Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14  (1976)  O  O P E R A T O R O W Y M  P O D E J Ś C IU  D O  F O R M U Ł O W A N I A  Z A S A D  W A R I A C Y J N Y C H  D L A  O Ś R O D K ÓW  P L A S T Y C Z N Y C H  JÓZEF  JOACHIM  T E L E G A  ( R A D O M )  1.  Wstęp  W  ostatnich  latach  ukazały  się prace,  w  których  konsekwentnie  zastosowano  operato­ rowe  podejś cie  do  zagadnień  wariacyjnych  mechaniki  i  fizyki  matematycznej  [1 ­ 4].  Sformułowano  również  dualne  zasady  ekstremalne,  co  jest  bardzo  istotne  w  zastosowa­ niach,  gdyż  pozwala  oszacować  rozwią zania.  W  niniejszej  pracy  przedstawimy  moż liwoś ci  zastosowania  metody  zaproponowanej  przez  SEWELLA  [3]  d o :  1)  przyrostowych  zagadnień  brzegowych  dla  o ś r o d ka  sprę ż ysto­ plastycznego  z  uwzglę dnieniem  geometrycznej  nieliniowoś ci,  2)  płaskiego  stanu  odkształ­ cenia  sztywno­idealnie  plastycznego  oś rodka  ś ciś liwego  o  niestowarzyszonym  prawie  płynię cia.  W  czę ś ci  drugiej  omówimy  istotę  tzw.  swobodnej  zasady  wariacyjnej,  zapropono­ wanej  przez  SEWELLA  [3].  Podstawowe  równania  sprę ż ysto­plastycznego  o ś r o d ka  ze  wzmocnieniem,  przy  uwzglę dnieniu  geometrycznej  nieliniowoś ci,  podane  zostały  w  czę ś ci  trzeciej.  Zasady  ekstremalne  dla tego  o ś r o d ka  podane  zostały  w  czę ś ci  czwartej.  W  czę ś ci  pią tej  podane  zostały  podstawowe  równania  płaskiego  stanu  odkształcenia  oś rodków  plastycznych  o  niestowarzyszonym  prawie  płynię cia,  w  czę ś ci  zaś  szóstej  sformułowano  zasadę  minimum dla tego  typu  oś rodków.  2.  Swobodna  zasada  wariacyjna  SEWELL  [3]  operuje  poję ciem  swobodnej  zasady  wariacyjnej,  k t ó r a jest  wygodnym for­ malizmem,  pozwalają cym  formułować  zasady  wariacyjne  dla  o p e r a t o r ó w  potencjalnych.  Podamy  obecnie te elementy  teorii  SEWELLA,  które  wykorzystamy w czę ś ci czwartej  i szóstej.  2.1.  Niech  E,  F  bę dą  przestrzeniami  prehilbertowskimi z  iloczynami  skalarnymi ozna­ czonymi  odpowiednio  przez  (,)  ,  <,>.  Niech  E',  F'  bę dą  podprzestrzeniami  przestrzeni  odpowiednio  E,  F.  N a  E'  działa  operator  liniowy  T:  E'  ­»  F.  T*  jest  operatorem  sprzę­ ż o n y m,  T*:  F'  ­*  E.  Operator  sprzę ż ony  T*  okreś la  się  ze  zwią zku  (por.  [5])  (2.1)  V  ,'ty  (x,T*u)  =  < и , И с >.  xeE' ueF' Z a k ł a d a m y  ponadto,  że  !T**  =  T.  558  J .  J .  T E L E G A  Weź my  równania  operatorowe  (2.2)  T*u =  у ,  Т х  =  v,  gdzie у  е Е ,  v е F są nie  okreś lonymi  na  razie  elementami.  R ó w n a n i a  (2.2)  m o ż na  zapisać  w  formalnie  macierzowej  postaci:  (2.3)  gdzie  0  T*'  1 ­ V  T  0  0  T*  T  o  :E'xF'  ­>  ExF.  Przestrzeń  Ex  Z7jest  produktem  kartezjań skim  przestrzeni  E, F. Symbolem  {,}  oznaczamy  iloczyn  skalarny  na ExF.  Jeś li  Л  =  г *.  ,  л2  =  *2 [щ   u2  Л1тЛ2  e Ex  F,  to  (2.4)  [Alf  Л2}  =  ( х 1 , л :2 ) +  < м 1 , 1 / 2 > .  Poję cia  te  m o ż na  uogólnić  na  przypadek  dowolnej,  skoń czonej  liczby  przestrzeni.  Istotnym  poję ciem  bę dzie  dla nas  róż niczka  Gateaux.  