Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  13  (1975) NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZANIE  PROBLEMU  DRGAŃ  WŁASNYCH  NA  PRZYKŁADZIE  PŁYT JERZY  G O Ł A Ś ,  ZYGM U N T  K A S P E R S K I  ( OP OLE) 1.  Wstę p R ozważ an ia  analityczn e  dotyczą ce  problem u  drgań  wł asnych  konstrukcji  powierzch- niowych  posiadają   bogatą   literaturę ,  przykł adowo  [1,  2, 3]. W  praktyce  jedn ak  napotyka się   czę sto  bardziej  zł oż one  ustroje  cią gł e, jakim i  są   n p.  pł yty  o  róż nych  kształ tach i  do- wolnych  warun kach  brzegowych,  o  zmiennej  gruboś ci,  ja k  i  podparte  w  swoim  obszarze. Jak  wiadom o,  m etody  klasyczne  mogą   być  skutecznie  stosowane  jedynie  w  prostych  przy- padkach . m m-i S t 1 y («) n't 0) n*ź (D n>5 5. (2n- 2) in- i (n- 1) n- 1 In n  * Rys.  1,  P odział   pł yty,  numeracja  wę zł ów  i  elementów W  pracy  niniejszej  przedstawion o  m etodę   numeryczną   wyznaczania  czę stoś ci  drgań wł asnych  konstrukcji  powierzchniowych,  zilustrowaną   n a  przykł adzie  pł yt,  przyjmują cą za  p u n kt  wyjś cia  m etodę   elementów  skoń czonych  w  uję ciu  ZIEN KIEWICZA  [4].  U strój cią gły  (pł ytę )  dzieli  się   n a  skoń czoną   liczbę   odkształ calnych  elementów  prostoką tnych o  12 param etrach wę zł owych  (rys.  1). M etoda ta, ja k  to  bę dzie  wykazane  dalej,  daje  dobre rezultaty  nawet  przy  podziale  n a  mał ą   liczbę   elementów  (moż na wię c  dostatecznie dokł ad- nie  i  szybko  wykonywać  obliczenia  nawet  n a  m ał ych m aszynach  cyfrowych).  Przedstawio- ny  w  pracy  sposób  m oż na  bez  t ru d u  uogóln ić  n a  rozwią zanie  problemu  drgań  wł asnych innych  ustrojów  cią gł ych,  ja k  n p .  powł oki  i  tarcze.  P ropon owan a  m etoda  m a  pon adto tę   zaletę ,  że  obejmuje  dowolne  warun ki  brzegowe,  dowolne  rodzaje  podparć  w  obszarze oraz  zmienną   gruboś ć. Autorzy  są dzą,  że  wiele  elementów- przedstawionej  m etody  (np.  odwracanie  macierzy trójką tnych,  zam ian a  wskaź ników  podwójnych  n a pojedyncze  itp.) może być  poż ytecznych do  innych  obliczeń,  gdzie  ilość  informacji  zapamię tywanych  w  maszynie  cyfrowej  oraz czas  obliczeń  odgrywają   istotn ą   rolę   i  nieraz  nie  pozwalają   n a  przeprowadzenie  efektyw- nych  obliczeń. 86  J .  G O Ł AŚ,  Z .  K ASP E R SK I 2.  Teoretyczn y  opis  m etody Jak  wiadom o,  problem  drgań  wł asnych dź wigarów powierzchniowych  sprowadza  się do' obliczenia  takich  liczb  co2,  dla  których  równanie (2.1)  [K]{X}  =  co*[M]{X} m a  nietrywialne  rozwią zanie  {X}  =   {x it   x 2 ,  ..., x p } T ,  gdzie  [K\  jest  macierzą  sztywnoś ci, a  [M]  macierzą  mas.  Z akł adam y,  że  macierze  \ K\   i  [M ]  są  macierzami  kwadratowymi stopnia  p.  Wielkoś ci  cof(i  =   1,2,  ...,/ ?),  dla  których  {X}  ?