Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA 1  STOSOWANA 2,  13  (1975) R O Z WÓ J  M ECH AN IKI  AN ALITYCZN EJ  W  PRACACH   A.  PRZEBORSKIEG O I  A.  WU N D H EILERA ASZOT  TlGRANOWICZ  G  R I G  O R 1  A  N ,  BORYS  NAUMOWICZ  F R A D L I N   (MOSKWA) U czeni  polscy  A.  PRZEBORSKI i  A.  WU N D H EILER  wnieś li  wybitny  wkł ad  do  rozwoju mechaniki. U dział em  A.  PRZEBORSKIEG O  jest  rozszerzenie  zasady  d'Alemberta- Lagrange'a  na dynamikę   ukł adów  mechanicznych  z  nieliniowymi  nieholonomicznymi  wię zami  pierw- szego  rodzaju  oraz  sformuł owanie  dla  tego  rodzaju  ukł adu  uogólnionych  równań  dyna- micznych  typu  równ ań  M aggi. A.  WU N D H EILER  był  jedn ym  z twórców  mechaniki  analitycznej  ukł adów holonomicz- nych i nieholonomicznych, opartej  na  fundamentach  współ czesnej  geometrii  róż niczkowej i  rachunku  tensorowego. Intencją   autorów  niniejszej  pracy jest przedstawienie  czytelnikowi  krótkiego  przeglą du historycznego  podstawowych  prac  A.  PRZEBORSKIEG O  i  A.  WUN DHEILERA  W dziedzinie mechaniki  analitycznej. 1.  A. Przeborski  jako  jeden  z  twórców  nieliniowej  mechaniki  nieholonomicznej. Rozwój  idei  A.  Przeborskiego  w pracach  M . F .  Szulgina PRZEBORSKI  [1, 5,6]  rozpatruje  ruch  ukł adu pun któw  materialnych,  na które  nał oż one są   holonomiczne lub  nieholonomiczne wię zy  pierwszego  lub  drugiego  rodzaju,  których równania mogą   być  algebraicznymi  zwią zkami  pomię dzy  współ rzę dnymi xj(J =   1, 2, , .., 3fl)  punk- tów  ukł adu, lub też  równaniami róż niczkowymi  pierwszego  lub  drugiego  rzę du, liniowymi bą dź  nieliniowymi  wzglę dem  pochodnych Xj  i Xj. Zapisują c  równania  ruchu  w  postaci  N ewtona (2)  m/ xj  -   Xj+Rj lub  w postaci  d'Alem berta- Lagrange'a (3)  (mjXj- Xj- RJ)«j =   0, gdzie    xk>   *r)> ( f c - 1 , 2,  . . . , 3 W ; T - 1 , 2 , . . . , * ), gdzie  A r  są  param etram i zależ nymi od przył oż onych sił , rozpatrzymy zagadnienie okreś lenia reakcji  wię zów  i zbudowania  róż niczkowych  równań ruchu ukł adu. 160  A. T.  G RIG ORIAN ,  B. N .  F R AD U N Z agadnienie  t o  oczywiś cie  da  się   rozwią zać  jedynie,  gdy  s — p.  Jeż eli  funkcje  (4)  są liniowe wzglę dem param etrów  A„  to liniowymi  w stosunku  do nich bę dą   również równ an ia wyznaczają ce  te param etry. N iech (5)  RjdXj^ N jdxj, gdzie  wielkoś ci (6)  N j =  N j(t,x k ,x k ,x k ) są   znanymi  funkcjami,  a przemieszczenia  wirtualne  dx r  wyznaczone  są  przez  pozostał e przemieszczenia  wirtualne  óx p  (Q =  s + l,s+2,  ...,  3«)  z równ ań (7)  A rJ dx }   =  0, gdzie  wielkoś ci (8)  A fJ  = A rJ (t,  x k ,  x k , x k )  (r •  1, 2  s; s  =  p) są   znanymi  funkcjami. Z  (5) i  (7)  wynika, że (9)  Rj=N j  +  l r A rJ . Jeż eli  zwią zki  (1) są  holonomiczne lub  nieholonomiczne pierwszego  rzę du,  lub  nie- holonomiczne  drugiego  rzę du,  liniowe  wzglę dem  przemieszczeń x k , t o  param etry  X r  wy- znaczone  są  przez  ukł ad  równań  liniowych (10)  - - - ^ (Xj+N j  + hAiJ+cD,  m 0, gdzie  odpowiednio  dla  