^ ­ ( Г , +  , ; )  =  0 ,  gdzie  / ; =  QVI jest  gę stoś cią  pę du,  а Ty i fy są  odpowiednio  tensorami  naprę ż eń  odwra­ calnych  i dysypacyjnych.  Tensor  7y okreś lony jest  w sposób  nastę pują cy:  (4.4)  Tu =  QViVj­pdij­nkJnk,i,  gdzie p jest  ciś nieniem  hydrodynamicznym.  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  459  Tensor  ty okreś lony  jest  nastę pują co:  (4.5)  ty  =  ­ а 1 и 4 и л 4 л П 1 П; ­ а 2 и ; . Л Г г­ а з Иг Л г / ­ а 4̂   gdzie  (4.6)  dij =  v(iJ),  (4.7)  Nt =  ń i ­ ( u ) ,7 x n ; ) b  (4.8)  „ i =  ^ . + v . V ( « 0 >  (4.9)  ,fi)y  =  v [ U ] .  Jak  wynika  z  (4.7)  wektor  N okreś la  prę dkość  ruchu  wzglę dnego  «direktorów»  (wzglę dem  cieczy).  Z  (4.5)  wynika  natomiast,  że  naprę ż enia  dyspacyjne  zależą  w  sposób  łą czny  od  gra­ dientów  prę dkoś ci  dy,  od  kierunków  «direktorów»  /?; oraz  prę dkoś ci  ich ruchu  wzglę d­ nego  Ni. а ,­ są  stałymi  materiałowymi.  Stałą    gdzie  pi =  oVj jest  gę stoś cią  pę du,  z gę stoś cią  energii  wewnę trznej,  /,• jest  gę stoś cią  stru­ mienia energii, L,­,  są  gę stoś ciami  orbitalnego  i lokalnego momentu  p ę d u, а т ,­,­  tensorem  naprę ż eń  momentowych.  Wszystkie  powyż ej  przedstawione  wielkoś ci  makroskopowe  są   uś rednieniami  odpowiednich  wielkoś ci  mikroskopowych.  Mianowicie  (4.20)  Q(X, t) =  < e (x,  ?)>  =  Zamad(x­x'  =  ZaPid(x­x a(t)),  (4.22)  U = Г , ( х° х р ­),й (х ­  х « ( 0 ),  (4.23)  Mi  = Zj(f  х v"),d(x­x"(t))  =  Q/mlijQj,  gdzie  /  jest  momentem  bezwładnoś ci  wydłuż onych  molekuł,  v wektorem  kierunkowym  molekuły,  / у  makroskopowym  tensorem  m o m e n t ó w  bezwładnoś ci,  a Qj  wektorem  uś red­ nionej  prę dkoś ci  ką towej  obrotu  zespołu  molekuł.  Tensor  / у okreś lony  jest  w  sposób  nastę pują cy:  (4.24)  lub  po  uwzglę dnieniu  (2.4)  i  (2.6):  / у ( х,  г)  =  ­Za(du­v?vj)d(x­x\t))  0  (4.25)  hj{x,  t)  =  d,j­S(x,t)  | л , ( х,  t)nj(x, t)­ M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  461  Jeż eli  bierzemy  pod  uwagę  tylko  ruch  sztywny  molekuł,  wówczas  składowa  p r o s t o p a d ł a  SI  do n  wyrazi  się w  sposób  nastę pują cy:  (4.26)  Q ± i  =  (nxń )i.  W  przypadku  ruchów  niesztywnych  relacja  ta nie*jest  ś cisła Jednak  gdy  zmiany przestrzen­ no­czasowe  n są niewielkie  m o ż na  uznać  ją za zadowalają cą.  Ponieważ  założ enie  n 2 = 1  w  czasie  ruchu  oznacza,  że składowa  O równoległa  do n jest  w przybliż eniu  r ó w n a  zeru,  zatem  zasada  zachowania  momentu  pę du  (4.19)  przyjmuje  p o s t a ć   (4.27)  [nx ń ],+  Щ  +  TJ, , J =  0,  gdzie  /  = Ql/m^­j +  ~Sj.  Po  wyeliminowaniu  za p o m o c ą  (4.18)  otrzymamy  (4.28)  J­j­  [n x ń ]i + eijkoJk+  rJtJ  =  0,  gdzie  (4.29)  TJ, =  Т л ­ешхкО ц .  Porównajmy  równanie  (4.27)  z  równaniem  «direktorów»  (4.10)  modelu  E R I C K S E N A ­ L E S L I E .  Jeż eli  przyją ć,  że mamy  do  czynienia  z opisem  przestrzennym,  zdefiniować  m o ż na  siłę  gi w sposób  nastę pują cy:  gi  =fi+f't­yni  oraz  założ yć,  że /  =  const,  wówczas  otrzymamy  równanie  (4.30)  fń i+gi+IIjij  =  0.  