Niech f[x]  bę dzie  funkcjonałem  na  E', f:  E'  ­* R,  R — zbiór  liczb  rzeczywistych.  Róż niczkę  Gateaux  okreś la  się  nastę­ pują co :  (2.5)  df[x,h]  =  daf[x+d7]\a=0,  heE.  W  przypadku,  gdy  bf[x,  h] jest — dla  ustalonego  x  e E'  i  heE—  operatorem  liniowym  i  ograniczonym, to  '  df  (2.6)  df[x,  h] =  д х   ,h  heE,  gdzie  df/dx  nosi  nazwę  gradientu  funkcjonału  / .  Ł a t w o  wykazać,  że  (2.7)  ГО  Г *1  x]  \x  Г 0  \[u\  = dQI8l gdzie Q[x,  и] jest  funkcjonałem  biliniowym  Q[x,  u]  = j[(x,  T*u) + <[u,  Tx}]=  (x,  T*u) =  (u,  Tx>.  Przedstawienie  (2.7) jest  moż liwe,  ponieważ  operator  liniowy  ГО  Г *т   [T  0  jest  operatorem  symetrycznym, [4].  O  FORMUŁOWANIU  ZASAD  WARIACYJNYCH  559  W  (2.2)  elementy  r,  v  były  dowolne.  D o  dalszych  rozważ ań  przyjmiemy,  że  elementy  te  są  okreś lone  przez  gradient  funkcjonału  H[x,  u], tzn.  (2.8)  R ó w n a n i a  (2.2)  mają  teraz  postać   i:l­4 :i  Przykładem  równań  (2.9)  są  równania  Hamiltona  mechaniki  analitycznej  dp  8H  dq  _  8H  dt  ~~  dq  '  dt  ~  dp  '  Z  (2.7)  i  (2.8)  otrzymujemy  swobodną  zasadę  wariacyjną   (2.10)  8(Q­H)/d  Zależ ność  (2.10) jest  r ó w n o w a ż na  nastę pują cym  wzorom  (2.11)  d(Q­H)  =  0  i  i  (2.12)  | r * « ­ ­ ^ ,  dxj+^Tx^­^­,  du)  =  0.  Przyjmijmy  oznaczenie  (2.13)  L[x,u]  =  Q­H.  Swobodną  zasadę  wariacyjną  m o ż na  wówczas  zapisać  nastę pują co  (2.14)  dL/d  у  =   0 <^  ÓL =  0 о  ( Ц ,  ó x j  +  ( ­ ^ ,   <5и)  =  0,  gdzie  в jest  elementem  zerowym przestrzeni  ExF.  Swobodna  zasada  wariacyjna  pozostaje  słuszna  w  przypadku,  gdy  funkcjonał  nie jest  dany  zależ noś cią  (2.13).  Rozpatrzmy  sens swobodnej  zasady  wariacyjnej  (w pracy  [3] wyjaś nienia  takiego nie ma).  Załóż my,  że  dane  zagadnienie  opisywane  jest  równaniem  operatorowym  P[x,  u\  =  в .  Jeś li  dla  tego  zagadnienia  m o ż na  stosować  swobodną  zasadę  wariacyjną,  to  fakt  ten  ozna­ cza,  iż  operator  P  jest  potencjalny,  tzn.  istnieje  funkcjonał  L  taki,  że  (por.  [5])  P[x,  u] =  dL/d  560  J .  J .  T E L E G A  Zapiszmy  swobodną  zasadę  wariacyjną  w  postaci  równań  operatorowych  (2.15a)  f  =  0 E ,  (2.15b)  lr   =   6 f '  gdzie  0E,  6F  są  elementami  zerowymi  odpowiednio  w  przestrzeniach,  E,  F.  2.2.  Ciekawy  jest  przypadek,  gdy  funkcjonał  L[x,  w]  jest  funkcjonałem  siodłowym,  tzn.  wklę słym  ze  wzglę du  na  x,  a  wypukłym  ze  wzglę du  na  u.  Ś cisła  definicja  brzmi  na­ stę pują co:  funkcjonał  L jest funkcjonałem  siodłowym,  jeż li  (2.16)  L[xl,ul}­L[x2,u2]­^Ą ^,xl­x2^­(^~  ^Ui­u^lt  0,  gdzie przez  [xx,  и ,]  eEx  F,  [xlf  u2]  e  Ex  Poznaczono  pary róż nych  elementów.  «Siodłowoś ć»  jest  słaba  lub  silna  w  zależ noś ci  od  tego,  czy  w  (2.16)  mamy  słabą  czy  silną  nierównoś ć.  Jeś li  funkcjonał  L  jest  funkcjonałem  siodłowym  to  słuszne  są  nastę pują ce  twierdzenia:  T w i e r d z e n i e  2.1.  Dowolne  rozwią zanie  układu  równań  (2.15)  minimalizuje  funkcjonał  (2.17)  J = L ~ ( § > X  w  klasie  rozwią zań  r ó w n a n i a  (2.15a).  T w i e r d z e n i e  2.2.  