Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13  (1975) WYZN ACZAN IE  KIN EMATYKI  P ROCESÓW  D EF ORM ACJI METODĄ STEREOF OTOG RAF ICZ N O- RZ U TOWĄ *) TADEUSZ  B E D N A R S K I  (WARSZAWA) 1.  Wstę p P om iary  wielkoś ci  kinem atycznych  procesów  mechanicznych,,  szczególnie  procesów deformacji,  zachodzą cych  w  przestrzen i  trój-   lub  czterowymiarowej  (czasoprzestrzeni) sprawiają   n a  ogół   wiele  trudn oś ci.  Jedną   z  m etod  pom iaru  tych  wielkoś ci  jest  metoda fotografii  lub  filmu  stereoskopowego,  która  pozwala  n a  wyznaczenie  elementów  kinema- Rys.  1 tyki  procesu  lub  jego  chwilowego  stan u  kinematycznego  n a  podstawie  dowolnej  pary zdję ć  obszaru  przestrzen n ego,  w  którym  ten pi'oces zachodzi  lub  znajduje  się   obserwowany model,  a  wykon an ych  z  dwu  róż n ych  pun któw  sm,  dla  m  =  1, 2  tej  przestrzeni  (rys.  1). j *  P rzez  dowolną   parę   zdję ć  rozum iem y  parę   zdję ć  o  nieznanych  elementach  orientacji, a  wykonanych  w  tym  sam ym  m om en cie.  W  pracach  [1, 2, 3]  opisana  został a  klasyczna m etoda  opracowywan ia  pary  zdję ć  przy  znanych  elementach  orientacji,  a  stosowana w  fotogram etrii,  z  tym ,  że  dostosowan a  został a do opracowywania  filmowych  zdję ć  stereo- skopowych  n a  przykł adzie  deformacji  powł oki.  Znajomość  elementów  orientacji  zdję ć *)  Praca został a nagrodzona  n a Ogólnopolskim  Konkursie  n a prace  doś wiadczalne  z mechaniki tech- n iczn ej— zorganizowanym  przez  Oddział  PTM TS w Czę stochowie,  w  1974  r. 9  Mechanika  Teoretyczna 434 T.  BEDNARSKI a  priori  wymaga  dodatkowych  pom iarów  pozwalają cych  n a  ich  wyznaczenie,  które  są dosyć  kł opotliwe  [2,  6]. W  przedstawionej  pracy  zaprezentowana  został a  m etoda  nie  wymagają ca  znajomoś ci elementów  orientacji  a priori  dla  opracowania  zdję ć  stereoskopowych.  Elem enty  te są obliczane  w  trakcie  opracowywania  wyników  pom iarowych.  Wykorzystuje  się   do  tego pun kty  wzorcowe.  N atom iast  m etoda  ta, jak wykazuje  praktyka  obliczeń  numerycznych, jest  bardzo  czuł a  na dokł adność pom iaru  m ateriał u  filmowego.  D okł adn ość  t a  zależy  w duż ym  stopniu  od rozmieszczenia  pun któw  kon troln ych  i  sposobu  pom iaru  filmu. 2.  Sformuł owanie  problemu Stereofotograficzno- rzutowa  m etoda  pom iaru  elementów  kinem atyki  bez  znajomoś ci elementów  orientacji  polega  n a wyznaczaniu  chwilowego  poł oż enia pun któw  materialnych na  podstawie  pary  jednocześ nie  wykonanych  zdję ć.  Każ de  zdję cie  stanowi  rzut  ś rodkowy trójwymiarowej  przestrzeni  materialnej  n a pł aszczyznę   zdję cia  (rys. 1). N a podstawie dwu takich  rzutów,  dokon an ych  z  dwu  róż nych  pun któw  nazywanych  ś rodkami  rzutów  sm dla m  =   1, 2 odtwarzamy  przestrzeń  trójwymiarową .  