Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  13  (1975)

O  MOD ELOWAN IU   WAŁU   WI ELOP OD P OR OWEG O  Z  WIELOM A  TARCZAMI  ZA  POMOCĄ
WIELKIEG O  SYSTEMU   BIOSCYLATORÓW

CZĘ ŚĆ  I I .  BIOSCYLATORY  WIELOWSKAŻ N IKOWE.  M OD ELOWAN IE  WAŁU

R O B E R T  K  R  Z  Y  W  I  E  C  ( WAR S Z AWA)

W  pracy  skon struowan o  prosty,  ale  oryginalny  m odel  dyskretny  sprę ż ystego  wał u
waż kiego  n a  wielu  podporach  sprę ż ystych,  obcią ż onego  wieloma  tarczam i.  Jest  nim
bioscylator  wielowskaznikowy  o  sześ ciu  stopn iach  swobody  (trzy  w  ruchu  postę powym,
trzy  w  ruchu  obrotowym ),  za  pom ocą   którego  m odelujem y:  n

3
  przekrojów  podporowych

wał u,  «4  przekrojów  obcią ż onych  tarczam i, n5  przekrojów  redukowania  mas,  w  przestrze-
ni  «!  - wymiarowej,  przy  uwzglę dnieniu  n

2
  rodzajów  ruchu.

R ozważ an ia  przeprowadzon o  w  term inologii  wielocią gów,  których  algebrę   i  elementy
analizy  sformuł ował   au t o r  w  oddzielnej  pracy.  Otrzym ane  równania-  róż niczkowe  są
pię ciocią gowe  o  współ czyn n ikach  wyraż onych  cią gami  dziesię ciocią gowymi.

1.  Bioscylator  jednowskaź nikowy  o 2  stopniach  swobody

Wprowadzam y  ozn aczen ia:

x  ™

gdzie j  =   1, 2'—  wskaź n ik  iloś ci  stopni  swobody  cią gu  jednowskaź nikowego  stopni  swo-
body  ukł adu  m echan iczn ego,  x

x
  —  wartość  wektora  przemieszczenia  x

t
  w  ruchu  postę -

powym  pun ktu,  x
2
  —wa r t o ść  wektora  obrotu  (ką ta)  x

2
  w  ruchu  obrotowym 1)  pu n kt u ;

—  cią g  jedn owskaź n ikowy  wartoś ci  prę dkoś ci  liniowej  i  ką towej  w  ruchu  ukł adu  mecha-
nicznego,  gdzie  x

x
  —  wartość  wektora  prę dkoś ci  (liniowej)  x

t
  w  ruchu  postę powym

pun ktu,  x
2
  —  wartość  wektora  prę dkoś ci  (ką towej)  x

2
  w  ruchu  obrotowym  p u n kt u ;

[7]  =  w
—  cią g  jedn owskaź n ikowy  wartoś ci  przyspieszenia:  liniowego  i  ką towego  w  ruchu  ukł adu
mechanicznego,  gdzie  x\   —  wartość  wektora  przyspieszenia  liniowego  %  w  ruchu  po-

Mamy  tutaj  wł aś ciwie  ruch  punktu  po okrę gu  —•  ruch  wahadł a  matematycznego.



42  R.  KRZYWIEC

stepowym  pun ktu,  x
2
  —  wartość  wektora  przyspieszenia  ką towego  x

2
  w  ruch u  obroto-

wym  pun ktu;

[m21  m22\

gdzie ji  =  j
2
  — 1,2  —  wskaź nik  cią gu  dwuwskaź nikowego  współ czynników  bezwł adnoś ci

(mas)  samego  ukł adu  mechanicznego, m
11

  —  m asa  pun ktu  w  ruchu  postę powym  z  war-
toś cią   x

x
  przemieszczenia  x

x
  proporcjonalną   do  wartoś ci  S

t
  sił y  sprę ż ystej  S

1}
  m

12
  —

m om en t  bezwł adnoś ci  masy  pun ktu  wzglę dem  osi  obrotu  podzielony  przez  dł ugość  wa-
hadł a, jako  masa  uogólniona w  ruchu  postę powym  o  wartoś ci  przemieszczenia  proporcjo-
nalnej  do  wartoś ci  S

2
  m om entu sprę ż ystego  S

2
,m

21
  —m a sa  pun ktu w  ruchu  obrotowym

wzglę dem  osi  obrotu  o  wartoś ci  obrotu  proporcjon aln ej  do  wartoś ci  S
t
  sił y  sprę ż ystej

S
t
  pom n oż ona przez  dł ugość odpowiedniego  wahadł a, jako  m asa  uogólniona,  m

22
  — m o-

m ent  bezwł adnoś ci masy  pun ktu  wzglę dem  osi  obrotu  odpowiedniego  wahadł a, ja ko  m asa
uogólniona  pun ktu  w  ruchu  obrotowym  z  wartoś cią   x

2
  obrotu  x

2
  proporcjon aln ą   do

wartoś ci  S
2
  momentu sprę ż ystego  S

2
.

Oznaczamy  również  przez:

—  cią g  jednowskaź nikowy  uogólnionych  sił   sprę ż ystych,  gdzie  S
t
  —  wartość  wektora

sił y  sprę ż ystej  S
x
  w  ruchu  postę powym,  S

2
  —  wartość  wektora  m om entu  sprę ż ystego  S

2

w  ruchu obrotowym, jako  sił y  sprę ż ystej  u o gó ln io n ej2 ) ;

• ? 2 2.

—  cią g  dwuwskaznikowy  współ czynników  sprę ż ystoś ci  dan ego  ukł adu  mechanicznego,
gdzie  Sn  —  współ czynnik  sprę ż ystoś ci  przy  obcią ż eniu  masy  m

xx
  sił ą   S

x
,  s

i2
  —  współ -

czynnik  sprę ż ystoś ci  przy  obcią ż eniu  masy  uogólnionej  m 1 2  m om en tem 5*2,  s21  —  współ -
czynnik  sprę ż ystoś ci  przy  obcią ż eniu  masy  uogólnionej  m

21
  sił ą   S

ls
  s

22
  —  współ czynnik

sprę ż ystoś ci  przy  obcią ż eniu  masy  uogólnionej  m 2 2  m om en tem  S 2;

—  cią g  dwuwskaznikowy  współ czynników  tł umienia danego  ukł adu mechanicznego,  gdzie
'"n  —  współ czynnik  tł umienia (oporu) masy  w l t ,  n a  którą   dział a sił a tł umienia Rx  o  war-
toś ci  R

t
,  r

i2
  —  współ czynnik  tł umienia  (oporu)  masy  m

12
,  n a  którą   dział a  m om en t sił

tł umienia  R
2
  o  wartoś ci  R

2
,  r

21
  —współ czyn n ik  tł um ienia  (oporu)  masy  m 2 1 ,  n a  którą

dział a  sił a tł umienia  Ri,  r
22

  —  współ czynnik  tł um ien ia (oporu) masy  m 2 2 ,  n a  którą  dział a
moment  sił  tł umienia  R

2
;

-   [R] -
2 >  W jednym  równaniu  (sił ) moment sprę ż ysty  jest  sił ą   sprę ż ystą   uogólnioną ,  w  drugim natomiast

równaniu  (momentów) sił a sprę ż ysta jest  momentem  sprę ż ystym  uogólnionym.



