Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZN A I  STOSOWANA 3,  13  (1975) D YSKRETN Y  M OD E L  OBLICZAN IA  D RG AŃ   WŁASN YCH   I  STATECZN OŚ CI  PRĘ TÓW OSI OWO  OBCIĄ Ż ON YCH   O  D OWOLN IE  ZM IEN N YM  PRZEKROJU *) W I E S Ł AW  O S T A C H O W I C Z  ( G D AŃ S K) 1.  Wstę p Jedn ym  z  podstawowych  zagadnień  analizy  dynamicznej  prę tów  jest  zagadnienie  ba- dan ia  zachowan ia  się   ich  pod  dział aniem  skupionych  sił   osiowych.  Z akł adamy, że  prę t jest prostoliniowy,  o dowoln ie  zmiennym momencie bezwł adnoś ci przekroju  poprzecznego podparty  n a koń cach, ja k  n a  rys.  1. P oza tym  przyjmuje  się , że  na  odcinku pomię dzy koń- cami  prę t  jest  po d part y  w  dowolnej  liczbie  pun któw  podporam i  przesuwnymi  (rys.  2). '7*77, m v Rys.  1 El*  const Wź .  ?7Z.  W, M.  "3  %&  M  "2  yM.  p. Rys.  2 Powyż sze  zagadnienie  opracowan e jest  w  sposób  analityczny  dla  stosunkowo  prostych przypadków  [6, 7]  i  dla  prę tów  o  bardziej  zł oż onej geometrii  przekroju  poprzecznego  nie jest  uż yteczne.  Istnieją   sposoby  analizy  tego  zagadnienia  w  sposób  numeryczny  [1,  5], które  przy  wykorzystaniu  maszyn  cyfrowych  są   bardziej  skuteczne. *)  Praca  został a  wyróż niona  w Ogólnopolskim  Konkursie  na  prace  teoretyczne  z dziedziny  mechaniki zorganizowanym  przez  Oddział   PTM TS  w G dań sku  w 1974  r. 476 W .  OSTACH OWICZ W  pracy  przestawiono  model  analizy  dynamicznej  i  statecznoś ci  prę tów  oparty  o  zał o- ż enia  m etody  sztywnych  elementów  skoń czonych  [2, 3, 4]. P rzedstawion a  m etoda  pozwala obliczać czę stoś ci  drgań  wł asnych i postacie tych drgań  oraz wielkość obcią ż eń  krytycznych i  postacie  odkształ ceń pod  dział aniem skupionych  sił   osiowych  (rys.  2)  dla  prę tów  o  do- wolnym  przekroju  poprzecznym,  przy  wykorzystaniu  maszyny  cyfrowej. 2.  Opis  modelu Analizowany  prę t  przedstawiono  n a  rys.  2.  P od  wpł ywem  dział an ia  sił  P*  (x  =  1, 2, ...,  «),  które  obcią ż ają   prę t  w jego  osi,  zmieni  się   czę stość  drgań  wł asnych  prę ta. W  skraj- nym  przypadku  czę stość  drgań  wł asnych  bę dzie  równ a  zeru  (czę stoś ci  tej  odpowiada  kry- tyczna  wartość  obcią ż enia). Rys.  3 SESnr!  ESnrl ESnru- 1  SESnr u Rys.  4 D o  analizy  dynamicznej  prę ta  wykorzystan o  m odel  dyskretn ie  rozł oż onej  sztywnoś ci [2,  3], Zwią zane  z  nim  metody  obliczeń  n azwan o  m etodą   sztywnych  elementów' skoń czo- nych  (SES).  D yskretyzacja  modelu  cią gł ego  (n p.  prę ta)  przebiega  w  dwóch  etapach. W  pierwszym  etapie dzielimy  prę t n a  u— 1 odcinków  (rys.  3). Wł asnoś ci  sprę ż yste  każ dego odcinka  skupiamy  w  ś rodku  jego  dł ugoś ci,  ś rodku  m asy  lub  ś rodku  sztywnoś ci.  Każ dy z  tych  pun któw jest  miejscem  podział u wtórn ego  n a  sztywne  odcin ki  (zwane  sztywnymi elementami  skoń czonymi),  które  są   poł ą czone  elem entam i  sprę ż ystymi  (rys.  4).  W  ten sposób  w drugim etapie podział u otrzymujemy  ukł ad  u sztywnych  elementów skoń czonych. Elementy  sprę ż yste  są   nieważ kie,  bezwymiarowe  i  posiadają   charakterystyki  liniowe. Tak  wię c  przy  analizie  dynamicznej  i  badan iu  statecznoś ci  pom ijam y  nieliniowoś ci  ma- teriał owe,  uwzglę dniamy  zaś  nieliniowoś ci  geometryczne. Przemieszczenie r- tego  sztywnego  elementu  skoń czonego  opisane jest  przez  trzy  współ - rzę dn e:  dwa  przemieszczenia  translacyjne  q n   i  q r2   oraz jedn o  rotacyjne  q r3   (rys.  5).  