Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H A N I K A TEORETYCZN A I  STOSOWAN A 3,  13:  (1975) O  STRU KTU RZE  ROZWIĄ ZAŃ   W  ZAG AD N IEN IACH   PŁYT  OR TOTR OP OWYC H BOG D AN   R  O G  O W S K I  ( Ł Ó D Ź ) M etodą   asymptotycznego  cał kowania  równań  teorii  sprę ż ystoś ci  badano  wewnę trzny stan  naprę ż enia  w  problem ie  zginania  pł yt  ortotropowych  w  pracach  [1, 2]  oraz  stan naprę ż enia  w  warstwie  przybrzegowej  w  [3]. W  niniejszej  pracy  buduje  się   rozwią zania ogólne  dla  pł yty  ortotropowej,  przy  dowolnym  obcią ż eniu  pł aszczyzn  ograniczają cych |x31  =  h  oraz  rozwią zania  jedn orodn e, tj. takie,  które  speł niają   jednorodne  naprę ż eniowe warunki  brzegowe  n a tych  pł aszczyznach, a n a pozostał ych brzegach  (na konturze) mogą przyjmować  z  góry  dan e  wartoś ci  naprę ż eń  lub przemieszczeń.  Posł uż ono się  przy tym metodą   symbolicznego  operatorowego  zapisu  rozwią zań  [4] oraz zastosowano  wprowadzo- ne  n a wstę pie  pracy  funkcje  przemieszczeń  dla rozpatrywanej  klasy materiał ów. 1.  R ówn an ia  podstawowe zagadnienia Rozpatrzymy  jedn orodn e,  sprę ż yste  ciał o  z  prostoliniową   ortotropią   wł aś ciwoś ci sprę ż ystych.  Przyjmiemy  kartezjań ski,  prostoką tny  ukł ad  współ rzę dnych X- ,. Równania  równowagi (1.1)  Gij- j+X;  = 0;  i , y =   1 , 2 , 3 , po  uwzglę dnieniu  zwią zków  fizycznych (1.2)  O 22   = < 733  =   C13U1,l+C23U2,2  + C33lf3,3,  023  =   < J 23(j/ 2, 3 +  "3,2) przyjmą   postać  równ ań  przemieszczeniowych  (pominię to  sił y  masowe  X ( ) t ' l l W l , l l + G : i 2 W l , 2 2 + G ! 1 3 H l l 3 3  +  ( c 1 2  +  G l 2 ) w 2 j l 2 + ( c 1 3  +  G ! I3)M 3, 13  =   0 , (1.3)  G 1 2 M 2 > 1 1  +  C 2 2 M 2 , 2 2 +  G ! 23M 2,33 +  ( C 1 2 +  G ! 1 2 ) W 1 1 1 2 +  (C 23 +  G ! 23)W3,23  =   0 , )u 2a3   ==   0 . Rozpatrzymy  klasę   m ateriał ów ortotropowych, których  odpowiednie  stał e  sprę ż ystoś ci w  dwóch  wzajemnie  prostopadł ych pł aszczyznach symetrii  sprę ż ystej  x l   O x 3 ,  x 2   O x 3  są proporcjonalne n  A\   G23  c 2 3  _  ] / c 2 2  C i.a+ 2G 1 2  _  .(l.ą )  —  — -   —  —  —  A, "1 3  c i 3 422  B.  RoaowsKi czyli  te materiał y, których  wł aś ciwoś ci  sprę ż yste  charakteryzuje  sześć niezależ nych stał ych. Zwią zek  (1.4.)  speł niony jest w przypadku  materiał ów poprzecznie izotropowych  (A  =   1), izotropowych,  a  w  niektórych  materiał ach  konstrukcyjnych  ortotropowych  proporcjo- nalność  ta może  mieć  miejsce  (np. laminaty, czy pewne  przypadki  anizotropii  konstruk- cyjnej). D la  rozpatrywanej  klasy  materiał ów  przemieszczeniowe  równania  równowagi  przyj- mują   postać )  ( ) u 3 a 3  =  0, )w3, 23  =   0, =  0 . Równania  (1.5)  uzupeł nione warunkami  brzegowymi  na pł aszczyznach  ograniczają cych opisują   zagadnienia  równowagi  rozpatrywanego  oś rodka. 2.  F un kcje  przem ieszczeń Rówania  (1.5.)  mają   budowę   podobną   do równ ań  przemieszczeniowych  oś rodka  po- przecznie izotropowego  i dlatego  moż liwe jest  rozdzielenie  tych  równ ań przez  wprowadze- nie  trzech  funkcji  przemieszczeń  [6].  Postę pując  analogicznie  jak  w  [6] otrzymuje  się u t   = axp lt y  + (p 2 (2.1)  u 2   =   a