N iezn an e są  n am poł oż en ia zarówno ś rodków  rzutów  s"\   ja k  i  pł aszczyzn  zdję ć  wyznaczonych  ukł adam i  współ rzę dnych  xf dla  i,m  —  1,2.  Są   to  tzw.  elementy  orientacji. Jedna  para  zdję ć  okreś la  chwilowy  stan  kinematyczny  badan ego  procesu,  wiele zaś takich par wykonanych  w jednakowych  odstę pach czasowych  okreś la  kin em atykę  procesu. 3.  Punkty  wzorcowe  i  pł aszczyzna  wzorcowa M aterializacji  przyję tego  ukł adu odniesienia cf dla /  =   1, 2, 3 dokonujemy  przy  pomocy pun któw  wzorcowych  (rys.  2)  (c/ () dla j  =   1,2,  . . . , / ,  które  w  zasadzie  rozmieszczamy dowolnie  w  otoczeniu  badanego  procesu.  Z e  wzglę du  n a  odtwarzan ie  trójwymiarowej Rys.  2 przestrzeni  m in im aln a  ilość  tych  pun któw  wynosi  /   =   6  i  nie mogą   one leż eć  w  jednej pł aszczyź nie. Z e wzglę dów dokł adnoś ciowych  korzystniej  jest,  aby J  >  6. M et o d a  rzutowa wymaga,  aby  wię kszość  pun któw  wzorcowych  był a  zgrupowan a  n a jedn ej  pł aszczyź nie, którą   nazywać  bę dziemy  pł aszczyzną   wzorcową ,  pun kty  zaś ją   wyznaczają ce  oznaczymy znaczkiem  w, czyli  (c W ti )  dla i  =  1, 2, ..., W , przy  czym  W  >  4. Wybór  pł aszczyzny  wzór- WYZ N AC Z AN I E  KI N E M ATYKI  P R OC E SÓW  D EF ORM AC JI 435 cowej  w  zm aterializowan ym  ukł adzie  odniesienia  c t   może  być  w  zasadzie  dowolny,  byleby nie zawierał y  osi  optycznych  ukł adu  stereoskopowego  i  ś rodków  rzutów.  D la  uproszczenia rachun ków  przyjmujemy  za  pł aszczyznę   wzorcową   pł aszczyznę   prostopadł ą   do  jedn ej z  osi,  n p .  c w > 3  =   a  =   con st.  N ie  ogranicza  to  ogólnoś ci  rozważ ań,  ponieważ  poprzez Rys.  3 transformację   u kł ad u  odniesienia  postawion y  warunek  moż emy  speł nić. W  celu  uniknię cia n ieporozum ień wprowadzim y  nowy  ukł ad odniesienia z t   dla i  =  1, 2, 3 zwią zany  bezpoś red- nio  z  pł aszczyzną   wzorcową   (rys.  3)  powstał y  przez  translację (1)  Ą -   ci- q h   dla  i  =   1 , 2 , 3 , gdzie  wektor  tran slacji  qi  =   [0, 0,  a]. Rys.  4 9* 436  T.  BEDN ARSKI 4.  U kł ady  odniesienia P roces  badan y  rozpatrywać  bę dziemy  w  kartezjań skim  ukł adzie  odniesienia  c;  dla i  =   1, 2, 3,  bezpoś rednio  zwią zanym  z  otoczeniem  badan ego  procesu  poprzez  punkty wzorcowe  (rys.  1  i  3).  N atom iast  wyniki  pom iarów  otrzymujemy  w  dwóch  ukł adach współ rzę dnych  in strum en tu xf  dla  m  =   1,2,  i  =  1, 2,  3, bezpoś redn io  zwią zanych  z pł asz- czyznami  p ar  zdjęć  warunkiem  x™  =   0.  D odatkowo  wprowadziliś my  już  pomocniczy ukł ad  współ rzę dnych  przestrzennych  z t   zwią zany  ukł adem cf  poprzez  translację  (1).  N ato- miast  współ rzę dne  xf  i  zf  są  ze  sobą  zwią zane  poprzez  rzuty  ś rodkowe  (rys.  4). 5.  