Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  13  (1975) W  SPRAWIE  M ACIERZY  SZTYWN OŚ CI  I  WEKTORA  OBCIĄ Ż EŃ   SU PERELEMEN TU *) B O G D AN   W  O  S  I  E  W  I  C  Z  ( P O Z N AŃ ) Artykuł   J.  WR AN I KA  [4]  omawiają cy  wymienione  w  tytule  zagadnienie  zawiera  pewne nieś cisł oś ci.  Z e  wzglę du  n a  wagę   tem atu,  dotyczą cego  jednej  z  metod  rozwią zywania duż ych  kon strukcji  m etodą   elem entów  skoń czonych  n a  maszynach  o  mał ych  pamię ciach, zam ierzam  zabrać  gł os  w  tej  sprawie. 1.  Cytują c  m on ografię   Z I E N KI E WI C Z A,  WR AN I K  pisze:  W   pracy  [6]  wykazano  moż li- woś ć  eliminacji  wę zł ów  wewnę trznych przy  zastosowaniu  minimalizacji  funkcjonał u  %. Z I E N - KIEWIC Z  wykorzystuje  warun ki  minimalizacji  funkcjonał u  energii  % jedynie  do  zbudowa- n ia  u kł a d u równ ań  dla  superelem en tu. N iewiadom e  odpowiadają ce  wę zł om wewnę trznym (wę zły  grupy  b  wedł ug  okreś leń  WR AN I KA)  eliminowane  są   przez  podział  ukł adu równań n a  bloki  i  form alne  wykorzystan ie  algebry  macierzy,  w  identyczny  sposób,  jak  czyni  to WR AN I K  przy  wyprowadzan iu  zależ noś ci  (4) i  (5) ł ) .  Jest  to  szczególnie  widoczne  w  pierw- szym  angielskim  wydan iu  pracy  Z IEN KIEWIC Z A  [5]  (por.  również  prace  D EMSA  [1] i  P R Z E - MIEN IECKIEG O  [ 2] ) . 2.  W  pracy  [4]  zam ieszczone  jest  nastę pują ce  okreś lenie  macierzy  sztywnoś ci  i  wek- t o ra  obcią ż eń  superelem en tu  (str.  405):  Macierz  sztywnoś ci  K jest  zbiorem  sił   wystę pują - cych  w  wę zł ach  grupy  a  w  wyniku  wymuszonych  przemieszczeń  jednostkowych  x a   =   1, wektor  k p  zaś  zbiorem  sił   wystę pują cych  w  wę zł ach  superelementu  wywoł anych  sił ami zewnę trznymi.  M o im  zdan iem ,  powyż sze  okreś lenie  jest  niewystarczają ce.  Jak  wiadomo, równ an ia  m etody  elem en tów  skoń czon ych  n apisan e  dla  dowolnego  elementu  traktować m oż na  ja ko  wzory  transform acyjn e  m etody  przemieszczeń  [3].  Superelementy  są   szcze- gólnym i  przypadkam i  elem en tów  [5, 6]. Stą d poszczególne  wyrazy  macierzy superelementu są   sił ami  wystę pują cymi  w  wę zł ach  superelem en tu 2'  w  ukł adzie  geometrycznie  wyzna- czalnym  w  wyniku  wym uszon ych  przemieszczeń  jednostkowych  tych  wę zł ów.  Wyrazy wektora  obcią ż eń  superelem en tu  in terpretować  należy  jako  sił y  wystę pują ce  w  wę zł ach superelem entu  w  ukł adzie  geometrycznie  wyznaczalnym  w  wyniku  dział ania  obcią ż enia zewnę trznego.  U kł ad em  geometrycznie  wyznaczalnym  dla superelementu jest superelement z  zam ocowan ym i  wę zł ami  grupy  a. Z wracam jeszcze  uwagę ,  że  bez  zam ocowan ia  wę zł ów  superelementu  nie  m oż na  obli- czyć  sił   w  tych  wę zł ach  wywoł anych  wymuszonymi  przemieszczeniami. 3.  Z  okreś leń  m acierzy  i  wektora  obcią ż eń  superelementu  zawartych  w  [4]  wynika n atych m iast,  że  m acierz Ao a  w  zależ noś ci  (8)  i  wektor  ba  w  zależ noś ci  (10)  są   odpowied- *'  Artykuł  jest  wypowiedzią   autora  w zwią zku  z pracą   J. Wranika  opublikowaną   w  M TiS, 3  (1974) s.  401. 1 }  N umery  wzorów  i  oznaczenia  podawane  są   wedł ug  pracy  Wranika [4]. 2)  Wę zły  superelementu,  to  wę zły  grupy  a  (okreś lania  tego  uż ywa  także  Wranik). 284  B.  W O S I E W I C Z n io  macierzą   sztywnoś ci  i  wektorem  obcią ż eń  superelem en tu 3'.  