(3.1)  ffisU - A± ffisl*.- - A  =Pl±PT , O23U  -   '1 ±  ""asU, -   - 1,  -   pt  ±pl  • Wyraż ając  funkcje  okreś lają ce  intensywność  obcią ż eń  stycznych  przez  nowe  funkcje x ± (x l ,x 2 ),  % ± (x 1 ,x 2 ) i i ' ±,,±   _  5- 1  ii. '  1  u% (3.2) Pi" h* dx 2   dXi i  wykorzystują c  odpowiedn ie  zwią zki  (2.6.),  otrzymuje  się   z  (3.1.)  warunki  brzegowe  dla funkcji  przemieszczeń + ±91 +Xt > 3| (3- 3)  3 3 ( C P !  +(p2)\ X3  =  / l  ±d 3{cpt  + 9 » 2 ) U =   - A  = T + 2 3 424  B.  ROG OWSKI Z  (3.2) wynikają  zwią zki (3.4)  A £ gdzie oznaczono Stosując  symboliczny  zapis  rozwią zań,  odpowiadają cych  liniowym  równ an iom  róż nicz- kowym  czą stkowym  [4], zapiszemy  rozwią zania  równ ań  (2.2) w postaci 3  (x a ),  i/ >4(xa)  są  funkcjami  począ tkowymi okreś lonymi  w  pł aszczyź nie  ś rodkowej  x 3   =  0,  które  wyznacza  się z  warun ków  brzego- wych  (3.3), a dział ają ce  n a te funkcje  operatory  Ś i;   Ci (i =   1, 2, 3) są  liniowymi  operato- ram i  nieskoń czonego  rzę du,  zależ nymi  param etryczn ie  od zmiennej  x 3 (3.6) _  sin ^|/ Ax3  y  (- l)"x 2 3 n+1 sf"A n V1 - 2 (2«)1 F unkcje począ tkowe  wa i y>3  opisują, ja k wynika z (2.1), i  (3.5), pole przemieszczeń, w  któ- rym  u a  są  antysymetryczne  wzglę dem  pł aszczyzny  ś rodkowej,  a u 3   symetryczne  wzglę dem tej  pł aszczyzny;  opisują  więc  problem  zginania  pł yty,  czyli  tzw.  zagadnienie  pł ytowe. P ozostał e funkcje  począ tkowe,  wystę pują ce  w  (3.5), opisują  zagadnienie  tarczowe  w pł ycie. Z  warunków  brzegowych  (3.3)  otrzymuje  się (37) l s c  C - U W (3.7)  ftCCSJAy dla  zagadnienia  pł ytowego  oraz dla  zagadnienia  tarczowego. O  STRU KTU RZE  ROZWIĄ ZAŃ   W  ZAG ADN IEN IACH   PŁYT  4 2 5 Operatory  S t ,  C t   otrzymuje  się   z  operatorów  Ą ,  Q  danych wzorami  (3.6),  zamieniają c formalnie  x 3   n a A. U wzglę dniając  (3.7), (3.8) w  (3.5), a t e w  (2.1), otrzymujemy  rozwią zania w  symbolicznym  zapisie  operatorowym (3.9) 12  — C ] S2 dla  a  =   1, dla  a  =   2 dla  zagadn ien ia  pł ytowego  oraz ~  {[siS 1 Ć 2 - as z 2 S 2 Ć 1 ](q++q- \ a - 3 5 2 -   4  C2  Ą dla  zagadn ien ia  tarczowego. Zwią zki  (3.9),  (3.10),  stanowią ce  rozdzielone  przemieSzczeniowe  równania  równowagi omawianego  oś rodka,  uwzglę dniają   obcią ż enia  n a pł aszczyznych  ograniczają cych  \ x 3 \   =  h. P o  lewej  stron ie  dział ają   n a  skł adowe  wektora  przemieszczenia  Ui(x t )  operatory  róż nicz- kowe  zależ ą ce  od  dwóch  zm iennych  x a ,  a  p o  prawej  n a  funkcje  obcią ż eń  (dwóch  zmien- nych  x a )  dział ają   operatory  róż niczkowe  zmiennych  x a ,  parametrycznie  zależ ą ce  od zmiennej  x 3 .  