Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13  (1975) I Z OTR OP I A  JAKO  PRZYPAD EK  G RAN ICZN Y  WIELOSKŁAD N IKOWEG O  OŚ RODKA ORTOTROP OWEG O ALI C JA  G O L Ę B I E W S K A - L A S O T A,  AN D R Z E J  P .  W I L C Z Y Ń S KI (WARSZ AWA) 1.  Wstę p Oś rodki  rzeczywiste,  w  wię kszoś ci  przypadków  dobrze  opisywane  przez  przyję cie  zał o- ż enia  con tin uum  m aterialn ego,  w  rzeczywistoś ci  stanowią   zazwyczaj  zbiór  spójnych  ele- mentów  przestrzennych,  z  których  każ dy  daje  się   opisywać  przy  pomocy  anizotropowych zwią zków  kon stytutywn ych.  Takim i  przypadkam i  są   w  szczególnoś ci  materiał y  polikrysta- liczne  czy  n awet  m on okryształ y  rzeczywiste.  Szczególnym  zainteresowaniem  cieszą   się jedn ak  obecnie  kom pozycje  m ateriał owe,  a  wś ród  nich  coraz  to  wię ksze  zastosowanie znajdują   wzm acn ian e  tworzywa  sztuczne,  lam inaty,  kompozycje  wzmacniane  whisker- sami  i  beton y  zbrojon e  szkł em.  M ateriał y  te,  w  przypadku  uporzą dkowanego  uł oż enia wzmocnień  są   opisywane  z  zadowalają cą   dokł adnoś cią   pfzy  uż yciu  jednej  z  wielu  obecnie istnieją cych-   teorii  wzm ocnienia.  P roblem  staje  się   jedn ak  nierozwią zalny  w  sposób ś cisł y, jeż eli  elementy  wzmacniają ce  rozł oż one są   bezł adnie  w  przestrzeni.  Przypadek  taki zachodzi  przy  stosowan iu  term oplastyczn ych  tworzyw  sztucznych,  wzmacnianych  krótkim i wł óknam i,  znajdują cych  coraz  t o  szersze  zastosowanie  w  technice. Jedyną   znaną   au t o ro m  pracę   n a  tem at  wł asnoś ci  oś rodka  o  takiej  strukturze  podan o w  spisie  literatury  [1]. Tem atem  niniejszego  artykuł u jest  propozycja  metody  wyznaczania stał ych  m ateriał owych  kom pozycji,  wzmacnianych  bezł adnie  uł oż onymi  wtrą ceniami. R ozważ ono  t u  przypadek  szczególny  ciał a,  skł adają cego  się   ze  spójnych  elementów  mono- tropowych,  uł oż on ych bezł adnie w przestrzeni. Z akł adają c, że znane są  wł asnoś ci elementów ciał a,  identyczne  w  każ dym  jego  pun kcie,  lecz  róż nie  ukierunkowane,  postawiono  pro- blem  wyznaczenia  wł asnoś ci  m akroskopowych  ciał a  jako  cał oś ci.  D o  tego  celu  przyję to, że  okreś lona  wł asność  m ierzon a  X  zwią zana  jest  z  odpowiednią   wł asnoś cią   X  w elemencie ciał a  zależ noś cią » X=cf  ...fxflpiyddcpi, "  i gdzie  stał ą   C  wyznacza  się   z  warun ku  normalizacji,  a  p((p t )  są   rozkł adam i  zmiennych  q> w przestrzeni. M o ż na oczekiwać,  zgodnie z podstawowym  twierdzeniem fizyki  statystycznej, że  t ak  otrzym an y  wynik  powin ien  być  zbliż on y'do  wielkoś ci  mierzonej. W  przypadku  przestrzen i  dwuwymiarowej  wykon an ie  powyż szej  operacji  nie  nastrę cza specjalnych  trudn oś ci i został o to dokon an e uprzedn io  [2].  