Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  13 (1975) P R Z YBLI Ż ONE  OBLIC Z AN IE  P Ł ASKI C H   PRĘ TOWYCH P R Z EKR YĆ  STRU KTU RALN YCH JACEK  G I E R L I Ń S KI  (WARSZAWA) 1.  Wstę p Wraz  z  rozwojem  budown ictwa  uprzemysł owionego  wzrasta  ilość  konstrukcji  wyko- nanych  z  elementów  powtarzaln ych .  D o tego  rodzaju  ustrojów  należą   mię dzy  innymi prę towe  przekrycia  strukturaln e  (rys.  1). Z  tego  też  wzglę du  wzrasta  zainteresowanie projektan tów  m etodam i  obliczan ia  tych  kon strukcji. D o  tej pory  opublikowan o  wiele  p rac  omawiają cych  zarówno  ś cisłe  [1- 3], jak i  przy- bliż one  [4- 12]  m etody  analizy  statycznej  przekryć  strukturaln ych.  M im o  t o , brak  jest stosun kowo  prostej  m etody  przybliż onego  obliczania  tych  konstrukcji,  która jednocześ nie obejmował aby  moż liwie  szeroką   ich  klasę .  N iniejsza  praca,  zawierają ca  propozycję   nowej m etody  obliczania  przekryć  strukturaln ych ,  stanowi  próbę   wypeł nienia  tej  luki. P odstawową   ideą   przedstawion ej  m etody  jest  traktowan ie  przekrycia  strukturalnego jako  pł yty  trojwarstwowej,  której  warstwy  zewnę trzne  są   równoległ ymi  pł askimi  kratow- nicam i  odległ ymi od siebie  o 2/r, a warstwa  ś rodkowa  zespoł em krzyż ulców.  M odel  cią gły kratown ic  zewnę trznych  przyję to  wedł ug  p rac  WOŹ N I AKA  [15]  oraz  KLEMMA  i  WOŹ N IAKA [16].  N atom iast koncepcję   opisu  zespoł u krzyż ulców  za pomocą  modelu cią gł ego zapropo- n owan o  w  prezentowanej  pracy.  Analizę   pł ytowych  sił  wewnę trznych  w  zastę pczej  pł ycie trojwarstwowej  przeprowadzon o w  oparciu o liniową   teorię   tych  ustrojów,  przedstawioną w  pracach  [13,  14]. W  pracy  zastosowan o  nastę pują ce  oznaczenia  wskaź n ikowe:  mał e  litery  greckie a,  /S, v  przebiegają   cią g  1, 2 i  podlegają   konwencji  sumacyjnej,  duże  litery  greckie  A, A przebiegają   cią g  I , I I , I I I ,  ...  i  n ie podlegają   konwencji  sumacyjnej.  P on adto  pionową kreską   oznaczono  poch odn ą   kowarian tn ą ,  a  przecinkiem  pochodn ą   czą stkową. • 2.  Zał oż enia W  pracy  rozpatrzon o  przekrycia  strukturaln e  o  dwóch  typach  siatek  zewnę trznych. Pierwszy,  to  siatka  skon struowan a  z  rodzin  prę tów  cią gł ych,  oznaczonych  symbolem  A (rys.  la, b, d). W t ym  przypadku  pł aszczyznę , n a której  kształ towan a jest  siatka,  param e- tryzujemy  ukł adem  współ rzę dn ych  krzywoliniowych  O1,  O2. Typ drugi,  to  siatka  heksa- gon aln a  pokazan a  n a rys. l c  (siatka  górn a).  P rzy  form uł owaniu  zależ noś ci  dotyczą cych tej  siatki,  jej  pł aszczyznę   param etryzujem y  ukł adem  współ rzę dnych  kartezjań skich  x2,. x 1 .  Kierun ek n orm aln y d o  pł aszczyzn  siatek  zewnę trznych  oznaczymy  O3 lub x3.  Struktura <5 / \ \ 7 \  I 7 I / [22] O BL I C Z AN I E  P R Ę TOWYCH   P R Z E K R YĆ  STR U KTU R ALN YC H 23 prę towa  cał ej  kon strukcji  jest  regularn a,  a  dł ugoś ci]poszczególn ych  prę tów  są   niewielkie w  porówn an iu  z  wym iaram i  ustroju.  Kierun ek  osi  dowolnego  prę ta  okreś lamy  za pom o- cą   wektora  jedn ostkowego  T .  Obcią ż enie  ustroju  stanowią   sił y  zaczepione  w  wę zł ach. P ozwala  to  n a  przyję cie  zał oż en ia o  przegubowym  poł ą czeniu prę tów  w  wę zł ach [1]. Analizy  statycznej  przekrycia  strukturaln ego  dokon am y  wprowadzają c  ustrój  zastę p- czy  w  postaci  pł yty  trójwarstwowej. Naprę ż enia \ membranowe Rys.  2 Rys.  3 Z godn ie  z liniową   teorią   deformacji  tych  pł yt  przyjmiemy  (por.  [13,  14]),  że  warstwy zewnę trzne  przenoszą   n aprę ż en ia  m em bran owe,  n atom iast  warstwa  ś rodkowa  jedynie pion owe  n aprę ż en ia  styczne  (rys.  2).  Z ał oż ymy,  że  przemieszczenia  tych  warstw  są   nie- wielkie  w  porówn an iu  z  gruboś cią   lh  pł yty.  