Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  13  (1975) T E O R E T YC Z N A  AN AL I Z A  P R O C E S U   WYC I SK AN I A  R U R Y JE R Z Y  B I A Ł K I E W I C Z  ( K R AK Ó W) 1.  Wstę p Teoria  pł ynię cia  oś rodka  sztywno- idealnie  plastycznego  w  warunkach  osiowo- syme- trycznego  stan u  n aprę ż en ia i  odkształ cen ia obejmuje  swym  zakresem  wiele waż nych  prak- tycznie  zagadnień.  P om im o  istotn ego  postę pu  w  przystosowaniu  analizy  opisują cych  ją równ ań  do  zastosowań ,  kierują c  się   znaczną   czasochł onnoś cią,  a  nawet  nieosią galnoś cią ś cisł ych  rozwią zań,  n iejedn okrotn ie  rezygnujemy  z  opisu  osiowo- symetrycznego  rozpatru- Rys.  l ją c  formalnie  zagadn ien ie  w  warun kach  pł askiego  stanu  odkształ cenia.  Postę powanie takie  w  oparciu  o  prace  porówn awcze  przeprowadzon e  przez  TH OMSEN A  i  współ pracow- n ików  [1]  w  licznych  przypadkach  prowadzi  do  dobrego  przybliż enia  zwł aszcza  dla  wy- zn aczen ia  wielkoś ci  sił   wystę pują cych  w  procesie  deformacji  plastycznej.  W  rezultacie przeprowadzon ych porówn ań dla wybranych  zagadnień  brzegowych  [2] stwierdzono  n p.,  że ś rednie  ciś nienie  dla  procesu  wciskania  stem pla  w  warun kach  osiowo- symetrycznych  jest o  9,8%  wię ksze  od  obliczonego  dla  tego  samego  zagadnienia  w  warun kach  pł askiego stan u  odkształ cen ia, n atom iast  sił a  wciskania  ostrego  klina  dla  ką ta  60°  jest  okoł o  12% niż sza  od  wynikają cej  z  rozwią zania  osiowo- symetrycznego.  P odobną   analizę   porównaw- czą   m oż na  przeprowadzić  dla  szeregu  innych  waż nych  praktycznie  przypadków,  jak n p .  procesu  kucia  m atrycowego  przedstawionego  w  pracy  [3], gdzie  zastosowano  teorię pł askiego  stan u  odkształ cen ia  do  rozwią zania  problem u  w  warun kach  symetrii  osiowej, kiedy  wycię cia  w  obu  poł ówkach  m atrycy  tworzą   powierzchnie  obrotowe. P oniż ej  po d an e  zostan ie  rozwią zanie  procesu  wyciskania  rury  schematycznie  przed- stawionego  n a  rys.  1.  I stotn ą   cechą   charakteryzują cą   rozpatrywany  proces  jest  brak  sy- 8  Mechanika teoretyczna 254  J .  BlAŁKIEWICZ m etrii  w  obszarze  odkształ ceń plastycznych  ECAD.  F a kt  ten  spowodowan y  jest  nierów- nomierną   redukcją   gruboś ci  ś cianki  rury  od  strony  ś rednicy  zewnę trznej  D Y   i  wewnę trz- nej  D o   I - ~—-   #   °  °  I oraz  w  ogólnym  przypadku  odm ien n ym i  ką tami  nachylenia krawę dzi  AD  i  EC  wzglę dem  osi  Xi  (/Si  ^  a i) .  Z ał oż enia  te  eliminują   moż liwość  wskaza- nia  bezpoś redniego,  uzasadnionego  technologicznie  odpowiedn ika  rozpatrywan ego  pro- cesu  osiowo- symetrycznego  w  warunkach  pł askiego  stan u  odkształ cen ia.  M oż na  wpraw- dzie  wskazać  na  analogię   z  procesem  przecią gania  blachy  z  m ał ą   redukcją   gruboś ci  roz- wią zanym  przez  H I LLA  i  TU P P ERA  [4],  niemniej  jedn ak  tylko  w  przypadku  speł nienia wyż ej  sprecyzowanego  warunku  sym etrii. 2.  Analiza  teoretyczna Analizie  zostanie poddan y  szczególny  przypadek  procesu,  dla  którego  obszar  plastycz- ny  scharakteryzowany  jest  stosun kam i  wym iarów  Ah 2 IAh l   =   4  oraz  h o / h 1   =   2,04.  