Przekształ cenia  rzutowe  pł aszczyzn  zdjęć  na  pł aszczyznę  wzorcową Wprowadzimy  n a  pł aszczyznach  obu  zdjęć  i  n a  pł aszczyź nie  wzorcowej  współ rzę dne jedn orodn e  {x"'}  i  {if}  dla  m  =   1,2,  i  i  — 0,  1, 2,  pun któw  o  współ rzę dnych  kartezjan- skich  (xf)  i  (z;)  dla  i, m  =   1, 2,  [5,  7].  Wtedy  wzajemnie  jedn ozn aczn e  przekształ cenie jednej  pł aszczyzny  n a  drugą  zapisać  m oż na  w  postaci 2 (2)  z t   -   £  a?}xj,  dla  m -   1,2,  ł  -   0 , 1 , 2, j  =   0 gdzie  wyznacznik  współ czynników  macierzy  przekształ cenia  (afl)  #   0.  D la  pun któw wł aś ciwych  rozpatrywanych  pł aszczyzn  c 0  ?=  0  i  xg"  #  0  dla  TM =  1,  2,  a  pon ieważ  współ - rzę dne  kartezjań skie  okreś lone  są   wzoram i (3)  * T - lh  Ą   =   T "  d l a ' . w - 1 , 2, • "o  z o moż emy  przekształ cenie  (2)  zapisać  dla  współ rzę dnych  kartezjanskich  w  postaci (4)  Ą   .  ; ^  ,  dla  m  =   i ,   2 )  2 -   1, 2. /- o M ają c  n a  uwadze,  iż  x'o  =   1,  moż emy  dzielą c  licznik  i  m ian own ik  przez  ~a Q0   ^  0  zapisać przekształ cenie  (4)  w  postaci 2 (5)  z t =  !$  ,  dla  i,m=  1,2, i+  Z   b j  xj gdzie of,  6™, /4"j są   macierzami przekształ cenia współ rzę dnych  xf  pun któw  (xf)  pł aszczyzn par  zdję ć  dla  m  =   1,2  n a współ rzę dne zi pun któw  (?;) pł aszczyzny  wzorcowej. 5.1.  Macierze przekształcenia.  D la  okreś lenia  przekształ cenia rzutowego  (5) wym agan a  jest znajomość  macierzy  tego  przekształ cenia  af,bf,  Afj  dla  i,j,m  = 1 , 2 .  M acierze  te  mo- ż emy  wyznaczyć ze  znajomoś ci  współ rzę dnych  kartezjanskich  c,   f =   zn  dla  i  =   1, 2  i  j  = =   1, 2, . . . ,  /   pun któw  wzorcowych,  oraz  współ rzę dnych  in strum en tu  x)"  obrazów  tych pun któw  n a  obu  zdję ciach,  czyli  dla  m  =  1, 2. WYZ N AC Z AN I E  KI N E M ATYKI  P R OC E SÓW  D EF ORM ACJI 437 P un kty  wzorcowe  (c«)  leż ą ce  n a  pł aszczyź nie  wzorcowej  (a ś ciś lej —ją  wyznaczają ce) oznaczać  bę dziemy  dodat kowo  literą  w,  czyli  (cw W ii )  dla w — 1, 2,  . . . ,  W , dla  odróż n ien ia od  pozostał ych  p u n kt ó w  wzorcowych,  które  n adal  oznaczać  bę dziemy  przez  (c/ 0-   Wtedy przekształ cenie  rzutowe  (5) dla pun któw  wzorcowych  zapiszemy  w  postaci: 2 ( 6)  z i vW l J  =  .  Y 1—  ,  d la  i,m- 1,2,  w =  1 , 2 , . . . ,  W . i+ Zj XWYI,i W przekształ ceniu  tym  zw wt   i xw™ t  są zn an e,  więc  przy  dostatecznej  iloś ci  pun któw  wzor- cowych  W  ^  4  m acierze  przekształ cenia  of,  bf  i  ™̂  moż emy  wyznaczyć. P rzekształ cenie  (6) zapisujemy  w  postaci:  t 2  2 (7)  flf  +  J £   ^ ,  aw5, i~zw w j][  bf xwZ,  i =  ZHV, f , dla i, m =   1, 2, w =   1, 2,  . . . ,  W ,  które przedstawia  ukł ad AW równań  z 16  niewiadomymi wyrazami  macierzy  przekształ cen ia  (6). U kł ad  ten jest  rozł ą czny ze wzglę du  na wskaź nik  m i  moż emy  go rozbić  n a  dwa  ukł ady dla m —  1, 2, p o  2P orówn ań z oś mioma  niewiadomymi każ dy.  