Wprowadzim y  róż niczkowalne  funkcje  w, w x iw,w x   opisują ce  odpowiedn io  przemieszczenia  pionowe  i  poziome  warstw  zewnę trz- n ych  Z naczkiem  „  +  "  ozn aczon o  tutaj  wielkoś ci  odnoszą ce  się   do  warstwy  górnej,  a  od- noszą ce  się   do  warstwy  dolnej  „ - ".  Oznaczenia  te  bę dą   stosowane  w  m iarę   potrzeby w  dalszych  rozważ aniach  pracy. Z ał oż ym y, że istnieje pewn a pł aszczyzna oboję tna n, równoległ a do warstw  zewnę trznych i  znajdują ca  się   pom ię dzy  n im i, której  pun kty  n ie doznają   przemieszczeń  poziomych.  P oł o- ż enie  pł aszczyzny  n  okreś lają   odległ oś ci  +h,h  od  warstw  zewnę trznych.  Przyjmiemy,  że pu n kt y  warstw  zewnę trznych  leż ą ce  przed  odkształ ceniem  n a  prostej  prostopadł e]  do pł aszczyzny  n  (rys.  3a)  doznają   jedn akowych  przemieszczeń  pionowych,  czyli (2.1) 2 4  J .  G lERLIŃ SKI N atom iast  przemieszczenia  poziome  tych  pun któw  powią zane  są   zależ noś cią   (rys.  3b) (2.2)  w a =- ~w a , , . ,  .  ,  7 +   +   2/z  7  2/z w  której  A =  /;//*,  /? =  — y ,  A =  - y—y  A. Z akł adamy, że  przesunię cia wę zł ów przekrycia strukturalnego są  identyczne z przesunię - +   + cianii  odpowiadają cych  im  pun któw  pł yty  trójwarstwowej,  tzn . wartoś ci  funkcji  w, w x i  w, w a  w pun ktach odpowiadają cych  wę zł om są  równe  przesunię ciom  tych  wę zł ów. Obrót  pł aszczyzny  n  w kierunku  osi 6a charakteryzować  bę dziemy  funkcją +   - V"i)  Up  -   — ^ h — e.p. N a  podstawie  (2.2)  i  (2.3)  znajdujemy ? t y  ?(2. 4) F unkcje  v  i  n a ,  opisują ce  pł ytowy  stan  przemieszczenia  ustroju,  okreś lone  są   n a  pł asz- czyź nie  n. 3.  Stan  odkształ cenia Wraz  z przemieszczeniem  cał ego ustroju  doznają   przemieszczeń i  odkształ ceń poszcze- gólne prę ty.  Oznaczają c  liniowe  odkształ cenia jednostkowe  prę ta  symbolem  e i  zakł adają c A liniowość  funkcji  przemieszczeń  (2.1), (2.2) pomię dzy  są siednimi  wę zł ami moż emy  [15,  16] w  odniesieniu  do prę tów  siatek  zewnę trznych  napisać  zależ ność (3.1)  e=T "r*w a \ f . A  AA Oznaczają c (3.2)  y ttfi   =  w p \ a , po  uwzglę dnieniu  (3.1),  otrzymujemy (3.3)  e =   T *T fiy all . A  A  A Odpowiednią   zależ ność  w  odniesieniu  do krzyż ulców  napiszemy  n a podstawie  nastę pują- cego  rozumowania.  Wyodrę bnimy  z  obszaru  warstwy  ś rodkowej  pewną   umowną   brył ę zawierają cą   wią zkę   krzyż ulców  zbiegają cych  się   w  jedn ym  wę ź le  warstwy  dolnej  (lub górnej)  (rys.  4). Wobec  zał oż enia o regularnoś ci  przekrycia  przyjmujemy,  że brył a t a  sta- nowi  powtarzalny  element warstwy  ś rodkowej.  P rzyrostowi  dł ugoś ci AI  krzyż ulca  odpo- OBLICZAN IE  PRĘ TOWYCH   PRZEKRYĆ STRUKTURALNYCH 25 wiada  obrót  brył y  (odkształ cenie  postaciowe)  pokazan y  n a  rys.  5.  Oznaczają c  przez  y x skł adowe  tego  obrot u  w  kierun kach  osi  dx  m oż emy  napisać  nastę pują ce  zależ noś ci Ah  I   A' A AA A A wynikają ce  z  rozważ ań  geom etrycznych.  U wzglę dniając  równość  e  =  A l/ l  mamy A AA (3 . 4 ) e = 3 A AA Rys.  5 A  ; Skł adowe  y x   okreś lają ce  ką t  odkształ cen ia  postaciowego  warstwy  ś rodkowej  pł yty  trój- warstwowej  wyraż amy  za  pom ocą   skł adowych  stan u  przemieszczenia  w  nastę pują cy sposób  [14] ską d  wobec  (2.1)  i  (2.3)  otrzymujemy ( 3 . 5 ) yx - • P odstawien ie  (3.5)  d o  (3.4)  daje (3.6)  e  = A AA 26 J .  G lERLIŃ SKl 4.  Stan  naprę ż enia  i  zwią zki  konstytutywne N a  skutek  obcią ż enia  ustroju  w  jego  prę tach  wystą pią   sił y  podł uż ne  P.  Z akł adają c A jedn orodn ość  i  liniową   sprę ż ystość  każ dego  prę ta  i  oznaczają c  przez  EA  sztywność  po- A  A dł uż ną   prę ta,  mamy (4.1) P  =   EAe. A  A  A  A Zajmiemy  się   teraz  wyprowadzeniem  zwią zków  konstytutywnych  dla  poszczególnych elementów  konstrukcji. Rys.  6 W  pierwszej  kolejnoś ci  rozpatrzymy  siatki  zewnę trzne  przekrycia.  