£' {0}  nazywamy  wartoś ciami wł asnymi  równania  (2.1),  a  wektory  { A  odpowiadają ce  wartoś ciom  co?  nazywamy  wek- toram i  wł asnymi  równ an ia  (2.1). P ropon owan a  m etoda  rozwią zania  zagadnienia  drgań  wł asnych  m a  n a  celu: 1)  znalezienie  takiej  macierzy  symetrycznej  [A],  dla  której  znajomość  wartoś ci  i  wek- torów  wł asnych  pozwoli  n a  proste  obliczenie  wartoś ci  i  wektorów  wł asnych  równania (2.1)  (stosunkowo  najlepiej  opracowane są  metody  obliczania wartoś ci  i wektorów  wł asnych macierzy  symetrycznych), 2)  zmniejszenie  do  minimum  iloś ci  informacji  oraz  dział ań  w  maszynie  cyfrowej,  tak by  m oż na  był o rozwią zywać  zadania  o jak  najwię kszej  liczbie  stopni  swobody. W  dalszej  czę ś ci  tego  rozdział u  zakł adam y, że  zn an y jest  sposób  obliczania  elementów macierzy  sztywnoś ci  [K] i  macierzy  mas  [M],  dla  kon kretn ego  ustroju  cią gł ego. W  algebrze  liniowej  znane jest  twierdzenie,  że  dla  każ dej  macierzy  symetrycznej  i  do- datn io  okreś lonej  [B]  istnieje  taka  macierz  rzeczywista  trójką tna  górn a  [S\ ,  że  [2?]  = =   [S] r [5],  gdzie  [S]T  jest  macierzą  tran spon owan ą  do  macierzy  [S].  Jak  wiadom o  [4] macierz  sztywnoś ci  [K]  jest  macierzą  symetryczną  i  dodatn io  okreś loną,  zatem  istnieje taka  macierz  [Q],  że  [K]  =   [<2]r[2]-   M acierz  [Q]  m oż na  wyznaczyć  m etodą  BAN ACH IE- WICZ A  [5]. Jeż eli  przez  ky  oznaczymy  elementy  macierzy  [K], a przez  g tJ   elementy  macierzy [Q], to zachodzą  zależ noś ci gu  = - ~  / > i kij-   Ę <ł i]  =   • = *  >  i  <  j, 1u lij  =   0,  i  >  J. P onieważ  [K]  =   K?]r[2]>  to równanie  (2.1) m oż na zapisać  w  postaci (2.3)  [Q P odstawiając  do  równ an ia  (2.3)  [Q] {X}  =   {U},  skąd  {X}  -   [Q]- 1  {U}  otrzymamy równ an ie N UMERYCZN E  ROZWIĄ ZAN IE  PROBLEMU   DRGAŃ   WŁASNYCH .87 M noż ąc  lewostronnie  powyż sze  równanie  przez  macierz  ( [ g] 7 ) "1  otrzymamy  równanie (2.4)  ( [ e ] T)- 1 [ M ] [ 2 ] - 1 { ^}  =   HU}, gdzie  X =   1/ co2. Wykaż emy  teraz,  że  jeż eli  macierz  [M] jest  macierzą   symetryczną ,  t o  macierz  \ A]  <• -   ([QfyHMftQ]- 1  jest  macierzą   symetryczną ,  tzn .  [Af  =   [A]. Rzeczywiś cie Ale  ([QYlf  =   ([2f)~ ł   o r a z  {QOfT T   =   lei"1  « M r  =   W \ ,  zatem  [/ (f  =   [A]. Tak  wię c,  wartoś ci  wł asne  cof  równania  (2.1)  wyraż ają   się   przez  wartoś ci  wł asne  sy- metrycznej  macierzy  [A]  wzorem 1 wektory  zaś  wł asne  zależ noś cią gdzie  wektory  {t/ },  są   wektoram i  wł asnymi  macierzy [/ i]. 3.  Realizacja  metody  na  maszynie  cyfrowej Z  opisu  metody  podan ego  w  rozdziale  2  wynika,  że  elementy  macierzy  [K\  potrzebne są   jedynie  do  tworzenia  wyrazów  macierzy  [ gj.  