Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  13  (1975) AN ALIZA  KON WEKCYJN EG O  REKU PERATORA  PĘ TLICOWEGO  Z  KRZYŻ OWYM P RZ EP ŁYWEM  CZYN N IKÓW J A N   S K Ł A D Z I E Ń   ( G L I W I C E ) 1.  Wstę p P rzy  rozpatrywan iu  dowoln ego  rekuperatora  z  przepł ywem  krzyż owym  m oż na  w  od- niesieniu  do  każ dego  z  czynników  przyją ć  dwa  krań cowe  zał oż enia  okreś lają ce  jego  za- chowanie  się .  W  klasycznych  rekuperatorach  krzyż owo- prą dowych  zakł ada  się   przepł yw adiabatycznym i,  nie  mieszają cymi  się   strugami,  pomię dzy  którym i  nie  m a  wymiany  ani ciepł a,  an i  masy.  M o ż na też  przyją ć  cał kowite wymieszanie  w  pł aszczyznach poprzecznych do  kierun ku  przepł ywu  i  t em perat u ra  danego  czynnika  jest  wówczas  funkcją   tylko  jednej zmiennej.  P rzypadki  takie  wystę pują   również  przy  rozpatrywaniu  rekuperatora  pę tlico- wego  z  przepł ywem  krzyż owym,  którego  schem at  wraz  z  modelem  teoretycznym  jest pokazan y  n a  rys.  1.  P rzypadek  cał kowitego  wymieszania  obu  czynników  wydaje  się   nie mieć  wię kszego  znaczenia  praktyczn ego.  Z ał oż enie  wymieszania  czynnika  ogrzewanego m a  sens  w  przypadku  rekuperatora  skł adają cego  się   z pojedynczego,  wzglę dnie  grupy  rów- nolegle  ustawion ych  elem entów.  W  przypadku  wię kszej  iloś ci  elementów  ustawionych w  kilku  rzę dach  sł uszne  wydaje  się   być  zał oż enie  przepł ywu  czynnika  chł odniejszego adiabatycznym i  strugam i.  W  odniesieniu  do  m edium grzeją cego  m oż na teraz  przyją ć  dwa przeciwstawne  zał oż enia, w  rzeczywistoś ci  zaś  bę dzie  pan ował  pewien  stan  poś redni. Przy- padek  cał kowitego  wym ieszania  tego  czynnika jest  znacznie ł atwiejszy  do  rozwią zania  [4]. P rzypadek  «czystego»  przepł ywu  krzyż owego  bez  wymieszania,  dla jednego  szczególnego przypadku  Qc x _ 2   =   &i_ 3),  również  został   rozwią zany  [2].  Wyniki  obliczeń,  choć  otrzy- m an e  w  stosun kowo  prosty  sposób,  poprzez  transformację   Laplace'a  równań  bilansu energii,  niezbyt  nadają   się   do  obliczeń  cyfrowych,  zwł aszcza  przeprowadzanych  n a  maszy- nie  m atem atyczn ej. Wyn ika  t o  z  koniecznoś ci  rozwią zywania  równań przestę pnych.  W ni- niejszej  pracy  p o d an y  jest  in n y,  przy  tym  bardziej  ogólny,  sposób  rozwią zania  zagadnie- nia.  P o  sprowadzen iu  u kł ad u  równ ań  bilansowych  do  równ an ia  cał kowego  okreś la  się kształ t  rozwią zania.  P o  zał oż en iu n a  tej  podstawie  szeregów  okreś lają cych  przebieg  tem- peratur  poszczególnych  strum ien i znajduje  się   współ czynniki funkcyjne  wystę pują ce  w  tych szeregach.  