W  przypadku siatki  skonstruowanej  z  rodzin  prę tów  cią gł ych  (por.  rys.  6)  potencjał  sprę ż ysty  a  okreś- lony  jest  za  pomocą   zależ noś ci m A(4. 2) ff  =   4 - 2 ^ 1-   f  P2IEAds, *•   A  U  J  A  A  A w której  /  jest  odległ oś cią   są siednich  prę tów w rodzinie A.  P o wprowadzeniu ten sora o skł a- dowych (4.3) EA _  V1  j- ajt/l  j- A  rpjjA A A  I i  p o  podstawieniu  (3.3)  (4.1)  do  (4.2)  otrzymujemy  n a  a  nastę pują ce  wyraż enie (4.4) a  =  - U a / "" OBLICZAN IE  PRĘ TOWYCH   PRZEKRYĆ  STRUKTURALNYCH 27 W  przypadku  siatki  heksagon aln ej  (rys.  7)  wzór  n a  potencjał   sprę ż ysty  m a  postać  [16] Z/2 I I I  A (4 . 5 ) 1  V  C Z. T  —"V  J  /J  y|  ^ przy  czym  F  jest  polem  sześ cioką ta  stanowią cego  «oczko»  siatki.  D efiniują c  nastę pują co skł adowe  ten sora  sztywnoś ci  sprę ż ystej (4.6) m JL V - F1 * —J J ̂ 1̂ J J J d otrzymujemy  n a  er wyraż enie  an alogiczn e  do  (4.4) a = Rys.  7 Skł adowe  stan u  n apię cia / ?a/ i  pł askiej  siatki  okreś limy  za  pomocą   zależ noś ci  [17] dff z  której  wobec  (4.4)  znajdujemy (4.7)  pF»  =   A^ YX»- Z  kolei  rozważ ymy  warstwę   ś rodkową   ustroju.  Oznaczają c  przez  Q  pole  podstawy brył y  zawierają cej  jed n ą   wią zkę   krzyż ulców  (rys.  4),  potencjał   er  warstwy  ś rodkowej wyrazimy  nastę pują co A (4 . 8 ) - 1/ 2 P 2 / EAds, A AA 28  J .  G lERLIŃ SKI gdzie  A°  jest  liczbą   krzyż ulców  zbiegają cych  się  w jednym  wę ź le.  Podstawiają c  do  tego wyraż enia  zależ noś ci  (3.4)  i  (4.1)  znajdujemy A" l   A  A   A   A  A A / i A —  I P o  wprowadzeniu  tensora  sztywnoś ci A« (4.9)  C a "  =  - L  V  T *T l>T 3T 3EA I U  JŹ «J  A  A  A  A  AAA A= l, potencjał   o1 wyrazimy  za pomocą   zwią zku (4.10)   a =*- .c«y a y f . Skł adowe pa charakteryzują ce  stan naprę ż enia warstwy ś rodkowej  otrzymamy z zależ noś ci p W.' która  prowadzi do (4.11)  p« =  C*n yil . Wyprowadzone  w  tym  rozdziale  zwią zki  (4.7) i  (4.11) są   zwią zkami  konstytutywnymi przekrycia  strukturalnego.  Z akł adamy, że okreś lone  tymi  zwią zkami  wielkoś ci  p"  i  p*" opisują   stan  naprę ż enia  pł yty  trój warstwowej.  Podstawiają c  do wyraż eń  (4.7) i  (4.11) zależ noś ci  (4.3)  i  (4.9)  oraz  (3.3),  (3.4)  i  (4.1)  otrzymujemy  nastę pują ce  zależ noś ci ilustrują ce  interpretację   fizyczną   skł adowych pal!  i p* (4.12)  A P*  =  - p ^  AA  A  AA Ostatnią   z wielkoś ci  charakteryzują cych  strukturę   przekrycia  jest  param etr  A  okreś la- ją cy  poł oż enie pł aszczyzny  oboję tnej  n. Przyjmiemy,  że poł oż enie tej  pł aszczyzny  zależy od  stosunku  gę stoś ci  sztywnoś ci  warstwy  górnej  do  warstwy  dolnej,  ską d  wynika (4.13)  I = gR/ SR, Ań  AA gdzie  R =   EA  l/ F w przypadku  siatki  heksagonalnej  lub  R = EA/ I  w przypadku innych A  i  A  A  A  A  A  A siat ek. 5.  Równania  równowagi Znają c  stan  naprę ż enia  w  poszczególnych  warstwach  pł yty  moż na  przystą pić  do okreś lenia  pł ytowych  sił   wewnę trznych.  Rozpatrzymy  n a  począ tek  momenty M xp wzglę - dem  pł aszczyzny  oboję tnej  wywoł ane  napię ciami  wystę pują cymi  w warstwach  zewnę - trznych.  Przyjmują c  dodatnie zwroty  n apię ć  jak  n a  rys.  8,  otrzymujemy  wyraż enie (5.1)  $ ' OBLICZAN IE  PRĘ TOWYCH  PRZEKRYĆ  STRUKTURALNYCH 29 ««/ ! = Wprowadzają c  oznaczenia (5.2) i  korzystają c  ze  wzorów  (2.2)  (3.2)  i  (4.7), zależ ność  (5.1)  moż na przekształ cić  do  postaci (5.3)  M«> . /   2h  \ 2  + 7+ T/   {A '1 L / L / / P Rys. 8 Sił y poprzeczne  wywoł ane  napię ciami  p"  wystę pują cymi  w  warstwie ś rodkowej  wyzna- czymy  ze  zwią zku Q"  -   Pa, który  po  uwzglę dnieniu  (4.11)  przybiera  postać (5.4)  Q* -   C « S - Rys.  9 Zał oż ymy  nastę pnie,  że  wystę pują ce  w  niektórych  typach  przekryć  sił y  podł uż ne okreś lone  zależ noś ciami mają   niewielki  wpł yw  n a  odkształ cenie  ustroju,  wobec  czego  pominiemy  je  w  dalszych rozważ aniach. 