Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  13  (1975) FUNKCJE  PRZEMIESZCZEŃ  DLA  OŚ RODKA  POPRZECZNIE  IZOTROPOWEGO B O GD AN  R  O  G  O  W  S  K  I  ( Ł Ó D Ź ) Wstę p LE C H N I C KI  [1]  p o d a ł   funkcję   n aprę ż eń  dla  ciał   o  izotropii  poprzecznej,  której  stoso- wanie  ograniczone jest  do zagadn ień osiowo- symetrycznych.  Wyprowadzona  przez  N O WAO KIEG O  [2] funkcja  n aprę ż eń,  speł niają ca  równ an ie  róż niczkowe  czwartego  rzę du,  ma  szer- sze  zastosowanie,  n ie  obejmuje  jed n ak  tych  zagadnień,  w  których  na  obwodzie  obiektu dane  są   trzy  warun ki  brzegowe.  W  pracy  [3]  pokazan o,  że  stan  naprę ż enia  i  przemiesz- czenia  w  oś rodku  poprzeczn ie  izotropowym  m oż na wyrazić przez  dwie funkcje  speł niają ce równ an ia  róż niczkowe,  odpowiedn io,  drugiego  i  czwartego  rzę du.  P odan e  w  pracy  [3] funkcje  rozwią zują ce  rozszerzył y  zakres  moż liwych  rozwią zań,  jedn ak  uż ycie  ich  do  roz- wią zywania  problem ów  brzegowych  n apotyka  poważ ne  trudnoś ci  [4].  W  pracy  [5] po- kazan o,  że  stan  n aprę ż en ia  i  przemieszczenia  m oż na  w  przypadku  zagadnienia  osiowo- symetrycznego  wyrazić  przez  dwie  funkcje  n aprę ż eń,  speł niają ce  równ an ia  róż niczkowe drugiego  rzę du. W  pracy  niniejszej  pokaż em y,  że  moż liwe  jest  dalsze  rozprzę ż enie  podstawowego  ukł a- du  równ ań  zagadn ien ia  równ owagi  ciał a  trójwymiarowego  i  w  konsekwencji  wyraż enie stan u  n aprę ż en ia  i  przemieszczenia  w  liniowym,  poprzecznie  izotropowym  sprę ż ystym oś rodku  cią gł ym  przez  trzy  funkcje,  z  których  każ da  speł nia  czą stkowe  równanie  róż nicz- kowe  drugiego  rzę du. R ówn an ia  tego  sam ego  rzę du  otrzymuje  się   dla  dwóch  funkcji  przemieszczeń  w pł a- skim  zagadn ien iu  oś rodka  ortotropowego,  dla  którego  przestrzenne  zagadnienie  równo- wagi  sprowadzon o  w  pracy  [6] d o  cał kowan ia  równ ań  szóstego  rzę du. 1.  Podstawowy  ukł ad  równań  zagadnienia  równowagi  sprę ż ystego  oś rodka  poprzecznie  izotropowego R ozpatrzym y  w  ram ach  liniowej  teorii  sprę ż ystoś ci  statyczne  zagadnienie  jedn orod- nego,  liniowo- sprę ż ystego,  poprzeczn ie  izotropowego  ciał a  trójwymiarowego. Przyjmiemy  kartezjań ski  ukł ad  współ rzę dnych,  w  którym  pł aszczyzna  x 3   =   0  pokrywa się   z  pł aszczyzną   izotropii. Wykorzystują c  uogóln ion e  prawo  H o o ke'a  dla  oś rodka  poprzecznie izotropowego  [1]: af  A Ą , j r y 2 O 0 3 3 / 1 « f l , ( 1.1)  ff«3  =   2p2ea3, 3 ,  a,   / ?,  y  —  1 , 2 ; 7 0  B .  