Z e  wzorów  (2.2)  wynika,  że  aby  obliczyć wyraz  q u   macierzy  [Q] wystarczy  mieć  element k tJ   macierzy  [K\  i  wcześ niej  obliczone, od- powiednie  elementy  macierzy  [Q\ . Z atem  macierz  [Q] moż na  tworzyć  i  umieszczać  w  pa- mię ci  maszyny  cyfrowej  w  to  samo  miejsce,  które  zajmują   elementy  macierzy  [K\ . Ponie- waż  macierz [K\  jest  symetryczna,  a  macierz  [Q]  trójką tna  górna, wystarczy  wię c pamię tać tylko  te  elementy  k u   macierzy  [K\ , dla  których j  >  i. W  tym  celu  należy jednak  zamienić wskaź niki  podwójne  w  wyrazach  macierzy  [K\  i  [Q] na  wskaź niki  pojedyncze.  M oż na tego dokon ać  w  nastę pują cy  sposób: Jeż eli jest  dan a macierz C2L  C22 Cip i  chcemy  zapam ię tać  jej  elementy  Cy  dla j  >  i  (górną   czę ś ć)  jako  odpowiednie  elementy jednowymiarowej  tablicy  T   w  sposób * t hp- 2 88  J.  G OLAS,  Z .  KASPERSKI gdzie  przez  *  oznaczono  elementy  niepam ię tane,  wówczas  mię dzy  n um eram i  elementów macierzy  [C]  i n um eram i elementów  tablicy  T  zachodzi  zwią zek Ci]  —  t('- l)P+J- i+H' gdzie  r t  jest  cią giem  liczb  cał kowitych  okreś lonym  wzorem  rekurencyjnym ( 3 - 1 )   \ r t   =   r^ - i+2  dla  i  =   2, 3,  ...,p. M oż na sprawdzić,  że wówczas  otrzymamy  cią głą  pojedynczą   numerację  elementów  prawego trójką ta  macierzy  [C]. Taki  sposób  przyporzą dkowania  wskaź nikom  podwójnym  wskaź ników  pojedynczych pozwala  n a proste  zapisanie  wszystkich  dział ań  na m acierzach  symetrycznych  i  trójką tnych górnych.  Korzystają c  z  (3.1)  wzory  (2.2)  przyjmują   postać =   - f- ,  dla  j  =   2, 3, ..., #1 l\ / - i dla  i  <  j. Z  równania  (2.4)  wynika,  że  do  obliczenia  wartoś ci  i  wektorów  wł asnych  macierzy  [A] potrzebna jest tylko  macierz  [ 2 ] " 1 (gdyż  (\ Q^ )~ l  jest macierzą   tran spon owan ą   do macierzy [ 0] - 1 )  oraz macierz  [M\ . M acierz  odwrotn a  do macierzy  trójką tnej  górnej jest też  macierzą trójką tną   górną . P odam y  teraz  prosty  algorytm  szybkiego  odwracan ia  macierzy  trójką tnej  górnej  [Q], Zał óż my,  że  [B]  — [2]""1,  tzn,  że  [Q] [B\  =   [I],  gdzie  [/]  jest  macierzą   jedn ostkową . Elementy  macierzy  [B\   oznaczmy  przez  bij.  Korzystają c  z  tego,  że  macierze  [Q] i [B\ są   trójką tne  górne  i  że  ich  iloczyn  jest  macierzą   jedn ostkową ,  otrzym am y  nastę pują ce ukł ady  równań  n a  wyznaczenie  elementów  by  macierzy  [B\ : ukł ad  l,p  —  równ ań =   1. =  0 , q u l p   q 122 p+  qip pp   =  0 , ukł ad  2, p- \  —  równ ań # 22*22  =   1. # 22*23+  # 23*33  =   0, • ••  + # 2p *p p  =   0, NUMERYCZNE  ROZWIĄ ZAN IE  PROBLEMU   DRGAŃ   WŁASNYCH   89 ukł ad p- l,  2 —  równ an ia 1p~i•  p- i  "p- i.  p- i  =   1  > < 7 P - I , P - I "P - I , P + # P - I , P & PP  =   0, ukł ad p,\   —  równ an ie Tak  wię c,  ukł ad  o  n um erze  i  (i  <=   1, 2, ..., / »)  powstał   z  przemnoż enia  wiersza  o nu- merze  i macierzy  [Q\   przez  kolum n y  o  n um erach i, i+l,  ...,p  macierzy  [B\ .  