Z  czego  wynika  dalej,  że formuł y  (9) i  (13), a  wię c także  wzory  (4)  i  (5)  są   n ieprawdziwe.  Z  drugiej  stron y  wiemy, że  zależ noś ci  (4)  i  (5)  są   sł uszne, powstał y  bowiem  n a  drodze  form aln ych  przekształ ceń ukł adu  równ ań  (1). Wynika  stą d  wniosek,  że przedstawion e  przez  WR AN I KA  rozum owan ie zmierzają ce  do  fizycznego  zin terpretowan ia  zależ noś ci  (4)  i  (5)  nie jest  poprawn e. 4.  M oż na  wykazać,  że  korzystają c  z  uś ciś lonych  tutaj  okreś leń  m acierzy  i  wektora obcią ż eń  superelementu  uzyskuje  się   w  sposób  bezpoś redni  wzory  n a  obliczanie  tych wielkoś ci.  Wzory  te  okazują   się   identyczne  z  wzoram i  (4)  i  (5)  otrzym an ym i  w  [4]  drogą formalnych  przekształ ceń.  Tok  postę powan ia  jest  n astę pują cy: —  N ależy  zamocować  wę zły  grupy  a  i  obcią ż yć  superelem en t  obcią ż eniem  zewnę trz- nym  a  nastę pnie  obliczyć  sił y  wystę pują ce  w  tych  wę zł ach.  Wektor  tych  sił  jest  wektorem obcią ż eń  superelementu. —  N ależy  uwalniać  poszczególne  wę zły  grupy  a, wym uszać  jedn ostkowe  przemieszcze- nia  tych  wę zł ów  i  obliczać  sił y  jakie  wystą pią   w  wę zł ach  grupy  a.  Wartoś ci  tych  sił   są odpowiednimi  wyrazami  macierzy  sztywnoś ci  superelem en tu. Wykonajmy  w  sposób  ogólny  opisane  powyż ej  czynnoś ci  dla  superelem en tu  wyodrę b- nionego  z  dowolnej  kon strukcji.  R ówn an ia  m etody  elem en tów  skoń czon ych  dla  tego superelementu  mają   postać  [5] '  1 K \ +   - gdzie przez F f l i F 6 oznaczono odpowiednio  sił y wystę pują ce  w  wę zł ach grupy  aib.Z  uwagi n a  zrównoważ enie  wę zł ów  grupy  b  m am y  F b  a  0,  wę zły  grupy  a  zrówn oważ one  zostaną dopiero  przy  rozpatrywaniu  cał ej  kon strukcji  [5]. N adajm y  przem ieszczeniom  x a   wartoś ci równe  zeru,  co  oznacza  zamocowanie  wę zł ów  grupy  a.  Rozwią zując  ukł ad  równ ań  (1) przy  przemieszczeniach  x a   =  0,  wyznaczymy  przem ieszczenia  wę zł ów  superelem en tu  wy- woł ane  obcią ż eniem  zewnę trznym.  W  tym  celu  należy  zm odyfikować  odpowiedn io  wektor obcią ż eń  i  macierz  współ czynników  przy  niewiadom ych.  Z asady  takiej  modyfikacji  opi- sane  są   szczegół owo  w  pracach  [3] i  [6]. Tutaj  zauważ ymy  t ylko ,  że  wprowadzają c  prze- mieszczenia  i- tego  wę zła  równe  x t   =   a  n ależ y: —  do  poszczególnych  wyrazów  wektora  obcią ż eń  dodać  pom n oż one przez  a  wyrazy z"- tej  kolum n y,  a  i- ty  wyraz  wektora  obcią ż eń  należy  zastą pić  wartoś cią   a; —  i- ty  wiersz  i  i- tą   kolum n ę   macierzy  współ czynników  p rzy  n iewiadom ych  należy wyzerować,  a  n a  gł ównej  przeką tnej  postawić  liczbę   1.  P o  wykon an iu  takiej  modyfikacji dla  poszczególnych  x a   =   0  otrzym am y  ukł ad  równ ań ( 0 4 ) (2) r.  » i ii. 0 =   0,  (I —  m acierz  jed n o st ko wa) , którego  rozwią zaniem  są   wektory: x  =   —A - 1b 3 )  N p .  d la  m acierzy  A aa   m a m }  w  [4]  t a kie  o kr e ś le n ie:  macierz  kwadratowa  utworzona  z  wartoś ci  sił wywoł anych  w  wę zł ach  grupy  a  kolejnymi  przemieszczeniami  jednostkowymi  wę zł ów  grupy  a. 4 )  N u m e r a c ja  wzo ró w  d o t yc zy  t e r a z  a r t yku ł u  a u t o r a . W  SPRAWIE  MACIERZY  SZTYWNOŚ CI  I  WEKTORA  OBCIĄ Ż EŃ   285 P o  podstawien iu  rozwią zań  (3)  do  równ ań  (1)  otrzym am y  sił y,  które  wystę pują   w  po- szczególnych  wę zł ach  superelem en tu (4) 0 0 Stą d  wektor  obcią ż eń  superelem en tu, który  skł ada się   z  sił  wywoł anych  w  poszczególnych wę zł ach  grupy  a  m a  postać (5)  E,- U.