Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  13  (1975) PŁASKIE  ZAG AD N IEN IE  KON TAKTOWE  W  N IESYMETRYCZN EJ TE OR I I  SP RĘ Ż YSTOŚ CI S T AN I S Ł AW  M   A  T  Y  S  I  A  K  ( WAR S Z AWA) 1.  Wprowadzenie W  pracy  rozpatrzymy  statyczne  zagadnienie  kontaktowe  dla pół przestrzeni  sprę ż ystej, mikropolarnej, jedn orodn ej, izotropowej  i  centrosymetrycznej  w pł askim  stanie odkształ - cenia.  D eformację   opisywać  bę dą   wektory:  przemieszczenia  u  i  obrotu    0,  — oo  <  (x2,x3)  <  co}, na którą   za  poś rednictwem  sztywnego,  nieskoń czenie  dł ugiego w  kierun ku  osi  0x 3   stem pla dział a  na jedn ostkę   dł ugoś ci  sił a P  =   Pipc^ ,  x 2 ).  P on adto zakł adam y, że  przekrój  stem pla pł aszczyznami  x 3   =   const  jest  zawsze  jedn akowy. Warun ki  brzegowe  dla  rozważ anego  zagadnienia  zapiszemy  w  postaci UL (0,X 2 )  = / ( x2 )  dla  \ x2\   <  c, (3.1)  0^ (0,  x 2 )  - 0  dla  \ x 2 \   >  c, ff12(0,  xt)  — fii3(0,  x2)  =   0  dla  -   co. <  x2  <  co oraz  uwzglę dniać  bę dziemy  warunki  regularnoś ci  w  nieskoń czonoś ci (3.2)  Oji - > 0,  fi } i  - > 0  przy  r  =   ]/ xl+x%  - >  co. Przy  rozwią zywaniu  zagadnienia  brzegowego  (3.1)  wykorzystam y  rozwią zanie  pom ocn i- cze,  mianowicie  najpierw  rozpatrzym y  poł przestrzeń  D  w  pł askim  stanie  odkształ cen ia (1.1)  z  nastę pują cymi  warun kam i  brzegowym i: (3.3)  oru(O, x2)  =   - p(x2),  a12(0,  x2)  =   0,  ft13(0,  x2)  =   0,  dla  - oo  <  x2  <  co. Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  równowagi  (2.1)  z  warun kam i  (3.3)  i  (3.2) jest  postaci [2],  [13]: e  I III Xi  - i P Ł ASK IE  Z AG AD N I E N I E  KON TAKTOWE  185 oraz -i _J £ Le - l f l * i j|  « CO - - j=  f  • ^- - ~ - ^l l | e H I | X l + 2 a °| 2 ( e " °X l - e " 1 ^) } ^ CO (3.5) tf22fe,  x2)  =  - i=   J We  wzorach  (3.4)  i  (3.5)  j5( |)  oznacza  tran sform ację  F ouriera (3.6) oraz (3.7)  A o   m A 0 Q)  =  l+2a 0 Ą l- ^ j,  Q • a  przez  a 0 , 1 2  ozn aczyliś m y: Aby  rozwią zać  równ an ia  równ owagi  (2.1)  z  mieszanymi  warun kam i  brzegowymi  (3.1) należy  znaleźć  taką  funkcję  p(x 2 )  [okreś loną  w  (3.3)], aby  speł nione był y  warunki  (3.1). Z auważ m y, że rozwią zan ie  (3.4) i (3.5) speł nia toż sam oś ciowo  (3.1)3 i (3.1) 4, (tzn . < r12(0,  x2) =   fł 13 (0,  x 2 )  =   0  dla  —  oo  <  x 2   <  oo). 186  S.  MATYSIAK Rozpatrzmy  teraz  nastę pują ce  dwa  przypadki: P r z y p a d e k  l :  o  fun kcji/ (x2),  okreś lonej  w  (3.1),  zakł adamy,  ż e: (3.9)  f{x 2 )  = / ( - * ,)  *  const  dla  x 2   e  (- c,  c). Wykorzystując  (3.9),  (3.1)!  