Dowolne  rozwią zanie  układu  równań  (2.15)  maksymalizuje  funkcjonał  (2.18)  K=L­{^,u)  w  klasie  rozwią zań  r ó w n a n i a  (2.15b).  T w i e r d z e n i e  2.3.  m i n /  ­  т г \К  =  L[x*,  u*],  gdzie  [x*,  u*] jest  rozwią zaniem  równań  (2.15).  T w i e r d z e n i e  2.4.  a)  Rozwią zanie  ze  wzglę du  na  x  jest  jednoznaczne,  jeś li  funkcjonał  L jest  wzglę dem  x  ś ciś le  wklę sły  (w  (2.16) mamy  silną  nierównoś ć,  gdy  xx  ф  x2).  b)  Rozwią zanie  ze  wzglę du  na  u  jest jednoznaczne, jeś li  funkcjonał  L  jest  ś ciś le  wypukły  wzglę dem  u,  czyli  w  (2.16)  dla  ut  ф  u2  nierówność  jest  silna.  Przedstawione  powyż ej  rozważ ania  łatwo  uogólnić  na  przypadek  dowolnej,  skoń czo­ nej  liczby  przestrzeni  z  iloczynami  skalarnymi.  Praktyczne  zastosowania  podane  zostaną   w  punktach  czwartym  i  szóstym.  U w a g a .  Twierdzenia  2.1­2.4  pozostają  słuszne  i  wtedy,  gdy  równanie  (2.15a)  za­ stą pimy  trzema  warunkami  (2.19a)  (2.19b)  x  >  вЕ,  (2.19С)  ^  '(| H   =   0 .  O  F O R M U Ł O W A N I U  Z A S A D  W A R I A C Y J N Y C H  561  zachowując  równanie  (2.15b);  m o ż na  również  postą pić  tak:  zostawiamy  r ó w n a n i e  (2.15a),  a  (2.15b)  zastę pujemy  przez:  (2.20a)  ~  >  0,­,  (2.20b)  u>QF,  (2.20C)  ( Ж ' " )"  ° ­ Siodłowość  funkcjonału  pozwala  sformułować  dwa  ekstremalne  twierdzenia  dualne.  Odbywa  się  to  bez  badania  drugiej  wariacji  funkcjonału.  3.  Z w i ą z ki  podstawowe  w  opisie  Eulera  3.1.  Niech  £A,  A =  1 , 2 , 3 ,  oznacza  ustalony,  krzywoliniowy  układ  odniesienia.  Współrzę dne  Lagrange'a  wzglę dem  Ł A  oznaczmy  przez  a%, współrzę dne  Eulera  przez  x';  i,a=  1 , 2 , 3 .  W  aktualnej  konfiguracji  tensory:  prę dkoś ci  odkształceń  е ц  i  p r ę d­ koś ci  o b r o t ó w  Wy  okreś lone  są  nastę pują co  (por.  [6]):  (3­1)  e0­ = j  (Pu+Vj,,)  =  * (dji  +  dij),  (3­2)  mu  =  ­  (Vij­vjti),  gdzie  dn  = Vj_ ( ,  vt —  współrzę dne  kowariantne  wektora  prę dkoś ci  przemieszczeń,  vt =  =  Vi(xk);  przecinek  oznacza  róż niczkowanie  kowariantne  wzglę dem  współrzę dnych  x\  Niech  a'J  bę dzie  tensorem  naprę ż enia  Eulera,  Q  gę stoś cią  o ś r o d ka  w  konfiguracji  odkształconej,  a fJ  jednostkową  siłą  masową.  R ó w n a n i a  równowagi  mają  postać   (3.3)  a\\  +  efJ  =  0.  Zapiszmy  równania  te  w  formie  przyrostowej  (3.4)  o$ +  aytfk­o{№k  + Qf J  = 0,  przy  czym  kropka  oznacza  pochodną  materialną.  Wprowadzając  nominalny  tensor  prę dkoś ci  naprę ż enia  (3.5)  siJ  =  aiJ + oiJv\  ­  aikv\  k  i  uwzglę dniając  t ę  zależ ność  w  (3.4)  mamy  (3.6)  ś ',Ji +  QfJ  =  0.  Prę dkość  sił  działają cych  na element  dS powierzchni  ciała  odkształconego  wynosi  wówczas  (3.7)  dPJ =  FJdS  =  ni'si3dS.  3.2.  Niech  T'J bę dzie  tensorem  naprę ż enia  Kirchhoffa  odniesionym  do  konfiguracji  aktualnej.  8  Mechanika  Teoretyczna  *  562  J .  J .  