Z tych ukł a- dów  równ ań  m oż na  wyznaczyć  elementy  b u   (j >  i)  rozwią zując  powyż sze  ukł ady  w  od- wrotnej  kolejnoś ci,  tzn . najpierw  ukł ad  o n um erze p,  nastę pnie  o  numerze p — l,  itd., n a koń cu  ukł ad  o n um erze 1. Otrzymuje  się  proste  wzory  n a elementy  macierzy  [B] J  i =  n,n- \ ,  ..., b u   = qn  J  >  t. Z  wzorów  tych  wyn ika  p o n ad t o ,  że  elementy  macierzy  \ Q\ ~ l moż na  umieś cić  w to samo  miejsce  pam ię ci  maszyny  cyfrowej,  w  którym  znajdują   się   odpowiednie  elementy macierzy  [Q], tzn ., że nie m a potrzeby  wprowadzać  dodatkowej  macierzy  [B\ .  Korzystają c ze zwią zków  (3.1)  oraz  wprowadzają c  zam iast  symbolu  „ =  "  symbol  podstawienia  „ : =  ", otrzymamy  wzory  n a elementy  macierzy  odwrotn ej 1 tf(f- l)p+ r|:= -  , H(l- l)p+ rt j —  2J  ( ^ k—i  +   l M ają c  dan e  m acierze  [Q\ ~ l  oraz  \ M\   m oż na  obliczyć  elementy  macierzy  [A]  = =   ([ G] r)~ 1[ Af]  [Q\ ~ x.  Wartoś ci  i  wektory  wł asne  macierzy  symetrycznej  moż na  obliczyć metodą   H OU SEH OLD ERA  [5]  (m oż na  też  skorzystać  z  program u  bibliotecznego  maszyny cyfrowej  O dra  1204),  a  n astę pn ie  wartoś ci  i  wektory  wł asne  równania  (2.1). 4.  Przykł ady  liczbowe P rzedstawiony  algorytm  został  zrealizowany  n a maszynie  cyfrowej  Odra  1204  i  spraw- dzony  n a  szeregu  przykł adów  liczbowych.  M acierz  sztywnoś ci  [K]  obliczono  w  sposób podan y  w  pracy  [6]. Z upeł n ie  analogicznie  budowan o  macierz  mas  [M\ .  W  tablicy  1 przedstawiono  przykł adowo  macierz  mas dla prostoką tn ego  elementu  pł yty  o  wymiarach 2ax2bi  stał ej  gruboś ci  t.  Cał y  t o k  postę powan ia  w przypadku  obliczania  drgań  wł asnych pł yty  m oż na  ują ć  w  ogólnym  schemacie  blokowym  (rys. 2).  Przeliczono  szereg  przykł a- dów  liczbowych,  dla których  pewne  wyniki  zn an e  są  w  literaturze [3). Tablica ftab 6500 3454 - 922b 992  a 1226 548  b i98a 394 252  b - 2h2a 1226 - mb • 5480 520b* - 252ab ~54&b - 240b 1 - 168ab ~2i2b - notf mab - }98b IBOb* mab 120a 1 59&a 1B8ab IBOa 2 2 i!  a 1l2ab - UDO 2 548 a - 168ab - UOd 3454 9226 322  a 1226 53&b - 548a 59i obliczone Z,59S1&0 5,27  9  W 7, 627460 / O,38454O 10,581960 12,752980 W artoś ci  co; wg  pracy  [5J 2,5fl 5, 27 7,76 — S,82 11,iO róż nica - 0 ,4 - 0 ,2 - 2,0 — - 7 ,6 P r z y k ł a d  4.3. N ależy  okreś lić  czę stoś ci  drgań  wł asnych  dla  trzech schematów pł yt o  kształ tach  i  warun kach  podparcia,  ja k  n a  rys.  3.  P ł yta  przedstawiona  n a  rys.  3a  jest swobodn ie  p o d p art a  n a  cał ym  obwodzie,  pł yta  o  schemacie  rys.  3b  posiada  niecią głe  wa- run ki  podparcia  (w  okolicy  doln ego  prawego  n aroż n ika  zamocowana  cał kowicie),  zaś a a=600cm i  ft !s 1  iO 11 1  CJ 1 b (4 c • » a - V) is Rys.  3. 