Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13  (1975) O  P EWN YCH   M OŻ LIWOŚ C IACH   ZASTOSOWAN IA TARC Z  Ś CISKAN YCH   W  BAD AN IACH   MATERIAŁOWYCH H AN N A  O L E S I A K ,  AN D R Z E J  P .  W I L C Z Y Ń S KI  (WARSZAWA) 1.  Wstę p W  n iektórych  przypadkach  badan ia  wł asnoś ci  mechanicznych  materiał ów  konstruk- cyjnych  stosowanie  ogólnie  zn an ych  m etod  pom iarowych  jest  bardzo  utrudn ion e  i  nie- wygodne.  D otyczy  t o  szczególnie  bad ań  statycznych  tworzyw  sztucznych,  gdzie  czas pom iaru  i  warun ki  otoczen ia ingerują   w  sposób  o wiele bardziej  wyraź ny  niż  w  przypadku m etali.  P ocią ga  to  za  sobą   kon ieczn ość  zam ykan ia  ukł adów  pomiarowych  w  kom orach klimatycznych  i  zwią zane  z  tym  dą ż enie  do  miniaturyzacji  próbek  i  stanowisk.  Z  tego powodu  rozważ ymy  m oż liwość  zastosowan ia  prostej  m etody  pom iarowej,  pozwalają cej n a  wyznaczenie  dwóch  stał ych  m ateriał owych.  D odatkowym  wymaganiem,  rzadko  dają - cym  się   speł nić  w  praktyce,  jest  uż ycie  jedn ego  i  tego  samego  urzą dzenia  pomiarowego do  wyznaczania  obu  stał ych  sprę ż ystoś ci  m ateriał ów izotropowych.  Wykaż emy,  że  wyma- ganie  to  może  być  uwzglę dn ione  przy  propon owan ej  m etodzie  pomiarowej.  D la  dosta- tecznie  dł ugiego,  w  porówn an iu  z  czasem  przykł adan ia  obcią ż enia,  okresu  próby,  obcią - ż enie  m oż na  przyją ć  w  postaci  P  =   P 0 H(t)  (gdzie  H(t)  jest  funkcją   H eavinde'a)  i  stosują c transform ację   Laplace'a- C arsona  wykorzystać  istnienie  analogii  sprę ż ysto- lepkosprę ż ystej pozwalają cej  bezpoś redn io uż yć rozwią zanie  do  wyznaczenia  funkcji  peł zania w(t)  =  .  . h(t) 2.  Sformuł owanie  zagadnienia R ozważ amy  izotropową   tarczę   sprę ż ystą   o  prom ien iu  R  i  gruboś ci  b  ś ciskaną   sił ą   P, mię dzy  dwom a  n ieodkształ caln ym i  pł ytkam i. Wielkoś ciami,  które  nas  interesują   są   zmiany ś rednic  tarczy  z  otworem  (prom ień  otworu  r  =   a),  oraz  tarczy  peł nej.  P odam y  rozwią zanie dla  tarczy  z  otworem ,  drugi  przypadek  otrzym am y  przez  przejś cie  graniczne. W  celu  uproszczen ia  rozwią zan ia  przyjmujemy  n a  powierzchni  styku  eliptyczny  roz- kł ad  nacisków  dla  zagadn ien ia  ko n t akt u  sprę ż ystego  walca  z nieodkształ calną   pł aszczyzną , zn an e ja ko  zadan ie  H ertza  (rys.  1). R ozkł ad  ten  m o ż na  przedstawić  w  postaci gdzie  a jest  ką tem  ograniczają cym  obszar  styku  tarczy  z  pł ytą   i  zgodnie  z  rozwią zaniem 4  Mechanika  Teoretyczna 354 zadania  H ertza  wynosi H .  OLESIAK,  A.  P.  