Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  13  (1975) STATECZN OŚĆ  TEC H N IC Z N A  DRG AŃ   BOCZN YCH   POJED YN CZEG O  ZESTAWU KOŁOWEG O  P ORU SZ AJĄ CEGO  SIĘ  WZ D ŁU Ż  TORU   Z  N IELIN IOWĄ   SPRĘ Ż YSTOŚ CIĄ P O P R Z E C Z N Ą AL I C J A  P I E N I Ą Ż E K,  WI E SŁ AW  P I E N I Ą Ż EK  ( K R AK Ó W) 1.  Wstę p W  niniejszej  pracy  zastosujemy  przedstawioną   w  [1] teorię   badan ia  statecznoś ci tech- nicznej  nieliniowych  ukł adów  nieautonom icznych, do badan ia  pewnego  ukł adu o jednym stopn iu  swobody,  którego  schem at i m odel  dynamiczny jest  przedstawiony  n a rys.  1. Ź mAft / / y/ / / / / / / / > —«»• - •   •   •   •   •   0   ł l ^ m YAV/ / / / / / / / 7/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / 1 y b / /   r*r  ^~r̂   ^ ^  ^ ^ J  ^ J  ^rf  ^rf  / / y/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Rys. 1 M odelem  takim  m oż na  zastą pić  n p . pojedynczy  zestaw  koł owy  pojazdu  szynowego poruszają cy  się  wzdł uż  t o ru i wykonują cy  drgan ia  boczne w pionowej  pł aszczyź nie  prze- chodzą cej  przez  jego  oś obrotu,  bez uwzglę dnienia  sił  wynikają cych  z tzw.  poś lizgów sprę ż ystych,  które  zachodzą   w  strefie  kon taktu  koł a z szyną .  Sił y te bę dą   uwzglę dnione w  n astę pn ych pracach , w których  bę dą   rozpatrywane  ukł ady o dwóch  stopniach  swobody, uwzglę dniają ce  drgan ia  wspom n ian ego  zestawu  w  pł aszczyź nie  poziomej  przechodzą cej przez jego oś  o bro t u . Przyjmiemy  dalej,  że zderzenia  wystę pują ce  p o  przekroczeniu  luzu  są  plastyczne; tzn . koł o  po'dot kn ię ciu  szyny  swoim  obrzeż em  porusza  się  dalej  wraz  z nią  jako  jedn o  ciał o. 108  .  A.  P IEN IĄ Ż EK,  W.  PIEN IĄ Ż EK Przyjmiemy  takż e, że charakterystyka  bocznej  sprę ż ystoś ci  szyny  jest  nieliniowa  i  zostanie okreś lona  póź niej. D la  tak  opisanego  ukł adu  okreś limy  stateczność  techniczną   wzglę dem  pewnych ob- szarów  i  zaburzeń  stale  dział ają cych,  z  pun ktu  widzenia  poprzecznego  oddział ywania zestawu  n a tor, w celu  okreś lenia  dopuszczalnych  prę dkoś ci  ruch u  poprzecznego  zestawu lub  odpowiedniej  sztywnoś ci  poprzecznej  ram y  toru  (szyn  wraz  z  podkł adam i).  Obszary statecznoś ci  bę dą   przyję te  z  praktycznego  pun ktu  widzenia.  Z aburzen ia  stale  dział ają ce zostaną   wprowadzone  do  równań  ruchu, aby uwzglę dnić  cią głe zm iany  bocznej  sztywnoś ci toru,  spowodowane  chociaż by  warun kam i  atmosferycznymi,  niejednorodnoś cią  m ateriał u, czy  też zmiennym  przekrojem  poprzecznym  szyny. D o  analizy  przyjmiemy  stał y ką t y  nachylenia  profilu  koł a  (rys.  1), w zwią zku  z czym skł adowa poziom a  sił y  tarcia, wystę pują ca  w równ an iu  ruchu, jest  wielkoś cią   stał ą . W rze- czywistoś ci  profil  m a  kształ t krzywoliniowy  i skł adowa t a jest  zm ien n a, pon ieważ  zmienny jest ką t y  nachylenia  pł aszczyzny  stycznej  do profilu  i  szyny  w pun kcie  ich  styku.  