Prze- mieszczenie  q n   odpowiada  rozcią ganiu  (ś ciskaniu),  q r2   —  ś cinaniu,  a  q r3   —  zginaniu. P onieważ  wiadom o  [6],  że  rozcią ganie  (ś ciskanie)  m a  mniejsze  znaczenie  przy  wyzna- czaniu  obcią ż enia  krytycznego,  szczególnie  dla  niż szych  form,  pom ija  się   przemieszczenie translacyjne  q n .  W  ten  sposób  przemieszczenie  sztywnego  elem entu  skoń czon ego  nrr opisane jest  dwoma  współ rzę dnymi:  q r2   i  q r z,  zaś  element  sprę ż ysty jest  opisany  dwom a D YSK R E T N Y  M OD EL  OBLI C Z AN I A  D R G AŃ   WŁ ASN YC H 477 współ czynnikami  sztywnoś ci  —  współ czynnikiem  sztywnoś ci  n a  ś cinanie  i  współ czynni- kiem  sztywnoś ci  n a  zgin an ie.  Współ czynniki  sztywnoś ci  ś cinania  elementu  sprę ż ystego wyznacza  się   przy  zał oż en iu, że  n aprę ż en ia  styczne  są   stał e  n ie  tylko  wzdł uż  dowolnego odcinka  Al r ,  ale  równ ież  n a  cał ej powierzchni przekroju  poprzecznego. Powyż sze zał oż enie SES nr  r Rys.  5 jest  moż liwe  do  przyję cia,  ponieważ  wpł yw  naprę ż eń  stycznych  n a  drgania  gię tne  jest stosun kowo  niewielki.  Z akł ada się , że odkształ cenia pod wpł ywem  sił y tną cej  rzeczywistego odcin ka  belki  i  zastę pują cego  go  elementu  sprę ż ystego  są   jednakowe  (rys.  6).  Stą d (2.1)  r r (t)  =   Gp r (t), gdzie  r r (t)  oznacza  n aprę ż en ia  styczne,  G —  m oduł   odkształ cenia postaciowego,  § r (t)  ~ ką t  odkształ cenia postaciowego. P odstawiają c  do  (2.1)  nastę pują ce  zwią zki (2.2) oraz (2.3) F, Al r gdzie  P r2 (0  oznacza  sił ę  tną cą   w  rozpatrywanym  elemencie, Aw r2 (t)  —  odkształ cenie po- przeczne  elem entu,  F r   —  powierzchn ia  przekroju  poprzecznego  elementu,  Al,  — dł ugość elementu, otrzym am y zwią zek  pom ię dzy sił ą  styczną   przenoszoną  przez rzeczywisty  odcmek belki  i jego odkształ cen iem (2.4)  Pr2{t)  =  ^ - Aw r2 (t). Z  drugiej  strony  zależ ność  sił y  stycznej  od  odkształ cenia  rzeczywistego  odcinka  prę ta m oż na  przedstawić  wzorem (2.5) Pr2(t)  =  ck2Awr2(t). 478 W .  OSTACH OWICZ P onieważ  w  równaniach  (2.4)  i  (2.5)  lewe  strony  są   równ e,  stą d GF r (2.6) Ck2 AL   • Współ czynniki  sztywnoś ci  zginania  elementu  sprę ż ystego  wyznacza  się   przy  zał oż eniu pł askiego  rozkł adu naprę ż eń w  zastę powanym  odcin ku prę t a.  R ozpatrzym y  pryzmatyczny odcinek  prę ta  o  dł ugoś ci  Al r   (rys.  7)  zginany  w  pł aszczyź nie  x n ,  x r2   m om en tem  M,.(t). Mr(tj Rys.  7 M om ent  M r (t)  jest  równoważ ony  przez  n aprę ż en ia  wewnę trzne.  N aprę ż en ia w  elementar- nym  wycinku  powierzchni  przekroju  poprzecznego  dF t   (rys.  7)  dają   m om en t dM r {t)  =  „.  Z akł adam y, że  sił a  wykonuje  pracę  dodatnią  przy  ś ciskaniu.  