Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  13  (1975) JEDNOWYMIAROWE  DYNAMICZNE POLE  NAPRĘ Ż EŃ   CIEPLNYCH WYWOŁANE  RUCHOMYM  POLEM  TEMPERATURY J Ó Z E F   K U B I K  ( P O Z N A Ń ) 1. Wstę p Z agadn ien ie  n aprę ż eń  cieplnych  w  elem entach  konstrukcyjnych  wywoł anych  rucho- m ym i  obcią ż eniami  term iczn ym i  stanowi  waż ny  problem  z  pun ktu  widzenia  zastosowań technicznych, n p .  w procesach  obróbki  cieplnej  czy  też  obróbki  skrawaniem. R uch om e  obcią ż enie  term iczn e  dział ają ce  n a  element  może  być  dane  w  postaci poruszają cego  się   ź ródła  ciepł a  lub  t eż  ruchom ego  pola  tem peratury. Wię kszość  prac  poś wię con ych  problem om  n aprę ż eń  cieplnych  wywoł ywanych  obcią - ż eniami  term iczn ym i  dotyczy  zagadn ień  quasi- statycznych  (nie  uwzglę dniano  wpł ywu  sił bezwł adnoś ci  n a  współ rzę dne  stan u  n aprę ż en ia).  D ynamicznym  zagadnieniem  naprę ż eń cieplnych  zajmował   się   Ż ÓRAWSKI  [7],  który  wyznaczył   pole  naprę ż eń  dla  pł askiego  ru- chomego  ź ródła  ciepł a  w  przestrzen i  lepkosprę ż ystej. N ależy  n adm ien ić,  że  n iestacjon arn ym  przepł ywem  ciepł a  w  elementach  sprę ż ystych, wywoł anym  wskutek  przył oż on ego  ruchom ego  pola  tem peratury,  zajmował   się   ROŻ N OWSKI w pracach  [4,  5,  6]. W  pracach  tych  au t o r  przeprowadzał   swe  rozważ ania  w  ram ach  teorii przewodnictwa  cieplnego  i n ie okreś lał  stan u n aprę ż en ia  w tych elementach. W  niniejszej  pracy  wyznaczono  rozkł ad  tem peratury  i  naprę ż eń  cieplnych  w  pół prze- strzeni  sprę ż ystej,  x x   >  0,  wywoł anych  ruch om ym  obcią ż eniem  termicznym  w  postaci T o rj(vt—Xi)-   rj(t),  poruszają cym  się   w  gł ą b  pół przestrzen i  ze  stał ą   prę dkoś cią   v.  Za- gadnienie  p o t rakt o wan o  ja ko  dyn am iczn e. W  szczególnym  przypadku,  gdy  v  =   0,  problem  sprowadza  się   do  znanego  w  teorii n aprę ż eń  cieplnych  zagadn ien ia  D AN IŁOWSKIEJ  [1]. Oznaczenia a.f  współ czyn n ik  lin iowej  rozszerzaln oś ci  term iczn ej, dij  sym bol  K r o n ec ker a , funkcja  H eavisid e'a, G  m o d u ł   odkształ cen ia  postaciowego, x  współ czyn n ik  przewodzen ia  t em p erat u ry, A  st ał a  L am ego , v  współ czyn n ik  P o isso n a, V2  o p er a t o r  L ap lac e'a, Q  gę stoś ć, s  p a r a m et r  tran sform acji  Laplace'a, ay  współ rzę dne  t en so ra  n aprę ż en ia, /   czas, T   t em p er a t u r a  wzglę dn a,  odn iesion a  d o  stał ej  tem peratury  stanu  beznaprę ż eniowego, tą   współ rzę dne  wekt o ra  przem ieszczen ia, ,yi  współ rzę dne  kartezjań skie. 198 J.  