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  4 3

—  cią g  jedn owskaź n ikowy  uogóln ion ych  sił   tł um ien ia  danego  ukł adu  mechanicznego,
gdzie  Ri — wartość  wektora  sił y tł um ien ia R

t
  w ruch u postę powym, R

2
 — wartość  wekto-

ra  m om en tu  sił y  tł um ien ia  R
2
  w  ruchu  obrotowym ,  jako  uogólnionej  sił y  t ł u m ien ia 3';

—  cią g  jednowskaź nż kowy  uogóln ion ych  sił  wymuszają cych  danego  ukł adu  mechanicz-
n ego,  gdzie / i( / ) — wartość  wektora  sił y  wymuszają cej  f

Ł
  w ruchu  postę powym,  f

2
{t)—

wartość  wektora  m om en tu  sił  wymuszają cych  f
2
  w  ruchu  obrotowym  jako  uogólnionej

sił y  wym uszają cej4).
Przyjmujemy, ż e:
1 — wartość  Xi  przemieszczenia  x

t
  oscylatora  postę powego  jest  proporcjonalna do

wartoś ci  Xx jego  przyspieszenia  liniowego  Xj  oraz  wartoś ci  x
2
  przyspieszenia  ką towego

3t2  oscylatora  obrotowego,  czyli  x±  ~  x\ ,  xx  ~ x2,  przy  czym  x2  ~  x2;

2 — wartość  x
2
  ką ta  o bro t u  x

2
  oscylatora  obrotowego  jest  proporcjonalna  do  war-

toś ci  x
t
  przyspieszenia  liniowego  x

t
  oscylatora  postę powego  oraz  wartoś ci  x

2
  swojego

przyspieszenia  ką towego  ~x
2
,  czyli  x

2
  ~  x

x
,  x

2
  ~  x

2
,  przy  czym  Xi ~  x

x
.

Wynikają   stą d  nastę pują ce  zwią zki  liniowe:

—  —s
22

x
2
,

które jeś li są  speł nione przez  funkcje  Xi(t),  x
2
(t),  to wtedy  m oż na otrzymać dwa równania

róż niczkowe  stanowią ce  ukł ad

^ 1 1 - 1̂  <~'̂ 12"̂ *2  = =   v^ l l x l  "r ^ lZ - ^ J)

czyli

x
2
  =   0,

kt ó re są  także  speł nione  przez  te  funkcje.
Otrzymany  ukł ad  liniowy  równ ań  róż niczkowych  jedn orodn ych  o stał ych  współ czyn-

nikach  moż emy  zapisać w postaci

L^21  ' ^22j  L^2j  l_̂ 21  * 2̂2j L* 2̂j  L  J

t o  jest
2
m-   x  +

 2
s-  x  —  0.

Wykorzystaliś my  tutaj  definicję   m n oż en ia  cią gu  dwuwskaź nikowego  przez  cią g  jedno-
wskaź nikowy  podan ą   w pracach  [1, 2].  Iloczyn  ten jest  w przypadku  szczególnym  iden-
tyczny z m noż eniem macierzy.

3 )  P a t r z  n o t k a  p o p r z e d n ia  d o t yczą ca  sił y  sprę ż yst ej.
4 )  P a t r z  o b i e ' n o t k i  p o p r ze d n ie .



44 R.  KRZYWIEC

Jeś li  wię c n a pun kt materialny x  o  wł asnoś ciach  2m  dział a uogóln ion a  sił a sprę ż ysta  S,
to  zachodzi  proporcja  x  ~  x,  czyli  zgodnie  z  uogólnionym  prawem  H o o ke'a  [5] 5 )

2
m  'X  =   —  2ś  •   x.

Taki  ukł ad  mechaniczny  [4]  bę dziemy  ilustrowali  za  pom ocą   masy  n a  jedn ej  sprę -
ż ynce  postę powo- obrotowej  podatnej  n a  odkształ cenia  liniowe  wzglę dem  współ rzę dnej
uogólnionej  x,  to  znaczy  w  kierunku  x

x
  i  wokół   osi  prostopadł ej  do  ką ta  pł askiego  x

2
,

który  jest  wartoś cią   ką ta  obrotu  x
2
  jako  wektora  równoległ ego  do  tej  osi.

Przyję ty  schemat  rysunkowy  ukł adu  mechanicznego  pokazan o  n a  rys.  1.

Rys.  1

Definicja  1.0.  U kł ad  mechaniczny  opisany  równ an iem  róż niczkowym

P{t,  x{t),  x(t),
  2

m,
  2

s)  -   Ó

jedn orodn ym  liniowym  o  współ czynnikach  stał ych  nazywamy  bioscylatorem  harm onicz-
nym  swobodn ym 6'  o  dwóch  stopniach swobody.

Czę sto  identyfikujemy  równanie  opisują ce  zjawisko  z  samym  zjawiskiem  nazywają c
je  krótko  bioscylatorem  swobodnym.  Interpretację   mechaniczną   bioscylatora  o  dwóch
stopniach  swobody  przedstawiamy  za  pomocą  jednej  sprę ż ynki  pł askiej  postę powo- obro-
towej  nazwanej  bisprę ż ynką   o  dwóch  stopniach  swobody.

Definicja  l.l.  U kł ad  mechaniczny  opisany  równ an iem  róż niczkowym

P(t,  x{t),  x(t)
}

  2
m,

  2

niejednorodnym  liniowym  o  współ czynnikach  stał ych  nazywamy  bioscylatorem  wymu-
szonym  o  dwóch  stopniach swobody.

5 )  W  pracy  tej  sformuł owano  uogólnione  prawo  H ooke'a  ukł adów  wielokrotnych  jako  wielkich
systemów  stereomechanicznych.

0 )  Swobodny  ze  wzglę du  na brak  wymuszeń  oraz  oś rodek  bez  oporów.  '



O  MODELOWANIU   WAŁU  WIELOPODPOROWEG O 45

M odel  mechaniczny  takiego  ukł adu jest  pun ktem  o  współ rzę dnej  uogólnionej  x  po-
siadają cym  wł asnoś ci  2m,  n a  który  dział a  uogóln ion a  sił a  sprę ż ysta  S  i  wymuszają ca  / ,
to  znaczy  zgodnie  z  prawem  N ewton a  dla  wielkich  systemów  [9] 7 )  mamy

2
m  •   x  + x  =   f(t).

