Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf ч   M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 4, 14 (1976) T W I E R D Z E N I E W Z A J E M N E I F U N K C J A G R E E N A D L A U K Ł A D Ó W D Y S K R E T N Y C H Z L O S O W Y M W Y M U S Z E N I E M H E N R Y K W A L U K I E W I C Z (GDAŃ SK) 1. W s t ę p W  pracy  [4b]  sformułowaliś my  i  udowodniliś my  twierdzenie  wzajemne  (typu  twier­ dzenia  Bettiego  w  teorii  sprę ż ystoś ci)  w  zakresie  dwóch  pierwszych  m o m e n t ó w  dla  za­ gadnienia  stacjonarnego:  (1.1)  E{F(t)}T^E{Y(t)Y2)  =  E{F(t)}T^E{Y{t)Yl\  00 00 (1.2)  /  {Kki\s)Y^{Kk\\r­s)Y 2hls=  J  {Kkl\s)}™{ni\T­s)y»ds.  — CO — CO Wskaź niki  (1) i  (2) oznaczają  dwa układy  przyczyn  i  skutków.  Twierdzenie  (1.2) dotyczy  funkcji  autokorelacyjnych  losowych  obcią ż eń  {F(t)}  i lo­ sowych  przemieszczeń  {Y(t)}  dla układów  o  n  stopniach  swobody.  Istotnym  założ eniem  twierdzenia  (1.2)  było, że  obcią ż enia  działają ce  na układ  są nieskorelowane,  tzn.  KkP(r)  =  0  dla  к  ф I.  Nastę pnie  wykazaliś my,  że  w  przypadku  obcią ż eń  skorelowanych  m o ż na  zawsze  za p o m o c ą  transformacji  podobień stwa  przejść  do takich  współrzę dnych  sił i prze­ mieszczeń,  że  dla  przetransformowanych  funkcji  autokorelacyjnych  zachodzi  twierdze­ nie  (1.2).  W  przypadku  obcią ż eń  dowolnie  skorelowanych  istniała  jednak  zasadnicza  t r u d n o ś ć   teoretyczna:  nie m o ż na  było  wprowadzić  poję cia  funkcji  Greena  dla funkcji  autokorela­ cyjnych  reakcji  układu.  Obecnie  wszystkie  trudnoś ci  zostały  pokonane.  Sformułujemy  twierdzenie  wzajemne  dla  m o m e n t ó w  drugiego  rzę du  i  obcią ż eń  dowolnie  skorelowanych.  Twierdzenie  (1.2)  wyniknie  wówczas  jako  przypadek  szczególny.  Wprowadzimy  poję cie  funkcji  Greena  w  tym  ogólnym  przypadku.  Wykaż emy  wreszcie,  że  dla  obcią ż eń  o  zdeterminowanej  czę stoś ci  nasze twierdzenie przechodzi  ś ciś le w dobrze  znaną  postać  twierdzenia  Mexwella­ Betti  dla harmonicznych  d r g a ń  wymuszonych.  D l a  wykonania  powyż szego  planu  musimy  ednak  nieco  rozszerzyć  aparat  matematyczny  stosowany  w [4b].  2. Iloczyn wewnę trzny w przestrzeni macierzy zespolonych Wiadomo,  że  zbiór  przekształceń  liniowych  pewnej  przestrzeni  wektorowej  m o ż e  być  sam uważ any  za przestrzeń  wektorową  [1,  s.  197].  Ponieważ  macierze  gę stoś ci  widmo­ 10* 592 H . W A L U K I E W I C Z wych  są,  ogólnie  biorą c,  zespolone,  wprowadzimy  iloczyn  wewnę trzny  w  przestrzeni  n2­wymiarowej  zespolonej  za  pomocą  wzoru  (2.1)  ([A],  [B]> 2  tr([A]*[B]),  gdzie  [A]  i  [B] są  kwadratowymi  macierzami  o  wymiarze  n  x  n,  o  elementach  zespolonych.  