T E L E G A  (3.8)  Pochodna  Jaumanna  tego  tensora  dana jest  wzorem  DriJ  Daij  Dt  Dt  przy  czym  pochodna  Jaumanna  tensora  naprę ż enia  Eulera ma p o s t a ć  [7]  DaiJ  (3.9)  Dt  Przyjmujemy  równanie  konstytutywne  podane  przez  H I L L A  [8, 9]  dla  sprę ż ysto­pla­ stycznych  oś rodków  ze  wzmocnieniem,  przy  uwzglę dnieniu  geometrycznej  nieliniowoś ci  (3.10)  DT''  =  * y ­ « ( e u ­ e b ) ,  gdzie  K'Jkl  jest  tensorem  stałych  sprę ż ystych,  a  czę ś cią  plastyczną  tensora  prę dkoś ci  odkształceń,  przy  czym  (3.11)  j  m{Jmkl  0  DT  DTIJ  Dt'  g d y  m v ^ b T > 0 '  E>riJ  n  ,  gdy  m u ­ ^ ­ ^ 0 .  W  ostatniej  zależ noś ci  h jest  skalarną  funkcją  bę dą cą  miarą  wzmocnienia,  zaś nty  ozna­ czają  współrzę dne  normalnej  zewnę trznej  do aktualnej  powierzchni plastycznoś ci  w sześ cio­ wymiarowej  przestrzeni  naprę ż eń.  Korzystając  z  (3.11)  m o ż na  przekształcić  (3.10)  do  postaci  (3.12)  Drij  Dt  =  K i m e u ­ mki  h +  mpąK p*rsmr  0  gdy  mi}­fjf  > °­ Drli  n  gdy  ntij—^—  «S  0.  Dt  Powyż szy  zwią zek  fizyczny  m o ż na  przedstawić  w postaci [12]  M I  5 Ł ( D ) (3.13)  gdzie  (3.14)  Ł ( d )  3d,  1  1  DT'J  1  4.  Zasada  wariacyjna  w  opisie  Eulera  D l a  o ś r o d k a,  którego  równanie  konstytutywne  podane  zostało  w punkcie  poprzednim,  sformułujemy  zasadę  wariacyjną,  bę dą cą  analogonem  znanej  z  teorii  sprę ż ystoś ci  zasady  H U ­ W A S H I Z U  [6, 10].  Zastosujemy  aparat  przedstawiony  w czę ś ci  drugiej.  Niech  V  bę dzie  obszarem  otwartym  w  trójwymiarowej  przestrzeni  euklidesowej.  Brzeg  tego  obszaru  składa  się z  dwóch  czę ś ci:  S„, SF.  D o rozważ ań  wprowadzamy  dwie  powierzchnie  niecią głoś ci:  Źt,S2  (rys.  1). Symbolem  Voznaczamy  domknię cie  obszaru  V,  O  FORMUŁOWANIU  ZASAD  WARIACYJNYCH  563  czyli V to  poprostu  obszar  domknię ty  reprezentują cy  o ś r o d ek  w konfiguracji  aktualnej.  Wprowadzamy  przestrzeń  prehilbertowską  E, złoż oną  z elementów  ś, d . . . ,  (tensorów  niesymetrycznych).  Elementy te  mają  postać   (4.1)  s =  siJ(x)  xeV  śiJ(x)  x e Sv  siJ(x)  x e SF  śiJ(x)  x e  27i  siJ(x)  X 6  27,  V­  VuSvuSFuZiuS2  Rys. 1  Z a k ł a d a m y  ponadto,  że  funkcje  s(x),  d(x), ..., х e V  są całkowalne.  Iloczyn  skalarny  na  Ł definiujemy  nastę pują co  (4.2)  (ś,  d)  =  js'JdijdV­r  {  'siJd,jdSe+  j  ^dl}dSF+  f  i % r f 2 7 1 +  / s ^ d ^ d ^ .  Przestrzeń  F budujemy  z elementów  v, w . . . ,  postaci  Vj(x)  x e  V  Vj(x)  x e  5„  (4.3)  v =  vj(x)  xeSF.  Vj(x)  x e  27j  _Vj(x)Jx  e272  Z a k ł a d a m y ,  że funkcje  \(x),  w(x),  x e V są  całkowalne.  Wprowadzamy  na F  iloczyn  skalarny  (4.4)    =  jvjW]dV+  jvjWJdSv+  f  VjW JdSF+  f  vJw )dEl  + f  v}w JdZ2.  Podprzestrzeń  E'  składa  się z tych  funkcji  ś(.v), x e V,  które  mają  nastę pują ce  własnoś ci  (oprócz  c a ł k o w a l n o ś c i ):  1) są jednowartoś ciowe  i cią głe w  F \ 2 7 2  =  K u S „ u S f u 2 7 1 ,  2)  są niecią głe  na 272,  tak że  skok  na272  wynosi  (4.5)  ś,J(x)  =  lim i ^ O O ­ l i m  i y ( z ) ,  y­+x* z—>x~~  564  J .  J .  T E L E G A  gdzie  у ,  z  e  V\Z2,  przy  czym  у  dą ży  do x  od  strony  27J,  zaś z —  od  strony  27j; 27j,  272  oznaczają  strony  powierzchni  272,  3)  funkcje  te  posiadają  w podobszarach  obszaru  V  cią głe  pochodne  s\\.  