Z e  wzglę du  n a  rekurencyjny  ch arakter  wyprowadzonych  zależ noś ci,  nadają się   one do  obliczeń przeprowadzan ych  n a m atem atycznej maszynie  cyfrowej. 2.  Sformuł owanie  problemu M odel  teoretyczny  rozpatrywan ego  rekuperatora  pokazan y jest n a rys.  1. P owierzchnia wymiany  ciepł a  został a rozbita  n a  dwa  prostoką ty  o  wymiarach  x o yo-   G dyby  zdarzył   się przypadek  róż nych powierzchn i  p o  obu  stron ach p u n kt u zwrotnego, w równ an iach bilansu 58 J.  SKŁADZIEŃ 1  y Rys.  1, Wymiennik  pę tlicowy  z  krzyż owym  przepł ywem  czynników:  a) schemat  wymiennika,  b) model teoretyczny,  c)  rozkł ad  temperatur wystę pują   zredukowane  współ czynniki  przenikania  ciepł a.  D la  stanu  ustalon ego,  p o  po- minię ciu  strat  ciepł a  oraz  przepł ywu  ciepł a  wzdł uż  przegród,  otrzymuje  się   z  bilansu energii  dla  klasycznego  przepł ywu  krzyż owego  ukł ad  równ ań  róż niczkowych: 8X' (2.1) x 0   dY' W 3   dt 3 gdzie: fcj_j  —  współ czynnik  przenikania  ciepł a  od  strumienia  z- tego  do / - tego, t t   —  tem peratura i- tego  strumienia, W i —  pojemność  cieplna  j- tego  strumienia, ^o > Jo —  wymiary  powierzchni  wymiany  ciepł a, X,  Y—  współ rzę dne  bezwzglę dne. Z akł adają c  W z   =   W 3   oraz  przyjmują c  współ rzę dne  bezwymiarowe (2.2) otrzymuje  się : (2.3a) (2.3b) X  — Y x0 0 2  + dd 2 (2.3c) dy AN ALIZA  KONWEKCYJNEGO  REKUPERATORA  PĘ TLICOWEGO  59 gdzie (2.4)  (Ą -J  -   - 5(  jest  bezwym iarowe  wyraż oną   tem peraturą   / - tego  strumienia Warun ki  brzegowe  dla  u kł ad u równ ań  (2.3)  przyjmują   postać (2.6)  6>i|x=o =  1;  0 2 |, - o  =  0;  62\ y=1  =  e 3 | y = 1 . W  dalszych rozważ an iach zakł ada się  stał ość wielkoś ci k t _j  i  W t ,a. tym samym stał ość x, 3.  Rozwią zanie  zagadnienia U kł ad  równ ań  róż niczkowych  (2.3)  m oż na  sprowadzić  do  jednego  równania  cał ko- wego  zjed n a  niewiadomą . W tym  celu należy  wyznaczyć  funkcje  6 2  i d 3  z równań  (2.3b) i  (2.3c). Z równ an ia  (2.3b) p o  zastosowan iu  warun ku  02|y= o =  0 otrzymuje  się (3.1)  8 2   =   ( ^ . j ) * - * -* o P o  przekształ ceniu  równ an ia  (2.3c)  i  uwzglę dnieniu  warun ku  równoś ci  tem peratur 0 2 i 6 3  w pun kcie >> =  1 otrzymuje  się 1  1 (3.2)  03 =  e^ - ^ liK^ e- ^ 1 ^ -  ̂ f  e^ - ^ e.ix^ dy+iK^ ) } e- ^ - ^ ^ x,y)dy]. 0  y Z astosowan ie  warun ku  6 i | , = 0  =  1 p o  odpowiednich  przekształ ceniach  równ an ia  (2.3a) daje: (3.3) o Aby  dostać jedn o  równ an ie  zje d n a  niewiadomą   należy  wstawić zależ noś ci  (3.1) i  (3.2) do  (3.3) (3.4)  6 t   =  e- »+ i)(Ki- 2)*|l +  ( ^ _ 3 )  J  >+ i>(Ki- »)» {(jr3_ 1)r" ( K a- ») y j  e- M- ó  >0i (x, y)dy + o 1 J  { o  o 1   1 60  J.  