Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS76_t14z1_4\mts76_t14z4.pdf M E C H A N I K A  T E O R E T Y C Z N A  I  S T O S O W A N A  4,  14 (1976)  Z M O D Y F I K O W A N A  M E T O D A  S I Ł N O W A C K I E G O  W D Y N A M I C E  P Ł Y T  Z U W Z G L Ę D N I E N I EM  O D K S Z T A Ł C E Ń  P O S T A C I O W Y C H  I  B E Z W Ł A D N O Ś CI  O B R O T O W E J  WACŁAW  M I E R Z E J E W S K I  ( W A R S Z A W A )  1.  Wstęp  W  pracy  [1]  opisano  metodę  rozwią zywania  problemów  dynamiki  płyt  wykorzystu­ ją cą  znane  czę stoś ci  i postacie  drgań  własnych,  płyt  podpartych,  swobodnie  na dwu przeciw­ ległych  brzegach.  Rozwią zanie  zagadnień  drgań  swobodnych  i  wymuszonych  uzyskuje się   w  niej  przez  rozpatrzenie  drgań  wymuszonych  płyt  zastę pczych  o  bardziej  elementarnych  warunkach  brzegowych,  na  czę ś ci  powierzchni  których  przyłoż one  jest  obcią ż enie  uzupeł­ niają ce  służ ą ce  do  realizacji  dowolnych  warunków  brzegowych.  Przyję cie  tych  obcią ż eń   uzupełniają cych  opisanych  odpowiednio  gładkimi  funkcjami  pozwala  na  efektywne  obli­ czanie  sił wewnę trznych  w rozpatrywanych  płytach.  Celem  obecnej  pracy jest  zastosowanie  omawianej  metody  do problemów  dynamiki  płyt  z  uwzglę dnieniem  sił tną cych  i  bezwład­ noś ci  obrotowej.  Dotychczas  uzyskane  wyniki  dotyczą ce  problemów  płyt  z  uwzglę dnieniem  sił  tną cych  i  bezwładnoś ci  obrotowej  są nieliczne, a  rozwią zywanie  zagadnień  dotyczą cych  dowolnych  warunków  brzegowych  napotyka  duże  trudnoś ci  obliczeniowe.  Zasadnicze  trudnoś ci  wystę pują  również  i  przy  zastosowaniu  do  takich  płyt  metody  elementów  skoń czonych  ze  wzglę du  na  złe  uwarunkowanie  macierzy  sztywnoś ci  [4].  2.  Postacie  drgań  własnych  płyty  podpartej  swobodnie  na dwu przeciwległych  brzegach  Stosując  oznaczenia  przyję te  w  [2] moż na  zapisać  równania  równowagi  płyty  drgają cej  swobodnie  nastę pują co:  (2.1)  А [ ( 1 ­ , / ) У >.  З иЛ  pil3  ,  ) V 2 ^  +  ( l + v ) ­ ^ ­ д х  j  12  dw \  gh3  ~о У 1  =  ~~12  ­k2Gh[y>y+  ­~)  =  ­­~^­oj 2y)y,  k2Gh(y2w  + 0)  =  ­Qhco2w,  gdzie  Ф  =  +  ­jj^­>  z a ś  fx,  y>y są funkcjami  obrotu.  W  pracy  [3]  uzyskano,  rozprzę ż enie  powyż szego  układu  równań  oraz  wykazano,  że  w  przypadku  płyty  podpartej  swobodnie  na  dwu przeciwległych  brzegach  istnieje  ś cisłe,  586  W .  M I E R Z E J E W S K I  zamknię te  rozwią zanie  postaci  drgań  własnych  (przestę pne  równanie  czę stoś ci  moż na  rozwią zać  metodami  przybliż onymi):  1171  Wmn =  Xmn(x)sm  j­y,  (2.2)  y>xmn  =  Xmn(x)ń n­g­у ,  fymn =  Х т п (X) C O S - 7 -  y.  3.  