U kł ad  ten  ilustrujemy  za  pom ocą   masy  n a  bisprę ż ynce  pł askiej  obcią ż onej uogólnioną
sił ą   wymuszają cą   f.  P rzedstawion o  go  na  rys.  2.

Rys.  2

Definicja  1.2.  U kł ad  m echan iczn y  opisany  równ an iem  róż niczkowym

P[(t,  x{t),  x(t),  x{t),
  2

m,
  2

7,
  2

s,  f{t)]  =  0

niejednorodnym  liniowym ,  zawierają cym  x,  o  współ czynnikach stał ych nazywamy  bioscy-
latorem  wym uszonym  t ł u m io n ym 8 )  o  dwóch  stopniach  swobody.

W  modelu  m echanicznym  takiego  ukł adu  należy  dodatkowo  uwzglę dnić  tł umik po-
stę powo- obrotowy  dwuwymiarowy  nazywany  bitł um ikiem .  P okazan o  go  n a  rys.  3.

W / / / / / / / A

Rys.  3

7 )  Jest  to  uogólnienie  prawa  N ewtona  dla  ukł adów  mechanicznych  wielokrotnych,  jako  systemów
wielkich,  opisanych  za  pomocą   cią gów  wielowskaź nikowych.

8 1  Tł umienie  może  być tak zewnę trzne, jak  i  wewnę trzne.



46 R .  K R Z YWI E C

Bitł umik  uwzglę dnia  tł umienie  proporcjonalne do  wartoś ci  x  prę dkoś ci  uogólnionej  JC,
wywoł ane  uogólnioną   sił ą   tł umią cą  R,  to  znaczy  tak  od  sił y  tł umią cej R

±
  w  ruchu postę -

powym,  jak  i  od  m om en tu tł umią cego R
2
  w  ruchu  obrotowym  pun ktu.

W  ten  sposób  równanie  bioscylatora  wymuszonego  tł um ionego  dwuwymiarowego
o  dwóch  stopniach swobody  ma postać

2m  •   x  2F  •   x +  2,y •   x  =   f(t).

Jest  rzeczą   zrozumiał ą , że  moż na  rozważ ać  róż ne  przypadki  szczególne  takiego  rów-

n an ia  róż niczkowego  cią gów  jednowskaź nikowych,  którego  współ czynniki  są   cią gami

dwuwskaź nikowymi.
W  szczególnoś ci  ukł ad- ciąg  równań  rozważ anych  uprzednio, mianowicie

m
2
  •   x

2
  + r

2
  •   x

2
  + s

2
  •   x

2
  =  f

2
(t),

jako  cią g  jednowskaź nikowy  oscylatorów:  1)  postę powego,  2)  obrotowego,  w  postaci

r*ii  r*i
4 Ą

wynika  z równania bioscylatora  wymuszonego  tł umionego.

2.  Bioscylator  jednowskaź nikowy  o  6  stopn iach  swobody

Wprowadzamy  oznaczenia:

X  —

X l

-

xn

X l 2

X 2 1

X 2 2

X 3 1

X 3 2

=

~x
n

x 2 1
.- ^31

X 1 2

X'22

x32

h  =   1 , 2 , 3 ;

h=  1,2

—  cią g  dwuwskaź nikowy  iloś ci  stopni  swobody  (współ rzę dnych  niezależ nych)  ukł adu
mechanicznego, gdzie j \   —  wskaź nik  iloś ci stopni swobody  okreś lonego  rodzaju  i  wymiaru
przestrzeni  ortokartezjań skiej,  j

2
  —  wskaź nik  iloś ci  rodzajów  stopni  swobody  [1)  prze-

mieszczenia,  2)  obrotu], x
±
  —  cią g  jednowskaź nikowy  jako  wektor  przemieszczenia  pod-

czas  ruchu  postę powego  punktu  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwymiarowej,  x 2  —  cią g
jednowskaź nikowy  jako  wektor  swobodny  obrotu  podczas  ruch u  obrotowego  pun ktu
w przestrzeni  euklidesowej  trójwymiarowej;

=  [Xj
lJ2

]
T
;  A - 1 . 2 , 3;  h  =   1, 2

—  cią g  dwuwskaź nikowy  prę dkoś ci  ukł adu  mechanicznego,  gdzie  j \  —  wskaź nik  iloś ci
współ rzę dnych  wektora  prę dkoś ci  okreś lonego  rodzaju,  j

2
  —  wskaź nik  iloś ci  rodzajów

prę dkoś ci  [1)  w  ruchu  postę powym,  2)  w  ruchu  obrotowym],  x  —  cią g  jedn owskaź n iko-

X l ,

Xl  2

X 2 1

X 2 2

X 3 1

X32

=

X l i

X'21

X 3 1

x 1 2
X 2 2

X32_



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O 47

wy ja ko  wektor prę dkoś ci  (liniowej)  w ruchu postę powym pun ktu, x
2
  —  cią g jednowskaź ni-

kowy  jako  wektor  swobodny  prę dkoś ci  (ką towej)  w  ruchu  obrotowym  pu n kt u ;

2
X  =

X t

x 2

=
. *12

^ 2 1  X 3 1  1

1  _

X22  X
32

J

"x'il

x2 1
X31

x\
2

x
22

X 3 2

- \ T

A  = 1 , 2 , 3 ;

—  cią g  dwuwskaź nikowy  przyspieszeń  ukł adu mechanicznego, gdzie j
l
  —  wskaź nik  iloś ci

współ rzę dnych  wektora  przyspieszeń  okreś lonego  rodzaju, j
2
  —  wskaź nik  iloś ci  rodzajów

przyspieszeń  [1)  w  ruch u  postę powym,  2) w  ruchu  obrotowym ], x t  —cią g  jednowskaź ni-
kowy  jako  wektor  przyspieszenia  (liniowego)  w  ruchu  postę powym  pun ktu,  x

2
  —  cią g

jednowskaź nikowy  ja ko  wektor  przyspieszenia  (ką towego)  w  ruchu  obrotowym  pun ktu.
M am y  również

ki  /M12]  r ^ n  '"12I  p «n  w1 2 i
[m

2i
  m 2 2 j i 1 L m 2 i  m22\ l2[m21  m22\ 13

p  T  r  T  r  n

[ m 2 i  W22.I21  [m21  m22\ 22  [m21  mZ2\ 23

[
m

i i
  rn

i2\   \
m

t i
  m

\ 2\   r ^ n  r>i
12

\

™2i  m 2 2 \ 3 1  [m21  m 2 2 \ 3 2  [m21  m 2 2 \ 2 Z
—  cią g  czterowskaź nikowy  współ czynników  bezwł adnoś ci,  jako  mas  uogólnionych  da-
nego  ukł adu m echan iczn ego, gdzie  yŁ —wska ź n ik  iloś ci  rodzajów  ruchu  [1)  postę powe-
go, 2)'obrotowego], j

2
  —  wskaź n ik  iloś ci  ruchów  w  dan ym rodzaju  r u c h u 9 ) , j

3
  —  wskaź nik

ogólnej  iloś ci  6  stopn i  swobody  w  obu  ruch ach : postę powym  i  obrotowym  (trzy  pierwsze
wyrazy  dotyczą   równ ań  sił ,  trzy  dalsze  wyrazy  uwzglę dniają   równania  momentów sił ),
./4 —  wskaź nik  trzykrotn ego  wystą pienia  dwóch  ruch ów:  postę powego  i  obrotowego
ze wzglę du  n a  dwa  razy  p o  trzy  stopn ie  swobody  ukł adu  w  ruchu  postę powym  i  obro-
towym.

