Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

2,  13  (1975)

ZASTOSOWAN IE  TŁU M IKÓW  STOCKBRID G E'A
D O  TŁU M IEN IA  D RG AŃ   BELEK  I  STRU N

JÓ Z E F   N i Z I O Ł ,  AN D R Z E J  M A R T Y N U S K A  (KJRAKÓW)

Wstę p

Celem  niniejszej  pracy  jest  przean alizowan ie  skutecznoś ci  tł umienia  tł umików Stock-
bridge'a  stosowanych  d o  tł um ien ia  drgań  belek  i  strun .

Teoretyczne  rozwią zanie  zagadn ien ia  tł um ien ia  drgań  ukł adów  o  cią gł ym  rozmiesz-
czeniu  masy  n astrę cza  wiele  trudn oś ci  i  czę sto  okazuje  się   niemoż liwe  bez  stosowania
wielu  uproszczeń .  Z  problem am i  takim i  spotykam y  się   przy  rozważ aniu  tł umienia  drgań
suwnic,  rurocią gów  n apowietrzn ych,  przewodów  linii  wysokiego  napię cia  itp.

W  niniejszej  pracy  zaję to  się   analizą   drgań  przewodów  linii  wysokiego  napię cia tł u-
m ion ych  za  pom ocą   tł um ików  Stockbridge'a.  D rgan ia  takich przewodów  są   zjawiskiem
bardzo  niebezpiecznym .  W  polskich  warun kach  najczę ś ciej  spotykanym  ź ródł em  drgań
są   «wiry  K arm an a».  Jest  t o  zjawisko  wystę pują ce  podczas  opł ywania prę tów  przez pł yny
polegają ce  n a  odrywan iu  się   czą steczek  pł ynu  od  prę ta  z pewną   okreś loną   czę stotliwoś cią.
Powstaje  w  t en  sposób  okresowo  zmieniają ca  się   sił a  stanowią ca  wymuszenie  drgań.
C harakterystyczny  dla  tego  rodzaju  drgań  jest  ich  poprzeczny,  w  stosunku  do  przepł ywu
pł yn u, kierun ek.  Wiszą ce  n a woln ym  powietrzu  przewody  są   n araż one n a dział anie wiatru,
który  powoduje  powstawan ie  w  n ich  takich  wł aś nie  drgań  poprzecznych.

W  pracy  niniejszej  n ie  bę dziemy  zatrzymywać  się   n ad  samym  mechanizmem powsta-
wania  drgań ,  lecz  przyjm iem y,  że  wymuszenia  drgań  są   zn an e, a  dobierać  bę dziemy  sku-
teczny  tł um ik  dyn am iczn y.

N a  przewody  linii  wysokiego  n apię cia  stosowane  są   liny.  I ch  zamocowanie  zrealizo-
wane jest  w  ten  sposób,  że  spoczywa  on a  n a  t ak  zwanej  ł ódce,  do  której  przymocowana
jest  n akł adką   (rys.  1).  Tego  typu  utwierdzenie  powoduje,  że  w  pobliżu  uchwytów  sztyw-
n ość  liny jest  najwię ksza  i  maleje  o n a  w  kierun ku  od  «uchwytu».  W  zwią zku  z tym  w po-
bliżu  ł ódki  wystę pują   najwię ksze  n aprę ż en ia.  Poszczególne  druty  wchodzą ce  w  skł ad
drgają cej  liny  poddawan e  są   dział an iu  cyklicznych  naprę ż eń  o  zmieniają cym  się   znaku.
Zjawisko  t o  w  poł ą czen iu  z  duż ymi  n aprę ż en iami  kon taktowym i  w  obrę bie  uchwytu
powoduje  zmę czeniowe  zniszczenie  liny  w  tym  obszarze.



210 J.  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYNUSKA

W  zwią zku  z  tym  zachodzi  konieczność  tł um ien ia drgań  liny,  szczególnie  w  pobliżu
uchwytów.  N a podstawie  badań  n a  liniach  rzeczywistych  stwierdzono,  że  najczę ś ciej  wy-
stę pują ce  drgania  mieszczą   się   w  zakresie  10- 35  H z  i  wówczas  uzyskiwane  są   najwię ksze
amplitudy  drgań.  Tł um iki  dynamiczne  powinny  być  gł ównie  n astrojon e  n a  t en  zakres
czę stotliwoś ci.

Rys.  2.

Stosowane  są   dwie  metody  tł um ienia  d rgań :
a)  tł umienie integralne —  tł um iki  Stockbridge'a  (rys.  2),
b)  tł umienie  lokalne  w  miejscach  niebezpiecznych —  tł um ien ie  pę tlicowe.

1.  D rgania  wł asne  belki  z  nacią giem  tł umionej tł umikiem  Stockbridge'a

Rozważ amy  drgania  belki  jedn orodn ej,  zamocowanej  przegubowo,  poddan ej  rozcią -
gają cej  sile  osiowej,  n a  której  podwieszono  tł um ik  Stockbridge'a  (rys.  3).