Z m iany te bę dą   dalej  uwzglę dniane  także w postaci  zaburzeń  stale  dział ają cych. Z aburzenia  stale  dział ają ce,  pochodzą ce od zmiennej  sztywnoś ci  szyn  i  zmiennej  skł a- dowej  sił y  tarcia,  przyjmiemy  jako  jedną   funkcję   przemieszczenia  bocznego  i  prę dkoś ci tego  przemieszczenia R(y,  y), której  przebiegu  nie moż emy  okreś lić  ś ciś le,  ale wiemy  o niej, że jest  ograniczona i nie  przekracza  pewnej  wielkoś ci,  co m oż na  ują ć  zależ noś cią Z aburzenia  stale  dział ają ce  bę dą   miał y charakter sił y. W  dalszym  cią gu  pracy  podam y  warunki  statecznoś ci  technicznej dla naszego  ukł adu, przy  czym  zaż ą damy, aby boczne  przemieszczenie  szyn  nie  przekraczał o pewnej  wielkoś ci, gwarantują cej  odkształ cenia  sprę ż yste. 2.  Okreś lenie  charakterystyki  sprę ż ystej  ukł adu  i  obszarów statecznoś ci.  Równanie  róż niczkowe ruchu N ieliniową   charakterystykę   sprę ż ystą   ukł adu  przyjmiemy  w postaci (2- 1)  F(y) =  ^ - tg[b o (\ y\ - s Q )]d- 1 (\ y\ - s o )sffiy, gdzie C o — współ czynnik  sztywnoś ci  poprzecznej  toru  w  przybliż onym  przypadku  linio- wym, b 0   — współ czynnik  przeliczeniowy,  okreś lony  wzorem ( 2 . 2 )  b o =   [ 2d 0 ' 2d 0   — odległ ość mię dzy  asym ptotam i  tangensoidy, s 0   — luz  szynowy, y — przemieszczenie poprzeczne, STATECZNOŚĆ  TECHNICZNA  DRGAŃ 109 Qy\  —s 0 )  — funkcja  okreś lona  n astę pują co: dla  ( b | W  celu  okreś lenia  współ czynnika sztywnoś ci  C o  (w przybliż onym  przypadku  liniowym), należy  obliczyć  prawostron n ą   poch odn ą   funkcji  (2.1) w punkcie y  = s 0   (lub jej  pochodną lewostronną   w  pun kcie  y  =   — s 0 ).  P o obliczeniu  pochodnej  prawostronnej  funkcii (2.1) otrzymujemy  zależ ność (2.4)  F'(s o +)  =  C o   =  tg/ J. C harakterystyka  sprę ż ysta  ukł adu jest  przedstawiona  n a  rys. 2 Rys. 2 R ówn an ie  róż niczkowe  drgań  poprzecznych,  dla ukł adu  przedstawionego  n a rys. 1, m a  postać (2.5) gdzie \ - s 0 )]  x xd- Hbl- ^ sgny- T .d- W ylso m — m asa  zestawu  koł owego, T —  sił a tarcia  mię dzy  szyną  i koł em, I \   — sił a tarcia mię dzy  szyną  i  podł oż em, P o   — sił a  wymuszają ca, p — czę stość  sił y  wymuszają cej, >, y) — zaburzen ia  stale  dział ają ce, o(y,5>), 110  A.  PIEN IĄ Ż EK,  W.  PIEN IĄ Ż EK • SiH bl- ^o) — funkcja,  okreś lona w sposób  nastę pują cy: (1,  dla  (\ y\ - s 0 )  < 0 , (2.6)  a r ^ I - * ) -  ̂ d I a  QyhSo)> o,  °< > > o. Zauważ my, że funkcja  ta «gasi» silę  tarcia  koł a  o jedną   z szyn  z chwilą   przekroczenia luzu  szynowego. Równanie  (2.5)  moż na  sprowadzić  do postaci  bezwymiarowej,  wygodnej  w  dalszej analizie.  