wskazanych  rodzajów  wię zów Ol)  h a  wielkość (12)  co,  =   co r (t,Xj,Xj) przedstawia  okreś loną   funkcję . N iech n a  wię zy  nał oż one  n a ukł ad  skł ada się  m holonomicznych,  h  nieholonom icznych pierwszego  rzę du, g nieholonomicznych  drugiego  rzę du,  liniowych  wzglę dem  skł adowych przyś pieszeń 03)  / « =  0, 04 )  f,  =   0, 05)  / , =  0, (a  =  1, 2,  ...,m;P  =   m + l,m+2,  ...,m+h;y  =   m+h  + l,m+h+2,  ...,m+lt+g  =   p), przy  czym  równania  (15)  na  mocy  zwią zków 06)  xj =   X] (t, q e ) ROZ WÓJ  MECHANIKI  ANALITYCZNEJ  161 moż na  przedstawić  w postaci (17)  q a  -   q a (t,q e ,  r£ t   (co, e =  1, 2, ..., p,;  X =  1, 2, ...,  ł>  =   ,«- / ?), gdzie r* są pewnymi  param etram i, które  n a mocy  zwią zków  (15)—(17)  okreś lone  są przy pomocy  równ ań  róż niczkowych (18)  h =  r,(t, q„ r it   s a ),  (I =   1, 2,  ..., v; u =  1,2,  ...,v- g), zależ nych  od innych  param etrów s.,. Skorzystajmy  z ogólnego  równ an ia  dynamiki  (3), w których  zgodnie  ze zwią zkami  (7) poł oż ymy  a,-  =  dxj,  oraz  doł ą czymy  doń dowolne  równania (19)  Ap+v,j**i =  dgv,  {v =  1, 2, ..., 3n- p  =   e ) , gdzie  óo1,, są dowolnymi  liczbami, a współ czynniki (20)  Ap+yj  =  A p+V) j(t,  Xjt, x k , Xij n a  mocy  (16)- (20)  m oż na  rozpatrywać  jako  funkcje (21)  A p+vJ   = A p+vJ (t,  q e , r x , s,). Z  (7) i  (19) otrzym am y (22)  dxj =   a Jv dcfv, gdzie  wielkoś ci  a,-„  okreś lane  są z toż samoś ci (23)  A u a jB   -  0, przy  czym  rząd  macierzy  ||a , k ||,  n a mocy  niezależ noś ci  równań  (7) i  (19),  równy  jest 3rt- p. Podstawiając  do ogólnego  równ an ia  mechaniki  (3) za ctj — wyraż enia  (22), uwzglę d- niając  (9) i  (23), otrzym am y  róż niczkowe  równania  ruchu  ukł adu  nieholonomicznego nie  zawierają ce  m noż ników (24)  (jnjXj- Xj- Nj)aJV  =  0. Równania  te n a mocy  zwią zków  (16)—(18)  są zależ noś ciami  funkcyjnymi  wzglę dem zmiennych q e , r x , s a . Jeż eli  okreś lić z nich param etry s u  i znalezione  wyraż enia  podstawić do  równ ań  (18) otrzym am y  ukł ad  / i+v  równ ań  róż niczkowych  (17)—(18) z takąż  liczbą niewiadomych  funkcji (25)  q„ m q a (t),  r x  =   r x (t). W  przypadku,  gdy n a ukł ad  nał oż one  są wył ą cznie  idealne  nieholonomiczne wię zy pierwszego  rodzaju (26)  f f   =  b fi {t,  x k )xj+b fi (t,  x k )  = 0, tj.  q =  0, otrzym ane  dynamiczne  równ an ia  ruchu  Przeborskiego  przechodzą  w równania M aggi. Jeż eli w charakterze param etrów rA weź mie  się uogólnione prę dkoś ci ^ , a w charakterze param etrów s u  — uogólnione  przyspieszenia  q x , t o dla scharakteryzowania  ruchu  ukł adu otrzymamy  v równ ań  róż niczkowych  typu  (24) i  (18)  drugiego  rzę du  wzglę dem  q v  i  p—v 162  A. T .  G RIG ORJAN , B. N .  