• %

Rys.  3.

N a

x
2
  —

m
2

(EJ),

m
0
  —

d-

1

h
a

w
z

rys.  3  przyję to  nastę pują ce  oznaczenia
- współ rzę dna  bież ą ca  dla  belki  m ierzon a  od  podpory,

współ rzę dna  bież ą ca  dla  tł um ika m ierzon a  od  pu n kt u  podwieszenia  tł um ika,
gę stość  belki  n a  jedn ostkę   dł ugoś ci,

gę stość  prę ta  wchodzą cego  w  skł ad  tł um ika  n a  jedn ostkę   dł ugoś ci,
(&F)2 h  —  m asa  prę ta  tł um ika,
sztywność  zginania  belki,

sztywność  zginania  prę ta  wchodzą cego  w  skł ad tł um ika,
m asa  tł um ika,
odległ ość  pun ktu  podwieszenia  tł um ika  od  podpory,
nacią g  belki,
dł ugość  przę sł a,

dł ugość  prę ta  wchodzą cego  w  skł ad tł um ika,
odległ ość  ś rodka  cię ż koś ci  m asy  m

0
  od  koń ca  prę ta,

przemieszczenie  pun któw  belki,

przemieszczenie  wzglę dne  pun któw  prę ta  w  stosun ku  d o  belki,
—  przemieszczenie  wzglę dne  ś rodka  masy  m

0
  w  stosun ku  do  belki.



Z ASTOSOWAN I A  T Ł U M I K Ó W ST O C K BI U D G E 'A 211

U kł ad  równ ań  opisują cych  ruch  belki  i  tł um ika  m a  postać

(1.1)

gdzie  przez

(1.2)

8
4
z

Xl= </

=   0 ,

ozn aczon o  sił ę   okreś loną   n astę pują co:

13"  ~( m°'

ó  jest  funkcją   D iraca.  Jest  to  sił a  wzajemnego  oddział ywania  belki  i  tł um ika.  D la  po-
wyż szego  ukł adu  równ ań  warunki  brzegowe  dla  belki  mają   postać

w(0,  t)  =   0,  w(l,  t)  =   0,

w"(0,  t)  =   0,  w"(l,  t)  =   0,

a

(1.3)

'/ / ,

dla  tł um ika  (rys.  4)

z( 0,  / )  =   0,

z'(0,  0   =   0,

Rys.  4.

8
3
z

2
~8x\

12  ^
- (EJ):

(1.4)

Przyję to  tu

(1.5)

(1.6)

(1- 7)

(1- 8)

(nio)

masowy  m om en t  bezwł adnoś ci  tł um ika  wzglę dem  osi  0.

8
2
z

8
2
w

m
°  8t

2

l
%
  8

2
w

2
  M2

  8t
2

=  z(!
2
,t)+a

>

8z(x
2
,

8x
2

t)

+ MB.



212  J.  N I Z I O L,  A.  MARTYNUSKA

Rozwią zanie  ukł adu  (1.1)  przyjmujemy  w postaci

l F 0 =   Xbcd&m
z{x

z
,  t) =   Z(x

2
)sin(co

gdzie w jest nie znaną   n a razie  czę stoś cią   drgań  ukł adu.  P o wstawieniu  (1.10)  do  (1.1)
i  wykorzystaniu  (1.2)  otrzymamy

ico
2
X- S

Q
X"  -   ó(x

L
- d)2[- (EJ)

2
Z"'(0)  + (m

o
  +m

2
)X(d)a>

2
],

(EJ)
2
Z™- (

e
F)

2
o>

2
Z- (

8
F)

2
X(d)w

2  =   0.

D rugie  równanie  ukł adu  (1.11)  zapiszemy  w postaci

(1.12)  Z™(x
2
)- kiZ(x

2
)  =   kiX(d),

gdzie  oznaczono

(1.13)  H  =

Rozwią zanie  równania  (1.12)  przyjmuje  postać

(1.14)  Z ( X 2 )  =   Z

gdzie  Z s( x2 )  jest  cał ką   szczególną   równą

(1.15)  Z
s
(x

2
)  =  -

N atomiast  Z
0
(x

2
)  to  cał ka  ogólna  równania jedn orodn ego

(1.16)  Z 0 ( x2 )  =  ^ 2
1 ' si n

N a  podstawie  warunków  brzegowych  (1.4)  otrzymamy  nastę pują cy  ukł ad  równ ań

Ape+Bp*  =  yX{d),

Apfi- B

z  którego  obliczono  stał e

( n 8 )