92 J.  G OŁAŚ,  Z.  KASPERSKI pł yta  rys.  3c jest  wycię ta  w  pobliżu  n aroża  i  swobodnie  p o d p art a  n a  wszystkich  krawę - dziach.  D an e  i  podział  jak  w  przykł adzie  4.1.  U waga!  P ł ytę   o  schemacie  rys.  3c  liczono jak  pł ytę  prostoką tną,  przyjmują c  dla  jej  czę ś ci  wycię tej  grubość  równą   1/ 1000  t. Obliczone  wartoś ci  pierwszych  dwóch  czę stoś ci  drgań  wł asnych  po dan o  w  tablicy  4. Tablica  4 1 1 1 Schemat  ip Wartoś ci „ u , oblicione 1,4934- 27 3,700551 Wartoici a: wg  praaj[ 5J 1,4% 1,54 % róż nica - 5 ,7 - 4 ,5 Schemat  ib narloia  co, obliczone 7,701662 3,8470/ 6 Schemat 5c Wartoici  co; obliczone 2{ wm Ą ,05!212 P r z y k ł a d  4.4. D la  pł yty  kwadratowej  swobodnie  podpartej  n a  wszystkich  krawę - dziach  i  dodatkowo  podpartej  pun ktowo  w  swoim  obszarze  (rys.  4)  należy  wyznaczyć czę stoś ci  drgań  wł asnych.  D an e, ja k  w  przykł adzie  4.1.  P odział  n a elementy  pokazan o  n a rys.  4a i b. a*600cm • o*600 cm " ł ł a Rys.  4. Wartoś ci  pierwszych  dwóch  czę stoś ci  drgań  wł asnych  umieszczono  w  tablicy  5. Tablica  5 L 1 Z Schemat  4a Wartoś ci  w; obliczone 3,685225 i,  9 6 755$ Wartoś cią , wg  pracijli] 3,54 3,7? % rdznica - 4 ,7 -   0 Schemat  4b Wartoia  w, obliczone 1,895005 3,76 ? %i WartoSa ta; wg pracy [ 5] 2,18 - % róż nica - 5.  Wnioski P rzedstawiona  w  niniejszej  pracy  m etoda, przyjmują ca  za  p u n kt  wyjś cia  odkształ calne prostoką tne  elementy  skoń czone  o  12  param etrach  wę zł owych,  pozwala  z  bardzo  dużą dokł adnoś cią   wyznaczać  czę stoś ci  drgań  wł asnych  dla  pł yt  o  nieregularnym  kon turze, o  dowolnych  warun kach  brzegowych,  o  zmiennej  sztywnoś ci  pł yt z  otworam i  i  dowolnie podpartych  w  swoim  obszarze. N UMERYCZN E  ROZWIĄ ZANIE  PROBLEMU   DRGAŃ   WŁASNYCH   93 Z  podan ych  przykł adów  wynika, że otrzymuje  się  bardzo  dobre  rezultaty już przy  nie- zbyt  gę stym  podziale  rzeczywistego  ustroju  cią gł ego  n a  elementy.  Jest  metodą   bardzo szybką .  Ś redni  czas  obliczeń  dla powyż szych  przykł adów,  ł ą cznie z  obliczaniem  macierzy sztywnoś ci  i  m acierzy  m as,  wynosił   20 m in ut n a maszynie  cyfrowej  Odra  1204.  Przy uż y- ciu tej m etody  m oż na  obliczać  drgan ia  wł asne dla zł oż onych ukł adów pł ytowych. W  przypadku  obliczania  drgań  wł asnych  dla  innych  dź wigarów  powierzchniowych cał y  tok postę powan ia  pozostaje  taki  sam. Z mieni  się   tylko  sposób  obliczania  macierzy sztywnoś ci  ukł adu [K] i m acierzy  mas [M\ . M oż liwoś ci  program u  są  róż ne w zależ noś ci  od zestawu  maszyny  cyfrowej.  D la  zestawu bez  pamię ci  zewnę trznej  m oż na  rozwią zywać  zadania  do okoł o 100 stopni  swobody.  Przy zestawie  z pamię cią   bę bn ową   moż liwoś ci  są   oczywiś cie  znacznie wię ksze. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  W. N OWACKI, Dynamika budowli, Arkady, Warszawa  1961. 2.  S.  KALISKI i in.,  Drgania i fale  w ciał ach stał ych,  PWN ,  Warszawa  1966. 3.  R. SOŁECKI, J.  SZYMKIEWICZ,  Ukł ady prę towe i powierzchniowe.  Obliczenia dynamiczne, Arkady, Warsza- wa  1964. 4.  O.  C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa  1972. 5.  A. RALSTON ,  W stę p do analizy numerycznej,  PWN ,  Warszawa  1971. 6.  J.  G OŁAŚ,  Z .  KASPERSKI,  A.  PEER- KASPERSKA,  J.  M AKOWSKI,  Zastosowanie  iteracji Seidla w  metodzie elementów skoń czonych  na przykł adzie obliczeń statycznych pł yt,  M ech. Teor. i Stos., 3,12 (1974). P  e 3 io  M e ^H CJIEH H OE  PEUIEHHE  SAJWffl  O COECTBEHHblX KOJIEBAHHflX HA  nPH MEPE B  p a 6 o T e  r r p e flc r a BJ ie H   • r a c n e H H t iii wexofl  o n p eflejieH H fl  - qacTOTW  co 6crBeH H Ł ix  KOJieSaH H jł   n o B e p x- HOCTHLIX KOHCTpyKITHH  npOH JIJIIOCTpH pOBaH H ŁIH  H a  n p H M e p e IIJIH T. KoH TH H yajIBH aH  CHCTeMa  pa3flejIH eTCH H a  K O H e^iro e  M H C J I O  flecpopM H pyeivibix  n p H M o yr o J iBH bix  SJieiweHTOB  c  32- io  cTeneH H MH  C B O S O ^ W .  M eTOfl flaeT  B03M0HCH0CTB,  C  6oJIbU IOft  TOMHOCTbK), OnpeflejI H TB  MaCTOTLI  CoScTBeHHBIX  KOJieSaH H H   flJIH   nJIH T C H eperyJI JI H pH bI M   KOH TypOM ,  C n p0H 3B0JI BI I bI M H   KpaeBWM H   yCJIOBHHMHj  CO  CKa*IKOO6pa3HO MeHHIOmeHCH: mecTKOCTBKtj  n jiH T  c  OTBepcTH H M H  H   n poH 3BO JibH 0  o n u p a io m H XC H  uo  CBoefi  oSjiacT H .  P a c c i H T a H   pflfl KOH KpeTH bix  MH CJiOBbix  n p H iwe p o B.  B O 3 M O » H O C T H   n p o r p a M M W,  H an H caH H oii  H a  H 3WKe  AJ I T O J I  1 2 0 4 ,  p a 3 - JIIPiaiOTCH   B  3aBHCHM0CTH  OT  OCH ameH H H   L(H 4)pOBbIX  M aiU H H .  JlflR  CHCTeMŁI  JIH nieH H OH   SjIOKa  BH eU ffleił naMH TH   M O J K H O  p e i n a T b  3afla^m  c  O K O J I O  1 0 0  CTeneH H MH  c so 6 o Ab i .  B  c jiy^ a e  c  o cT aBac  6apa6aH H OH  n a - B03MOMKH0CTH   TOpa3flO  6o JI Ł U ie. S u m m a r y N U M ERIC AL  SOLU TION   TO  T H E  PROBLEM   OF   F R EE  VIBRATION S  U SIN G  PLATES AS  TH E EXAM PLE I n  the  paper  the method  of solution  to problems of free  vibrations of homogeneous  plates  with ar- bitrary  boundary  conditions  has  been  presented.  The applied  method  of numerical  calculations, based 94  J.  G OŁAŚ,  Z .  KASPERSKI on  the  finite  element  method,  decreases  the  amount  of  information  remembered  by  a  digital  computer to  a  minimum, thus  allowing  for  solution  of  the  considerable  problem  of  free  vibrations.  M any  elements of  the  given  algorithm  may  be  applied  to  calculations  of  free  vibrations  of  other  cranes  with  no  other changes. WYŻ SZA  SZKOŁA  IN Ż YN IERSKA W  O P O LU Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  maja  1974  r.