Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13 (1975) WPŁYW  TARCIA  W  P RZEGU B ACH  NA  PRZEBIEG  WYBOCZENIA  PRĘ TA  Ś CIS KANEGO AN D RZEJ  T R O J N A C K I  (KRAKÓW) 1.  Wstę p D oś wiadczalne  badan ia  prę tów  n a  wyboczenie  przeprowadza  się   najczę ś ciej  dla  dwu- przegubowego  sposobu  zam ocowan ia.  W  konstrukcyjnych  rozwią zaniach  przegubów niemoż liwe  jest  cał kowite  wyeliminowanie  tarcia,  a  jak  się   okazuje,  m a  on o  duży  wpł yw n a  przebieg  i  wynik  eksperym en tu.  W  niektórych  przypadkach  tarcie  może  spowodować nawet  przekroczenie  sił y  eulerowskiej,  rozum ianej ja ko  sił a  krytyczna  dla  prę ta  idealnego, zam ocowanego  dwuprzegubowo.  N a  zjawisko  to  zwraca  uwagę   WASIU TYŃ SKI  [9], do- szukują c  się   w  n im  przyczyny  nagł oś ci  procesu  wyboczenia:  ,...Przed  wygię ciem  prę ta, sił y tarcia, wzrastają c stopniowo do wartoś ci rozwinię tych, dają  w przegubach pewne  momenty opierają ce  się   wygię ciu prę ta,  a  wię c  dział ają ce  podobnie  jak  czę ś ciowe zamocowanie jego koń ców,  i pozwalają ce  na  doprowadzenie  obcią ż enia do  wartoś ci nieco wię kszej  od  tej,  którą by  moż na  był o  osią gną ć  w  razie  zmniejszenia  sil  tarcia.  W   chwili powstania ruchu, rozwinię te sił y  tarcia  w przegubach  zmniejszają   się   nagle  do  wartoś ci  tarć posuwistych,  wskutek  czego obcią ż enie prę ta nagle staje się   wię ksze  o skoń czoną  nadwyż kę  od sił y, odpowiadają cej stanowi równowagi."  Tej  nadwyż ce  obcią ż enia  WASIU TYŃ SKI  przypisuje  dynamiczny  charakter wię kszoś ci  prób  n a  wyboczenie. Tarcie  w  przegubach  z  jedn ej  stron y,  a  podatn ość  utwierdzenia  z  drugiej  powodują , że  rzeczywiste  warun ki  zam ocowan ia  ś ciskanych  prę tów  odbiegają   od  idealnych  i  są   za- warte  mię dzy  idealn ym i  przegubam i  a  idealnym  utwierdzeniem.  Z  zagadnieniem  tym wią żą   się   również  in n e  n ieun ikn ion e  odstę pstwa  od  teoretycznego  schem atu:  pierwotna krzywizna  osi  prę ta  i  m im oś rodowe  przył oż enie  obcią ż enia.  Wpł yw  tych  czynników  n a przebieg  wyboczenia  jest  szeroko  om ówion y  w  m onografiach  BLEICH A  [1], TIMOSH EN KI [8] i  WOLM I R A  [11].  Oprócz  rozważ ań  teoretycznych,  autorzy  przytaczają   wyniki  licznych doś wiadczeń  oraz  propon ują   m etody  uwzglę dniania  wymienionych  wyż ej  nieprawidł o- woś ci  w  obliczeniach  wytrzymał oś ciowych  rzeczywistych  elementów  konstrukcyjnych. D oś wiadczalny  sposób  okreś lenia  warun ków  brzegowych  n a  koń cach  ś ciskanego prę ta,  ą   w  konsekwencji  wielkoś ci  obcią ż enia  krytycznego,  podają   H O R T O N ,  C RAIG i  STRU BLE  [3]. P rzy  klasycznych  badan iach  n a  ś ciskanie  sił ą   osiową ,  obcią ż enie  musi  być doprowadzon e  d o  bliskiego  krytyczn em u.  