ROG OWSKI równania  równowagi: (1.2)  ffyj+ X^O,  i,j  = 1 , 2 , 3 oraz zwią zki  Cauchy'ego (1.3)  £y  =   j ( « u + M j A moż na  otrzymać  dla  omawianego  oś rodka,  przy  pominię ciu  sił  masowych  X t ,  nastę pują cy ukł ad  równań  dla  przemieszczeń (14) gdzie  u x ,u 3   są  rzutami  wektora  przemieszczenia  u t   n a  pł aszczyzny,  odpowiednio,  równo- legł e  i  normalne  do  izotropowej  pł aszczyzny  x 3   =   const. Wystę pują ce  w  (1.1) i  (1.4) parametry materiał owe  X i}   fjL #   wyraż ają  się przez techniczne stał e  wzorami: E  v+v lV2   E l- v- 2v x v 2   '  ^  2 ( 1 + r ) ' gdzie  E, v —  moduł   Younga  i  współ czynnik  P oissona  charakteryzują  wł asnoś ci  sprę ż yste w pł aszczyznach x 3   =   const  (izotropowe), a E x ,  G t ,  v x   są  m oduł ami  sprę ż ystoś ci  i współ - czynnikiem  Poissona  w  kierunku  prostopadł ym do  tych  pł aszczyzn. 2.  Funkcje  przemieszczeń Wprowadzimy  funkcje  przemieszczeń  ę {x x ,  x 2 ,  x 3 ),  (p 3 (xi,  x 2>   x 3 )  takie,  aby (  }   u 3   =  d 3 r,  0 , ( 9 - 1 , 2, gdzie  a  jest  stał ą,  ef  symbolem  permutacyjnym  (s{  =  z\   =  O,  ej  =   1,  e£  =   — 1), a  dla symboli  róż niczkowania  przyję to  oznaczenia Podstawiając  (2.1)  do  (1.4)  otrzymujemy § } 2 | ] 9 J 3  =   O,«{( gdzie A jest  operatorem Laplace'a  wzglę dem  zmiennych  x a . F U N K C J E  P R Z E M I E SZ C Z E Ń   D LA  OŚ ROD KA  P O P R Z E C Z N I E  I Z OTR OP OWE G O  71 R ówn an ia  te  bę dą   speł nione, jeś li  funkcje  q>,   =   0, ( 2 3 ) (2.4) N iezerowe  rozwią zania  dla  funkcji  t   i  q> 2   speł niają   równania (2.8)  | ^ H - ^ - 3 i J9 » «  =   0 ;  a  = 1 , 2 , to  funkcje  te  speł niają   także  równ an ia (2.3). P aram etrom  sf,  s\   danym  wzoram i  wynikają cymi  z  (2.6) odpowiadają   stał e,  odpowiedn io,  a x   i  a 2 ,  które  zgodnie  z  (2.7)  wynoszą (2.10)  _ . 1̂ 2l«2) Wykorzystują c  równ oś ci  wynikają ce  z  (2.6) sis2.  =   — (2.11) dochodzimy  do  wn iosku,  że  stał e  a t   i  a 2   zwią zane  są   zależ noś cią (2.12)  o t - a 2 - l, czyli (2.120  a 2  =   «r 1- 72 B .  ROG OWSKI Skł adowe  wektora  przemieszczenia  moż emy  zgodnie  z  (2.1)  wyrazić  przez  funkcje 9>i> 9>2>  i +  9>2);  a,/ ?  =   1,2. Jeś li  w  zwią zkach  (2.13)  wprowadzimy  nowe oznaczenia (2.14)  a y   =   k,  (p t   =   ^ j  a r 1 ^  =   %»  C>3  • to  otrzymamy (2.15) w , = F unkcje  f t   (i  =   1, 2, 3)  speł niają  równ an ia  wynikają ce  z  (2.8)  i  (2.4) (2.16)  ( ^ 1 + ^ 5 - 3 1 )̂   =   0,  / - 1 , 2 , 3, w  których  param etry  5?  