Zrobimy  to  przez  wprowadzenie  podstawień (2  j \   s x  — pt,  —  =  x,  - ^ -  =  d,  b o s o   = b,  c  — mp 2 s 0 ,  TV"1 cosy  = H, Funkcje d- 1 (|y\ —s 0 )  i  ór 1(\ y\ —s 0 )  mają   obecnie postać: 0,  dla  ( |*|- 1) < 0 ,10, 5 "1 ( W- l)  =  ( l j 5i  (1*1- 1)  - |0 >  d k  ( W _ ! ) > 0 . ( 2 " 8 )  dla  ( |*|- 1) < 0 , Po uwzglę dnieniu  (2.7) i  (2.8) otrzymujemy  równanie róż niczkowe  ruchu w bezwymia- rowej  postaci —H 1 8- 1 Qx\  —  l)&gB.x+Pam.T +R(x,x) ) lub,  po wprowadzeniu  nowych  zmiennych  *  =  x x ,  x x   =  x 2   równoważ ny  ukł ad  równań pierwszego  rzę du: (2.10)  *, =  x 2 , x 2   =   - C t g ^ W - l M ^ d x I - O s g n X i - ^ r H W -O  +  l l s g n ^ - - H 1 d- 1 (\ x\ - l)sgnx 2 +Psinr+R(x l ,x 2 ). Przyjmiemy  obecnie obszary  statecznoś ci. Z uwagi  na wystę pują cy  luz, ruch zestawu mo- ż emy  podzielić na dwie  fazy: I —  od poł oż enia począ tkowego  do wyczerpania  luzu, I I —  od  chwili  zetknię cia  się  jednego  koł a  zestawu  z szyną   (luz  szynowy  wyczerpany), do  momentu, gdy prę dkość  bocznego  ruchu zmaleje  do  zera  (szyna  osią gnie  maksymalne boczne  odkształ cenie sprę ż yste). W zwią zku  z powyż szym  przyjmiemy  nastę pują ce  obszary  statecznoś ci: —  dla pierwszej  fazy  ruchu: obszar  warunków  począ tkowych: (2.11)  Ql(x i ,x 2 )  = obszar  domknię ty warunków  ruchu: (2.11e)  2 J —  dla drugiej  fazy  ruchu: STATECZNOŚĆ  TECHNICZNA  DRGAŃ 111 obszar  warunków  począ tkowych: (2.12)  Qll  m  {(x lt x 2 ):  \ Xl \   <  1,  |jca| < o }, obszar  domknię ty warunków  ruch u: (2.12a)  Qu  =  {( Xl ,x 2 ):  \ Xl \   ^   a,  \ x 2 \  <  v}, obszar  zewnę trzny: (2.12b)  Q z   =   {( Xl! x 2 ):  \ xt\  <  (1+d), \ x 2 \  < p j ,  v W  powyż szych  zależ noś ciach,  okreś lają cych  obszary,  mamy: v = a = • so gdzie v 0   — maksymalna  prę dkość  bocznego  ruchu  zestawu, a 0   — maksymalna  am plituda bocznego  ruchu  zestawu. • | W) CL  i - 1 Xi V, V 0 - V - V, 1 Qz b 1+d  - Mi - a - 1 V 0 1 an a - V  Q - V, 1 + d Rys.  3 •   .  > . •   • :• • • > N a  rys.  3  obszary  statecznoś ci  są   przedstawione  n a  pł aszczyź nie  fazowej  (x ± ,  JC2) Z  rysunku  widać,  że obszar  ruchu  dla pierwszej  fazy  ruchu jest  obszarem  warunków  po- czą tkowych  w drugiej  fazie. W  dalszym  cią gu  zajmiemy  się  drugą   fazą   ruchu z uwagi  n a odkształ cenia szyny  jakie w  niej  zachodzą .  W  takim  razie,  w  ukł adzie  (2.10)  należy  przyją ć:  ^ ~ 1 ( k i | - ł)  =  1, <5J"1(|JC 1| — 1) =  0.  D o dalszej  analizy  mamy  zatem  ukł ad (2.10a) x 2   =  —Hsgnx 2   — H 1 sgn X2   — Ctg[b(\ Xl \  —  l)]sgnx 1 +Psmr+R(x 1> , 3.  Analiza  statecznoś ci  technicznej  ukł adu  (2.10a) Jedną   z metod  badan ia  statecznoś ci  technicznej ukł adów nieliniowych jest  zmodyfiko- wana,  druga  m etoda  Lapunowa.  D la badanego  ukł adu  dobieramy  odpowiednią   funkcję skalarną   i n a podstawie jej  wł asnoś ci oceniamy stateczność techniczną  ukł adu. 112  A.  