Drgania  płyty  wspornikowej  Zastosowanie  proponowanej  metody  pokazane  zostanie  na  przykładzie  obliczenia  czę stoś ci  i postaci  drgań  własnych  płyty  wspornikowej.  Schemat  realizacji  warunków  brze­ gowych  w przekrojach  у = с , у  =  b — c  płyty  zastę pczej  pokazano  na rys. 1.  Rys.  1  Amplitudy  obcią ż eń  uzupełniają cych  q\x,y)  i  q,n{x,y)  zakłada  się w  nastę pują cej  postaci:  3  (3.1)  qJ(x,y)  =  £(qJi(x,y)+mJxi(.x,y)+m J yi(x,y)),  gdzie  qi(x,y)  oznacza  obcią ż enie  normalne  do powierzchni  płyty,  mJxi(x,y),  myi(x,y)  —  —  obcią ż enia  momentami.  Należy  stwierdzić,  że do realizacji  warunków  brzegowych  m o ż na  przyją ć:  3  q\x,  y)  =  Y.qi(x,y),  ;=t  tzn.  mit(x,  y)  =  0, mji(x,  v) =  0.  Taka  postać  obcią ż enia,  odznaczają ca  się prostotą,  nie jest  jednak—jak  to zostanie  pokazane  dalej — korzystna  ze  wzglę du  na  zbież ność  szeregów  opisują cych  odkształcenia.  Z M O D Y F I K O W A N A  M E T O D A  SIŁ  587  Przyję to  nastę pują cą  b u d o w ę  składowych  obliczeń:  qi(x,y)  =  gi{y)fi(x),  (3.2)  mUx,y)~glWlJ(x),  mJyi{x,y)  =  Gi(y)f{"(x).  Funkcje  g{(x)  są  dobierane  tak, aby  spełniały  konieczne  warunki  szybkiej  zbież noś ci  omówione  w pracy  [1]. W przypadku  funkcji  Gi(y) należy  spełnić  nastę pują ce  warunki:  d2J+1G{(y)  dy2'*1  (3.3)  1  = 0  dla  j  =  0,  1,2 ...  / — 1 ,  j,=0  а д :,..­o,  * * w  0  dla  j  =  1,2 ... k.  dyj  Obcią ż enia  (3.2)  przedstawia  się w postaci  szeregów:  9i(x,y)  =  ^  ^a\?c%„Xmn(x)siny,  m  n  (3.4)  miiix,  у )  = £  £  a"  Л J f Ł ( * ) e in  ™y,  V mJyi(x,y)  = 2J  2J  bncXnX'J^cos­j­y,  m  n  gdzie  a)f—oznacza  współczynniki  sinusowych  szeregów  opisują cych  g{(y),  b'/—  współ­ czynniki  consinusowych  szeregów  opisują cych  funkcje  C7/(j).  Ze  wzglę du  na  szczególną  b u d o w ę  funkcji  obcią ż enia  (3.2) m o ż na  wykazać  istnienie  zwią zków:  У ,  csnXs„(x)  =  У \  c'/rX,r(x),  .V  s  (3.5)  £  C » J ' ­ W  = Z  с"Ц (х ),  S S 5j  csnXsn(x)  =  £j  csr  Xsr(?Ć )  •   s  s  /ITC  M n o ż ąc  pierwszy  ze zwią zków  (3.5) przez  hXk„sin 2  ~г­У >  drugi  przez  ­^Xknń n 2—^­У >  łt  *  ostatni  przez  ­ ~ r ­ A ^ c o s 2 ­ ^ — y,  sumując  je  stronami,  a  nastę pnie  całkując  obie  strony  12  b  powstałej  równoś ci  po  obszarze  płyty  zastę pczej  otrzymuje  się zależ noś ci:  (3.6)  c g =  ukn  £  с »Ьк„,  588  W .  M I E R Z E J E W S K I  gdzie:  1  Я   л 3  1  h Wl„ + ­rj  (fik„  + ip 2 k„)  dx dy  'Jkn -t f rm  h 3  hXsrXkn+j^XlrXUsm 2^y+  .^X'JXilcos'^y  dxdy.  Zwią zki  (3.6) pozwalają  wyrazić  współczynniki  ćk„ przy  n ф r przez  ckr.  Obcią ż enie (3.2)  wywołuje  odkształcenie  płyty,  k t ó r e  zapisać  m o ż na  nastę pują co:  (3.7)  m  n  V>ii(x,y)  =  2J  h\źny>m„(x,  y),  m  n  Vłi(x,y)  = £  2jh%ny>mn(x,y).  