zależą  od  technicznych  stał ych  sprę ż ystoś ci  oś rodka  i  wynoszą zgodnie z  (1.5), (2.4), (2.9) (2.17) s\ ,sl = I I ;  a ,  tj. gdy  a 2 - £   =   0,  tj. I I I ;  a i i V / S - a2  ,  gdy  a 2 - ^  <  0,  tj.  0  <  ^ 1  <  y, (2.18) przy  czym (2.19) a  = 1 l- v  \ G, 1  E y = Stał a  fc  wchodzą ca  do  zwią zków  dla  skł adowych  wektora  przemieszczenia  wyraża  się zgodnie z  (2.14)  i  (2.10) wzorem (2.20) Zależ nie  od  wł aś ciwoś ci  sprę ż ystych  oś rodka  param etry  j 2  i  s$  mogą  być  rzeczywiste dodatn ie (róż ne przyp. I ) ,  (równe przyp. I I )  lub  zespolone, sprzę ż one  (przyp. I I I ) (por.  [1]). F U N K C JE  PRZEM IESZCZEŃ   D LA  OŚ RODKA  P OP RZ ECZ N IE  IZOTROPOWEG O  73 T aka  m oże  być  równ ież  stał a  k  dan a  wzorem  (2.20).  D la  wię kszoś ci  materiał ów  kon- strukcyjnych  param etry  te  są   rzeczywiste.  N a  przykł ad  materiał y- kompozycje  typu  la- m in aty,  które,  ja k  wiadom o,  charakteryzują   się   silną   anizotropią   (EIE ±   «  5 - 15, GjGi  *  5—100  [7])  bę dą   n ależ ały  do  tej  klasy  m ateriał ów. W  pracy  [3],  gdzie  trójwym iarowe,  statyczne  zagadnienie  oś rodka  poprzecznie  izo- tropowego  sprowadzon o  do  cał kowan ia  kolejnych  równ ań  drugiego  i  czwartego  rzę du, operatory  róż niczkowe  wystę pują ce  w  tych  równ an iach  zawierają   param etry  analogiczne do  dan ych  wzoram i  (2.17),  (2.18).  Także  równ an ie  dla  funkcji  naprę ż eń  podanej  w  [2] zależy  od  analogicznych  param etrów. U wzglę dnienie  (2.15)  w  (1.3),  a  tych  ostatnich  w  (1.1)  prowadzi  do  wyraż enia  skł a- dowych  ten sora  n aprę ż en ia  przez  poch odn e  czą stkowe  funkcji  przemieszczeń.  P o  wyko- rzystaniu  zależ noś ci,  jakie  zachodzą   mię dzy  param etram i  sf,  j | , k  i  równań  (2.16)  otrzy- muje  się : o xi  =   <*2i  =   2/ j, 1 8l 2 (ktp 1 +y) 2 )  + / J'lidlyis-   dly> 3 ), (2.21)  < r 1 3  =   t j 023 = 33  ,  „„   '  "  \ Sf Zwią zki  (2.15)  i  (2.21)  opisują   skł adowe  wektora  przemieszczenia  i  tensora  naprę ż enia przy  pom ocy  czą stkowych  poch odn ych  trzech  funkcji  przemieszczeń,  speł niają cych  rów- n an ia  róż niczkowe  drugiego  rzę du  (2.16).  Sprowadzenie  zagadnień  równowagi  do  cał ko- wania  równ ań  drugiego  rzę du  uł atwia  rozwią zywanie  problemów  brzegowych. Wię kszość m ateriał ów  poprzeczn ie  izotropowych  posiada  takie  wł aś ciwoś ci  sprę ż yste, że n p .  w  pł ytach  wykon an ych  z  tych  m ateriał ów istotn y  wpł yw  na  stany  naprę ż enia i prze- mieszczenia  mają   poprzeczn e  ś cin an ie  oraz  n aprę ż en ia  n orm aln e  poprzeczne  do  pł asz- czyzny  ś rodkowej  [12].  