Po  założ eniu,  ż e J = I,  p o m n o ż e n iu  (4.30)  przez  emnk  i wprowadzeniu  nastę pują cych  okreś leń   (4.31)  eklJo,j  =  ekij(ttigJ:­­TIjint,i),  (4.32)  T y  =  eakninkj,  otrzymamy  równanie  (4.27).  M o ż na  jednak  łatwo  zauważ yć,  że  brak  jest  jednoznacznej  relacji  pomię dzy  git  TIji  oraz  o­y. Po zdefiniowaniu  bowiem  gt,  TIji w sposób  nastę pują cy:  8F  (4.33)  gi  =  ­g^­­yni  + PjMi,j,  dF  (4.34)  Щ  ­  ­ ^ j ­ h n , ,  gdzie  Rj są dowolnymi  stałymi, у wyznacza  się z warunku n2  =  1, a F jest  gę stoś cią  energii  swobodnej  Franka,  nie zmieniają  się zależ noś ci  pomię dzy  zasadą  zachowania  momentu  pę du  i  równaniem  «direktorów».  462  C z .   R Y M A R Z  Inny  model  hydrodynamiczny  kryształu  ciekłego  uzyskali  E R I N G E N  i  L E E  [16].  Jest on  przykładem  modelu  mikropolarnego.  R ó w n a n i a  tego  modelu  są  nastę pują ce:  (4.35)  + d i v ( e v )  =  0,  (4.36)  7 Л ( 4 , )  +  Jest  to  równanie  mikroinercji  stanowią ce  wyż sze  przybliż enie  momentowe  zasady  zacho­ wania  masy  (przybliż enie  drugiego  stopnia)  (4.37)  tju  + efi  =  QVT,  (4.38)  mji.j + ei^t^  + gli  =  с >Ь(,  (4.39)  Q'B  =  qh + #;,; + hj(pij  ­  si}kvk)  +  тцги ;.  Są  to  równania  odpowiadają ce  zasadom  zachowania  pę du,  momentu  pę du  i  energii.  Wystę pują ce  tutaj  wielkoś ci  to iki  — gę stość  m o m e n t ó w  bezwładnoś ci  (molekuł), v wektor  prę dkoś ci  ką towej,  rrij, tensor naprę ż eń  momentowych,  /,• gę stoś ci  m o m e n t ó w  sił, с ,­ gę stoś ci  m o m e n t ó w  pę du,  k t ó r e  wyraż ają  się  nastę pują co:  (4.40)  o, =  (immdik­ilk)vk.  W  modelu  tym wystę puje  opis  materialny.  R u c h  punktu  materialnego,  zgodnie  z  kon­ cepcją  mikrostruktury  p o d a n ą  w  (2.1),  (2.2)  przedstawia  się  nastę pują co:  (4.41)  4  =  xk(X\  i)  =  Qkci{X\  t)Ex.  Z  modelu  E R I N G E N A ­ L E E  istnieje  również  przejś cie  do  modelu  E R I C K S E N A ­ L E S L I E  (patrz  [17]).  Wystarczy  założ yć,  że wektor  jest  jednostkowy  oraz  równoległy  do  «direk­ tora»  n w konfiguracji  odniesienia  (chodzi tutaj  o opis  materialny).  Wtedy  (4.42)  щ  =  f,  =  (2,­.27A,  (4.43)  In^t  =  Qikl.  R ó w n a n i e  «direktorów»  staje  się równoważ ne  zasadzie  zachowania  momentu  pę du, gdy  zachodzą  relacje  podobne  do  relacji  mię dzy  modelem  L U B E N S K Y ' E G O i  E R I C K S E N A ­ L E S L I E .  Wystę puje  tu  również  wyż ej  wspomiana  niejednoznacznoś ć.  R ó w n a n i e  mikroinercji  przybiera  przy  tych  założ eniach  p o s t a ć  zasady  zachowania  m o m e n t ó w  bezwładnoś ci  (4.44)  I+IvUi  =  0.  W  ten  sposób  m o ż na  powiedzieć, że modele  L U B E N S K Y ' E G O i  E R I N G E N A ­ L E E  są  równoważ ne,  chociaż  pierwszy z nich  jest  przybliż ony.  Pełne  badanie  ich  równoważ noś ci  bę dzie  przed­ miotem  osobnych  rozważ ań.  5.  