SKŁADZIEŃ Równanie  cał kowe  (3.4)  rozwią zać  m oż na  metodą   kolejnych  przybliż eń.  Przyjmują c jako  zerowe  przybliż enie (3 . 5 )  0? =   0 otrzymuje  się   po  wstawieniu  (3.5)  do  prawej  strony  równ an ia  (3.4) (3.6)  0 |  -   e- C«+ i)CXi- »)*, Pierwsze  przybliż enie  podstawione  do  (3.4)  daje  drugie  przybliż enie (3.7)  61 m gdzie (3.8)  a t (y)  =   ( ^ 1 _ 2 ) { K Kolejne  przybliż enia  mają   postać (3.9)  B\  m  r (3.10)  di  = Ogólnie bę dzie zatem (3.11)  B\  =   e- przy  czym  wyraż enia  a t (y),  a 2 (y),  .- .,  mają   nieregularny  kształ t  i  począ wszy  od  a 2 (y) dość  zł oż oną  postać.  Wstę pne  rozwią zanie  równ an ia  cał kowego  (3.4)  umoż liwia  n a  pod- stawie  (3.11) zał oż enie funkcji  0X  w  postaci  szeregu (3.12) lub (3.13)  ' n- l gdzie (3.14)  A,  =  1. Widać  przy  tym,  że  speł niony jest już  tu  warunek  d^ - o  =   1.  P o  wstawieniu  (3.13)  do równań  (2.3b) i  (2.3c) otrzymuje  się   kolejn o: (3- 15)  Q 2   =  e- (3.16)  0 3   =   e " ( x + 1 ) ( K l - 2 > 3 n =   l AN AL I Z A  K O N WE K C YJN E G O  REKU PERATORA  P Ę TLI C OWE GO  61 przy  czym  zachodzą   zwią zki (3.17)  * C y ) + L  T (3.18)  C M - ^ ^ Z e  wzglę du  n a  warun ki  brzegowe  (2.6) funkcje  B n {y)  oraz  C„0>) muszą   speł niać zależ- noś ci (3.19)  B„\ y=Q   =   0 ;  ^ n |j. = i  =   C B |J I »I . N ie  wykorzystane  dotą d  równ an ie  (2.3a)  p o  wstawieniu  doń  zależ noś ci  okreś lają cych funkcje  6 t ,  6 2   i 03  daje  warun ek (3.20)  A  4.+ I  (y)  -   - ^ j ~  IAO0+ KCBG O] . n= l,2,  ...  '^ Kolejność  rozwią zywania  bę dzie  zatem  n astę pują ca:  korzystają c  z  (3.14)  wyznacza się   n a  podstawie  (3.17) - r-  (3.19)  funkcje  JBIOO  i  C^Cy), których  znajomość  na  podstawie (3.20) umoż liwia znalezienie funkcji  A 2 {y).  M ają c  A 2 (y)  oblicza  się  nastę pnie B 2 (y)  i  C 2 (y) z  równ ań  (3.17) - f-  (3.19)  i  potem  w  podobn y  sposób  m oż na  wyznaczać  kolejne  wyrazy szeregów.  P ostę powan ie  wedł ug  podan ej  kolejnoś ci prowadzi  do  otrzymania  nastę pują- cych  wyn ików: (3.21)  * i G ' ) - l + . f l1 , 1 « r C * « » ;  BU1=  - 1; (3.22)  C t (y)  =   1 +  C l i i e ( x ^ ;  C U1   =  - oraz  po  wprowadzen iu otrzym am y (3.23)  A 2 (y)  = B 2 (y)  =   (K (3- 24)   (K B 2Z   u  -  Qui? (3.25)  C 2 (y)  =   (K 1 _ —:  B 11}   C 2 , 2 1 C 2 ) 1  =   ( J S2, 1 (3.26)  ^ 3 ( J )  =   - ^ 62  J.  SKŁ ADZIEŃ (3.27)  B 3 (y)  =  —[(K ^ 3 . 