Z ach odzi  tu  zatem  konieczność  budowan ia  ś cisł ych  rozwią zań dla  ciał   trójwym iarowych  n a  gruncie  teorii  sprę ż ystoś ci. 3.  Szczególny  przypadek  oś rodka  poprzecznie  izotropowego Z ał óż m y,  że  m am y  do  czynienia  z  takim  oś rodkiem  poprzecznie  izotropowym,  dla którego  param etry  sf  i  s 2   wynoszą Wówczas  warun ek  (2.11)!  speł niony jest  toż samoś ciowo,  a  równ ość  w  (2.11)2  zachodzi wtedy,  gdy  m oduł   sprę ż ystoś ci  postaciowej  w  kierun ku  n orm aln ym  do  pł aszczyzn  izo- 74  : . : • - : •.  B.  R O O O WS K I tropowych  x 3   =   const  zwią zany  jest  z  pozostał ymi  param etram i  m ateriał owymi  oś rodka zależ noś cią M amy  tu zatem  cztery  niezależ ne  stał e  sprę ż yste. U wzglę dniając  (3.1)  i  (3.2)  we  wzorze  (2.20)  otrzymujemy  dla  stał ej  k (3.3)  k =  - £ &- . Zwią zki  dla  skł adowych  wektora  przemieszczenia  i  ten sora  n aprę ż en ia  otrzymuje  się uwzglę dniając  (3.3) i  (3.1) w  (2.15) i  (2.21) w  postaci: ««  = - 5  3f(vi  + y> 2 )- 2/ i 1   dl  \ - Y X 2 +/ *2 ( 3 > 5 )  ,  , X2 +   X F unkcje  przemieszczeń  ^((A'I >  ^ 2, X3) speł niają  tu  równ an ia (3.6)  iA  + - ~dl)fi  =  O;  i  = 1 , 2 , 3 , przy  czym Istnieje  duża  klasa  poprzecznie  izotropowych  m ateriał ów  konstrukcyjnych,  których stał e sprę ż yste  z  dobrym  przybliż eniem  speł niają  zwią zek  (3.2), który,  przy  wykorzystaniu zależ noś ci  (1.5), m a postać G  E  1  E  I,  ,  E  \   .  1 -   v 2  ' F U N K C JE  P RZ EM IESZ CZ EŃ   D LA  OŚ RODKA  P OP RZ EC Z N IE  IZOTROPOWEG O  75 w której  wszystkie skł adn iki wystę pują ce  p o prawej  stronie są   dodatnie. D o tych m ateriał ów należą   n iektóre  tworzywa  sztuczne  uzbrojone  siatkam i  z  wł ókien  szklanych,  drutów  sta- lowych  czy  siatkam i  azbestowym i. Warun ek  (3.8)  speł niony  jest,  mię dzy  innymi,  w  przypadku  oś rodka  izotropowego. 4.  P rzypadek  izotropii Szczególnym  przypadkiem  omawianego  w  pracy  oś rodka  jest  ciał o  izotropowe,  dla którego (4.1)  l x   =  X 2   =   A =   ( 1 . + v ) ( 1 _ 2 y ) - .  h  1 E m  r z  r   2 { 1 + v )   • Jeś li  w  wyraż eniach  (3.4)  i  równ an iach  (3.6)  zastosujemy  podstawienie t 4 . 2 ) i  wykorzystamy  wynikają cą   z  (3.2)  zależ ność f 4 3 \ to  otrzym am y ( 4 4 )  «.   - (zI +  3f)v  =   0, ( ) L " 2 ) P ole  przemieszczeń  opisane  jest  w  tym  przypadku  wzoram i  (4.4)  za  pomocą   trzech funkcji  tp,  Q,  ,  y>  speł niają   równania (4.7)  A 3 ip  =   O,  A 3 cp  — O,  2(\ .