P o uporzą dkowan iu  ukł ady  równ ań  (7)  m oż emy  zapisać  w  postaci (8) d l a =   1,2,  n=l,2,...,2W . P= i N ależy  zwrócić  uwagę,  że w  ogólnym  przypadku  moż emy  macierze  przekształ cenia okreś lać  n a podstawie  jedn ej  grupy  pun któw  kon troln ych  dla zdję cia  lewego  (m =  1), a  n a podstawie  drugiej  grupy  pun któw  dla  zdję cia  prawego  (m  =  2). M oż emy  wykorzystać n iektóre  pun kty  wspólne,  lu b  też  wyznaczyć  t e  macierze  n a  podstawie  wspólnych  dla  obu zdjęć  pun któw  kon troln ych .  Wtedy  ukł ad  (8)  moż emy  zapisać  w postaci (9)  2J  Kptf  =  en,  dla  m =  1,2,  n -   1, 2, ;.., Wektor  wyrazów  wolnych  e„  ma postać: (10)  e„ . *>„,!,  dla H  =  1, 2, ...,  fF , W n~w,2,  dla « =   W +1,...,2W . N atom iast  macierze  współ czynników  przy  niewiadomych  mają  postać: ( U ) 1, o, 0, 1, d la  p  — 1, dla  p  =   2 , 5 , 6 . d la . p  =   3 , 4 , dla  i? =   7 , 8 , dla p  =   1, 3 , 4 , dla  p  =   2, dla  j?  =  5, 6, d l a ^  7 , 8 , d la  n =   1 , 2 , . . . ,  W , dla  « =   W +1,...,2W . 438  T.  BEDNARSKI  ;, P o  rozwią zaniu  ukł adów  równ ań  (9)  otrzymujemy  macierz  u™, dla  m  =   1, 2,  p  = =   1 , 2 , 3 ,  . . . , 8 ,  która  okreś la  macierze  przekształ cenia  rzutowego  (7)  n astę pują co: (12)  <  =   «"',  d l a . / , m = l , 2 , (13)  &r  =   «i+ 6.  dla  7,  w - 1 , 2, f«f+ i+ i.  dla  z =   1,1 (14)  ^  =  L> »  d l a / -   2  / ' m  =   1 ' 2 - W  przypadku  W   >  A  sprowadzamy,  korzystając  z  metody  najmniejszych  kwadratów, ukł ady  (9)  do  postaci 8 ,(15)  2<%rf- fi*  d l a p - 1 , 2,  . . . , 8 ,  w - 1 , 2, ;= i gdzie: (16)  G%i =  ]£E^ EZu  d la m  =   l , 2 ,  p,  I -   1, 2,  . . . .  8, (17)  «? =  J £ A A , ,  dla m =  1,2,  />  =   1, 2, ..., 8, n = l macierze  przekształ cenia  (6)  zaś  okreś lane  są  zależ noś ciami  (12),  (13),  (14). 5.2.  Para zdjęć  poś redniach.  Wyznaczone  macierze  (12),  (13)  i  (14)  okreś lają  przekształ - cenia  rzutowe  (5)  pł aszczyzn  zdjęć  rzeczywistych  dla  m  =   1, 2,  n a  pł aszczyznę  wzorcową (c 3  =   a  lub  z 3  =   0)  wyznaczoną  przez  podgrupę  pun któw  wzorcowych  (CJJ) =   (cwW ii) dla  w  =   1, 2,  3,  . . . ,  W , które  speł niają  warun ki  rzutu  ś rodkowego.  W  wyniku  przekształ - cenia  zdjęć  rzeczywistych  n a  pł aszczyznę  wzorcową  otrzym am y  z  obu  przekształ ceń iden- tyczne  współ rzę dne  z- ,  Ala,  i  =  1, 2,  tylko  dla  pun któw  przestrzeni  c; lub  z;  należ ą cych  do pł aszczyzny  wzorcowej.  N atom iast  dla  pu n kt ów  nie  należ ą cych  do  pł aszczyzny  wzorcowej otrzymamy  po  dwa  obrazy  n a  pł aszczyź nie  wzorcowej  (rys.  4).  Te  dwie  grupy  obrazów pun któw  badan ego  obszaru  n a  pł aszczyź nie  wzorcowej  tworzą  nową  parę  zdjęć  leż ą cą w pł aszczyź nie wzorcowej,  którą  nazywać  bę dziemy  parą  zdjęć  poś redn ich. D la  otrzym ania tych  par  oddzielnie  przekształ cenie  (5)  zapiszemy  w  postaci: a?