Podstawiając  (3.4) i  (3.7) do  równań  drgań  wymuszonych,  wykorzystując  warunek  ortogonalnoś ci,  otrzymać  m o ż na  zwią zki:  (3.8)  gdzie  hiJ  =  "m u  „U  t  ijk  '  5 2_  o  /  i  Ckn!mn  >  tiin  = — j  j  [alfiWtnWnn+VxknWxmni+b^yjy^ipy^dxdy.  Podstawiając  do r ó w n a ń  opisują cych  warunki  brzegu  swobodnego  dla у = с  funkcje  odkształceń  opisane  zależ noś ciami  (3.7),  (3.8) i  ortogonalizując  wyraż enia  stoją ce  po  lewej  stronie  otrzymanych  równań  wzglę dem  Xjr(x)  otrzymuje  się po uwzglę dnieniu (3.6)  r ó w n a n i a :  3  1,111  Z  jć Lj  1=1  /  s  3  / , / / /  m  п ф г   (3.9)  у у  у  А у »»r   t u s r i  ,  v y _ ! i _   Z  Z  Z  C s r [ Z  k 2 ­ k m r   1т'Г™+  AJ  Z  k2­k2mn  z (=1  /  3  / . / / /  m  п ф т   «'n  V 1  LS ..  tUlrj  _  fi  01п111п 'т пгт п \  ~  U>  mn 'Y  i  1=1  J  s  Z M O D Y F I K O W A N A  M E T O D A SIL  589  gdzie:  Ч т п  =  ' /1111 \ ­ ™  j   X'm'nXjrdx  + vj   (XU'XjrdxU  o  o  1  o  o  s i n ­ у ­ с ,  C O S ­ j — С ,  о   C O S ­ r ­ C .  uo  о   Warunkiem,  który  pozwoli  uproś cić  układ  r ó w n a ń  (3.9)  doprowadzając  do  równoś ci  cu  =  c'si"  oraz  usunie  konieczność  spełnienia  w a r u n k ó w  brzegowych  dla у  =  b — c  jest  w  przypadku  postaci  symetrycznych  d o b ó r  obcią ż eń  qJ(x,y),  mi(x,y)  symetrycznych  wzglę dem  у  =  — , co  sprowadza  się do  równoś ci:  gliy)  =  g\"(b­y),  oraz  antysymetrycznych  obcią ż eń  mJyi(x,y):  G{(y)  =  ­ G , " ' ( A ­ r ) .  W  przypadku  postaci  antysymetrycznych  należy  spełnić:  gliy)  ­  ­gl"(b­y),  GfCv)  =  G ? " ( A ­ v ­ ) .  Ograniczając  liczbę  wyrazów  szeregów  /  — j  =  s  =  / я  <  L ,  otrzymuje  się  układ  3 L  równań.  R ó w n a n i e  czę stoś ci  wynika  z warunku  istnienia  nietrywialnego  rozwią zania.  Znaczne  uproszczenie  obliczeń  m o ż na  osią gnąć  przy  takiej  konstrukcji  funkcji  g{(y)  i  GJi(y),  k t ó r a  doprowadziłaby  do  równoś ci  współczynników  a'* =  b'n J.  Przyję cie  obcią­ ż enia  w postaci:  q{(.x,y) =  h'Y  У а »с ипг Ут п(х ,у ),  (3.10)  m ii(x,  y)  =  j ^ ­  а ^с ^х т п{х ,  у ),  li3  \ H  m n upraszcza  zwią zki  (3.8)  do postaci:  (3.11)  hi}  1  a'JciJ  2  2 \  n  "W  •  e(m 2­a)mn)  10  Mechanika  Teoretyczna  590  W.  M I E R Z E J E W S K I  Ponieważ  w tym przypadku  współczynniki  /?„„ nie wyraż ają  się przez  wszystkie  współ­ czynniki  ckn  к  =  1,2,3  jak w przypadku  zwią zków  (3.8),  należy  są dzić,  że  oprócz  uproszczenia  obliczeń,  m o ż na  tą  drogą  zwię kszyć  zbież ność  szeregów  opisują cych  od­ kształcenia  płyty.  4.  