Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  13 (1975)

D YN AM I K A  L I N Y  O D W I J AJ AC E J  S I Ę   Z  R U C H O M E G O  O BI E K T U   LAT AJĄ C E GO

TAD E U SZ  K U Ź M I C E W I CZ  (Z IELON KA)

1.  Wstę p

P roblem  liny  rozpatrywan y  był   w  szeregu  prac  zwią zanych  ze  statecznoś cią   holowa-
nych  balonów  i  szybowców  [1,  11,  14],  holowanych  urzą dzeń  nie  posiadają cych  sił y
noś nej  [6] oraz spadoch ron ów  (ham ulców aerodynamicznych) pracują cych  w prę dkoś ciach
naddź wię kowych  [10].

P race  [8,  12]  obejmują   stateczność  ukł adu  obiekt  holują cy- lina- obiekt  holowany.
W  pracach tych  w  statecznoś ci  obiektu  uwzglę dniano  wpł yw  liny jako  pewne dodatko-

we  sił y  [1] lub  sił y i  m om en ty  [11, 12,  14] w  pun kcie przymocowania jej  do  obiektu w  po-
staci  tzw.  poch odn ych  liniowych.  P och odn e  liniowe  wyprowadzane  był y  przy  zał oż eniu,
że lina znajduje  się  w  poł oż en iu chwilowej  równowagi  w  odniesieniu do jej  warunków  brze-
gowych. Kon figurację   liny  i jej  nacią g  przyję to  w pracy  [1] jako  funkcje  poł oż enia, a w pra-
cach  [11, 12,14] ja ko  funkcje  poł oż en ia i prę dkoś ci  obiektu.

W  pracach  [2,  3,  7,  8,  9]  rozważ ano  gł ównie  dynamikę   liny  holowniczej.  Równania
ruchu  obiektu  holują cego  i  holowan ego  sł uż yły  do  okreś lenia  warunków  brzegowych.
P race  [8, 9] prowadzon o  przy  nastę pują cych  zał oż eniach  upraszczają cych:

—  krzywizna  liny  jest  m ał a,
—  stał y  nacią g  wzdł uż  dł ugoś ci  liny,
—  lina  nierozcią gliwa.
W  wyniku  p r a c  [8,  9]  okreś lono  warun ki  stabilnoś ci  podł uż nej i  poprzecznej  ukł adu

holowniczego.  W  pracach  [2, 3, 7] wyprowadzon o  równ an ia gię tkiej  liny  obcią ż onej  sił ami
aerodynam icznym i.  D la  badan ia  dynam iki  liny  rozwinię to  dwie  metody  aproksymacyjne
przybliż onych  rozwią zań:  m etodę   ś rednich  wartoś ci  i m etodę  momentu  ką towego.  Okreś-
lon o  kształ t przewodu  w  stan ie  równowagi  oraz  czę stoś ci  wł asne  dla  ruchów podł uż nych
i  poprzecznych  ukł adu.  P rezen towan e  metody  przybliż onego  rozwią zania  są   sł uszne  dla
lin  o m ał ych krzywiznach.  Pierwszym  przybliż eniem  rozwią zania jest linia prosta  o  ś redniej
wartoś ci  nachylenia.

W  niniejszej  pracy  rozpatrzon o  dynamikę   wiotkiej,  nierozcią gliwej  liny  obcią ż onej
sił ami  aerodyn am iczn ym i  odwijają cej  się   ze  szpuli  umieszczonej  n a  latają cym  obiekcie.
Szpula  jest  umieszczona  tak,  że  jej  oś  podł uż na  pokrywa  się   z  osią   podł uż ną   latają cego
obiektu.  .  .

W  rozpatrywan ym  przypadku  lina  wykonuje  ruch obiegowy  z  dużą   prę dkoś cią   ką tową
wokół   osi  podł uż nej szpuli  oraz ulega  skrę caniu  wokół   osi  wł asnej. Tak  odwijają ca  się   lina
m a  wzglę dem  powietrza  znaczną   prę dkość  poprzeczną   i  równą   zeru  prę dkość  styczną . Ze



96  T .  K U Ź M I C E WI CZ

wzglę du  n a t o , że współ czynnik  oporu n orm aln ego liny jest  30 razy  wię kszy  od współ czyn-
n ika oporu stycznego  obcią ż enia  aerodynamiczne odwijają cej  się  liny  są  wię ksze niż w omó-
wionych  powyż ej  pracach.