WILCZYŃ SKI - V4P~7tbRE  ' • 'max  — 2P naRb  ' p  =   J p ((p)bRd(p. D o  dalszych  rozważ ań  wprowadzimy  współ rzę dne  bezwymiarowe < 2>  i  /- i- F unkcja  naprę ż eń  dla  rozpatrywanego  przypadku  m a  postać  [1] (3) 0  = 246 gdzie  A, B, C, D, A o ,  B o   oznaczają   stał e  dowolne.  P rowadzi  to  do  nastę pują cych  wy- raż eń  n a  naprę ż enie  i  przemieszczenie: a„  =   2A O +B o x- 2 - 2, 4 a tt   =   2A o - B o x- 2 + (4) " +  (n- l)(n+2)Dx- "]cosn)  =   0 ,   ( cr r r( J?,  99)  d la l a  <   cp <  n- a.  \ 7i+ct <   0  otrzymujemy  rozwią zanie  dla  tarczy  peł nej gdzie UW ii(°o  =   cc2+ 4cc  y (12) 00 2,4... oo O  PEWN YCH   MOŻ LIWOŚ CIACH  ZASTOSOWANIA  TARCZ  3 5 7 [ D la  wyznaczenia  stał ych  m ateriał owych  bę dziemy  rozpatrywać  zwię kszenie  ś rednicy prostopadł ej  d o  kierun ku  dział an ia  obcią ż enia  yp  -   — 1 .  W  tym  przypadku  wielkoś ci A 2   i  B 2   są   tego  samego  rzę du.  R ozważ an ie  zbliż enia  powierzchni  styku  nie  prowadzi  do celu ze wzglę du  n a zbyt  duże stosun ki  wartoś ci A x   i B t   dochodzą ce do  104  oraz niekorzystny n a  dokł adn ość  pom iaru  wpł yw  kon cen tracji  n aprę ż eń  w  miejscu  kon taktu. Obliczenia  n um eryczn e  zestawione  w  tablicy  1  wskazują ,  że  otrzymane  wyniki  ze wzofów  (10)  i  (12)  są   identyczne  (lub  pomijalnie  róż nią ce  się   dla  wię kszych  wartoś ci  a) z  wynikami  dla  tarczy  obcią ż onej  sił ą   skupioną   [2,  3],  które  m oż na  zapisać  w  postaci (13)  8 gdzie KJ) 2,4... '  / 2 " ) - O ~/ ") Z wią zki  (13)  m o ż na  uzyskać  także  przez  przejś cie  graniczne  a  - > 0  we  wzorach  (12). Przyjmują c m oż na  sprawdzić,  że  wyraż enie  A[  ukł adu  (12)  traci  sens,  jedn ak  pozostał e  wyraż enia pozostają   w  m ocy.  W  dalszych  rozważ an iach  bę dziemy  wię c  korzystać  z  tych  wzorów. 3.  Moż liwoś ci  zastosowań Z apisują c  wyraż enie  (13)  w  postaci or a  n astę pn ie  przekształ cają c  pierwszy  wyraz  w  nawiasie '41  +  1 a 2  a 2  [A 2 (x,O) i  oznaczają c - ] otrzym am y a 2  = /   = A = B  = Ą P nRbE' 0,570796, - 0, 785398, 358  H .  OLESIAX,  A.  P .  WILCZYŃ SKI gdzie (14) zauważ my,  że dla / ?(/ ) =   1 wielkość  d zależ y  od  stosun ku  (1 +v)/ E.  Stan  ten  m oż na  otrzy- m ać  przez  odpowiednie  dobran ie  stosunku  prom ien i  a/ R. P rzeprowadzone  obliczenia  numeryczne  wykazują ,  że  przypadek  / ?(/ )  =   1 zachodzi  dla (15)  / =   0,065556, czyli 4 -   =   0,25604. iv Badanie  próbki  o  takim  stosunku  prom ieni  pozwala  n a  bezpoś rednie  wyznaczenie  m o- duł u  Kirchhoffa.  P odobn ie  moż emy  wyznaczyć  m oduł   Youn ga  odejmują c  od  wydł uż enia ś rednicy  tarczy  peł nej  wydł uż enie  ś rednicy  tarczy  z  otworem ,  co  ze  wzglę du  n a  te  same współ czynniki  przy  wyraż eniu  (l+v)  sprowadza  się   d o : c  = R  " x  "" (16) 2 ~  i?  ^2 - ^2- Wartoś ci  liczbowe  stał ych  A,  B,  C  jako  funkcji  a  i  i 7  = / 1 / 2 po dan o  w  tablicy  1. D o  celów  praktycznych  dla  stosunku  a/ R  =   0,256 koń cowe  wzory  n a  wyznaczenie  sta- ł ych  materiał owych  m oż na  zapisać  w  postaci: E  =   2,2832 - f (17)  " G  =   1 , 5 7 0 8 - ^ no o lub 08) w  zależ noś ci  od  aktualnych  potrzeb,  gdzie  d  i  d'  oznaczają   powię kszenie  ś rednicy  tarczy z  otworem  i  tarczy  peł nej. O  PEWN YCH   MOŻ LIWOŚ CIACH   ZASTOSOWANIA  TARCZ 359 W  celu  skon trolowan ia  podan ej  m etody przeprowadzon o badan ia na próbkach  wykona- nych  z technicznego m etaplexu  (polim etakrylan u  metylu),  o  stosunku  a/ R  =   0,25604  (ś red- nica  zewnę trzna  29,3  m m )  oraz  dla  tarczy  peł nej  o  tej  samej  ś rednicy.  P róbki  ś ciskano sj}ą  p  — 90  k G   i  140  kG .  Otrzym an e  wyn iki  podan e  są  w  tablicy  1. Tablica  1 P [kG ] 90 140 d/ c tarcza  z otworem 27 29 30 28 44 47 44 45 fe  =  22,8 <5ś 'r  =  4 4 , 8 t arc za  p eł na 11 11 10 11 18 21 19 22 Ą fr  =   12,2 * S ic   =   19,04 D o  wyznaczenia  ś redn ich przemieszczeń  zastosowan o  m etodę najmniejszych  kwadratów. Korzystając  ze  wzoru  (14)  dla  tarczy  z  otworem  oraz  peł nej  wyznaczono  stał e materia- ł owe  , E• =   39,4978  •   103  S  39 400  kG / cm 2, v  =   0,2639297  £  0,264. Otrzym ane  wyniki  są  zgodn e,  z  dokł adnoś cią  do  kilkunastu  procent, z  danymi literatu- rowym i  dla  tego  typu  m ateriał ów. Zagadnienie  kontaktowe tarczy F  =  —  =   0,00 R 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 0,779235£- - 05 0,283995£ ~04 0, 602895£ - 04 O,1O2589£- O3 0,1547335- 03 0,216276£ - 03 0,286855£- O3 0,366163£ - 03 0,453938^- 03 0,549947J?- 03 - ,3334195- - ,2667355- - ,3998875- - ,2133065- - ,4166145- - ,7199085- - ,1143195- - ,1706455- - ,2429685- - ,3332895- 09  0,0000005+ 00 08 0,0000005+ 00 08 0,0000005+ 00 07 0,0000005+ 00 07 0,0000005+ 00 07 0,0000005+ 00 06  0,0000005+ 00 • 06 0,0000005+ 00 - 06  0,0000005+ 00 - 06  0,0000005+ 00 0,570796£'- 06 0,2283195- 05 0,5137175- 05 0,9132765- 05 0,1426995- 04 0,2054875- 04 0,2796925- 04 0,3653125- 04 0,4623485- 04 0,5708015- 04 - ,7853985- - ,3141595- - ,7068585- - ,1256635- - ,1963495- - ,2827425- - ,3848435- - ,5026515- - ,6361665- - ,7853885- 06 0,0000005+ 00 05 0,0000005+ 00 05 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04 0,0000005+ 00 04  0,0000005- 00 360 H .  OLESIAK,  A.  P.  