Podejś cie  to jedn ak w  przypadku 384  .  A.  G OŁ Ę BI E WSKA- LASOTA,  A.  P .  WI L C Z YŃ S KI przestrzeni  trójwymiarowej  nastrę cza  poważ ne  trudn oś ci  obliczeniowe.  P oniż ej zapropo- nowano  nieco  inną  m etodę  podejś cia,  ja k  się  wydaje  o  wiele  prostszą  i  prowadzą cą  do wyników  w  postaci  zamknię tej. M oż na dodać, że szczególny, rozważ any  tu rodzaj  an izotropii jest zbliż ony  do anizotropii ukł adów  heksagonalnych  i  powinien  z  dobrym  przybliż eniem  opisywać  wł asnoś ci  poli- kryształ ów  tak  zbudowanych.  N ależy  wyraź nie  zaznaczyć,  że  propon owan a  m et o d a  postę- powan ia  n ie  może  być  stosowana  w  takich  przypadkach  ja k  ocena  wł asnoś ci  wytrzymał o- ś ciowych,  odpornoś ci  n a  pę kanie  czy  podobn ych,  gdzie  wartoś ci  ś rednie  nie  mają  sensu fizycznego. 2.  Sformuł owanie  zagadn ien ia Rozważ my  szczególny  przypadek  oś rodka  an izotropowego,  w  którym  istnieje  oś mono- tropii skierowana  wzdł uż osi  OZ  ukł adu współ rzę dnych; tak więc każ da  pł aszczyzna równo- legł a do pł aszczyzny  OXYjest  pł aszczyzną  izotropii. W  takim  oś rodku  zwią zki  mię dzy  skł a- dowymi  tensora  naprę ż eń  a  i  tensorem  odkształ ceń  s  mają  p o st ać: Exz  — lub  uż ywając  stał ych technicznych: 1  / _  . .  _  N  ^ l 1  /   \   vl £)> y  S ~   (,oVj>~''  ff) e  =   Vx (2) Exz  — 1 1 UXy  • W  ogólnym  przypadku,  dla  dowolnego  oś rodka  an izotropowego,  zwią zek  mię dzy  a i  E  m a  postać (3>  •   ^   m  c m a kU   i,j,k,l=  1 , 2 , 3 . IZOTROFIA JAKO PRZYPADEK GRANICZNY 385 c ijk ,  jest  tensorem  czwartego  rzę du  w przestrzeni  trójwymiarowej,  tak wię c  wzór  (3) jest wyją tkowo  wygodny w sytuacjach,  w których  mamy  do  czynienia  z transformacjami  obiek- tów  do nowych  ukł adów  współ rzę dnych.  Oczywiś cie,  porównanie  wzorów  (1), (2) i  (3) ustala  natychmiast jedn ozn aczn e  zależ noś ci  mię dzy  współ czynnikami  a v , stał ymi technicz- nymi  i  skł adowymi  ten sora  c m .  Rozpatrywany  oś rodek  jest  scharakteryzowany  przez 5  niezależ nych  stał ych.  Zwią zki  mię dzy  współ czynnikami  c y i  niezerowymi  skł adowymi tensora  c ijk i  mają   postać: °1 1  J  C 3333  ~  «33  J ( 4)  Cju.22  =   C221.1  =   o l 2 ;  c 1 1 3 3  =   c 3 3 1 1  =   a13; ^1313 = C 3113 = C 3131 = C 1331 = C 2 3 2 3 = C 3 2 3 2 = C 2 3 3 2 = Analogiczne  zwią zki  mię dzy  współ czynnikami  a tJ  i stał ymi technicznymi  otrzymuje się bezpoś rednio  ze  wzorów  (1) i (2). D owolną   transformację   ten sora  c  moż na  zapisać  w  postaci: (5)  cvj'vv  -   A\ , t  A 3 r , Ą ,,  Ą ,  e m , gdzie A\ ,,  oznaczają   