Nawiasy  ł a m a n e  oznaczają  iloczyn  wewnę trzny,  tr(...)  oznacza  ś lad  macierzy,  gwiazdka  zaś  macierz  zespoloną  sprzę ż oną,  transponowaną,  tzn.  [A]*  =  [A]T.  M u s i m y  przede  wszystkim  sprawdzić,  czy  (2.1)  spełnia  znane  [l,s.  139]  aksjomaty  iloczynu  wewnę trznego.  Należy  zaznaczyć,  że  w  literaturze spotyka  się  pewne róż nice  przy  f o r m u ł o w a n i u  tych  aksjomatów .  Stąd  wynika  konieczność  podawania  obok  definicji  aksjomatów  1)    =    =  « < * ,  z>+~p(y,  z>:  3)  <[x, x}  ^  0  dla  k a ż d e go  x;  <[x, x>  =  0  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  x  =  0.  x,  y,  z  są  tutaj  dowolnymi  elementami  zespolonej  przestrzeni  wektorowej;  a  i  fi  są   dowolnymi  liczbami  zespolonymi.  Sprawdzimy  aksjomat  1):  ([A],  [B]}  =  lr([A]*[B])  =  t r ( [ B ] r [ I ] )  =  tT([B]*[A])  =  <[B],  [A]};  c.b.d.o.  D l a  aksjomatu  2)  otrzymamy:  <[a[A) + p[B],  [C]>  =  tT((x[A]*+P[B]*)[C})  =  =  tr(a[A]*[C]  + f J[B]*[C])  =  a t r ( M ] * [ C ] )  +  +  ,5"tr([/3]*[C])  =  a < [ / ł ] ,  [C]>  + /3<[5],  [C]>;  c.b.d.o.  W  przypadku  aksjomatu  3)  otrzymamy:  Ц А ],  [A]}  =  tr([A]*[A])  =  | а 1 1 | 2  +  | а 1 2 | 2 +  ...  +  \anl\ 2+  ...  +\am\ 2  >  0;  c.b.d.o.  W  powyż szych  p r z e k s z t a ł c e n i a c h  wykorzystano  znane  z a l e ż n o ś c i;  n i e k t ó r e  z  nich  bę dą   potrzebne  w  dalszym  cią gu:  tv{[A]  =  tr([A]T);  tv([A])  =  F ( [ A ] ) ;  tr([A]+  [B])  =  t r ( [ / ł ] ) +  tr([S});  tr(a[/l])  =  a t r ( M J ) .  K r e s k i  pionowe  o z n a c z a j ą  m o d u ł y  odpowiednich  e l e m e n t ó w  macierzowych.  •  У '  3. Twierdzenie wzajemne dla funkcji korelacyjnych P o d s t a w o w ą  zależ ność  pomię dzy  macierzami  gę stoś ci  widmowych  na  wejś ciu  i  wyjś ciu  u k ł a d u  przyjmiemy  w  postaci  [2,  s.  158]  (3.1)  [G<">(w)]  =  [#(«>)]  [G)]  ­ (­ft> 2 [M] + K 0 [ C ] + [ * ] ) " » ,  natomiast  [ M ] ,  [ С ],  [ K ]   są,  odpowiednio,  macierzami  bezwładnoś ci,  tłumienia  i  sztyw­ noś ci,  a  c o  jest  czę stoś cią  ką tową.  Funkcje  korelacyjne  i  gę stoś ci  widmowe  są, jak  wiadomo,  zwią zane  parą  transformat  Fouriera:  00 [ A ­ < F ) ( T ) ] ­  j  [GCF\co)]exp(icoT)dco,  — 00 (3.3)  [G(oj)]  =  ^  j  [ ^ ( T ) ] e x p ( ­ t o T ) d T .  — 00 Twierdzenie.  Jeż eli  macierz  funkcji  przenoszenia  [H(co)] jest  symetryczna  ze  spo­ lona,  to  00  oo  (3.4)  /  <[/V( F )W]( 1 ).  [ K   i wykorzystamy  kolejno  definicję  (2.1),  założ enie,  włas­ ność  ś ladu  macierzy  transponowanej  oraz  własność  dla  dowolnych  macierzy  rtxn:  tr([A] [B][C]  [D])  ­tr([B]  [C]  [D][A]),  (3.5)  < [ G ^ ] < ł ) ,  [G(y>]<2>>  =  t r ( [ G < F ) F ) T [ # J L G < F Y 2 4 # ] * )  =  =  t r ( [ G < F ' ] ( 1 > T [ ^ r [ G ( F » ] < 2 > [ / / ] )  ­  t r ( [ t f ] * L G ( F ) J ( 2 ) r [ # ] [ G ] < 1 ) )  =  =  tr([G ( F >]< 2 ) r [^[G ( F ) ]< 1 ) [//]*)  =  <[G]<2),  [G(r>]<ł>>.  Zauważ my,  że  zależ ność  (3.5)  ma  charakter  twierdzenia  wzajemnego  dla macierzy  gę stoś ci  widmowych.  Zapiszemy  (3.5)  w  postaci  rozwinię tej  (3.6)  G<1)G<1Y< 2) +  G< F 2» 1 )G<,'2>( 2>+  ...  +Gff<1>Gff<2'+  ...  +  GŁ™Gg<2>  =  1 ( 1 ) ^ ( 2 ) .  Symbol  po  prawej  stronie  równoś ci  w  (3.6)  oznacza  przestawienie  indeksów  (1)  i  (2).  Wykonujemy  teraz  na  (3.6)  odwrotną  zespoloną  transformację  Fouriera  i  korzystamy  z  twierdzenia  o  splocie.  Mamy  zatem  00 (3.7) / ( ^ < 1 > ( s ) i Y f i " 2 ) ( T ­ 5 ) + ^ < 1 > M C ( 2 > ( T - s ) + . . . — 00 + C l l ) ( . v ) ^ , ( 2 , ( r ­ . v ) +  ...  + K < , Fn^ \ s ) K ^ 2\ r ­s ) ) d s   =  |(1)  z±  (2).  Stąd  otrzymujemy  j u ż  tezę  twierdzenia  (3.4),  c.b.d.o.  Jeż eli  założ ymy,  że  K l kP  =  0  dla  к  ф  l  (к , I =   1, 2 ,  . . . , « ) ,  to  w  równaniu  (3.7)  pozo­ staną  tylko  wyrazy  o  dwóch  indeksach  identycznych  (autokorelacje)  i  (3.7)  przechodzi  dokładnie  w  twierdzenie  (1.2).  594 H . W A L U K I E W I C Z 4. Funkcja Greena Wprowadzając  funkcję  Greena  uczynimy  twierdzenie  (3.4)  podstawą  rozwią zywania  p r o b l e m ó w  dynamicznych  w  zakresie  funkcji  korelacyjnych.  Niech  obcią ż enie  zewnę trzne  działają ce  w  г '­tym  stopniu  swobody  posiada  funkcję   korelacyjną  w  postaci  delty  Diraca  <5(T): K(,P(T) =  InCdix), ( С  =  const, С  >  0);  zakładamy  przy  tym,  że pozostałe  funkcje  korelacyjne  obcią ż eń  są  równe  zeru.  Oznaczając  ten  stan  obcią ż eń  wskaź nikiem  (1),  otrzymamy  z  (3.4)  po  zmianie  argumentu  oo  \  (4.1)  К $™(т ) = J  W \ s ) r \  [K«\x­s)r^ds  (i  = 1 , 2 ,  . . . , « ) .  — co Macierz  [K{1)(r  — .s)]( 1 )  nazwiemy  funkcją  Greena  dla  funkcji  autokorelacyjnych  reakcji  u k ł a d u .  M o ż e my  więc  sformułować  waż ne  stwierdzenie.  Znajomość  rozwią zania  dla  białego  szumu  pozwala  wyznaczyć  ze  wzoru  (4.1)  funkcję  korelacyjną  reakcji  dla  dowolnego  obcią­ ż enia  (o  dowolnym  rozkładzie  p r a w d o p o d o b i e ń s t w a ).  Wniosek  ten,  według  posiadanych  przez  nas  informacji,  jest  n o w y 1 ' .  