D efiniujemy  także  przez:

2
S  =

Su

S12

s2l
" 2 2

Sil

S
32

_
=

Su  S
12

21  22
C  C
O3J  " 3 2

A  =  1, 2, 3;  h  =   1,2

w  2x,
cią g  dwuwskaź nikowy  uogóln ion ych  sił   sprę ż ystych,  gdzie  j

t
, j

2
  —•  wskaź niki,  jak

—  cią g  jedn owskaź n ikowy  ja ko  wektor  sił   sprę ż ystych  l o ) p o d c za s  ruchu postę -
powego  pun ktu  w  przestrzen i  euklidesowej  trójwymiarowej,  S

2
  —  cią g  jednowskaź niko-

wy  jako  wektor  swobodn y  m om en tów  sił   sprę ż ystych11'  podczas  ruchu  obrotowego

9 )  P a t r z  r o zd zia ł   p o p r z e d n i .
1 0 )  P a t r z  r o zd zia ł   p o p r z e d n i .
1 1 }  P a t r z  r o zd zia ł   p o p r z e d n i .



48 R.  KRZYWIEC

pun ktu w przestrzeni euklidesowej  trójwymiarowej;

i  ^ 12]  r ^ i i  s

1  1?22_ I ll  L^21  s

11  12  I  I  11  12  I  I  '

J 2 1  • y22j21 L ^ l  • S 22j22  L1

^ 1 1  • *12|  ^ 11  • '12  I  l ^ l l  "̂ 12

^ 2 1  i ' 2 2 j 3 1  1*21  • y22j32  L J 2 1  • S 22j

—  cią g  czterowskaź nikowy  współ czynników  sprę ż ystoś ci  danego  ukł adu  mechaniczne-

go 1 2 5 ,  gdzie 7J , j
2

,  j
s
,  j

4
 — wskaź niki jak  w 4 m ;

?u  r
12

]  p n  / - 12"j  I",

r u  J- aaJuUi  ''22J12L
''n  ''12I  p n  '• 12I  p n '•
'21  '• 22J2I L'21  /"22J22 L'21  r

/ "ll  '"12

''21  ' 2 2 J 1 3

12

22J22

p i l  '• 12I  p i l  ''lal  p l l

_ l/ 21  ''22J3I  Lr21  ''22J32  I/ 2I

—  cią g  czterowskaź nikowy  współ czynników  tł umienia  danego  ukł adu m ech an iczn ego 1 3',

gdzie A, A > Ai .U — wskaź niki, jak w 4 m ;

T

^ 2

R
12

R22

R
3
2.

=  [R
hh

Y,  A =  1, 2, 3;  A - 1 ,2

—  cią g  dwuwskaź nikowy  uogólnionych  sił   tł um ienia  dan ego  ukł adu  m echanicznego,
gdzie j

t
 ,j

2
  — wskaź niki, jak w  2x,  R

x
 — cią g  jednowskaź nikowy  jako  wektor  uogólnio-

ny  sił  t ł u m ien ia 1 4'  podczas  ruchu  postę powego  pun ktu  w  przestrzeni  euklidesowej  trój-
wymiarowej,  R

2
 — cią g  jednowskaź nikowy  jako  wektor  swobodny  u o gó ln io n ych 1 5' sił

(momentów  sił ) tł umienia  podczas  ruchu  obrotowego  pun ktu w przestrzeni  euklidesowej
trójwymiarowej;

T

2
f(t) =

/ 2l(0  / 3l(0

Ua(O

/ n ( 0  /12O)

A\ i(0  / 2 2 ( 0
/ ai(0 / 3a(0j

=   Ł/ WOF.

A  —  1  J 2 , 3 ;  72  —  1, 2

—•   cią g  dwuwskaź nikowy  uogólnionych  sił  wymuszają cych  danego  ukł adu mechaniczne-
go,  gdzie A , A — wskaź niki,  jak w  2x, / i ( 0 — cią g  jednowskaź nikowy,  ja ko  wektor sił
wymuszają cych  podczas  ruchu  postę powego  pun ktu  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwy-

1 2 )  P a t r z  ro zd ział  p o p r ze d n i.
1 3 )  P a t r z  rozdział  p o p r ze d n i.
1 4 )  P at rz  ro zd ział  p o p r ze d n i.
1 5 )  Jak  wyż ej.



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O 49

miarowej, f
2
(t)  —  cią g  jedn owskaź n ikowy,  ja ko  wektor  swobodny  uogólnionych  sił  (mo-

mentów  sił )  wymuszają cych  ruch u  obrotowego  pu n kt u  w  przestrzeni  euklidesowej  trój-
wymiarowej.

Z auważ m y,  że  wprowadzon e  cią gi  dwuwskaź nikowe,  jako  dwuelementowe  cią gi
jedn owskaź n ikowe  mogą   m ieć  interpretację   podwójn ą :

1) ja ko  cią gi  dwuwskaź n ikowe  współ rzę dnych  dwóch  wektorów,  z  których  drugi  jest
zawsze  swobodny,

2)  ja ko  dwuelem entowe  cią gi  jedn owskaź n ikowe  —  wektory,  z  których  drugi  jest
zawsze  swobodny.

P ostę pując  podobn ie, ja k  w  rozdziale  poprzedn im , formuł ujemy  nastę pują ce  definicje.

Definicja  2.0.  U kł ad  m echan iczn y  opisany  równ an iem  róż niczkowym

P[(t),
  2

x(t),
  2

x(t),
  2

x\ t), m
  4 r  *s  2,  *s,   2f(t)]  -   2 0

niejednorodnym  liniowym,  zawierają cym   2x,  o  współ czynnikach  stał ych  [1, 2]  nazywamy
bioscylatorem  wym uszon ym  t ł u m io n ym 1 6 '  o  sześ ciu  stopn iach  swobody  w  przestrzeni
euklidesowej  trójwym iarowej.