Z AST O SO WAN I A  T Ł U M I K ÓW  ST O C K BM D G E 'A  213

W  zależ n oś ciach  (1.17)  i  (1.18)  o zn a c zo n o

e  = s'mk
2
l

2
+k

2
acosk

2
l

2
—- ^ - ^ klcosk

2
l

2
  — i

(EJ)
x  =  cosJt2/ 2 —k 2asink 2I 2- \   \

ł Tl QO)

(1.19)  ( £ n
y =  — ć b.k

2
l

2
- k

2
ashk

2
l2  § fc 2 sh fc 2 / 2 ,

7 W ^

— J o co
2 A;2chA:2/ 2

-   a(EJ)
2
  k\  shk

2
  h -   (EJ)

2
  k\ chk

2
1

2
,

[2

V  =  - j- (QF)
2
co

2
+J

0
w

2
k

2
shk

2
l

2
- a(EJ)

2
klsh.k

2
l

2
- (EJ)

2
klchk

2
l

2
.

O st at eczn ie  więc  ro zwią zan ie  r ó wn a n ia  (1.12)  m o ż na  zapisać  w  form ie

Z  d ru giego  z  r ó wn a ń  (1.11)  m o ż na  obliczyć

(1.21)

Wstawiając  (1.21)  d o  pierwszego  r ó wn a n ia  (1.11)  dostajem y  d o  rozwią zan ia  równ an ie

+  x
a
<x

m
Z™(0)- co

2
oc

gm
Z(0)],

w  kt ó r ym  przyję to  o zn aczen ia

A ? = = T E 7 ) ?

(1.23)  «,  -   W
(EJ),'

m
o
+m

2
A " m -   (EJ\   •



214  J .  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYNUSKA

Traktują c  równanie (1.22) jako  równanie niejednorodne, jego  rozwią zanie  przyjmiemy
w  postaci  sumy  cał ki  ogólnej  wyraż ają cej  się   wzorem

(1.24)  Xo(xi)  =   A
1
smr

l
x

1
+B

1
cosr

l
x

l
+GiShr

2
x

l
+D

l
chr

2
x

l

oraz  cał ki  szczególnej  przyjmują cej  postać
Xl  Xl

(1.25)  X
s
(x

t
)  = Rj. j  f(u)smr

1
(u- x

1
)du- R

2
  j  f(u)shr

2
(u- x

L
)du,

o  o

i\ ,r
2
,Ri,  R

2
  i/ ( «)  okreś lone  są   nastę pują co

(1.26)

«3  |  u  yi

( L 2 9 )

(1.30)  / ( «)

Posł ugują c  się   funkcją   H eaviside'a  Oi{x
x
 — d)  cał kę   szczególną   moż emy  zapisać  wzorem

(1.31)  JT^fi)  -   - c r2 ( jc 1 - Ą 2 [ a , Z "' ( 0 ) - a1 1 1 «ł Z
I V( 0 ) + a ) a «B l l l Z ( 0 ) ] x

x

Rozwią zanie  równania  (1.22)  przyjmie  wię c  postać

(1.32)  X(x
t
)  =

Przez  K oznaczono

P o  wykorzystaniu  warunków  brzegowych  (1.3) dostajemy  B
1
  -   D

1
  =  0  oraz  ukł ad

równań  postaci

A, {sinz- i l+2Kń nr
y
  d [R

Y
 ń nr

x
  (d- 1) -   R

2
 shr

2
(d-   / )]} +

+G
1
{shr

2
l+2Kshr

2
d[R

1
sinr

l
(d- l)- R

2
shr

2
(d- T )]}  -   0,

- A
1
{rfsinr

1
l+2Ksmr

1
d[R

1
r

:
tsinr

1
(d- l)+R

2
r%shr

2
(d- l)]}  +

+Gj_{rlshr
2
l- 2Kshr

2
d[R

1
rlsmr

1
(d- ł )+R

2
f2shr

2
(d- l)]}  =  0.

U kł ad  ten  posiada  rozwią zanie  nietrywialne  wtedy,  gdy  jego  wyznacznik  gł ówny  jest
równy  zeru.



Z AST O SO WAN I A  T Ł U M I K ÓW  ST O C K BR I D G E 'A  215

Z  rozwinię cia  tego  wyznacznika  otrzymano  równanie  charakterystyczne,  z  którego
moż na  wyznaczyć  czę stoś ci  drgań  w„  ukł adu  belka—tł umik.  Równanie  to ma  postać

- V ' .   o.
Jeż eli  zwią zek  (1.35) jest  speł niony, to  jedną  spoś ród  dwóch  stał ych A

in
  i G

in
  moż na

przyjąć  dowolnie.  Wyznaczono  więc

(I  36)  fli i  =   shr2„l+2K„ś hr2„d[R
1
„sinr

1
„(d- l)- R

2
„shr

2
„(d- l)]

G
ln
  ~   smr

ln
l+2K„sinr

in
d[R

ln
smr

ln
(d- l)- R

2
„shr

2n
(d- l)]'