WILCZYŃ SKI F  =   _  =  0,25 R 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 0,846901 £ - 05 0,311061^- 04 0,6634555- 04 0,1133555- 03 0,1716505- 03 0,2406355- 03 0,3200105- 03 0,4094685- 03 0,5087455- 03 0,6176095- 03 - ,3334195 - ,2667355 - ,9002315 - ,2133885 - ,4166145 - ,7199085 - ,1143195 - ,1706455 - ,2429685' - ,3332895 - 09  0,6766625- 08 0,2706615- 08 0,6056025- - 07  0,1076625- 1,1691665- 0,2435945- 36 0,3315515- 0,4330515- - 06  0,5480725- 06 0,6766235- - 07 0, ¯07 - 06 - 06 06 05 05 04 04 04 04 04 04 04 0,3222055- 07 0,1288865- 06 0,2900095- 06 0,5156145- 06 0,8057215- 06 0,1160395- 05 0,1579645- 05 0,2063525- 05 0,2612125- 05 0,3225515- 05 - ,7853985- 06 - ,3141595- 05 - ,7068585- 05 - ,1256635- 04 - ,1963495- 04 - ,2827425- 04 - ,3848435- 04 - ,5026515- 04 - ,6361665- 04 - ,7853885- 04 - ,5385765- 06 - ,2154305- 05 - ,4847165- 05 - ,8617155- 05 - ,1346425- 04 - ,1938835- 04 - ,2638965- 04 - ,3446775- 04 - ,4362275- 04 - ,5385465- 04 77 — R 0,50 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 A, 0,1310465- 04 0,4964845- 04 0,1080665- 03 0,1875245- 03 0,2874435- 03 0,4073775- 03 0,5469635- 03 0,7058945- 03 0,8839065- 03 0,1080775- 02 • Bi - ,3334195 - ,2667355 - ,9002315 - ,2133885 - ,4167735 - ,7201835 - ,1143625 - ,1707105 - ,2430615 - ,3334175 09 0,5312245- 05 08 0,2124895- 04 - 08 0,4777605- 04 - 07 0,8493485- 04 07 0,1327105- 03 07 0,1911015- 03 06 0,2601085- 03 06 0,3397315- 03 06 0,4299685- 03 06 0,5308195- 03 - ,3814115- 05 - ,1525645- 04 - ,3432685- 04 - ,6102525- 04 - ,9535145- 04 - ,1373055- 03 - ,1868865- 03 - ,2440945- 03 - ,3089285- 03 - .3813895- 03 B 2 - ,7853985- 06 - ,3141595- 05 - ,7068585- 05 - ,1256635- 04 - ,1963495- 04 - ,2827425- 04 - ,3848435- 04 - ,5026515- 04 - ,6361665- 04 - ,7853885- 04 - ,4384915- 05 - ,1753965- 04 - ,3946405- 04 - ,7015805- 04 - .1096215- 03 - .1578545- 03 - .2148555- 03 - ,2806255- 03 - ,3551635- 03 - .4384695- 03 5 =   — R a.  . 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 0,0060 0,0070 0,0080 0,0090 0,0100 -  =  0,75 A, 0,7151365- 04 0,2832845- 03 0,6337445- 03 0,1122065- 02 0,1747655- 02 0,2510065- 02 0,3408925- 02 0,4443935- 02 0,5614815- 02 0,6921325- 02 B, - ,3334195- 09 - ,2667355- 08 - ,9002315- 08 - ,2133885- 07 - .4167735- 07 - ,7201835- 07 - .1143625- 06 - ,1707105- 06 - ,2430615- 06 - .3334175- 06 c\ 0,6372135- 04 0,2548855- 03 0,5734555- 03 0,1019475- 02 0,1592915- 02 0,2293785- 02 0,3122075- 02 0,4077775- 02 0,5160875- 02 0,6371375- 02 A 2 - , 5544605- 04 - , 2217845- 03 - , 4990125- 03 - , 8871295- 03 - .1286135- 02 - , 1996025- 02 - , 2716795- 02 - , 3548445- 02 - .4490955- 02 - .5544345- 02 B 2 - , 7853985- 06 - , 3141595- 05 - .7068585- 05 - .1256635- 04 - .1963495- 04 - , 2827425- 04 - .3848435- 04 - .5026515- 04 - .6361665- 04 - .7853885- 04 c2 - , 5601685- 04 - .2240675- 03 - , 5041495- 03 - , 8962625- 03 - , 1400405- 02 - , 2016575- 02 - , 2744765- 02 - .3584975- 02 - .4537195- 02 - .5601425- 02 O  PEWNYCH   MOŻ LIWOŚ CIACH   ZASTOSOWANIA  TARCZ  361 4.  Wnioski Obliczenia  num eryczn e  wskazują ,  że  zgodnie  ze  wzorami  H ertza  zbliż enie  dwóch  ciał ś ciskanych  z  dużą   dokł adn oś cią   nie  zależy  od  dwóch  lecz  od  jednej  stał ej  materiał owej. Sytuacja  zm ienia  się ,  gdy  pom iarowi  podlega  zwię kszenie  ś rednicy  ś ciskanej  tarczy.  