Wią żą   się   z  tym jedn ak  niepoż ą dane odkształ - cenia  trwał e,  zatem  autorzy  propon ują   badać  prę t  n a  zginanie  sił ą   prostopadł ą   do  osi. W  pracy  zamieszczone  są   wyniki  badań  prę tów  alum iniowych  i  stalowych,  których  koń ce zam ocowan e był y  n a  spiraln ych  sprę ż ynach  o  róż nej  sztywnoś ci.  P odobn ym zagadnieniem 364  A.  TROJN ACKI zajmowali  się   LAZ ARD   i  M OU TY  [5]. Badali  oni na zginanie prę t z utwierdzonym i  sprę ż yś cie koń cami, wyliczają c  sił ę  krytyczną   z  wyprowadzonej  zależ noś ci  mię dzy  gię tną   sztywnoś cią elementu  i  osiowym  obcią ż eniem  prę ta. M etoda  doś wiadczalnego  okreś lenia  począ tkowego  ugię cia  i  m im oś rodu  obcią ż enia ś ciskanego  osiowo  prę ta  przedstawiona  jest  w  pracach  [2]  i  [4].  Z akł adają c  pierwotną krzywiznę   w  postaci  pół fali  sinusoidy  i  wykorzystują c  zn an e  równ an ie  róż niczkowe  osi prę ta  dla  mał ych przemieszczeń,  autorzy  otrzymują   zależ ność  ugię ć  prę ta  od  ugię cia  pier- wotnego  i  m im oś rodu.  Przy  jej  pomocy  opracowan o  wyniki  badań ,  z  których  wynika, że  wpł yw  mimoś rodu  wypadkowej  sił y  zewnę trznej  jest  w  porówn an iu  z  wpł ywem  krzy- wizny  począ tkowej  niewielki  i daje  efekty  rzę du  10%. Ten sam problem jest celem rozważ ań SH IN G O  [7]. N iniejsza  praca  zajmuje  się   teoretycznym  opisem  przebiegu  wyboczenia  sprę ż ystego .  prę ta, zamocowanego  w  dwóch  rzeczywistych  przegubach  z  tarciem . Wyboczenie  rozum ie się   tu  w  sensie  technicznym  (WI ER Z BI C KI  [10]), jako  silny  wzrost  ugię ć  ś ciskanego  prę ta o  niewielkich  niedokł adnoś ciach  wstę pnych,  które  w  pracy  bę dą   reprezen towan e  stał ą krzywizną   pierwotną   prę ta x 0   •   Wpł yw  mimoś rodowoś ci  obcią ż enia  i niejednorodnoś ci ma- teriał u prę ta m a zbliż ony  charakter i zazwyczaj  może być  uję ty  pewną   zastę pczą   krzywizną pierwotną   (Ż YCZKOWSKI  [12]).  Takie  podejś cie  umoż liwi  zbliż enie  teorii  do  realnych warunków  doś wiadczalnych,  gdzie  cał kowite  wyeliminowanie  n iedokł adn oś ci  wstę pnych nie  jest  moż liwe. P raca pozostaje  w  zwią zku  z  eksperymentalnymi  badan iam i  wyboczenia, wykonanymi  dla  prę tów  z  tworzywa  sztucznego.  Obcią ż enie  realizowano  przy  stał ej  prę d- koś ci  przesuwu  pół ek  maszyny,  równej  0,5  cm/ min.  