i  (3.1)2  oraz  (3.4)  i  (3.5)  uzyskujemy  nastę pują cy  ukł ad dual- nych  równań  cał kowych: „ 1  f  Pf  *  cosfoOtf  = / fe)  dla  O < x 2   < c, (3.10) f  p(£)co&(Cx 2 )dC  -   0  dla  x2  >  c. o M oż na  zauważ yć,  że  jeż eli  przejdziemy  do  granicy  ze  stał ymi  materiał owymi  a 0 , P  - >  O to  - ^od) - *  1 i  ukł ad dualnych  równań  cał kowych  (3.10)  odpowiada  ukł adowi  dla zagadnienia  kontaktowego  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  ([8]  s.  433). P r z y p a d e k  2:  o  funkcji  f(x 2 )  okreś lonej  w  (3.1)  zakł adamy,  że (3.11)  / ( *a )  -   - / ( - * *)  dla  x 2 e{- c,c). Wykorzystując  (3.11),  ( 3.1) 1 ;  (3.1)2  oraz  (3.4)  i  (3.5)  uzyskujemy  nastę pują cy  ukł ad dualnych  równań  cał kowych: (3- 12) I  p(S)sm(ix 2 )di  =  0  dla  x 2   >  c. o Jeż eli  przejdziemy  do  granicy  ze  stał ymi  materiał owymi  I 2,  a 0   - > 0  to  A 0 (j;)  - * 1  i  ukł ad (3.12)  odpowiada  ukł adowi równań  cał kowych  dla  odpowiedniego  zagadnienia  w  ramach klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  ([8]  s.  438). 4.  Rozwią zanie  ukł adów dualnych  równań  cał kowych  (3.10)  i  (3.12) Wprowadzając  teraz  nastę pują ce  oznaczenia: (4.1)  rj  =   ic,  x 2   =   cy oraz  wykorzystując  fakt,  że (4.2)  cosz  =  - | / - Jz  J l 4 ( z ) ,  sinz  = dla  przypadku  1  (ukł ad  dualnych  równań  cał kowych  (3.10))  otrzym am y: dla  0  <  y  <  1 (4- 3)  ° /   W 2v(n)}J- ł (ny)dri  =  o  d l a   y >\ , P Ł ASK IE  Z AG AD N I E N I E  K O N T AK T O WE  187 gdzie (4 . 4 ) (4  5) zaś (4.6)  y W a d } ,  gdzie  p(i)  =   f2 W  przypadku  2  [ukł ad  dualn ych  równ ań  cał kowych  (3.12)]  uż ywając  (4.1)  i  (4.2)2 moż emy  zapisać  w  p o st aci: co J  r l  IVS/ 2V(V)]  (1 +H{rj))Ą {r ) y)dr )   -   ^GO  dla  0  <  j> <  1, =   0,  dla  y  >  1, gdzie  / ?(??)  jest  okreś lone  wzorem  (4.4),  g(y)  wzorem  (4.5),  zaś  y(ł ?)  wzorem  (4.6) Teraz  n aszym  zadan iem  bę dzie  wyznaczenie  niewiadom ych  funkcji  z  równ ań  (4.3) i  (4.7).  M etoda,  którą  zastosujemy  został a  p o d a n a  przez  K I N G A  [15],  [14]. R ozpatrzon o t am  nastę pują cy  ukł ad  dualn ych  równ ań  cał kowych: /   -   h(x)  dla  0  <  x  <  1, o (4.8) co /     I, o gdzie  F ( | ) ,  h(x)  funkcje  zn an e,  niewiadom ą  jest  funkcja M et o d a  [15]  polega  n a  t ym ,  że  rozwią zanie  przybliż one  ukł adu  równań  (4.8)  dla \ F(£)\  <  1  m oż na  przyjąć  w  postaci (4- 9) gdzie  funkcja  q> 0 (S) speł n ia  nastę pują cy  ukł ad  dualn ych  równ ań  cał kowych: CO J  F\ , ł !  <•   '  '  '  - i' 188  S.  M ATYSI AK. funkcja  zaś  (pi(£)  speł nia  ukł ad  dualnych  równ ań  cał kowych  w  postaci: dt  -   h(x)  dia  o  <  x  <  i , =   0  dla  x  >  1, o gdzie 00 (4.12)  hdx)  =  - j  FF{g)