—v)A 3 Q+d\ - y  =  §, gdzie P rzypadek  (2.17)2,  w  którym \   1  i. moż na  sprowadzić  przez  podstawienie  x' 3   =   x 3   a  do  analogicznego  zagadnienia  dotyczą - cego  oś rodka  izotropowego,  opisanego  zwią zkami  (4.6)  i  równ an iam i  (4.7) 5.  Pł aski  stan  naprę ż enia  w  oś rodku  ortotropowyra W  przestrzennym  zagadnieniu  równowagi  oś rodka  ortotropowego  nie  jest  moż liwe zastosowanie  podan ego  sposobu  rozprzę ż enia  ukł adu równ ań  problem u,  [8, 9, 10].  Jest  t o natomiast  moż liwe  dla  ciał   o  ortotropii  poprzecznej,  znajdują cych  się   w  pł askim  stanie naprę ż enia  lub  pł askim  stanie  odkształ cenia. Rozpatrzmy  ciał o  ortotropowe,  w  którym  osie  przyję tego  prostoką tn ego,  kartezjań- skiego  ukł adu  współ rzę dnych  pokrywają   się   z  gł ównymi  kierunkam i  ortotropii.  Stan  na- prę ż enia,  odkształ cenia  i  przemieszczenia  rozpatrywanego  oś rodka  opisuje  się   uogólnio- nym prawem  H ooke'a wią ż ą cym  naprę ż enia  {a x ,  0 y>   T ^Jim ale'o d kszt at cen ia  {s x ,  e y ,  y xy } [ I I ] 2 ' (5.1) C l l  C 1 2  0 c i a  c 2 2  0 0  0  c6 6 zwią zkami  C auchy'ego: (5.2)  s x   =  u tX ,  e y   =   v ty ,  y x y   =  u, y równaniami  równowagi: (5.3) =   0 , =   0 oraz  warunkami  brzegowymi,  wynikają cymi  ze  sposobów  podparcia  i  obcią ż enia  obiektu. Wystę pują ce  w  (5.1)  c x l ,  c22,  c12,  c66  są   param etram i materiał owymi  rozpatrywanego oś rodka  ortotropowego,  a  w  (5.2)  u  i  v  są   skł adowymi  wektora  przemieszczenia,  odpo- wiednio,  w  kierunku  osi  x  i  y. 2 '  We  wzorach  tego  punktu  uż yjemy  tradycyjnych  oznaczeń  współ rzę dnych  prostoką tnych  (x,  y) zamiast  poprzednio  wystę pują cych  (JC U  x 2 ,  x 3 ). F U N K C J E  P R Z E M I E SZ C Z E Ń   D LA  OŚ ROD KA  P O P R Z E C Z N I E  I Z OTR OP OWE G O  77 Wykorzystują c  zwią zki  (5.2) i  (5.1)  moż emy  sprowadzić  równania  równowagi  (5.3) do  równań  wyraż onych  przez  przemieszczenia  u  — u{x, y),  v — v(x, y),  które  przy  po- minię ciu sił  masowych X  i  Y mają   postać Ci.iU, xx  + c 66 u,yy+(c 12   + c 66 )v iXy   =   0, (5  4") v  '  c 66 v+c 22 v  + (c 1   + c)u iXy   =  0 . Wprowadzimy  funkcję   przemieszczeń (j>(x,y)  taką ,  aby (5.5)  u  =  a(/ ) iX ,  v -   ty , gdzie a jest stał ą . Podstawienie  (5.5) do  (5.4) prowadzi  do równań dla funkcji  >,y y } >x   =   0 , 5  }  {[ ć i a + c6 6 ( a + l ) W + C M f  }., -   0. Stą d \ ,y y   =f{y), (5 7) [Ca+c{a+l)^   + c 21 \ 4> tyy  = h(x). Jednorodne równania (5.7) , xx   +  [c 66   (a+1)  +   c x 2] ,y y   =  0 mają   niezerowe rozwią zania  wtedy,  gdy (5 9) m  =  J_ c 12 a+c 66 (a+l)  '  c lx a  " s 2 Z  (5.9) otrzymujemy  równanie dla parametru s2 (5.10)  c 66 c 2 2S 4 - [c lx c 22 - Ci 2 (c l2 +2c 66 )\ s 2   + c ll c 6(l   =  0 oraz dla stał ej a wyraż enie (5.11)  a=  C '  C Pierwiastkom jf, jf  równania  (5.10)  odpowiadają   dwie  funkcje  spełniają ce równania (5- 12)  *. . »+ - V0 . . „ «O;  a =  1,2 bę dą ce rozwią zaniami równań (5.8). Skł adowe  wektora  przemieszczenia  wyraż ają   się   przez  te  funkcje  wzorami  wynikają - cymi z (5.5) , 5  1 3 * .   u  -   Oi^i, *+ fl2^2, *» v  =   (j>i, y +^ ) 2 , y , gdzie  ai,  a 2   są   stał ymi odpowiadają cymi  parametrom s\ , s 2 , które  oblicza  się   ze wzoru (5.11). 78  B.  R O G O WSK I P aram etry  s\ ,  s\   wyraż ają   się   przez  stale  sprę ż ystoś ci  wzoram i  analogicznymi  do  (2.17)) w  których  w  tym  przypadku a  = (5.14) C 2 2 mają   takie  same  wł aś ciwoś ci,  jak  p aram et ry  dla  poprzecznie  izotropowego  ciał a  trój- wymiarowego  omówionego  w  punkcie  2  (por.  też  [1]). P odobnie, jak  dla  ciał a  trójwymiarowego,  m am y  tu (5.15)  d ' - f l a - l. Wprowadzają c  oznaczenia  a t   =  k,  ę t   — ip lt   ai 1 (j) 2   =  ip 2 > otrzymujemy  z  (5.13) (5.16) przy  czym  funkcje  f a   speł niają   równ an ia  analogiczne  do  (5.12) (5.17)  fa, X x+\ %,w  =   0;  a  =   1,  2, a  stał a  k  dana jest  wzorem (5.18)  k  -   °22  - 2  °66 Skł adowe tensora  naprę ż enia wyraż ają   się   przez  funkcje  y> a (x, y)  wzoram i,  które  otrzy- muje  się  ze zwią zków  (5.1), (5.2) i  (5.16). Wykorzystanie  zależ noś ci, jakie zachodzą   mię dzy wystę pują cymi  w  tych  zwią zkach  param etram i  i  równ ań  (5.17)  prowadzi  do  nastę pują- cych  wyraż eń: t, (5- 19)    k,  a*  k~\ gdzie  k  dane  jest  wzorem  (5.18). Z  równ ań  (5.20)  otrzymujemy ( 5 - 2 2 ) M   =   M Wynika  stą d,  że funkcje  f{y)  i  h(x)  muszą  mieć postać (5.23)  fly)  =   byz  + cy + d,  h(x)  =   £ c tl a U wzglę dniając  (5.23)  w  (5.20)  i  cał kując  te  ostatn ie,  otrzymujemy  dla  funkcji  (x, y) (5.24)  4>(x,y)  =  c 22 [^ r- Ayh gdzie  A,  B,  C,  D,  E, F,  G,  H,  K  są  stał ymi  dowolnym i. Skł adowe  wektora  przemieszczenia  i  ten sora  naprę ż enia  wyraż ają  się  tu  wzorami: u  =  a(p iX   =  c 22 a(3Ay 2 x+2Byx)  + c 11 a 2 Cy 2   + (5.25) v  =   (f> ty   =  c 22 (3Ayx 2 +Bx 2 di  =   Kc 22 c ll ~cl 2 )a~c 66 c 12 (a+l)](3Ay 2 (5.26)  a y   = +  2a[c 11 c 22 - c 12 c 66 (a+l)- c 2 2 ]Cx+2c 12 aE+2c 22 G, r xy   m  2c 22 c 66 (a+l)  (3Ayx+Bx)+2c 66 (a+l)ac 11 Cy+c 66 (a+l)D. Z a  pom ocą  rozwią zań  (5.25)  i  (5.26)  m oż na  opisać  stany  naprę ż enia i  przemieszczenia w tarczach o skoń czon ych wym iarach  w  szczególnych  przypadkach  warunków  brzegowych (m etoda  odwrotn a).  