Przyj- miemy,  że  n a  liniach  kon taktu  m ateriał u  z  matrycą   n ie  wystę pują   sił y  tarcia. M oż liwość  zastosowania  teorii  pł askiego  stan u  odkształ cen ia  do  rozwią zania  podob- nego  problem u  osiowo- symetrycznego  został a  przedyskutowan a  przez  H I L L A  [5] n a  przy- kł adzie  redukcji  gruboś ci  ś cianki  wytł oczki  bez  zm iany  jej  ś rednicy  wewnę trznej  (wyniki analizy  H I LLA  przytoczon o  w  ksią ż ce  [2]). Cał kowita  redukcja  gruboś ci  ś cianki  rury  ——.—-   100%  =   5 1% w  n aszym  przypadku " o jest  również  w  znacznej  mierze  realizowana  n a  ś rednicy  zewnę trznej  (41%).  N iewielkie odkształ cenia  mają ce  miejsce  n a  ś rednicy  wewnę trznej  (okoł o  10%)  n ie  zmieniają   w  spo- sób  istotny  przeprowadzonej  przez  H I LLA  analizy  oszacowań.  N ależy  wię c  oczekiwać,  że przytoczone  poniż ej  rozwią zanie  przy  zastosowaniu  teorii  pł askiego  stan u  odkształ cenia powinno  dać  dobre  przybliż enie  wystarczają ce  dla  celów  praktyczn ych .  Z ał óż m y,  że  roz- kł ad  nacisków  wzdł uż  linii  kon taktu  m ateriał u  z  matrycą   AD  i  trzpien iem  CE  jest  stał y n a  cał ej  ich  dł ugoś ci.  Oczywiś cie  wielkoś ci  tych  nacisków  z  uwagi  n a  wspom n ian y  brak symetrii  bę dą   n a  obydwu  krawę dziach  róż n e.  Przyjmują c  je  ja ko  param etry  (wartoś ci n a  począ tku  rozwią zania  są   nieznane) otrzymujemy  w  otoczen iu  linii  AD  i  CE  elemen- tarn e  przypadki  zagadnień  C auchy'ego  prowadzą ce  do  jedn orodn ych  p ó l  n aprę ż eń  AJD i  CFE  (rys.  2  i  3).  D o  p ó l  tych  przylegają   wycinki  biegunowe  o  prostolin iowych  krawę - dziach  wychodzą cych  z  pun któw  osobliwych:  A,  D,  C  i  E.  K ą ty  wycinków  biegunowych n a  obecnym  etapie  rozwią zania  są   n iezn an e. Wychodzą c  n astę pn ie  z  ł uków  koł owych  JK i  JL   oraz GFi  HF  m oż na zbudować  siatki  w czworoką tach krzywoliniowych  JL BKiFHBG rozwią zując  zagadnienia  charakterystyczn e. Z asadniczo  rozwią zanie  sprowadza  się   do  wyznaczenia  poł oż en ia  p u n kt u  B,  w  którym obie czę ś ci  siatki  charakterystyk  stykają   się .  W  pun kcie t ym  zbiegają ce  się   charakterystyki tej  samej  rodziny  muszą   mieć  wspólną   styczną .  Teoretycznie  p u n kt y  t e  w  obszarze  roz- wią zania  wyznaczają   pewną   krzywą .  Z  uwagi  jedn ak  n a  skoń czoną   gę stość  lin ii  charak- terystyk,  która  ś ciś le  wią że  się   z  przyję tą   podział ką   ką tową   wachlarzy  (w  pracy  przyję to Ay  =   3°)  otrzym an o  dwa  poł oż enia  p u n kt u  B,  wskazują c  t ym  sam ym  dwa  róż ne  roz- T E O R E T YC Z N A  AN ALI Z A  P R O C E SU   WYC ISKAN IA  RU RY 255 R ys.  2 wią zania  kinem atycznie  dopuszczaln e,  stanowią ce  górną   ocenę  sił y  wywoł ują cej  pł ynię cie plastyczne  (rys.  2  i  3). P lany  prę dkoś ci  dla  obydwu  rozwią zań  przedstawion o  n a  rys.  2a  i  3a.  Budowę   ich rozpoczynam y  od  zał oż en ia prę dkoś ci  z jaką   porusza  się   sztywna  czę ść  m ateriał u  n a  lewo od  linii  DBE.  Jeś li  przyjm iem y,  że  wynosi  on a  V 1   wówczas  z  warun ku  nieś ciś liwoś ci 8 * 256 J .  