Wprowadzona  funkcja  Greena  jest  na  ogół  niesymetryczna,  spełnia  natomiast  warunek  (4.2)  [K*\t­s)]  =  [K«\S­T)]T.  5. Przypadki s z c z e g ó l n e Przyjmiemy  obcią ż enie  zewnę trzne  w  postaci  (5.1)  [F{t)}  =  {/}cos(co0/ +  f ) ,  gdzie  {/}  jest  deterministycznym  (rzeczywistym)  wektorem  amplitud,  a>0  ustaloną  czę s­ toś cią,  a  W  jest  zmienną  losową  o  rozkładzie  r ó w n o m i e r n y m  w  przedziale  [ — я :,  +я ].  T a k i proces wektorowy jest stacjonarny  i ergodyczny  wzglę dem  wartoś ci  przecię tnej  i  funk­ cji  korelacyjnych  (por.  [3,  s.  120]).  N a  podstawie  realizacji  procesu  wyznaczymy  funkcje  korelacyjne  (tp jest  wartoś cią   zmiennej  losowej  4*):  T  1  Г  1  (5.2)  Kk^(r)  =  lim  —  / t c o s ( w 0 r  +  y ) / i C o s ( w 0 r  +  w 0 T  +  Y>)flfr  =  cos(a>0 т ).  Г ­+00  Zl  Z  Macierz  funkcji  korelacyjnych  przyjmie  zatem  postać   r / l > / 1 / 2 » • ••  fi . fr ,   (5.3)  \K?\x)\ = y C o s ( t » 0 T ) / 2 / 1 ,  f \   > _   :  fn f\   >   •   •   • >   fn   = y { / } { / } r c o s ( w 0 T ) . u Uwaga dotyczy u k ł a d ó w zdeterminowanych z losowymi wymuszeniami. W innych zagadnieniach dynamiki statystycznej (np. w teorii o ś r o d k ów statystycznie niejednorodnych) znane są koncepcje stocha­ stycznych funkcji Greena. http://fi.fr T W I E R D Z E N I E W Z A J E M N E I F U N K C J A G R E E N A 595 Znajdziemy  teraz  macierz  korelacyjną  reakcji,  na  podstawie  relacji  analogicznej  do  (3.3)  00 00 (5.4)  [K)]  = \  {f}{f}T(8(io+coo)+6(.co­co0)),  gdzie  d(...)  oznacza  deltę  Diraca.  Podstawiając  (5.5) do  (5.4) otrzymamy  (5.6)  [K«\z))  m ^ ­ ( [ Я ( ­ с о0 ) ] { / } { / } Г [ Я ( ­ ш 0 ) ] * е х р ( ­ /( о 0 т ) +  Zauważ my,  że  + [ Я ( а >0 ) ] { / } { Л Г [ Я ( с о0 ) ] * е х р ( / о ,0  т ) ).  [ Я ( ­ Й ) О) ]  =  [ Щ  = [ Я ( с о0 ) ] * ,  oraz  [//(­wo)]* = [ / / ( ш 0 ) ] г = [ Я ( в )0 ) ] . Wynika  to ze wzoru  (3.2),  przy  wykorzystaniu  założ enia  o  symetrii  [#(co)].  Rozpatrzmy przede  wszystkim  przypadek  statyczny,  tzn.  co0 =  0.  Wуwczas  [#(a>0)] =  =  [#((т )]  =  l [ j q ­ '  {/} { / m r ]  =  ­ i {J}{J}T, przy  czym  wykorzystano  symetrię  macierzy  sztywnoś ci  [К ]. Widoczne  jest,  że  macierz  korelacyjna  nie zależy  od т. Podstawiamy  powyż szą  macierz  do zwią zku  (3.4):  00 00 (5.7)  f  [K^(r­S)]^}ds = I J <{/}<»)(/}»•<«,  {y}<»{y}nv>ds  =  — 00  N  / l 2 ( 1 ) , / l ( I ) / 2 ( 1 ) ,  ­ Л 1 > / „ < 1 ) L / n ( 1 ) / i ( 1 )  /• 2(1) v< 2'v<2> ^ 2 ( 2 ) ^ ( 2 , ^  ^ ( 2 )  J 4 2 M 2 ) , J I ( 2 ) ,  :  Л 2 ( 2 ) ­ С Л2 ( 1 М ( 2 ) + Л ] > Л 1 М 2 у 2 2 > +  . . .  + / n ( 1 ) / 1 ( 1 ) j < 2 M 2 > +  . . .  +/„2(ł>/„2(2))  /  ds = ^{/Г У[2)+Л1)У ?}+  ­  +/n< 1>j<2>)22^(0)  =  1(1) *±  (2).  