D an e  zagadn ien ie  brzegowe  w  tarczach  prostoką tn ych  m oż na roz- wią zać  wykorzystując  ogóln e  rozwią zanie,  które jest  sumą  rozwią zań  (5.16),  (5.19),  (5.17) oraz  (5.25)  i  (5.26). 80  B.  ROGOWSKI 6.  Przypadek izotropii Zwią zki  (5.16) i równ an ia  (5.17) m oż na przekształ cić w  odpowiednie zwią zki i równania opisują ce  pł aski  stan  naprę ż enia w oś rodku  izotropowym . Jeś li  zastosujemy  w (5.16) i  (5.17)  podstawienie (6.1)  ky>i + y) 2   = Q,  ( l - f c2 M  -   l, F U N KCJE  PRZEMIESZCZEŃ   DLA  OŚ RODKA  POPRZECZNIE IZOTROPOWEGO  81 W  przypadku  izotropii,  dla  której  zachodzą   zależ noś ci  (6.5)  mamy (6.10)  A=±- (l+v). T ak  wię c dla  izotropii  otrzymuje  się   w  przypadku  pł askiego  stanu naprę ż enia (6.11)  u = Q jX ,  v =  Q, y +

 j)  oznaczono  moduł y  Younga  i współ czyn- niki  P oissona,  przy  czym  indeksy  1, 2, 3  odpowiadają   gł ównym  kierunkom  sprę ż ystoś ci, odpowiednio,  x,  y, z. P aram etr k,  dan y  wzorem  (5.18) oraz a i /?, od  których zależą   param etry s\   i s 2 ,  okreś lo- ne  zależ noś ciami  (5.14) wyraż ają   się   przez  techniczne stał e  wzoram i: —  dla  pł askiego  stan u  n aprę ż en ia k  =   E2sl- G(\ - v12v2l) (l- ^ia^i) ' ( 7- 3)  * - - Ł r. »1 Ł . K  ft' 6  Mechanika  Teoretyczna 82  B.  ROG OWSSU —  dla pł askiego stanu  odkształ cenia k m   ^ _ (7.4) 2G{\ - v l3 v 3i )  l- v 13 v 3i B  = E z (l- v 13 v 3l )  ' Wykorzystują c  (7.2) i wykonują c  w (5.16), (5.17) przejś cie  graniczne, otrzymano rozwią za- nia  dla pł askiego stanu odkształ cenia w oś rodku izotropowym.  Mają   one postać: (7.5)  u = Q tX ,  v  =   Q, y  +  f t! , gdzie funkcje  Q(x,  y),  tp(x,  y) są  rozwią zaniami równań (7.6)  /h/j =  0,  2Q.- v)AQ+%yy  = Ó, Tak  wię c,  sprowadzono  pł aski problem  teorii  sprę ż ystoś ci  oś rodka ortotropowego do cał kowania  równań  drugiego  rzę du  (5.17). D la  oś rodka  izotropowego  rozwią zania  mają postać  (6.2) i (6.3) dla pł askiego stanu naprę ż enia oraz (7.5),  (7.6) w przypadku pł askiego stanu  odkształ cenia. W  obu  zagadnieniach wystę pują   ponadto rozwią zania  w  postaci  wielomianów  (5.25), (5.26),  w  których  parametry  sprę ż yste  wyraż ają   się   wzorami,  odpowiednio,  (7.1)  i  (7.2). Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  C .  r .  