  1  lub  —j-   <̂   1  i  - p- -̂  1 mamy  |/ T(^)|  <̂  1,  moż emy  więc  do  rów- n ań  (4.3)  i  (4.7)  zastosować  m etodę  podan ą  wzoram i  (4.9),  (4.10),  (4.11)  i  (4.12). P r z y p a d e k  1:  Rozwią zanie  ukł adu dualnych  równ ań  cał kowych  (4.3)  przyjmujemy w  postaci (4.13) N a  podstawie  (4.10)  funkcja  ip o (v)   m u s i  speł niać  nastę pują cy  ukł ad  ró wn ań : OD J  y- 1 [ri sl2 y>o(?i)]J- i( r iy)di1  = g(y)   d J a  0    1. o U kł ad  równ ań  (4.14)  m a  taką  samą  postać, ja k  ukł ad  równ ań  odpowiadają cy  zagad- nieniu  stempla  dział ają cego  n a  pół przestrzeń  sprę ż ystą  w  pł askim  stanie  odkształ cen ia w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  ([8]  s.  434). Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (4.14)  jest  zn an e,  [8],  i  m a  postać I +  f ( l - i gdzie  funkcja  f(x)  jest  podan a  we  wzorze  (3.1). P Ł ASK I E  Z AG AD N I E N I E  K ON TAK TOWE  189 F un kcja  fAtf)  m usi  speł niać  nastę pują cy  ukł ad  równ ań  cał kowych: co J  rj- 1[r]sl2ip(ij)]J- . i (r)y)di)  =   giiy)  dla  0  <  y  <  1, (4.16) CO =   0  dla y >  1, 5 gdzie 0 0 (4.17)  gi(y)  =   -  /   n~ lH(% o Rozwią zaniem  ukł adu  ró wn ań  (4.16)  jest i (4.i8)  vM"- ^ \ - \J^ !̂ - y i + J ( i - *8 ) - 1 7 8 * f o  o P rzybliż one  rozwią zanie  u kł ad u dualn ych równ ań  cał kowych  (3.10) bę dzie  miał o postać (4.19) gdzie  y>o jest  okreś lone  przez  (4.15) a y>i  przez  (4.18). R ozkł ad  przemieszczeń,  obrotów  i  n aprę ż eń  pochodzą cych  od  dział ania  symetrycz- nego  stem pla  okreś lon ego  przez  warun ki  brzegowe  (3.1)  oraz  (3.9)  uzyskujemy  podsta- wiają c  do  (3.4) i  (3.5)  funkcję   p(g)  okreś loną   wzorem  (4.19). P r z y p a d e k  2.  Stosują c  m etodę   rozwią zan ia  podan ą   wzoram i  (4.8),  (4.9),  (4.10), (4.11) i  (4.12)  do  ukł adu  ró wn ań  (4.7)  wprowadzam y  rozwią zania  w  postaci (4.20)  Vfo)  =   Uri+vM, gdzie  foiy)  niusi  speł niać nastę pują cy  ukł ad równ ań  cał kowych: dla 0 < y < i , (4.21) CO /   [v5l2n(7i)]Jt(yy)dn  =   o  d l a  y>i. o U kł ad  równ ań  (4.21)  m a  t aką   samą   postać,  ja k  ukł ad  dualnych  równ ań  cał kowych odpowiadają cy  odpowiedn iem u  zagadn ien iu  stem pla  w klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci ([8]  s.  439). 4  Mechanika teoretyczna 190  S.  M ATYSU K Rozwią zaniem  (4.21)  jest i (4.22)  $o(»?) =   - ^ U- 'Mv)!y(i- y2r1/ ig(y)dy+ 1  1 +  f  tci- t3)- 1'2*  I  ng{it)Jo(yv)dn], o  o funkcja  zaś  y>i(rj)  musi  speł niać nastę pują cy  ukł ad  równ ań : r 1   lv 5l2 v>i(v)lĄ (ny)dy  -   ^OO  dia  o  <  y  <  i, /   foyWł   =   0  dla  y  >  1, o gdzie (4.24)  ftO)  = o Rozwią zanie  ukł adu  równ ań  (4.23)  m a  postać i (4.25) fad)  [ o  o Rozwią zanie  przybliż one  ukł adu dualnych  równ ań cał kowych  (3.12) uzyskujemy  w  postaci (4.26)  p(S)  -   ^ t vo ( ^ ) + Vi( lc ) L gdzie  ^ 0 ( |c ) jest  okreś lone  wzorem  (4.22), a  v»i(fc)  wzorem  (4.25). R ozkł ad  przemieszczeń,  obrotów  i  n aprę ż eń  pochodzą cych  od  dział ania  n a  pół prze- strzeń D  stemplem  o  warunkach  brzegowych  (3.1) i  z  zał oż eniem (3.11), uzyskujemy  pod- stawiają c  (4.26)  do  (3.4)  i  (3.5). 