Z a k o ń c z e n ie  Przedstawiliś my  oś rodki  kinematyczne  oraz  modele  opisują ce  zachowanie  się kryszta­ łów  ciekłych.  Podaliś my  przy  tym  tylko  niezbę dne  i podstawowe  wiadomoś ci  z tego  zak­ resu.  Istnieją  bowiem  obszerne  opracowania  przeglą dowe  zawierają ce  pełniejsze  prezen­ /  M O D E L E  F E N O M E N O L O G I C Z N E  4 6 3  tacje  teorii  fenomenologicznych  oraz  szereg  głę bokich  rozważ ań  fizycznych.  Szczególnie  wartoś ciowa  jest  najnowsza,  obszerna  praca  przeglą dowa  z tego  zakresu  S T E P H E N A  i  S T R A ­ L E Y A  [13].  Uwagę  naszą  skoncentrowaliś my  raczej  na  krytycznej  ocenie  istnieją cych  ś rodków  modelowych.  Wystę pują ce  niejednoznacznoś ci  w  modelu  E R I C K S E N A ­ L E S L I E  przy  definicji  tensora  П1}  oraz  w  relacji  pomię dzy  modelami  E R I C K S E N A ­ L E S L I E ,  L U B E N S K Y ' E G O  i  E R I N G E N A ­ L E E  wymagają  odrę bnego  badania.  Kryształy  ciekłe  wykazują  niezwykle  interesują ce  efekty  powierzchniowe  dopasowania  struktury  uporzą dkowań  w  warstwie  przylegają cej  do  ś cianek  (do  geometrii  ś cianek).  Są  one bardzo  silne.  Zagadnieniu  temu  poś wię cono  również  zbyt  m a ł o  uwagi  (patrz  [18]).  Niezwykle  waż ne  praktycznie  są  rozważ ania  z  zakresu  efektów  optyczno­elektrycznych,  optyczno­akustycznych  itp. Zagadnienia  te  bę dą  przedmiotem  dalszych  b a d a ń  teoretycz­ nych  i eksperymentalnych.  Niezbę dne  do  tego  celu  modele  elektro­  i  magnetohydrodyna­ miczne  zostaną  przedyskutowane  w  oddzielnym  opracowaniu.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  C C .  W A N G ,  A general theory  of superfluids,  A R M A ,  6, 2 0  (1965).  2.  В. D .  C O L E M A N ,  Simple liquid crystals,  A R M A ,  6, 2 0  (1965).  3.  R. A .  T O U P I N ,  Theory of elasticity  with  couple stresses,  ARJVIA,  1 7  (1964).  4 .  R. D .  M I N D L I N ,  Microstructure  in  linear  elasticity, A R M A ,  1 6  (1964).  5.  A . C .  E R I N G E N ,  Theory  of  micromorphic  media, Int.  J . Eng. Sci., 2  (1964)  205.  6.  G . H .  B R O W N ,  W .  G .  S H O W ,  The mesomorphic state  of liquid crystals,  Chem.  Rev., 6, 5 7  (1957),  1049  ­ 1157.  7.  J . L .  E R I C K S E N ,  Anisotropic fluids,  A R M A ,  4  (1960),  231  ­ 2 3 7 .  8.  P. G . de  G E N N E S ,  Phenomenology of short­range­order effects in the isotropic phase  of nematic materials,  Phys.  Lett.,  8,  3 0 Ą  (1969),  4 5 4  ­  455.  9.  Т . C .  L U B E N S K Y ,  Molecular description  of  nematic  liquid crystals, Phys.  Rev., 2,  6  (1970)  2497  ­  2514.  10.  H .  Z O C H E R ,  Anisotropy effects  in liquid crystals, Trans.  Faraday  S o c ,  2 9  (1933).  11.  C . W . '  O S E E N ,  The theory  of  liquid crystals,  Trans.  Faraday  S o c ,  2 9  (1933),  883  ­  889.  12.  F . C .  F R A N K ,  On the theory  of liquid crystals,  Discussion  Faraday  S o c ,  2 5  (1958),  1 9 ­ 2 8 .  13.  M .  J .  S T E P H E N ,  J . P.  S T R A L E Y ,  Physics  of liquid crystals, Rev. M o d .  Phys.,  4, 4 6  (1974),  617  ­  704.  14.  