Podprzestrzeń  F'  tworzą  te  elementy  przestrzeni  F,  które  są:  a) jednowartoś ciowe  i  cią głe  w  b)  niecią głe  na  powierzchni  27j,  przy  czym  skok  na  powierzchni  Et  wynosi  (4.6) Vj(x)  =  limvj(y)­  lim w / z ) ,  j ' e r ' X A ,  z e K ^ ;  c)  posiadają  cią głe,  w podobszarach  obszaru  V, pochodne  vJt  k .  W p r o w a d ź my  operator  T:  E'  ­> F  oraz  operator  sprzę ż ony  T*:  F'  ­*  E  (4.7)  T*\  Vj.i  К   ­ntVj  s.   0  ­ntiVj  0  272  К   27i  gdzie  n(n,)  jest  wektorem  normalnym  do  Sv  u  SV,  zaś  m(m ; ) —  wektorem  normalnym  do  27,  u  272,  skierowanym  od  strony  „ —"  do  „ +  " .  Równanie  (2.1)  ma  teraz  postać   (4.8)  ( ś ,  J * v )  =  .  P o  rozpisaniu  otrzymujemy  (4.9)  J  śiJVj,tdV­j  i lJńtVjdSc­  j  Pm^jdŻ t  =  ­  $ю /,У У +  +  j\>jfiiśiJdSF+  j  VjniiS iJdi;2.  Rozpatrzmy  operator  0  T*  0  Г  0  0  О ОО   :E'xF'xE'  ­»  ExFxE,  T*\  =  д Н /д к ,  Ts =  д Н /8\,  о  =  д н /д й ,  dany  zwią zkami  (4.10а)  (4.10b)  (4.10с)  gdzie  (4.11)  H[s,  v, d)]  =  f[siJdij­E(d)­  +pfJVj]dV­  fn,siJvjdSv  +  +  j  FJtVjdSF­  jmi'ł'hidZ1  + f  F JVjdZ2.  W  ostatniej  zależ noś ci  E(d)  jest  funkcją  okreś loną  wzorem  (3.14);  fJ,  vj,  FJ,  hj,  FJ  są   danymi  wektorami.  O  FORMUŁOWANIU  ZASAD  WARIACYJNYCH  565  R ó w n a n i a  (4.10), po uwzglę dnieniu  (4.7),  (4.11)  przyjmują  postać   (4.12)  (4.13)  (4.14)  (4.15)  (4.16)  (4.17)  (4.18)  vj,t  =  dD  v  rtjF  =  FJ'  mts lj  = FJ  0  s'J­ dE  3d, t  w  V,  na  Sv,  na  27j,  w  V,  na  SF,  na  272,  Sens  zwią zków  (4.12)—(4.18)  jest  oczywisty  i nie wymaga komentarzy.  Zgodnie  z  zależ noś cią  (2.12)  budujemy  funkcjonał,  [11]  (4.19)  L [ ś , v, d] = Q­H  =  ( ś , r * v ) ­ # [ ś , v, d] =  =  J  [s,j(vJii­dij)  + E(d)­pf iVj]dV+  J&niivj­vJdS,­ ­JFJ*VjdSF+  js'Jimihj­v^dZ!­  JF JVjdi:2.  Ze  swobodnej  zasady  wariacyjnej  SL = 0, czyli  ze  zwią zku  [por.  (2.13)]  (4.18);  mówiąc  inaczej,  r ó w n a n i a  te  są  r ó w n a n i a m i  (4.20)  otrzymujemy  r ó w n a n i a  (4.12)  Eulera  dla  funkcjonału  (4.19).  W  rozpatrywanej  zasadzie  wariacyjnej  mamy  trzy  niezależ ne  pola:  ś, d,  v. Problem  m o ż na  zredukować  do  dwu  niezależ nych  pól.  Zgrupujmy  w tym celu  w  (4.19)  wyrazy  zawierają ce  tensor  d  i  zastosujmy  transformację  Legendre'a  (4.21)  W(s)  =  sijdij—E(u).  Funkcjonał  (4.19)  przechodzi  wówczas  w  (4.22)  Ldś ,  v] =  f  [ i * 4 i ­  W(s)­ftfJVj]dV+  JPnffl­vj)dSv­ ­  JFj'vjdSF+  f  iMmAhj­viidS^­f  F JvjdZ2.  Funkcjonał  typu  (4.22) rozpatrywał  również  N E A L E  [12], ale bez uwzglę dnienia  niecią głoś ci.  Powróć my  do  funkcjonału  (4.19).  Załóż my,  że funkcja  E(d)  jest  wypukła.  Wówczas  funkcjonał  L  jest  funkcjonałem  siodłowym,  wklę słym  ze  wzglę du  na  ś  i  wypukłym  ze  wzglę du  na  v i  d,  przy  czym  zmienne  v i  d  traktujemy  łą cznie.  Ś ciś le  rzecz  traktują c,  funkcjonał  L  jest  liniowy  wzglę dem  ś.  Funkcjonał  liniowy  m o ż na  t r a k t o w a ć  jako  słabo  wklę sły.  Warunek na siodłowość  funkcjonału  przyjmuje  postać  [por.  (2.16)]  (4.23)  L t ś ,,  v , , d J ­ L [ ś 2 ,  v 2 ,d 2 ]­ IdL  \  ds  ,s1­s2  ­ 566  J .  J .  