Z godn ie  z  przyję tymi  oznaczeniam i  m am y:

+

+

m
2i
  W22

' • 21

1   pul
JiiL^J

I i

'" 22J12  L*22

522J12

' 2 1

x 3 1

[x31]

U 32J

U32

r/ n(01
~  L/21  (Oj

m
2l
  m

22
\

+
/"i2l  p u l  [>n
' 2 2 J 2 I  L * j

p
L''2

p i l  ^121

L^21  • S22J21  1.

III

/ M22J 3 I

22J3I

* 3 1

p3 1

1   [!"1
J23  L ; C 32j

I'"li  r1 2 l  r^Zll  [''li  ''12I  I  - ^31 1

r  r  i-   +   r  ,  U
L r 21  ' 2 2 J 2 2  L^- 22J  L'21  '22.I 23  L- V32j

• "• 111  p i l  ^ lZ J  p 2 l l  p i l  • ?]

^12.1  1^21  • S'22j22 L"^22j  L ^ l  S:

^21]  [ w n  m

^22 J  L'"21  W;

>Ć 2ll  [ ''li  ''
^22  J  L^l  '':

f:i -
L  32J

fn(f)
/ 12WJ'

l e )  Tł umienie  może  być  zewnę trzne,  jak  i  wewnę trzne.

4  Mechanika  Teoretyczna



50 R.  KRZYWIEC

czyli

'2ryi  2 2m
l3

2
m

22

  2

'/ w 3 3 .

2~   2r  2r
'1 1  ' 1 2  ' 1 3

2
x,

  3
x]+\

2
'r

2t

  2
7j,

2

  2
fj

3

2 i«_  .   2™  2„

,
  2

x,
  3

x]  +

2 * 1 3
2
s

23

J(t)
2/ (0
3/ (0

Izie

oraz

k
x  = kX  = kx  — U A; «  1 , 2 , 3

/ 3l(01
3 / ( 0  = / 32(O

przy  czym mnoż enie cią gów  dwuwskaź nikowych  przez  cią gi  jedn owskazn ikowe  jest  zgodne
z  reguł ą   mnoż enia  macierzy,  co  wyjaś nia  schemat  przyję tego  m n oż en ia  cią gów  cztero-
wskaź nikowych  przez  cią gi  dwuwskaź n ikowe17),  w  którym  obowią zuje  m noż enie  wierszy
4 m  przez wiersz  \ jX,

  2
x,

  3
x\ .

M odelem  mechanicznym  takiego  ukł adu  jest  pun kt  o  współ rzę dnej  uogólnionej  2x
posiadają cy  wł asnoś ci  bezwł adnoś ciowe  4/ n , n a  który  dział a  uogóln ion a  sił a  sprę ż ysta  2S
oporu  (tł umienia)  2R  i  wymuszają ca  2f.

Przedstawimy  go  w  postaci  masy  skupionej  n a  bisprę ż ynce  postę powo- obrotowej,
przedstawiają cej  sześć  stopni  swobody  ukł adu  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwymiaro-
wej  z  doł ą czonym  bitł umikiem postę powo- obrotowym.  Bisprę ż ynka  obrazuje  uogólnione
sił y  sprę ż yste  2S  proporcjonalne  do  sił  bezwł adnoś ci  (o  czterowskaź nikowych  współ czyn-
nikach  proporcjonalnoś ci).  Bitł umik  uwzglę dnia  tł umienie proporcjon aln ie  do  prę dkoś ci
uogólnionej  2x,  wywoł ane  uogólnioną   sił ą   tł um ienia  2R,  t o  znaczy  pochodzą ce  od  sił y
tł umią cej  R

x
  w  ruchu  postę powym  ukł adu, jak  i  od  sił y  uogólnionej  (m om en tu  sił y)  R

2

w jego  ruchu  obrotowym.

Definicja  2.1.  U kł ad  mechaniczny  opisany  równ an iem  róż n iczkowym

2
P[t,

  2
x{t)

2
H(t),  *in,

  4
s,

  2 / ( 0 ]  =   2 0

niejednorodnym  liniowym  o  współ czynnikach  stał ych  nazywamy  bioscylatorem  wymu-
szonym  o  sześ ciu  stopniach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwymiarowej.

Z godnie  z przyję tymi  oznaczeniami mamy

2
m

lx

  2
m

12

  2
m

l3
2
m

21

  2
m

22

  2
m

23
2
m

3l

  2
m

32

  2
m

33

2X,  3X] + S2\
2
x, 3x\   — 2/ (0

1 7 )  Kilka  reguł  mnoż enia cią gów  wielowskaź nikowych  przez  cią gi  wielowskaź nikowe  sformuł owano
w  pracach  [1,  2].

' . . . '  «  t-



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O  5 1

czyli

W  m odelu  m echanicznym  takiego  ukł adu  n ie  wystę puje  bitł umik, ponieważ  oś rodek,
w  którym  odbywa  się   ruch , jest  idealny,  bezoporowy  i  nie istnieją   sił y  tł umią ce.

Z auważ m y,  że  bioscylator  dwuwskaź nikowy  o  sześ ciu  stopniach  swobody  skonstruo-
wany jest z trójelementowego  cią gu  (wymiar  przestrzeni euklidesowej)  cią gów  jednowskaź ni-
kowych  bioscylatorów  o  dwóch  stopn iach  swobody.

W  przypadku  szczególnym

[ m 2 1 2 X  m2 2 2 1 j  Lm2 1 m2 2
r121l]  [''li  '"12I
r  \

 =
  \ r  r  V

r2221J  L'21  '22J

l i

~  X~2,

oraz  przy  pozostał ych  współ czynnikach  równych  zeru,  otrzymujemy  równanie  bioscyla-
tora  wymuszonego  tł um ion ego o  dwóch  stopn iach  swobody:

wyprowadzone  w  rozdziale poprzedn im .
W  szczególnoś ci  wynika  stą d  równ an ie

oraz  równ an ie

m
2
  •   x

2
  + r

2
  •   x

2
  + s

x
  •   x

x
  =   f

2
(t)

oscylatora  obrotowego,  które  wprowadziliś my  w  rozważ aniach poprzednich.
W  ten  sposób  pokazaliś m y,  że  oba  odrę bne  równ an ia  dwóch  niezależ nych  ruchów

m oż na  uogólnić  w  podan ym  wyż ej  sensie  bioscylatora  dwuwskaź nikowego  o sześ ciu  stop-
niach  swobody  w  przestrzen i  euklidesowej  trójwymiarowej.

P okaż emy  jeszcze  dalsze  uogóln ien ia  tego  problem u,  mianowicie  rozszerzają c  roz-
waż ania  n a  przestrzeń  w- wymiarową.

3. Bioscylator  dwuwskaź nikowy  o 2«  stopniach swobody  w przestrzeni  euklidesowej  «- wymiarowej

Z auważ my,  że  równ an ie  bioscylatora  o  2n  stopn iach  swobody  w  przestrzeni  n- wymia-
rowej  m a  postać  wielowskaź nikową   analogiczną   d o  równ an ia  bioscylatora  o  2 •   3  stop-
n iach swobody  w przestrzeni euklidesowej  trójwymiarowej,  które rozpatrywaliś my  wyż ej18 ) .