F R AD LI N równań  typu  (17) pierwszego  rzę du  wzglę dem  q c , razem  ukł ad  [i równań  n a  okreś lenie fi niewiadomych  funkcji: (27)  q m  =  qM). W przypadku v -  \ x spoś ród poszukiwanych [i równań ruchu wszystkie bę dą  równaniam i drugiego  rzę du  wzglę dem  funkcji  (27). Okazuje  się , że równania  Przeborskiego  (24) są   niezmiennicze  wzglę dem  wyboru  do- wolnych  funkcji  (20)  w  zwią zkach  (19). G dy  zależ ność  pomię dzy  skł adowymi  prę dkoś ci  pun któw  ukł adu  Xj i prę dkoś ciami Lagrange'a  q e  jest  liniowa, tj. (28)  Xj =  c j(0 (t,  q^ qa+cjit,  q e ), z  równań  Przeborskiego  (24)  wynikają   równania  Appela  wyraż one  przez  funkcję   przy- spieszeń. Idee  PRZEBORSKIEG O  znalazł y  kontynuację   w  pracach  uczonego  radzieckiego  M . F . SZU LG IN A. SZU LG IN   otrzymał   nader  ogólne  równania  róż niczkowe  dynamiki  nieholonomicznej we współ rzę dnych Lagrange'a, zawierają ce  jedną   funkcję   — energię  kinetyczną   lub  energię przyspieszeń.  Podstawę   wyprowadzenia  tych  równań  stanowi  aksjomat  o  moż liwoś ci uwolnienia  od wię zów  oraz  zasada  najmniejszego  wymuszenia  G aussa.  Korzystają c  ze zwią zków  (7) i (9), zasadę   G aussa  moż na zapisać w postaci (29)  (mjXj- Xj- N j)dxj  m  0. Wariacje  dxj  nie są  tu jedn ak niezależ ne, a do reakcji  wię zów wchodzą   skł adowe N j  zależ ne od wł asnoś ci ruchu mechanicznego i przy znanym charakterze realizacji  wię zów  stanowią ce znane  funkcje  kinematycznych elementów  ruchu, oraz  skł adowe (30)  Ni -  KAr]  =  K^~, które,  na  mocy  (7)  mają   wł asnoś ci  reakcji  i mogą   być  okreś lone  dopiero w  wyniku  ba- dania ruchu. Zatem N j i N 'j moż na nazwać odpowiednio czę ś cią   czynną  i bierną   reakcji  Rj. Przechodzą c do niezależ nych współ rzę dnych Lagrange'a  q,,  (ji =   1, 2,  ...,  k)  wyrazimy zależ ność  (29)  w postaci (31)  L- k/A-* )~}Jft~"ii~Qn]oq l t  =   u , ską d (32)  L ll (T )  =  Q ll +P ll +Q' ll , gdzie (33)  Q^ XJ^ - ,  P^ N j^ - ,  L t {T ) =  ~ ^ - - —, przy  czym, w wyniku  badan ia wł asnoś ci ruchu,  wielkoś ci (34)  P* = P,(t, q x , q x , q x )  ( a , A =   1, 2,  . . „ k) uważa  się  za znane. R O Z WÓ J  MECH AN IKI  AN ALITYCZN EJ  163 N a  podstawie  ró wn ań  wę zł ów  n ieholon om iczn ych, ł atwo jest  stwierdzić,  że (35)  wJ"+ %  =  °' (36) (Q  =   m +  1, m+2,  ...,  m+h;  r  — m +  1,  m+2,  ...,p), gdzie,  dla  wię zów  (14)  i  (15),  m am y  odpowiedn io (37)  l„ =   fa,  f„ =  %, a 

=   1, 2,  ...,r  =  k- h- g;  j=  1, 2,  . . . , 3«) , gdzie  'q v   i  b'q\  są   wzajemnie  niezależ nymi  przyspieszeniami  Lagrange'a  i  ich  wariacjami, a  A jv   i  Aj  są   pewnym i  okreś lon ymi  funkcjami  zmiennych t,  # v i  qv,  przy  czym  z  (41)  wy- n ika,  że (43)  Aj,  -   & . dq Jeś li  wprowadzić  t eraz  do  rozważ ań  energię   przyspieszeń,  t o  zasada  G aussa  (29) n a mocy zwią zków  (42)- (43)  przekształ ci się   d o postaci (44) 164  A.  T .  G RIG ORIAN ,  B.  N .  F RAD LIN ską d  otrzymamy  równania  ruchu  ukł adu  bez  mnoż ników  wię zów 8S (45)  wrĄ + ń» gdzie (46)  E v   =   A jv Xj,  A,  m  A Jv N j. Równania  te pozostają   prawdziwe  i  w  nieholonomicznych współ rzę dnych.  