Oznaczając  dla  prostoty  zapisu

(1.37)  £ Ł   =   q
n

moż na  ostatecznie  rozwią zania  równań  (1.12)  i  (1.22)  przedstawić  wzorami

(1.38)  X„{xi)  =   Gtn{ąnsmr  i_nXi. + s h r 2 n x x  +a2(x1- d)2K„[q„smrlnd+

+sh.r
2n

d][R
i
„smr

ln
(d- x

x
)- R

2n
$hr

2n
(d- x

l
)]},

(1.39)  Z
n
(x

2
)  =  G

ln
\ [q„smr

ln
d+shr

2n
d]\ ^ §~^ ~   mkux2+

2.  D r ga n ia  wym uszon e  belki  z  n acią giem  i  tł um ieniem  wewnę trznym

Rozwią zano  również  problem  drgań  wymuszonych  z uwzglę dnieniem  tł umienia  we-
wnę trznego.  Równanie  ruchu  w tym  przypadku  przyjmuje  postać

_  82w

(2.1)  =  - «5( x1 - c 02 ( £ 0

=  0,

gdzie
obcią ż enie  zewnę trzne  wymuszają ce  drgania,

Tj —  współ czynnik  tł umienia  wewnę trznego  w belce,
T 2  —  współ czynnik  tł umienia  wewnę trznego  w tł umiku  Stockbridge'a.



216  J.  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYNUSKA

Rozwią zania  tego  ukł adu  równań  poszukiwano  w  formie
03

F unkcje X„{x
t
)  i Z „ (x2) są  funkcjami  wł asnymi  okreś lonymi  w poprzednim  paragrafie

zwią zkami  (1.38)  i  (1.39).
Podstawiają c  (2.2)  do  (2.1)  otrzymano

n»= l  n= \   n—l

(2. 3)
(EJ),

UJ

1
n= l

D la  dalszych  obliczeń  wyprowadzono  pewne  zwią zki.  W  celu  uproszczenia  zapisu
wprowadzono  operator  i)[F

t
(x)]. D ział anie tym  operatorem  polega  na pom noż eniu  przez

funkcję   Fi(x),  a  nastę pnie  przecał kowaniu  po dł ugoś ci  drgają cej  belki  w  granicach od
zera  do  1.

Przekształ cają c  (1.22)  i  dział ają c  operatorem  r\  [X^ x^ )]  otrzym ano

(2.4)  $(X?- h\ X':)X
k
dx

t
  =  k\

n
 jX„X

k
d

Xl
  +2K

n
X

k
(d).

o  o
Warunki  brzegowe  (1.3)  powodują , że

/   i

J  An  - Ai!axl  —  J  An- *- k  "Xx,

(2- 5)

Stą d  moż na obliczyć

V  dx  -   n  S >  2 [ ^ ^ . W - ^ ^ ( ^ )]  , >  f y 2 / v W v
J

1

(2.6)  \ {xr~hlx;;)x
k
dx,  =  ~(i~d„

k
)  2k\

I

ZixJdx^ +lKnXtid).
0

Przez  d
nk

  oznaczono  deltę   Kronekera.



Z ASTOSOWAN I A  T Ł U M I K Ó W  STOC K BR I D G E 'A  217

Przekształ cono  (1.12) jak powyż ej  i  zadział ano operatorem rj[Z
t
(x

2
)]  otrzymują c

(2.7)  /   ZlyZ,dx
2
  =  k\

n
 j  Z

n
(x

2
)Z

l
(x

2
)dx

2
  +ki„X

n
(.d)  JZ

i
{x

2
)dx

2
.

o  o  o

Tym  razem  warunki  brzegowe  (1.4) sprawiają ,  że

h  h

(2.8)  / Z l?{x
2
) Z i( x

2
) dx

2
  -   M

ni
+  j  zr(x

2
)Z„(x

2
)dx

2
,

o  o

gdzie

(2.9)  M
ni
  =   ZX'(J

2
)Zi{l

2
)- Z'J(l

2
):

Korzystają c  z  (2.8)  i  (2.9)  obliczono

h

[z„Z
t
dx

i
~(l- d

B
d

1
-

r
~r

J  K
2n

  K
2i  o

h

o  6
(2.10)

- ki„X
n
(d)  f  ZfaJdxz+MA  +d

ni
 f  Zf{x

2
)dx

2
,

ó  6
h  h

[  Zl
v
Z,dx

2
  =  (l- dnd- J^ rr- hiiXiid)  [Z

n
{x

2
)dx

2
- k

2n
X„{d)  [Z

t
{x

2
)dx

2
  +

Z
i
{x

2
)dx

2
.

o  o

6

P o  zadział aniu n a pierwsze  z  równań  (2.3)  operatorem r\ \ X
k
{x^ j\ ,  a na drugie  opera-

torem  rjlZfei)]  i  uwzglę dnieniu  (2.6) oraz  (2.10)  otrzymano  ukł ad  równań  róż niczko-
wych  wią ż ą cych  funkcje  czasu

oo  oo  oo

n = l

W  (2.11)  przyję to  oznaczenia



218

(2.12)

J.  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYNUSKA.

&„ -   —
A

k
„  =   - 2a

g
Z'„"(0)X

k
(d),

,n =  (l- <3to) 7 p 7 T W 3 P fr k ^ i W  f  Z,,

Z
2
(x

2
)dx

2
,

- 2n~K2i
rZn( x

/2
t J Z?