1 8 >  Rozdział  poprzedni.

4 *



52 R.  KRZYWIEC

Wynika  to  stą d,  że  walencje  zewnę trzne  (wskaź niki  po  stronie lewej u góry)  cią gów  dwu-
wskaź nikowych  zmiennych niezależ nych  x,  2x,  2x  pozostają   niezmienione.

Powię ksza  się   jedynie  wymiar  ich  walencji  wewnę trznych  oraz  wymiar  tych  walencji
wewnę trznych  cią gów  współ czynników,  które  wskazują   n a  wymiar  przestrzeni  orto-
kartezjań skiej.  Obecnie  przestrzeń  t a jest  H - wymiarowa.

Wobec  tego  mamy

[ Xi\   . . .  Xni  I  r  IT  ' " '
xfl...  x$\

  =   L  L  =   {XjiJl]  '  h -   1, 2,  k = 0, 1, 219>;

4m  =  \ 2m
hh

\   =   [m
hhhi4

],  j ,  = j
2
  -   1, 2;  7 ; =  y4  =   1,  . . . , «;

r  =   [ O3J4J =   [O1J2J3J4J'  s  =   L  S J 3W  =   n i
2 R  =   -   —

_Rnl
A - i  »;  h =  1.2;

U ]  1  U l

*nl  "Jn2

/ ii(0.- ./ - i(0
/ l2(0

U wzglę dniając  dotychczasowe  rozważ ania,  ukł ad  równ ań

nazywamy  równaniem  wielocią gowym  [1, 2]  bioscylatora  wymuszonego  tł um ion ego
o  2n  stopniach  swobody  w przestrzeni  euklidesowej  ^- wymiarowej.  Wystę pują   tu  dwucią gi
funkcji  i pochodnych  oraz  czterocią gi  współ czynników  stał ych.

4.  Cią g  w- wskaź nikowy  bioscylatorów  o  2n sztopniach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  n- wymiarowej

Przyjmijmy,  że  w przestrzeni  euklidesowej  ^- wymiarowej  m am y  w rodzin,  czyli  cią g
w- wskaź nikowy  bioscylatorów,  przy  czym  każ da z nich  zawiera  n

q
, q =   1, ...,w  bioscy-

latorów  wymuszonych  tł umionych o 2n  stopniach swobody.  Wtedy

j
ą q  =  3,  ...,

gdzie  wskaź nik  k = 0 dotyczy  funkcji  czasu,  wskaź nik  k =   1  dotyczy  pierwszej  poch od-
nej,  wskaź nik  k — 2 dotyczy  drugiej  pochodn ej  funkcji  czasu.

1 9 )  Wskaź nik  k  = 0  dotyczy  funkcji,  k  =  1—pierwszej  pochodnej,  k =  2 — drugiej  pochodnej
wzglę dem  czasu.



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPOROWEG O 53

Jest  rzeczą   zrozum iał ą , że

Sił y wymuszają ce  (stron y prawe  równ ań ), ja k  i wszystkie sił y są  również cią gami  (2+ w)-
wskaź nikowym i.

Współ czynniki  przy  funkcji  2+wx,  pochodnej  pierwszej  2 + w x,  pochodnej  drugiej  2+wx
są   [1,  2] 2(2 +  H ')- wskaź nikowe,  t o  znaczy  mają   postać  2 ( 2 + w ) w,   2<2+ w>7,   2< 2+ w>j.

Wskaź n iki  nieparzyste  przedstawiają   «wiersze»,  wskaź niki  parzyste  natomiast  «ko-
lumny»  ukł adu  wielocią gowego  równ ań  róż niczkowych:

dla  t e< / i,  ty,  wypisanego  n a  podobień stwo  ukł adu «macierzowego»  równań. Jest  to  rów-
n an ie  róż niczkowe  wielocią gowe  w- wskaź nikowego  bioscylatora  wymuszonego  tł umio-
nego  o  2«  stopn iach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  n- wymiarowej.  Wystę pują   tu
(2+ w)- cią gi  funkcji  i  poch odn ych oraz  2(2 +  w)- cią gi  współ czynników stał ych.

Z auważ my,  że  w  przypadku  w  =   0,  m am y  równ an ie  bioscylatora  dwuwskaź nikowego
o  2«  stopn iach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  «- wymiarowej,  które  był o tematem
rozważ ań  rozdział u  poprzedn iego.

5.  C ią g  trójwskaź n ikowy  bioscylatorów  o  2  •   3  stopn iach swobody  w  przestrzen i euklidesowej  trójwymiarowej

Przyjmijmy  obecnie  n  =   3  i  w  =  3,  to  znaczy  rozważ my  w  przestrzeni  euklidesowej
trójwymiarowej  trzy  rodzin y,  czyli  cią g  trójwskaź nikowy  bioscylatorów  przyjmują c,  że
każ da  z  nich zawiera  n

ą
,  q  =   1, 2, 3 bioscylatorów  wymuszonych  tł umionych  o  2 •   3 stop-

niach  swobody.  M am y  teraz

a+ »x» -   ftJ5W«iJ..  A- 1 . 2 . 3;  7, - 1, 2;  j
q
  =  1,...,«,;  ^ =  3,4,5,

gdzie  j \   jest  wskaź nikiem  wym iaru  przestrzeni  euklidesowej,  j
2
  —  wskaź nikiem  iloś ci

ruchów  (rodzajów  stopn i  swobody),  J
a
  —  wskaź nikiem  iloś ci  bioscylatorów  pierwszej

rodziny  (rodzaju), j
4
  —  wskaź nikiem  iloś ci  bioscylatorów  drugiej  rodziny  (rodzaju), j

s
  —

wskaź nikiem  iloś ci  bioscylatorów  trzeciej  rodziny  (rodzaju)  k  =   0 —  wskaź nikiem  funkcji

czasu  2+3x
i
  k  =  1 —  wskaź nikiem  pierwszej  pochodnej  2+3x,  k  =  2—  wskaź nikiem  dru-

giej  pochodn ej  2+3x  funkcji  czasu.

Stą d  wynika,  że

Sił y  wymuszają ce  (prawe  stron y  równ ań ),  ja k  i  wszystkie  sił y  są   również  cią gami  ( 2+ 3) -
wskaź nikowymi.  Współ czynniki  przy  funkcji  2+wx,  pochodnej  pierwszej  2+wx,  pochodnej
drugiej  2+wx  są   [1,2]  2(2+ 3)- wskaź n ikowe, t o  znaczy  mają   postać 2 < 2 + 3 ) m ,   2 ( 2 + 3 ) r ,  2( 2+ 3> S.