W  przypadku,  gdy  n a  kon turze  pł yty  wystę pują   warunki  brzegowe  typu antysymetrii,  z  ró wn ań  tych  m oż na  otrzym ać  ś cisłe  rozwią zanie.  W  tym  bowiem  przy- padku  m oż na  posł uż yć  się   m etodą   podwójnych  szeregów  F ouriera  i  wówczas  dział anie operatorów  wystę pują cych  w  tych  rozwią zaniach  n a funkcje  obcią ż eń  i  przemieszczenia  u t bę dzie  zn an e  [5].  P rzy  in n ych  typach  warun ków  brzegowych,  dla  speł nienia  warunków brzegowych,  n iezbę dne  są   rozwią zan ia  jedn orodn e,  tj.  takie  rozwią zania,  przy  których znikają   n aprę ż en ia  n a  pł aszczyznach  ograniczają cych  \ x 3 \   =  h,  n atom iast  n a  pozostał ych powierzchniach  brzegowych  pł yty  pole  przemieszczeń  i  naprę ż eń  przyjmuje  z  góry  dane wartoś ci. 426  B.  R O G O WSK I 4.  R ozwią zan ia  jedn orodn e Wyznaczmy  pole  przemieszczeń  odpowiadają ce  nieobcią ż onym  pł aszczyznom  ogra- niczają cym  \ x 3 \  =  h.  Trzeba  zatem  znaleźć  taką  klasę  funkcji  począ tkowych  w a (x a ), »„(*<,), y> 3 (x a ),  if4.(x a ),  które zgodnie  z  (3.3) i  (3.5) speł niają  równania (4.1)  C 1(wJ) +  C2(vv2) =   0, C3( v3)  -   0 w zagadnieniu pł ytowym oraz (4. 2) AS 3 ( y 4 )  =   0 w zagadnieniu tarczowym. W zagadnieniu  pł ytowym funkcja  ^ ( J O , )  taka, że (4.3)  wj  -   C 2 (y> 1 ),  w 2   =   - C iC yi) speł nia równania  (4.1)x  i  (4.1)2, jeś li jest rozwią zaniem  równania (4.4) Funkcja  ta  opisuje  zgodnie  z  (3.5)  i  (2.1)  potencjalne  pole  przemieszczeń  w zagadnieniu pł ytowym ,  «£ =   [ flAC j- AC ilv!, ., (4.5) u 3   =   [ C iC a - o C a C J yi- Funkcja  ?//3,  speł niają ca  równanie  (4.1)3,  opisuje  rotacyjną  czę ść  pola  przemieszczenia wzorem (4.6)  a*_-   X t §tĄ yi ilP ,  u n   =  u F a +u*, przy czym (A  dla  a  =   1, k  •   u W zagadnieniu  tarczowym  otrzymuje  się (4.7) (4.8)  «? - ^ Ć , e gV4 .f f ,  «0  =   < + przy  czym funkcja  ip 2 (x a ) speł nia równanie (4.9)  [ j| d  ^ 2 -   jj  C 2 Ą] Ay2  =   0, a  funkcja  y4(xa) jest  rozwią zaniem  równania  (4.2)3. O  STRU KTU RZE  ROZWIĄ ZAŃ   W  ZAG ADN IEN IACH   PŁYT  4 2 7 Symboliczna  postać  równ ań  ( 4.1) 3,  (4.4)  oraz  ( 4.2) 3,  (4.9)  dla  funkcji  ipi(xa),  f3(xa) oraz  ip2(xa),  V*(xo)>  opisują cych  jedn orodn e  rozwią zania  w  zagadnieniu  pł ytowym  oraz tarczowym,  prowadzi  do  cał kowan ia  równ ań  róż niczkowych  nieskoń czenie  wysokiego rzę du  [4]. 5.  