5 ^ A* 1 (3.28)  C 3 ( J ) =  ^ r [ ( J S : 1 C  \ , 1 ) I  C 3 i l  =   ( S 3 —C 3 | 2  —C 3 , 3 ; (3.29)  ^  y  [ ( 2 ) 2 1  4  3 (3.30)  B^ y)  =   - J J - K ^ I - J) +  ( *i- 3) ] 3 +  e- ^ - '»  j £  54fl/ - » +  e( K3- o, ^   BifA . H   / - v  2 5 4 , 7 2 -   yj AN AL I Z A  K O N WE K C YJN E G O  REKU P ERATORA  P Ę TLI C OWE GO  63 (3.31)  CM  = iyliK  £ - - 4,7  —  2? (*l- 3) i 2 ) ;  C 4 t 2  =   - —  (K^ ( = 2 Ogólnie  dla  n  => 2,  3  ... (3.32)  ^ „   =   1~\ „_J73  + 2 !  = 1  ! = 1 n- 2 (• K 1 - 3 )C„- . l ,,,- t im.n- A R -   ffii /   \   - "rt./l +  f  — im.n- 2.n- 3  2,i A  R  -   ^ « =  „ - l, „ -\   3,2  " • ' - ""  ( » - 1 ) 0 - 1) (n~iy n- l, n- 2 +  i) 2 2 ( = 1  ( - 1 , 64  J .  SK Ł AD Z I E Ń n—1  « —1 2 l )  2 2 ( = 1  / = l  ( - 1  i- 2 Aby  okreś lić  ilość  przekazanego  ciepł a  wystarczy  znajomość  tem peratury  czynnika ogrzewanego  przy  wypł ywie  z  wymiennika  8 3w   — 03|j, = o-   Ciepł o  pobran e  przez  czynnik ogrzewany  wyraża  się  bowiem  wzorem (3.33)  2  =   W 2 (t u - t 2i )6 3v/ if , gdzie 1  00  1 (3.34)  "  0 3w . r   =  Je 3 \ Ja0 (x)dx  =  ]?  C n (0)J  ^ "+ 1 «J E «) *x"- *< fa, O C 2(0)  =  ( ^ i - (3.35) c( 0 )  [( ogólnie (3.36)  A  C„(0)  = 4.  Rozwią zanie  równ ań  bilansu  energii  przy  cał kowitym  wymieszaniu  jednego  z  czynników Zależ noś ci  podan e  uprzednio  odnoszą   się  do przypadku,  gdy czynniki  robocze  pł yną adiabatycznymi,  nie  mieszają cymi  się  strugami.  Jeś li  w  czasie  przepł ywu  czynnik  grzeją cy ulega  cał kowitemu  wymieszaniu  [8 t   = 0i(x)],  wówczas  [4]  tem peratury  poszczególnych strumieni  są   okreś lone  wzoram i: (4.1)  6,  =  e~ vx,  0 2   =  0 t n - *- < *»- »»],  03  =   fl^l- e- c^- iM Ka- iM i- y)^ gdzie (4.2)  y =  2pL[l _e- <*»- iM*«-   W Ś rednią   tem peraturę   czynnika  ogrzewanego  przy  wypł ywie  z  wymiennika  okreś la  tu zależ ność (AT \   a  _  CK2- 1)  n AN AL I Z A  K O N WE K C YJN E G O  REKU P ERATORA  P Ę TLI C OWE GO  65 W  przypadku  cał kowitego  wymieszania  strumieni  czynnika  ogrzewanego  0 2   =  8 2 (y)', Q 3   =   6 3 (y)  ukł ad  równ ań  bilansu  energii  przyjmuje  postać (4.4a)  L * U kł ad  (4.4)  m oż na  otrzymać  bą dź  bezpoś rednio  z  bilansów  energii,  bą dź  też  przez scał kowanie  w  granicach  0- = -l  wzglę dem  zmiennej  x  równań  (2.3b)  i  (2.3c).  Warunki brzegowe  są   tu  opisane,  podobn ie  jak  uprzednio,  równaniami  (2.6).  Z  równania  (4.4a) po  zastosowaniu  warun ku  ( 5i|x = 0  =   1 otrzymuje  się (4.5)  e l  - - Po podstawieniu  (4.5) d o równ ań  (4.4b) i  (4.4c) otrzymuje  się  ukł ad dwóch  równań z dwie- ma  niewiadomymi: (4.7) gdzie P o  wyznaczeniu  03  z  (4.6) i  podstawieniu  otrzymanej  zależ noś ci  do  (4.7)  otrzymuje  się równanie (4- 9)  ^ ± - C ( K ^ Rozwią zanie  tego  równ an ia  m a  postać (4.10)  Q 2   = gdzie (4- 11)  fi ll2   -   1 C C AU ) !