Rozpatrywany  sposób  odwijania  liny  m a  miejsce  przy  przerzucan iu  lin  (przewodów
ł ą cznoś ci,  lin  ratowniczych)  przez  przeszkody  terenowe  uniemoż liwiają ce  lub  utrudniają ce
cią gnię cie.

Wyprowadzone  poniż ej  równ an ia  ruchu  liny  są   uogólnieniem  równ ań  otrzymanych
w  pracach  [3, 7].  Z ł oż one  warunki  brzegowe  odwijają cej  się   liny,  duża  prę dkość  skrę ca-
n ia  oraz  wystę powanie  duż ych  krzywizn  liny  uniemoż liwiły  zastosowanie  m etod  aproksy-
macyjnych  uż ytych  w  pracach  [3, 7] do rozwią zania  otrzym anego  ukł adu  równ ań .

W  omawianym  sposobie  rozwijania  liny  najwię kszy  nacią g  spodziewany  jest  n a  nie-
wielkiej  dł ugoś ci za  obiektem.

Zał oż enie  to  pozwolił o  n a  sprowadzenie  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  nieliniowych
typu  hiperbolicznego  o  dwu  zmiennych  niezależ nych  do  ukł adu  równ ań  róż niczkowych
nieliniowych  zwyczajnych.  Otrzymany  ukł ad  równ ań  badan o  n a  dł ugoś ci  liny  równej
dł ugoś ci  zwoju  szpuli  dla  róż nych warun ków  począ tkowych  koń ca  liny  okreś lonych  przez
parametry  latają cego  obiektu  oraz  dla  róż nych  wymiarów  szpuli.

Oznaczenia

x, y, z  [m]  skł adowe  poł oż enia liny  w ukł adzie  współ rzę dnych  zwią zanych  z  liną ,
V

x
,  V

y
, V

z
 [m/ s]  skł adowe  prę dkoś ci  liny  w  ukł adzie  współ rzę dnych  zwią zanym  z  liną ,

o)
x
, u>

y
, co2 [1 / s]  skł adowe  prę dkoś ci  ką towej  liny  w  ukł adzie  współ rzę dnych  zwią zanym  z  liną ,

#   [rad]  ką t  pochylenia  liny,
f  [rad]  ką t  odchylenia  liny,
y  [rad]  ką t przechylenia  liny,
C

t
,  C„  współ czynniki  aerodynam iczn e  sił y  stycznej  i  n orm aln ej  do liny  okreś lone  w  stosunku

do  jej  ś rednicy  i  dł ugoś ci  jedn ostkowej,
R  [kG ]  sił a  aerodynamiczna,
T   [kG ]  nacią g  liny,
d  [m]  ś rednica  liny,
/  [m]  dł ugość  liny,
m  [kG s2/ m]  m asa  liny  n a  jedn ostkę   dł ugoś ci,
g  [kG s2/ m 4]  gę stość  powietrza,
g  [m/ s2]  przyspieszenie  ziemskie,
C  [l/ m]  stał a  zależ na  od  prom ien ia  szpuli,
r  [m]  prom ień  szpuli,
Vo [m/ s]  prę dkość  obiektu,
w  wektor  poł oż enia  pun ktu  liny.

2.  Kinematyka liny

P rę dkość  i  przyspieszenie  pun ktu  n a  linie  w  przestrzeni  trójwymiarowej  zmieniają   się
zarówno  co  do  wielkoś ci,  jak  i  kierunku.

Lina  umownie  zostanie  podzielona  n a  elementy  o  dł ugoś ci  dl,  a  poł oż enie poszczegól-
nych  pun któw liny  rozpatrywane  bę dzie  wzdł uż liny.