D la  serii  sześ ciu  prób,  w  czterech przypadkach nagł y wzrost  ugię ć prę ta wystą pił   wyraź nie  powyż ej  teoretycznej  sił y  krytycz- nej  (eulerowskiej)  dla  zamocowania  dwuprzegubowego,  przekraczają c  ją   odpowiedn io o  5, 3,  1 i 5%. Ponieważ reologiczne  wł asnoś ci m ateriał u powodować  mogą  jedyn ie  zmniej- szenie  sił y  krytycznej  badan ych  prę tów  (RABOTN OW,  SZESTIERIKOW  [6]), wyniki  doś wiad- czeń  m oż na wytł umaczyć przede  wszystkim  istnieniem  tarcia  w  przegubach  i  tem u  zagad- nieniu  jest  poś wię cona  obecna  praca. 2.  Opis  budowy  zastosowanego  przegubu  i  okreś lenie  momentu tarcia P rę t zamocowany  był  w maszynie wytrzymał oś ciowej  w dwóch jedn akowych  przegubach (rys.  1). Każ dy z nich skł adał   się  z pł ytki oporowej  / , z  wydrą ż onym  wgł ę bieniem w kształ - cie  stoż ka  o  ką cie  rozwarcia  2i  =  o  iub  y  =   -   i^ - . Stał e cał kowania w rozwią zaniu  równ an ia  (3.1) dają   się  wyznaczyć  przy pom ocy  pierwszego i  trzeciego  z  nich,  a  cał kowite  ugię cie  osi  prę ta  wynosi (3. 3) {EIx o - M v )l 2 mn 2 EI cos  1 — cos  — gdzie  m  jest  bezwymiarową   sił ą   zdefiniowaną   nastę pują co P  Pl 2 (3. 4) n 2 EI' W P Ł YW  TAR C I A  N A  P R Z E BI E G   WYBOC Z E N I A  P R Ę TA  367 D o  okreś lenia  zależ noś ci  m om entów utwierdzenia  M v   od  sił y osiowej  P, moż na  wykofzy- stać pozostał e dwa  warun ki  brzegowe  (3.2). Przyję cie,  że ze wzglę du  na symetrię  momenty Mv  są   n a obu koń cach równe, pozwoli  ograniczyć  się  tylko  do jednego z nich, n p. drugiego (3.5)  Mu =  EIx 0  [l -   ~ ] / m c t gly ]/ m U wzglę dniając  ten zwią zek  w równaniu  (3.3), otrzymamy równanie linii ugię cia prę ta w I e- tapie,  gdy  koń ce  prę ta  są   utwierdzone  w  przegubach  w  wyniku  dział ania tarcia c o s H   1  - i - ].— (3.6)  yi  =   — 7 = — znym  .In Sm \ 2 3.2.  Ograniczenia  I  etapu, począ tek  ruchu w przegubach.  Pierwszy  etap  obcią ż ania  koń czy  się w  chwili,  gdy  momenty  utwierdzenia  pokonują   ruchowe  momenty  tarcia.  Porównanie wzorów  n a  M r   (2,1)  i  M v   (3.5)  ofaz  wykorzystanie  podstawienia  (3.4)  daje (3.7)  a m + ~ | / / M c t g ( ~ ] / m ) - l  =   0, z  \  z  / gdzie  a jest  pewnym  «uogólnionym»  współ czynnikiem  tarcia,  zdefiniowanym  nastę pu- ją co ( 3 ' 8 )  "  =   (l+/ i2)x Q Psm  M v ).  Obcią ż enie  prę ta  odbywa  się   w  dwóch etapach,  wedł ug schematów  «a»  i  «b»  (rys.  3),  W  I  etapie  zależ ność  linii  ugię cia  od  sił y opisuje  równanie  (3.6),  a  w  I I  etapie  równ an ie  (3.9).  Sił a  P  jest  w  obu  etapach  rosną cą funkcją   ugię cia,  co  odpowiada  równowadze  statecznej. W P Ł YW  TAR C I A  N A  P R Z E BI E G   WYBOC Z EN I A  PRĘ TA  369 3.  