Tak m ierzon a  wielkość tylko w jedn ym szczególnym przypadku wyraża się   przez jedną   ze  stał ych m ateriał owych.  T o  zjawisko  umoż liwia  dokon an ie  pom iaru  wartoś ci  dwóch  stał ych  ma- teriał owych  w jedn ym  i  tym  samym urzą dzeniu,  mierzą c  powię kszenie ś rednicy  tarczy  i  tar- czy  z  otworem .  Szczególnie  wygodny  jest  przypadek,  gdy  stosunek  wymiarów  a/ R  = =  0,25604. M oż na  też  zauważ yć,  że  z  bł ę dem  rzę du  l°/ 0 0  rozwią zanie  dokł adn e  m oż na  zastą pić przez  rozwią zanie  przyjmują ce  obcią ż enie  sił ą   skupioną   w  miejsce  rzeczywistego  rozkł adu nacisków.  Wyn ika  t o  z  an alizy  dan ych  tablicy  1 i  w  pewien  sposób  potwierdza  stosowal- n ość  w  tym  przypadku  zasady  de  Saint  Ven an ta. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  K.  G IRKM AN ,  Dź wigary powierzchniowe,  Arkady, 1957. 2.  I I . <3>.  I LU I KOBH 1!,  T eopiin  ynpyiocmu,  OSoponrara,  MocKsa  1939. 3.  B. I \   P Ę KA1!,  PyKdBodcmeo  u  peuienun 3adan no meopuu  ynpyeocmu, Moci KH OCTJIX  ilP H M E H E H P M   OKH M AEM BIX  flH CKOB O n P E flE JI E H H H   M E XAH H ^ E C K H X  K OH C TAH T  M ATEPH AJIA B  pa6oTe  npH BoflH Tcn:  n pocToft  MeTOfl  on peseJieiiH H   M aTepH anwiwx  KOHCTaHT  cHrrreTHHecKHx  iwa- Paccy>iKCCTKH M H   nrorraM iT.  O n pefleJien o  H3MeHeHHe  flH aiweipoB  cn jion iH oro  H   n o n o r o flH CKOB.  C  uen Bio  onpeflejieH H H   MaTepHaJiBHbix  KOHCTaHT paccMOTpeHO yBeraraeH H e  nepneH flH KyjrapH oro K  H anpaBJieH H io  fleacTBH H   C H ^ Ł I  flH aM eTpa  ( B  O6OH X  c n yq a a x) .  IIpoBOflH iiacB  sKcnepHMeHTajiBHaji  n p o - Bep n a  M dOAa  c  HcnoJiB3OBaHHeM   o6pa3i;oB  H3  o p r a n H ^ e c K o r o  creK n a  (M eTaruieKca). S u m m a r y ON   POSSIBILITIES  O F   AP P LIC ATION S  O F   COM PRESSED   D ISCS  I N   MATERIAL  TESTIN G A  simple method enabling to determine the  material constants of plastics has been given. The  discussion refers  to an elastic material  while the elastic- visco- elastic  analogy can be employed  in order to determine the  creep  function. An  elastic disc compressed  by  two rigid plates  serves  as  a  model  for  discussion. The changes  of dia- meters  of  that  disc and of  a hollow disc have been  determined. To obtain  material  constants,  increase of the  diameter perpendicular to the direction of loading has been considered in both cases. In order to verify the  method, tests have been  performed  on specimens  made  of  metaplex  [poly- (methyl  metacrylate)]. P O LI T E C H N I K A  WARSZ AWSKA Praca został a  zł oż ona w  Redakcji dnia 1  lipca  1974 r.;  w  wersji ostatecznej — 5  stycznia  1975  r.