**- 1 =F  / ( «  - 1 )2  +  4«/ C] . P odobny  wyglą d  posiada  funkcja  okreś lają ca  tem peraturę   0 3 (4.12)  03  =   j 5  Mechanika  Teoretyczna 66  J.  SKŁADZIEŃ P o  wyznaczeniu  na  podstawie  (4.6) stał ych N x   i N 2   jako  funkcji  stał ych M 1   i  M 2   oraz po  uwzglę dnieniu  dwóch  nie  wykorzystanych  dotą d  warun ków  brzegowych  otrzymuje się   ostatecznie (Ą   i  o\   fl  1  2  1  „—  C(K 2 - i)y (4.14)  03  -   1 - ^ —^ gdzie (4.15)  v l i a Tem peratura  czynnika  ogrzewanego  przy  wypł ywie  z  wymiennika  jest  t aka  sama w  każ dym  punkcie i wynosi (4.16) 5.  Uwagi  koń cowe P odan e  powyż ej  rozwią zania  równ ań  bilansu  energii,  zarówn o  dla  przypadku,  gdy  nie wystę puje  wymieszanie,  ja k  również  dla  cał kowitego  wymieszania  jedn ego  z  czynników, posiadają   charakter  bezwymiarowy.  Wystę pują   w  n ich  bezwymiarowe  tem peratury  oraz kryteria  podobień stwa  i  sympleksy.  D o jedn ozn aczn ego  okreś lenia  zagadnienia  konieczna jest  znajomość  trzech  spoś ród  sześ ciu  charakterystycznych  wielkoś ci  (cztery  kryteria  po- dobień stwa,  stosunek  pojemnoś ci  cieplnych  oraz  stosunek  współ czynników  przen ikan ia ciepł a). Rozwią zanie  podan e  dla  klasycznego,  czystego  przepł ywu  krzyż owego  m im o pozorn ie dość  skomplikowanej  postaci  dobrze  nadaje  się   do  obliczeń  dokonywanych  n a  cyfrowej maszynie  matematycznej.  P rzykł adowe  obliczenia  wykazał y  przy  tym ,  że  cią g  C„(0) jest szybko  zbież ny  do  zera. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J. MAD EJSKI,  T eoria wymiany  ciepł a,  PWN ,  Warszawa  1963. 2.  G . D .  RABIN OVICH,  On a Particular  Case of  Stationary Heat  T ransfer with Crossflow  of  Heat  Agents I n t. Journal of H eat and  Mass Transfer,  5 (1962), 409^12. 3.  J.  SKŁADZIEŃ ,  Analiza  rekuperatora  Fielda przy  krzyż owym  przepł ywie  czynników  bez  wymieszania, ZN PŚ,  Energetyka,  45  (1973). 4.  J. SKŁADZIEŃ , Rozkł ad temperatur w rekuperatorze Fielda przy  krzyż owym przepł ywie czynników,  ZN PŚ, Energetyka,  39  (1971). 5.  R.  A.  STEVENS, J. FERN AN D EZ,  J. R.  WOOLF ,  Mean  T emperature Difference  in One,  T wo  and  T hree- Pass Crossflow  Heat  Exchangers,  Tran s.  ASM E,  79  (1957) 287. AN ALIZA  KONWEKCYJNEGO  REKUPERATORA  PĘ TLICOWEGO  67 P  e 3  K>  M e AH AJI H 3  K O H BE K U H O H H O rO n E T J I E BO r O  PERYITEPATOPA C  ITEP EKP EC TH BIM H  n O T O K AM H   TE I D I OH OC H TE JI E fł B  paSoTe  paccMaTpHBaeTCH  TenjioBOH   noTOK B KOHBCKŁTHOHHOM newieBOM  pei- cynepaTope  c nepei