Z atem lub (3.12) X - 1 n  u dL   =   — U wzglę dnienie  pracy  sił  osiowych  P K   stanowi  nowość  w metodzie SES z uwagi n a  uwzglę d- nienie  nieliniowoś ci  geometrycznych  i  pozwala  n a  uchwycenie  istotnych  zwią zków  po- mię dzy  tym i  sił ami  a  drgan iam i  i  statecznoś cią  prę ta. SES  nr  r  _ i i x r ? £1 ESnrk  _ W rkZ & i  «*;&- • -• j _ ^ _ ^ _ — V|[ ł x/ « SES nr p '  / l> -̂ ^ r j — • Rys.  9 7 - «p - ^ - Odkształ cen ie  con t in u u m  w  ukł adzie  dyskretnym  zastę puje  odkształ cenie  elementów sprę ż ystych  (rys.  9).  P onieważ  SES  posiada  dwa  stopnie  swobody  element  sprę ż ysty  od- kształ ci  się  w  kierun ku  osi  x r2   oraz  bę dzie  zginany  w  pł aszczyź nie  x n ,  x r2 . Wektor  przemieszczeń  pun ktu  zamocowania  elementu  sprę ż ystego  numer  k  do  SES o  num erze r  oznaczymy (3.13)  {W f k}  =  COl  {W rk2 ,  W r »}. gdzie  w,. k2   oznacza  wektor  przemieszczenia  w/ w  pun ktu  w  kierunku  osi x r2   (rys.  9), w rki   — obrót  w/ w  pun ktu  w  pł aszczyź nie  x rl ,  x r2 .  Wektor  przemieszczeń  pun ktu  zamocowania elementu  sprę ż ystego  o  numerze k  m oż na  uzależ nić  od  współ rzę dnych  uogólnionych  SES o  num erze r  n astę pują co: w vk3 gdzie  SP r   jest  współ rzę dną  zam ocowan ia  elementu  sprę ż ystego  w  ukł adzie osi  współ rzę d- nych  SES  n um er  r  (rys.  9).  Wektor  odkształ ceń  elementu  sprę ż ystego  o  numerze  k  jest funkcją  przemieszczeń  pun któw jego  zam ocowania  do  SES  n um er r  i  p (3.15)  {Aw k }  =   col  {Aw k2 ,Aw k3 }, gdzie  Aw k2   =   w rk2 - w pk2 ,  Aw k3   =  w rk3 - w pk3 . 12  Mechanika  Teoretyczna 482 W .  OSTACH OWICZ Wielkość  odkształ cenia elementu sprę ż ystego  zależy  od  współ czynników  sztywnoś ci  c k2 [równanie  (2.6)]  oraz  c k3   [równanie  (2.12)].  Wobec  tego  energię   potencjalną   m oż na  za- pisać  jako K - l  n  u ft- 1  K - l  ( = * K Ostatnie  równanie  moż na  zapisać  w  postaci  macierzowej.  W  tym  celu  przekształ cimy równanie  energii  potencjalnej  fc- tego  elementu  sprę ż ystego  w  ten  sposób,  aby  uzyskać bezpoś rednią   zależ ność  od  współ rzę dnych  uogólnionych  są siadują cych  z  nim  SES (3.17)  V k   =   - j  AwjfCtAWfc, gdzie  C k   =   diag  {c k2 ,  c k3 },  uwzglę dniając  zaś  zwią zki  (3.14)  i  (3.15),  otrzymujemy gdzie 1  SL J 0  1  J ' q,.  =   col  {q r2 ,  q r3 },  q P  =   co l  {gpl,  qp3}. Oznaczenia  SP r   i  SL P   podan e  są   na  rys.  9. Wprowadzają c  zwią zek  (3.18)  do  równ an ia  (3.16)  otrzymamy SP r 0  1 (3.19) gdzie 1  2  Ł J' ~k  li-   l i Ł H - 1  , 1 1 -   1  * • » —1  .11  | k  k  ( ' ,AQ,AL ;  =   d ia g  {Al, H ,  Al, H+l . ({ — wektor  współ rzę dnych  uogólnionych  ukł adu. Wyrazy  bloków  macierzy  K mają   nastę pują cą   postać: (3 20)  k  =   S r P  S  k  S r C  S  k  =   S r C  S  k  =   k r Celem  dalszego  uproszczenia  równania  (3.19)  wprowadzimy  nową   macierz  B!): (3.21) B*  - K - l M acierz  B*  ma  maksymalny  wymiar  u x  M, a  macierz  K  wymiar  2M  X 2W.  D oprowadzam y do  zrównania  stopni  obydwu  macierzy  tworzą c  macierz  B  o  wymiarze  2u x 2u.  D okon ać tego  moż na  przez  wprowadzenie  zerowych  wierszy  i  kolum n  (począ wszy  od  pierwszego co  drugi  wiersz i kolumnę ). D YSK R E T N Y  M OD EL  OBLI C Z AN I A  D R G AŃ   WŁASN YC H   483 Wprowadzon e  zmiany  nie  mają   wpł ywu  na  rozwią zanie  ukł adu  równań  (3.19),  a  mają jedyn ie  n a  celu  uproszczenie  zapisu  wspomnianych  równ ań .  