Wreszcie,  gdy  1  <  a  <  oo, istnieje  również  rozwią zanie  równania  (3.7) —  m*  >  1. U gię cia  w  obu  etapach wyraż ają  się  tymi  samymi  wzorami  co poprzednio,  przy  czym sił a P w  drugim  etapie  maleje  (równowaga  n iestateczn a). P rzypadek  p rę ta prostego  ( «0  =   0 lub  a  - > oo) m a niewielkie  znaczenie, gdyż jest prak- tycznie  nieosią galny.  P rzy  braku  m im oś rodowoś ci  sił y  P,  nawet  niewielkie  momenty tarcia  w  przegubach  dają  teoretyczną  moż liwość  doprowadzen ia  obcią ż ania  do  wartoś ci m  =   4,  jak  dla  idealnego  utwierdzenia.  M oż na  rozróż nić  trzy  etapy  procesu  obcią ż ania. P oczą tkowo,  przy  n arastan iu  sił y  od  zera  do  m  =  4,  pręt  zachowuje  prostoliniową  postać równowagi  statecznej.  Osią gnię cie  sił y  m  =   4  powoduje  przejś cie  do  I I  etapu,  w  którym ukł ad  jest  w  stan ie  równ owagi  oboję tnej.  R ówn owaga  prę ta  (z  utwierdzonymi  nadal w  wyniku  tarcia  koń cam i)  p o d  tym  obcią ż eniem,  jest  moż liwa  dla  róż nych  postaci  linii ugię cia,  jedn ak  z  pewn ym  ograniczeniem .  Istnieje  graniczna  linia  ugię cia  y v ,  stanowią ca przejś cie  z  etapu  I I  do  I I I . M o ż na ją  otrzym ać  ze  wzoru  (3.6) (4.1)  JV przy  warun ku  poboczn ym ,  którym  jest  równ an ie  (3.7).  W  efekcie  mamy ,  „ s  ?'/ "  / 1  2T IX\ (4.2)  y g ,  =  7z  ~ —  I - cos—7—  . *•   '  9  ( l+ ^sin cA  /   / G dy  ugię cia  prę ta  przekroczą  wartoś ci  wynikają ce  z  (4.2), momenty utwierdzenia  w prze- gubach  pokonają  m om en ty tarcia  i  przeguby  zostaną  uruchom ion e.  Obecnie, w  I I I etapie, wystą pi  gwał towny  wzrost  ugięć  przy  spadku  sił y, zgodnie z  odpowiednio przekształ conym równ an iem (3.9). G raficzną  in terpretację  wyników,  otrzym anych  dla  prę ta  z  krzywizną  pierwotną,  jest najwygodniej  przedstawić  w  ukł adzie:  bezwymiarowa  strzał ka  ugię cia  w  poł owie  prę ta / / / o  —  bezwym iarowa  sił a m  (rys.  5). Odpowiednie  wzory  m oż na  otrzymać  z  (3.6)  i  (3.9), podstawiając  x  =   / / 2. W  przypadku  I  u t rat a statecznoś ci  odbywa  się jedn oetapowo i w ca- ł ym  zakresie  obowią zuje  zależ ność (4.3) jr  -   d D la  przypadków  2  i  3  m am y (4-4)  {£ (45)  ( E, - i( i - "")[ 8 s c ( f'/ ™)- 1 ] - W  równ an iu  (4.4)  dla  I  etapu  współ czynnik  a  n ie interweniuje;  wpł ywa  on  jedynie  n a  war- tość  sił y  m*.  P o  jej  osią gnię ciu  nastę puje  przejś cie  do  I I  etapu  i  prawie  natychmiastowe wyboczenie. Z  przedstawion ych  n a  rys.  5  zależ noś ci  mię dzy  sił ą  i  ugię ciem  wynika,  że  gdy  a  >  I (przyp.  3),  m oż na —  w  pewn ych  warun kach —  przekroczyć  pod  koniec  I  etapu  procesu obcią ż ania  krytyczną  sił ę  eulerowską  m  =   I  dla  idealnego  prę ta  dwuprzegubowego,  bez 5  Mechanika Teoretyczna 370 A.  