30  J .  GlERLIŃ SKI Rozpatrując  wycinek  pł yty trójwarstwowej  obcią ż ony  sił ami M a<1 i Q*  (rys. 9) otrzymu- jemy  nastę pują ce  równania  równowagi  [14] O a \   +f  — 0 1  J   M"l>\ +eiQ«  -   0, gd zie/ jest  funkcją  obcią ż enia.  Podstawienie  (5.3) i  (5.4) do  tych  równ ań  prowadzi do (5.6)  (C"*y/ 0|. + /  =  0,  (^^*^)1« -  sg. C VA  =   0. Powyż sze  zwią zki  stanowią  ukł ad równań  równowagi  wyraż ony  w  odkształ ceniach. Wsta- wiając  do (5.6)  zależ noś ci  (3.5) i  (5.2)!,  wyraż amy  te równania  w przemieszczeniach (5.7)  [C*(ejj.M A +  v\ „%  + /  -   0,  (Z > 8^" yJjOl. -  e t C *A( e£ w, +  w|a) -  0. Rozwią zanie  tego  ukł adu  równań  wzglę dem  niewiadomych  funkcji  u s ,  v  okreś la  stan przemieszczenia  przekrycia  strukturalnego  przy  zmiennych  wartoś ciach  skł adowych tensorów  sztywnoś ci  b"^ '1  i  C a / f. W  przypadku  stał ych  wł asnoś ci  mechanicznych  A  =  const,  /  =  const  i  T " =  const A 4 4 wartoś ci  skł adowych  tensorów iy?*- " i Cp  są jednakowe  w obszarze  ustroju Z)8"*"  =  con st,  C"  =  con st. U kł ad  (5.7) upraszcza  się  wtedy  do  postaci (5.8)  c*(efcvA+ !y.+ /  =   o, iy! x»u -̂ ą ,c*w,ult+ v\ d  =  o. W  zakoń czeniu  tego  rozdział u  przedstawimy  uproszczoną  postać  ukł adu  (5.7) wpro- wadzając  zał oż enie  analogiczne  do  zał oż enia  Love'a- Kirchhoffa  przyjmowanego  w kla- sycznej  teorii pł yt [14,18]. Przyjmiemy  mianowicie, że  punkty warstw  zewnę trznych  leż ą ce na  prostej  prostopadł ej  do pł aszczyzny  n,  po  odkształ ceniu  pozostają  n a  prostej,  która jest  prostopadł a  do  powierzchni  oboję tnej  (rys.  3c). Konsekwencją  tego  zał oż enia jest zależ ność (5.9)  u.  =  ś . V \ f . Eliminując  z równań  równowagi  (5.5)  sił y poprzeczne Q", po przekształ ceniach i uwzglę d- nieniu  ( 5. 2) l i 3  otrzymujemy  równanie (5.10)  4r które  w  przypadku  Dfi"x>l  — const  przyjmuje  postać (5- 11)  •   ^ A " » | K ^ - / = 0. 6.  Obliczanie sił  w prę tach W  wyniku  rozwią zania  ukł adu  równań  (5.8),  przy  danych  warunkach  brzegowych wynikają cych  ze sposobu  podparcia przekrycia,  otrzymujemy  skł adowe  n i t / , .  Sił y w prę- tach  ustroju  znajdujemy  n a  podstawie  zależ noś ci  (4.1),  która  w  odniesieniu  do  prę tów siatek  zewnę trznych  ma postać O BL I C Z AN I E  P R Ę T O WYCH   P R Z E K R YĆ  STR U KTU R ALN YC H   31 2h d L + A A A A A (6.1) A •   1 + K Ą AA A co  znajdujemy  wykorzystują c  zwią zki  (2.4)  i  (3.1). Wzory  n a  sił y w  krzyż ulcach  znajdujemy  podstawiają c  do  (4.1)  zależ ność  (3.6), co  daje (6.2) ( A A A A A P odczas  znajdowania  sił  w  prę tach przekrycia  wartoś ci  skł adowych  stanu  przemieszczenia i  ich  poch odn ych  obliczamy  w  przekrojach  ś rodkowych  prę tów. G dy  stan  przemieszczenia  ustroju  okreś lamy  n a  podstawie  równania  uproszczonego (5.10),  wówczas  sił y  w  prę tach  siatek  zewnę trznych  znajdujemy  podstawiają c  zwią zek (5.9)  do  zależ noś ci  (6.1),  co  daje (6.3) _  o/ 7  - i-   +  +   + - fl^TEATa 1 +   / A A A A A A A A N ieco  inaczej  postę pujemy  podczas  obliczania  sił   w  krzyż ulcach.  Z  równania  równowagi (5.5)  znajdujemy P odstawiają c  do  powyż szego  zwią zku  zależ noś ci  (5.3),  (5.2)x  i  (5.9),  otrzymujemy (6 4)  O"  — D^ ^ v  ni Sił y  w  poszczególnych  prę tach  znajdujemy  z  zależ noś ci 1 (6.5) W A A A AA wynikają cej  z  (4.16)2  i  (6.4)  oraz  z  warun ków  równowagi  wę zł a, w którym  zbiegają   się krzyż ulce. 7.  P odstawowe  zależ n oś ci  we  współ rzę dnych  biegunowych W  przypadkach  przekryć  strukturaln ych  pierś cieniowych  w  planie  wygodnie  jest  po- sł ugiwać  się   ukł adem współ rzę dnych  biegunowych  Q =   1,   są   niezerowe.  