Ł atwo  zauważ yć,  że  maksy- m aln a  liczba  wyrazów  q( wynosi  u, ponieważ  praca  sił  P *  jest  tylko  funkcją   współ rzę dnych rotacyjnych  q r3 ,  a wektor  q posiada  maksymalny  wymiar  2u. Aby  uproś cić  zapis  równania (3.19)  konieczne  jest  sprowadzenie  obydwu  wektorów  do  jednakowego  wymiaru.  Wobec tego  równ an ie  (3.19)  przyjmuje  postać (3.22)  K  =   i - qr K q - l< fB q. P och odn a  energii  potencjalnej  zapisanej  w  postaci  (3.22)  wzglę dem  wektora  współ - rzę dnych  uogóln ion ych  m a  postać (3.23)  ^ = K q - B q . P odstawiają c  zwią zki  (3.8)  oraz  (3.23)  do  równ an ia  (3.1)  otrzymamy (3.24)  M ^ + K q - Bq  =   0. R ówn an ie  (3.24)  jest  równ an iem  ruchu  prę ta  prostego  o  dowolnie  zmiennym.przekroju poprzecznym  obcią ż onego  sił ami  osiowymi. 4.  Waru n ki  brzegowe N iektóre  sposoby  podparcia  prę tów  prostych  przedstawiono  na rys.  1 i 2.  Każ dy  z tych sposobów  wprowadza  ograniczenia  w  ruchu  prę ta,  a  wię c  muszą   być  narzucone  okreś lone warun ki  n a  równ an ie  (3.24),  które  wyprowadzono  dla  ukł adu  dyskretnego  zł oż onego z  SES  o  dwóch  stopn iach  swobody.  Warun kam i  tymi  są   zerowe  wartoś ci  niektórych  skł a- dowych  wektora  współ rzę dnych  uogólnionych  q, tzn . tych skł adowych, które stanowią   wek- tory  przemieszczeń  SES  o  ograniczonym  ruch u.  Przykł ady  wspomnianych  ograniczeń p o d an o  n a  rys.  15. Ograniczenie  ruch u  wprowadza  również  dodatkowe  zmiany  w  macierzach  bezwł ad- noś ci  M   oraz  sztywnoś ci  K  i  tak  n p.  m om en t  bezwł adnoś ci  SES  zamocowanego  do  pod- pory  przesuwnej  (rys.  15, warian t  V) należy  obliczać  wzglę dem  osi  obrotu,  a  nie  wzglę dem osi prostopadł ej do pł aszczyzny  ruchu i przechodzą cej  przez  ś rodek  masy, jak  to m a  miejsce w  przypadku  swobodn ego  SES.  To  samo  dotyczy  obliczeń  momentów  bezwł adnoś ci skrajnych  SES  w  przypadkach  I I  i  I I I . W  przypadku  I V  SES  ma  ograniczone  moż liwoś ci przemieszczenia  się   w  kierun ku  poprzecznym,  ja k  i  obrotu  i  dlatego  współ czynniki  bez- wł adnoś ci  mają   wartość  zero.  Z  ograniczeniem  ruchu  wią że  się   także  zm iana  współ rzę d- nych  zam ocowan ia  elementów  sprę ż ystych  (w  ukł adzie  osi  współ rzę dnych  SES —  patrz rys.  9),  a  tym  sam ym  zm ian a  bloków  macierzy  K  ([3.19]),  które  są   zwią zane  z  tymi  SES. Z erowanie  niektórych  wyrazów  wektora  q  zmniejsza  wymiar  macierzy  M , K i B w  rów- n an iu  (3.24)  o liczbę   tych  wyrazów.  M acierze  m as,  sztywnoś ci  i  macierz B  o  zmniejszonym wymiarze  oznaczymy  przez  M '  K'  i  B' 12* 484  W.  O ST AC H O WI C Z 5.  D rgan ia  wł asne,  stateczn ość  poł oż enia  równowagi Weź my  pod  uwagę  ukł ad  równań  ruchu  (3.24)  odpowiedn io zmodyfikowany  w  zwią zku z  uwagami  podanym i  w  rozdziale  4.  Rozwią zania  powyż szego  ukł adu równ ań  róż niczko- wych  poszukujemy  w  postaci  harm onicznej, tzn. zakł adam y, że (5.1)  q  =   q 0sin tof, gdzie  q 0  —  wektor  amplitud  drgań,  co  —  czę stość  drgań  wł asnych.  