+2  ^ j^ f ( 18)  zf  J-  ̂ ,  dla  i, m =  .1, 2. 1 +   t  bfxj . 7 = 1 6.  Elementy  orientacji  zdjęć  poś rednich W  postawionym  problem ie  elementami  orientacji  zarówn o  wewnę trznej  ja k  i  zew- nę trznej  są  współ rzę dne  ś rodków  rzutów  s'"  dla  m  =   1, 2,  które  w  ukł adzie  odniesienia  z( dla  i  =  1, 2, 3,  oznaczać bę dziemy  przez  zf.  D o wyznaczenia  tych  elementów  wykorzysta- my  pun kty  wzorcowe  leż ą ce  poza  pł aszczyzną  wzorcową  dla  j  =   1, 2,  . . . , / . WYZ N AC Z AN I E  KI N E M ATYKI  P R OC E SÓW  D EF ORM ACJI 439 2 2 Rys.  5 Z  kolinearnoś ci  wektorów  zf- z t̂l \   z ui - zj ti   dla m  =  1,2,  i  =   1, 2, 3, ..., /   (rys. 5), mamy: gdzie  kj  macierz  wielkoś ci  skalarnych.  Z definicji  przyję tego  ukł adu  odniesienia z t   mamy warunek  z™ 3  =  0,  więc  dla  i  =   3  mamy (20)  Zs = • £/ *>, 3 , a  ponieważ  z  zał oż enia  zj, 3   ?=  0,  wię c (21)  ki  =  —  . Podstawiają c  (12)  do  (13)  po  przekształ ceniu  otrzymamy: (22)  Zj,sZ?- (zjt- zT ,i)fl  -   x>.a«Xtf  dla  i =   1, 2. Są   to dwa ukł ady  równ ań ,  dla m  =* 1, 2,  z  trzema  niewiadomymi,  przy  czym  z jednego punktu  wzorcowego  leż ą cego  poza  pł aszczyzną   wzorcową   otrzymujemy  tylko  po dwa równania. Z atem dla wyznaczenia  elementów  orientacji musimy mieć co najmniej  2 punkty wzorcowe  poza pł aszczyzną  wzorcową . D la zwię kszenia  dokł adnoś ci obliczeń  powię kszamy liczbę   tych  pun któw  wzorcowych,  a  otrzymane  ukł ady  zawierają ce  wię cej  równań  niż niewiadomych  rozwią zujemy  metodą   najmniejszych  kwadratów. 440 T.  BEDNARSKI U kł ady  równ ań  (22)  zapiszemy  w  postaci: 3 (23)  £F?,ł tf  =/ ]"  dla  m  -   1, 2,  7 = 1 , 2 ,  . . . ,  2J, gdzie  macierz  wyrazów  wolnych: [zjzzji  dla  j  =1,2,...,  J, (24)  / T - L  '- »,  d l a / I > + l  2/   dla  m  =   1,2, N atom iast  macierz  współ czynników  przy  n iewiadom ych: (2 5 ) 0 0 S j- J,  3 dla  z =   1, dla  i  =   2, dla  z =   3, dla  i  =   1, dla  z =   2, dla  z = 3 , dla  j  =   1,  2 , . . . , / , m  =   1, 1, Aby  rozwią zać  ukł ady  (23)  metodą  najmniejszych  kwadratów  sprowadzamy  je  do  postaci 3 (26) ]?Hftzf  = hf,  dla  m  -   1, 2,  f — 1, 2, 2, / = i gdzie (27) oraz (28) W =   ^ y y ^ i  dla  m =   1,2,  / -   1, 2, 3, dla  m  -   1, 2,  i,  /  =   1, 2,  3. W  wyniku  rozwią zania  ukł adu  (26)  otrzymujemy  współ rzę dne  zf  ś rodków  rzutów  s" dla  m =   1, 2,  i  / =   1, 2, 3. 7.  Współ rzę dne przestrzenne  obserwowanych  punktów Poł oż enie  obserwowanych  pun któw  r  =   \ ,2,...,R  okreś lone  jest  w  kartezjań skim ukł adzie  odniesienia  z t   przez  współ rzę dne  tych  pun któw  (z ri )  dla  i  =   1, 2,  3,  rys.  6.  