596 H . W A L U K I E W I C Z W  ostatnim  przekształceniu  powyż szego  wzoru  wykorzystano  zależ ność  znaną  z  kombi­ natoryki  «  _  V  2_  (al+a2+  ...  +a,Y  a k,akl  a'  кх\кг\...к ,\   1  2  к .  gdzie к у +k2+  ...  ks  =  2  oraz  kt  =  0,  1,  2 ,  (/  =  1,  2,  . . . ,  л ).  00 Całkę  /  fis  zastą piono  symbolem  2 л :А ( 0 ) .  Obie  strony  (5.7)  scałkujemy,  uwzglę d­ — 00 nią ją c,  że  00 j  d(0)dx  = 1. — 00 M n o ż ąc  z  kolei  obustronnie  (5.7)  przez  stałą  2/л  i  wycią gając  pierwiastek,  otrzymamy  (5.8)  { / } ( 1 ) r l v } ( 2 )  =  { / } U ) r l v } ( 1 > ­ Otrzymaliś my  więc  znaną  ze  statyki  postać  twierdzenia  Maxwella­Belti.  Powrócimy  teraz  do  wzoru  (5.6),  który  przepiszemy  w  postaci  1  (5.9)  [ K or  + 0l­0k)  ( £ , / = 1 , 2 , . . . , / / ) .  Wystę powanie  przesunię cia  fazowego  w (5.15) jest  zgodne  ze wzorem  (5.11).  Otrzymaliś my  zatem  interesują cy  wniosek:  aby  składowe  reakcji  były  mię dzy  sobą  w  fazie  musi być   spełniony  warunek  (5.12).  Przejdziemy  do  wyprowadzenia  twierdzenia  wzajemnego  dla  tego  przypadku;  [N]  jest  teraz  rzeczywiste, tzn.  [N] = [N]= ["ы и /н /т к )]*.  Oznaczając  (5.16)  [H(co0)]{f]  = Ш.  gdzie  {y}  jest  zespolonym  wektorem  amplitud  ( [ / / ( « 0 ) ]  — zespolone,  {/} — rzeczywiste),  otrzymamy  (5.17)  [K^(r)]=l2{y}{y}*cos(co0T).  Przekształcenia  analogiczne  do  wykonywanych  we  wzorze  (5.7)  doprowadzą  nas  do  zależ noś ci  (5.18)  та )гш(2){я(1,тш(2) = {/}(2)г{я<1){/}<2)г{яа).  Załóż my  teraz,  że macierz  tłumienia  [C]­* [0]. Wówczas  ze  wzoru  (5.16)  wynika, że  Cv}  =  {y}>  gdzie  {y}  jest  rzeczywistym  wektorem  amplitud.  Ponieważ  teraz  {у }  =  {y},  zależ ność   (5.18)  przechodzi  w  (5.19) ({/}°>rM(2))2 = ({/}(2,rWa))2­ Wycią gając  obustronnie  pierwiastek  otrzymujemy  twierdzenie  wzajemne  dla amplitud  w  zagadnieniu  drgań  harmonicznych.  Trzeba  jednak  zauważ yć,  że w przypadku  [C] = [0]  traci  sens  metoda  widmowa,  na  której  opiera  się wyprowadzenie  twierdzenia  (3.4).  U k ł a d  traci  bowiem  własność  asymptotycznej  stabilnoś ci  [3].  Z  rozważ ań  zawartych  w p.  5  m o ż na  wycią gnąć  wniosek  metodologiczny.  Podejś cie  probabilistyczne  do zagadnienia  relacji wzajemnej  w zagadnieniu  stacjonarnym  dało  prosty  wynik  —  wzór  (3.4).  P r ó b a  formułowania  podobnych  zależ noś ci  przy  podejś ciu  determi­ nistycznym  wydaje  się  beznadziejna.  Wskazuje  na  to  relacja  (5.18)  (uzyskana  ponadto  przy  silnym  ograniczeniu  (5.12)).  6. Uwagi koń cowe Przedstawione  rezultaty  mają,  naszym  zdaniem,  nie  tylko  wartość  metodologiczną.  