Ghostscript wrapper for D:\BBB-ARCH\ARCHIWUM-lata-78-71\MTS75_t13z1_4\mts75_t13z3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  13 (1975) OBROTOWO- SYMETRYCZNE  DRGANIA WŁASNE POWŁOKI STOŻ KOWEJ Z MATERIAŁU Ś CIŚ LIWEGO  NIELINIOWO  SPRĘ Ż YSTEGO F E R D YN AN D   T W A R D O S Z ,  TAD E U SZ  W E G N E R  (P OZ N AŃ ) W  pracy  p o d d an o analizie  drgan ia  wł asne cienkiej  powł oki stoż kowej  wykonanej  z ma- teriał u jedn orodn ego,  izotropowego  i  ś ciś liwego,  dla  którego  zależ ność  pomię dzy naprę ż e- n iam i  i  odkształ cen iam i  jest  nieliniowa,  ale  odwracalna. Ograniczają c  się   do  analizy  m ał ych  drgań  przyję to  zwią zki  geometryczne  w  postaci liniowej,  zakł adają c  przy  tym  prawdziwość  hipotezy  Kirchhoffa- Love'a. 1.  Podstawowe  równania  i  zwią zki R ówn an ia  opisują ce  swobodn e  obrotowo- symetryczne  drgania  podł uż ne  i  poprzeczne powł oki  stoż kowej  mają   po st ać  [4] dN ±   d 2 u ds   s ~^ 2  =  2QH  Q t 2   s > s+   s r ds  ds 2   ds gdzie  N t ,N 2 ,  M ± ,  M 2   oznaczają   sił y  n orm aln e  i  m om enty  zginają ce  odniesione  do jedn ostki  dł ugoś ci  powierzch n i  ś rodkowej,  u(S,t),  w(s,  t) —  skł adowe  przemieszczenia pun któw  powierzchn i  ś rodkowej  odpowiedn io  w  kierun kach  stycznym  i  normalnym, s —  odległ ość  dowoln ego  p u n kt u  powł oki  od  wierzchoł ka  stoż ka,  a —  ką t  pomię dzy n orm aln ą   do  powierzchn i  ś rodkowej  i  osią   powł oki,  2/j —  grubość  powł oki,  Q —  gę stość m ateriał u  powł oki. Z godn ie  z  hipotezą   Kirchhoffa- Love'a  skł adowe  obrotowo- symetrycznego  stanu  od- kształ cenia  dla  elem en tu  warstewki  odległ ej  o  z  od  powierzchni  ś rodkowej  wyraż ają   się wzoram i gdzie (1.2)  e t   =   —,  e 2   =   —  ( u + wt ga ) są   skł adowymi  stan u  odkształ cen ia  powierzchni  ś rodkowej  powł oki,  a  wyraż enia 1  dw charakteryzują   zm ian ę   gł ównych  krzywizn. 394  F .  TWARD OSZ,  T.  WEG N ER Zajmiemy  się  z  kolei  okreś leniem  skł adowych  Stanu  n aprę ż en ia. P oten cjał   sprę ż ystoś ci ciał a  izotropowego  przedstawia  wyraż enie  [1]: gdzie 0 r (ś o )  =   9K o jest  pracą  odkształ cenia  obję toś ciowego, a  _  3  F 2  J o —  pracą  odkształ cenia  postaciowego, £o  =   J Ł — —  ś rednim  wydł uż eniem, Y"  = y • — intensywnoś cią  odkształ ceń  stycznych, E   G - _   E 3(1 - 2v)'  "  2(1 —  moduł em  ś ciś liwoś ci  i  moduł em  odkształ cenia  postaciowego. M oduł  Younga  E i liczby  P oissona v są  stał ymi materiał owymi wyznaczonymi  przy mał ych odkształ ceniach. Zał óż my,  że funkcja  wydł uż enia x(e 0 )  oraz  funkcja  odkształ cenia  postaciowego  y(yl) mogą  być  przedstawione  z  dostateczną  dokł adnoś cią  w  postaci  [1]: « 0 Q )  =   1,  r(yo)  =   l gd zie  stał ą  g 2   wyzn ac za  się  d