KU BI K 2.  Sformuł owanie  zagadnienia Rozważ ymy  pół przestrzeń  x t   ^  0,  ogrzewaną   ruchom ą   tem peraturą   w  postaci T o rj(vt—x^ )-   rj(t)  rozprzestrzeniają cą   się   w  gł ą b  pół przestrzen i  z  prę dkoś cią   v  (przekrój pół przestrzeni  w  pł aszczyź nie  x 3   =   0  przedstawia  rys.  1).  Tem peratura  o  ustalon ej  war- toś ci  T o   w  chwili  t  *  0+   został a przył oż ona  nagle  do  brzegu  x t   -   0  pół przestrzen i i  na- stę pnie  ruchom e  czoł o  tej  tem peratury  o  równ an iu  x t   =   vt  przemieszcza  się   w  kierun ku \   I  ii  1 \   Vy  W  Vv  J prostopadł ym  do  brzegu  pół przestrzeni ze  stał ą   prę dkoś cią   v.  T ak  wię c,  pole  tem peratury w pół przestrzeni opisane jest w taki  sposób, że przyjmuje  wartość  stał ą  równą   T o   w  obszarze Xi  <  vt  (bezpoś rednio  z  tył u  ruchom ego  czoł a  tem peratury)  oraz  n a  czole  x^   ~  vt,  x t , t  e  (0,  oo), n atom iast  przed  czoł em, czyli  dla  x x   >  vt,  x t ,  t  e  ( 0,  co), zmienia  się   zgodnie z  równaniem  przewodnictwa  ciepł a. Z akł adam y  przy  tym ,  że  brzeg  pół przestrzen i x t   =   0 jest  wolny  od  n aprę ż eń  oraz  że warunki  począ tkowe  dla  tem peratury  i  przemieszczeń  są   jedn orodn e.  Przyjmujemy,  że m ateriał   ciał a jest  izotropowy  i  doskon ale  sprę ż ysty,  a jego  param etry  fizyczne  n ie zależ ą . od  tem peratury. P oszukiwać  bę dziemy  rozwią zań  dla  pola  tem peratury  i  n aprę ż eń  w  pół przestrzen i uwzglę dniając  przy  tym  wpł yw  sił   bezwł adnoś ci  n a  stan  n aprę ż en ia. 3.  Pole temperatury W  celu  okreś lenia  pola  tem peratury  w  pół przestrzen i  rozwią zać  należy  jedn owym ia- rowe  równanie  przewodnictwa  cieplnego  w  postaci (3.1) a 2 8x1 z  nastę pują cymi  warun kam i: (3.2) (3.3) To, 0 dla vt, JE D N O WYM I AR O WE  D YN AM I C Z N E  P O LE  N AP R Ę Ż EŃ   199 gdzie 6(x t ,  t)  speł nia równanie  (3.1)  w  obszarze  xt  >  vt,  (t  >  0)  oraz warunki 6(xt  =  vt,t)  =   T o,  t>  0, ^  6(xi  -> oo, t)  -> 0,  t  >  0. W  celu  rozwią zania  równania  (3.1)  wprowadzimy  ruchomy  ukł ad  współ rzę dnych )>x>  )>2>  J3  zwią zany  z  poruszają cą   się   temperaturą   7V  Po  zastosowaniu  transformacji liniowej y t   =   x 1 - vt;  y 2   =  x 2 ;  y 3   =   x3 oraz *i  s  x,  y l   m  y, równanie  (3.1)  w nowym  ukł adzie przyjmie  postać (3.5)  - F - 2- r 0' ,0  +   K~T {y,t)  K- T (y,t)  =  0, A przy  czym funkcja  T (y, ł ) jest  okreś lona  dla y  e  (— co,  co) i  dla  /  6 [0, co). Warunki  (3.2), (3.3) i  (3.4) moż na