P o n ad t o  zachodzą   równoś ci Cp'- Q- r Q 1 '  =  0. Przyjmiemy  dalej,  że  sposób  podparcia  i  obcią ż enia  ustroju  speł nia  warun ki  koł owej symetrii,  oraz  przyjmiemy  równość  u p   =   0. Zwią zki  geometryczne  (7.2)  sprowadzą   się   do Q My j ^< pp  = = Q Mc,, natom iast  równania  równowagi  (7.3)  otrzymujemy  w  postaci (QQ"h+ef=o,  G * =   O, {  '  }  ^ M ^   +  QM^   +  QQP  =   0. P o  cał kowaniu  równania  (7.5)j,  otrzymamy (7.6)  eQf  ^   -   Jefdg  +  C,, gdzie  CŁ  jest  stał ą   cał kowania.  Podstawiają c  (7.6)  do  (7.5)3  otrzymujemy (7.7)  (Q2M"%  + QM*<>  =  j  efd Q  -   d  • Podstawiają c  nastę pnie  do  równań  (7.6)  i  (7.7)  zwią zki  fizyczne  (7.1)  i  geometryczne (7.4)  znajdujemy C"(u ę + e v tP )  = (7.8) Uy"""(u r , p - Q- l u^ i ll - Q 2 D^ 'u v   =  j s fdg- C i . Powyż sze  równ an ia  są   ukł adem  równ ań  równowagi  wyraż onym  w  przemieszczeniach. W  równaniu  (7.8)2  wystę puje  tylko  jedn a  n iewiadom a  u9.  P o  rozwią zaniu  tego  równa- nia  funkcję   u 9   wstawiamy  do  przekształ conego  równ an ia  (7.8)!,  co  daje (7.9)  B gdzie  C 2   jest  stał ą   cał kowania. OBLICZAN IE  PRĘ TOWYCH   PRZEKRYĆ  STRUKTURALNYCH 33 8.  Podstawowe  zależ noś ci  we  współ rzę dnych prostoką tnych R ozpatrzm y w  pierwszej  kolejnoś ci  przekrycie  strukturaln e o siatce diagonalnej  pokaza- nej  n a  rys.  I b .  P rzyjmują c  kierun ki  osi  x  =  1,  y  =  1  równolegle  do  prę tów  siatki dolnej  (rys.  10a)  skł adowe  wektorów  kierun kowych  siatek  zewnę trznych  otrzymujemy nastę pują cej  wartoś ci: + 1 + . 1 + . - 1 + (8 . 1 ) n II  ] / 2 ' T1  =  i,  r2  =  o,  r1  =  o,  r 2 =   i. i  i  n  u Rys.  10 Przyjmują c  jedn akowe  pola  przekrojów  prę tów  siatek  zewnę trznych  i  oznaczają c gdzie  I jest  dł ugoś cią   p rę t ów  siatki  gófnej,  m oż emy  skł adowe Ax^ x  wyrazić  nastę pują co: + + + + + + + + i Ą XXXX  _  ^w.y}>  _  j^ xxyy  _  ^ xyxy  _  ^ yxyx  _ .  ^xyji*  _  jpxxy  _  ^ wxx  _  J J +  - przy  czym  pozostał e  skł adowe  A"l>''x  i  A"l>l'x  są   równ e  zeru. P odstawiają c  otrzym an e  wartoś ci  do  (5.2) 2  znajdujemy jycxxx  _ (8.2) gdzie  A =   ]/ 2  . i 3  Mechanika  Teoretyczna 34  J.  GlERLIŃ SKI N astę pnie,  wobec  wartoś ci  skł adowych  wektorów  kierunkowych  krzyż ulcow  (rys.  10b) - >2 _ o T3 — 4] / 2 i j- i  _  o  T 2  =  ^  _  r 3  =   — II  u  4j/ 2  «  '* (8.3) J"1  =   ~  y2  _  Q  T 3  = ni  j/ 2 4 '  ni  i"  4 2 4 . 0 ,  I " 2 = - ^ - ,  T 3 = — , i v  i v  j / 2  4  ' i v  4 gdzie  4  =   j/ 4/ i 2 + / 2 / 2  jest dł ugoś cią   krzyż ulcow,  oraz wobec  Q  =  2/ 2, skł adowe  ten sora C*t  wynoszą (8.4)  Cxx  =   C™ =  - 8 ^ ^ i ,  CX)I  =   C *  -   0, 4 przy  czym  zał oż ono jedn akowe  pola  przekrojów  A k   wszystkich  krzyż ulcow. Podstawiają c  (8.2) do  (5.2) 3,  a  nastę pnie  wraz  z  (8.4) do  ukł adu  równ ań  równowagi (5.8),  otrzymujemy  po przekształ ceniach (8.5)   D xyxy Uxxx - 2D*™ x u y , x >  + D?W u x ,„  + Cw{- u x   + vJ  =   0, Powyż szy  ukł ad  równań  równowagi  m oż na  przepisać  w  postaci  analogicznej  do  wypro- wadzonej  w  pracy  [19] w  odniesieniu  do  pł yt  trójwarstwowych: (8.6)  L 21 v+L 22 u x +L 23 u y   =  0, =  0. Wystę pują ce  w  tych  równ an iach  operatory  róż niczkowe,  po  uwzglę dnieniu  (8.2) i  (8.4) i  wprowadzeniu  oznaczeń _  2h2EA k (8.7) O BL I C Z AN I E  P R Ę TOWYCH   P R Z E K R YĆ  STR U KTU R ALN YC H 35 wyraż amy  za  pom ocą  nastę pują cych  wzorów Ln  = — L i2   =  L 2 i  = L , 13   =  Ł 31  = (8 . 8 ) £22  = • ^23  —  - ^ 32  —  ~~DÓ xy , '\ ~ C, U zależ niając  skł adowe  v,u x ,u y   od  funkcji  przemieszczeń  &(x,y)z&  pomocą  zwią zków l—i')  o  J—t' (8.9) v  = L 12 T T J- / 23  " " 1 • ^33  - ^ 31 otrzymujemy  toż sam oś ciowe  speł nienie  równ ań  ( 8. 