o ś wia d c za ln ie. N ie c h  d la  je d n o o sio we go  r o zc ią ga n ia - ś c iska n ia  m ię d zy  n a p r ę ż e n i em  a  a  p o d ł u ż n ym o d kszt a ł c e n iem  e  za c h o d zi  zwią zek 0- 4)  e =   ~(l+ a3a 2)a, ii wtedy  zależ ność  mię dzy  współ czynnikiem  a 3   a  stał ą  g 2   m a  postać lub  wyraż ając  moduł y K  i  G  za  pomocą  stał ych  is  i  y  otrzym am y E 2 v 3 0   '  3 ^  =   ~ 2 2 - «3 >  gd zie  » o - OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  395 Zał oż one  powyż ej  zwią zki  bardzo  dobrze  aproksymują   rzeczywiś cie  zachodzą ce  zależ noś ci dla  wielu  waż nych  w  zastosowaniach  technicznych  materiał ów  (np.  miedź,  aluminium, stopy  miedzi  i  inne).  Stosują c  oznaczenia potencjał   sprę ż ystoś ci  wymienionych  materiał ów  moż na  wyrazić  w  postaci V =  K Q2 +   f   a t d B h 1  b gd zie ai = E(l- bef)s u   b  =  a 3 E 2 v\ . Wielkość  0 jest  wzglę dną   zmianą   obję toś ci,  wielkoś ci  2 ex  e 2 , fl2   : P ochodne  czą stkowe  funkcji  V(e lz ,  e 2z )  okreś lają   skł adowe  stanu  naprę ż enia 8V  dV j  " 2 «  —  a  i s u   oe 2z 396  F .  TWARD OSZ,  T.  WEG N ER Stąd 4  .  16'  , /   /   1 crlz  =   - YE[v3e1+v4.s2+z(v3x1+v4.x2)]  ~hb\ a0  h'i£i +  y^2 s2 i[ v i e i  + Y V2S2 j   + z 2 \ a i  ("i^i +   Y+z L  \ ~   z  /   \   / J  L  \ 1 ?3 «2( j' a o k ^  +  y ^ ^ i j  +  a i ^ i ^ + y ^ e i . )  +  ̂ 2 U i I "1 «2 +  y ^  ^  I+ n atom iast 1- 2?  1 D la  cienkich  powł ok  sił y  i  m om en ty  dział ają ce  w przekrojach  powł oki  n a  jedn ostkę dł ugoś ci powierzchni  ś rodkowej  zwią zane  są  (w przybliż eniu)  z n aprę ż en iami  zależ noś ciami h  h N i  =  J 0i z dz,  N 2 =  j  a 2z dz, - h  - h h  h M x   =•  -   J a 12 zdz,  M z   = -   J  a 2z zdz, - h  - h stąd  po  wykonaniu  cał kowania  m am y: -   /   1  \   -  r  /   1  \   /   1  \ i \   *.  /   L  \   z  I  \   z  / J 2- ''2e1l OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  397 gdzie B- - jEh,  D = ~Eh3,  B t   = ^ - Ebh,  B 2 =^ - Ebh 3 ,  B 3   =   ^ Ebh5. Jeż eli  podstawimy  powyż sze  zależ noś ci  do ukł adu  równ ań  (1.1),  a  wystę pują ce  w  nich wielkoś ci  «0 , a l s ait  eu  s2,  «i , x2  wyrazimy  przez  u i w za pomocą   zwią zków  (1.5), (1.2) i  (1.3),  otrzymamy  poszukiwane  równania  obrotowo- symetrycznych  drgań  powł oki stoż kowej  w nastę pują cej  postaci: 8 2 u  1 /   du  dw +   + t (1.6){ 2 ~ du  d 3 w  d 2 w\   3  f  /  d2u  d2w  dw  du  d3w  dw  d3w  d2w ] +   + + du  dw  dw\   3 f  /  du  dw  dw  du  dw  dw  dw ~ds"W ~W ]   +   5  L"1*2KS S 2  ~W !te+!JF~ds3'~ds  +U~W5  L " 1 * 2 K S S 2  ~W !te+!JF~ds3'~ds  +U~W r~dś2~ 8 3 w'd 2 w  1  l82w\ 2dw + t ) I / 2  1   2 \ ld 2 uldw\ 2  .  du  d2w  dw  .  d3w  ds  Id2w\ 2 ds  dś 2   ds  ds 3   dw  \  ds 2  / 2  1  f3  I dw\ 3 duldw\ 2  .  a2w  dw  .  