B(rf)  f  Z f ( x2 ) r fx2 + M J  +
O

{ a

k\ n  Xn(d)  f  Zt(x2)  dx2,

"»  T 2 '

Rozwią zanie  równań  (2.1) ma postać  (2.2), gdzie  T^ 1}(0  i  T ff^ t)  podlegają   wyznaczeniu
z  (2.11).

Przy  obliczeniach praktycznych wystarczy  ograniczyć  się   do kilku  wyrazów sumy, np.

(2.13)  w(x
lt
  t) S  X ^ i i x J T f p ' M

gdzie  k jest  numerem wyrazu  sumy  (2.2), dla  którego

(2.14)  co
k
 ^

3.  D rgania  wymuszone  struny  z  tł umieniem wewnę trznym  tł umionej tł umikiem  Stockbridge'a

Równania  róż niczkowe  opisują ce  ruch  drgają cy  struny  z  tł umieniem wewnę trznym
tł umionej  tł umikiem Stockbridge'a  mają   postać

8
3
w  „  8

2
w

=   6(
Xl
- d)2\ (EJ)

(3.1)
8

2
w 1- H^ x^ sinvt,
=  o.



Z ASTOSOWAN I A  T Ł U M I K ÓW  ST O C K BR I D G E 'A  219

Rozwią zanie  przyję to  w  postaci

w(x
t
,t)  =

(3.2)

7 1 = 1

F unkcje  X„ (xx)  i  Z„(x2)  są  funkcjami  wł asnymi  zagadnienia  drgań  swobodnych  takiego
ukł adu

jr  —  —  ^ ł - 3

A„  —  —  Ł K2n S
o
  (QF)

2
  '

V2n
'

F unkcja  Z„{x
2
)  jest  okreś lona  w  (1.20).  Czę stoś ci  drgań  wł asnych  co„  są  pierwiastkami

równ an ia  charakterystyczn ego

A  .

Rozwią zanie  u kł adu  (3.1)  sprowadza  się  więc  do  okreś lenia  funkcji  T ^ (t)  i  T i2)(t).
Są  on e  rozwią zaniem  ukł adu  równ ań

O3  00  00  CO

^^^j ktl  u ^^^ Kn n  ^^j [^ Kn n £^

*̄   /  oo  oo  oo  00

n»1  «- l  n=l  «=1

który  otrzym an o  z  (3.1)  przez  odpowiedn ie  przekształ cenie.  W  (3.6)  przyję to  oznaczenia

/
V2(

C  J 2 _  1 2   * "  O
,  r

I
4

I

2  0

f

jZi(x
2
)dx

2
,



220  J.  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYN U SKA

(3.7)

[c.d.]  ' 2  / j

S r j - r̂ f * l i J r « ( Ą   f  Zn(x2)dx2- kinXn(d)  f  Zi(x2)dx2 +
K2n  — K2k

  L  o  00

ZKx
2
)dx

2
,

K'2n~K2i  U  o  0

/«  /a

, *Ł J  Zf(x
2
)dx

2
+lĄ

n
X

n
{d)  f  Z

i
{x

2
)dx

2
.

0   0

Analityczne  wyznaczenie  wszystkich  czę stoś ci  i  form  wł asnych  drgań  belek  czy  strun
sprzę ż onych z tł um ikiem  Stockbridge'a jest niemoż liwe  ze wzglę du  n a przestę pny charakter
równań  (1.35)  czy  (3.5). Pocią ga  t o  za  sobą   dalsze  kom plikacje  przy  wyznaczaniu  współ -
czynników  w  równ an iach  (2.11)  dla  belek  (3.6)  w  przypadku  strun .  To  z  kolei  wią że  się
z zagadnieniem znalezienia  drgań  wymuszonych.  W  bardzo  wielu  zagadn ien iach  praktycz-
nych,  w  oparciu  o  przedstawione  powyż ej  rozważ an ia,  m oż na  uzyskać  zadowalają ce
wyniki  i  stwierdzić  w  jakim  stopniu  tł um ik  Stockbridge'a  jest  skuteczny.  Otóż  jeż eli
w ukł adzie moż liwe  są  tylko  drgan ia z wysokimi  czę stoś ciami bez wzglę du  n a ich charakter,
czy  to  bę dą   drgania  wymuszone  czy  sam owzbudn e,  t o  wówczas  wzory  (1.35)  i  (3.5)  ule-
gają   znacznemu  uproszczeniu.  P onieważ  wystę pują ce  w  (3.5)  wyraż enie  K  [okreś lone
w  (1.33)]  speł nia  warun ek

lim  K  =   oo,

z  dostatecznie  dużą   wię c  dokł adnoś cią   m oż na  w  miejsce  (3.5)  przyją ć