obecnie zapisać jak  nastę puje: (3.6) (3.7)  T (y,  t)  =  T 0 ,  dla  y  <  0,  t  >  0 oraz (3.8)  ro> - >  co,   ?) - > o,   ? > o. A  A Rozwią zanie  równania  (3.5) zapiszemy  za pomocą   dwóch funkcji  T t   i  T 2   okreś lonych odpowiednio  dla  ujemnych  i  dodatnich wartoś ci  y fi1'  dla  y<°> T 2 ,  dla  y  >  0,  t>  0. N a  podstawie  warunku  (3.7)  ł atwo  zauważ yć,  że  funkcja  T i  jest  wielkoś cią   stał ą  równą To,  natomiast T 2   otrzymamy  rozwią zując  równanie  (3.5) dla y  >  0 z warunkiem począ t- kowym  (3.6)  oraz  brzegowym  w  postaci (3.10)  T 2 (y  =  0,ł )  =  T 0 ,  t>0. Stosują c  zatem  do  równania  (3.5) transformację   Laplace'a  i  wykorzystują c  warunek po- czą tkowy  (3.6)  oraz  warunek  (3.10)  otrzymamy  transformatę   rozwią zania  T 2   w postaci (3.11)  T 2L (y,s)  =  ^ - e^   +  ^ + ^ \   y>0. s Po  wykonaniu  nad  rozwią zaniem  (3.11)  odwrotnej  transfonnacji  Laplace'a  otrzymamy, dla  y  >  0, 2} / «< - \   i/Il 200  J.  KU BIK T ak  więc  wzór  (3.9)  m oż na  ostatecznie  zapisać  ja k  n astę puje: 2o ,  dla  y  ^  0, dla  j '  >  0. Podstawiając  do  otrzym anego  rozwią zania  (3.12)  zwią zek y  —  x~vt otrzymamy  rozwią zanie  dla  pola  tem peratury  zapisane  w  ukł adzie  współ rzę dnych  zwią- zanych  z  pół przestrzenią  w  nastę pują cej  postaci: T o ,  dla (3.13)  n * , 0 -   "  I + erfc|- dla  x  >  vt, czyli jest  to  rozwią zanie  równ an ia  (3.1),  które  speł nia  dan e  warun ki  (3.2),  (3.3)  i  (3.4). N ależy  dodać,  że  drugie  z  rozwią zań  (3.13)  odpowiada  funkcji  6(x,  t)  z  warun ku  (3.3). Jak  ł atwo  zauważ yć,  rozwią zanie  (3.13)  dla  prę dkoś ci  v  =   0  przyjmuje  zn an ą  postać uzyskaną  przez  D AN IŁ OWSKĄ  [1] x 4.  Pole naprę ż enia Współ rzę dne  stan u  naprę ż enia  a ti   (i,j  =  1, 2,  3)  w  rozważ an ej  pół przestrzeni  wyzna- czymy  w  oparciu  o funkcję  potencjał u termosprę ż ystego  przemieszczenia  O,  kt ó ra  w  przy- padku  jednowymiarowym  zdefiniowana  jest  zwią zkiem (4.1)  " i —- 2 T-   *< *i »0 i ÓXi gdzie  «!  jest  współ rzę dną  wektora  przemieszczenia  n a  osi  Xi. F unkcja  potencjał u  0  zwią zana  jest  z  tem peraturą  T   równ an iem  falowym  w  postaci (4.2)  £ £ £   4^ przy czym  c  =   1 /   YZP>  J e s t  prę dkoś cią  rozchodzen ia  się fali  dylatacyjnej  w  oś rodku sprę ż ystym. Znajomość  funkcji  potencjał u  0  pozwoli  wyznaczyć  współ rzę dne  ten sora  n aprę ż en ia   oo, t)  - *  0,  tf22(x  - •  oo, 0  -> 0,  t  >  0. Zajmiemy  się   obecnie  wyznaczeniem  funkcji  potencjał u 0 .  