odpowiednie  macierze  transformacyjne,  Jeś li ż ą daną  transformacją   jest obrót  o ką t 2'  — c2*3'3> 3'. C o  wię cej, także  dopiero p o  uś rednieniu, wartoś ci  pewnych  niezerowych  skł adowych  są równ e  zeru, n p.  c^ i'2'3'-   Analogiczne  uwagi  dotyczą  obrotów  uś redn ion ych  wokół   osi  OY  i  OZ. P odobn ie jak  w  przypadku  osi  OX,  dokon am y  nastę pnie  obrotów  uś redn ion ych wokół osi  OY, a potem  OZ,  tzn . najpierw  skł adowe  cp>, kn , zostaną  przekształ cone  przy  pomocy macierzy cos 9  0  —sincj 0  1  0 0  cos c>_ IZOTROPIA  JAKO  PRZYPAD EK  G RAN ICZN Y  3 8 7 a  nastę pnie  uś rednione.  W  wyniku  otrzymuje  się : S?ła„3».»  =   y (10)  flS?fl,.3»3»  =   y 1 Z  kolei  obrót  uś redniony  wokół   osi  C Z  daje: - ~- flS»i«a»a« +  yci|?, a (11)  cS?Hi,«8,«i».  -   e8?»a»*»im  =   y C c ^ i Widać,  że  pewne  prawidł owoś ci  wystą pią   dopiero  po  trzech  kolejnych  obrotach; jeś li począ tkowe  skł adowe c y t (  oznaczymy przez e ^ i,  a otrzymane po tych trzech obrotach c \ jki  i  wyrazimy  je  poprzez  począ tkowe  efj&,  to  po  nastę pnych  trzech  obrotach  wokół osi  OZ, OF, OZ  (uś rednionych), postać  zależ noś ci  c%  =  / ( c ^ )  bę dzie  taka  sama, jak c ijli  = / (4mpr)-  D latego wprowadzamy  poję cie  obrotu uogólnionego, jako operacji  bę dą cej zł oż eniem trzech kolejnych  obrotów uś rednionych wokół  osi  OX, OY, OZ.  A wię c utoż sa- 388  A.  G OLĘ BI E WSKA- LASOTA,  A.  P .  WI L C Z YŃ S KI miamy  skł adowe c}??̂ ,,,*,,- /,,,  ze  skł adowymi  otrzymanymi  p o  jedn ym  obrocie  uogólnio- n ym : Korzystając  ze wzorów  (11),  (10),  (9)  wyraż amy  je  poprzez  począ tkowe  skł adowe  c\ %; 1 7  4- 64 (12)  , „   1 = -  ̂[3  4 N a  podstawie  wzorów  (12)  m oż na  n apisać  ogólne  wzory  rekuren cyjn e:  wskaź nik  (1) wystarczy  zastą pić  przez  (ri) a  (0)  przez  («—1).  Interesują  n as  jedn ak  wartoś ci  stał ych technicznych.  Wzory  rekurencyjne  m oż na  dla  nich  n apisać  korzystając  ze  wzorów  (1), (2) i  (4)  oraz  wzorów  rekurencyjnych  dla  skł adowych  ten sora  c ijkl : - i- - j- i3i- i- + i5~ i- + 171  rj^ r%- L -- Efp ~  64 T T • £ o t t - »+ 1 5 "8 "£ i "- 1 - + 1 7 T L  U l /   2 Ci" (13b)  w=   ^l4 1  ^ + 9 ( P ]w* t)^ (13e)  ds  + ^  ^^r^M Jak  widać,  postać  wzorów  jest  raczej  skom plikowana,  pon ieważ  każ da  z  wielkoś ci ze  wskaź nikiem  n zależy  od  czterech lub  pię ciu  wielkoś ci  ze  wskaź nikiem  (w— 1).  