(3.8)  sin [o, ]/ *$• *]  sin [co j / C  (/- </)] -  0,

co  daje  bardzo  proste  cią gi  wartoś ci  wł asnych  i  funkcji  wł asnych.  D la  krajowych  linii
elektroenergetycznych  najwyż szych  napię ć  najczę ś ciej  wystę pują ce  drgan ia  zawierają   się
w  granicach  10- 30  H z,  co  odpowiada  zakresowi  form  wł asnych  m ię dzy  50  a  200.
D rgania  z  tego  zakresu  stwarzają   zagroż enie  zmę czeniowe  i  należy  je  wytł um iać.  D la
realnych  linii  elektroenergetycznych  przyję cie  (3.8)  jest  wię c  w  peł n i  uzasadn ion e.  Wzór
(3.8) m oż na również  uzyskać  bezpoś redn io  z  (1.35)  dokon ują c  w  tym ostatn im  przejś cia
granicznego  przy  (EJ)i  zdą ż ają cym  do  zera  i  przyję ciu  duż ych  a>„.



Z ASTOSOWAN I A  T Ł U M I K ÓW  ST O C K BR I D G E 'A  221

4.  P rzykł ad

W  celu  szacunkowej  oceny  przeprowadzon ych  rozważ ań  policzono przykł ad  liczbowy.
P oliczon o  3  p rzyp ad ki:

1)  drgan ia  strun y  bez  tł um ika,
2)  drgan ia  strun y  z  tł um ikiem  Stockbridge'a  I,
3)  drgan ia  strun y  z  tł um ikiem  Stockbridge'a  I I .

D la  prostoty  obliczeń  wzię to  tylko  p o  jedn ym  wyrazie  szeregu  (3.2)

w(xx, t) u  X

a  rozwią zań  poszukiwan o  w  postaci

=  A
k
sinvt+B

k
cosvt,

-   C
k
sinvt+D

k
cosvt.

Jako  uzasadnienie  takiego  podejś cia  m oż na  przyją ć,  że  rozważa  się  przypadek  rezonan-
sowy  i  skł adn iki  szeregu  (3.2)  odpowiadają ce  formie  rezonansowej  bę dą  zdecydowanie
przeważ ać  n ad  pozostał ym i. Takie  podejś cie  upraszcza  znacznie  ż mudne  obliczenia  i po-
zwala  oszacować  rząd  skutecznoś ci  tł um ien ia.

P rzy  doborze  dan ych  st aran o  się  zachować, o  ile  t o  był o  moż liwe,  rzeczywiste  para-
m etry  przę sła linii  wysokiego  n apię cia  i  tł um ika, z  wyją tkiem  (QF)

2
,  T 2 i  (EJ)2,  których

nie  udał o  się  uzyskać  n a  podstawie  dostę pn ych  m ateriał ów.  Wobec  czego  przyję to

a)  Ti  =   r
2
,

b)  (QF)I  =   (QF)
2
  —  dla  tł um ika  I ,

(QF)
X
  =   2( eiO 2  —  dla  tł um ika I I ,

c)  (EJ)
2
  =   13  [ k G m 2 ] —  co  odpowiada  rzeczywistej  sztywnoś ci  liny.

Odległ ość  p u n kt u  podwieszen ia  tł um ika  od  podpory  ustalon o  wykorzystując  fakt,  że
powin ien  on  być  um ocowan y  w  brzuś cu  fali  stoją cej,  która  powstanie  w  strunie.

D la  czę stoś ci  v  =  20  H z  powstan ie  113  pół fal,  co  daje  d  =   1,7  m .  Wielkość  t a  po-
krywa  się  z  doś wiadczaln ymi  dan ym i  BSiPE  «Energoprojekt»  O/ Kraków,  który  podaje,
że  optym aln a  wartość  d  wynosi  d  =   1,5- 2,0 [m].

C zę stość  drgań  co
k
  wyznaczono  z  równ an ia  charakterystycznego  (3.5)  wykorzystując

zależ ność  jaką  m usi  on a  speł n iać

co
k
  £   2nv.