Uwagi  koń cowe  Stosowanie  proponowanej  metody  wymaga  znajomoś ci  czę stoś ci  i  postaci  d r g a ń   własnych  płyt  zastę pczych  lub ich uprzedniego  obliczenia.  Natomiast  jej zaletą  jest mo­ ż liwość  efektywnego  zwię kszenia  zbież noś ci  szeregów  opisują cych  poszukiwane  odkształ­ cenia  oraz  siły  wewnę trzne.  Literatura  cytowana  w  tekś cie  1.  W.  M I E R Z E J E W S K I ,  Rozwią zywanie  problemów  dynamiki płyt  prostoką tnych  w oparciu o  zmodyfikowaną   metodę  sil Nowackiego, Mech.  Teor.  i Stos.,  1, 14 (1976).  2.  R.  M I N D L I N ,  Influence of rotatory  inertia and shear  on flexural  motion of isotropic elastic plates,  J .  A p p l .  Mech.,  1,  18  (1951).  3.  R.  M I N D L I N ,  H . D E R E S I E W I C Z ,  A . S H A C K N O W ,  Flexural  vibrations of rectangular plates, J . A p p l .  Mech.  3,  23  (1956).  4.  E .  B I E L E W I C Z ,  L .  D Z I E M I D O W I C Z ­ T K A C Z ,  Pewna metoda numeryczna w teorii płyt  grubych, II Konferencja  « M e t o d y  komputerowe  w  mechanice  konstrukcji*,  G d a ń sk  1975.  Р е з ю ме   М О Д И Ф И Ц И Р О В А Н Н ЫЙ  М Е Т ОД  С ИЛ Н О В А Ц К О ГО  В  Д И Н А М И КЕ  П Л А С Т ИН   С  У Ч Е Т ОМ  И Н Е Р Ц ИИ  В Р А Щ Е Н ИЯ  И  П Е Р Е Р Е З Ы В А Ю Щ ИХ  С ИЛ   В  р а б о те  п р е д с т а в л е но  п р и м е н е н ие  м е т о да  с ил Н о в а ц к о го  к  п р о б л е ме  с о б с т в е н н ых  к о л е б а н ий   к о н с о л ь н ой  п л а с т и н ы.  Э т от  м е т од  м о ж но  п р и м е н я ть  к  р е ш е н ию  д и н а м и ч е с к их  з а д ач  д ля  п р я м о­ у г о л ь н ых  п л а с т ин  с  р а з л и ч н ы ми  к р а е в ы ми  у с л о в и я м и.  П р е и м у щ е с т в ом  м е т о да  я в л я е т ся  в о з м о ж­ н о с ть  э ф ф е к т и в н о го  у в е л и ч е н ия  с х о д и м о с ти  р я д о в,  о п р е д е л я ю щ их  и с к о м ые  у с и л и я.  S u m m a r y  T H E  M O D I F I E D  N O W A C K I  M E T H O D  I N  D Y N A M I C S  O F  P L A T E S ,  T H E I N F L U E N C E  O F  S H E A R I N G  F O R C E S  A N D T H E  R O T A R Y  I N E R T I A  B E I N G  T A K E N  I N T O  A C C O U N T  This  paper  presents  the  application  of  the  modified  method  of  Nowacki  to  solving  the  boundary­ value  problem  of a  cantilever  plate,  account  being  taken  of the shearing  forces  and rotary  inertia. This  method can be used in dynamic problems  of rectangular plates with arbitrary boundary conditions.  Advan­ tage of this method  consists in the possibility  of increasing  the convergence  of the series for the  displace­ ments  and internal  stresses.  INSTYTUT TECHNIKI LOTNICZEJ I MECHANIKI STOSOWANEJ POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ  Praca  została  złoż ona  w  Redakcji  dnia 6  lutego 197(  r.