d2w  dw  \ 1 2  I \  ds  \  ds I  ds 2   ds  ds 2   ds  / J 3  .  ,/   IdwV  ldw\ 2  \ \   .  , d2u dw 2 398  F .  TWARD OSZ,  T.  WEG N ER 2, r  \  ds  os  os *  ^ 1  s-  I , ?/ „  du  du  8w  .1 du\   dw  .  du +  t g3 aw3)  -   B 2  \  3vl  2 - jT - x-   - 5- 5-  +  2  - = - 5-   - = - 5-  +  4 - = - 5-b  J  I  \   5s3  os  ds2  \  ds2 I  ds2  d12 d 3 u  du  8 2 w  .1 d 2 u\   d 2 w  .  d 2 u  du d 3 w +  2  +  4x -   - 5- 5-   +  2  - = - 5-   - = - 5-   +  4  = - 5- os  ds 2   \  ds 2  I  ds 2   d.1 2  ds ldu\ 2 d*w\   3 [  I d3u  du  dw  d3u  82w  d3u  d2w \   3.9 /   5.?  /   ,v L  \  3.r  &  as  us3  os  os3  os2 3 2 Ł M   dw  d2u  d3w  d2u  d3w  d2u  d2w  dw 3.c  ay  c.v  3^^  avJ  o.y  os  ds du  d*w  du  34M'  _  du  d3w  dw  3  du  Id2w +  - .— w - r -y  +  tg a - =-   - a- j-  M' +  2tg a - =-   - g-r  - «-   +  w t g a ——  ^ ds  (lv4  &  fo4  b  ds  ds3  ds  2  ds  \   ds2 „  .  , / 0 S «  S M   5 M ^  / S W \ 2 S W \ ]  1  [ 3   1  2 \ /   3 t /   dw \   ay2  ra  ra2  \   c« /  & J / J Ć 53M  3w  .  32if  3 H   SH 1  .  d2u  d2w  d2u  d2w +  2tg a - T- j-  - Y-  w +  4 - 5- 5-  - 3-  - 5— +  4 - 5- 3-« - v-r  +  4t g a - r - j-  - 3- 5- r l r  <;,s'  9.r  3.?  0,9  ds2  ds2  ć te2  3512 .  •   8 2 u  I dw\   I du\ 2   d 2 w  du  d 3 w  du d 3 w 3 i 2  \  ds I  \ .ds I  ds2  ds  ds3  ds  ds3 du (1.6){ du  d 2 w  dw  , 34w  „   3 4 w  ,  •   5 3 w dw  „   1  d2w\ 2 x -   - - : - - " T ~+ M  + 2 t g  +  4 t g + 3 t  1 r „ j  n  ,  o 4 w  ,  ,  33M' dw du\ 2   dw  ,  du  8 2 w d  d 2^ r i  4 F F t ( T + 4 t g a ^ - - - ^ -w  +  3 - i r - 2  /  \   3.y2  3.?  3^ 2  3.y  \  3 J /   ds Bu  d 2 w  .  ,  33w  33w  _  ,  d3w +2 2  + 4 t  +  2 t g 2 a - 5 - r  wds3 - j— ~—w+2zu  - ^- r-   + 4tgaw- ^- 3-w +  2 t ga - 5 -ds  ds2  8s3  ds3  ds3 du  dw   n   du  dw  , 32w  _  d2w + 2 t + > + 2 t / 3 w \ 3 w \   3 [  ldAwd2wdw  I dswV  8w + 2 \ d )   +  \ +d?)  ds^ j+  7 T 1 ^ 2 \ l F & 1 3 7  +   \ ds OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  399 'd 3 w  I d 2 w\ 2 ]  1  2  1  2\ (d*wldw\ 2   8 3 w  d 2 w  dw\ 2 ] i   1  .  1  \ (d*w(dw\ 2 /   j  s*  2  I \   os*  \   os  j  ds3  ds2 2   ld 2 w\ 2dwldw\   ldw\ 8w Ą - wi + 3  M d 2 w 2.  P rzybliż one  cał kowan ie  równań  ruchu U kł ad  równań  (1.6)  scał kujemy  w  sposób  przybliż ony  metodą   Bubnowa- G alerkina. W  przypadku  powł oki  stoż kowej  z  wierzchoł kiem  ś cię tym,  o  swobodnie  podpartych  kra- wę dziach,  zakł adam y  funkcje  u,  w  w  postaci  sumy (2- D gdzie  U,„(t),  W „,(t) są   n iezn an ym i  funkcjami  czasu,  n atom iast f m (s)  i  g, a (s)  przyjmujemy w  postaci (2.2)  f,„(s)  -   c o s m r a ^ - —,  g- „,(j) F unkcje  (2.2)  speł niają   tylko  kinem atyczne  warunki  n a  brzegach  powł oki,  natomiast warunki  statyczne  są   speł n ion e  w  przybliż eniu  [3].  • P o  wykonaniu  calkowań  i uporzą dkowan iu  oraz  wprowadzeniu  wielkoś ci  bezwymiaro- wych (2.3)  X  =   i ^,   Z  =   - Ł  T- flrf,    ̂ =   — , gdzie w jest pulsacją   podstawową   drgań rozważ anego  ukł adu, ml  =  —• «•,  a  9  bezwymiarową czę stoś cią   drgań,  otrzym am y  dla  każ dego  7«  dwa  nieliniowe  równania  róż niczkowe  zwy- czajne  wzglę dem  funkcji  X,  Z (2.4) Poszczególne  współ czynniki  ukł adu  (2.4)  mają   nastę pują ce  wartoś ci: R  -   ° 2  =   d2r2+gd 3 d  '  di 400  F.  TWARDOSZ,  T.  WEGNER c4  dsr a  csr  _  d6r 2+gd7 A>3  —  >  73  T~  : d8r 3+gd9r d, 15 C l  = 4p* 3  o ^~cs, 1  / .  15  45 ^3  = V 3 ­ 4 ­ OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  401 295 3 2 i> 4 + przy  czym TT p  =  n r n ,  k t p  S 7  Mechanika  Teoretyczna 402 F .  TWARD OSZ, T.  WEG N ER W  ukł adzie równ ań (2.4) wyrazy nieliniowe są   mał e w porówn an iu z liniowymi.  W  zwią z- ku z tym moż emy dany ukł ad traktować jako  sł abo nieliniowy.  Zastosujemy  zatem  do  roz- wią zania  m etodę  mał ego param etru  [2]. Aby  wyznaczyć  przybliż one  rozwią zanie  okresowe wykorzystujemy  fakt,  że nieliniowość  ukł adu  wpł ywa  n a  wielkość  okresu  drgań  swobod- nych.  W zwią zku  z  tym  poszukujemy  rozwią zania  w postaci  rozwinię ć (2.5) Rozwinię cie  poszukiwanej  czę stoś ci  drgań w szereg  wzglę dem  potę g  param etru b pozwala wyeliminować  z rozwią zania  czł ony  sekularne i uzyskać  przybliż one  rozwią zanie  okfesowe. P o  podstawieniu  zależ noś ci  (2.5)  do ukł adu  (2.4)  i  rozwinię ciu  lewej  i  prawej  strony równań  w szeregi  wzglę dem  potę g  param etru b  oraz  przyrówn an iu  do siebie  wyrazów stoją cych  przy  tych  samych  potę gach  b, uzyskamy  rekurencyjne  ukł ady  równ ań  róż nicz- kowych : Z -   Z 0  + bZ r +b 2 Z 2   + ..., O 2 = (2.6) (2- 7) d 2 X 0 It 2 ' d 2 Z 0 dr 2 = U, (2. 8) d 2 X 'o  y  2 d 2 X d 2 X 0 =   - t / 2 - - p3(X 2Zx  + )- 30sZgZŁ, dr 2 - + yo^2- yi 2̂  =   - < / 2 z 0 ar  ar'1 ?Zi  +2X 0 Z 0 X 1 )- y^ Z 2 X 1   +2X0Z0Z, N iech  funkcja  Z ( T )  speł nia  warunki  począ tkowe (2.9)  Z (0) -   B,  Ź (0)  =   0, wtedy (2.10) Ż o(0) = Z t ( 0 ) = Ż 1( 0) = Z 2 ( 0 ) = gdzie  kropka  oznacza  pochodn ą   wzglę dem  czasu. Rozwią zanie  nasze  ograniczymy  do drgań  swobodnych  jednoczę stoś ciowych.  W tym przypadku  warunki  począ tkowe  dla  funkcji  X(t) zależą   od warun ków  począ tkowych  dla Z ( T ) i wynikają   z rozwią zania  zagadnienia jako  warunek  konieczny  drgań jednoczę stoś cio- wych. OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  403 Rozwią zania  szczególnego  ukł adu  równ ań  (2.6)  poszukujemy  w  postaci \ X 0   =  J \ ^ Q  —  &!