T E L E G A  Z  twierdzeń  2.1,  2.2  otrzymujemy  p a r ę  z a d a ń  dualnych,  co  ujmiemy  w  postaci  wnio­ s k ó w :  W n i o s e k  4.1.  Dowolne  rozwią zanie  r ó w n a n i a  (4.10),  czyli  r ó w n a ń  (4.12)—(4.18),  minimalizuje  funkcjonał  (4.24)  J  =  L—  ś j  =  /  [E(u)­Qfvj]dV­  JFJ­VjdSF­  jPvjdZ2  w  klasie  rozwią zań  r ó w n a n i a  (4.10a)  [równanie  to  jest  równoważ ne  r ó w n a n i o m  (4.12)—  (4.14)].  W n i o s e k  4.2.  Dowolne  rozwią zanie  równania  (4.10)  maksymalizuje  funkcjonał  ( 4 , 5 ,  * = i ­ < Ł , v > ­ < § , a ) .  - / w  klasie  rozwią zań  r ó w n a ń  (4.10b),  (4.10c)  [równania  (4.10b),  (4.10c)  są  równoważ ne  r ó w n a n i o m  (4.15)—(4.18)].  dF  Wiemy,  że  ­r­r­  =  ś i J ,  stosując  ponadto  transformację  Legendre'a,  przekształcamy  ódij  (4.25)  do  postaci  (4.26)  К  =  ­  /  W(ś )dV+  jnis iJvfdS„+  j  mis !JhJdi:i.  Jeś li  w  opisie  materialnym  zastosować  niesymetryczny  tensor  naprę ż enia  Lagrange'a,  to  otrzyma  się formalnie  takie  same  zasady,  jak  w  opisie  Eulera.  U w a g a .  Potencjał  F(i)  jest  wypukły,  jeś li  Jt7(d1)­J&(d2)­[gradiT(d2)](d1­d2)  > 0.  5.  Z w i ą z ki  podstawowe  płaskiego  stanu  odkształcenia  oś rodków  ś ciś liwych  W  pracy  [13]  zostały  wyprowadzone  r ó w n a n i a  opisują ce  płaski  stan  odkształcenia  oś rodków  ś ciś liwych.  R ó w n a n i a  te  otrzymano  z  teorii  trójwymiarowej  zaproponowanej  w  [14].  Ogólny  zwią zek  fizyczny  dla izotropowego, idealnie plastycznego  o ś r o d ka  ma — w przy­ padku  trójwymiarowym  —  p o s t a ć   3G  So  (5.1)  о  =  w(D), przy  warunku  ­ ^ j j D =  0,  ­ ^ g ­ Ф 0,  gdzie  o  =  (tfy)  jest  tensorem  naprę ż enia,  a D  =  (Z) y )  tensorem  prę dkoś ci  odkształcenia.  Wystę pują cy  w  (5.1)  warunek  j e d n o r o d n o ś ci  implikuje  istnienie  warunku  plastycznoś ci  (5.2)  F(a)  =  0.  Wystę puje  powią zanie  mię dzy  warunkiem  plastycznoś ci  a  prawem  płynię cia.  E(u)­d,j  dE  8di 'J  i  dV+  j  niSiJvfdSv+  Jmiś iJhjdi:i  O  F O R M U Ł O W A N I U  Z A S A D  W A R I A C Y J N Y C H  567  W  przypadku  płaskiego  stanu  odkształcenia  prawo  płynię cia  ma  postać   (5.3)  «,в ,у  =  1,2,  3 tr 1  ^ 2 E 2  gdzie:  fi  =  ­jg + hy  '  ^  0 ;  a r g u m e n t e m  funkcji  g, h,  cp jest  aax,  E  =  (Ea/),  E33),  1  trD<5(  Naprę ż enie  a33  wyraża  się wzorem  ^зз  =  у  (<7«« +  jhcp2­gcp­h),  '«­,  o  Warunek  plastycznoś ci  (5.2) ma  postać  nastę pują cą:  (5.4)  F(cv) =  2 ^ ^ ­ ( 0 2 ­ ( g 2  + |^+|^v)(2­ у  92)  = 0.  Prawo  płynię cia  (5.3) nie jest  stowarzyszone  z  warunkiem  plastycznoś ci  (5.4).  Ł a t w o  wykazać,  że  potencjał  plastyczny  dany  jest  zależ noś cią   (5.5)  G(aalt)  = 2oaf>a,fi  ­  ( o ­ M ) 2  + 2 j  Igcp +  j  hep2  | ,  /­ r.,,  f • <,,  o.  przy  czym  G j jest  stałą  całkowania.  Przykłady  podano  w  [13].  6.  Zasada  wariacyjna  dla  płaskiego  płynię cia  oś rodków  ś ciś liwych  Sformułujemy  zasadę  minimum, k t ó r a  charakteryzuje  mnoż nik  plastyczny fi z poprzed­ niego  punktu.  Oznaczmy  przez  Q  rozpatrywany  obszar  płaski  o  brzegu  dQ.  