Wykorzystują c  rozwią zanie (3.13)  dla  pola  t em perat u ry  w  rozważ an ej  pół przestrzen i, równanie  (4.2)  moż emy  napisać ja k  n astę puje: dla (4.7) ~^   u o 1  os X dla  x  > Rozwią zanie  równ an ia  (4.7)  przyjmiemy  w  postaci  sumy 0  = przy  czym  2   J e s t  rozwią zan iem  równ an ia (4.9)  Ĵ 02- 12^02  - L#0 Zajmiemy  się   najpierw  równ an iem  (4.8). P rawą   stron ę  tego  równania  moż emy  zapisać w  postaci  cał kowej  ja k  n astę puje: 00 2  f  1 r)(vt- x)& 0 T 0   = —^ o ^ o  —[l- cosaoOsmoarafr. 71  .1  CC 0 Stosują c  n astę pn ie  d o  równ an ia  (4.8)  transform ację   Laplace'a  [2]  otrzymamy R ozwią zaniem  równ an ia  (4.10)  jest  funkcja c  ̂—  V 202 J.  KU BIK Ponieważ  do  wyznaczenia  naprę ż eń wykorzystywać  bę dziemy  drugą   poch odn ą   funkcji 0  wzglę dem  czasu  [patrz  wzory  (4.3)  i  (4.4)],  dlatego  należy  wyznaczyć  & t ,  co  ł atwo uzyskać  ze  wzglę du  n a  zależ ność (4.12) Wykonują c  zatem  we  wzorze  (4.11)  odwrotną   transformację   Laplace'a  i  wykorzystują c zależ ność  (4.12)  otrzymamy  szukaną   funkcję   &1 w postaci (4.13) Rozważ ymy  obecnie  równanie  (4.9).  Wykonują c  transformację   Laplace'a  n ad  tym  rów- naniem  otrzym am y / i2  r2  - XV—  __s_j. (4.14)  ±- 0 3L - l s .0 2L mA (s )e   ^ " ( l - e  • *), gdzie Rozwią zaniem  równania  (4.14) jest  funkcja (4.15)  0 2L   =  A(s) C *  X i_L- (|/ ł*łL* Stosują c  do  rozwią zania  (4.15)  odwrotną   transformację   Laplace'a  i  uwzglę dniając  za- leż ność  (4.12)  otrzym am y: (4.16) 1  "?• 1 e  x  \   c]  - (4.16)  c.d. J E D N O WYM I AR O WE  D YN AM I C Z N E  POLE  N AP R Ę Ż EŃ 1   rm  z ^  ,   a 203 gdzie 2+av 2 2v]/ x s 2 - - X 2 / x(v 2 —4c 2 ) 4c 3 \ / x = (v 2 - 4c 2 )  * 4 «c3 u 2 ] / ^  ( »2 - 4c2 ) V 2  *  v(v 2 - 4c 2 ) _£ )  „ ( , _* X 1 "T" 4c3 \ / x\ v 2 - 4c 2 ) „• ,  4«c3 x  ' 2  x V«('- T "erfc erfc + 204 J.  KUBIK j - . * KFi  =  e +e~  V  "^"erfc x erfc 2 1 / *lt- i- XV IT erfc Fi  = e S2\t = e \ v "erfc ^ 3 = LV­K) erfc e  "  erfc — e  xerfc =  e ^  = e JED N OWYM IAROWE  D YN AM ICZN E  POLE  N APRĘ Ż EŃ 205 = e» —- "  erfc x 4   = F 6 , a  = B = V 2 V 1 X 1 X T o - c2 C2V2 (v+c) 2 C 2 V 2 ~(v- c) 2 # o  ,D  =  ~T o # o xvc  =   l - Bxvc. o  Z P odstawiają c  teraz  0  =   i+ 2 ,  gdzie  0 t   jest dan a wzorem  (4.13) i 0 2  wzorem  (4.16), do  (4.3)  i  (4.4)  oraz  korzystają c  ze  wzoru  (3.13)  otrzym am y  koń cowe  wzory  dla  (f tl   i  a 22 . Ł atwo  wykazać,  że  otrzym an e  w  t en  sposób  naprę ż enia  ce n   i  a 12   są   ograniczone  dla x  ~y oo, a  n adt o  speł niony jest  warun ek  brzegowy  (4.5). 5.  