Struktura  rozwią zań  jednorodnych Aby  zastą pić  symboliczną   formę   zapisu  równ ań  ( 4.1) 3,  (4.4)  oraz  (4.2) 3,  (4.9)  formą róż niczkową,  przedstawim y  funkcje  argum entów  operatorowych  w  postaci  iloczynów nieskoń czonych  wzglę dem  ich  miejsc  zerowych. Otrzymuje  się n gdzie  Q k , Qk,  qt,  Q%  są   zespolon ym i  pierwiastkam i  równ ań (5  5)  sin fa- Ą Jg  _  sin(jx+ .r2)e (S 1 S 2 )Q przy  czym  gfc,  e*  są   liczbam i  sprzę ż on ymi  z  Qk,  Q* (por.  [5]). Ogólne  rozwią zania  równań (5.1)- (5.4)  przedstawim y  w  postaci (5.7)  y>y  =   0 t - ( 5. 8)  y> 3   = (5- 9)  y> 2  =   # 2 +   2J  (iP2k+T 2k), CO (5.io)  V 4 =   y V 4 f c , 428  B.  ROG OWSKI gdzie  poszczególne  skł adn iki tych  sum  są  rozwią zaniami  równ ań (5.11)  A2 t   =   0 , (5.12)  [k- Qilr2]y>ik  = o, (5.13)  [ A- e fA-2 ] ? !*  =  0,  fc- 1,2,3,..., - 2(5.14)  L - i ^ / j f e - l)  A- 2jfs*= O ,  A:-   1.2, 3. .... (5.15)  A(Z>2 =  0, (5.16)  [A- rfaA- a]v»a*  -   0, (5.17)  [A- e?»A-a]vaik  =  0,  fc- 1,2,3,..., L4fc = 0, J (5.18)  [ A- - ^ - r c2 A: 2 / r 2 L4fc =  0,  fc  «  0, 1,2,  3, . . . . ' U wzglę dniając  w zwią zkach  (4.5) —  (4.8) zależ noś ci  (5.7)  (5.18)  otrzymujemy  rozwią zania jedn orodn e. W  zagadnieniu  pł ytowym m am y K=   I CO sin ^  (/c gdzie H lk (0  = a (5.20) H Ł k (C),  F lk (O  są   zespolonym i  sprzę ż onymi  funkcjami  z  H tk (0,  F lk (C),  n at o m iast  a 0 , są   rzeczywistymi  liczbam i,  które  oblicza  się  ze wzorów (5.21)  a 0   = W  zagadnieniu  tarczowym jest 0 0  0 0 w a  =   ^ 2 , a +  ^  y,  (H2kf2k~^ ~Hzkflk)  ) a +   ^ 1 e a  ^ X  C °S  QcT tO f4k, fi > (5.22) k= l O  STRU KTU RZE  ROZWIĄ ZAŃ   W  ZAG ADN IEN IACH   PŁ YT  4 2 9 H 2k (0  =  as (5.23) r 2k\ . _  ,  ,  I   s i n ^ g*  s i n i ' i e K  sin^ef  singel? £] L e* ot et ot  J a  H 2 k(0>  F 2 k(.O  są  sprzę ż onymi  funkcjami  z  H 2 k(0,  F 2k (C).  Otrzymane rozwią zania jedn o- rodne  wraz  z  rozwią zan iami  szczególnymi,  uwzglę dniają cymi  obcią ż enia  n a  pł aszczyz- nach  |*31  =   h,  które  m oż na  wyznaczyć  z  równ ań  (3.9)  lub  (3.10),  opisują  problem  sta- tyczny  pł yt  ortotropowych  lub  poprzecznie  izotropowych  (A  =   1),  czy  też  pł yt  wyko- nanych  z  m ateriał u izotropowego  (a  =   X =  s t   «•   s 2   =   1). P odan e rozwią zania  mogą  być wyjś ciowymi  do  analizy  st an u  n aprę ż en ia  i  przemieszczenia  w  dowolnie  grubych  pł ytach ortotropowych,  gdyż  stwarzają  moż liwość  speł nienia  z  dowolną  dokł adnoś cią  warunków brzegowych  wystę pują cych  n a  kon turze  pł yty,  a  w  granicznym  przypadku  ś cisł ego  ich speł nienia.  P odstawowy  (wewnę trzny)  stan  n aprę ż en ia  opisywany  jest  funkcjami  &i(x a ) i  &i(Xa)  bę dą cymi  rozwią zan iami  równ ań  (5.11)  i  (5.15).  Rozwią zania  opisywane  funk- cjami  y>xk(xa)>  iP2k(x a )>  okreś lone  n a  zbiorze  pierwiastków  zespolonych  równań  transcen- dentnych  (5.5)  i  (5.6),  opisują  efekt  brzegowy.  