M ogą   one  być przedstawione  w  postaci (47)  - |5-   =  0,  R =   S- Evqv ć q v lub dS, (48)  L V (T O )  + - ^ -  =   E v +Q v . Równania  (47) moż na  uważ ać  za  uogólnioną   zasadę   Appela- M eiera,  a  równ an ia  (48)  — za  uogólnione  równania  Cenowa. Jak wykazał   to  M ASŁOW [6] otrzymane równania  dają   się   uogólnić  także  n a  przypadek ruchu  ukł adów  mechanicznych  o  nieliniowych  wię zach  dowolnego  rzę du. 2.  Rozwój  absolutnej  mechaniki  rconoraicznej  w  pracach  A.  Wundheilera D o  WU N D H EILERA  [2- 4]  należy  priorytet  w  dziedzinie  budowy  absolutnej  geometrii i  mechaniki  reonomicznej.  Mają c  n a  uwadze  potrzeby  mechaniki  klasycznej  zachowuje on uprzywilejowaną   rolę  czasu i rozpatruje  wielowymiarową   geometrię   odkształ conej prze- strzeni Riemanna  (geometrię   reonomiczną ), która  charakteryzuje  się   grupą   transformacji współ rzę dnych (49)  xx  =  xx(x\   t). Badają c  ruch nieholonomicznego reonomicznego ukł adu o energii  kinetycznej (50)  T  -   ±a kll (x\  t)x^ +a,(x\   t)x*+ ± A(x\  t), otrzymujemy  rozmaitość  konfiguracji  i  czasu  F „ + 1  o  metryce (51)  ds2  =   IT dt2  =   a Xli dx x dx"+2a l dx k dt+Adt 2 . Równanie t  =   const okreś la jednoparametrową   rodzinę  uprzywilejowanych  powierzch- ni  V„0)  w  V, +  t . Wedł ug  WU N D H EILERA,  ruch  ukł adu  mechanicznego  m oż na  rozpatrywać  jako  pewną krzywą   w  V n+1   lub  jako  ruch  odwzorowują cego  pun ktu  w  odkształ calnej  przestrzeni F „ ( 0  o  metryce (52)  da2  =   a^ dxkdx^ . WU N D H EILER  uważa  za  niemoż liwe  identyfikowanie  pun któw  w  przestrzeni  V„(t)  po transformacji  współ rzę dnych,  w  zwią zku  z  tym  bada  niezmienność  równ ań  wzglę dem ogólnej  transformacji  o  postaci  (49).  Jednakże  ta  forma  transformacji,  zawierają ca  pa- R O Z WÓ J  MECH AN IKI  AN ALITYCZN EJ  165 rametr / , nie daje  moż liwoś ci  wykorzystania  klasycznego  rachunku tensorowego. Dlatego też  WUNDHEILER  proponuje  odpowiednie  zmodyfikowanie  konwencjonalnego  aparatu rachunku  tensorowego,  wprowadzają c  poję cie  silnych  obiektów  tensorowych. U kł ad  n  wielkoś ci  nazwiemy  silnym  wektorem,  jeż eli  transformują   się   one według zwykł ego  prawa (53)  V  -   ^ F « . Ponieważ (54)  * . _ * : * . +   * * * , wię c  dx®  nie jest  silnym wektorem. Jeś li  /   jest  silnym  skalarem,  to  - ^ ~  jest  silnym  wektorem  kowariantnym;  w tym przypadku 1  ;   dx° Kowariantny  silny  wektor (56)  v x   -   - jjj nazywa  się   podł uż ną   prę dkoś cią   ruchu  ukł adu,  a  kowariantny  silny  tensor (57)  * ,  =   | | — tensorem  podstawowym. Absolutną   róż niczką   silnego  wektora  ir  nazywa  się   wyraż enie (58)  Dvx  m Analogicznie (59)  Dv v   m gdzie (60)  2T„» Pochodne silnych  wektorów  okreś la  się  za pomocą  wzorów N a  przykł ad dla  silnego  skalara  /   otrzymujemy  zamiast  - -̂   wyraż enie 166  A.  T.  G RIG OM AN ,  B.  N .  F RAD LIN Wprowadzimy  także  poję cie  tensora  rozcią gania  przestrzeni  odkształ calnej  V n {t) (62)  F F * , - - J ( M * - VM Ą - VA < V) . Tensor  ten  w  pewnym  stopniu  odzwierciedla  specyfikę   geometrii  reonomicznej.  