Niech  brzeg  ten  składa  się z dwu  czę ś ci:  Si  i S2;  przez  llt  l2  oznaczmy  linie  niecią głoś ci,  odpowiednio  pola  prę dkoś ci  przemieszczeń  i  pola  naprę ż enia.  Przestrzeń  E  składa  się z  elementów  o  o  postaci  (6.1)  o«p(x)  _ ° V ( * ) J  x  e  l2  x e Q  X  G S ,  x e  S2.  x 6  lx  Iloczyn  skalarny  ma  p o s t a ć  p o d o b n ą  do  (4.2).  Bę dziemy  nadal  oznaczać  go  przez  ( ,  ).  Przestrzeń  F składa  się z elementów  V  o  postaci  (6.2)  V.(x)  x e Q  Vx(x)  x e  Sy  V  =  V.(x)  x  eS2  V.(x)  X  6 / t  Va(x)_  x e  l2  568  J .  J .  T E L E G A  Iloczyn  skalarny  w tej  przestrzeni  oznaczać  bę dziemy  symbolem  <,  >,  ma on  postać   p o d o b n ą  do  (4.4). Ł a t w o jest teraz  p o d a ć  definicje  podprzestrzeni E', F', więc  nie  bę dziemy  ich  p o w t a r z a ć .  W p r o w a d ź my  jeszcze  trzecią  przestrzeń  G,  składają cą  się z  funkcji  skalarnych  ц ,  okreś lonych  na  Q.  Podprzestrzeń  G'  składa  się z funkcji  klasy  C ' .  W  przestrzeni G wpro­ wadzamy  nastę pują cy  iloczyn  skalarny:  (6.3)  {ц ,  X]  =  f  (iXdQ,  fi,  A e G.  Ponieważ  obecnie  tensor  naprę ż enia  jest  symetryczny,  więc  operatory  T, T*  bę dą  miały  nieco  inną  postać  niż w  (4.7);  mianowicie  mamy  (6.4)  1  '1V*. +JEA  \ д х р  д хх  J  Q  2  '1V*. +JEA  \ д х р  д хх  J  Q  st 0  s2 ­>ЩХУР >  U 0  h  7o  =  dxx  0  П <х <Г <х />  0  _  т*0а р J Q  S,  s2' h  и   gdzie n(nx) jest  wektorem jednostkowym  normalnym  do dQ, zaś  m(mx)—  wektorem  jed­ nostkowym  normalnym  do  Л и / ,.  Weź my  dwa  funkcjonały  \­p(G{a)  +  F(a))+XxVx (6.5)  H1[a,V,/x]  = f  (6.6)  dQ­  jnIa,pV*dSl  +  + f  PxVxdS2­  f  mx<7xPhfidll  +  JPaVxdl2,  H2[o,iu]  =  j  jp[G(o)­F(a)]dQ  i  rozpatrzmy  rуwnanie  operatorowe  (6.7)  Prawa  strona  r у w n a n i a  (6.7) nie  jest  gradientem  jednego  funkcjonału.  Wynika  to  stą d,  że  mamy  do czynienia  z niestowarzyszonym  prawem  płynię cia.  Po  rozpisaniu  rуwnanie  (6.7) przyjmuje  p o s t a ć :  0  0  'a  a'  "  8H2/da  '  T  0  0  V  =  д Н ,/д  V  +  0  0  0  0  ­д Н2\д ц _  д Н у  д Н2  д а  д а   1 (dv.   д у Л _  2  \  д х р  +  д хх)   11  dG(a)  d  °  >  8,  8,'  (6.11)  / и > 0,  ( 6 Л 2)  Г ч ­^г0'  Z  przeprowadzonych  przez  SEWELLA  [3]  rozważ ań  wynika,  że  na  dowolnym  rozwią­ zaniu  układu  (6.10)—(6.12)  funkcjonał  (6Л З)  { ^ _ ^ } _ Г д а ,  osią ga  minimum,  w  klasie  rozwią zań  dopuszczalnych  okreś lonych  przez  (6.10),  (6.11).  Funkcjonał  (6.13)  charakteryzuje  więc  tylko  mnoż nik  plastyczny^  (por.  [15]).  Powstaje  problem  budowania  ogólniejszych  i  bardziej  praktycznych  zasad  wariacyjnych  dla  oś rod­ ków  o  niestowarzyszonym  prawie  płynię cia.  Zagadnienie  to  zostanie  rozpatrzone  w  przy­ szłoś ci,  przy  zastosowaniu  aparatu  rozwinię tego  w  pracach  [4,  5].  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  A .  M .  A R T H U R S ,  Complementary  variational principles,  Clarendon  Press,  Oxford  1970.  2.  J . T .  O D E N ,  J . N .  R E D D Y ,  On  dual­complementary  variational principles in  mathematical physics.  Int.  J .  Eng.  Sci.,  1 2  (1974),  1  ­ 2 9 .  3.  M . J .  