TROJN ACKI utraty  statecznoś ci.  Równanie  (3.7), które  rozgranicza  I  etap  od  I I , m a  wtedy  pierwiastek ni*  >  1.  W  zakresie  obcią ż enia  1 <  m  «*  m*  prę t jest  n adal  stateczny  (wzrostowi  sił y to- warzyszy  wzrost  ugię ć)  w wyniku  tarcia  w  przegubach,  które  daje  m om en ty  utwierdzają ce. G wał towny wzrost  ugię ć, poł ą czony ze spadkiem  sił y, rozpoczyn a się  dopiero po  osią gnię ciu Rys.  5. Wykres zależ noś ci  sił y m od bezwymiarowej  strzał ki  ugię cia  / / / 0 dla róż nych  wartoś ci  "współ czyn- nika  a sił y  w*,  uruchomieniu przegubów  i  przejś ciu  do  I I  etapu.  Z  takim  przebiegiem  zjawiska należy  się   liczyć  przy  badan iu  prę tów  krę pych  (ale  pozostają cych  jeszcze  w  zakresie  sprę - ż ystym),  z  mał ymi niedokł adnoś ciami wstę pnymi  i  dla  znacznych  wartoś ci  współ czynnika tarcia  [x. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  F . BLEICH , Buckling strength of metal structures,  McG raw- H ill,'1952. 2.  C. HAYASHI,  A.  KOBAYASHI,  N ihon koku  gakkayshi,  J. Japan  Soc.  Aeronaut,  and Space  Sci  157  15 (1967),  47- 51. 3.  W. H . H ORTON , J. I.  CRAIG ,  D . E.  STRUBLE,  A simple, practical method for  the experimental determina- tion of the  end fixity  of  a  column,  Proc.  8th  I n t. Symp.  Space  Technol. and Sci.,  Tokyo  1969  Tokyo 1969,  269- 280. WP ŁYW  TARCIA  N A  PRZEBIEG   WYBOCZENIA  PRĘ TA  371 4.  A.  KOBAYASHI,  C.  H AYASH I,  T okio daigaku  utiu koku  kenkiushio hokoku, Bull. Inst. Space and Aeron. Sci.  U niv.  Tokyo,  3,  A2  (1966),  907- 917. 5.  A.  LAZARD ,  J.  M OU TY, Determination  experimental  de  la charge  de flambement  et  des souplesses  d'en- castrement d'un element, M em. Assoc.  int. ponts et charp., 27  (1967), 31 -  42. 6.  I O . H .  P AE O T H O B,  C . A.  I H E C TBP H K OBJ  YcmounuBOcmb  cmepyicHeii u n/ iacmuuou eyc.weunx  nojuymecmu, IIpH KJi.  M ai, H  iwex.,  3, 21  (1957)  406- 412. 7.  T.  SH IN G O, Influences  of  initial  eccentricities of  columns  while testing, Mem. Def.  Acad.,  2,8(1968), 595 -  603. 8.  S. P .  TIMOSH EN KO, J. M .  G E R E ,  T eoria statecznoś ci sprę ż ystej, Arkady,  Warszawa  1963. 9.  Z .  WASIU TYŃ SKI,  O  wyboczeniu  stalowych prę tów prostych,  Warsz.  Tow.  Politech., Warszawa  1933. 10.  W.  WIERZ BICKI, O powstawaniu wyboczenia prę tów prostych, Rozpr. Inż ., 12  (1954), 1  -  65. 11.  A.  C .  BOJIŁMH P,  ycmouHueocmb  decfiopMupyeMux  cucmeM,  Htefl.  HayiiiKH n. TaiKeHb  c  3ameMneHHbiMH   KonaaMH )  3aiKe  ciepjKeH b  cneflye  paccMaTpn- Baw.  B  iKHH  c flo6aBOM H oił  Harpy3i<0H   OT  MOMCHTOB B  uiapH H pax. H a KOHije  n ep Bo r o  3Tana  Mo>i