PIEN IĄ Ż EK,  W.  PIEN IĄ Ż EK W  naszym  przypadku  przyjmiemy  funkcję  dwóch  zmiennych  V{x x , x 2 ),  niezależ ną od  czasu w sposób jawny,  klasy  C 1 i  okreś limy  warunki  wystarczają ce  statecznoś ci tech- nicznej. Jeż eli przyję ta  funkcja  V(x!, x 2 )  speł nia nastę pują ce warunki: 1°  V(x u   x 2 )  > 0  dla  x x   ^  0, x 2   *  0, ( 3 l )   2°  V( Xl   ,x 2 )ś 0  dla  (x,, x 2 ) e  Q Z \ Q$, 3°  sup  V(x i ,x 2 )<  inf  V(x 1 ,x 2 ), fruxdaQl 1   (x u x 2 )eQ,\ Q 11 to  ukł ad jest technicznie stateczny ze wzglę du  na obszary  Ql1, Q11 i zaburzenia stale dzia- ł ają ce. D la ukł adu (2.10a) przyjmiemy  obecnie funkcję  V(x lt   x 2 )  w postaci 1 (3.2)  V(x u x 2 )  =  T x 2 2 +  j  {Ctg[b(\ u[- l)]sgauHrL (\ u\ - l)}du. Pochodna  funkcji  (3.2) wzglę dem  czasu,  wynosi: dV (3.3)  - £•   = V = x 2 {k 2   + Ctg[b(\ x l \ - l)]d- i (\ x 1 \ - l)sgnx 1 }  = =   x 2 {- (H+H 1 )sgnx 2   + Psint+R(x 1 ,  x 2 )}. Oszacujemy  pochodną (3.3), zakł adają c, ż e: (3.4)  |P sin r | < P,  \ R(x u x 2 )\   ^  g. Otrzymujemy: (3- 5)  C^ Ml- iH.  + m+P+g], skąd  wynika, że pochodna wzglę dem  czasu bę dzie niedodatnia,  gdy (3.6)  P Czyli,  maksymalna  amplituda sił y  wymuszają cej  nie powinna  przekraczać tł umienia  po- mniejszonego  o najwię kszą  wartość  zaburzeń  stale  dział ają cych.  D rugi  warunek  z (3.1) jest  więc  speł niony. Sprawdzimy  obecnie  trzeci  z  warunków  (3.1).  Obliczymy  funkcję  V{x x ,x 2 )  z  (3.2). Po scał kowaniu  otrzymujemy (3.2a)  V(pc lt x 2 )  = I ^ l - y l n | c o s 6 ( | x1 | - l ) |. Z powyż szego  widać, że F ( xt , x2) jest  dodatnia,  ponieważ drugi  czł on przyjmuje  wartoś ci tylko ujemne, a dla:  \ x x \  =  1 zeruje się. Aby  był  speł niony trzeci warunek  (3.1) powinno  być (3.7)  sup  V{x 1 ,x 2 )  = V 1 <  inf ST AT E C Z N O ŚĆ  T E C H N I C Z N A  D R G AŃ 113 Wartość (3.8) Wartość (3.9) rl v2 n a n a brzegu brzegu v2 dQ u 8Q n   ' wynosi 1 sso1  2 wynosi  (v  =  0) = £.ln\ co8b(\ x t \ - l)\ 1 2 = W  zależ noś ci  (3.9)  uwzglę dniliś my,  że  lnlcos&flxjl  — l) !  przyjmuje  tylko  ujemne  wartoś ci. Wobec  powyż szego  z  (3.7)  otrzymujemy,  po uwzglę dnieniu  (3.8) i  (3.9) (3.10) C> ln [cos2A(|a|- l)] Sztywność  poprzeczn a  toru  powin n a,  przy  zał oż onej  wielkoś ci  dopuszczalnego  odkształ - cenia  poprzecznego  toru  i  danej  prę dkoś ci  ruchu  poprzecznego  zestawu,  przyjmować wartoś ci  speł niają ce  zależ ność  (3.10). 4.  Przykł ad  liczbowy N a  podstawie  [3],  przyjmiemy  nastę pują ce  dan e  liczbowe:  m  — 1500  [kg],  s 0 0,005  [m], y  =  0,05  frd], p  =   10,676  [s- 1], a 0   =   0,01  [m], nacisk  koł a  na  szynę  G k 50 000  [N ],  d Q   =  0,002  [m]. 