5.  Przypadek  szczególny Oddzielnego  rozwią zania  wymaga  zagadnienie  stem pla  gł adko  zakoń czon ego,  które jest  opisane  nastę pują cymi  warunkam i  brzegowym i: «i( 0.  X2)  =   const  dla  \ x 2 \   <  c, (5.1)    c, °ri2(0» *z)  •   / "i3(0> - 2̂)  =   0  dla  -   00  <  Xi  <  00 oraz  warunkami  regularnoś ci  w  nieskoń czonoś ci  (3.2). PŁ ASKIE  ZAG ADN IEN IE  KONTAKTOWE  191 P odobn ie ja k  w  pracy  [16]  dla  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  i  w  pracy  [9]  dla  nie- symetrycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  ze  zwią zanymi  obrotam i,  zam iast  rozpatrywać  warunki (5.1),  rozwią zywać  bę dziemy  ukł ad  równ ań  (2.1)  z  nastę pują cymi  warunkam i  brzego- wym i: 8x 2 ( 0.  x2) =   O,  dla  \ x 2 \   <  c, (5.2)  cruCO, x 2 )  -   0,  dla  \ x 2 \ >c, ffi2(0,  x 2 )  =  ,"13(0, x 2 )  -   0  dla  — co  <  x 2   <  co. Wykorzystując  (3.4),  (3.5)  oraz  (5.2)  uzyskujemy  nastę pują cy  ukł ad  dualnych  równań cał kowych: (5.3) 00 =   0  dla  0  <  x 2  <  c, j  j5(£ ) cos (£*;>) <#   =   0  dla  x 2   >  c. o Aby  wyznaczyć  n iewiadom ą  funkcję  / >(£)  z  powyż szego  ukł adu  równ ań  cał kowych  naj- pierw  scał kujemy  p o  x 2   drugie  równ an ie  z  (5.3).  Wtedy  ukł ad  dualnych  równań  cał ko- wych  (5.3)  m oż emy  zapisać  w  p o st ac i: (5.4) CO f  Jfilsin(f*j)*  =  0  dla  0 < x 2   < c, 00 f £ o  * 00 £ ^  =  .S  dla gdzie  B  oznacza  n iezn an ą  stał ą. Jeż eli  wykorzystam y  ozn aczen ia  (4.1),  (4.4)  oraz  zależ noś ci  (4.2)  t o  ukł ad  (5.4)  za- piszemy  n astę pują co: - 1/ 2- B- y  dla  > - > !, gdzie  wprowadziliś my  n astę pują ce  ozn aczen ie: (5.6) D la  - ^  ^  1  i  —  >  1  lu b  \   «  1  i  - 4-   «  1  m am y  |flT(iy)|  <̂  1  [funkcja  H(T J) jest C l  C  I okreś lona  wzorem  (4.4)], zatem  m oż emy zastosować  przybliż oną  m etodę Kin ga  cytowaną już  w  pracy  [wzory  (4.8),  (4.9),  (4.10),  (4.11)  i  (4.12)]. 192  S.  M AIYSIAK Rozwią zanie  ukł adu  dualnych  równań  cał kowych  (5.5)  przyjmujemy  w  postaci (5.7)  y( i j) - yo ( i 7 ) + yi 0 fl . gdzie funkcja  W oiy)  speł nia nastę pują cy  ukł ad dualnych równań cał kowych: =   0  dla  0 < y <  1, "  S y ^ O y / ) ^  =   - l /A  *  '  dla  y>\ , a  funkcja  ^ ( ł ? ) jest  rozwią zaniem  nastę pują cego  ukł adu  ró wn ań : co I  7i?1(rj)Ji(rjy)drj  = k(y)  dla  0 < j> <  1, (5.9)  ° =  0  dla  v >  1,/ o gdzie  przez  &(;>)  oznaczyliś my (5.10)  * c ) =  -  /   nH(n)YMh 0,  Re/? > 0, u > a. Tu  K o   jest  funkcją  Mac- D onalda.  Wykorzystując  (5.18)  moż emy  funkcję  k(y)  [wzór (5.12)] przedstawić  w  postaci (5.19)  k(y) -   - | . | / |-   BA o QKo(q)^ =  sh(yQ). D alej  moż emy  zapisać, że (5.20)  f  2*!̂ k(y)dy  =  - - !/ -BA Q QK 0 {Q) c  f- r f= i sh(Qy)dy. J  y't 2 - y 2   n  \   n  J   y U 2 - y 2f  2!