54  R.  KRZYWIEC

Wskaź niki  nieparzyste  przedstawiają   «wiersze»,  wskaź niki  parzyste  n atom iast  «ko-
lumny»  ukł adu  pię ciowskaź n ikowego20'  równań  róż niczkowych  o  współ czynnikach  dzie-
się ciowskaź nikowych:

10
m-   IX+

10
}•   ft+

10
s•   {x  =  ff(t),  dla  te(t

u
t\

wypisanego  na  podobień stwo  ukł adu  «macierzowego».  Jest  to  równanie  róż niczkowe
pię ciocią gowe  (pię ciowskaź nikowe)  bioscylatora  wymuszonego  tł um ionego  o  2 •   3  stop-
niach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwymiarowej.

G dy  walencja  zewnę trzna  (wskaź nik  po lewej  stronie u góry)  w  — 2, to m am y  równ an ie
bioscylatora  dwuwskaź nikowego  o  6  stopniach  swobody  w  przestrzeni  euklidesowej  trój-
wymiarowej,  które  był o tematem rozważ ań  rozdział u 2.

6.  M odelowan ie  wał u waż kiego  z  wieloma  tarczam i  n a  wielu podporach  za  pomocą   bioscylatora  pię ciowskaź ni-

kowego  o  sześ ciu  stopn iach  swobody  w  przestrzen i  euklidesowej  trójwym iarowej

Widzimy,  że  rozpatrywane  oscylatory  i  bioscylatory  m oż na był o uogólnić  n a przestrze-
nie wielowymiarowe.  Obecnie pokaż emy,  że  m oż na je,  mię dzy  innymi, zastosować  do m o-
delowania  omówionej  n a  począ tku  trójelementowej  konstrukcji  k  zł oż onej  z  waż kiego
wał u  sprę ż ystego  obcią ż onego  dowolną , skoń czoną   liczbą   waż kich  tarcz, podpartego  w do-
wolnej,  skoń czonej  iloś ci  ł oż ysk  zwanych  podporam i. Z akł adam y przy  tym, że  nie  uwzglę -
dniamy  współ dział ania innych  elementów  maszyny, urzą dzenia, zespoł u  maszyn,  w  skł ad
których  wchodzi  omawiana  konstrukcja  k,  sama  traktowan a  ja ko  element  cią gu  wielo-
wskaź nikowego  podzespoł ów  pewnego  ukł adu  mechanicznego  nazwanego  systemem  ma-
szynowym.

Inaczej  mówią c,  wał   z  tarczam i  i  ł oż yskami  rozpatrujem y  ja ko  izolowany  ukł ad  me-
chaniczny,  chociaż jest  on  podsystemem  zł oż onego  systemu  maszynowego.

W  rozdział ach poprzednich pokazaliś my,  że  kon strukcja  k:
1)  istnieje  w  przestrzeni  euklidesowej  trójwymiarowej,  w  której
2)  pewne  przekroje  wał u  jako  elementarne  twory  trójwymiarowe  posiadają   dwa  ro-

dzaje  ruchów,  mianowicie  postę powe  wzdł uż  trzech  osi  ortokartezjań skiego  ukł adu  od-
niesienia  oraz  obrotowe  dookoł a tych  trzech  osi;

3)  został a  sprowadzon a  do  trzech  rodzajów  przekrojów  wał u,  mianowicie  po dpo ro -
wych,  obcią ż onych  tarczam i, obcią ż onych  m asam i  zredukowan ym i.

Te pię ć zasadniczych  elementów  dotychczasowych  rozważ ań,  czyli:  wymiar  przestrzeni,
ilość  rodzajów  ruchów  przekrojów  wał u,  przekroje  podporowe,  przekroje  obcią ż one  tar-
czami,  przekroje  obcią ż one  m asam i  zredukowanym i,  wprowadziliś my  do  m odelu  m ate-
matycznego  ukł adu  mechanicznego nazwanego  cią giem  trójwskaź nikowym  bioscylatorów,
czyli  bioscylatorem  pię ciowskaź nikowym  o  2 •   3  stopn iach  swobody  w  przestrzen i  eukli-
desowej  trójwymiarowej.

Wobec  tego  moż emy  przyją ć,  ż e:  a)  pierwszą   rodzin ę   rozważ anych  w  rozdziale  po-
przednim  bioscylatorów  stanowi  n

3
  podpór  konstrukcji  k  z  przekrojam i  podporowym i,

2 0 )  To  znaczy  pię ciocią gów  funkcji,  pochodnych pierwszych  i  pochodnych drugich.



O  MODELOWANIU   WAŁU   WIELOPODPORQWEG O  .  55

b) drugą   rodzin ę   bioscylatorow  stanowi  n
4
  tarcz  z  przekrojami  wał u, n a  których  są   one

osadzone, c) trzecią   rodzin ę  bioscylatorow  stanowi  «5  mas  zredukowanych  wał u z  tymi jego
przekrojam i,  do  których  przeprowadzon o  redukcję   jego  masy  cał kowitej.

Reasumują c  stwierdzamy,  że jeś li:  1 ) ^  =   1,  ..., n
ls
  «i  =   3 jest  wskaź nikiem  wymiaru

przestrzeni  euklidesowej,  2) j
2
  =  1, ...,n

2
,  n

2
  =  2  jest  wskaź nikiem  rodzajów  ruchu  po-

stę powego  lub  obrotowego,  3)  j
a
  — 1,  ..., n

3
  jest  wskaź nikiem  iloś ci  ł oż ysk  (podpór)

z  przekrojami  podporowym i,  4) ./ 4  =   1  «4  jest  wskaź nikiem  iloś ci  tarcz  z  przekrojami
wał u  oraz  5) j

s
  =   1, . . . , «5  jest  wskaź nikiem  iloś ci  mas  zredukowanych  z  odpowiednimi

przekrojam i  wał u,  to  ruch  sprę ż ystej  konstrukcji  k,  ja ko  ukł adu pię ciocią gowego  (pię cio-
wskaź nikowego)  bę dą cego  wie lkim 2 "  systemem  dynamicznym  [4], zgodnie  z  drugim  pra-
wem  N ewton a  [9] oraz  przy  uwzglę dnieniu  prawa  H ooke'a  [5] w  oś rodku  z  oporami i  przy
istnieniu  sił   wymuszają cych,  jest  opisany  za  pomocą   systemu  wielkiego  bioscylatorow,
mianowicie  równ an iem  bioscylatora  pię ciowskaź nikowego  o  sześ ciu  stopniach  swobody
w  przestrzeni  euklidesowej  trójwym iarowej:

gdzie  stał e  współ czynniki  są   cią gami  dziesię ciowskaź nikowymi  [1,  2].
W  literaturze  zn an e  są   tylko  n iektóre  przypadki  szczególne  [10,  11]  rozwią zań  ukł a-

dów  równ ań  róż niczkowych  nazwanych  tutaj  bioscylatorem  pię ciowskaź nikowym.
Być  może  warto  zają ć  się   nim i  korzystają c  z  elektronicznej  techniki  obliczeniowej  lub

konstruują c  odpowiednie  an alogi  elektryczne,  za  pomocą   których  rozwią zanie  danych
wielocią gowych  ukł adów  równ ań  przedstawionych  algorytmami  macierzowymi  nie był oby
zbyt  trudn e.