Szukamy więc takich kombinacji  tych wielkoś ci,  aby  dla  nich  wzory  rekurencyjne  miał y  postać Wprowadzamy  oznaczenia 1  1  l_  1 - C.0  - Ql  ^ 0  - Cl b  = IZOTROPIA JAKO PRZYPADEK GRANICZNY 389 Kom binacja  wzorów  (13c),  (13b)  i  (13e)  daje (16)  6„  =   ^ „ _ 1  +   A V l . Odejmując  zaś  stron am i  (13d)  od  (13a)  otrzymujemy 77  13 Z a " = Odpowiednie  kom bin acje  dwóch  ostatn ich  zależ noś ci  pozwalają  napisać  dwa  proste zwią zki  rekurencyjne (18)  a n  + 2b n   =   —^   ( c . ! + 2&„ _ 1), Oba  cią gi  {a„+2b„} i\ a n   + - ^ b K \   są  zbież ne  do  zera.  M oż na także podać  ich sumy  (które bę dą  dalej  potrzebn e) korzystając  z  odpowiednich wzorów  dla  postę pów  geometrycznych: (20)  £  (a„+2b„)  =  - ^  (a o +2b o ), ( 21)  - •• n= 0 Same  cią gi  {«„}  i  {b n }  równ ież  są  zbież ne  do  zera.  N p : lim a„   =   - ^ - l i m ( a „ + 2 & „ - 8 ^ , - 2 Z >n )  =   - - ^ - li «- > oo  '  n—>co,  '  n - > co '  n- eoo \   ^ D la  cią gu •   {b„}  dowód  jest  analogiczny. Aby  obliczyć  gran ice  interesują cych  nas  wielkoś ci  fizycznych,  dodajemy  jeszcze  stro- n am i  (13a)  i  (13b),  skąd  otrzym am y: /   , 6 7  125  ,  ,  67 C22) 125  „   .  %  ,  ,  6767  V   1 2 5  Vi .Z (=0 Korzystając  ze  wzorów  (20)  i  (21)  moż emy  obliczyć  granicę  tego  cią gu: 1  8 lim k„  =  k 0  + - jr a o  ~ TT^°" 390  A.  G OŁ Ę BI E WSKA- LASOTA,  A.  P .  WI L C Z YŃ S KI Zauważ my,  że zgodnie z oznaczeniami (15)—- (a„  +  /c„)  =   - ^ t -. Teraz już ł atwo moż emy obliczyć  granicę dla n  - > oo, ponieważ istnieją  granice cią gów  {a,,} i  {k„}. Z auważ my takż e, że  z  tych  samych  powodów  istnieje  granica  \ - ^ o,)\  — j- yO ^- t f/ i)}  l  c o  wię cej,  obie  te granice  są  równe,  gdyż  jak  wykazaliś my  lim  a n   =   0.  Wobec  tego n- *oo (23a)  lim - ^ jj-   =   lim- ^ - icin+k,,)  =   - ^ - [ li mk n + lim a ]  =   —  (k o   + - jr a o-   7 . ^ 0  . (23b)  lim —( H r  =   lim  —  (fl„  -   /c„)  =   - -̂  [ lim /c -   lim a]  =   —  / c0 +  - rr   a o -   - ,   s-  ^o • Tę  wspólną  granicę  oznaczamy  —  i  korzystając  z  oznaczeń  (15),  otrzymujemy: 1   Jtu = J  L+   LJ __ 15  £   5  ^=   +   + E  15  £ 0  5  . ^  15  Ei-   15  G Ł   ' Odnotujmy  jeszcze,  że  udowodniliś my  takż e,  iż  lim  b„ =  0,  co  oznacza: n—>co Widać,  że  w  granicy  E{"\   vm  i  G ' I 0  speł niają  zwią zek  charakterystyczny  dla  stał ych sprę ż ystych  oś rodka  izotropowego. Znajdziemy  teraz  wartoś ci  graniczne vf*  i  v(£\   Wprowadzim y  dodatkowe  oznaczenia U ż ywając  tych  oznaczeń  oraz  wprowadzonych  uprzedn io  [wzór  (15)],  moż emy  róż nicę wyraż eń  (13c)  i  (13d)  zapisać  nastę pują co: m\   l  1 3  7  1 3 (27)  C„   -   -   • jC.t  — j . d „ _ 1 -   g T ^ O n - ! . Odejmując  od  ostatniego  wyraż enia  wyraż enie  (17)  otrzymujemy  wzór  rekurencyjny  dla róż nicy  c„ — a„ (28)  C„  -  fl„  -   -   — (c„_ ! - «„ _! ). D rugi  wzór  rekurencyjny  znajdujemy  ze  wzorów  (16)  i  (27) (29)  cn +  ± - bn  =   - IZOTROPIA  JAKO  PRZYPAD EK  G RAN ICZN Y  391 Sumy  odpowiednich  szeregów  wynoszą CO ( 30)  ] ? (cn- a„)  -   - Q- ( c -ct 0 ) , n atom iast  granica  cią gu  {c,,}  wynosi lim  c„ =  lim  -   c„  +  a„ + 2  c„  +   - fb„  -   •  - _-  (a„  +  2b„) -   - =-  a„ + - - b„  = n«- co  n- *coL  \   ą  I  I  I  \   4  / J (32) =   - l i m c„  =  lim  - c „ + f l „ +2  C B + - T - J J - - = - ( f l „ + 2 6 „ ) - - =-   a ^ - j - ćJ  =   0. Aby  obliczyć  granicę  cią gu  {c/„}, dodajemy  stron am i  równ an ia  (13c) i  (13d) i  korzystamy z  sum  (30),  (31)  oraz  (20)  i  (21): 1 2  4 (33)  limd n  =  d o ~—c o - ~—a o - - —- b o . n- i- co  J  i- >  13 Z auważ my  teraz, że Z n ów  wię c, znając  granice  cią gów  {//„}  i  {c„},  moż emy  znaleźć  granice  {  - p-   f  i  i(—M f i  ponieważ  linie,, =  0, są one  sobie  równ e.  Wspólną  granicę  oznaczamy™- ,  wynosi  o n a: V_  J _ J |O  8  Vj,  J  1  ' 1  1  1  1 E  ~~~  2  £ 0 "  +   ^ 5 " ^ 7 ~ " l 5 "  £ o  " 1 5 ^  +   15  (?!  " 1  /   \ '"' Wróć my  do wzoru  (25) .- ponieważ  istnieją  granice  cią gów  — ^  i  —- I , to ze wzoru  (25) wynika,  że istnieje  także  skoń czona  granica  17^ - f;  oznaczmy  ją  przez  - =• ;  wówczas wzór  (25) m oż na  przepisać  n astę pują co: ł  +  -   -    ̂ ^ Ostatecznie  oś rodek  jest  scharakteryzowan y  przez  dwie  stał e  niezależ ne  v,  E  i  jest oś rodkiem  izotropowym . 392  A.  GOLĘ BIEWSKA- LASOTA,  A. P.  WILCZYŃ SKI 4.  Zakoń czenie Przybliż one  rozwią zanie,  pomijają ce  oddział ywanie  drugiego  rzę du,  okreś lone  wynika- m i  (24) i  (29) jest  dość  oporn e n a  oszacowanie jego  bł ę du. Tym  niemniej jest  pewnym  roz- szerzeniem rozwią zań  otrzymanych w pracy  [1]. Wydaje  się , że oszacowanie  bł ę du m oż na by uzyskać  n a  drodze  doś wiadczalnej,  porównują c  stał e  sprę ż ystoś ci  okreś lonych  m on o- i  polikryształ ów  lub  też  odpowiednie  wartoś ci  n p.  dla  tworzyw  sztucznych  jedn okierun - kowo  zbrojonych  z  takim  samym  lam in atem  zbrojonym  m atą   powierzchniową . Pozostaje  pytanie,  czy  tak  otrzymany  oś rodek  izotropowy  posiada  te  same  wł asnoś ci co  oś rodek  izotropowy,  otrzymany  w  wyniku  innej  procedury  uś redn ian ia. Z agadnieniem tym  autorzy  zamierzają   się   zają ć  w  przyszł oś ci. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  L. H . Cox,  T he elasticity and strength of paper and other fibrous materials, Brit. Jour. Appl.  Phys., 72 -  79, 3  (1952). 2.  A. P .  WILCZYŃ SKI,  T eoria  wzmocnienia kompozycji.  Rozważ ania ogólne  (praca nie  publikowana). P  e 3  IO  M  e H 3 0 T P 0 I I H fl ,  KAK n P E flE J I L H t lH   C J i y ^ Ań  M H O rO K O M I T O H E H T H O H O P T O T P O n H O H   CPE,m>I TaKH e  MHoro