6) 2 > 3. R ówn an ie  (8.6)i  prowadzi,  p o  uwzglę dnieniu  (8.9),  do  nastę pują cego  równania  róż- niczkowego U (8.10) R ówn an ie  t o ,  p o  uwzglę dn ien iu  wzorów  (8.8),  m oż emy  przekształ cić  do  nastę pują cej postaci (8.11) Wzory  okreś lają ce  skł adowe v,  u x   i u y   znajdujemy  rozwijając  wyznaczniki  (8.9) i  uwzglę dnia- jąc  wzory  (8.8) v  =  [0,5D z K(d xxxx   + d my )+ D2(K2  -   0,75)3  xx 8 yy   - DC(K+0,5)(d xx   +  d„) + C2]  0, ( 8 ' 1 2 )  u x   =   C8 y [D(K- l)8 xx +O,5Dd yy - C]0,  u y   =   Cd x [D(K- i.)d„+O,5Dd„- C\ 0. Powyż sze  wzory  okreś lają ce  skł adowe  stan u  przemieszczenia  otrzymano  na  podstawie peł nego  ukł adu równ ań  równ owagi  (5.8). N atom iast  przyjmując  zał oż enie  «o  prostych  norm alnych»  (5.9),  stan  przemieszczenia ustroju  okreś lamy  n a  podstawie  uproszczonego  równ an ia  równowagi  (5.11), które  w  przy- padku  siatki  diagonalnej  przyjmuje  postać (8.13) / (Kd xxxx +3d xx d„+Kd yyyy )v  = — . R ówn an ie  to  wykazuje  form alną  analogię  do  równ an ia  równowagi  pł yty  ortotropowej, wyprowadzonego  przy  zał oż eniu  Love'a- Kirchhoffa. 36 J .  G lERLIŃ SKI R ozpatrzm y  z kolei  przekrycie  strukturaln e  o siatce  równoległ ej  (rys. la ) i o jedn ako- wych  przekrojach  prę tów  siatek  zewnę trznych.  Jedyne niezerowe  skł adowe tensorów  sztyw- noś ci  sprę ż ystej  to (8.14) =  f,yxyx  m C xx   = = 2C, przy  czym  współ czynnik  X =  1. W  tym przypadku  operatory  Z,a/ J  wystę pują ce  w  ukł adzie  równ ań  (8.6) są   okreś lone za  pomocą   nastę pują cych  wzorów: (8.15) L n   =   - C(8 xx +8 yy ),  L 12   =  L 21   =  Cd y ,  L l3   -   L u   =   - Cc\ , L 22   =  2Dd yr - C,  L 23   =   L Z1   m 0,  L 3 3  =   2Ddxx~C, co  prowadzi  do  nastę pują cego  równ an ia n a funkcję   przemieszczeń (8.16)  2CD[d xxxx (C- 2Dd yy )  + d my (C- 2Dd xx )]0  - / . Identyczną   postać  tego  równania  otrzym an o  niezależ nie  w  pracy [5]. U proszczone  równanie  równowagi  (5.11)  m a w przypadku  przekrycia  o siatce  równ o- legł ej  postać (8.17) J_ 2D 9.  Przykł ad liczbowy.  Uwagi  koń cowe W  tym punkcie  przedstawimy  przykł ad  obliczeń  prostoką tn ego  przekrycia  struktural- nego  o siatce  diagonalnej,  swobodnie  podpartego  (rys.  11). Rys. 11 N a  podstawie  rozważ ań  przedstawionych  w  pracy  [20]  wiadom o,  że  rozwią zanie równania  (8.11)  przy  warunkach  brzegowych  wynikają cych  ze  swobodnego  podparcia OBLI C Z AN I E  PRĘ TOWYCH   P RZ EKRYĆ  STRU KTU RALN YCH   37 wszystkich  krawę dzi  przekrycia  otrzym am y, przyjmując  funkcję  przemieszczeń 0  w postaci zapropon owan ej  przez  N aviera (9.1)  ' " = 1 " = 1 mm  .  nn P rzedstawiając  obcią ż enie  /   w  postaci  szeregu  trygonometrycznego m — l n = l gdzie a b 4 O" O I  j  f(x>y)smu m xsmp„ydxdy, współ czynniki  @ mn   obliczam y  wedł ug  wzoru (9.2)  0 mn   »  ^  [0,5DK(<£  + Pl)  (a „2 ( a £ + ^ n 2 )  +   2, P odstawiając  powyż sze  rozwią zanie  d o  wzorów  (8.12)  otrzymujemy  zależ noś ci  okreś- lają ce  skł adowe  v,  u x   i  u y   w  postaci 00  00 v= m= ln—l oo  co m= ln—l CO  00 m~tn= 1 w  których  współ czynniki  rozwinię cia  dan e  są  zależ noś ciami V m   =   [0,5Z > *# («*+ / 3„ 4)+ Z > 2(X2 -   0,75) a2 m  fó + CD(K+  0,5) (a2,+ / S„2) +   C2) X mn   =  [(l- K)CD* 2 m - O,5CDfó- C 2 ]p„0 mn , Y mn   =  [(1- K)  CDfó  - 0,5CDal-  C 2 ]  am  0mn, przy  czym  współ czynniki  0 m „  okreś lone  są  wzoram i  (9.2). 38  J.  GlERLIŃ SKI Znając  stan  przemieszczenia  konstrukcji  przystą pimy  do  wyznaczenia  sił   w  prę tach. Sił y  w  prę tach  siatek  zewnę trznych  znajdujemy  wstawiając  do  wzorów  (6.1)  zwią zki (8.1)  i  (9.3) P  m  ~EA~- ,-  (T 1 ! 1 ^   x + r 1 r a M „   y - T 2 T L u x  x - i  l  +  /t  i  i  II  II 00  00 - r2 r «„ ) =   - T ZJEA T T  1  ~r  A 1   m=l  n=l + (9.4a)  £ m =   1  n—l ?, m u m -   F , „ n / S„ ) c o sa m ^ c o sj8„ j] , 0 0  CO Ihl  „ .  