1  c> \   20 1  15 \   10 \   5 \   2 V ,  i  ,  i  i  i  ;\ ~ :  I : I V,.,.. - 3- 2- 1  0Q51  Z  3  V Rys.  4 Wartoś ci  sztywnoś ci  poprzecznej  szyn  dla  róż nych  prę dkoś ci  poprzecznego  ruchu ze- stawu  są  uję te  w  tablicy  1. Z ależ ność  (3.10)  m oż na  przedstawić  graficznie,  z  wykorzystaniem  danych w  tablicy  1. Jest  t o  pokazan e  n a rys.  4. 8  Mechanika Teoretyczna 114 A.  PIEN IĄ Ż EK,  W.  PIEN IĄ Ż EK Tablica  1 *[T ] V V2 C * " [ • = • ] 0,00025 0,5 0,25 0,799 0,537 0,0005 1,0 1,0 3,199 2,149 0,0075 1,5 2,25 7,198 4,837 0,001 2,0 4,0 12,796 8,599 0,00125 2,5 6,25 19,994 13,430 0,0015 3,0 9,0 28,791 19,351 5.  Wnioski  i  uwagi  koń cowe Z  podanych  warunków  statecznoś ci  (3.6)  i  (3.10)  wynika,  że  ukł ad  jest  technicznie stateczny,  gdy  maksymalna  am plituda  sił y  wymuszają cej  nie  przekroczy  sił y  tarcia  tł u- mią cej  drgania,  pomniejszonej  o  maksymalną   wartość  zaburzeń  stale  dział ają cych.  Z  dru- giego warunku  wynika  pon adto, że  boczn a  sztywność  toru jest  uzależ niona  od  maksymal- nej  prę dkoś ci  ruchu  poprzecznego  zestawu.  Z ależ ność  t a  (rys.  4)  okreś la  tę   sztywność  lub ogranicza  prę dkość  «plastycznego»  uderzenia  w  szynę .  I  tak,  przy  danej  bocznej  sztyw- noś ci toru m oż na okreś lić  maksymalną   prę dkość  v,  przekształ cają c  odpowiedn io  zależ ność (3.10). Odwrotnie, przy  danej  prę dkoś ci  bocznego  ru ch u  zestawu,  m o ż na  okreś lić  boczną sztywność  toru,  przy  zał oż eniu,  że  m aksym alne  wychylenie  szyn  nie  przekroczy  zakresu odkształ cenia  sprę ż ystego.  M ają c  sztywność  m oż na  okreś lić  inne param etry  toru  (rozstaw podkł adów,  typ  szyny  itp.). Analiza  został a  przeprowadzona  dla  zakresu  ruch u  poprzeczn ego,  w  którym  luz  zo- stał   przekroczony.  W  pierwszym  zakresie  ruchu,  do  wyczerpania  luzu,  ruch  jest  niestate- czny.  P o  przekroczeniu  luzu  zestaw  przechodzi  w  drugi  zakres  i  gdy  speł niona jest  nie- równość  (3.10), jego  ruch jest  technicznie  stateczny. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  W. Boousz,  Statecznoś ć techniczna,  PWN ,  Warszawa 1972. 2.  B.  SKALMIERSKI, A.  TYLIKOWSKI, Stabilnoś ć ukł adów dynamicznych,  P WN ,  Warszawa  1973. 3.  T .  A.  T H BH JI O BJ  AcuAmmomuuecKue  Mcmodu  uccjiedoectHUM  K0Jie6aHuu  nodeuoicHoio cocmdea,  Tpyflbi PocTOBCKoro- Ha- ^OHy  HHCTHnyra  H iD KeH epoB  2Kejie3HOflopo>KHoro  T paH cn o pT a,  H3flaTejiBCTB0 TpaH cn opT,  M ocKBa  1970. P  e  3  IO  M  e YCT OPMMBOCT b  BOKOBLIX KOJIEEAHHK nOJJBKDKHOrO  COCTABA, flBH JKyiuTSrOCJI TIO PEJIBCAM   C  H EJIH H Efł H Ofł yr i p yr o c T B i o B  pa6oTe  pacciwaTpH BaeTca  TexH iraecKaa  ycroirn iBocT b  HeKOTopoił  MexamraecKOH   cucTeivibi  c creneH Bio  CBoQofltij  c  H ejraH ejł H oił  yn p yr o ń  xapaKTepHCTHKoit,  c  3a3opoM   u  c  fleM n4)iiP 0BaH H eM  itocpeĘ - CTBOM   cyxo ro  TpeH H a,  coBepm aiom efi  BbiHyH