Przy znajomoś ci  elementów  orientacji  w  postaci  współ rzę dnych  rzutów  pun ktu  (zr>j)  n a pł asz- czyznę  kon troln ą  (^ ",d  wyznaczymy  współ rzę dne  z tii   pu n kt u  (rr.O-   P onieważ  wektory [zT- z1,";]  i  [Zr.t- aJJł] dla  m  =   1,2,  i  =   1, 2,  3, r  =   1, 2,  . . . , R,  są  wektoram i  współ linio- wymi  (rys.  6),  więc  z  warunku  współ liniowoś ci  otrzymujemy  ukł ad  równań : (29) V  —  7- '"  "> —  / <- '" * =  1, 2, a  po  zgrupowaniu  wyrazów  otrzymamy (33)  zfz T ił +(^ l t- zf)'z r ,3  =  z?,;*?,  dla  m, i = 1 , 2 . Jest to ukł ad 4 równ ań z 3 niewiadomymi z,,< dla ?  =   1, 2, 3. U kł ad ten zapiszemy w postaci 3 (34)  y]  Qr,- k,izr,i  =   3  zawiera  wię cej  równań  niż  niewiadomych,  więc przy  roz- wią zywaniu  skorzystamy  z  metody  najmniejszych  kwadratów  rozwią zując  ukł ad równań: 9 (46)  ySj,kjk  = gd zie (47) (48) 3 / j,  k  ~ 7 = 7 =   1 , 2 ,  . . . , 9 , 7  =   1  ;  2 ,  ...  ,  9  . P o  r o zwią za n iu  u k ł a du  (46)  o t r zym u je m y  we kt o r  y k   d la k  ~  1,2,  . . . , 9 ,  a st ą d  m acierz p r zekszt a ł c en ia  (42) ,  d la  /  =   1, (49) Zu  -  \ yJ+3, dla  /  =   2,  j  =   1, 2, 3, dla  i  =   3. 444 T.  BED N ARSKI N astę pnie  dokonujemy  przekształ cenia współ rzę dnych  Ą, ;  n a  współ rzę dne  c(_ £ dla  wszyst- kich  obserwowanych  pun któw  i  dokonujemy  sprawdzenia  dokł adnoś ci  m etody  w  sposób omówiony  w  rozdziale  8. 10.  Przykł ad  zastosowania  metody Z astosowanie  i  moż liwoś ci  zaprezentowanej  m etody  stereofotograficzno- rzutowej pokazane  zostaną  n a  przykł adzie  pom iarów  kin em atyki  statycznie  wypuklanej  membrany koł owej  obcią ż onej  równomiernie  ciś nieniem  zgodnie  ze  schematem  n a  rys.  7. Rys.  7 Rys.  8 Schemat  procesu  pokazan y jest  n a  rys.  8.  M em bran a  /   w  postaci krą ż ka  blachy  alumi- niowej  (gat.  99,5%  w  stanie  mię kkim)  o  gruboś ci  1  mm  jest  utwierdzon a  n a  obwodzie za  pomocą  pierś cienia  3,  przykrę canego  ś rubami  do  kom ory  ciś nieniowej  2,  do  której wtł acza  się  olej  z  pom py  4,  powodują cy  plastyczne  wypuklanie  powł oki.  N a  pierś cieniu naniesione  są  znaczki  wzorcowe.  P róbka  oś wietlona  reflektoram i  8  był a  fotografowana za  pom ocą  dwu  aparatów  fotograficznych  «P en tacon  six  TL»  7.  Z dię cia  był y  robion e w odstę pach ciś nienia  1 kG / cm 2, a do dalszej  analizy wykorzystan o  zdję cia  wykon an e  w od- stę pach  3  kG / cm 2.  i WYZ N AC Z AN I E  KIN EM ATYKI  P ROCESÓW  D EF ORM ACJI 445 Ogólny  widok  próbki  i  p o  zakoń czeniu  procesu  pokazany  jest  na  rys.  9,  pary  zaś  zdję ć wykonane  w  trakcie  procesu  i  dalej  opracowywane  widoczne  są   n a  rys.  10. P om iarów  otrzym an ych  negatywów  dokon an o  n a  uniwersalnym  mikroskopie  warszta- towym  z  dokł adnoś cią   odczytu  0,0002 mm , a  uzyskane  wyniki  opracowano  metodą   stereo- fo togram etry cz n o- rzuto wą . Rys.  9 11.  