<. Podstawiają c  zał oż oną   postać  rozwią zania  do  (2.6)  uzyskamy  dwa  algebraiczne  ukł ady równ ań } — yiAx  + (yo—Ol)B L   «=   0,  \ ~yiA 2   + (y Q —6o)B 2   =   0; stą d  warunek  istn ien ia  niezerowego  rozwią zania  ma  postać =  0 . Rozwinię cie wyznacznika  daje  równ an ie dwukwadratowe  n a czę stość drgań wł asnych ukł adu zlinearyzowanego  (b  =  0) ,  m ianowicie ską d (2.11)  Ol  = U kł ad zlinearyzowany  m a dwa  szczególne  rozwią zania  harm oniczne o czę stoś ciach okreś lo- nych  wzorem  (2.11).  P ierwsza  wyż sza  czę stość  (znak  + )  odpowiada  drganiom  podł uż- nym,  druga  niż sza  czę stość  (zn ak  —) drganiom poprzecznym powł oki. D rgania te zachodzą dla  ś ciś le  okreś lon ych  wartoś ci  współ czynnika  postaci  drgań  wł asnych Wartoś ci  te  wyznaczamy  ze  zwią zku P o n ie wa ż !̂  =   IB 1 ,  A 2   =   kB 2 ,  wię c dla warun ków  począ tkowych  Z o (0)  =   B,  Ż o ( 0)  =   0, mamy  B L   =  B,  A t   -   IB,  B 2   — 0,  A 2   =  0.  Ostatecznie  rozwią zanie  szczególne  ukł adu zlinearyzowanego  (2.6)  m a  postać (2.13)  X o   =  I B C O S T ,  Z o  =   .BC OST. P o  podstawieniu  powyż szego  rozwią zania  do  ukł adu  (2.7)  uzyskujemy  ukł ad  równań Y~ + $ a X x —$ x Z x   =  PiCOST +  P iC o sSr, u i, (2.14) ,o  d 2 Z,  ^   n Po   2 -   +y 0 Z 1 ~y l Xi  =   AI C O S T + / V2C O S 3T , Civ gdzie  P x   =   XBd 1 +3B 3 p l ,  P 2   =  B 3 Pi ,  R L   =   B6 X   + 3B 3 r 1 ,  R 2   =   B3r x , 7 * 404 zaś F .  TWARD OSZ,  T.  WEG N ER Aby  uzyskać  periodyczne  rozwią zanie  powyż szego  ukł adu,  zakł adamy  rozwią zanie  szcze- gólne w postaci X x   =  C 1 które  po podstawieniu  do  (2.14)  daje  cztery  algebraiczne  ukł ady  równ ań : O?o- 0g)C1- / ?1.D 1  =  Pt,  (Po- 96l)C2- p1D2  =   P2, - yiC.  + Cyo- O^ D, =  R u   - y 1 C 2   + (y o ~90 2 o )D 2   =   R 2 , (Po- B&Ct- hDt  = 0,  0 o - 9d 2 o )C 4 - ^ D 4   =  0, - YiC t   + (y 0 - Oi)D t   =  0,  - y i c 4   + ( Yo - 9B 2 o )D 4   =   0. Wyznaczniki  charakterystyczne  ukł adów równ ań  (2.15)!  i  (2.15)3  są równ e  zeru.  Warunek istnienia  rozwią zań  ukł adu  (2A5) 1   m a  więc  postać - Vi,  R stąd  wykorzystując  zwią zek  (2.12)  m am y Pityi+Ripi  =   0. P o  podstawieniu  P t   i  R t   uzyskujemy  warunek z  którego  wyznaczamy (2.16) gdzie = =  0 , A _ 1 " D la  wyznaczonej  wartoś ci  6±   równ an ia  ukł adu  (2.15) L   są  liniowo  zależ ne.  M ię dzy stał ymi C t   i  D j  zachodzi  zwią zek P odobiiie  równania  ukł adu  (2.15)3  są  liniowo  zależ ne,  stąd  zwią zek  mię dzy  stał ymi C 3   =  1£ > 3. Z  ukł adu równań  (2.15)2  wyznaczamy  stał e  C2  i D2,  otrzymując OBROTOWO- SYMETRYCZNE  DRG ANIA  POWŁ OKI  STOŻ KOWEJ  405 gdzie Analogicznie  z  równ ań  (2.15) 4  mamy C 4  =  £»4 =   0. Wykorzystując  warun ki  począ kowe  Z t   (0)  =  0,  Ż t   (0)  =  0  dostaniemy stąd £>i  =   - Di  =   ~B3z 1   oraz  D 3   =   - 3D A   =  0. Posł ugując  się  wyznaczonym i  wartos'ciami  stał ych  D^   