Wprowadzając  zwią zek (5.1)  do  równania  (3.24), otrzymamy (5.2)  [ ( K ' - B ' ) - 0 J2 M ' ] q 0  =   0. Równanie  (5.2)  posiada  rozwią zanie  nietrywialne  wówczas,  gdy  wyznacznik  gł ówny  ma- cierzy (5.3)  det  |( J K ' - B ' ) - w2 M ' |  =   0. W  ten  sposób  obliczanie  czę stoś ci  drgań  wł asnych  prę ta  obcią ż onego  sił ami  osiowymi sprowadza  się  do  problem u  znajdowania  wartoś ci  wł asnych  macierzy. Przypadek  badan ia  statecznoś ci  ukł adu jest  bardziej  prosty.  Warun kiem  utraty  sta- tecznoś ci  jest  nietrywialne  rozwią zanie  równ an ia  (5.2)  przy  zał oż eniu,  że  czę stość  drgań wł asnych jest  równa  zeru,  a  więc (5.4)  ( K ' - B ' ) q0  =   0, przy  czym  wartoś cią  niewiadomą  w  tym  przypadku  jest  wartość  P H   (r. =   1, 2,  ..., «) wchodzą ca  w  skł ad macierzy  B\ Równanie  (5.4)  m oż na  uproś cić,  ponieważ  macierz  B'  zawiera  zerowe  wiersze  i  ko- lumny  (patrz  przekształ cenie  macierzy  B*  w  macierz  B)  o  n um erach  odpowiadają cych kolejnym  amplitudom  wektora  q 0  w  kierun ku  poprzecznym  prę ta.  Z  uwagi  n a  fakt,  że wyrazy  macierzy  K'  leż ą ce  n a  i w  pobliżu  gł ównej  przeką tnej  są  róż ne  od  zera,  celem  speł - nienia  równania  (5.4)  przemieszczenia  (am plitudy  drgań )  w  kierun ku  poprzecznym prę ta muszą  być  równe  zeru. Wobec  zerowych  wyraż eń  wektora  q 0  macierze K'  i B'  zmniejszają  swój  wymiar  o  liczbę wspomnianych  wyraż eń.  M acierze K'  i B'  o  zmniejszonym  wymiarze  oznaczymy  przez  K" i  B".  Wówczas  równanie  (5.4) przyjmie  postać (5.5)  ( K "- B ") q§  =   0, gdzie  qg  =   col  {q 0r3 },  r  =   ( 1 , 2 ,  ...,u). Jeż eli  n p. SES  num er r  nie  m a  moż liwoś ci  obrotu  w  pł aszczyź nie  x ri ,  x r2 ,  wówczas wyraz  q 0r3   wektora  q$ jest  równy  zeru. Wartość  nieznana tzn . obcią ż enie  krytyczne  P K   wchodzi  w  skł ad macierzy  B".  Przyjmu- jem y  zał oż enie, że sił y  osiowe  P H   są  zależ ne  od  param etru P  wedł ug  wzoru (5.6)  .  P K  =   P««  ( *. -   1, 2, . . . , / / ) . Wobec  tego  macierz B "  moż emy  zapisać (5.7)  B "= P B ; ' , n gdzie  B' a '  =   ]£  a* ALi  [porównaj  zwią zek  (3.21)].  Wprowadzając  zwią zek  (5.7)  do  rów- i D YSK R E T N Y  M OD EL  OBLI C Z AN I A  D R G AŃ   WŁASN YC H 485 n an ia  (5.5)  otrzym am y (5.8)  ( K "- P BL ') q8  =   0. R ówn an ie  (5.8)  przedstawia  typowe  zagadnienie  wartoś ci  wł asnych  macierzy.  Rozwią za- niem  tego  równ an ia  są   wartoś ci  wł asne  P„  i  odpowiadają ce  im  wektory  wł asne  qg„, v  <  u. Są   to  wielkoś ci,  dla  których  speł nione jest  równanie  (5.8). W  rozpatrywanym  zagadnieniu />„  oznacza  sił ę  krytyczną ,  zaś  q$„   postać  odkształ cenia  od  poł oż enia równowagi  pod  dzia- ł aniem  obcią ż enia  krytycznego (5.9)  P v =   Pvax  ' ( « =   l i  2,  . . . , «) . 6.  P rzykł ady  obliczeń P rzedstawione  przykł ady  obrazują   moż liwoś ci  zastosowań  metody,  jak  również  dają poglą d  o  dokł adn oś ci  obliczeń.  W  pierwszym  przykł adzie  podan o  obliczenia  sił y  krytycz- nej  kolum n y  prostej  o  zmiennym  przekroju  przy  róż nym  podziale  na  sztywne  elementy skoń czone  i  wyniki  tych  obliczeń  porówn an o  z  rozwią zaniami  analitycznymi.  W  drugim przykł adzie  obliczono  czę stoś ci  drgań  prę ta  o  stał ym  przekroju  w  funkcji  sił y  ś ciskają cej. a) •  h b) / ; =  600 mm 12=  700 mm E- 2- W e kG/ cm ! r, •   18 cm 4 Rys.  10 I  w  tym  przypadku  rozwią zanie  porówn an o  z  wynikami  metod  analitycznych.  