M oże być  rozpatrywany  jako  miara  rozcią gania  przestrzeni  odkształ calnej  V„(t),  ponieważ znika  on  w  przypadku  ruchu  sztywnego  przestrzeni.  Jednoczesne  znikanie  ten sora  roz- cią gania  i  wielkoś ci  A — a x a x  stanowi  warunek  konieczny  i  dostateczny  skleronomicznoś ci przestrzeni.  Okazuje  się ,  że  znikanie  tensora  rozcią gania  jest  warunkiem  koniecznym i  dostatecznym  przemiennoś ci  przemieszczeń  w  V„(t),  ponieważ =  W l(dx y dt- dx v dt). D o  tej  chwili  rozpatrywaliś my  holonomiczne  param etry  xx  i  odpowiednie  transfor- macje  w  postaci  (49).  Okreś liliś my  geometrię   reonomiczną   jako  teorię   niezmienników grupy  transformacji  współ rzę dnych  (49).  WU N D H EILER  rozpatruje  również  transformacje parametrów  nieholonomicznych (63)  dq*  =   b\ {q\   t)dql  +b*(qv,  t)dt. Teorię   niezmienników  grupy  transformacji  współ rzę dnych  nieholonomicznych  w  postaci (63)  nazywa  on  geometrią   reonieholonomiczną .  Przemieszczeniom,  dla  których  dt  — 0, odpowiadają   równania (64)  dqx  =   b\ dq\ Przemieszczenia  te  tworzą   wirtualną   reonieholonomiczną   podprzestrzeń.  Wektor  ©* należy  do  tej  podprzestrzeni  wirtualnej, jeż eli  daje  się   przedstawić  w  postaci (65)  i/   m  b\ v\ W  zastosowaniach  geometrii  reonieholonomicznej  w  mechanice  znaczną   rolę   odgrywa wektor (66)  S,  =   b\ który  WU N D H EILER  nazywa  absolutną   sił ą   odś rodkową.  We  wskazanym  wyraż eniu  Ba jest  tak  zwaną   odwrotną   prę dkoś cią   ukł adu  reonieholonomicznego (67)  Ba  m  b^ - bfb1, a  B i b t   okreś lone  są   przez  metrykę   odpowiedniej  przestrzeni (68)  da2  m  btj(qr,  t)dqldqJ+2b i (q r ,  t)dq l dt+B(q r ,  t ) . D la  przestrzeni  reonieholonomicznej  tensor  rozcią gania  wyraża  się   wzorem (69)  W ij  = tibfW to- BtHj,, gdzie W Xll  jest tensorem rozcią gania  dla odpowiedniej  nadrzę dnej przestrzeni reonomicznej, a  Hji—jednym  z  dwu  tensorów  krzywizny  wymuszonej (70)  Hj t   =   bfb}V v bi,  HJ  =   bfV t bl. ROZ WÓJ  MECHANIKI  AN ALITYCZN O  167 Wychodzą c  z uogólnionej  zasady  H amiltona- Ostrogradzkiego  w postaci (71)  J  (óT +Q t dx?)dt  -   0, gdzie (72)  o =   o—ot-   — oznacza silną   wariację   przemienną   z  operacją   silnej  róż niczki  d wzdł uż  toru, WU N D H EILER otrzymuje  ogólne  róż niczkowe  równania  ruchu  nieholonomicznego,  reonomicznego ukł adu  mechanicznego  w  quasi- współ rzę dnych  w  postaci (73)  ^ - +W W  = Qi+S u w których  każ dy  czł on  m a  sens  mechaniczny i jest  wielkoś cią   niezmienniczą . N a przykł ad, w przypadku  wirują cej  pł aszczyzny  S t   oznacza  odś rodkową   sił ę  bezwł adnoś ci.  Stą d  nazwa absolutny  wektor  odś rodkowej.  C zł on  W k v k  moż na  interpretować  jako  analog  sił y  bez- wł adnoś ci  Coriolisa. Zauważ ymy  n a  zakoń czenie,  że  wspólnie  z  J.  SYN G E  i  G .  VRANCEANU   zasł ugą   A. WU N D H EILERA  jest  zbadan ie  statecznoś ci  równowagi  ruchu  nieholonomicznego  ukł adu mechanicznego  przy  pom ocy  m etod  rachun ku tensorowego  i  geometrii nieholonomicznej. W  ogólnoś ci  należy  zauważ yć,  że zasadnicze trudn oś ci powstał e n a drodze do zbadania geometrii  wewnę trznej  nieholonomicznej  rozmaitoś ci  udał o  się   przezwycię ż yć  dopiero w koń cu lat  czterdziestych  uczonemu radzieckiemu W.  