DYN AMIKA  LINY  ODWIJAJĄ CEI SIĘ 97

D la  uproszczenia  zapisu  równ ań  ruchu  liny  przyję to  ukł ad  współ rzę dnych  zwią zany
z  liną   oznaczony  ja ko  O

xyz
.  Jako  ukł ad  odniesienia  przyję ty  został  ukł ad współ rzę dnych

zwią zany  z ziemią   O
X
yz-  P oł oż enie ukł adu O

xyi
  wzglę dem  ukł adu odniesienia  O

X
YZ  okreś lają

trzy  ką ty  oznaczone ja ko  • &,  y>,  y  (rys. 1).

Rys.  1. Poł oż enie ukł adu współ rzę dnych zwią zanego  z liną

U kł ad  O
xyz

  został   przyję ty  tak,  ż e' oś  O
x
  jest  zawsze  styczna  do liny  i jest  dodatnia

w  kierun ku  rozwijania  się  liny  ze szpuli.  Oś O
y
 jest  prostopadł a do  stycznej  i leży  w pł asz-

czyź nie, w której  prę dkość  liny  V obraca  się  w danej  chwili.  Ten kierunek  okreś la  się   jako
n orm aln y,  a wspólnie  ze styczną   tworzy  tzw.  pł aszczyznę   styczną .  Oś O

z
 jest prostopadł a

do  pł aszczyzny  stycznej  i  okreś la  kierunek  bin orm aln y.

Przejś cie  z  ukł adu  O
xyz

  do  ukł adu  odniesienia  O
X
rz  okreś lają   cosinusy  kierunkowe

wedł ug  tablicy  1.

Tablica 1

X

Y

Z

X

costfcosy

sin#

—cos# siny

y

—cosycosysin# +
+ sinvsiny

costfcosy

sin ysin y+
+ sin# sinysin}'

z

sinycosy+
+ sin# cosysiny

—cos# siny

cosycosy+
—sin^sinysinj'

P oł oż en ie  p u n kt u  P  liny  w  ukł adzie  O
xyz

  okreś la  wektor,  który  może  zmieniać się
co  do wielkoś ci,  ja k i  kierun ku.  Przemieszczenie  pun ktu  P wzdł uż  liny  okreś la  się   odleg-
ł oś cią  / .

7  M ech an ika Teoretyczn a



98 T.  KU Ź MICEWICZ

Rys.  2. Poł oż enie punktu  na linie

Poł oż enie pun ktu P  liny  w ukł adzie O
xyz

  m oż na  zapisać  ja ko

(1)  w =   xi+yj+zk.

Odwijają ca  się  lina m a wzglę dem  ukł adu odniesienia  prę dkość  ką tową  ć o:

(2)  m =  co
x
i+c0yj+co

z
k.

Róż niczkując  (1) otrzymujemy  prę dkość  pun ktu  P n a linie

dw
~dT

dw  _  _
+ODXWdt

lub

(3)
dw  ldx  _ dz  L

—(OyXl  k.

Wprowadzając  do  (3) oznaczenia

ate

dt
+co

y
z- w

z
y  =  V

x
,

- £- +co
z
x- co

x
z  =   F ,,

i  róż niczkując  (3),  otrzymujemy  przyspieszenie  pun ktu  P  liny

d
2
w

(4) ~

W  czasie  rozwijania  lina  obraca  się wzglę dem  ukł adu odniesienia  o ką ty  # , y>,  y. Prę d-
koś ci  zmian  tych  ką tów  są  odpowiednio  równ e  4, ip

t
 y.  R zutując  skł adowe  4,  xp,  y  prę d-

koś ci  ką towej  pun ktu  P liny  n a osie  ukł adu O
xyz

  otrzymujemy

(5)
co

x
 =

W y =   •£> c o s #  c o s y+ 1 ?  si n y,

a>
z
 =



D YN AM I K A  LIN Y  OD WIJAJĄ CEJ  SIĘ   99

P odstawiają c  (5) do (3) i  (4) otrzymujemy  ostatecznie  prę dkość  i  przyspieszenie  pun ktu
n a  linie

dw
(6)  - j-   "

d
2
w

(7)  - 3- 5-

+   [y+x0cosy  — ip cos #  siny) — z(y  + y> sin &)]j +

+  [ż +y(.y+ipsmfl)—x(ipcos'&cosy+ftsmy)]k,

3.  Równania  ruchu  liny

Przy  wyprowadzan iu  równ ań  ruch u  przyję to  nastę pują ce  zał oż enia  upraszczają ce  do-
tyczą ce  lin y:

—  jed n o ro d n a  wzdł uż  cał ej  dł ugoś ci,
—  przekrój  koł owy,
—  doskon ale  gię tka,
—  nierozcią gliwa.
N a  element liny  o dł ugoś ci dl dział ają   nastę pują ce  sił y: nacią g liny, sił a aerodynamiczna,

cię ż ar  liny  oraz  sił a  bezwł adnoś ci.  R ówn an ie  ruch u  elementu  liny  w postaci  wektorowej
m oż na  zapisać  ja ko

(8)  mw m  F,

gdzie  m — m asa  liny  n a jedn ost kę   dł ugoś ci,

R  — sił a  aerodyn am iczn a,
G — sił a  cię ż koś ci,
T —nacią g  liny.

P on iż ej  zostaną   kolejno  rozpatrzon e  sił y  dział ają ce  na  linę .

Rys.  3. Sił y  dział ają ce  na  element  liny

7 *



100  T.  KU Ź M IC EWICZ

3.1.  Sił a  aerodynamiczna. Sił ę   aerodyn am iczn ą   R w  ukł adzie O
xyz

  m oż na  zapisać  ja ko

~R  =  R
x
- 1+R

y
- J+R

z
lc.

Stosują c  współ czynniki  aerodyn am iczn e  sił y  n orm aln ej  C„ i  sił y  stycznej  C
t
,  okreś lone

w  stosun ku  do  ś rednicy  liny  i dł ugoś ci jedn ostkowej,  wprowadzon e  w pracy  [11]  skł adowe
n orm aln a  i styczna  sił y  aerodyn am iczn ej  elem en tu dl liny  mają   po st ać

1
R
"

  =
~2

— ^

R zutują c  (9) n a osie  u kł adu  O
xyz

  otrzym am y

R
x
*=~

Q
ddlV*C„

(10)  R
y
  = ~   Qddl(V$ +  V2)C„cosó,

R = 1
J V Z  ry

gdzie  (5 oznacza  ką t, jaki  tworzy  wypadkowa  prę d ko ść  n o r m a ln a  liny  z  osią   O
y

V
y
  V

z

c°?<5  =   - jfT T fT  I  sin o  =   ,  .

P odstawiają c  powyż sze  do  (10) otrzym ujem y  zależ n oś ci  n a  skł adowe  sił y  aerodyn a-
micznej

R
x
  =  ~QddlVlC„

(U )  R
y
  =  ~

e
ddlV

y
\ '

3.2.  Nacią g  liny.  N acią g  liny  T  w ukł adzie O
xyz

  m a  po st ać

J 1 -   T J+T j+T
z
~k.

P rzyrost  nacią gu  liny  o dł ugoś ci c?/  jest  wyn ikiem  o bro t u elem en tu o ką ty  dft i dip.
Sum a  rzutów  nacią gu  elem entu dl n a  osie  u kł ad u współ rzę dn ych  O

xyz
  wynosi

T
x
  =   - T +iT +dT jcosd&cosdip,

T
y
  =  (T +dT )sind&cosdy>,

T
z
  =   -



DYN AMIKA  LIN Y  ODWIJAJĄ CEJ  SIĘ 101

T+AT

Rys.  4. N acią g  elementu  liny

Zakł adają c, że
cosdip 1,

dip,

oraz  pomijają c  m ał e  wyż szego  rzę du  otrzymujemy

Tx =  ar,
(12)  T y =   T d&,

T
z
  =  —T dipcos&cosy.