S E W E L L ,  The  governing  equations  and  extremum  principles of  elasticity  and  plasticity  generated  from a single functional,  J . Struct.  Mech.,  Part  1:  2  (1973),  1 ­  32, Part  2 :  2  (1973),  135 ­ 158.  4.  E .  T O N T I ,  On  the  variational formulation  for  linear initial  value problems, A n n .  Mat.  Р и га  A p p l . ,  95  (1972),  331  ­  359.  5.  M .  M . В А Й Ц 6 Е Р Г,  В а р и а ц и о н н ы е  м е т о д ы  и с с л е д о в а н и я  н е л и н е й н ы х  о п е р а т о р о в ,  М о с к ва  1 9 5 6 .  6.  Y .  С .  F U N G ,  Podstawy  mechaniki  ciała  stałego,  P W N ,  Warszawa  1969.  7.  W.  P R A G E R ,  An  elementary discussion  of  stress­rate,  Quart.  Appl.  Math.,  1 8  (1963),  403 ­ 4 0 8 .  8.  R.  H I L L ,  A  general theory  of  uniqueness  and  stability in  elastic­plactic  solids, J .  Mech.  Phys.  Solids,  6  (1958),  2 3 6 ­ 2 4 9 .  9.  R .  H I L L ,  Some basic principles  in  the  mechanics  of  solids  without  a  natural time,  J .  Mech.  Phys.  Solids,  7  (1959),  2 0 9  ­  225.  10.  K .  W A S H I Z U ,  Vaiational methods  in  elasticity  and plasticity, Pergamon  Press,  Oxford  1968.  11.  J . J .  T E L E G A ,  Variational principles for  rate boundary­value problems  in finite plasticity, Euromech  54,  « F i n i t e  deformations  in  plasticity)),  Warszawa  1974.  12.  К .  W.  N E A L E , A general variational theorem for  the rate problem in elasto­plasticity,  Int.  J . Solids Struct.,  8  (1972),  865  ­  876.  5 7 0  J .  J .  T E L E G A  13.  J . J .  T E L E G A ,  On plane plastic motion of compressible solids,  Z A M M ,  (w druku).  14.  A .  S A W C Z U K ,  P.  S T U T Z ,  On formulation of stress­strain  relations for soils at failure,  Z A M P  19  (1968),  7 7 0  ­ 7 7 8 .  15.  Q . S.  N G U Y E N ,  H . D .  B U I , Sur les materiaux elastoplastiques a  ecrouissage positif  ou  negatif,  J .  Mec.,  13  (1974),  321  ­ 342.  Р е з ю ме   О Б  О П Е Р А Т О Р Н ОМ  П О Д Х О ДЕ  К  Ф О Р М У Л И Р О В А Н ИЮ  В А Р И А Ц И О Н Н ЫХ   П Р И Н Ц И П ОВ  Д ЛЯ  П Л А С Т И Ч Е С К ИХ  С Р ЕД   В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  п р и м е н е н ие  с в о б о д н о го  в а р и а ц и о н н о го  п р и н ц и па  к :  1)  и н к р е м е н т а л ь н ой   к р а е в ой  з а д а че  д ля у п р у г о ­ п л а с т и ч е с к ой  с р е д ы,  с  у ч е т ом  г е о м е т р и ч е с к ой  н е л и н е й н о с т и,  2 )  п л о с­ к о му  д е ф о р м и р о в а н н о му  с о с т о я н ию  и д е а л ь н о ­ п л а с т и ч е с к ой  с р е ды  с у ч е т ом  о б ъ е м н ых  д е ф о р м а ц и й.  S u m m a r y  A N  O P E R A T O R  A P P R O A C H  T O T H E  F O R M U L A T I O N  O F V A R I A T I O N A L  P R I N C I P L E S F O R  P L A S T I C  S O L I D S  In  the paper the application of a  «free  variational  principle» is considered with regard to: 1) rate boun­ dary­value  problem of  elastic­plastic  solids;  geometrical  nonlinearity  is  taken  into  account;  2) plane  flow  of  perfectly­plastic,  compressible  solids.  P O L I T E C H N I K A  Ś W I Ę T O K R Z Y S KA  O Ś R O D EK  W  R A D O M I U  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia 5  stycznia 1976 r.