Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13 (1975) WPŁYW  D OD ATKOWYCH   N IELIN IOWYCH   ZABU RZEŃ   NA  CHARAKTERYSTYKI PROBABILISTYCZN E  KLASYCZN YCH   RÓWN AŃ   OPISU JĄ CYCH   DRG ANIA SAMOWZBU D N E JAN   Ł  U  C Z  K  O  ( K R AK Ó W) W  pracy  zbadan o wpł yw  zaburzeń przypadkowych  n a  amplitudę  i czę stość drgań samo- wzbudnych  ukł adów o jedn ym  stopn iu swobody. R ozpatrzon o równ an ia typu  van  der P ola i  Rayleigha  z  nieliniowym i  sił ami  sprę ż ystoś ci  i  tł um ien ia.  Z ał oż ono  przy  tym,  że  wymu- szenie  zewnę trzne  jest  stacjon arn ym ,  n orm aln ym  procesem  stochastycznym  o  wartoś ci ś redniej  równej  zeru  typu  „ biał y  szum ". Analizowane  w  pracy  równ an ia  mogą   opisywać  zachowanie  się   znanych  klasycznych ukł adów  sam owzbudn ych,  ale  o  bardziej  zł oż onej  strukturze. Sposób  rozwią zania  zagadn ien ia  oparty  jest  n a  przybliż onej  metodzie,  przedstawionej w  pracy  P I SZ C Z KA  [1]  i  polega  n a  stosowaniu  do  równ an ia  róż niczkowego,  opisują cego drgania  ukł adu,  kolejno  linearyzacji  harmonicznej  i  statystycznej.  P odobn e podejś cie  do zagadnienia  drgań  sam owzbudn ych  m oż na  znaleźć  w  pracach  CATJGHEYA  [2]  i  PopoWA, PALTOWA  [3]. I dea linearyzacji  statystycznej  został a  przedstawiona w pracy  KAZAKOWA  [4]., 1.  Równanie  typu  van der P ola Rozważ my  nastę pują ce  równ an ie  róż niczkowe przy  czym  S f (a>) =   S o   jest  stał ą   gę stoś cią   widmową   wymuszenia.  Równanie  to  moż na sprowadzić  do  postaci  bezwymiarowej  przez  podstawienie z(f)  = ~r- x{t),  T =  wo7. Otrzymamy a / \   An  _ _  o (\   _ _  v*  / /  v^ '̂V  - 4-   v  —̂ n ft"} •  *• /   (Ą < ^ ^  O l i ,  ^ ^ ^  jŁŁA  |tA> T^  .A-   —  i/ 1  (. J y gdzie oznaczon o fl3V  F - U l  u- "2* gę stość zaś  widm owa  procesu j?(r) jest  zwią zana  z gę stoś cią   ) =  Ś o   =   ^ - rS 0 . 414  J.  Ł U CZKO Rozwią zanie  równ an ia  (1.2)  przyjmiemy  w  postaci (1.5)  X = x p   + As'mar,  a =   —: , d)0 gdzie x p   oznacza skł adową  przypadkową  rozwią zania,  zależ ną  od wymuszenia  zewnę trznego p(r). Jako wynik  linearyzacji  harmonicznej otrzymamy  ukł ad  równ ań na am plitudę i  czę stość drgań,  który  po  odrzuceniu  rozwią zania  trywialnego  ma postać a 2   =  l+2e(xp+2fiXp)k p +3s/ j,XpXpA 2 oraz  równanie  róż niczkowe  okreś lają ce  x p {r): x„- e{\  - Xp- fiXp)x p +Xp+  - —e(l+6/ ux p )x p A 2  +  - ^ - F./ AX P A 4   —  p(r). Pierwsze  z  tych  równań  okreś la  am plitudę  drgań.  