3.3.  Silą   cię ż koś ci.  Sił ę  cię ż koś ci  elementu  liny  dl w ukł adzie 0
xyz

  moż na  zapisać

"G  =   G
x
l+G

y
j+G

z
k.

Rzutują c  G n a  osie  u kł ad u  O
xyz

  otrzymujemy  skł adowe

< 7»-   - <

(13)  (?, =   -

G
z
  =  G c o s# sin y.

3.4.  Równania  ruchu.  R ozpisują c  równ an ie  (8) n a osie  ukł adu  O
xyz

  i  podstawiają c  (7),

(11),  (12), (13) — p o  przekształ cen iach  otrzymujemy  ukł ad  równ ań  ruchu  elementu  liny

1  F 8V
X
  „   /  d&  dip  „   .  \   . „   /   dip

(14) - V
v

dip  r.  \   I dip  n  d&  \ \
—^- cos??sin yl +  F zl- ^

!- cosi7Cosy+ - ^—sinyl  =

1  8T

mg  dl 2mg
  V

*
L t i

.



102  T.  KU Ź M ICEWICZ

1
z  "

U kł ad  równań  róż niczkowych  czą stkowych  typu  hiperbolicznego  opisują cych  ruch
liny  nie jest  zamknię ty;  dodatkowe  równania  stanowić  bę dą   zależ noś ci  kinematyczne.

3.5.  Zwią zki  kinematyczne.  Obrót  koń ca  elementu liny  o ką ty  dd-   i  dip  powoduje  przyrosty
prę dkoś ci  liniowych  punktów  na  linie  w  kierunkach  normalnym  i  binormalmym.  Zależ-
noś ci  te  dają   uzupeł niają ce  równania  ukł adu  (14)- =-  (16)

a?)  i!r- v>"
f)/ h  fix/

(18)  ^   ^ fj  ^

(19)  —  F t - ^ - c o s# c o sy  +   F :l, - ~ sin # cosyH —- =j-   =  —~ -

(20)  ^ - = C .

Równania  (14)- h(20)  opisują ce  dynamikę   liny  są   nieliniowymi  równaniami róż niczko-
wymi  czą stkowymi  pierwszego rzę du  typu  hiperbolicznego  o  dwu  zmiennych  niezależ nych.

Wykorzystują c  zależ ność

(21)  4- F.,

gdzie  V
o
  —  prę dkość  odwijania  liny  równa  prę dkoś ci  lotu  obiektu,  sprowadzono  ukł ad

równań  (14)4- (20)  do  ukł adu  równań  róż niczkowych  zwyczajnych.
P o  przekształ ceniach  ukł ad  równań  (14)- =-  (20)  przyjmuje  postać

(22)  —~-   +  ( V
z

s i n y ~ V
y

c o s y )  +   ( K # +   F ^ i )  J~-   +  (V
z
siny~V

y
cosy)  - j=-   +   (Kzcos# cosy+  F ycos^siny) - J-  -   —y-   - *?

(2 3 )

(24)  ^ _ F , s i n y f  +   ( ^ jr c o s^ c o sy) —^m K 0  /   «/

^ rf^ fJ  C„,



DYN AMIKA  LINY  ODWIJAJĄ CEJ SIĘ 103

(25)

(26)

(27)

(28)

dV
"df

dl
  y

  dl
clip

=  0 ;

dl
=  0 ,

dl

W  czasie  odwijania  lina  m a  najwię kszą   prę dkość  «obiegania»  bezpoś rednio  za  obiek-
tem,  w  zwią zku  z  tym  najwię ksze  obcią ż enia  liny  wystę pują   n a  począ tkowym  odcinku.
D la  zbadan ia  wpł ywu  dyn am iki  rozwijania  na  wielkość  nacią gu  liny  wystarczy  badać
przedstawiony  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  na  niewielkiej  dł ugoś ci  liny  za
obiektem .  U kł ad  równ ań  ( 22) ~ ( 28)  rozwią zano  m etodą   numeryczną  R un ge- Kutta- G ila
dostosowaną   do ję zyka  F O R T R AN .