M a m y  tu  do  czynienia z pewnym  nowym  elementem:  relacją  wzajemną  na  losowym  (makroskopowym)  poziomie  rzeczywistoś ci.  Twierdzenia  (3.4) i (1.1)  mogą  być  łatwo  sprawdzone  eksperymentalnie.  5 9 8 H . W A L U K I E W I C Z Podzię kowanie  Panu  prof,  dr hab. inż.  EUGENIUSZOWI  BIELEWICZOWI,  mojemu  promotorowi,  składam  serdeczne  podzię kowanie  za  cenne  uwagi  i  sugestie.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  F .  B Y R O N ,  R.  F U L L E R ,  Matematyka  w fizyce  klasycznej i  kwantowej,  tom  1,  P W N , Warszawa, 1973,  ( t ł u m .  z  ang.).  2.  У .  K .  L I N , Probabilistic theory of  structural dynamics, McGraw­Hill,  1967.  3.  K .  S O B C Z Y K ,  Metody  dynamiki statystycznej,  P W N , Warszawa 1973.  4.  H .  W A L U K I E W I C Z ,  a)  An  algebraic  solution  of  wind effects on structures problem and  reciprocal  theorem  for  random wind load, Proc.  of  2nd  U . S.  Conference  on  Wind  Engineering, Colorado State University  1975;  b) Reciprocal theorem for  discrete systems with random excitations,  Jour,  of Techn. Physics, 3  (1976).  Р е з ю ме   Т Е О Р Е МА  О  В З А И М Н О С ТИ  И  Ф У Н К Ц ИЯ  Г Р И НА  Д ЛЯ  Д И С К Р Е Т Н ЫХ   С И С Т ЕМ  С О  С Л У Ч А Й Н Ы МИ  В О З Д Е Й С Т В И Я МИ   В  р а б о те  с ф о р м у л и р о в а ны  и  д о к а з а ны  т е о р е мы  о  в з а и м н о с ти  (т и па  т е о р е мы  Б е т т и)  д ля  с л у­ ч а й н о й,  с т а ц и о н а р н ой  з а д а чи  в  п р е д е л ах  д в ух  п е р в ых  м о м е н т о в.  Н а  о с н о в а н ии  э т их  с о о т н о ш е­ н и й,  в в е д е но  п о н я т ие  ф у н к ц ии  Г р и на  д ля  а в т о к о р р е л я ц и о н н ых  ф у н к ц ий  в ы х о д н о го  п р о ц е с са   ( п ри  с л у ч а й н ых  п р о ц е с с ах  на  в х о д е ).  В  р а б о те  о б о б щ а ю т ся  р е з у л ь т а т ы,  д о к а з а н н ые  в  [46].  S u m m a r y  R E C I P R O C A L  T H E O R E M  A N D  G R E E N ' S  F U N C T I O N  F O R D I S C R E T E  S Y S T E M S  W I T H  R A N D O M  E X C I T A T I O N S  The  paper  is  dealing  with  the  derivation  and  proofs  of  reciprocal Betti  type  theorems  for  random  problems of stationary  type,  within the scope of the first­ and second­order  moments.  O n the  basis of these  relations,  the  notion  of  Green  function  for  autocorrelation  with  respect  to  the  system  response,  for  the  random excitation  problem have  been  introduced.  In  the  paper  the  author  discusses  a  generalization  for  the  results  of  the  work  [4b].  Z A K Ł A D  M E C H A N I K I  B U D O W L I  P O L I T E C H N I K I  G D A Ń S K I EJ  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji dnia  13  lutego 1976  r.