JlBXHHUKHftj  T eopun  ynpyzocmu  auMomponuoio  tne/ ia,  rocrexiraflaT ,  1950. 2.  W.  N OWAC KI ,  O  wyznaczaniu naprę ż eń  i  odkształ ceń  w  ciele sprę ż ystym  o  izotropii poprzecznej,  Arch , M ech.  Stos.,  5,  4  (1953). 3.  H u .  H AI- C H AN G,  On  the  three- dimensional  problems  of  the  theory of  elasticity  of  a  transv.  isotr. body, Acta  Sci  Sinica,  2,  2  (1953). 4.  C .  F .  JlExunqKH H j y- npyzoe paenoeecue  mpaiiceepcaMiio  momponnozo  CMOH  U mojicmoii njiumu,  I T M M . 26  (1962). 5.  A.  SI N G H , Stress distributions within solids of  revolution, Z AM M ,  39, 12  (1959). 6.  Z .  MOSSAKOWSKA,  Funkcje  naprę ż eń  dla  ciał   sprę ż ystych  o  ortotropii  trójosiowej, AM S,  7,  1  (1955). 7.  1 0 .  M .  TAPHonojitCKHH,  A.  B.  P O 3 E ,  OcoSeimocmu  pacuema  demajieu  U3 apMupoeaimux  n/ iacmuKoe, P a r a  1969. 8.  B.  JJ.  IyHKU;HH   ITEPEMEmEHHft  flJM   yilP YrO H   TPAHCBEPCAJIbHO- H3OTP0ITH0fl[ CPEflLI TpexniepH afl  CTaTipiecKafl  3 a sa i a  JIH H CH H OH   TeopHH  yn p yr o c m  TpaHCBepcaJi&HO- H30TponHOH K  HHTerpHpoBaHHio Tpex  ,rrH(bepeHijHajibHbix  ypaBHeHHH  BToporo  nopnflKa, nepeMemeH H H .  flnH  Bcex Tpex  cfiyHKUHH  npH cyTCTBywinne  B ypaBHeHHHx flH cp4>epeH U H ajibH bie o n e p a io p bi 8 2   8 2  1  d2 dxi  dx\   S;  8x1 Tfle  KOHCTailTW  sf  3aBH CET  OT  M aTepH ajI bH blX  KOHCTaHT  C p eflbl.  I lpH BOflflTC a  Bbipa>KeH H H   KOMnOHeHT BeKTOpa  nepeMemeH H H  H  TeH 3opa  HanpawceHHH  ^ ep e3  BŁiBefleHHbie  cbyHiKe  fljia  AByx  (JjyuKî HH   nepeiwemeH H tt  npw  njiocKHX a  TaKHł T  F U N C TI ON S F O R  TRAN SVERSALLY  ISOTROPIC M ED IA Three- dimensional,  static  problem  of  linear  elasticity  of  a  transversally  isotropic  medium  is  reduced to  the solution  of  a  system  of  three- second  order  differential  equations  for  three  displacement  functions. The differential  operators  applied  to  the functions  have  the same  form d 2   d 1  1  82 8x1  8xi  sf  8x1' constants sf  depending on th e m aterial param eters of  th e  medium. C om ponents of  the  displacement vector and  stress tensor are expressed  in term s of  th e displacement functions. Similar equations are also obtained for  two displacement functions  governing  th e plane problem  of  elasticity  of  orthotropic  bodies. T h e  corresponding equation s are  also  shown  in  th e cases  of  th ree functions  (spatial problem) or two functions  (plane problem)  describing  th e  displacement field  in  isotropic media. POLITECHNIKA  ŁÓDZKA Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  11  lutego  1974  r. -