Analiza  wyników  i  wnioski Wyznaczone  wzory  dla  n aprę ż eń  o^ t  i  ( r 2 2  m oż na  zapisać  w  postaci  sum trzech  funkcji w  nastę pują cy  sp o só b: (5.1) oraz (5.2) gdzie A\ (x,  t)  =   - ~Al(x,  t)+A 2 2 t- ~ r , 0 - +DQ - 7) - *2 e ł +  - 7 ) ] + - 4 =- 5  M echanika  teoretyczna 206 J.  KU BIK +a X 2+av 2 H 7 = 7 - 4c3 IT X +  1 s _ J ^ l  ]/ 'x{v 2   - 4c 2 ) 4c3  • '  v{v 2 - 4c 2 )   e - DQ 1 - v]/ x 1  /   si 2x 2avc 3 l- ]/ s 2   F$)~ - n  2- r- f!  - s,  — 2 + a ^ 2  /   s 1 \ / s 1  p l  j 2 ] / ,' * 3 2+ a© 2  4c 3 x  y'x(v 2 —4c 2 ) pi  ą c 2   w( «2 - 4 c2 ) przy  czym y4f(x,  r) = C Q zr 0  = + erfc( JE D N O WYM I AR O WE  D YN AM I C Z N E  P OLE  N AP R Ę Ż EŃ   207 Funkcje A{(x, t) i Aj(x, t)  charakteryzują   naprę ż enia  powstał e od razu  w każ dym punkcie  pół przestrzeni.  Funkcje  A\ {x,i)ri{t- xjc)  i  Al(x,t)rj(t- xlc)  charakteryzują naprę ż enia poruszają ce  się  z prę dkoś cią   c, których czoł o w chwili t c  jest opisane równaniem t c   =  x\ c.  N atomiast  funkcje  A\ {x,i)r\ {t- x\ v)  i  A\ {x, i)r\ (t- x\ v)  opisują   naprę ż enia w pół przestrzeni rozprzestrzeniają ce  się  z prę dkoś cią   v  wskutek  ruchu pola temperatury. Ich  czoł o  w chwili  t v   =  const  ma równanie  t v   —  x/ v. Dokonują c  przejś cia  z v -» 0 we wzorach  (5.1) i  (5.2), czyli  obliczają c  granice lim a Xi {x,  t; v) t)- *0 oraz lim 0 2i (x,  t; v), otrzymamy  naprę ż enia OiiC*. t',v =  0) «•   QT Q&QCAB^ X,  t)- B 2 (x s   0 ? 7 ( ' - ~J L  \   c /  J oraz X  l x cr 22 (x,  t; v =  0) =  - ^ ^ u C *.  t; v -   0) - 2G *o r o e r fc przy  czym = Tc lT' Je  «erfc  _ _ + c | / _ L  +c  * erfc ——= - c | /±  ,2  I  \ 2 /   \2 \ xj\ Otrzymane w ten sposób  naprę ż enia dla v -   0 mają   postać identyczną  z naprę ż eniami uzyskanymi  przez  DANIŁOWSKĄ   [1]. Istotnym  z  punktu  widzenia  zastosowań  inż ynierskich  wydaje  się  być przypadek, w  którym  prę dkość  ruchu  pola  temperatury jest  mał a  w porównaniu  z prę dkoś cią  roz- chodzenia  się  fali  sprę ż ystej,  czyli  dla przypadku V1 (5.3)  - ,  0 BtiaŁiBaeMBie noflBHH  0  due to  a  moving  thermal  loading  of  the following  form:  T o rj(pt—x),  (??(!) —  H eaviside's  function),  in  which T o   represents  the  constant  temperature  propagating  at  a  velocity  v  inside  the  halfspace. The  problem  is  considered  within  the  framework  of  the  theory  of  non- coupled  thermoelasticity. P RACOWN IA  T E O R I I  K O N SO LI D AC JI  I  T E R M O D YF U Z J I IN STYTU TU   P OD STAWOWYC H   P R O BLE M Ó W  T E C H N I K I  P AN ,  P O Z N AŃ Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  6  maja  1974  r.