i  D 3   uzyskujemy c 3  =  o. Rozwią zanie  szczególne  ukł adu  (2.14)  m a  więc  postać JXX  =   • # 3 ( X 1 C O S T + X 2 C O S 3 T ) , ' - 2 ' 1 7 ' 1  \ Z i  =   ^ 3 Z i  (COS 3 TT- COST). Podobnie  postę pując  uzyskujemy \ X 2   = (0  1 K\ [Z 2   =   5 5 [ Z 2 ( C O S 3 T —C O S T ) + 2 3  (cos  5T —C O S T ) ] , dla  0 2   =   - 54 ^ 2 ,  gdzie przy  czym e Ą   m  y o - 25d 2 o , p2  =   - Xt'd'1 +  (3x1+ x1)ps- 2ztpe,  r2  = p3  =   - 9x2# 1  +  ( rs  = 406  F .  TWARD OSZ,  T.  WEG N ER Ograniczają c  się   do  drugiego  przybliż enia  uzyskamy  poszukiwane  rozwią zanie  w  postaci X  =  XBcosr+bB 3 (x 1 cost+x 2 co&3T )+b 2 B s (x 3 cosz+x 4 .cos3r+ + X 5 C O S 5 T ) +   . . . , Z  =   i? cos T + b B 3 z t   (cos 3 r—co s  T ) + b 2 B 5  [z 2  (cos 3 r—cos  T) + + z 3   (cos  5T —C O S T ) ] +   . . . , fl2 =   fl2_J (2.20) Powyż sze  rozwią zanie  jest  szeregiem  potę gowym  ze  wzglę du  n a  wielkość  bB2.  Aby  szereg był   szybko  zbież ny,  co  umoż liwia  korzystanie  tylko  z  kilku  jego  pierwszych  skł adników, wartość  bB2  musi  być  m ał a. N a  podstawie  p ró b  rozcią gania  [1]  przy  n aprę ż en iach  nie  przewyż szają cych  wartoś ci 1000  kG / cm 2  uzyskano  dla  czystej  miedzi  nastę pują ce  wielkoś ci  stał ych: K  =   1,37  •   106  kG / cm 2,  G  -   0,46  •   106  kG / cm 2,  g 2   =   0,18  •   106, stą d  b  =  0,323 •   106. P onieważ  przyję to  zwią zki  geometryczne  w  postaci  liniowej  ograniczają c  analizę   do mał ych  drgań,  wię c  wielkość  bB2  m oże  odgrywać  rolę   m ał ego param etru, a  uzyskane  roz- wią zanie  m a  ch arakter  asymptotyczny  dla  mał ych  wartoś ci  param etru  bB2. N a skutek nieliniowoś ci  ukł adu  (b  ^  0) w rozwią zaniu  pojawił y  się  wyż sze harmoniczne, a  czę stość  drgań  wł asnych  ulega  zmianie  i  zależy  od  am plitudy. 3.  Analiza  wyników W  celu  zbadan ia  wpł ywu  nieliniowoś ci  sprę ż ystej  m ateriał u n a  drgan ia  powł oki przea- nalizowano  nastę pują ce  funkcje: A t (A)  =  l+Avl(x 1 +x 2 ),  A n {A)  =   X+AvKxi+x^ A-   A2v%(x 3 +x A +x 5 ), Indeksy  I, I I  oznaczają   tu  odpowiednio  pierwsze  i  drugie  przybliż enie.  Bezwymiarowy argum en t  A  =   a 3 E 2 B 2  jest  iloczynem  stał ej  m ateriał owej  a 3   okreś lają cej  nieliniowość sprę ż ystą   m ateriał u  [wyznaczonej  przy  jedn oosiowym  rozcią ganiu  —  ś ciskaniu  (1.4)] kwadratu  m oduł u  Youn ga  E  i  kwadratu  bezwymiarowej  am plitudy drgań poprzecznych B. Współ czynnik  postaci  drgań  wł asnych  A  okreś la  stosun ek  am plitudy  drgań  podł uż nych do  amplitudy  drgań  poprzecznych,  dla  którego  zachodzą   analizowane  drgan ia  wł asne powł oki, A =   »- Z ( 0 ) ' 6 2  zaś  jest  kwadratem  bezwymiarowej  czę stoś ci  dfgań  wł asnych  powł oki. W  ukł adzie współ rzę dnych A—A  oraz  62  — A  wykresy  pierwszego  przybliż enia  analizo- wanych  funkcji  są   liniam i  prostym i,  drugiego  przybliż enia  —  parabolam i.  