̂ k(y)dy  =   !/ BAQQK0{Q) c  frf= J  y't 2 - y 2   n  \   n  J   y U 2 - y 2 Ale *  r  1 o  ] / ' 2 - J2  0  o Powyż sza  cał ka po obliczeniu ma dość skomplikowaną  postać (zawierać bę dzie  funkcje c 2 I i ,  i i  —funkcje  Bessela  i  Mac- D onalda)  zatem,ponieważ dla - & < 1  mamy  Q < I, więc  moż emy  przyjąć  ch  (txQ)  w 1. Stąd (5.21)  f - 7 194  S.  M AIYSIAK Zanotujemy  teraz  nastę pują cą  cał kę  [18]: t (5.22)  j  xv+1J v (ax)dx  =  a- x Ą +l (a),  d l a  R e v > - 1 , o zatem  wstawiając  do  (5.14)  wzór  (5.20),  nastę pnie  wykorzystując  (5.21),  (5.22)  oraz (4.1),  otrzymamy (5.23)  j>(!)  =  ~BJ 0 (CĆ )-  —BA 0 Q 2 K 0 (Q)J 2 ^ c). 6.  Wyznaczanie  naprę ż eń  kontaktowych  a n (0,x 2 )  (dla  \ x 2 \   <  c) Wykorzystując  (3.5) t  mamy (6.1)  < r u ( 0, x2)  =   - Z atem,  ponieważ  [18] oo  coslvarcsin — (6.2)  f  J r (ax)cos(fix)dx  =   T   "'  dla  p 0.  W  tym celu  zanotujmy  nastę pują ce  gran ice: 1  /   1  \ "1 / 2 lim  —  =   lim  £ 2 +  75-   = 0 ,  lim  A 0 (i)  =  l, lim  H( V )=  lim  ^ - ^  =   0. PŁ ASKIE  ZAG AD N IEN IE  KON TAKTOWE  195 Z atem (7.2)  Hm  v>i(fc)  =   o,  lim  ^ ( f c )  =   0.  lim  !P(£c)  -   0, gdzie  fi  jest  okreś lone  wzorem  (4.18),  f t   wzorem  (4.25)  zaś  W ^  wzorem  (5.13). Z atem jeż eli wykorzystam y  gran ice  (7.1)  w  (3.4)  i  (3.5),  a  n astę pn ie jeś li  uwzglę dnimy  dla  posz- czególnych przypadków  rozwią zanie  n a funkcję  p ( !)  dan e  odpowiednimi  wzoram i:  (4.19) wraz  z  (4.15),  (4.26)  wraz  z  (4.22)  i  (5.14),  to  otrzym am y rozkł ad przemieszczeń  i n aprę- ż eń  dla  analogicznych  zagadn ień  kon taktowych  w  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  [8]. M oż na  także  zauważ yć,  że  ch arakter  osobliwoś ci  naprę ż eń  < 7u ( 0, ; t 2)  dla  x2  =   c i  x 2   =   — c  w przypadku  stem pla  om awianego  w  rozdziale  5 pozostaje  niezmieniony w sto- sun ku  do  klasycznej  teorii  sprę ż ystoś ci  I rozpatrzyliś my  przypadek,  gdy  - ~  - 4  1 i ^   ^ R ozpatrzon e w  pracy  przypadki  (1) i  (2) zagadn ien ia  stempla  (rozdział  4)  oraz  przypadek z  rozdział u  5  umoż liwiają  otrzym an ie  w  prosty  sposób,  wobec  zasady  superpozycji,  roz- wią zania,  gdy  funkcja  f(x 2 )  [dan a  w  (3.1)] nie jest  ani  parzysta,  an i  nieparzysta  dla  x 2   e Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  W. N O WAC K I ,  T eoria  niesymetrycznej  sprę ż ystoś ci,  P WN , Warszawa  1971. 2.  W.  N O WAC K I ,  Buli. Acad.  P olon .  Sci, Techn ., 6 (1971),  237, [427], 3.  J I . A.  F AJI H H ,  KownamnHue  3adami  meopuu  ynpyeocmu,  rocrexH 3flaTj  MocKBa  1953. 4.  J I . H .  UlTEEpiwAHj Koumamnnue  3abanu  meopuu ynpyeocmu,  rocTexH3flaT, MocKBa  1949. 5.  JŁ  C .  y*jiH H A3  Mmneepa/ ibHue  npeo6pa3oeanun o  sadanax  meopuu ynpyiocmu,  H 3# aT.  AH   C C C P , MocKBa- JIeH H urpafl 1963. 