BlAŁKIEWICZ O'- otrzymamy  prę dkość  m ateriał u  p o  wyciś nię ciu,  V 2   =  V,_- ~~.  N a  h odografach  prę dkoś ci "i te  reprezentują   wektory  odł oż one  z  biegun a  0'  w  kierun ku  równ oległ ym  d o  osi  x  pł asz- czyzny  fizycznej,  przy  czym  0'0*  =   f\   i  0'B*  =   V 2 .  Linie  poś lizgu  DKBHC  i  AL BGE są   liniam i niecią gł oś ci prę dkoś ci. P rę dkoś ci w  pun kcie B  od  stron y  obszarów  plastycznych powyż ej  i  poniż ej  osi  x  odwzorowane  są   n a  h odografach  odpowiedn io  przez  wektory 0'B 1 '  0'B".  P oł oż enie pun któw  B'  i  B",  jak  zazn aczon o  n a  rysun kach ,  wyznaczono  przy T E O R E T YC Z N A  AN ALI Z A  P R OC E SU   WYCISKAN IA  RU RY 257 pomocy  ką tów  # 0 , i  i  0Oti,  jakie  tworzą   charakterystyki  AB  i  BC  z  osią   x  w  punkcie  B. P rę dkoś ci  p o  prawej  stron ie  odcinków  BK  i  BG  linii  niecią gł oś ci  odwzorowane  są   przez ł uki  okrę gów  B'K'  i  B"G'  ze  ś rodkiem  w  pun kcie 0*.  P odobn ie prę dkoś ci  po lewej stronie odcinków  BL   i  BH  linii  niecią gł oś ci  przedstawiają   ł uki  B'U  i  B"H'  ze  ś rodkiem w  pun kcie  B*. D an e wyjś ciowe  n a  tych  ł ukach  prowadzą   do  zagadnień  charakterystycznych  dla  pól K'B'L 'J'  i  G'B"H'F',  których  pu n kt y  odwzorowują   prę dkoś ci  wewną trz  obszarów  KBL J i  GBHF.  Oczywiś cie  wektory  O V'  i  O T '  opisują ce  prę dkoś ci  pól  trójką tnych  DJA  i  EFC bę dą   równoległ e  odpowiedn io  do  ś cianki  m atrycy  AD  i trzpien ia  EC. Posł ugują c  się   siatką   linii  poś lizgu  i  odpowiadają cym  jej  hodografem  (rys.  3  i  3a), n a  rys.  4  przedstawion o  w  skali  wektory  prę dkoś ci  w  polu  odkształ cenia  plastycznego. Wzdł uż  zarysowują cych  się   lin ii  prą du  pł ynię cia  widoczne  jest  zwię kszenie  moduł ów wektorów  prę dkoś ci.  Z  faktu  tego  moż emy  wnioskować  o  speł nieniu  w  cał ym  obszarze odkształ cenia  warun ku  dodatn ioś ci  dysypacji  m ocy.  Analogiczny  wniosek  wypł ywa  z  roz- wią zania  przedstawion ego  n a  rys.  2  i  2a.  Odpowiedni  rysunek  pom inię to z  uwagi  n a nie- duże  róż nice  w  rozkł adach pól  prę dkoś ci  dla  obydwu  rozwią zań. Wstę pnie  sparam etryzowan e  wielkoś ci  nacisków  n a  krawę dziach  AD  i  CE  dla  uzyska- nych  siatek  linii  poś lizgu  m oż na  ustalić  w  oparciu  o  warun ek  brzegowy.  Z  równowagi bowiem  sztywnej  i  zarazem  swobodnej  czę ś ci  m ateriał u wynika,  że  wypadkowa  naprę ż eń po  prawej  stron ie  lin ii  ABC  jest  równ a  zeru.  Warun ek  ten  ł ą cznie ze  zwią zkami  wzdł uż charakterystyk  pozwala  okreś lić  wartość  ś redniego  ciś nienia  w  dowolnym  pun kcie  pola linii  poś lizgu.  Wyczerpują ce  informacje  zwią zane  ze  sposobem  formuł owania  zwią zków analitycznych  zamieszczono  w  ksią ż kach  [1, 2,  5]. 258 J .  BlAŁKlEWIC Z Wielkość  sił y  naciskają cej  F  powodują cej  proces  pł ynię cia  plastyczn ego  m oż na  wy- znaczyć  n a  dwóch  drogach :  poprzez  zrównoważ enie  n aprę ż eń  wzdł uż  charakterystyk  DB i  BE lub  obliczenie wartoś ci  skł adowej poziomej nacisku, jaki m ateriał  wywiera n a powierz- chnię   roboczą   matrycy  AD  i  trzpien ia  CE. 25000 ZOQOO 15000 10000 5000 AF jckAhi 1  1  I  1 20 6 0 80 100 Rys.  5 N a  rys.  5 przedstawiono  szczególny  przypadek  zależ noś ci  sił y  wyciskania  od  poł oż enia obszaru  plastycznego  wzglę dem  osi  symetrii  przyjmują c  Ai  =   12  m m  i  Ah t   =  2,5  m m . AF N a  osi  pionowej  wykresu  odł oż ono  bezwymiarową   wielkość  sił y  .  