V>  V m = l « = 1 CO  00 P =   - i^ EA  y  y  X m ,p„sma m xsmp„y. II  L   +  A  J~~I  • *—' m—l  n=\ Z  kolei  sił y  w  krzyż ulcach  otrzymamy  podstawiając  do  wzoru  (6.2)  zwią zki  (8.3)  i  (9.3): 00  00 P  —  Ł ; CO  CO P  =  —7 = ^ -   y,  y.  (V, m p n - X„ m )sma m xcosp„y, (9.4b) 0 0  CO i 5  =  '  / - „. k  y,  y,  (V, m a m +Y mn )cosa. m xsmp„y, p  m   - 2hlEA k   V  V  ( T / )  o  _x Wartoś ci  sił   należy  obliczać  w  przekrojach  ś rodkowych  poszczególnych  prę tów. W  celu  sprawdzenia  poprawnoś ci  przedstawionych  rozważ ań  przeprowadzon o  obli- czenia  numeryczne ugięć  wedł ug  wzorów  (9.3)  oraz  sił   w  prę tach  wedł ug  wzorów  (9.4). Obliczenia  te  wykonano  przyjmując  nastę pują ce  dan e: a  =  b  =   24  m ,  h  =   0,75  m , /  =   2 m ,  / =   - 0 ,2  T / m 2, wszystkie  przekroje  prę tów  przyję to  jedn akowe  o  polu  A  =  10  c m 2. OBLIC Z AN IE  PRĘ TOWYCH   PRZEKRYĆ  STRUKTURALN YCH   39 P o  przeprowadzen iu  obliczeń  otrzym an o  nastę pują ce  wyniki: maksymalne  ugię cie  pion owe  4,1  cm, m aksym aln a  sił a  w  prę cie  siatki  zewnę trznej  12,88  T, m aksym aln a  sił a  w  krzyż ulcu  6,43  T. Wyniki  te  porówn an o  z  wyn ikam i  obliczeń  otrzym an ym i  przy  zastosowaniu  modelu  kra- townicy  przestrzennej  (m etoda  odkształ ceń ).  Rozbież noś ci  maksymalnych  wielkoś ci geometrycznych  do  9%  i  m aksym aln ych  wielkoś ci  statycznych  do  12%  przemawiają   za stosowan iem  przedstawionej  m etody. Jedn akże  podczas  stosowan ia  tej  m etody  do  obliczeń  statycznych  należy  zdawać  sobie sprawę   z  ewen tualn ych  bł ę dów  obarczają cych  wyniki,  a  spowodowanych  pominię ciem wpł ywu  sił  podł uż nych  N "1*  n a odkształ cen ia ustroju.  Sił y te bowiem znikają   jedynie w pew- nych  przypadkach  siatek  przekryć  strukturaln ych,  a  to  gdy jFl+ pt  = 0 . P o  uwzglę dnieniu  (2.2)  (3.2) i  (4.8)  stwierdzamy,  że równość  t a ma miejsce, jeż eli gdzie  A jest  współ czynnikiem  okreś lon ym  wzorem  (4.14). N atom iast w  przypadkach wystę - powan ia  sił  podł uż n ych  N afi,  rozwią zan ia  pozbawion e wspomnianego  bł ę du moż emy otrzy- m ać  traktują c  przekrycie  strukturaln e  ja ko  ustrój  pł ytowo- tarczowy.  R ówn an ia  statyki uwzglę dniają ce  efekt  tarczowy  w  przekryciach  strukturaln ych wyprowadzono  w  pracy  [23]. D o  zalet  omawianej  m etody  należy  także  moż liwość  analizy  jakoś ciowej  rozpatrywa- nych konstrukcji.  Wyprowadzon e  równ an ia w  ł atwy  sposób  pozwalają   ocenić wpł yw zmian poszczególnych  charakterystyk  n a  pracę   przekrycia.  Informacje  takie  są   bardzo  istotne przy  wstę pnej  analizie  kon strukcji. M etoda  ta  może  być  równ ież  stosowan a  do  analizy  statycznej  przekryć  strukturalnych rozm aitych  typów.  P rzy  czym  obliczenia  m oż na  przeprowadzać  n a  podstawie  peł nego ukł adu  równ ań  lub,  w  uzasadn ion ych  przypadkach,  n a  podstawie  równania  uproszczo- n ego. Z astosowan a  an alogia  pł yty  trójwarstwowej  pozwala  bezpoś rednio  korzystać  z  roz- wią zań  optymalnych  dotyczą cych  tych  pł yt,  przedstawionych  w  pracach  [21, 22]. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W.  G U TKOWSKI ,  Regularne  konstrukcje  prę towe,  P WN ,  Warszawa 1973. 2.  R.  Ś WITKA,  Obliczanie  rusztów  kratowych,  XVIII  Konf.  K I  P AN   i  P Z I TB,  Krynica 1972. 3.  W.  G U TKOWSKI ,  Pł yty  kratowe  z  elementów powtarzalnych,  R ozpr.  I n ż .,  1(1965). 4.  E . SU Z U K I , H .  KITAM U RA,  M .  YAM AD A,  T he  analysis  of  the  space  truss plate  by difference  equations, Th e  I n t .  Conf.  on Space  Structures,  U niversity  of  Surray, 1966. 5.  A. G OM U LIN SKI,  M .  WI T K O WSK I ,  Pewien sposób  obliczania struktur  kratowych, Arch. I nż.  Lą d.,  1 (1972). 6.  R.  P EŁA,  Statyka  przestrzennej  konstrukcji  prę towej  pł yty  strukturalnej,  R ozpr.  Inż .,  4(1971). 7.  E.  KU BI C A,  Obliczanie  ugię ć przekryć  siatkowych,  P race  n auk.  