Literatura  cytowana  w  tekś cie

1.  R.  KRZYWIEC,  W ielocią gi,  P raca  doktorska,  nie  publikowana.
2.  R. KRZYWIEC,  Cią gi wielowskaż nikowe,  Zagadnienia D rgań N ieliniowych, 11 (1971).
3.  M . T.  H U BER,  Stereomechanika T echniczna,  Warszawa  1951.
4.  R. KRZYWIEC,  O formalizowaniu poję cia ukł adu, Arch, Bud. M asz., 2 (1971).
5.  R.  KRZYWIEC,  O  wielowskaź nikowym  uogólnieniu prawa Hooke'a  ukł adów  stereomechanicznych  wielo-

krotnych jako  systemów wielkich, Zagadnienia  D rgań N ieliniowych,  11 (1971).
6.  L. S. PON TRIAG IN , Równania róż niczkowe zwyczajne, Warszawa 1964.
7.  W. W. STIEPAN OW, Równania róż niczkowe, Warszawa 1956.
8.  R.  KRZYWIEC,  W ielowskaż nikowe  równania L agrange'a drugiego  rodzaju  ukł adów  mechanicznych wielo-

krotnych jako  systemów wielkich,  Zagadnienia D rgań N ieliniowych,  11 (1971).
9.  R.  KRZYWIEC,  W ielowskaż nikowe uogólnienie  prawa dynamiki  ukł adów wielokrotnych — wielkich  sy-

stemów mechanicznych,  Zesz. N auk. Politechniki Czę stochowskiej,  1971, n r 72, M echanika, z. 6.
10.  B . A.  F P O BO BJ  AcuMnmomunecKue  Memodu  pacnema  U3IHBHUX  KOjieóamu  eaAoe myp6oMatuun, M ocKBa

1961.
1 1 .  <E>. M .  JtH MEH TEEPr,  HseuSnue  Kone6aHUH epaufawufUXCH ea/ ioe,  M ocK Ba 1959.

2 1 >  Wielkim  nazywamy  system,  który  jest  opisany  zmiennymi  wielocią gowymi,  gdzie  cią g  wielo-
wskaź nikowy  moż na  nazywać  wielkim  systemem  cią gów,  zgodnie  z pracami  autora  [1, 2, 12,  13].



56  R.  KRZYWIEC

12.  R.  KRZYWIEC,  Organizacja  wielocią gowa  systemów wielkich  {W stę p do  teorii systemów wielkich), Praca
habilitacyjna  (w  druku).

13.  R.  KRZYWIEC,  M ateriał y  Seminarium  na  tem at:  «Modelowanie  matematyczne  systemów  wielkich».
prowadzonego  przez autora w ZU M  IPPT PAN   (przygotowane  do druku).

P  e 3  io  M  e

O  M OJIEJIH P OBAH H H  M H O r o n O J I I I I H n H H K O BO r O  BAJIA  CO M H O r H M H
flH CKAM H   C  nOM OU JŁK)  EOJIŁIIIOfł   C H C TE M BI E H O C U H J I Wr O P O B

^lACTB  I I .  EH OCIJH JIJIflTOPBI  CO  M H O E H M H  H H WEKC AM H .
M OflEJIH P OBAH H E  BAJIA

B  pa6oTe  nocTpoeH a  n p o c r a n ,  H O opH rH H anbH aa ftH CKpe- rH aH moflenh  yn p yr o r o  BecOMOro  Bana  Ha
MHorHX ynpyrH X  on opax  Harpy>i<eHHOro MHOrHMH  # nci<aMH. M oflextwo  HBJiaeTCH  6H OCL(H .JD I5ITOP  co M H O-
THMH   HHfleKcaniH  c  mecTŁio  CTeneHłiMH   cBoSoflti  ( T P H   fljw  n ocryn aTejibH oro,  H  Tpn p,na
HBH>KeHHH),  MOflejiHpyioiHHH:  n 3  n ao n o p H t ix  cetieim ii  Sa n a ,  n 4  cetjeHHH   H arpyweH H bix  c
flH CKOB,  n 5  ceieH H H  npHBefleHHH   Mace B iii  - MepHOM  n pocrpan cT Be,  n p a  yqeTe  n2  B H ^ O B
PaccywfleH H ii  BeflyTCH   Ha srabiKe  MHoroKpaTHŁK nocJieflOBaiejibHOCTeft,  ajire6pa  H  sneMeHTBi  aHajiH3a
KOTopbix  ciJiopMyjiHpoBaHbi  aBTOpOM  B  OTflejibHOH   pa6oTe.  n on yqeH H bie flH dpcjjepeH qH ajibH bie ypaBH e-
H H H   coflep>i<aT nHTHKpaTHŁie nocJieflOBaTejibHocTH,  c KO3<J>4pHn;HeHTaMH   BtipamaioiUHMHCH  ^ e p e 3 flecaTH -
KpaTHbie  nocneflOBaTejibHOCTH.

S u m m a r y

ON   M OD ELLIN G  TH E  MU LTI- SPAN  SH AF TS WITH  SEVERAL  D ISCS BY  M EAN S O F  A  G REAT
SYSTEM   OF  BI- OSCILLATORS.  PART  I I . M U LTI - I N D I C I AL  BI- OSCILLATORS.  M OD ELLIN G

OF   A  SH AF T

A simple, original  discrete elastic model is constructed of a ponderable elastic  shaft,  resting  on  several
elastic  supports  and  loaded  by  many  discs.  It  is  a  multi- indicial  bi- oscillator  with  six  degrees  of  freedom
(three translations,  three  rotations), which  is  used  to  m odel:  n

3
  cross- sections  at  the  supports,  n 4  cross-

sections  loaded  by  discs,  n
5
  cross- sections  of  mass  reduction  in  rti —  dimensional  space,  at  «2  kinds  of

motion. The terminology  of  "multiseries"  is  used  in  the paper,  their  algebra  and  foundations  of  analysis
being  presented  by  the  author  in  a  separate  paper.  The  differential  equations  derived  are  «five- series»
with  coefficients  being  expressed  by  «ten- series»  sequences.

U N I WER SYTET  WARSZAWSKI,  F ILIA  W  BIAŁYM STOKU

Praca  został a zł oż ona w Redakcji  dnia 29 lipca  1972;  w  wersji ostatecznej — dnia 29 maja 1974 r.