Kinematyka  procesu  deformacji  powł oki 11.1.  Kształ t  powł oki.  W  wyn i k u  o blic zeń  o t r zym u je m y  wsp ó ł r zę d ne  p r zest r zen n e  p u n k- t ó w  m a t e r ia ln yc h  p o wł o k i  c„ ir j  d la  z =   1 , 2 , 3 ,  r  =   0,  1,  ..., R,  n  =   0 , 1 , 2 ,  ...,N , gdzie  R  je st  liczbą   p u n k t ó w  n a  p r o m i e n i u .  Z e  wzglę du  n a  osiową   sym et rię   p o r c esu  p rze- c h o d zim y  d o  wsp ó ł r z ę d n ych  wa lc o wyc h  o bliczają c  m ac ierze  wsp ó ł rzę d n ych (50) •*  I M 1  —  Cn,r,  3  • Otrzymane  wyniki  aproksym ujem y;  wielom ianam i  postaci: (51)  r n fc=l (52) d l a y =   1, 2,  . . . , /   =   l gdzie  p,  q  są   liczbam i  n aturaln ym i,  zaś  K,  J  rzę dami  wielomianów  odpowiednich  wielo- mianów,  zaś  Q jest  współ rzę dną   m aterialn ą   (rys.  7).  M acierze  współ czynników  A lhk   i  B, uJ wyznaczamy  m etodą   najmniejszych  kwadratów  wykorzystują c  dane  macierze  R„, r   i  F „ , r . Wartoś ci  stopn i  wielom ianów  ustalon e  został y  n a  J  =   8  i  K  — 9.  Podwyż szanie  stopni wielomianów  (51)  i  (52)  powodował o  nieznaczne  obniż enie  wartoś ci  odchyleń  ś rednio- kwadratowych,  zaś  czas  obliczeń  wydł uż ał   się   dość  znacznie.  Wyniki  obliczeń  zestawiono w  postaci  tablic,  które  zilustrowan o  graficznie.  P rzebieg  zmiany  kształ tu  powł oki  y(r,p) a) p- 0,0 ot h) p = 3 c) P-6,0 at p- 9,0at i  % [  p 1 ~e) p-12,0 at % Rys.  10 [446] [4471 448 T .  BE D N AR SK I przedstawiono  n a  rys.  11, zmianę  zaś  współ rzę dnych  przestrzennej  y  w  funkcji  współ rzę d- nej  materialnej  y(Q,p)  przedstawiono  n a  rys.  12.  P rzebieg  drugiej  współ rzę dnej  przedsta- wiono  w  postaci  jej  przyrostu  T {Q,P)  — Q n a  rys.  13. 0 , 0 11,2.  Stan  odkształceń deformowanej  powłoki.  Obliczają c  poch odn e funkcji  aproksyrmyą cj, (51)  i  (52)  moż emy  obliczyć  rozcią gnię cia  w  kierun kach  gł ówn ych: (53) n,i,   2   = K,i.\ ,  dla  i  =  O, dla  i  =   O, Qi hi,  i,  3  —  ( ^n,  i,   1  "  ABt  i,   2 )  j gdzie  przez  i  oznaczyliś my  pun kty (54)   Qi   =  i- Aq. Wtedy  skł adowe  odkształ ceń  w  kierun kach  gł ównych  w  mierze  logarytmicznej  obliczamy z  zależ noś ci (55) e B l ( l J  -   l n f o , , , , ) ,  d l a . / = 1 , 2 , 3 . 10  Mechanika  Teoretyczna (449] [450] WYZ N AC Z AN I E  KI N E M ATYKI P R OC E SÓW  D EF ORM AC JI 451 Otrzym ane  wyniki  w  postaci tablicy  zilustrowane  są  graficznie  n a rys.  14, rys.  15 i rys.  16. N atom iast  odkształ cenie  zastę pcze  obliczamy  z  zależ noś ci (56) En  i  = Wyniki  obliczeń  otrzym an e  w  postaci  tablicy  zilustrowane  są  graficznie  n a  rys.  17. M ając  macierze  r„j  oraz  y n j  i  ich  pochodn ych r' n>l  i  y' Bit   moż emy  obliczyć  przyrosty z  