4.  Przykł ad  liczbowy  i  wnioski

P rzykł ad  liczbowy  przeprowadzon o  dla  wiotkiej  liny  o  cię ż arze  jednostkowym  G  =

=   0,0005  ~ ^ H   i  ś rednicy  d  =   0,0005  [m], W  obliczeniach  zmieniano kolejno  parametry

począ tkowe  ką towego  poł oż en ia  liny  n a  wyjś ciu  z  obiektu,  prę dkość  obiektu  oraz  pro-
mień  szpuli.  P ozwolił o to  n a  okreś lenie  wpł ywu  tych param etrów n a wielkość  nacią gu  liny.

,,T[ kG]

2  -

1

20 40 BO 80 t00

Rys.  5.  Zmiana  nacią gu  liny  w  funkcji  prę dkoś ci  obiektu



104 T.  KU Ź MICEWICZ

1

s

5

Ą -

3

2

1

n

T [kG]

\i
\

1
16- 720/ 77/

— • —  .

V
0
=80m/

i

V
0
- 40m/ s

O,OZ  0,04  0,06  0,08  0,10  r[ni]

Rys.  6.  Zmiana  nacią gu  liny  w  funkcji  promienia  szpuli

Zależ ność nacią gu  liny  w  funkcji  prę dkoś ci  obiektu  przedstawion o  n a rys.  5, a  n a  rys.  6
wpł yw  promienia szpuli  na wielkość  nacią gu.

Obliczenia  wykazał y,  ż e:
—  wielkość  nacią gu  liny  zależy  silnie  od  prę dkoś ci  obiektu  (rys.  5)  oraz  prom ienia

szpuli  (rys.  6),
—  począ tkowy  nacią g  liny  wynikają cy  z  odklejania  ze  szpuli  m a  nieistotny  wpł yw  n a

wielkość  nacią gu,

y[m],

nos  ą i2  ą is  z[rri]

Rys.  7. Konfiguracja  odwijaaej  liny  z lecą cego  obiektu  z  prę dkoś cią   V
o
 =  80  m/ s



DYN AMIKA  U N Y ODWIJAJĄ CEJ  SIĘ 105

Rys.  8.  Z miana  nacią gu  wzdł uż  dł ugoś ci  liny

—  m aksym aln a  wartość  nacią gu  wystę puje  n a  dł ugoś ci  liny  równej  okoł o  poł owie

zwoju  (rys.  8); n a  dalszej  czę ś ci  liny  nacią g  zmienia  się  nieznacznie.

P rzykł adową   konfigurację   liny  odwijają cej  się   z  obiektu  lecą cego  z  prę dkoś cią   V
o
  =

=   80  [m/ s] przedstawion o n a rys.  7.  C h arakter konfiguracji  jest zgodny z doś wiadczeniem.

Otrzym an e  wyniki  nacią gu  liny  porówn an o z  wynikami  uzyskanymi  przez  VOG TA  W pracy

[16]  (rys.  5).

Literatura  cytowana  w tekś cie

1.  L. W. BRYAN T,  W. S.  BR OWN ,  N . E.  SWEETIN G ,  Collected researches on the stability of  kites and towed
gliders, Reports  and  M emoranda,  2303  (1942).

2.  T . C. CAN N ON , J. G E N I N , Dynamical behaviour of a materially damped flexible  towed cable, Aeronautical
Quaterly,  Vol. XXIII,  May  1972.

3.  T . C. CAN N ON , J.  G E N I N ,  T hree- dimensional dynamical behaviour of flexible  towed cable, Aeronautical
Quaterly, Vol. XXI I I , August 1972.