J . L .  E R I C K S E N ,  Hydrostatic theory  of  liquid crystals, A R M A ,  9  (1962),  371  ­ 3 7 8 .  15.  F . M .  L E S L I E ,  Some constitutive  equations for  liquid crystals,  A R M A ,  4,  2 8  (1968),  265  ­  283.  16.  A . C .  E R I N G E N ,  J . D .  L E E ,  Wave propagation  in nematic  liquid crystals, J .  Chem.  Phys.,  12, 5 4  (1971),  5027  ­  5034.  17.  A . C .  E R I N G E N ,  J . D .  L E E ,  Theories  of  liquid crystals  and ordered fluids,  2,  (1973),  315  ­  330.  18.  J . L .  E R I C K S E N ,  Liquid crystals and Cosserat surfaces, Quart. J . Mech. A p p l .  Math.,  2 , 2 2  (1974),  213­219.  Р е з ю ме   Ф Е Н О М Е Н О Л О Г И Ч Е С К ИЕ  М О Д Е ЛИ  Ж И Д К ИХ  К Р И С Т А Л Л ОВ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е ны  о с н о в н ые  ф о р м а л ь н ые  с р е д с т ва  м а к р о с к о п и ч е с к о го  о п и с а н ия  п о в е­ д е н ия  ж и д к их  к р и с т а л л о в.  О б с у ж д е на  т а к же  с т р у к т у ра  ф е н о м е н о л о г и ч е с к их  г и д р о д и н а м и ч е с к их   м о д е л е й,  п р и ч ем  в ы я в л е ны  с л у ч аи  и х н е э к в и в а л е н т н о с ти  и  н е е д и н с т в е н н о с т и.  Э то  к а с а е т ся  г л а в­ н ым  о б р а з ом  з а в и с и м о с ти  м е ж ду  м о д е л ью  Э р и к с е н а ­ Л е с ли  и м о д е л я ми  Л ю б е н с к о го  и  Э р и н г е н а ­ Ли   в  о б л а с ти  п р и н ц и па  с о х р а н е н ия  м о м е н та  к о л и ч е с т ва  д в и ж е н и я.  464  C z .   R Y M A R Z  Р а б о та  и м е ет  о б з о р н ый  х а р а к т ер  и  я в л я е т ся  в в е д е н и ем  в  т е м а т и ку  « М о д е ли  ж и д к их  к р и с т а л­ л о в »,  к о т о р ая  б у д ет  п р е д м е т ом  д а л ь н е й ш их  и с с л е д о в а н и й.  Э л е к т р о г и д р о д и н а м и ч е с к ие  и  м а г н и т о­ г и д р о д и ц а м и ч е с к ие  м о д е л и,  п р е д с т а в л я ю щ ие  с о б ой  р а з в и т ие  г и д р о д и н а м и ч е с к их  м о д е л е й,  б у д ут   о б с у ж д е ны  в  о т д е л ь н ой  п у б л и к а ц и и.  S u m m a r y  P H E N O M E N O L O G I C A L  M O D E L S  O F  A  L I Q U I D  C R Y S T A L L I N E  M E D I U M  Fundamental  formal  means  have  been  presented  of  a  macroscopic  behaviour  of  liquid  crystals.  The  structure  of  phenomenological  hydrodynamic  models  has  also  been  discussed,  attention  being  attracted  to  their  non­equivalence  and  ambiguity.  This  refers  mainly  to  the  relation  between  the  Ericksen­Leslie's  model and those of Lubensky and Eringen­Lec within the conservation  principle of the angular momentum.  The  work is  both  a review  and a comparison and constitutes an introduction into  the  subject  « M o d e l s  of  liquid crystals*  to  which further study  will be devoted.  Electrohydrodynamic and  magnetohydrodynamic  models,  which are developed  from hydrodynamic models,  will be discussed  in a separate  publication.  WOJ SKOWA  AKADEMI A  T ECHNI CZ NA  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  21  listopada 1975  r.