D an e  wyjś ciowe  o raz  wyniki  zestawiono  w  t abl.  1  i  2.
P rzez  a

k
  ozn aczon o

pon ieważ

^ ł )  =   A
k
sinvt+B

k
cosvt  =   a

k
sin(vt+(p),

więc  przyję te

b
k
  —  ajjSinA/ jrf

jest  am plitudą  drgań  w  pun kcie  x  =   d,  a  jej  wielkość  zależy  od  skutecznoś ci tł umienia.
Obliczeń  d o ko n an o  z  dokł adn oś cią  do  H,  gdzie  H  oznacza  amplitudę  wymuszenia.

6  Mechanika teoretyczna



Wielkość

1

So

cl

T \

/ o
trio

h
a

{Qp)i

(.EJ)*
r2
(Uk

Tablica

1
Wymiar

Hz
m
kG

kG  nr1

m
s

kg  m 2

kg
m

m
kg  m "1

kG   m 2

s
radian  s"1

1.  D ane  wyjś ciowe

Struna

20

400

3900
0,1967

1,7
0,3782

—
—
—
—
—
—
—

126,06

Tł umik  I

_ .

—
—
—
- •

—

0,00231
0,780
0,26
0,02
0,1967

13

0,3782
126,03

Tł umik  I I

_ .

_
—

—
—

0,00053
0,139
0,26

- 0, 03
0,0983

13

0,3782
126,06

Tablica  2.  Wyniki

Stał a

kik

lk

Yk

/«*

h
Vk

A
2k

Bik

»2k

K
k

<*k*

hk
A*
% k

3ki
Akk

nkk
®k

Akk

A
k

B
k

Ok

bk

Wymiar

nr1

J
1
1

kg  m  s"2

kg  m  s"2

kg  m  s"2

1
1
1
1

m - 1

m ~ l

m - 1  s2

m "1

m "1  s3

m - 3  s2

m - 3

m ~ 3  s
n i " 3  s2

m "1

m "1

1
1
1
1

Struna
bez  tiumika

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

0,8838
0,0207

177,50
67,1305

X

X

X

X

0 , 5 7 7 8 - lO "3  H

X

0, 5954- 10- 'H
4,3031 •   10- ' H
4, 3440- 10- 'H
4,3440 •   10- ' H

Struna  z

tł umik  I

3,9612
- 0, 5861
- 1,2523
- 1, 7553
457,9541

- 418,2535
- 340,9878

- 0,9353
1,8394
0,9353

- 0, 8394
- 0,3834

0,8912
- 0, 0035
55,6028
21,0289

- 0, 0446
- 726,6404
- 274,8153

0,0050
0,1808-   1 0 - 3 H

0,7739
0,0286 •   10- '  H
0,6825 •   10- '  H
0,6827 •   10"'  H
0, 6816- 10- 'H

tł umikiem

tł umik  I I

3,2898
- 0,5644
- 0, 6845
- 1, 4951
213,2848

- 284,7983
- 129,8952

22,8450
- 16,6524
- 22,8450

17,6524
5,3683
0,8912
1,4575

- 22951
- 8675,4780

- 2,0373
- 315, 5993- 102

- 119,3596-   102

0,0077
6,6414-   10~ 3 H

- 10,82888
0,0256 •   10"'  H
0,0608 •   10"7  H
0,0650 •   10- 7  H
0,0649 •   10"7  H

[ 2 2 2



Z AST O SO WAN I A  T Ł U M I K Ó W  ST O C K BR I D G E 'A  223

5.  Z akoń czen ie

Skuteczne  tł um ien ie  drgań ,  zwł aszcza  w  liniach  elektroenergetycznych,  jest  zagadnie-
niem  bardzo  waż nym  szczególnie  dla  linii  krajowych,  gdzie  intensywność  drgań  jest  sto-
sunkowo  duża  i  m oże  spowodować  zagroż enie  zmę czeniowe  przewodów.

Z  przeprowadzon ych  rozważ ań  otrzymuje  się   zależ noś ci  analityczne  mię dzy  para-
m etram i  linii,  tł um ika,  am plitudą   i  czę stoś cią   drgań  wymuszonych  a  amplitudą   drgań
w  lin ii.  Z  zależ noś ci  tych ,  przyn ajm n iej  w  tej  formie  w  jakiej  je  uzyskano,  nie  moż na,
jeż eli  chodzi  o  kon kretn e  rozwią zanie  inż ynierskie,  dobrać  optymalnych  param etrów tł u-
m ika  zapewniają cych  eliminację   drgań .

Z ależ noś ci  te  są   bardzo  zł oż one  i  wyznaczenie  w  sposób  ogólny  odpowiednich  para-
m etrów  zapewniają cych  m in im um  am plitudy  wią że  się   z  duż ymi  trudnoś ciami rachun ko-
wymi.  N iem niej jed n a k  m o ż na w  sposób  stosun kowo  prosty  sprawdzić  skuteczność  danego
tł um ika.  U czyn ion o t a k  w  przykł adzie  liczbowym,  gdzie obydwa  tł um iki  wykazał y  bardzo
dobrą   skuteczność  tł um ien ia  drgań  przy  czę stotliwoś ci  20  H z.