Rozwią zanie  stabilne  otrzym am y  dla wartoś ci  amplitudy  równej Zakł adając  ft  <̂  1 i  rozwijając  A2(/ u)  w  szereg  Taylora  dostan iem y  w  pierwszym  przy- bliż eniu A 2   x  4(1  - a 2  « oraz ( 1  7 1 x  ~f* £ 1 ( 1 ~\ ~ 2/ y  i ~~" 11  "4~ 4/ / 1 x ~\ ~ u  yt  1 v  - 4- ~y  ^^ D(T\ Przeprowadzając  teraz  linearyzację  statystyczną  równ an ia  (1.7)  otrzym am y  równanie liniowe (1.8)  x p +kx p +Q 2 Xp=p(r), gdzie zaś  (x p }  =  0. W  przypadku  «biał ego  szumu»  z  równ an ia  (1.8) m am y (1  10)  SY2\   -   nS ° Z  równ ań  (1.9)  i  (1.10)  otrzymamy  z  dokł adnoś cią  do p, równ an ie  algebraiczne  3  stopnia n a  dyspercję  (Xp} s W P Ł YW  Z ABU R Z E Ń   N A  CH ARAKTERYSTYKI  P ROBABILISTYC Z N E 415 które  moż na  rozwią zać  w  sposób  przybliż ony  metodą   mał ego  parametru  przyjmują c (1.12)   =   +fi / V2 \   _  nr  M \ X 0 )  —  U,D   1  — Rys.  1 Wartoś ci ś rednie (a2}  lub <«o2) i (.A2}  są  równe odpowiednio:  (a2)  =   1,  ską d  2> =  ca2, (1.14)  <^(2>  =   (A\ przy  czym ( 1 - 2  < *§ »( !- < *§» przedstawia  zależ ność  am plitudy  drgań  od  zaburzenia  zewnę trznego  w przypadku  oscyla- tora  van  der  P ola  (p  =   0). N a  rys.  1  przedstawiono  zależ ność  wartoś ci  ś redniej  kwadratu  amplitudy  od  przy  ustalonych  wartoś ciach  / u. Wartość    może  być  tu  miarą   wielkoś ci  zaburzenia [ze  wzoru  (1.13)  wynika,  że   roś nie  ze  wzrostem  gę stoś ci  widmowej  S o   zaburzenia]. Wykres ilustruje  wzór  (1.14) w niecał ym zakresie zmian .  Wartoś ci  (A2}  są  wyznaczone mniej  dokł adnie dla wię kszych wartoś ci    [ze wzglę du na przybliż ony  sposób znalezienia dyspersji  ( x 2 )  z  równania  (1.11)] i dlatego  też ograniczono się  do pokazania zwią zku  (1.14) dla    <  0,3. Z  wykresu  widać,  że  wzrost  zaburzeń  powoduje  zmniejszanie  się   amplitudy  drgań. Współ czynnik [i stoją cy  przy  x4  w  czł onie van  der  Pola  zmniejsza  dodatkowo  amplitudę , gdy  n  >  0, Jub też ją   zwię ksza  dla fj,  <  0.  Ze wzoru  (1.13a)  wynika,  że czę stość  drgań jest niezależ na  zarówno  od  zaburzenia  zewnę trznego, jak  i  wartoś ci / J,. 416  J.  Ł U C Z KO 2.  Równanie  typu  van der P ola  z  nieliniową  silą  sprę ż ystoś ci Rozpatrzmy  obecnie równanie van  der  P ola z sześ cienną  sztywną  charakterystyką  sił y sprę ż ystoś ci (2.1)  z- (a2- b2z2)ż +uls+6z3  =  / (/ ),  5 > 0, które  po  przejś ciu  do  wielkoś ci  bezwymiarowych  ma  postać (2.2)  3 ć - s ( l- przy  czym  SJco)  i  £  wyraż ają  się  wzorami  (1.3)  i  (1.4),  a  \ i =   - T J —J -. b"m0 W  sposób  podobny  do wcześ niejszego  otrzymamy  dla rozwią zania  (1.5)  nastę pują cy ukł ad  równań  na amplitudę A  i  czę stość  a  oraz  skł adową  przypadkową  x p : (2.3)  .  7"  .  „ P  '. cc  =   l  +   3w  +  2sx  ś; (2.4)  3ćp +  e ( l—Xp ) i p +   [(1+6/J,)  — 5fj,Xp]xp =  p(t). Współ czynniki  zlinearyzowanego  statystycznie  równania  (2.4) są  teraz  równe (2.5)  k  — fi(l — (,Xp')),  Q2  =s 1+6/ L i —15  fi(Xp'), a  wartość  ś rednia (x p y jest równa  zeru. Wartość    moż na wyznaczyć  z równ an ia x̂ >  =   0. Przyjmując  rozwią zanie  w  postaci  szeregu  (1.12)  otrzymamy (2.6) Wartoś ci  ś rednie  kwadratu  czę stoś ci  i  amplitudy  okreś lają  wzory (2.7) Z wykresu  (rys. 2) przedstawiają cego  funkcję  (A2}  = / « A ' O »  dla róż nych,a >   0 wynika, że  wpł yw  zaburzeń  przypadkowych  jest  tu  podobny,  jak  w  przykł adzie  poprzednim. Am plituda  maleje  ze wzrostem  Oo> ,  osią gając  n p.  dla fi  =  0  wartość  minimalną  przy  =  0,5,  równą  poł owie wartoś ci  maksymalnej  «*o>  =  0).  Ciekawy  jest  fakt,  że war- tość ś rednia  w przypadku zdeterminowanym jest niezależ na od fi; wpł yw nieliniowoś ci W P Ł YW  Z ABU R Z E Ń   N A  CH ARAKTERYSTYKI  P ROBABILISTYC Z N E 417 , ][l  + 6 / «< AV 2 > ] - 1 oraz    =   0.  D yspersję   < x|)  m oż na  wyznaczyć  z  równ ań  (3.6)  i  (1.10),  mianowicie 6  1 (3. 7) Wa r t o ś ci  < a 2 > ,  < w2>  i  <, < a 2 >  = (3.8) 1 —10 są   równ e: ( 1 - 10 <.r§»  ( !- < *§ Z  analizy  wzoru  (3.8b)  lub  z  wykresu  (rys.  3)  wynika,  że  zarówn o  wzrost  zaburzenia (co  zwią zane jest  ze  wzrostem  < xo», ja k  i  zwię kszenie  sztywnoś ci,siły  sprę ż ystej  powodują zmniejszanie am plitudy drgań samowzbudnych, n atom iast ze wzrou  (3.8a) widać, że czę stość ką towa  drgań  roś nie  ze  zwię kszeniem  współ czynnika  \ i. Ogólnie  z  analizy  wybranych  powyż ej  ukł adów  sam owzbudnych  m oż na  wycią gnąć nastę pują ce  wn ioski: —  ś rednia wartość kwadratu  am plitudy maleje  ze wzrostem  zaburzen ia  przypadkowego, WP ŁYW  ZABURZEŃ   NA  CHARAKTERYSTYKI  PROBABILISTYCZNE  419 —  wpł yw  czł on ów nieliniowych  n a  wartość  am plitudy jest  róż ny  i zależy  od  typu  rów- nania  róż niczkowego,  opisują cego  proces  drgań, —ś redn ia  wartość  kwadratu  czę stoś ci  n ie zależy  od zewnę trznych zaburzeń przypadko- wych, —  nieliniowość  sił y  sprę ż ystej  (charakterystyka  sztywna)  powoduje  wzrost  czę stoś ci ką towej  drgań . Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  K. PISZCZEK, Influence  of  random perturbations  on self-  excited  vibrations  of  a system with  one  degree of  freedom,  Arch.  M ech.  Stos.,  25, 5  (1973). 2.  T. K. CAU G H EY, Response of  Van  der Pol's oscillator  to random excitation,  J. Appl.  Mech., (1959), 345 - 348. 3.  E. P.  POPOW,  I . P.  PALTOW,  Przybliż one metody  badań nieliniowych  ukł adów automatycznych,  WN T, Warszawa 1964. 4. H . E .  KA3AKOB,  CmamunecKue  Memoda  npoemnupoeaiiun  cucmeM ynpaejtenun,  MaiiiHHOCTpoeHHe, M o- 1969. P  e 3  K)  M  e BJIH JIH H E  flOriOJIH H TEJILH BIX  H E JI H H E H H LI X  BO 3M yiU E H H H   H A BE P OOTH OC TH BI E  XAP AKTE P H C TH KH   KJIACCH ^IECKH X YPABH EH H H On H C LI BAI OI U H X  KOJIEBAH H il  C AM 0BO3By^KflAI 0n iH XC H   C H C TE M B  pa6cyre  H ccjie# yeTCH   BJIH H H H C  HejiHHeHHMx tmeHOB Ha aiwruiHTyfly  H  ^tacroTy  CHcieiu c ofliioH   CTe- CBo6oflbi.  n p n .wep M   OTH OCH TCH   K cHcreirtaM,  H onyci