W  przy- kł adzie  trzecim  obliczon o  czę stoś ci  drgań  wł asnych  wał u  o  skokowo  zmiennym  przekroju poprzecznym  równ ież  w  funkcji  sił y  ś ciskają cej. P r z y k ł a d  1.  Policzont)  trzy  pierwsze  sił y  krytyczne  i  odpowiadają ce  im  formy odkształ ceń  dla  kolum n y  o  zmiennym  przekroju  (rys.  10),  dla  róż nej  gę stoś ci  podział u n a  sztywne  elementy  skoń czon e.  P aram etry  kolum ny  podan o  n a rys.  10.  Kolum n ę  podzie- 486 W .  OsTACH OWICZ lon o  n a  u  odcinków  o  dł ugoś ci  Al  =   l/ u, a  nastę pnie  wł asnoś ci  sprę ż yste  każ dego  odcinka zastą piono  elementem  sprę ż ystym,  który  umieszczono  w  ś rodku  odcin ka.  Otrzym an o w  ten  sposób  u  sztywnych  elementów  skoń czonych.  Wartoś ci  obcią ż eń  krytycznych  obli- czono  z  równania  (5.8)  wykorzystują c  stan dardowe  program y  obliczają ce  wartoś ci  wł asne macierzy. Tablica  1 Liczba SES CO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 wartość dokł adna •   PL [kG ] 4970,41 6459,86 6573,64 6690,18 6713,57 6739,65 6752,55 6758,77 6768,61 6768,65 6774,59 6781,84 6786,39 Pkrl- Plrl [%] 4,811 3,135 1,418 1,073 0,689 0,498 0,407 0,262 0,261 0,173 0,067 — Pkr2 [kG ] 3)232,40 44510,78 47788,22 50154,60 51145,54 51819,66 52306,58 52518,90 52830,59 53106,60 53262,86 53721,84 Pkr2  — PkrZ P°kr2 [%] 41,863 17,146 11,045 6,640 4,796 3,541 2,634 2,239 1,659 1,145 0,854 — PkrZ [kG ] __ — 78349,4 110615,8 125253,0 134704,1 140537,8 144021,9 147178,5 148591,1 151158,5 153649,3 157243,0 Pkri- PkrS Pfcs [%] 50,173 29,653 20,344 14,334 10,624 8,408 6,401 5,502 3,863 2,285 — O b j a ś n i e n i a: Pkri,Pkr2,  Pkr3—pierwsza,  druga  i  trzecia  sił a  krytyczna  obliczona  dla  ukł adu  dyskretnego  zł oż onego z  /   SES, Pkn,Pkr2,Pkr3  — dokł adne  wartoś ci  sił  krytycznych. Wyniki  przedstawiono  w  tablicy  1.  D okł adn a  wartość  obcią ż enia  krytycznego  wynosi, zgodnie  z  [6] P kn   =  6 786,39  kG ,  P kr2   =   53 721,84  kG ,  P kr3   =   157  243,02  kG . N a  rys.  11  przedstawiono  wykres  sił y  krytycznej  obliczonej  metodą   podział u  kolum n y na  SES  w  zależ noś ci  od  gę stoś ci  podział u.  Z  przedstawionych  danych  wynika,  że  wyniki obliczeń  metodą   SES  są   zbież ne  m on oton iczn ie  do  wartoś ci  dokł adnej  i  zbiegają   się   od doł u,  w  przeciwień stwie  do  metody  przedstawionej  w  [1].  W  ten  sposób  sił a  krytyczna obliczona  prezentowaną   metodą   jest  «bardziej  bezpieczna»  niż  w  innych  przypadkach . P ostacie  odkształ ceń przedstawiono  w  tablicy  2  i  n a  rys.  12. P r z y k ł a d  2,  P oliczono  trzy  pierwsze  czę stoś ci  drgań  wł asnych  prę ta  o  stał ym przekroju  (rys.  13) dla róż nych wartoś ci  sił  osiowych  P.  P aram etry prę ta p o d an o n a rys.  13. P rę t podzielono  n a 9 odcinków  a nastę pnie wł asnoś ci  sprę ż yste  każ dego  odcinka, podobn ie jak  poprzedn io,  zastą piono  elementem  sprę ż ystym,  który  umieszczono  w  ś rodku  odcinka. U zyskano  w  ten  sposób  10  SES.  Czę stoś ci  drgań  wł asnych  obliczono  z  równ an ia  (5.3). Wyniki  przedstawiono  w tablicach  3,4,  5, zestawiają c  je  z rozwią zaniami  analitycznymi  [7]. 6 800 6 750 6 700 6 850 6600 6550 6500 6 450 Pk • ­ ­ ­ ­ i ( p,  .