r  (k  stan owi  gra- T lKAni nicę   plastycznoś ci  m ateriał u  n a  ś cianie),  n atom iast  oś  poziom ą   zwią zano  z  wartoś cią ś rednicy  wewnę trznej  rury  przed  procesem  wyciskania  D 0 \ Ah x .  Z  wykresu  wynika,  że bliż sze  ś cisł ego  bę dzie  rozwią zanie  przedstawion e  n a  rys.  2  (oznaczenia  linii  przypo- rzą dkowano  odpowiadają cym  im  rozwią zaniom ).  Oczywiś cie  należy  pam ię tać,  że  sto- sownie  do uwag zawartych  we  wstę pie  wartość  sił y uzyskan a  w  oparciu  o teorię  pł askiego stanu  odkształ cenia bę dzie  niż sza  n iż wynikał oby  to  z\  rozwią zania  osiowo- symetrycznego. M oż na  jedn ak  przyją ć,  że  w  m iarę   oddalan ia  się   obszaru  plastyczn ego  od  osi  symetrii (na  rys.  5 wraz  ze  wzrostem  odcię tej  D 0 IAh,)  róż n ica  t a  bę dzie  m alał a  do  zera.  D olnego zakresu  D 0 IAh t ,  dla  którego  rozwią zanie  przy  zastosowan iu  teorii  pł askiego  stan u  od- kształ cenia  m a  sens,  n ie  ustalon o. 3.  Uwagi  koń cowe D uże  znaczenie praktyczn e procesu  wyciskania  zwią zane jest  ze  szczególnymi  jego  wa- loram i  techniczno- ekonomicznymi. R ury  bowiem  otrzym an e  n a  drodze  wyciskania  cha- rakteryzują   się   polepszoną   strukturą   wewnę trzną,  dużą   dokł adn oś cią   oraz  dobrą   jakoś cią powierzchni.  Wytwarzanie  ich  zwią zane  jest  równ ież  ze  zn aczn ą   oszczę dnoś cią   m ateria- ł ową .  M oż liwość  rozszerzenia  zastosowań  procesu  wyciskania  wymaga  opracowan ia TEORETYCZN A  ANALIZA  PROCESU   WYCISKANIA  RURY  259 m etod  obliczeń  wielkoś ci  sił y,  kt ó ra  stan owi  niezbę dną   informację   dla  projektan ta  odpo- wiednich  urzą dzeń.  P rzedstawion e  rozwią zanie  z  niesymetrycznym  obszarem  plastycznym może stanowić jeden  z  ogólniejszych  przypadków  procesu wyciskania w warunkach  osiowo- symetrycznych. Literatura  cytowana  w  tekś cie * 1.  E. G .  TH OMSEN ,  C. T.  YAN G ,  S. KOBAYASH I,  Mechanics  of plastic deformation  in metal processing,  Mc- M illan  C o,  1965. 2.  W.  SZCZEPIN SKI,  W stę p  do analizy procesów  obróbki plastycznej, PWN , Warszawa  1967,  193- 199. 3.  J. BIAŁKIEWICZ,  W.  SZCZEPIŃ SKI, O mechanice kucia w matrycy, Mech. Teoret. Stos., 2, 9 (1971). 4.  R. H I L L  and S. J. TU P P ER , A  new theory of plastic deformation  in wire- drawing,  J. Iron  and  Steel  I n st , 159, 1948. 5.  R. H I L L ,  T he  mathematical  theory of  plasticity, Oxford 1950. P  e 3 w  M  e TEOP ETI - M EC KOE  H C C JIEflOBAH H E  nPOD ,ECCA  BBIflABJIMBAHPM   TPYBBI B  p a 6o ie  npeflcraBJieH O  pemeH H e  flJia  n p o q ec c a  BŁiflaBJijffiaHHH   ip y6bi  c HecJUHMeTpiniHofi  n jiacra- OH   o6jiacTH O  n o Jiy^eim o e  Ha ocHOBe  TeopHH  n n ocK oro  sedpopiWHpoBaHHoro  COCTOH H H H .  B  pesyjiB- rpadpHMecKoro  anajiH 3a  n o JiyieH bi  R BB  pasJiH wit ix  KHHeiwaTHiecKH  flonycTH M brx peuieH H a. Rim j.  IIpeflcTaBJieH o  Taioi