W.  WAG N EROWI  W  pracy Geometria róż niczkowa  rozmaitoś ci  nieholonomicznych,  która  otrzymał a  pierwszą   nagrodę   n a VIII mię dzynarodowym  kon kursie  im . N . I .  Łobaczewskiego  w  Kazaniu  w  1937 r. Budowa  geometryczno- róż niczkowej  aksjomatyki  dynamiki  klasycznej  ukł adów należy do  ucznia  W. W.  WAG N ERA — A.  W.  G OCH MAN A  (patrz: A.  W.  Oochman,  Geometryczno- róż niczkowe  podstawy  klasycznej  dynamiki  ukł adów,  wyd.  U niwersytetu  Saratowskiego, Saratów  1969). Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  A.  PRZEBORSKI,  Die  allgemeinsten Gleichungen  der  klassischen Dynamik,  M ath.  Zeitschr.,  36  (1932), 184- 194. 2.  A.  WU N D H EILER, Ueber die Variationsgleichungen fiir  affine geoddtische  L inien und nichthobnome,  nicht- konservathe dynamische Systeme,  Prace  M at.- F iz.,  38  (1931),  129- 147. 3.  A.  WU N D H EILER, Absolute Bewegungsgleichungen  der Mechanik, Verhandl.  des intern.  M ath.  Kongress, Zurich  1932, s.  264- 265. 4.  A.  WU N D H EILER,  Rheonome Geometrie,  Absolute Mechanik, Prace  M at.- F iz.,  40  (1933), 97- 142. 5.  A. PRZEBORSKI, Sur les forces dependant des  accelerations,  Compt.  rend.  d'Acad. Sci.  de Paris, 197  (1933). 6.  A.  PRZEBORSKI,  W ykł ady  mechaniki teoretycznej,  1.1, I I , Warszawa  1930- 1935. 168  A.  T .  G R I G O R I AN ,  B.  N .  F R AD L I N P  e  3  IO  M  e P A 3 B H T H E  AH AJ I H T H M E C K O K  M E X A H H K H   B  T P Yfl AX  A.  n ffl E B O P C K O r O H   A.  B YH fl XE H J I E P A B  cTaTte  ocBeruaeTCH   BWflaiomHHCH   BKJiafl  # Byx  BH AH LI X  IIOJIBCKH X  yueH Wx  A.  n n ie S o p c K o r o H   A.  ByH flxe&iepa  B  pa3BHTHe  aHanHTiwecKOH   iwexaiiHKH. A .  I Tin eSopC KH ft  HBJIHeTCJI  OflHHM   H 3 OCHOBOIIOJIOH- CHHKOB  H ejIH H eH H OH   HerOJIOHOMHOH   M exaH H KH . O H   p acn p o cT p ai- iH Ji  n a  AHHaMHKy  M exa m wec K H X  c u c r e M   c  H ejiH H eH H biM H   H eroJiOH OM H tiM H   C B H 3 H M H n e p B o r o  n opH flK a  n pH H U H n  , H eJiaM 6epa~ JI arpaH > K a  H  ycraH O BH Ji  fljm  CHCTeiw  yK a 3 a i m o r o  T n n a  o 6 o 6 m e H - ribie  flH H aM H iieciaie  ypaBH eH H fr.  flajiBH efiniee  pa3BH TH e  H flea  A .  I T i u e 6 o p c K o r o  noJtyM H JiH   B BaH H irx  c o se T C K o r o  y n e n o r o  M .  0 .  I H yji t r H H a ,  K O T O P B I H   ycTaH OBH Ji  Bect iwa  o Sm ju e ypaBH eH H H   H ero^OH OM H oii  HHHaMHKH  B  ji a r p a m i t e B b i x  K o o p flH iia T a x,  coflep> K an ( H e  o fliiy  ,  H J I H   3 i i e p r H i o  yc K o p e n H i i . A .  Byiiflxeft jiep  —  oflH H   H 3  ocH O BaT ejien  n o c T p o eH H H   an aJiH TH qecKOH   M exaH H KH   roJiOH OM H bix  H   n e - ron oH OM H H X  CHCTeM   H a  ocH OBe  MeiOflOB  coBpeivseH H OH   RH($>(bepeHU,HajibHOH   reo M eT p H H   H   T e H 3 o p n o r o H cvH C Jien H Ji.  E M y npH H afljie>i