~R  7P/ ; / ? kB M ~- Lie 1 a — 2  3  4  5  6  7  8  9  10­11  12  13  14  15 Rys.  11 Forma nr2 /rc— j I TT E­2­to'kB/cm1  J i 1=180 cm  Ą— i  I'9cm4 — s. Rys.  13 [487] 1 1,0 0,11 0,6 0,1 0,2 U),/wf I s. - ^ V \ P/ P ):r n 0,2  0,4  0,6  0,8  1,0 Rys.  14 Sposób ograniczenia  ruchu r~r~T m w v Model  dyskretny X SI 3QC Oznaczenia: element  sprę ż ysfy;  o  przegub  sworzniowy Rys.  15 1000—J "7" _ C D 5 400 U  600- ^ 400 Rys.  16 [488] D YSKRETN Y  MODEL  OBLICZANIA  DRGAŃ   WŁASNYCH 489 N a  rys.  14  przedstawion o  zależ ność  pomię dzy  czę stoś cią   drgań  wł asnych  i  obcią ż eniem w  osi  prę ta. P r z y k ł a d  3.  P oliczon o  trzy  pierwsze  czę stoś ci  drgań  wł asnych  wał u  o  skokowo zmiennym  przekroju  (rys.  16)  dla  róż n ych  wartoś ci  sił   osiowych  P.  Wymiary  wał u  podan o n a  rys.  16.  Przyję to  wartoś ci  m oduł u  Youn ga  i  m oduł u  odkształ cenia  postaciowego  odpo- wiedn io:  E  =   2-   106  k G / c m 2 :  G  =   8-   105  kG / cm 2.  P odobn ie  jak  poprzednio,  wał   po- dzielono  n a  10  SES.  Czę stoś ci  drgań  wł asnych  obliczono  z  równania  (5.3).  Wyniki  zesta- wion o  w  tablicy  6. Tablica  2 Nr SES 1 2 3 4 5 6 F orm a nr  1 1,00000 0,95606 0,82809 0,63963 0,45084 0,23294 F orm a nr  2 - 1,00000 - 0,66653 0,11148 0,77206 0,91072 0,60313 F orma nr  3 1,00000 0,12171 - 0,97037 - 0,39543 0,56484 0,79616 Tablica  3 Sił a osiowa [kG ] 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5100 5200 5300 5400 Pierwsza czę stość drgań  wł asnych (wartość  do- kł adna) 125,6162 119,1210 112,2732 104,9796 97,1399 88,6094 79,1648 68,4289 55,6594 38,9027 34,5906 29,6580 23,7211 15,6773 Pierwsza czę stość drgań  wł asnych (wartość  przy- bliż ona) 125,5961 119,0759 112,1541 104,7752 96,8348 88,1813 78,5795 67,6267 54,5145 37,0151 32,4000 27,0072 20,2241 9,4145 Bł ą d wzglę dny 0,016 0,038 0,106 0,195 0,314 0,483 0,739 1,172 2,057 4,852 6,333 8,938 14,742 39,948 13  Mechanika  Teoretyczna Tablica  4 Sił a osiowa [kG ] 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5100 5200 5300 5400 D ruga  czę stość drgań  wł asnych (wartość  do- kł adn a) 520,9650 514,8459 508,6532 502,3842 496,0360 489,6055 483,0893 476,4841 469,7860 462,9911 461,6201 460,2450 458,8658 457,4824 D ru ga  czę stość drgań  wł asnych (wartość  d o - kł a d n a ) 520,3215 513,9683 507,5349 501,0182 494,4148 487,7214 480,9340 474,0488 460,0612 459,9668 458,5347 457,0980 ""'455, 6567  ' 454,2109 Bł ą d wzglę dny 0,123 0,179 0,220 0,272 0,327 0,385 0,446 0,511 0,580 0,653 0,668 0,684 0,699 0,715 Tablica  5 Sił a osiowa TkGl 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5100 5200 5300 5400 Trzecia  czę stość drgań  wł asnych (wartość  do- kł adn a) 1179,7506 1173,6910 1167,5999 1161,4769 1155,3215 1149,1331 1142,9111 1136,6551 1130,3645 1124,0387 1122,7693 1121,4984 1120,2261 1118,9523 Trzecia czę stość drgań  wł asnych (wartość  przy- bliż ona) 1174,8443 1168,2580 1161,6336 1154,9705 1148,2679 1141,5253 1134,7418 1127,9168 1121,0494 1114,1389 1112,7516 1111,3625 1109,9716 1108,5790 Bł ą d wzglę dny ["/ „] L/  OJ 0,416 0,463 0,511 0,560 0,611 0,662 0,715 0,769 0,824 0,881 0,892 0,904 0,915 0,927 [490] D YSKRETN Y  MODEL  OBLICZAN IA  D RG AŃ   WŁASN YCH 491 Tablica 6 Sił a osiowa (T ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Pierwsza czę stość drgań  wł asnych 300,353 296,850 293,280 289,642 285,930 282,141 278,268 274,307 270,251 266,093 261,825 257,439 D ruga  czę stość drgań  wł asnych 552,192 547,388 542,515 537,568 532,545 527,443 522,258 516,987 511,626 506,171 500,618 494,963 Trzecia  czę stość drgań  wł asnych 1550,327 1545,022 1539,621 1534,118 1528,508 1522,787 1516,948 1510,985 1504,893 1498,663 1492,289 1485,764 7.  