P odan a  m etoda  jest  ogóln a  i  m oże  być  stosowana  przy  dowolnej  liczbie  tł umików
na  przę ś le.

L it e r a t u r a  cytowan a  w  tekś cie

1.  K .  C L AR E N ,  S.  D I AN A,  Mathematical  analisis  of  transmission  line  vibration,  T ran sm ision s  papers  1967.

2.  A.  I I .  <t>H nnnnoB,  Ko/ ieBanuH  MexanunecKux  cucmeM, «H ayKcraa  flyM i<a»,  KneB  1955.

3.  F .  SAL VI ,  Opracowanie  na  temat  drgań  polskich  przewodów  i  tł umików  drgań ,  K rakó w  1970,  skr- 53/ 70

X  —  37  654.

4.  KoA<z6auun  u  ycmouiueocmb  Jiiaucuu,  «H ayi< a»,  M o c r a a  1968.

5.  A.  BAR ,  J .  N I Z I O Ł ,  W yznaczenie  sztywnoś ci  na  zginanie  przewodu  AFL - 8- 525,  M ech .  Teoret.  i  Stos.,

12  (1974).

P  e  3  io  M e

n P H M E H E H H E  ja;EMn<l>EPOB  CTOKBPH flaCA  flJIJI
KOJIEBAH H fł   EAJIOK  H   C T P YH

B  pafiore  paccAiaTpHBaioTCH   Bbmy>KfleHHbie  KOJiegaHMt  CBo6oflHOJie>Kameii  SaJiKH

c  noiwombio  oceBOM   cH Jibi  S.  H a  6ajiKe  noflBemeH   fleimpep  CioKÓpH flwa.  fleiwni^ep

B  KanecTBe  iwaccbi  3ai<penjieHHOH   Ha  KOHije  yn p yr o a  SaJiKH.  IlyTeM   npwweHeHHH  Merofla  <J>ypbe  n ojiy-

*ieHa  CHcreMa co n pH *eH H bix  flH (})(ł )eP eH Łł H ajIBH ŁIX  ypaBH eH H ii, H3 KOTopoft  on pefle^H ioica  co6cTBeH H tie
H   C06cTBeHHMe  3HaneHHH.

TaioKe  peiueH H e  fljui  KOJie6aHHH  c r p yH t i.  npeflejiŁH biń  nepexofl  B  pem eim H   pflsi  6ani<H

npHBOflHT  K TeM  >Ke pe3yJiŁTaTaM,  H TO  H  flJiH  erpyH bi  c fleiwni^epoM . BwBefleH ti  4>opMyjiw  Ha

BbiH ywfleH H bix  KOJie6aHHH  6am<a c y^eroM   BH yipen H ero jxpmn^ vipoBsavm  pjw  rayiaeB  6anoK

poirt  H   6e3  fleiwn4)epa.

H a  ocHOBe  nojiyM enH bix  (Jjopmyn  MO>KHO  n o flo Spait  napaM eTpw  seM n ^ ep a  H  iwecro  e r o  pacn ojio-

Ha  6ajii<e  oSecne^H Baiom H e  HaHJiyMuiee fleiwn(J)H poBaH H e i<ojie6aHH9  6ajii<H.

pe3yjiBTaTbi  HJimocTpnpyK>TCH  c n oM om tio MHcneHHoro n pn in epa c KOHKpeTHbiiwu  flan-

oJiercrpcoH epreTiraecKH X  J I H H H S  BwcoKoro  HanpHH<eHHH.

6*



224  J.  N I Z I O Ł ,  A.  MARTYN USKA

S u m m a r y

APPLICATION   O F   STOCKBRID G E D AM P ERS  TO  TH E  D AM P IN G   O F   STRIN G
AN D   BEAM   VIBRATION S

F orced vibrations  of  a simply  supported  beam  extended  by  an axial  force  S  are considered.  A  Stock-
bridge  damper  suspended  at  the  beam  is  considered  as  a  mass  attached  to  its  end.  Application  of  the
F ourier  method  leads  to  a  system  of  coupled  differential  equations  yielding  the  corresponding  eigen-
functions  and eigenvalues.  Vibrations  of  a  string  with  a  Stockbridge  damper  are  also  considered  and the
result is  equivalent  to  that obtained  from  the solution  for  a  beam  by  means  of  a  limiting  procedure. The
formulae  are  derived  which  give  the  forced  vibration  amplitude  of  a  beam  with  internal  damping  with
or  without  the  damper. The  results  obtained  enable  us  to  select  the  parameters  of  the  damper  and  its
location ensuring  its  most effective  action. The results  are illustrated  by  a  numerical  example  concerning
high- tension  electric  transmission  lines.

POLITECHNIKA  KRAKOWSKA

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  19  lipca  1974  r.