I n st.  Budów.  P. Wr., 5  (1971). 8.  J.  D .  R E N TON ,  T he  related  behaviour  of  plane  grids,  space grids  and  plates,  The  I n t.  Conf.  on Space Structures,  U niversity  of  Surray, 1966. 40  J .  G lERLIŃ SKI 9.  J. D .  REN TON ,  General properities of  space grids, I n t. J.  Mech.  Sci.,  1 (1970). 10.  B.  KATO,  K.  TAKAN ASHI,  Y.  TSUSHIMA, Y.  H IRATA,  A  space truss  of  square pyramid  units, The I n t . Conf.  on  Space  Structures, U niversity  of  Surray,  1966. 11.  L.  KOLLAR,  Continuum method of  analysis for  double- layer space  trusses  witch  upper  and lower chord planes  of  different  rigidities, Acta  Technica Ac ,  Sci.  H ung.,  76  (1974)  53- 63. 12.  F .  LEDERER,  Fachwerk und  Uostplatten, Werner- Verlag,  D iisseldorf  1972. 13.  L. F .  I .  PLANTEMA,  Sandwich construction.  T he bending and buckling  of  sandwich  beams, plates  and shells,  Wiley  and  Sons. Amsterdam  1966. 14.  A.  C .  BoJibM iip,  Fu6Kue  n/ iacmuuKu  u  OSOJIOHKU, F ocTexTeopiraflaTj  M ocK Ba  1956. 15.  Cz.  WoŹ NlAK, Modele cią gle gę stych siatek  prę towych,  Arch.  Inż.  Lą d.,  2  (1965). 16.  P.  KLEMM,  C Z .  WOŹ N IAK,  Gę ste heksagonalne siatki  sprę ż yste, Mech.  Teor.  Stos.,  3  (1970). 17.  Cz.  WOŹ N IAK,  Siatkowe  dź wigary powierzchniowe,  PWN , Warszawa  1970. 18.  Z .  KĄ CZKOWSKI,  Pł yty. Obliczenia statyczne,  Arkady,  Warszawa  1968. 19.  N .  J.  H OF T, Bending  and  buckling  of  rectangular sandwich plates,  N ACA T.N .no  2225, 1950. 20.  J.  WACHOWIAK,  P.  WILD E,  W olnopodparte prostoką tne pł yty  trójwarstwowe,  Arch. Inż. Lą d., I (1966). 21.  W.  D ZIEN ISZEWSKI,  N iektóre  przypadki  kształ towania  trójwarstwowych  pł yt  swobodnie podpartych o  równomiernej wytrzymał oś ci,  Rozpr.  Inż ., 4  (1969). 22.  J.  G IERLIŃ SKI, N iektóre przypadki prostoką tnych pł yt  trójwarstwowych  o równej wytrzymał oś ci opartych na  ukł adach  belek, Arch.  Inż. Lą d.,  1 (1973). 23.  J.  G IERLIŃ SKI, Równania liniowej  teorii  sprę ż ystych  powł ok  strukturalnych  (w  przygotowaniu  do druku). P  e 3 io  M  c nP H EJIP D KEH H Llfi  P AC KE T  IU IOC KH X  CTEP )KH EBŁIX B  paSoTe  n peflciaBJieH   npH6jiH>KeHHLffl  M eiop;  p a r a e i a  I I JI OC K H X  c r e p m n e B b i x  CTpyKTypH bix  n e p e - .  T a K o r o  T u n a  KOHCTpyicnHH   COCTOH T  H 3  flByx  n apajin ejiBH bix  CTep>KHeBbix  ceTOK3  coeflH H eH H Lix c  n oM om > io  KpeciOBH H .  . H J I H H M  CTep>KHeii  BHeniHHX  ceTOK  H   KpecTOBHH   H BJI H I O T C H   n eSoJiuuH M H   n o opaBHeHHH   c  ra6apH TaM H   K O H C T P VK I J H H .  KpoM e  T o r o ,  CTpyKTypa  CHCTeMbi  p e r yjiH p n a .  H a  ocHOBaHHH 3T H X  npeH nono)KeH H H   6bin a  BbiBeflena  cn jio u iH an  MOflejiB  CHCTeMbi  BH C I I I H H X  ceTOK  H   CHCTeMbi  Kpecrro- BHH.  IIpHHHMaJIOCB  n pH   3TOM3  HTO  BH eiUH Iie  CJIOH   MOflejlBHOH   KOHCTpyKmiH   CIIOCo6HbI  nepeHOCHTB jim n h  MeMÓpaHHwe  HanpH>KeHHH, a  BHyTpeHHHii  CJIOH   —  J I H I I I B  BepTH KajiBH we  KacaTejiBH we  H anpn> Ke- H H H .  K  on pefleJiem ioH   TaKHM  o6pa3OM   KOHCTpyiKfleH H H   n poH Jijn ocTpH poBaH bi  n p n - MepoM. S u m m a r y APPROXIM ATE  CALCU LATION S OF   A  R OD   STRU CTU RAL  PLATE In  the  paper considered is  presented a  method of  calculations of  regular  rod  structural  plate. This is understood  to be a certain kind  of  spatial  truss  whose  all  nodes  are  situated  on  two  paralel  planes. The  nods aie connected with rods forming two plane networks  and  a  set  of  cross  braces.  The network of the  considered  construction is  dense  and  regular.  The  basic  equations  were  derived  on  applying  a sandwich  plate as  the continuous  model of  lattice structure. The numerical example is  given. INSTYTUT  PODSTAWOWYCH   PROBLEMÓW  TECH N IKI  PAN Praca został a zł oż ona w  Redakcji  dnia  16  stycznia  1974 r.