Wnioski Z  przedstawionych  rozważ ań  wynika,  ż e: 1)  m etodę   m oż na  stosować  do  obliczeń  drgań  wł asnych i  badan ia  statecznoś ci  prę tów prostych  o dowolnym  przekroju  poprzecznym , 2)  przy  niewielkiej  gę stoś ci  podział u  con tin uum n a SES otrzymuje  się   dość  dokł adne wyniki, 3)  dzię ki  prostem u  zapisowi  macierzowemu  m etoda  daje  się   ł atwo  zaprogramować w  obliczeniach n a elektronicznej  maszynie  cyfrowej. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  H . B.  H AR R I SON ,  Post- bucling  analysis  of  non- uniform  elastic  columns,  I n t .  Jour,  for N um erical M et h .  in E n g., 7  (1973). 2.  J .  K R U SZ E WSK I ,  Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  w zastosowaniu  do obliczeń  czę stoś ci  drgań wł asnych zł oż onych  ukł adów  liniowych, Z esz. N aukowe P olitechn iki G dań skiej n r 165,  M echan ika  XI I , 1971. 3.  J .  K R U SZ E WSK I ,  W.  G AWRON SKU ,  E .  WI TTBR OD T,  F .  N AJBAR ,  S.  G R ABOWSKI , Metoda  sztywnych  ele- mentów  skoń czonych,  Arkad y  (przygotow.  do  druku). 4.  J.  K R U SZ E WSK I ,  W.  G AWR O Ń SK I,  E .  WI TTBR OD T,  Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  w obli- czeniach  drgań  konstrukcji  okrę towych,  R ozpr.  I n ż ., 3 (1974). 5.  C. O R AN ,  On the significance  of  a  type  of  divergence,  Jo u rn .  of Appl.  M ech.,  Sept. (1972). 6.  S. P .  TIM OSH EN KO, J.  M .  G E R E ,  T eoria  statecznoś ci  sprę ż ystej,  Arkady,  Warszawa 1963. 7.  X.  LCH I- JIEP,  Ocuosbi  meopuu  yanounueocmu  KoucmpyKuuu,  M ocKBa  1971. 13* 492  W.  OSTACH OWICZ P  e 3 io  M e flH CKPETH AH   MOflEJIL  flJIfl  PACTETA  YCTOH ^H BOCTH   H   COBCTBEHHBIX KOJIEBAHHfł   HATPy>KEHHBIX  BflOJTŁ  OCH   CTEPKH EIi nEPEM EH H OrO  CEH EH IM B  p a 6o ie  paccMaipHBaeTCH  lueTOH  p a c ^ e ia  ycToirom ocTH   H  COG CTBEH IIBIX  K0Jie6aHHH  cTepHureK oceBoit  H arpy3Kii  n p n  HcnonŁ3OBaiiHH   M eiona  McecTKiix  KOH cqutix  sJieM ein oB. TeopeTiraeciaie  OCH OBŁI  MeTo^a u  oqeH Ka  e r o  TO^JH OCTH .  FIoKa3aHM   n pH M epti pa3pa6oTan  c  T O ^ K H   3pein ra  npnM eH ennH   irH<|>poBbix  B S u m m a r y TH E  D ISCRETE  M OD EL  OF   CALCU LATION   O F   N ATU R AL  VIBRATION   F R E QU E N C Y  AN D STABILITY  OF  AXIALLY  LOAD ED   ROD S WI TH   ARBITRARILY  VARIABLE  CROSS- SECTIONS The  method  presented  consists  in  calculating  the  n atural  vibration  frequency  and  stability  of  axially loaded  rods  by  the stiff  finite  elements  method. Theoretical  basis  of  the  method  and  its  accuracy  are  dis- cussed  in  the  paper,  and  the  examples  of  its  application  are  given.  The  method  is  suitable  for  electronic computer  technique. P OLI TE C H N I KA  G D AŃ SKA,  G D AŃ SK Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  27  stycznia  1975  r.