6.  A. E.  G R E E N , W.  Ż E R N A,  T heoretical  Elasticity,  Oxford  1954. 7.  H . H .  MycxEJimnBHJiHj  HeKomopue  ocuoeuue  3adawi  MamcMamuuecKOii  meopuu ynpyeocmu,  H 3^.,  3, H 3«.  AH   C C C P ,  MocKBa- JIeH H urpafl 1949. 8.  I . N .  SN E D D O N , Fourier  T ransforms,  N ew  Jo rk  1951. 9.  R .  M U K I ,  E.  STERN BERG ,  Z AM P ,  5,  16  (1965). 10.  M . SOKOŁ OWSKI, O teorii naprę ż eń  momentowych,  P WN ,  Warszawa  1972. 11.  J.  D YSZ LE WI C Z , W.  R U D N I C K I ,  Buli. Acad.  P olon .  Sci., Ser.  Sci. Tech.,  11  (1972) 465, [851], 12.  R . S.  D H ALI WAL,  Arch .  M ech .  Stos., 24, 4  (1972),  [645]. 13.  J.  D YSZ LE WI C Z , S.  M ATYSI AK,  M ech .  Teor. i  Stos., 4 (1973). 14.  I , N .  SN E D D O N , Mixed  Boundary  Value  Problems  in  Mathematical  Physics,  D uke  U niversity,  1960 (Report). 15.  L. V.  K I N O ,  P r o c ,  Roy.  Soc.  A.,  153  (1936),  [1- 16]. 16.  I . N .  SN E D D O N , Integral  T ransform  Methods for  the  Solution  of Mixed  Boundary  Value Problems  in the Classical  T heory  of  Elasticity  (Skrypt). 17.  E . C .  TI TC H M AR SH ,  T heory  of  Fourier  Integrals,  Oxford  U niversity Press, 1948. 18.  H .  C . rpAfliiiTEHH, H . M .  P H JK H K , T ab~Auiiu  immeipaAoe, cyMM,pHdoa, npouseedeimii, Viap,. H AYKA, MocKBa  1971. P  e 3  K)  M e nJIOCKH E  KOHTAKTHLIE SAJIA^H   B  HECHMMETPOTECKOft TEOP H H   ynpyrocTH B  pa6oTe paccMOTpeHa, B paiwKax HecHMMeTpiraecKoii  Teopnn  yn pyrocrH j  [ 1, 2] 3aflaia  o  nojiynpo- crpaHCTBe B njiocKOM  AeK> npefljioH ceH H oro  B  [15,  14]. j\ nn  cjiy^an ,  Kor# a f(x 2 )  =   c o n st , HCCJieflOBaHa  OCO6CHHOCT& H an- Korfla  pajKeHHii  ó u ( 0 j  x 2 )  B  T O ^ I O X  X 2   =  c  a  # 2  =   — c.  H aKOH en,  paccM aipH BaroTca  npeaejiŁH bie nepexoflbi  M aiepn am aiaji  KOHCTaHxa  a o ,l 2  - •   0  cipeiwHTCH  K  H ym o. S u m  m a r y PLAN E  CON TACT  PROBLEM   OF   ASYM M ETRIC  ELASTICITY In  the paper the static contact problem  of  a  rigid  punch and  a  half- space  is  considered  in  the  frame- work  of  asymmetric  elasticity  [1, 2]. I t  is  assumed  that the medium  is  in  a  plane  state  of  strain,  and  the friction  forces  are  neglected.  The  displacement  under  the  punch  iti(0,x 1 )  —f(x 2 )  for  |.x- 2|  <  c  is  con- sidered  assuming/ (A- 2) = / ( —x 2 )  ov f(x2)  =   — / ( —x 2 ) .  The  problem  is  reduced  to  a  system  of  dual  in- tegral  equations  and  solved  by  means  of  the  method  given  in  [15],  [14]. In  the case  of/ (A2)  =   const  the stress  singularities  at  the points  x2  =   c  and  x2  =   — c  are  discussed. The  limiting  case  of  the  material  constant  a o ,l z  - > 0  tending  to  zero  is  also  considered, IN STYTU T  M E C H AN I KI U N IWERSYTET  WARSZAWSKI Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  10  kwietnia  1974  r.