N atom iast  pole  przemieszczeń  przedsta- wione  funkcjami  tp 3 k(x a ),  ip 4 k(Xa), okreś lone  n a  zbiorze  wartoś ci  wł asnych  danych  w  po- staci  jawnej,  jest  rotacyjn ym  polem  przemieszczenia  w  pł ycie.  Ograniczając  się  w  roz- wią zaniach  jedn orodn ych  do  skoń czonych  sum  otrzymamy  rozwią zania  aproksymują ce ś cisłe rozwią zania  i  w  tym  przypadku  warun ki  brzegowe  n a kon turze bę dzie  m oż na speł nić w  sposób  przybliż ony. R ówn an ie  (5.11),  okreś lają ce  funkcję  opisują cą  wewnę trzny  stan  naprę ż enia  w  proble- mie zgin an ia,  m a p o  wykorzystan iu  oznaczenia  (3.4') i zależ noś ci  (1.4) postać (5.24) W  klasycznej  teorii  zgin an ia  pł yt  ortotropowych  stan  naprę ż enia  opisywany  jest  funkcją ugię cia  powierzchni  ś rodkowej,  speł niają cą  równ an ie  (por.  [7]  s.  332) (5- 25) w  którym  stał e  współ czynniki  zależą  jedyn ie  od  param etrów  sprę ż ystych  w  pł aszczyź nie pł yty,  podczas  gdy  współ czynniki  wystę pują ce  w  równ an iu  (5.24)  zależą  od  wł aś ciwoś ci sprę ż ystych  m ateriał u w  trzech  kierun kach .  Stwarza  to  moż liwoś ci  uwzglę dnienia  wpł ywu param etrów  m ateriał owych  w  kierun ku  poprzecznym  n a  stany  przemieszczenia  i  naprę- ż enia, co w  przypadku  pł yt  an izotropowych n ie jest  bez  znaczenia [8]. Jeś li  odstą pić  od  ś cisł ego  speł nienia  warun ków  brzegowych  n a  kon turze  pł yty  i  za- stą pić  je  przybliż onym i,  cał kowymi  lub  uś redn ion ym i,  to  stan  naprę ż enia  i  przemiesz- czenia m oż na  opisać  funkcjami  &i(x a ),  <2>2(*a)  o r a z  fai  i  V4o. przy  czym  m oż na  wówczas speł nić pięć  warun ków  n a  każ dym  brzegu.  R ówn an ia  sł uż ą ce do  obliczenia  cał ki  szczegół - 430  B.  R O G O WSK I nej,  uwzglę dniają cej  obcią ż enia  pł aszczyzn  ograniczają cych,  wyznaczymy  z  równ ań  przy- bliż onych, jakie  otrzymuje  się   z  (3.9),  (3.10) 3  IF   .  «i  _,A  l - «i  .-3 (5.26) w zagadnieniu pł ytowym  oraz z -   U w problemie rozcią gania  (ś ciskania) pł yty. W  zwią zkach  (5.27) oznaczono IJ.Ł oj  t*3  —  I  ~ -   7  T̂  r  I  A,  U i  —  — 6 3 3  C 3 3 VC 1 1 C 3 3  Ł 1 3 ;  /   C 33 Tak  zbudowana  „ teoria  uś ciś lon a",  oparta  n a  zał oż eniu  stosowalnoś ci  zasady  de  Saint Venanta, może sł uż yć do wyznaczenia  wewnę trznego  stan u n aprę ż en ia i z pu n kt u widzenia zastosowań  technicznych  bę dzie  to  dobre  przybliż enie  ś cisł ych  rozwią zań.  Wyjaś nienie innych  sprę ż ystych  zjawisk  w pł ycie, w  szczególnoś ci  efektu  brzegowego,  moż liwe jest  przy wykorzystaniu  ogólnych  rozwią zań  podan ych w  pracy. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  J I . A.  ArAJioBHHj  06  ymoHHenun  KJiaccwiecKou  meopuu  U3su6a  anu3omponubix  ruiacmuu,  H 3B.  AH ApiwCCP,  cep.  4>H3.- MaT.  nayK,  I .  XVI I I ;,  5  (1965). 2.  J I .  A.  