- ArtAtfS *. W  podobn y  sposób  otrzym am y  m acierz  sztywnoś ci  superelementu.  N ależy  teraz  wyzna- czyć  sił y  w  wę zł ach grupy  a przy  kolejno  wymuszanych  przemieszczeniach jednostkowych tych  wę zł ów,  lecz tym  razem bez  obcią ż enia  zewnę trznego.  Jeż eli mamy s  wę zł ów grupy  a, zagadn ien ie  to  prowadzi  do  rozwią zania  s  ukł adów równ ań . Zauważ my,  że we  wszystkich przypadkach  zm odyfikowan a  m acierz  współ czynników  przy  niewiadomych  bę dzie  iden- tyczn a, ja k  w  zależ noś ci  (2). Wyn ika  t o  z faktu,  że wszystkie wę zły grupy  a mają   okreś lone przemieszczenia.  U kł ady  równ ań  róż n ić  się   bę dą   tylko  wektorem  wyrazów  wolnych. Korzystają c  z  moż liwoś ci  algebry  macierzy  ukł ady te  rozwią ż emy  jednocześ nie. P o mody- fikacji  m am y W  zależ noś ci  powyż szej  kolejne  kolum n y  macierzy  x aa   i  x ba   są   przemieszczeniami  po- szczególnych  wę zł ów  superelem entu przy  wymuszonych jednostkowych  przemieszczeniach wę zł ów  grupy  a.  P oszczególne  elementy  wektora  wyrazów  wolnych  powstał y  przez  mo- dyfikację   tego  wektora  dla  poszczególnych  wymuszeń  x a   =   1  (b„  =   b b   =  0).  Rozwią zując ukł ady  równ ań  (6),  otrzym am y (7) ^Z  \ - iA P odstawiają c  zależ noś ci  (7)  do  (1)  otrzym am y  sił y  w  poszczególnych  wę zł ach  super- elem en tu  od  wym uszon ych  przemieszczeń  (b„   =   b„  =   0) : Ostatecznie  m acierz  sztywnoś ci  superelem entu  m a  postać Wyprowadzon e  w  ten  sposób  wzory  (5)  oraz  (9)  są   identyczne  z  wzorami  otrzymany- m i  drogą   form aln ych  przekształ ceń  [4,  5,  6].  P rzedstawion e  powyż ej  postę powan ie  sta- n owi zatem fizyczną   in terpretację   tych  przekształ ceń. Wskazuje  jednocześ nie  n a  praktycz- n y  sposób  wykonywania  obliczeń  macierzy  i  wektora  obcią ż eń  superelementu  bezpoś red- n io  z  definicji. 286  B.  WOSIEWICZ Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K.  D EM S,  W ielostopniowa synteza  macierzy sztywnoś ci, Mech. Teor. Stos., 4, 11  (1973), 407- 415. 2.  J. S.  PRZEMIEN IECKI,  T heory of  Matrix  Structural  Analysis,  N ew  York  1968. 3.  G . RAKOWSKI,  Metoda elementów skoń czonych w mechanice budowli,  Inż. Bud., 4- 6, 28  (1971). 4.  J. WRAN IK,  Macierz sztywnoś ci i wektor obcią ż eń superelementu, Mech. Teoret. Stos., 3,12  (1974), 401- 405. 5.  O. C.  ZIEN KIEWICZ,  T he Finite Element Method  in Structural  and Continuum  Mechanics, London 1967. 6.  O. C. ZIEN KIEWICZ,  Metoda  elementów skoń czonych, Warszawa  1972. P  e 3  JO  M   e K  BO riP O C y  O  M ATP H I JE  3KECTKOCTH  H   B E K T O P E  H Ar P Y3 0 K C BE P X3JI E M E H T A B  paSoTe  o6pam,aeTCH   BiiH/ Hanne  n a  HeiOMHOcTH   coflep>KamnecH   B  paG o ie  [ 4] .  H en ocpefldBeH H o H3  onpefleneH H H   BLmoflHTCH   <£opMyjibi  Ha MaTpHiry  wecTKOCTH   H  BeKTop  H arpy30i<  CBepx3neM esrra. S u m m a r y TO  TH E  PROBLEMS  OF   STIF F N ESS M ATRIX  AN D   LOAD   VECTOR OF   A SU PERELEM EN T Certain  incorrect results  occurring  in paper [4] are  pointed  out.  The  formulae  for  stiffness  matrices and  load  vectors  of  a  superelement  are  derived  directly  from  their  definitions. AKADEMIA  ROLNICZA  W  POZNANIU Praca został a zł oż ona  w  Redakcji  dnia  9 grudnia 1974  r.