Krzywe  te cha- OBR OTOWO- SYM E TR YC Z NE  D R G AN I A  P O WŁ O K I  STOŻ KOWEJ  407 rakteryzują ce  drgan ia  jedn ego  rodzaju  (podł uż ne  lub  poprzeczne) zależą   od  nastę pują cych pię ciu  param et rów: m  oznacza  liczbę   okreś lają cą   ilość  pół fal  n a  dł ugoś ci powł oki, / u —  stosunek  najmniej- szego  prom ien ia  krzywizny  powł oki  do  jej  dł ugoś ci,  /S —  poł owę   ką ta  wierzchoł kowego stoż ka,  % —  stosun ek  gruboś ci  powł oki  do  jej  dł ugoś ci,  v —  liczbę   P oissona. P ozostał e  p aram et ry: a 3   —  współ czynnik  okreś lają cy  nieliniowość  m ateriał u  (1.4),  E—moduł   Younga, Q —  gę stość  m ateriał u  powł oki,  /  —  dł ugość  powł oki  mierzona  wzdł uż  tworzą cej  — za- warte  są   w  bezwymiarowych  współ rzę dnych gdzie  W maK  jest  am plitudą   drgań  poprzecznych  (gię tnych),  w  —  pulsacją   podstawową drgań  rozważ anej  powł oki. M ateriał om  o  «mię kkich»  charakterystykach  (a 3   >  0)  odpowiada  czę ść  wykresu dla  A  >  0,  m ateriał om  lin iowo  sprę ż ystym  ( a 3  =   0)  odpowiada  A  =  0,  materiał om o  «sztywnych»  ch arakterystykach  (a 3   <  0)  odpowiada  czę ść  wykresu  dla  A  <  0. Jako  przykł ad  naszych  rozważ ań  przeanalizujemy  drgan ia  wł asne  powł ok  stoż kowych (przy  m  =  1)  o  nastę pują cych  wartoś ciach  param etrów: H  - 0 , 5,  tg/ S  =   0,2,  x  =   4 - 1 0 -3 ,  v - 0 , 3. N a  rys.  1  przedstawion o  wykresy  funkcji  A{A)  oraz  62(A)  dla  drgań  podł uż nych, n a rys.  2  dla  drgań  poprzeczn ych.  D rgan ia  podł uż ne  charakteryzują   się   znacznie wyż szą   czę - stoś cią   drgań  od  drgań  poprzeczn ych.  Oczywiś cie  dla  drgań  podł uż nych zachodzi  zwią zek \ A\   >  1,  n atom iast  dla  drgań  poprzecznych  \ A\   <  1.  Jak  wynika  z  przytoczonego  przy- kł adu  dla  ch arakterystyk  «mię kkich»  ze  wzrostem  am plitudy  czę stość  maleje,  dla «sztyw- nych»  —  roś n ie.  C echa  t a  jest  silniejsza  dla  m ateriał ów  o  wię kszym  współ czynniku  \ a 3 \ . Wpł yw  param etrów  ju oraz  /? n a  drgan ia  poprzeczne  przy  niezmienionych  wartoś ciach pozostał ych  param etrów  ilustrują   odpowiednio  rys.  3 i 4. Przy /? =   0 uzyskujemy  charakte- rystyki  dla  powł oki  walcowej. Z m ian y  param etru  %  w  zakresie  od  2 •   1 0 "3  do  8 •   10 "3  nie  wpł ywają   na  zmianę   war- toś ci  analizowanych  funkcji. Ś ciś liwość  m ateriał u dość  znacznie  wpł ywa  n a  czę stość  drgań  wł asnych  oraz  na  współ - czynnik  postaci  drgań  wł asnych,  w  przypadku  m ateriał u nieliniowo  sprę ż ystego.  W  przy- pad ku  m ateriał u  podlegają cego  prawu  H o o ke'a  ś ciś liwość  materiał u  wpł ywa  w  mał ym stopn iu  n a  czę stość  drgań  wł asnych.  