4.  R . G U TOWSKI,  Mechanika analityczna,  P WN , Warszawa  1971.
5.  R. G U TOWSKI,  Równania róż niczkowe zwyczajne,  WN T, Warszawa  1971.
6.  H . R. H O P K I N , An aproximate treatment of  the  stability of towed unbanked object in a condition of zero

lift,  Reports  and M em oranda,  3675  (1969).
7.  R. R. H U F F M AN , J. G E N I N ,  T he dynamical behaviour of flexible  cable in uniform flow field,  Aeronautical

Quaterly, Vol. XXII,  May  1971.
8.  J. D .  D E- LAU RIER,  A  stability analysis of  cable- body systems totally immersed  in  a fluid  M eam, Report

N ASA,  CR- 2021,  April 1972.
9.  J. D . D E- LAU RIER,  A  stability analysis for  tethered aerodynamically shaped ballons,  Journal of Aircraft,

9,  9  (1972).
10.  R. H .  M AC N E AL ,  Flutter of towed rigid declarators, R eport N ASA, CR- 766,1967.  '
11.  J .  MARYN IAK,  Uproszczona  analiza  statecznoś ci podł uż nej szybowca  w locie  holowanym,  M ech. Teoret.

i  Stos.  1  (1967).
12.  J . MARYN IAK,  Statecznoś ć dynamiczna podł uż na w zespole holowniczym,  Mech. Teoret. i Stos., 3  (1967).
13.  J . MARYN IAK,  Konfiguracja  liny holowniczej szybowca z uwzglę dnieniem sil aerodynamicznych, Technika

Lotnicza  i  Astronautyczna,  6  (1967).
14.  J.  MARYN IAK,  Uproszczona  analiza statecznoś ci  bocznej szybowca  holowanego  na linie, M ech. Teoret.

i  Stos.,  1  (1969).
15. N owoczesne metody numeryczne,  Opracowane  przez N ational Physical Laboratory  Teddington. Midda-

lesex,  PWN ,  Warszawa  1965.
16.  R. VOG T, Dynamika naprowadzania  rakietowych pocisków przeciwpancernych  kierowanych  przewodowo,

Praca  doktorska,  Politechnika  Warszawska,  1971.



106  T.  K U Ź M I C E WI CZ

P  e  3 io  M  e

HHHAMHKA  TPOCA  PA3MATBIBAIomErOCK  H 3  nOflBH XH OrO  OEtEKTA

B  pa6oTe  pacawoTpeH a flH iiaM H Ka Tpoca  pa3MaTBiBaiomerocH   H3 Kai- yuiKH   H axoflH iueiicH   Ha  no#BH>K

HOM  o6i>eKTe.  OC B KaTyiHKH  naparoienŁH a  OCH  o6ł >eKTa. JtyinaMHKa  Tpoca  on n caH a  c  IIOMOIH BIO

H H X  flH ibcfiepeimH aJttH bix  ypaBHeHHH  rim epSojH raecKoro  THna  B  ^ a c m b i x  npoH 3BOflH bix.

CHCTeiwa ypaBHeHHH  npiiBefleH a  K cacTeiwe  o6biKHOBeHHŁix AHcbcbepenuHaJibHLix  ypaBH eH H ii.

p a c ^ e ibi  fljin  pa3HEraHbix  CKopocTeft  o6i>eKTa  H  paflnycoB  KaiyniKH .  B  pe3ynBTaTe

3aBHCHM0CTb MaKCHMajibHoro  HaTWKeHHH   Tpoca  OT KH H eMararaecraix  H  reoiweTpiraecKH x  n a p a

S u m  m a r y

D YN AMICS  OF   A  CABLE  WI N D I N G   OF F  F R OM   A  M OVI N G  F LYI N G  OBJECT

In  the paper is  considered the dynamics  of  a  cable winding  off  from  a reel placed  on a flying  object.
The  longitudal axis of  the reel is parallel to the longitudal axis of  the  object. Th e cable dynamics is describ-
ed by hyperbolic- type  non- linear  partial  differential  equations. The set  of  equations obtained is  reduced
to  ordinary  differential  equations, and numerical calculations are  done for  various  velocities  of  the flying
object and various reel radii. As  a result of  the calculations, the maximum tension of  the  cable is  expressed
in  terms  of  the  kinematic  and  geometric  parameters  of  the  object.

WOJSKOWY  IN STYTU T  TE C H N I C Z N Y  U Z BR O JE N I A

Praca  został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  maja  1974  r.