ArAJioBHii,  K  meopuu  miu6a  opmomponuux  nitacmun  MT T ,  6  (1966). O  STRUKTURZE  ROZWIĄ ZAŃ   W ZAGADNIENIACH   PŁYT  431 3.  J I . A. ArAJiOBHH,  O  nospaucjwe opmomponimx  n/ iacmunoK,  H 3B.  AH  Apiw. C C P 3  M exaniwa,  T . XXVI ; 2  ( 1973) . 4.  A. H .  JlyPLBj  npocmpaHCtneeuHbie  sadami  meopuu ynpyeocmu,  rocTCXH3flaT,  MocKBa 1955. 5.  B.  ROG OWSKI,  Zagadnienia równowagi grubej pł yty  poprzecznie izotropowej,  Rozpr.  Inż ., 22, 3  (1974) 445  -  467. 6.  B.  ROG OWSKI,  Funkcje przemieszczeń  dla oś rodka  poprzecznie izotropowego,  Mech.  Teor.  Stos.,  1, 13 (1975),  69 -  83. 7.  S.  TIMOSH EN KO, S.  WOIN OWSKY- KRIEG ER,  T eoria  pł yt  i powł ok, Arkady,  1962. 8.  B. ROG OWSKI, Zginanie pł yty  poprzecznie izotropowej,  AIL, 4  (1974). V  e 3  10  M  e O  C T P yi C r yP E  P E I I I E H H H   3AJ3, I  OB  OP TOTP OI I H LI X ITJIACTH H AX (bynKUHH   nepeM eiu,ennH   H JW  TCJia  c  npHMojiHHeHHofi  opTOTponneft  H  mecTŁio  He3aBHCH- ynpyraM H   KOHCTaHTaMił. yHKiJ(ira  H cnonb3OBanacŁ  H JIH   peineH H H   cTaTiroecKoii  3aAa*ni  06  o p io - TponHOH   nnH Te  npon3BOJii>HO  Harpy>i- iHoro 110- pnfliKa- r:  yflosjieTBopH iomne  cooTBeTCTBeiino  ypaBHenHHM Toro  u  BToporo  nopaflKOB  cJ>yHKHHH   onH CbisaiomH e  BHyTpeHHce  n a n p a K e im o e  COCTOHHHC, ypaBHeHHHM  reJiLM roJibi^a,  onpefleneH H we  n a  M H OKCCTBC  KopH eii  cooTBeicTByiomHX  TpaHC- ypaBHeHHHj  tJjyHKiiHH,  KoTopwe  onHCMBaioT  KpaeBbie  3(p(iieKTbi  H , HaKOHea,  on peflen en - H bie lia MHO>I. S u m m a r y ON   TH E  STR U C TU R E O F  SOLU TION S I N  TH E  PROBLEM S  O F  ORTH OTROPIC PLATES D isplacement  potentials  are introduced  in  the case  of  rectilinear  orthotropy  characterized  by  six in- dependent  elastic  constants. Th e potentials  are used  to solve,the  static  case  of an orthotropic plate either arbitrarily  loaded  on the bounding  planes  or free  from  loads. Two independent equations  for the displace- ment components are obtained, corresponding  to the plane stress  and plate bending problems,  respectively; the  equations are written in a symbolic,  operator form  and are equivalent  to differential  equations of infinite order. The homogeneous  equations  contain:  the functions  describing  the internal  state  of stress  and satis- fying  the 4th and 2nd order equations, respectively;  the functions  defined  in the set of roots of the correspond- ing  transcendental  equations  satisfying  the H elmholtz  equations  and describing  the boundary  effect,  and the  functions  defined  in the set of real- valued  eigenvalues,  given in an explicit  form,  which satisfy  the Helm- holtz  equations  and describe  the rotational  field  of  displacements  in the plate.  Equations  of  the  «more accurate))  theory  are  presented. POLITECHNIKA  ŁÓDZKA,  ŁÓDŹ Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  16 grudnia 1974 r.