definicji ( 57)  dr,,j  =  ?' », j—' ' n - i, i,  dr„ t i  =   r „ , i —r„~ i , i ,  dy„ t i  =   j7 , ' , , i—>*'i _ i, i» dla  n  =   1, 2,  ...,JV,  gdzie  przez  i  oznaczono  punkty  okreś lone  przez  zależ ność  (54). Ma- cierz  przyrostów  intensywnoś ci  odkształ ceń  obliczamy  z  zależ noś ci: r> ,,i dla  I =   0, i i i i i i i  1 1 / 2 rn,idr„ t i+y„jdy„ ti   dr nJ rm  i  2 ( 58)  « a i , - ^ dla  i  >  0. M acierz  intensywnoś ci  odkształ cenia  obliczamy  sumując  kolejno  przyrosty  (58)  dla ustalonego  pun ktu  i (59)  £„,*  =   2jden,u  dla  n  =   1, 2,  ...,iV. Otrzym ane  wyniki  w  postaci  tablicy  zilustrowane  są  graficznie  n a  rys.  18. 10* 452 T.  BEDN ARSKI 12.  D ynamika  deformowanej  powł oki W  postawionym  zagadnieniu  obcią ż enie  jest  równ om iern ie  rozł oż one n a  powierzchni wewnę trznej  membrany  i jest  dane  w  postaci  macierzy  p„  dla  n  =  1, 2,  ...,N .  R ozkł ad naprę ż eń  wyznaczymy  z  równań równ owagi.  Pierwsze  z  równ ań jest równ an iem  róż niczko- wym,  którego  rozwią zanie  numeryczne  jest  moż liwe  przy  znajomoś ci  peł nej  kinematyki deformowanej  powł oki.  M a  ono  p o st ać: ( 6°) dla  i  >  0,  M   =   1, 2,  , , .}iV. W  wyniku  fozią zania  otrzymujemy  macierz  n aprę ż eń  poł udn ikowych  ffllBlj  w  postaci tablicy,  której  interpretacja  graficzna  przedstawion a  jest  n a  rys.  19. 0 , 0 M ają c macierz naprę ż eń poł udnikowych a x ,  „ , ; m oż emy z  drugiego  równ an ia  równowagi wyznaczyć  naprę ż enie  równoleż nikowe.  R ówn an ie  t o  m a  p o st ać : iKenHft n o3Bon aeT  onpefleJiHTB  ^HSH^iecKHe  cooTHOineHHH  o(q>) npw flByxocH OM  HanpH>KeimoM  cocTOflimn. P e - 3yjiBTaTbi 456  T.  BEDN ARSKI S u m m a r y D ETERM IN ATION   OF  T H E  KIN EM ATIC S  OF   D E F OR M ATI ON  PROCESSES  BY STEREOPH OTOG RAM M ETRIC  PROJECTIVE  M ETH OD The  streophotogrammetric  method  of  measuring  the  displacements  based  on  the  projective  trans- formations  has  been  presented  in  this  paper.  These  transformations  are  used  for  the  photogrammetric elaboration  of  the  stereoscopic  photographs  of  the processes.  I t  makes  possible  to  measure  the  displace- ments  by  stereoscopic  photographing  or  filming  the processes  without  the  knowledge  of  orientation  ele- ments of the stereophoto- frames.  This method has been presented in algorithmic form  suitable  for computer programming.  The  example  of  application  of  this  method for  calculation  th e  kinematic  elements  during the  plastic  deformation  process  in  a  circular  membrane  has  been  presented.  Additional  knowledge  of pressure  corresponding  to  the actual  kinematic  state  has  allowed  for She determination  of  the  stress  field. The  knowledge  of  the  stress  and  strain  fields  enables  the  determination  of  constitutive  equations  cr(