Wpł yw  ś ciś liwoś ci  na  analizowane  funkcje  w  przy- padku  drgań  poprzeczn ych  przedstawia  rys.  5.  Przyjmowanie  zał oż enia  upraszczają cego, iż  m ateriał   powł oki  jest  nieś ciś liwy,  może  być  przyczyną   duż ych  bł ę dów  w  przypadku zastosowan ia  uproszczon ej  teorii  do  analizy  drgań  powł ok wykonanych  z materiał ów nieli- n iowo  sprę ż ystych. Zjawisko  zm ian y  czę stoś ci  drgań  wł asnych  ze  zmianą   amplitudy  m a  duże  znaczenie w  przypadku  drgań  wymuszonych,  a  w  szczególnoś ci  w  przypadku  rezon an su. 410 F .  T WAR D O S Z ,  T .  WE G N E R pierwsze przybliż enie drugie przybliż enie  O1 drugi* przybliż enie  A Lit erat u ra  cytowana  w  tekś cie 1.  H .  K AU D E R E R ,  N ichtlineare  Mechanik,  Berlin  1958. 2.  N .  M I N O R S K I ,  Drgania  nieliniowe,  Warszawa  1967. 3.  I O .  I O .  TpAnE3HH,  O  Majiux  KOjieoauunx Kpyeoeoii moHKoanemwu  KonuuecKOii  OSO/ IOHKU,  P ac^eTH   H i npo^raocTŁj  B .  2,  M ocKBa  1958. 4.  P .  T WAR D O SZ ,  Osiowo- symetryczne  drgania  nieliniowo- sprę ż ystej  powł oki  stoż kowej,  P o zn a ń skie  Towa- rzystwo  P rzyjaciół   N a u k ,  zeszyt  8,  P o zn a ń  1971. 5.  B.  C .  BJI AC OB,  O6u{an  meopun  oSo/ ioueK,  M ocKBa  1949. P  e  3  IO  M   e COECTBEHHŁIE  KPyrJIOCHMMETPIOTECKHE  KOJIEBAHHH  KOHI- MECKOH OEOJICraKeHHio. HŁie  peiueH H H j  H Jun ocipH pyioin H e  BirHHHHe  yn p yr o n  HennHeHHOcTH   Ha  KOJie6aiiHH   OSOJI O^ CTaBJieubi  rpacjjiraecKH . S u m m a r y ROTATION ALLY  SYM M E TR I C  F R E E  VIBRATION S  OF   A  CON ICAL  SH ELL  MAD E  OF COM PRESSIBLE,  N ON - LIN EAR ELASTIC  M ATERIAL The  paper deals  with  the analysis  of  rotationally  free  vibrations  of a thin truncated conical shell,  simply supported  on  both  edges.  The  material  of  the  shell  is  assumed  to  be  homogeneous,  isotropic, non- linear elastic  and  compressible.  The problem  is  limited  to the analysis  of  small  vibrations  what  makes  it  possible to  use the linear geometric relations. As  a result, the system  of partial  differential  equations  of fourth  order is  obtained  describing  the  longitudinal  and  transverse  vibrations.  By  applying  the  variational  Bubnov- G alerkin  method,  partial  equations  are  reduced  to  the  ordinary  differential  equations.  Assuming  weak non- linearity, th e equations  are  then solved  by  the perturbation  method, the solution being  limited  only to second  approximation.  The equations  obtained  describing  the influence  of  elastic  non- linearity  of  the ma- terial  on the vibrations  of  the shell  have  been presented  graphically. POLITECHNIKA  POZNAŃ SKA,  POZN AŃ Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  8  listopada 1974  r.